数学建模SARS

北京航空航天大学大学生数学建模选拔赛

2011年6月10日－6月12日

参赛题目A B （在所选题目上打勾）

北京航空航天大学教务处

数学建模指导组

摘要

论文解决问题的方法：论文中涉及到得方法有1：公式推导的方法（如：问题二中的新建SARS模型）:2：线性与非线性拟合，其中非线性拟合包括傅里叶拟合（运用于问题三中求解2003月份理论值）、指数拟合（运用于问题二中高峰前的模型建立）、自定义拟合（运用于问题二中高峰期后的模型建立）、折线图拟合（运用于旅游业影响度的分析）；3：对比法（运用于问题二中后期模型的建立和问题三中）；4：利用软件matlab进行模拟和求解（1、2、3均用到）；

主体结构：

问题1：对已有模型评价

问题2：新模型的建立，对模型进行分析和预测，如何建立更好的模型，对政府部门采取的措施的评价

问题3：模型的建立，对经济的损失的估计，2003年各月旅游影响度预算；

问题4：给报刊的一封信；

结论：

问题1：虽然模型能说明一些问题，但是模型缺少更合理和更连续的分析，k，L应为随时间变化的函数，实用性不高。

问题2：部门应该在高峰前一半时间内采取措施，这样有助于对潜伏期人数的降低。新建立的模型通过自然增长和后期等比下降能较为科学的说明一些问题。但模型还能进一步进行改进（比如寻求更好的L（t）、K（t）模拟）。政府采取的措施力度还应该加大，表现为隔离时间应该提前（具体见后面分析）；

问题3：由于“非典”的影响，北京2003年旅游外汇收入减少了16亿美元；通过（偏差比）的走势，我们分析出了2003年“非典”期间对海外游客的总体

影响趋势，计算可知，到2003年底，实际游客人数可恢复到理论值的90%以上。

关键词：SARS传播，隔离强度，matlab拟合，预测对比

问题重述

题目是关于2003年SARS传播蔓延趋势的问题。

SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。根据所给资料，需要解决以下问题。

（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。

（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。

（3）收集SARS对经济某个方面影响的数据，建立相应的数学模型并进行预测。附件3提供的数据供参考。

（4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。

1.已有模型评价

1)从预测准确度上有失合理性，虽然早期模型在拟合前期疫情时拟合程度较

好，但对后期情况的预测出现较大偏差.尽管预测准确程度不高，但是该模型确实预测出了整个疫情的发展趋势.从这一点上看，该模型还是切合实际的.该模型选用公布数据直接拟合，从而预测后期疫情发展趋势，这有悖于模型本身的含义.因为模型中的实际代表的是时刻全社会的累计SARS患者，而公布数据仅为同期的累计确诊SARS患者，显然前者是大于或等于后者的.

如果把公布数据当成实际数据处理，这必然导致模型解出现偏差，且解的实际意义不明确.对于这一点，我们将在建立自己的模型时重点关注！

2)L参数表示单位时间内一个传染者与他人的接触率，其与全社会的警觉程度

和政府、公众采取的各种措施有关，例如，佩戴口罩，减少停留在公共场所的时间，喷洒消毒药剂，提高隔离强度等都能有效地降低接触率的值。文中广东、香港、北京现有的数据用的参数都为L=20，该参数虽然具有统计意义，但是随着疫情的发展，政府对疫情防治的力度应该会加大，这就导致L 的减小，所以L应该也是一个随时间变化的量。

3)一般认为，K的数值随着SARS发展的2个阶段不断变化.在SARS初期，由

于潜伏期的存在和社会对SARS病毒传播的速度认识不足，政府和公众并未引起重视，故维持在一个较高的数值；进入爆发期后，公众发现感染者不断增加，恐慌情绪增加，随即采取多种措施，使得到一定的控制，但效果不明显，此处假设呈线性形式缓慢衰减；在高峰期，当高强度的控制措施实施后，病毒传播的有效接触率明显减少，可以认为按天数呈指数形式衰减；此后进入衰减期，就维持在一个较低值附近.从开始至到高峰期间均采用同样的K值。北京市非典期间实行隔离的时间4月23日，北京非典开始的时间为：3月1日，非典高峰期为4月29日。疫情开始时，市民和政府警惕性比较低，K值应该比较大，随着疫情严重程度的增加。政府力度开始加大，此时K、L均有下降（至于怎么下降后面给出分析）；高峰期以后K、L进一步减小，最后到达一个定值。所以K值如果写为时间的函数效果会更好。

2.新建模型分析

2.1模型假设：

1)由于非典开始时政府、人民警觉性较低，疾病自然增长。

2)SARS的持续期不太长，可以忽略在SARS持续期内的城市人口的自然出生率

和自然死亡率。

3)病人被严格隔离、治愈或者死亡后，不再有感染作用。

4)不考虑人口的流动，仅仅在一个城市范围内研究SARS疫情的发展过程。

5)已患SARS者被确诊的概率是一致的，未患SARS者被确诊的概率也是一致的。

6)疑似病人中真正患病的患者所占比例相同。

2.2变量定义

t 疫情进行的时间，单位为/天；

f(t) 确诊的人数，单位为/个；

w(t) 潜伏期的人数（真正染上SARS的人数），单位为/个；

v(t) 疑似病例的人数，单位为/个；

比例系数，表示初期人口增长的快慢；

等比数列的系数；

2.3模型分析

根据假设1，初期时，由于病毒自然增长，所以我们可以利用自然增长模型进行求解。当t=1时即第一例病人发病（3月1日），f(t)=1；1

积分（离散求和）得关系式：

进入高峰期后，由于政府采取各种政策，自然增长模型不再适用，我们采取如下模型：

根据假设5、6，我们将新增确诊人数分为如下两部分：一部分

来自前一天的疑似病人v(t)，另一部分来自潜伏期的病人w(t)，由假设中所占比例相同，所以将比例系数分别设为k1、k2。写成表达式为：

而v(t)和w(t)之间的关系还可以用如下表达式来表示：