5.层流流动

v 1 dv F − ∇p = ρ dτ
5.层流流动 层流流动
N－S方程
单位时间作用 单位时间 单位时间 单位时间 在控制体上的 = 流出控制 − 流入控制 + 控制体的 合外力冲量 体的动量 体的动量 动量增量
∂ ( ρv x ) dxdydz ∂x ∂ (ρv y ) − dxdydz ∂y −
∂ρ dxdydz ∂τ
冶 金 传 输 原 理
−
∂ ( ρv z ) dxdydz ∂z
∂ρ ∂ ( ρvx ) ∂ (ρv y ) ∂ ( ρvz ) + + + =0 ∂τ ∂x ∂y ∂z
∂ρ v + ∇ ⋅ ( ρv ) = 0 ∂τ
0
h
冶 金 传 输 原 理 2) 1) 无压力作用
dp =0 dx
v0
x
dp <0 dx dp >0 dx
dy
v v − dv
3)
5.层流流动 层流流动
5.2 层流流动下几种特殊情况的解析解
圆管内的层流流动－定解问题
一种不可压缩流体在圆管内做充分 发展的稳态层流流动，求解管道内 的流体速度分布及沿程阻力。 冶 金 传 输 原 理
∂v y ∂v y
2 2
µ ∂ v ∂ v 1 ∂p vx + vy = 2y + 2y − +g ∂x ∂y ρ ∂x ∂y ρ ∂y
∂ 2 v x 1 ∂p 0 =ν − ∂y 2 ρ ∂x 1 ∂p 0=− +g ρ ∂y
d 2 v x 1 ∂p =C ν 2 = dy ρ ∂x
C=
1 ∂p ρ ∂x
vx y h 2 ∂p y y = − 1 − v0 h 2 µv0 ∂x h h
5.层流流动 层流流动
5.2 层流流动下几种特殊情况的解析解 v
两平行平板间的等温层流流动－讨论
vx y h 2 ∂p y y = − 1 − v0 h 2 µv0 ∂x h h
v0
二维问题 稳定态
x
h
∂ 2 vx ∂ 2 v x ∂ 2 vx ∂p ∂ ( ρvx ) v + ρ (v ⋅ ∇ )v x = µ 2 + 2 + 2 − + ρX ∂x ∂τ ∂y ∂z ∂x ∂ (ρv y ) ∂τ ∂ 2 v y ∂ 2 v y ∂ 2 v y ∂p v + ρ (v ⋅ ∇ )v y = µ 2 + 2 + 2 − + ρY ∂x ∂y ∂z ∂y
vx = f ( y )
v0
h
∂v ∂v y ∂y
∂v x ∂v y + =0 ∂x ∂y
=0
v y = f (x )
x
vy
x, y
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= f (x ) x , y = f (x ) x , y =0.or . y = h
vy
y =h
= 0 vy
y =0
=0
vy ≡ 0
vx
µ ∂ 2v ∂ 2 v 1 ∂p ∂v x ∂v + v y x = 2x + 2x − ∂x ∂y ρ ∂x ∂y ρ ∂x
5.层流流动 层流流动
5.2 层流流动下几种特殊情况的解析解
两平行平板间的等温层流流动－方程求解
v0
冶 金 传 输 原 理
d 2 vx 1 ∂p ν 2 = =C dy ρ ∂x
C 2 vx = y + Dy + B 2ν v x y =0 = 0 v x y = h = v0
h
x
B=0 D= v0 1 ∂p − h h 2µ ∂x
圆管 中心对称 稳态层流 柱坐标 二维问题 稳定态
1 ∂ ∂vz 1 ∂2vz ∂2vz ∂p ∂vz vθ ∂vz ∂vz ∂vz + + vz + ρ + vr = µ r + − + ρgz ∂r r ∂θ ∂z r ∂r ∂r r 2 ∂θ 2 ∂z 2 ∂z ∂τ
冶 金 传 输 原 理
ρXdxdydz
∂p − dxdydz ∂x
∂ (ρv x vx ) dxdydz ∂x ∂ (ρvx v y ) dxdydz ∂y
∂ (ρvx ) dxdydz ∂τ
∂ (ρv x vz ) dxdydz ∂z ∂p ∂ (ρv x ) ∂ ∂ ∂ ρX − = + ( ρvx vx ) + (ρvx v y ) + ( ρvx vz ) ∂x ∂τ ∂x ∂y ∂z
初值条件： 非稳态情况下，初始时刻场量的分布
φ t =0 = φ ( x, y, z )
5.层流流动 层流流动
5.1 层流流动的定解问题
定解条件 边值条件
固体壁面的无渗透无滑移边值条件
冶 金 传 输 原 理
v n (t , x, y, z )
流体流动被固体限制在一定的区域内，贴近固体壁面的一层流体由于固体 壁面的作用使流体在固体壁面相切的方向上必与固体表面保持相对静止
∂ 2 vx ∂ 2 vx ∂ 2 vx ∂p ∂ (ρv x ) v + ρ (v ⋅ ∇ )vx = µ 2 + 2 + 2 − + ρX ∂x ∂τ ∂y ∂z ∂x ∂ 2 v y ∂ 2 v y ∂ 2 v y ∂p ∂ (ρv y ) v + ρ (v ⋅ ∇ )v y = µ 2 + 2 + 2 − + ρY ∂x ∂τ ∂y ∂z ∂y ∂ 2 v z ∂ 2 v z ∂ 2 v z ∂p ∂ ( ρv z ) v + ρ (v ⋅ ∇ )v z = µ 2 + 2 + 2 − + ρZ ∂x ∂τ ∂y ∂z ∂z
ρXdxdydz
∂p − dxdydz ∂x
∂ (ρv x vx ) dxdydz ∂x ∂ (ρvx v y ) dxdydz ∂y
∂ (ρvx ) dxdydz ∂τ
∂ (ρv x vz ) dxdydz ∂z ∂p ∂ (ρv x ) ∂ ∂ ∂ ρX − = + ( ρvx vx ) + (ρvx v y ) + ( ρvx vz ) ∂x ∂τ ∂x ∂y ∂z
层流
Re = ρuL
湍流
µ
2100 ~ 2300 光滑管流： Re临 = 边界层流：× 10 4 ~ 3.2 × 10 5 6
5.层流流动 层流流动
连续性方程
单位时间流入 单位时间流出 单位时间微元 − = 微元体的质量 微元体的质量 体的质量增量
y
5.层流流动 层流流动
欧拉方程
单位时间作用 单位时间 单位时间 单位时间 在控制体上的 = 流出控制 − 流入控制 + 控制体的 合外力冲量 体的动量 体的动量 动量增量
冶 金 传 输 原 理
vx vx
y =0 y =h
定解条件 无渗透、无滑移边值条件
=0 = v0
vy vy
y =0 y =h
=0 =0
5.层流流动 层流流动
5.2 层流流动下几种特殊情况的解析解
两平行平板间的等温层流流动－问题简化
平板无限大，不同x处的任意截面 上速度分布相同： 冶 金 传 输 原 理
∂v x ∂ 2 v x = 2 =0 ∂x ∂x
5.层流流动 层流流动
5.2 层流流动下几种特殊情况的解析解
对求解对象做对称性分析，简化定解问题，具体求解 两平行平板间的等温层流流动－定解问题 冶 金 传 输 原 理 平板无限大 稳定后速度场分布
∂ρ ∂(ρv x ) ∂ (ρv y ) ∂( ρv z ) + + + =0 ∂τ ∂x ∂y ∂z
∂v x ∂v y + =0 ∂x ∂y ∂v x ∂vx µ ∂ 2 v x ∂ 2 vx 1 ∂p vx + vy = 2 + 2 − ∂x ∂y ρ ∂x ∂y ρ ∂x 2 2 ∂v y ∂v y µ ∂ v y ∂ v y 1 ∂p vx + vy = 2 + 2 − +g ∂x ρ ∂y ∂x ∂y ρ ∂y
圆管 中心对称 稳态层流 柱坐标 二维问题 稳定态
∂vr 1 ∂vθ ∂vz vr + + + =0 ∂r r ∂θ ∂z r
ρ
∂vr ∂vz vr + + =0 ∂r ∂z r
1 ∂ (rvr ) ∂v z + =0 r ∂r ∂z
∂ 1 ∂ (rvr ) 1 ∂ 2 vr 2 ∂vθ ∂ 2 vr ∂p ∂vr ∂v v ∂v v 2 ∂v + vr r + θ r − θ + v z r = µ − 2 + + 2 − + ρg r 2 ∂r r ∂θ r ∂z r ∂θ ∂z 2 ∂r ∂τ ∂r r ∂r r ∂θ
5.层流流动 层流流动
冶 金 传 输 原 理
层流流动
5.层流流动 层流流动
流体运动的两种状态
雷诺试验 层流:规则的层状流动，流体层与层之间互不相混， 层流 规则的层状流动，流体层与层之间互不相混，质点轨迹为平滑 规则的层状流动 的随时间变化较慢的曲线。 的随时间变化较慢的曲线。 冶 金 传 输 原 理 湍流:无规则的运动方式，质点轨迹杂乱无章而且迅速变化， 湍流 无规则的运动方式，质点轨迹杂乱无章而且迅速变化，流体微 无规则的运动方式 团在向流向运动的同时，还作横向、垂向及局部逆向运动， 团在向流向运动的同时，还作横向、垂向及局部逆向运动，与周 围流体混掺，随机、非定常、三维有旋流。 围流体混掺，随机、非定常、三维有旋流。 .
∂vr ∂vr µ ∂ 1 ∂ (rvr ) ∂ 2vr 1 ∂p vr + vz = + − ∂r ∂z ρ ∂r r ∂r ∂z 2 ρ ∂r
5.层流流动 层流流动
5.2 层流流动下几种特殊情况的解析解
圆管内的层流流动－定解问题
一种不可压缩流体在圆管内做充分发 展的稳态层流流动，求解管道内的流 体速度分布及沿程阻力。 冶 金 传 输 原 理
∂τ xx ∂τ yx ∂τ zx + + + ∂y ∂z ∂x
5.层流流动 层流流动
N-S方程
∂ρ ∂ ( ρvx ) ∂ (ρv y ) ∂ ( ρvz ) + + + =0 ∂τ ∂x ∂y ∂z
冶 金 传 输 原 理
∂ 2v y ∂ 2v y ∂ 2v y 1 ∂ (v y ) v + ρ (v ⋅ ∇ )v y = µ 2 + + 2 ∂x ρ ∂τ ∂y ∂z 2 ∂ 2vz ∂ 2vz ∂ 2vz 1 ∂ (v z ) v + ρ (v ⋅ ∇ )v z = µ 2 + + 2 ∂x ρ ∂τ ∂y 2 ∂z
vt (t , x, y, z )
w
= v w (t , x, y, z )
－－无滑移边值条件
固体壁面的切线速度
流体在与固体壁面相垂直的方向上，流体不能穿透而进入固体内
w
=0
－－无渗透边值条件
这里，假设固体在法线方向上保持静止
5.层流流动 层流流动
5.1 层流流动的定解问题
定解条件 边值条件
对称边值条件
∂ 2vx ∂ 2vx ∂ 2vx 1 ∂ (v x ) v + ρ (v ⋅ ∇ )v x = µ 2 + + 2 ∂x ρ ∂τ ∂y 2 ∂z
∂p − ∂x + ρX
∂p − + ρY ∂y ∂p − ∂z + ρZ
偏微分方程组 + 适当的定解条件 －－ 等温条件下的实际 流体流动
o 只适用于层流 o 密度、粘性为常量
o 等温 o 偏微分方程组的求解问题
5.层流流动 层流流动
5.1 层流流动的定解问题
密度、粘性 为常量，等 温条件下层 流流动
冶 金 传 输 原 理 定解条件 初值条件 边值条件 控 制 方 程 封 闭
∂ρ ∂ ( ρvx ) ∂ (ρv y ) ∂ ( ρvz ) + + + =0 ∂τ ∂x ∂y ∂z
冶 金 传 输 原 理 当流体在流动区域内关于某一个面对称时，常常取这样的面为计算的对 称边界而简化计算，对称面上边界条件常取为物理量在对称面上的变化 率为零，如管道流动中当把坐标选在管子的中心线上时，就有： ∂φ
出入口边值条件
∂r
=0
r =0
入口处边值条件常常取为给定物理量的值 φ (t , x, y, z ) in = φ 0 (t , x, y, z ) 出口边值条件常取已知物理量的值或单向无影响的条件。后者指的 是所讨论的体系内流出的流体再也不对该区域的流动产生影响。