中值定理学习课程

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《微分中值定理》课件

傅里叶级数：描述周期函数可以分解为无穷多个正弦函数的和
积分中值定理的应用：求解定积分、证明不等式等
积分中值定理：描述函数在某区间上的平均值与该区间内函数值的关系
傅里叶级数的应用：信号处理、图像处理、数据分析等
06
微分中值定理的习题和解析
基础题目解析
题目：求函数f(x)=x^2+2x+1在区间[0,1]上的最大值和最小值解析：使用微分中值定理，找到函数f(x)在区间[0,1]上的最大值和最小值题目：求函数f(x)=x^3-2x^2+3x+1在区间[0,1]上的最大值和最小值解析：使用微分中值定理，找到函数f(x)在区间[0,1]上的最大值和最小值
解决实际问题：微分中值定理在物理、工程等领域的实际问题中有广泛应用。
优化算法：微分中值定理在优化算法中有重要应用，如梯度下降法、牛顿法等。
证明不等式：微分中值定理在证明不等式方面有广泛应用，如拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。
解决微分方程：微分中值定理在解决微分方程方面有重要应用，如欧拉-拉格朗日方程、庞加莱方程等。
提高题目解析
分析题目：分析题目中的已知条件和未知条件，找出题目中的关键信息
理解题目：明确题目要求，理解题目中的关键词和条件
解题步骤：列出解题步骤，每一步都要有明确的依据和
理由
解题技巧：总结解题技巧，如使用公式、定理、图形等
工具进行解题
综合题目解析
题目类型：微分中值定理的
综合题目
题目来源：教材、习题集、
03
微分中值定理的基本概念和性质
导数的定义和性质
导数的定义：函数在某一点的切线斜率
导数的计算方法：极限法、导数公式、导数表

第六章微分中值定理及其应用

, .
由此可得
.
例2 设轴为镜面,光线由点处入射至上点R,经反射后过点Q(图6-2).试用光线沿最省时间的路径传播原理,验证光线反射规律:入射角等反射角.
图6-2
解设光线由点P出发在平面镜上点R处反射后通过点Q,上述三点分别有坐标为,于是
,
,
光线走过总的路径为
.
因为光线是沿最省时间的路线传播,而光速是常数,所以通过求的极小值,便可确定点R的位置.为此令
由图6-2可见是入射角的余弦,而是反射角的余弦,于是有
即入射角等于反射角.
说明由于本例是要证明,而不要求具体算出点R的坐标和的最小值,因此当由极值的必要条件推出了结果后,解题过程便告结束.这与通常求极值或最大(小)值的问题稍有不同.
于是解得唯一的极值点为
.
易见时,时,即为极小值点.由于唯一的极值点为最值点,因此当力F与水平方向夹角,力F最小.
注力学中称为摩擦角.
例4 设函数
(n为正整数).
其中函数当时连续,且.试问点是否为的极值点?当它是极值点时,讨论它是何种极值点?
解 ,
不妨设,由连续函数的局部保号性,在某领域中.
证因为为方程的n重根，于是该方程有2n个实根，现要证明有n个相异的实根。
=
方程以x=0为单根，重根，因为，由罗尔定理，使得于是有两个单根；又因
其中为二次多项式，故方程还有两个n-2重根。
由此可推测当导数增高一次，相异单根增加一个，但重根各下降一次，现用归纳法证明相应结论。
. பைடு நூலகம்
不妨设,于是有
.
在上对应用达布定理,使得
,
这样就证得

微分中值公式 - 云南大学数学分析精品课程

ba
(a, b) (0,1), 有 f (b) f (a) f (a (b a))(b a).
③
若a x，b x x，b a x，则
f ( x x) f ( x) f ( x x)x,
0 1.
x [1,1]
f ( x)
1 1 x2
(
1 1 x
) 0. 2
f ( x) C ,
x [1,1]

2 , 即C

2 .
又 f (0) arcsin 0 arccos 0
arcsin x arccos x
Yunnan University
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o a
y ( x)

b
x
f (b) f ( a ) . ba
微分中值公式
§1. 中值定理注1. Rolle 定理是 Lagrange 定理当 f (a) f (b) 时的特殊情况. 注2. 几何意义：如图
k AB f (b) f (a) tan , ba
直线 AB 的方程
f (b) f (a ) y f (a) ( x a ). ba
若[a, b]上有定义的连续曲线 y f ( x)在每一点
都存在切线，则曲线上至少存在一点 ( , f ( )) ，过该
点的切线平行于直线 AB, 即两者斜率相等 .
Yunnan University
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§1. 中值定理 2. Lagrange定理（微分中值定理）
若f ( x)满足：
（ 1 ）在 [a, b]上连续 ;

积分中值定理及应用

毕业论文题目：积分中值定理及应用学号：姓名：年级：系别：数学系专业：数学与应用数学指导教师：完成日期：年月日积分中值定理及应用摘要本论文的主要内容是积分中值定理及其应用，全文分为以下几个方面：积分中值定理及推广、积分中值定理中值点ξ的渐进性、积分中值定理的应用。

首先讨论了定积分中值定理、第一积分中值定理、第二中值定理以及它们的推广，而且还给出了这些定理的详细证明过程。

其次研究了中值定理中值点ξ的渐进性，对第一积分中值定理的ξ点做了详细讨论，给出了详细清楚的证明过程。

而第二积分中值定理的渐进性问题只证明了其中的一种情形，其他证明过程只作简要说明。

最后归纳了积分中值定理的应用，给出了一些较简单的情形如估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号、比较积分大小，证明函数单调性还有阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明。

关键词：积分中值定理；推广；应用；渐进性INTEGRAL MEAN V ALUE THEOREM AND APPLICATIONAbstractThe main content of this paper is integral mean value theorem and its application ,the letter divides into the following respects :Integral mean value theorem and promotion 、Integral mean value theorem point in the progressive 、The application of integral mean value theorem .First discuss the definite integral mean value theorem 、the first integral mean value theorem 、the first second mean value theorem and their promotion ,and it gives the theorem of the detailed process of proof .Secondly the mean value theorem point in the progressive ,the first integral mean value theorem to do a detailed discussion of the points ,gives the detailed processclear evidence .And the second integral mean-value theorem proved, the only problem with one of the case ,other identification process only briefly .Finally summarizes the integral mean value theorem of applications ,to give some simple situation such as estimated integral value ,calculation of the definite integral contains limit ,sure integral symbols ,contrast integral size ,prove functional monotonicity and the theorems proof of Abel discriminant method and DiLi klein discriminant method .Key words: integral mean-value; theorem promotion ;apply;progressive目录1 前言 (3)2积分中值定理 (4)2.1定积分中值定理及推广 (4)2.1.1定积分中值定理 (4)2.1.2定积分中值定理的推广 (6)2.2积分第一中值定理及推广 (6)2.2.1积分第一中值定理 (6)2.2.2积分第一中值定理的推广 (6)2.3积分第一中值定理及推广 (9)2.3.1积分第二中值定理 (9)2.3.2积分第二中值定理的推广 (12)2.4重积分的中值定理 (12)2.4.1二重积分的中值定理 (12)2.4.2三重积分的中值定理 (13)2.5曲线积分中值定理 (14)2.5.1第一曲线积分中值定理 (14)2.5.2第二曲线积分中值定理 (14)2.6曲面积分中值定理 (16)2.6.1第一曲面积分中值定理 (16)2.6.2第二曲面积分中值定理 (16)3 积分中值定理中值点的渐进性 (18)3.1 第一积分中值定理中值点的渐进性 (18)3.2 第二积分中值定理中值点的渐进性 (22)4 积分中值定理的应用 (24)4.1 估计积分值 (2424)4.2 求含定积分的极限 (25)4.3 确定积分号 (27)4.4 比较积分大小 (27)4.5 证明中值点的存在性 (2827)4.6 证明函数的单调性 (28)4.7 证明定理 (29)结论 (32)参考文献 (33)致谢 (34)1前言随着时代的发展，数学也跟着时代步伐大迈步前进。

大学课程《高等数学》PPT课件：3-1 微分中值定理

解显然()在区间 [0,1]上连续 , ʹ = 3 2 − 6 + 1
在 (0,1) 有意义 , 即 () 在 (0,1) 可导 ,
故 ()在区间 [0,1] 上满足拉格朗日中值定理的条件．
根据拉格朗日中值定理 , 得
1 − 0 = ʹ ξ 1 − 0 = 3ξ2 − 6ξ + 1 ,
证: 在 I 上任取两点
格朗日中值公式 , 得
0
由
f (b) f (a )
f ( )
, ( a, b)
的任意性知, b a 在 I 上为常数 .
例4. 验证函数 = 3 − 3 2 + − 1在区间 [0,1]上
满足拉格朗日中值定理的条件, 并求定理中 ξ 的值．
(a) b f (a) a f (b) (b) , 由罗尔定理知至少存在一点
ba
思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数
即定理结论成立 . 证毕
拉氏
令
则
y f ( x0 x)x
(0 1)

推论: 若函数
则
在区间 I (2, 3), ξ3 ∈ 3, 4 使
ʹ ξ2 = 0, ʹ ξ3 = 0.
又因为 ʹ = 0 为三次方程 , 至多有三个实根 .
故 ʹ = 0 有三个实根 , 它们分别在 (1, 2), (2, 3), (3, 4).
例2. 设 () 在 [0, 1] 上连续 , (0, 1) 内可导 , 且
[3,4] 上连续 ; 在 1,2 , (2,3), (3,4) 内可导 , 且
1 = 2 = 3 = 4 = −2 ,
即函数 ()满足罗尔定理条件 .

教案微分中值定理

微分中值定理教案章节一：预备知识1.1 函数的极限教学目标：理解函数极限的概念，掌握极限的计算方法。

教学内容：引入函数极限的概念，探讨极限的性质和计算方法，如夹逼定理、单调有界定理等。

教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解极限的概念，利用图形和数学分析软件演示极限过程，让学生体会极限的意义。

1.2 连续函数教学目标：理解连续函数的概念，掌握连续函数的性质和判断方法。

教学内容：介绍连续函数的定义，探讨连续函数的性质，如保号性、保界性等，学习连续函数的判断方法。

教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解连续函数的概念，利用图形和数学分析软件演示连续函数的性质，让学生掌握判断连续函数的方法。

教案章节二：微分中值定理2.1 罗尔定理教学目标：理解罗尔定理的内容和意义，学会运用罗尔定理解决问题。

教学内容：介绍罗尔定理的定义，探讨罗尔定理的条件和结论，学习如何应用罗尔定理解决问题。

教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解罗尔定理的内容，利用图形和数学分析软件演示罗尔定理的应用，让学生学会运用罗尔定理解决问题。

2.2 拉格朗日中值定理教学目标：理解拉格朗日中值定理的内容和意义，学会运用拉格朗日中值定理解决问题。

教学内容：介绍拉格朗日中值定理的定义，探讨拉格朗日中值定理的条件和结论，学习如何应用拉格朗日中值定理解决问题。

教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解拉格朗日中值定理的内容，利用图形和数学分析软件演示拉格朗日中值定理的应用，让学生学会运用拉格朗日中值定理解决问题。

教案章节三：微分中值定理的应用3.1 导数的应用教学目标：理解导数的概念，掌握导数的计算方法。

教学内容：引入导数的概念，探讨导数的性质和计算方法，如求导法则、高阶导数等。

教学方法：通过具体例子和问题引导学生理解导数的概念，利用图形和数学分析软件演示导数过程，让学生体会导数的意义。

3.2 函数的单调性教学目标：理解函数单调性的概念，掌握函数单调性的判断方法。

《微分学中值定理》课件

a. 证明f(x)在区间[a,b]上连续 b. 证明f(x)在(a,b)内可导 c. 利用极限的定义证明柯西定理
结论：柯西定理是微分学中值定理的一个重要结果，对于理解微分学的基本概念和定理具有重要意义。
单击此处输入你的项正文，文字是您思想的提炼，言简意赅的阐述观点。 Nhomakorabea04
微分学中值定理的推论
推论一：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内单调
推论二：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内至多存在一个极值点
极值点的定义：函数在某点处的导数为0，且该点两侧的导数符号相反
极值点的存在性：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内至多存在一个极值点
极值点的唯一性：若函数在某区间内可导，且该区间内只有一个极值点，则该极值点为函数的最大值或最小值
极值点的应用：在微分学中，极值点是研究函数性质的重要工具，可以用于求解函数的最大值和最小值，以及判断函数的单调性等。
推论三：若函数在某区间内可导，则函数在该区间内取得极值的必要条件
必要条件：函数在某区间内可导
极值：函数在某点处的值大于或小于其附近点的值
证明：通过微分学中值定理的推论，可以证明函数在某区间内取得极值的必要条件
利用微分学中值定理解决实际问题
实例1：求解函数在某点处的导数
实例2：求解函数在某区间上的最大值和最小值
实例3：求解函数在某点处的斜率
实例4：求解函数在某点处的切线方程
06
微分学中值定理的扩展
泰勒定理与微分学中值定理的关系
泰勒定理是微分学中值定理的推广和延伸
泰勒定理将微分学中值定理中的函数值扩展到函数值和导数值
应用：在解决实际问题时，可以利用这个推论来判断函数是否取得极值，从而找到最优解

大学课程《微积分》PPT课件：微积分3章1节

柯西中值定理的应应用例11 验证柯西中值定理对函数 f (x) x3 1, g(x) x2 在区间 [1,2]上的正确性.
例12 (讲义例5) 设函数 f (x) 在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导. 试证明至少存在一点 (0,1), 使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
第三章导数的应用
第一节中值定理
内容要点：
一、罗尔定理：在闭区间[a, b]上连续；在开区间(a, b)内可导；在区间端点的函数值相等, 即 (a b), 结论：在(a, b)内至少存在一点 f (a) f (b). 使得 f ( ) 0.
注：罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不满足, 定理的结论就可能不成立. 分别举例说明之.
2 再由arcsin x, arccos x得定义知当x 1, x 1有
arcsin x arccos x
2
从而:arcsin x arccos x , x [1,1]
2
•证明当
x0
时,
x ln(1 x) x 1 x
证明：设 f (x) ln(1 x)，显然，f (x) 在[0, x]
论：在(a, b)内至少存在一点 (a b),使得 f (b) f (a) f ( )(b a)
拉格朗日中值公式反映了可导函数在上整体平均变化率与在内某点处函数的局部变化率的关系. 若从力学角度看,公式表示整体上的平均速度等于某一内点处的瞬时速度. 因此,拉格朗日中值定理是联结局部与整体的纽带.
f (a) f (b) f ( ) g(a) g(b) g( )
显然, 若取 g(x) x, 则 g(b) g(a) b a, g(x) 1,
因而柯西中值定理就变成拉格朗日中值定理(微分中值定理)了. 所以柯西中值定理又称为广义中值定理.

微分中值定理教案

微分中值定理教案一、教学目标1. 理解微分中值定理的概念和意义。

2. 掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的证明和应用。

3. 能够运用微分中值定理解决实际问题。

二、教学内容1. 罗尔定理：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，在区间(a, b)内可导，并且在区间端点处的函数值相等，即f(a) = f(b)，则在区间(a, b)内至少存在一点c，使得f'(c) = 0。

2. 拉格朗日中值定理：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，在区间(a, b)内可导，则在区间(a, b)内至少存在一点c，使得f'(c) = (f(b) f(a))/(b a)。

3. 柯西中值定理：若函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上连续，在区间(a, b)内可导，且f'(x)和g'(x)在区间(a, b)内至少有连续的一阶导数，则当f(x)和g(x)满足f(a) = f(b)和g(a) = g(b)时，有(f(b) f(a))/(g(b) g(a)) = f'(c) / g'(c)，其中c是区间(a,b)内某个点。

三、教学方法1. 采用讲授法，讲解微分中值定理的概念、证明和应用。

2. 利用示例和练习题，让学生巩固微分中值定理的理解和应用。

3. 通过小组讨论和报告，培养学生的合作和表达能力。

四、教学步骤1. 引入微分中值定理的概念，讲解罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的定义和意义。

2. 对每个定理进行详细的证明，并结合示例进行解释。

3. 布置练习题，让学生应用微分中值定理解决问题。

4. 组织小组讨论和报告，让学生深入理解和探讨微分中值定理的性质和应用。

五、教学评估1. 课堂练习题的完成情况，评估学生对微分中值定理的理解和应用能力。

2. 小组讨论和报告的表现，评估学生的合作和表达能力。

3. 课后作业和考试，评估学生对微分中值定理的掌握程度。

六、教学拓展1. 探讨微分中值定理的推广形式，如蒙日中值定理和泰勒公式。

微分中值定理教案09

课程名称课程名称高等数学高等数学年级年级专业授课教师授课教师授课时间授课时间学时授课授课题目题目微分中值定理教学教学目标目标知识目标：知识目标：掌握微分中值定理、, 培养学生联系的、辩证统一的思想；培养学生解决实际问题的能力。

生解决实际问题的能力。

技能目标：技能目标：会利用高等数学的知识解决问题素质目标：素质目标：学会用高数的思维考虑问题学会用高数的思维考虑问题教学教学重点重点微分中值定理、教学教学难点难点微分中值定理、教学教学方法方法讲授法、讨论法、案例教学法讲授法、讨论法、案例教学法教学教学准备准备教师教师:: 教案学生：预习相关知识教学过程设计教学过程设计教学内容教学内容教师活动教师活动学生活动学生活动第一节微分中值定理一、罗尔中值定理一、罗尔中值定理定理1如果函数f(x)f(x)满足下列条件：满足下列条件：满足下列条件：（1）在闭区间［）在闭区间［a a ，b ］上连续；］上连续；（2）在开区间（）在开区间（a a ，b)b)内可导；内可导；内可导；（3）在区间两端点的函数值相等，即f(a)=f(b)f(a)=f(b)。

则至少存在一点ξ∈(a (a，，b)b)，使得，使得f ′(ξ)=0)=0。

罗尔中值定理的几何意义是：若连续曲线y=f(x)的弧AB 上处处具有不垂直于x 轴的切线且两端点的纵坐标相等，则在这弧上至少能找到一点，使曲线在该点处的切线平行于x 轴（如图4-1-1所示)。

例1 设f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)，不求导数判断f ′(x)=0实根的个数，并指出所在范围。

解因为f(1)=f(2)=f(3)=0f(1)=f(2)=f(3)=0，，所以f(x)在［在［11，2］，［2，3］上满足罗尔中值定理条件，因此有f ′(x)=0(x)=0，于是在（，于是在（，于是在（11，2）内至少有一个实根，在（2，3）内至少有一个实根，又因f ′(x)为二次多项式，故f ′(x)=0只能有两个实根，分别在区间（别在区间（11，2）及（）及（22，3）内。

16章数学分析课件第6章微分中值定理及其应用67

对各种情形都是有效的.
例用牛顿切线法求方程 x3 2x2 4x 7 0
的近似解，使误差不超过0.01.
解设 f ( x) x3 2x2 4x 7, 则
前页后页返回
f ( x) 3x2 4x 4 (3x 2)( x 2), f ( x) 6x 4.易见xFra bibliotek2 3
x2 x1
f ( x1 ) f ( x1 )
,
x2 ( x1, b).
一般地 xn xn1
f ( xn1 ) , f ( xn1 )
n 1, 2,
.
易知{ xn}递增有上界 b，故
lim
n
xn
存在.
由上
式得
f ( ) , f ( )
前页后页返回
推得 f ( ) 0.
最后来估计 xn .由中值定理 f ( xn ) f ( xn ) f ( ) f ()( xn ), xn ,
前页后页返回
基本思想是
: 构造一收敛点列 {xn},
使得
lim
n
xn
恰为 f ( x) 的零点,故当 n 充分大时,xn 可以近似地
替代 .
因为 f ( x) 0， f ( x) 在 [a, b] 上连续,所以
m min f ( x) 0 x[a ,b]
下面分四种情形进行讨论 . 1 设 f ( x) 0, f ( x) 0, 故有 f (a) 0, f (b) 0.
因而
xn
f ( xn )
f ( )
f ( xn ) . m
其它三种情形可以类似进行讨论，在此仅以图来
示意.
前页后页返回
•
2 f ( x) 0, f ( x) 0,

导数及拉格朗日中值定理

五、函数的最值
我们知道，如果函数 f (x) 在闭区间 [a, b] 上连续，则必在[a, b]上有最大值和最小值。函数在闭区间上的最大值和最小值一般只能在区间内的极值点和区间的端点处取得。
例4 求 yx48x21在[-3，3]上的最大值和最小值。解: y 4 x 3 1 x 6 4 x ( x 2 )x ( 2 ) 令 f(x)0 得驻点 x1 2 ， x2 0 ，x3 2 计算得f(-2)=f(2)=-15，f(0)=1，f(-3)=f(3)=10。比较得函数在[-3，3]上的最大值为f(-3)=f(3)=10，最小值为f(-2)=f(2)=-15。
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
拉格朗日（Lagrange）中值定理
(1)
(2)
如果函数 f(x)在闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)内
(3)
可导,那么在(a, b)内至少有一点(a b)，使等式
f (b) f (a) f ' ()(b a) 成立.
注意：最值与极值的关系
在开区间上如何求最值？有这样的结论，实际问题中：可知有最小（大）值存在而函数只有一个极小（大）值则这个极小（大）就是最小（大）值。
如何求函数的极值？
如下图所示：
y y=f(x)
0
x1
x2
x3
x4
x
可见，极值与函数的单调性密切联系，极值就是函数单调区间的分界点。因而可以通过求单调区间来求极值。
我们知道，函数的驻点不一定是函数的极值点，那么在求出函数驻点之后，怎样判断它们是不是函数的极值点呢？如果是极值点又如何进一步判断是极大值点还是极小值点呢？联系前面用导数符号判定函数单调性的方法，这一问题是不难解决的。

一元函数的微积分学中值定理

一元函数的微积分学中值定理微积分学是高等数学中的一门重要课程，其中涉及到的中值定理是其基础和核心内容之一。

中值定理是一元函数微积分学中最基本的定理之一，它是微积分中的“桥梁”，也是微积分学的重要手段之一。

本文将从中值定理的基本概念、证明方法以及实际应用等方面，对中值定理进行简要探讨。

中值定理的基本概念中值定理是一元函数微积分学中的基本定理，主要运用于连续函数、可导函数的研究中，包括拉格朗日中值定理、柯西中值定理、罗尔中值定理等。

其中，最为基本的中值定理就是拉格朗日中值定理，它是一元函数微积分学中最常用的中值定理之一。

假设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可导，则存在$\xi \in (a,b)$，使得$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$。

这就是拉格朗日中值定理。

通过这个定理，我们可以证明函数在某个区间上的平均斜率与某一点的切线斜率相等，从而在对一元函数进行微积分时，可以更加准确地求解函数的极值、最大值、最小值等等问题。

中值定理的证明方法中值定理的证明方法从不同的角度有所不同，以下是拉格朗日中值定理的几种证明方法：方法一：使用罗尔定理证明。

假设$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可导，但$f(a)=f(b)$，则存在一个$\xi \in (a,b)$满足$f'(\xi)=0$。

显然，$f'(\xi)(b-a)=0$，根据拉格朗日中值定理的结论，$f(b)-f(a)=0$，那么就存在向$\xi$的切线平行于$x$轴的平面，即$f'(\xi)=0$。

方法二：使用泰勒展开式证明。

将$f(x)$在$x_0$附近做泰勒展开：$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(\eta)}{2!}(x-x_0)^2$，其中$\eta$是$x_0$和$x$之间的一个点。

高等数学上、下册3_1 中值定理

中值定理的条件，求. 解由题设知，拉格朗日中值定理
中，b 2, a 0， f (2) 8, f (0) 0, f (x) 2x 2
故由拉格朗日中值定理得
8 0 (2 2)2
则
10, 2
例 3 证明：当 x 0时，
x ln(1 x) x 1 x
导利，用满辅足助罗函尔数定理(x)的及三罗个尔条定件理，可即以可证利明用拉 (格x)朗证日明中拉值格定朗
日理中. 值定理. 证明详见主教材.
类似罗尔定理的物理意义，可以思考拉格朗日中值定理的物理背景. 如果一辆汽车从甲地开往乙作变速直线运动，其运动规律(即位置函数) s = s (t), 当这辆汽车从时刻T0运动到时刻T1时，平均速度为
可导，但 f (1) f (1) ，不满足条件（1），可知不存在
(1,1)，使 f ( ) 0.
定理的条件是充分的，即在特殊情况虽所给函数罗尔定理中三条件都不满足也可能在 (a, b) 内存在这样一
点，使 f ( ) 0.
例如函数
(x 1)2 1,0 x 3 f (x)
先看一下定理的几何意义，如把
y
（1）式改写成
f (b) f (a) f ( )
C
B
b a
A
由图 3-2 看出， f (b) f (a) 为弦 AB
ba
的斜率，而 f ( )为曲线在点 C 处的曲 O a
bx
线斜率，因此拉格朗日中值定理的几何
图3-2
意义是：
如果连续曲线 y f (x) 的弧 AB 上除了端点外处处具有不垂直与 x 轴的切线，那么这弧上至少有一点 C，使得曲线在 C 点处的切线平行于弦 AB.

泰勒中值定理

高等院校非数学类本科数学课程大学数学（一）——一元微积分学第二十一讲泰勒中值定理第四章一元函数的导数与微分本章学习要求：▪理解导数和微分的概念。

熟悉导数的几何意义以及函数的可导、可微、连续之间的关系。

▪熟悉一阶微分形式不变性。

▪熟悉导数和微分的运算法则，能熟练运用求导的基本公式、复合函数求导法、隐函数求导法、反函数求导法、参数方程求导法、取对数求导法等方法求出函数的一、二阶导数和微分。

▪了解n阶导数的概念，会求常见函数的n阶导数。

▪熟悉罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理，并能较好运用上述定理解决有关问题（函数方程求解、不等式的证明等）。

▪掌握罗必塔法则并能熟练运用它计算有关的不定式极限。

第七节泰勒中值定理第四章一元函数的导数与微分二. 带皮亚诺余项的泰勒公式三.带拉格朗日余项的泰勒公式五.泰勒公式的几何应用一.泰勒公式的产生请点击四.泰勒公式举例一.泰勒中值定理的产生：泰勒中值定理微分带皮亚诺余项的泰勒公式带拉格朗日余项的拉格朗日中值定理泰勒公式还有带其它余项的泰勒公式, )1,,2 ,1 ,0( ))(U ()( 0-=∈n k x C x f k 设, )(0)(则在该邻域内有存在x f n ))((o )(! )()(0000)(n k n k k x x x x k x f x f -+-=∑=))(()(000x x x f x f -'+=200)(!2)(x x x f -''+n n x x n x f )(! )(00)(-++ ))o((0n x x -+ . 公式阶带皮亚诺余项的泰勒该公式称为n 二.带皮亚诺余项的泰勒公式) (o ! )0()(0)(n k n k k x x k f x f +=∑=x f f )0()0('+=2 !2)0(x f ''+n n x n f !)0()(++ ) (o n x +带皮亚诺余项的马克劳林公式. 0 0时的泰勒公式就是=x带皮亚诺余项的泰勒公式的产生则内可微在设 , )( U )( 0x x f )(o )()()(00x x x f x f x f ∆+∆'=-))((o ))(()()( 0000x x x x x f x f x f -+-'+=即如果我们希望提高精度,应怎么办?))(()()( 000x x x f x f x f -'+=令))((o )(20202x x x x a -+-+?2=a 0x x x -=∆由极限知识可知, 此时应有20202000)()())(()()(lim 00x x x x a x x x f x f x f x x ----'--=→我们先假定以下运算均成立, 计算完后再看需要补充什么条件.运用罗必达法则, 得)(2)(2)()(lim 000200x x x x a x f x f x x ---'-'=→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--'-'=→200)(2)()(lim 0a x x x f x f x x , )( 0则存在如果x f ''2)(02x f a ''=则存在且内有定义在当 , )( , )( U )( 00x f x x f ''))(()()(000x x x f x f x f -'+=))((o )(2)(20200x x x x x f -+-''+该公式称为带皮亚诺余项的二阶泰勒公式.. ))((o 20称为二阶皮亚诺余项式中x x -))(()()(000x x x f x f x f -'+=))((o )(2)(20200x x x x x f -+-''+))o(()(30303x x x x a -+-?3=a 30303200000)()()(2)())(()()(lim 0x x x x a x x x f x x x f x f x f x x ----''--'--→0=运用罗必达法则计算极限.20203000)(3)(3))(()()(lim 00x x x x a x x x f x f x f x x ----''-'-'=→)(23)(23)()(lim 00300x x x x a x f x f x x -⋅⋅-⋅⋅-''-''=→⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⋅⋅''-''=→300)(23)()(lim 0a x x x f x f x x .! 3)( , )( 030x f a x f '''='''则存在若200000)(! 2)())(()()(x x x f x x x f x f x f -''+-'+=))((o )(!3)(30300x x x x x f -+-'''+该公式称为带皮亚诺余项的三阶泰勒公式.仿照以上的做法, 继续进行下去, 即可得到一般的带皮亚诺余项的n阶泰勒公式., ),,2 ,1 ,0( ))(U ()( 0n k x C x f k =∈设, )()1(存在x f n +则在该邻域内有)()(!)()(000)(x R x x k x f x f n k n k k +-=∑= )(!)1()()( 10)1(++-+=n n n x x n f x R ξ其中) , (0之间在x x ξ. 阶拉格朗日余项称为n 三.带拉格朗日余项的泰勒公式. 勒公式阶带拉格朗日余项的泰该公式称为n则通常可记 , 1)(0 )( 00<<-+=θθξx x x ))(()()(000x x x f x f x f -'+=200)(!2)(x x x f -''+n n x x n x f )(!)(00)(-++ 1000)1()(!)1())((++-+-++n n x x n x x x f θ)10(<<θ0x x ξ)( ! )0()(0)(x R x k f x f n k n k k +=∑=x f f )0()0('+=2 !2)0(x f ''+n n x n f ! )0()(++ 1)1( ! 1)() (++++n n x n x f θ带拉格朗日余项的马克劳林公式)10(<<θ. 0 0时的泰勒公式就是=x带拉格朗日余项的泰勒公式的产生, )(U , )( U )( 00x x x x f ∈∀则内可微在设满足拉格朗日中值上或在 )( ] ,[ ] ,[ 00x f x x x x 定理条件))(()()(00x x f x f x f -'+=ξ. 0))(( , 00→-'→x x f x x ξ时则记 , ))(()( 00x x f x R -'=ξ)()()(00x R x f x f +=称为零阶带拉格朗日余项的泰勒公式.设带拉格朗日余项的一阶泰勒公式为)())(()()(1000x R x x x f x f x f +-'+=) ))o(()( ( 0)(lim 01010x x x R x x x R x x -==-→, )()()(201x x x x R ϕ-=. )( 从而是待定函数其中x ϕ)()())(()()(20000x x x x x x f x f x f ϕ-+-'+=想一想, 如何求出这里的待定函数.不妨设与带皮亚诺余项的一阶泰勒公式比较, 此时应有,)())(()()()( 20000x x x x x f x f x f x --'--=ϕ由于),)(()()()( , 000x x x f x f x f x F -'--=令如果,)()(20x x x G -=;0)( , 0)( 00==x G x F 则, 0)()()(000='-'='x f x f x F ,0)(2)(000=-='x x x G, )(, )(, )(, )( 满足柯西中值定理条件假设x G x F x G x F '')()()()()()()()()( 1100ξξϕG F x G x G x F x F x G x F x ''=--==则!2)()()()()()()(0101ξξξξξf G F x G G x F F ''=''''='-''-'=20000)(!2)())(()()( x x f x x x f x f x f -''+-'+=ξ故), (0之间在x x ξ. )(!2)()(201为一阶拉格朗日余项x x f x R -''=ξ))(()()()(000x x x f x f x f x F -'--=20)()(x x x G -=设带拉格朗日余项的二阶泰勒公式为)()(!2)())(()()(2200000x R x x x f x x x f x f x f +-''+-'+=) ))o(()( ( 0)()(lim 2022020x x x R x x x R x x -==-→, )()()(1302x x x x R ϕ-=. )( 1从而是待定函数其中x ϕ200000)(!2)())(()()(x x x f x x x f x f x f -''+-'+=不妨设与带皮亚诺余项的二阶泰勒公式比较, 此时应有)()(130x x x ϕ-+,)()(! 2)())(()()()(302000001x x x x x f x x x f x f x f x --''--'--=ϕ, 令如果,)()(301x x x G -=;0)( , 0)( 0101==x G x F 则;0)( , 0)(0101='='x G x F , 0)( ,0)(0101=''=''x G x F 满足柯西假设 )(),( ),(,)(,)(,)( 111111x G x F x G x F x G x F ''''''由于,)(!2)())(()()()(2000001x x x f x x x f x f x f x F -''--'--=,中值定理条件)()()()()()()()()( 1111011011111ξξϕG F x G x G x F x F x G x F x ''=--==则)()()()()()(1101110111ξξξξG F x G G x F F ''''='-''-'=200000)(!2)())(()()( x x x f x x x f x f x f -''+-'+=故), (0之间在x x ξ.)(!3)()(302为二阶拉格朗日余项x x f x R -'''=ξ,!3)()()()()()()(1101110111ξξξξξf G F x G G x F F '''=''''''=''-''''-''=30)(!3)(x x f -'''+ξ仿照以上的做法, 继续进行下去, 可得到一般的带拉格朗日余项的n阶泰勒公式.四. 泰勒公式举例记住泰勒公式才能较好地应用它！, )1,,2 ,1 ,0( ))(U ()( 0-=∈n k x C x f k设, )(0)(则在该邻域内有存在x fn ))((o )(! )()(0000)(nk nk k x x x x k x fx f -+-=∑=))(()(000x x x f x f -'+=200)(!2)(x x x f -''+n n x x n x f )(!)(00)(-++ ))o((0nx x -+. 公式阶带皮亚诺余项的泰勒该公式称为n 带皮亚诺余项的泰勒公式, ),,2 ,1 ,0( ))(U ()( 0n k x C x f k=∈设, )()1(存在x fn +则在该邻域内有)()(!)()(000)(x R x x k x fx f n knk k +-=∑= )(! )1()()( 10)1(++-+=n n n x x n f x R ξ其中), (0之间在x x ξ. 阶拉格朗日余项称为n 带拉格朗日余项的泰勒公式. 勒公式阶带拉格朗日余项的泰该公式称为n. )( 阶泰勒公式的带皮亚诺余项的求n e x f x=xn e x f x f x f =='=)( )( )( )( 1)0()0()0( =='=∴）（n ff f )(o !! 3! 21 32nnxx n x x x x e ++++++= 故, 1 , 得时当特别地=x )1(o !1! 31! 2111++++++=n e e 的近似计算公式!1)( 1 ++n xx n e θ估计误差解例1. sin )( 阶马克劳林公式的求n x x f =)()(2sin )( )(N n n x x f n ∈+=π)( 12 ,)1(2 , 0 )0( 1)(N m m n m n f m n ∈⎩⎨⎧-=-==∴-解例2x f f x f )0()0()('+=2 ! 2)0(x f ''+n n xn f !)0()(++ 1)1( !1)() (++++n n xn x f θ)10(<<θ泰勒公式1 !)1(2)1( sin )(++++=n n xn n x x R ）（πθx x =sin 故! 33x -! 55x +! 77x -!)12()1(121--++--m xm m n x n n !2sinπ++ 其中,展开式的具体形式与n 的奇偶性有关.)(x R n +)10(<<θ,) 12 ( 2时或-==m n m n x x =sin ! 33x -! 55x+! 77x -!)12()1(121--++--m x m m )(2x R m +? )( 12x R m -为什么不是122 !)12(2)12( sin )(++++=m m x m m x x R ）（πθ其中,)10(<<θ处在由于 0 sin 0=x x 的偶数阶导数为零,故一般将展至偶数项, 以提高精度.x sin. cos )( 阶马克劳林公式的求n x x f =)( )(2cos )( )(N n n x x fn ∈+=π)( 2 ,)1(12 , 0 )0( )(N m mn m n f mn ∈⎩⎨⎧=--==∴解例3x f f x f )0()0()('+=2 ! 2)0(x f ''+n n xn f !)0()(++ 1)1( !1)() (++++n n xn x f θ)10(<<θ泰勒公式1 !)1(2)1( cos )(++++=n n xn n x x R ）（πθ1cos =x 故! 22x -! 44x +! 66x -!)2()1(2m xmm -++ n x n n !2cosπ++ 其中,展开式的具体形式与n 的奇偶性有关.)(x R n +)10(<<θ,) 12 ( 2时或+==m n m n 1cos =x ! 22x -! 44x +! 66x -!)2()1(2m xmm-++ )(12x R m ++? )( 2x R m 为什么不是2212 !)22(2)22( cos)(+++++=m m x m m x x R ）（πθ其中,)10(<<θ处在由于 0 cos 0=x x 的奇数阶导数为零,故一般将x cos 展至奇数项, 以提高精度.实际应用中, 计算x x cos , sin 的近似值时,均展开到2m 阶马克劳林公式, 即有!)12()1(!5!3sin 12153--+-+-≈--m xx x x x m m !)2()1(!4!21cos 242m xx x x mm-+-+-≈ )(N m ∈它们的误差估计式均为!)12(|||)(|122+≤+m x x R m m. )1ln()( 阶马克劳林公式的求n x x f +=)( )(1!)1()1()( 1)(N n x n x f nn n ∈+--=- 0)0( , ! )1()1()0( 1)(=--=∴-f n fn n )()1(32)1ln( 132x R nx x x x x n nn +-+-+-=+- 故1)(0 , )1(11)1()( , 11<<++-=++θθn n n n x n xx R 式中)1(->x 请自己算一下解例4近似上用一个三次多项式来在 ]41,0[ . , 1)(3并估计误差+=x x x f 的二阶马克劳林公式为 113+=x y 310332231)1(3! 3741 3 ! 24131)1(ξ+⋅⋅-⋅+-=+-xx x x ),0(x ∈ξ为什么只要二阶？)(2x R y x x f ⋅=)(解例5]41,0[ , 9231 323∈+-≈+x x x x x x 故误差为)1(3! 3741 31033x x⋅+⋅⋅-ξ331000068.04413 ! 374)(-<<⋅⋅≤?|)(|2<⋅x R x.) ,( , 621 32∞+-∞∈+++≥x xx x e x证明：, 0时=x 该式中等号成立., 0时≠x 由泰勒(马克劳林) 公式)(!3! 21332x R xx x e x++++=0!4)(43>=ξe x x R )0 (之间与在x ξ.621 ,32xx x e x+++>此时综上所述, 即得所证.例6证例7 . )1( 的幂的多项式为+x 表示将多项式 2531)( 32x x x x p -++=解,1 0则令-=x ,22)1( ,13)1( ,5)1(=-''-=-'=-p p p),4( 0)1( ,12)1()(≥=--=-'''k p p k 得由泰勒公式 ,32)1(!312)1(! 222)1(135)(+-+++-=x x x x p.)1(2)1(11)1(13532+-+++-=x x x 三次多项式例8解.3 ln )( 0阶泰勒公式余项的处展开为带拉格朗日在点将n x x x f ==) 331 ln(3ln )]3(3ln[ln )(-++=-+==x x x x f ,33 则由记-=x u 11ln(1)(1)() (1)k nk n k x x R x x k -=+=-+>-∑∑=-+-+=++=nk n k k u R k u u x f 11 )()1(3ln )1ln(3ln )( 得 )1()3()1()3( 31)1(3ln 1111++=-+--+-⋅-+=∑n n n k nk k k n x x k ξ) 3 (之间和介于其中x ξ 4 参看例例9解. 4 0 cos )( 0阶泰勒公式亚诺余项的处的带皮在点求函数==x x x f ,)]1(cos 1[cos )( 21及由-+==x x x f )o(81211)1(2221得u u u u +-+=+21)]1(cos 1[cos )(-+==x x x f ))1o((cos )1(cos 81)1(cos 21122-+---+=x x例10证 .|)()(|)(4 |)(|),,(: ,0)()( , ),( ]),,([)( 2a f b f a b f b a b f a f b a b a C x f --≥''∈∃='='∈ξξ使得证明且满足内可导在设 ,2 0由泰勒公式记b a x += ,)(!2)())(()()(201000x a f x a x f x f a f -''+-'+=ξ ,)(!2)())(()()(202000x b f x b x f x f b f -''+-'+=ξ.),( );,( ,0201b x x a ∈∈ξξ其中 4)()()( ,22020得由两式相减a b x b x a -=-=-,))](()([81)()(221a b f f a f b f -''-''=-ξξ ).()())()(()(8 212ξξf f a f b f a b ''-''=--即|)(| |)(| |)()(| 2121ξξξξf f f f ''+''≤''-''由},|)(| , |)(| max{2 21ξξf f ''''≤}, |)(| , |)(| max{|)(| 21则有记ξξξf f f ''''='' ).,( ))()(()(4 |)(|2b a a f b f a b f ∈--≥''ξξ例11证 ,2 0由泰勒公式记b a x += ,)(!2)())(()()(201000x a f x a x f x f a f -''+-'+=ξ ,)(! 2)())(()()(202000x b f x b x f x f b f -''+-'+=ξ 两式相加得 ,2)()(4)(22)()(212⎥⎦⎤⎢⎣⎡''+''-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+ξξf f a b b a f a f b f, ),( ]),,([)( 内二阶可导在设b a b a C x f ∈),,( 使得证明至少存在一点b a ∈ξ).(4)(22)()( 2ξf a b b a f a f b f ''-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+),()( 21则由达布中值定理得若ξξf f ''≠'' ),(4)(22)()(2ξf a b b a f a f b f ''-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+).,(),( );,( );,( ,210201b a b x x a ⊂∈∈∈ξξξξξ其中 . ),()( 2121即得所证或则取若ξξξξξξ==''=''f f达布中值定理 ),()( , ],[ )(b f a f b a x f '≠'且上处处可导在设 , )( )( μ之间的任何一个数值和则对介于b f a f ''.)( ),,( μξξ='∈f b a 使得都至少存在一点五.泰勒公式的几何应用, )( )( 00内的性状的某邻域在点函数x U x x x f = , )( 0可以借附近的性状在点或者说曲线x x x f y ==.地加以刻划助于泰勒中值定理详细, ),,2 ,1 ,0( ))(U ()( 0n k x C x f k =∈设, )()1(存在x f n +则在该邻域内有)()(! )()(000)(x R x x k x f x f n k n k k +-=∑= )(!)1()()( 10)1(++-+=n n n x x n f x R ξ其中) , (0之间在x x ξ曲线接触的概念.)( , )( )( , 00或相互接触处具有一阶接触则称它们在点处相交且有公共切线在点与如果两条光滑曲线几何上看x x x x x g y x f y ====).()( ),()( : )( )( , 00000x g x f x g x f x x x g x f '='==满足处在点与此时函数从分析上看. )( )( ,)()( ),()( )( )( , 000000处具有一阶接触在点线与曲则称曲线处满足在点与如果函数就是说x x x g y x f y x g x f x g x f x x x g x f ==='='==, ,)( )( 2得则由泰勒公式、如果函数C x g x f ∈21000!2)()()()(x f x x f x f x x f ∆''+∆'+=∆+ξ22000! 2)()()()(x g x x g x g x x g ∆''+∆'+=∆+ξ ,得两式相减21100 )]()([ !21)()(x g f x x g x x f ∆''+''=∆+-∆+ξξ . ,0011之间与位于与其中x x x ∆+ξξ 0)( )O()()( ,)()( , )( )( , 20020→∆∆=∆+-∆+∈===x x x x g x x f C x g x f x x x g y x f y 则、且处具有一阶接触在点与如果曲线就是说. )( )( ),()( ,)()( ),()( )( )( 00000000处具有二阶接触在点与曲线则称曲线处满足在点与如果函数x x x g y x f y x g x f x g x f x g x f x x x g x f ===''='''='== 0)( )O()()( ))()(( !31)()( ,)()( , )( )( 3003210030→∆∆=∆+-∆+∆'''+'''=∆+-∆+∈===x x x x g x x f x g f x x g x x f C x g x f x x x g y x f y 即有则、且处具有二阶接触在点与如果曲线ξξ一般地,.)( )(),,,2,1()()(),()()()()()(阶接触处具有在点与曲线则称曲线处满足在点与如果函数nxxxgyxfynkxgxfxgx fxxxgxfkk=======0)()O()()())()((!)1(1)()(,)()(,)()(112)1(1)1(1→∆∆=∆+-∆+∆++=∆+-∆+∈===+++++xxxxgxxfxgfnxxgxxfCxgxfnxxxgyxfynnnnn即有则、且阶接触处具有在点与如果曲线ξξ。

微分中值定理与导数的应用教案

微分中值定理与导数的应用教案一、教学目标1. 理解微分中值定理的概念及其意义。

2. 学会运用微分中值定理解决实际问题。

3. 掌握导数的基本性质和运算法则。

4. 能够运用导数研究函数的单调性、极值和最值。

5. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

二、教学内容1. 微分中值定理：洛必达法则、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。

2. 导数的运算法则：和、差、积、商的导数。

3. 导数的基本性质：单调性、极值、最值。

4. 函数的单调性：单调递增、单调递减。

5. 函数的极值：极大值、极小值。

6. 函数的最值：最大值、最小值。

三、教学重点与难点1. 微分中值定理的理解和运用。

2. 导数的运算法则的记忆和应用。

3. 函数单调性、极值和最值的研究方法。

四、教学方法1. 采用讲解、案例分析、练习相结合的方式进行教学。

2. 通过图形演示，让学生直观地理解微分中值定理的意义。

3. 引导学生运用导数研究函数的单调性、极值和最值，培养其数学思维能力。

五、教学准备1. 教学PPT：包含微分中值定理、导数的运算法则、函数的单调性、极值和最值等知识点。

2. 案例素材：选取具有代表性的实际问题，让学生运用微分中值定理和导数解决。

3. 练习题：针对本节课内容，设计相应的练习题，巩固学生所学知识。

教案内容请根据实际教学情况进行调整和补充。

六、教学步骤1. 引入新课：通过复习上节课的内容，引导学生回顾导数的基本概念和性质。

2. 讲解微分中值定理：详细讲解洛必达法则、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的定义及其应用。

3. 案例分析：选取具体案例，让学生运用微分中值定理解决问题，巩固所学知识。

4. 导数的运算法则：讲解和、差、积、商的导数，并通过例题演示其应用。

5. 函数的单调性：讲解单调递增和单调递减的定义，引导学生运用导数研究函数的单调性。

七、课堂练习1. 针对本节课的内容，设计练习题，让学生巩固微分中值定理和导数的运算法则。

2. 组织学生进行练习，并及时给予解答和指导。

微积分II课程第4章中值定理导数的应用

第四章中值定理与导数的应用§4.1中值定理教学目的：1理解罗尔定理与拉格朗日中值定理；2掌握定理的初步应用； 3了解柯西中值定理。

教学重点：罗尔定理和拉格朗日定理及初步应用。

教学难点：定理的初步应用。

教学方法：讲解法、启发式教学时数：2学时教学过程：在上一章，已经讨论了函数()f x 的导数，本章将讨论导数的应用，主要有以下三个方面， 1导数用于讨论未定式的极限，2研究函数的图象即曲线的某些性态， 3解决一些实际问题。

这些应用的理论基础是中值定理，它相当于导数与其应用之间的桥梁。

一、中值定理微分中值定理包括：罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理。

（一）罗尔定理 1 定理：若函数)(x f y =满足：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间（a,b ）内可导；（3）)()(b f a f =，即在两端点处的函数值相等；，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得0)('=ξf 。

2几何解释如图，如果连续光滑的曲线()y f x =在点A 、B 处的纵坐标相等，则在弧AB 上至少有一点(,())C f ξξ处的切线平等x 轴。

显然这些点在最高点或最低点(局部范围内)处取得, 由此启发了我们的证明思路. 3、定理的证明：函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，所以在闭区间[],a b 上一定存在最大值M 和最小值m ． ①若m M =，则[](),f x Mx a b =∈，则在(,)a b 内恒有()0f x '=，那么(,)a b 内的每一点都可取作ξ，定理成立。

②若m M ≠，则必是m M <，因()()f a f b =，所以M 和m 中至少有一个不等于()f a ，不妨设()Mf a ≠，则在(,)a b 内至少有一点ξ，使得()f M ξ=.因()f Mξ=是最大值，所以无论x∆为正或负，总有：()()0(,)f x f x a b ξξξ+∆-≤+∆∈当0x ∆>时，有()()0f x f xξξ+∆-∆≤因()f ξ'存在及极限的保号性有：()()()lim 0f x f xx f ξξξ++∆-∆∆→'=≤同理，当0x ∆<时，有()()0f x f xξξ+∆-∆≥4 说明：注 1. 罗尔定理中的三个条件是充分条件, 缺一不可.否则结论不一定成立.( 即:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.)（反例见教材p146图4-2）,如||)(x x f =在区间]1,1[-上除)0('f 外,满足罗尔定理的条件,但在区间]1,1[-上找不到一点能使0)('=x f .注2.罗尔定理中的三个条件是充分而不必要的,如 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤≤=4543cos 430sin )(πππx x x x x f此函数在其定义域内罗尔定理中的三个条件均不满足,但是却存在2πξ=和πξ=, 使0)(')2('==ππf f注3.罗尔定理是定性的结果, 它只肯定了至少存在一个ξ,而不能肯定ξ的个数, 也没有指出实际计算ξ的值的方法. 但对某些简单情形, 可从方程中解出ξ.（如p145例1）例1 不求导数，判断函数()(1)(2)(3)f x x x x =+--的导数等于零（()0f x '=）有几个实根，以及它所在范围。

第三章微分中值定理与导数的应用

第三章微分中值定理与导数的应用教学目的：1、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。

2、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。

3、会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。

4、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。

5、知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

6、知道方程近似解的二分法及切线性。

教学重点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；2、函数的极值，判断函数的单调性和求函数极值的方法；3、函数图形的凹凸性；4、洛必达法则。

教学难点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；2、极值的判断方法；3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；4、洛必达法则的灵活运用。

§3 1 微分中值定理一、教学目的与要求：1．掌握罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理的条件和结论，强调定理的条件是充分而非必要的；2．会验证中值定理的正确性，掌握用拉格朗日中值定理证明不等式的方法（关键是构造辅助函数）；3．理解三个中值定理之间的关系。

二、重点、难点：中值定理的应用三、主要外语词汇：Fermat ，Rolle ，Lagrange，Cauchy，Medium valueaxioms,Lead a reason,shut zone,open zone.四、辅助教学情况：多媒体课件第四版和第五版（修改）五、参考教材（资料）：同济大学《高等数学》第五版一、罗尔定理费马引理设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 并且在x 0处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f (x )≤f (x 0) (或f (x )≥f (x 0)),那么f '(x 0)=0.罗尔定理如果函数y =f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 且有f (a )=f (b ), 那么在(a , b )内至少在一点ξ , 使得f '(ξ)=0.简要证明: (1)如果f (x )是常函数, 则f '(x )≡0, 定理的结论显然成立.(2)如果f (x )不是常函数, 则f (x )在(a , b )内至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点ξ∈(a , b ). 于是0)()(lim )()(≥--='='-→-ξξξξξx f x f f f x , 0)()(lim )()(≤--='='+→+ξξξξξx f x f f f x , 所以f '(x )=0.罗尔定理的几何意义: 二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 那么在(a , b )内至少有一点ξ(a <ξ<b ), 使得等式f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )成立.拉格朗日中值定理的几何意义:f '(ξ)=ab a f b f --)()(, 定理的证明: 引进辅函数令 ϕ(x )=f (x )-f (a )-a b a f b f --)()((x -a ). 容易验证函数f (x )适合罗尔定理的条件: ϕ(a )=ϕ(b )=0, ϕ(x )在闭区间[a , b ] 上连续在开区间(a , b )内可导, 且ϕ '(x )=f '(x )-ab a f b f --)()(. 根据罗尔定理, 可知在开区间(a , b )内至少有一点ξ, 使ϕ '(ξ)=0, 即f '(ξ)-a b a f b f --)()(=0. 由此得 ab a f b f --)()(= f '(ξ) , 即 f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ).定理证毕.f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )叫做拉格朗日中值公式. 这个公式对于b <a 也成立.拉格朗日中值公式的其它形式:设x 为区间[a , b ]内一点, x +∆x 为这区间内的另一点(∆x >0或∆x <0), 则在[x , x +∆x ] (∆x >0)或[x +∆x , x ] (∆x <0)应用拉格朗日中值公式, 得f (x +∆x )-f (x )=f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).如果记f (x )为y , 则上式又可写为∆y =f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).试与微分d y =f '(x ) ⋅∆x 比较: d y =f '(x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的近似表达式, 而f '(x +θ∆x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的精确表达式.作为拉格朗日中值定理的应用, 我们证明如下定理:定理如果函数f (x )在区间I 上的导数恒为零, 那么f (x )在区间I 上是一个常数.证在区间I 上任取两点x 1, x 2(x 1<x 2), 应用拉格朗日中值定理, 就得f (x 2)-f (x 1)=f '(ξ)(x 2 - x 1) (x 1<ξ< x 2).由假定, f '(ξ)=0, 所以f (x 2)-f (x 1)=0, 即f (x 2)=f (x 1).因为x 1, x 2是I 上任意两点, 所以上面的等式表明: f (x )在I 上的函数值总是相等的, 这就是说, f (x )在区间I 上是一个常数.例2. 证明当x >0时, x x xx <+<+)1ln(1. 证设f (x )=ln(1+x ), 显然f (x )在区间[0, x ]上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 就有 f (x )-f (0)=f '(ξ)(x -0), 0<ξ<x 。