随机变量的期望

如果随机变量 X的取值为可数无穷个， 假设 xi pi 绝对收敛
i 1
那么就把这个收敛级数
x p 叫做随机变量 X的数学期望。
i 1 i i

E ( X ) xi pi或 xi pi
i 1 i 1
n

数学期望E(X)是一个常数,而非随机变量． 它是一种以概率为权的加权平均值,它从本质上体现了 随机变量 X 取可能值的真正的平均值，具有重要的统 计意义．
i 1 m
m
n
E(Y )
yj p j j
. 1
n
i 1 j 1

y j pij i j
1 1
m
n
二维连续型随机变量 ( X , Y )，各个随机变量的数学 期望
E ( X ) xf X ( x )dx





xf ( x , y )dxdy

5 4
例4： 已知二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为
2e ( x 2 y ) f ( x, y ) 0
求E(XY).
解：E ( XY )
0
x 0, y 0 其它
0


0
xyf ( x, y )dxdy 0
2 y



0
xy2e ( x 2 y ) dxdy


0
xf ( x, y )dxdy 0



0
x 2e ( x 2 y ) dxdy
2e
0
2 y


0
xe dxdy 2e 2 y 1dy
x

0
1
E (Y )

0


0
yf ( x, y )dxdy
2 y

0


0va 其他
设飞机机翼受到的正压 力W是V的函数： W kV 2 (k 0, 是常数），求 W的 数学期望。
解：E (W ) E ( kV )
2
a
0
1 1 31 1 2 kv dv ka ka a 3 a 3
2
推广 设随机变量Z 是随机变量X,Y 的连续函数 Ｚ=g(X,Y)，则
这里自然也要求其中的级数和积分绝对收敛．
例3
设 ( X , Y ) 的联合分布律如下 Y X -1 2 -2 -1
1 12 1 12
0
3 12
1 12
4 12
a
求E(XY)
1 1 3 4 1 2 解：a 1 12 12 12 12 12 12
1 1 3 4 ( 1) ( 1) ( 1) 0 2 ( 2) 12 12 12 12 1 2 2 ( 1) 2 0 12 12 E ( XY ) 1 ( 2)

y 2e


0
xe dxdy
x

0
y 2e 2 y 1dy
1
小结2
随机变量的函数的数学 期望
E ( g( X )) g( xi ) pi
i 1 n
X是一维离散型随机变量
E ( g( X )) g( x ) f ( x )dx


X是一维连续型随机变量
( X , Y )离散型 g( x i , yj ) pi j , E[ g( X , Y )] j 1 i 1 g( x , y) f ( x , y)dxdy, ( X , Y )连续型
解：EX


xf ( x, y )dxdy
EY




yf ( x, y )dxdy
1
0 0

y
xf ( x, y )dxdy

1
1 y
0 0
yf(x ,y ) dxdy
y

1
0 0
1

y
2 xdxdy

0 0 1

2 ydxdy
y 2 dy
0
y 2e ( x 2 y ) dxdy
2 y
0
y 2e


0
e dxdy
x

0
y 2e
1 1dy 2
例9：已知(X,Y)的联合密度函数
2 f ( x, y ) 0
0 x y 1 其他
求随机变量 X和Y的期望 EX和EY。
表示成 Y型区域： {0 y 1,0 x y}

E (Y )
f ( x , y )dy

-


-
yf ( x, y )dydx
例8： 已知二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为
2e ( x 2 y ) f ( x, y ) 0
求E(X)和E(Y).
解：E ( X )

x 0, y 0 其它
0
求X的数学期望 EX。
k k 解：EX kCn p (1 p)n k k 0 n
kC
k 1 n
n
k n
p k (1 p)n k
k
k 1 n
n! p k (1 p) nk k! ( n k )!
n! p k (1 p) nk ! ( n k )! k 1 k - 1 n n - 1! p k (1 p) nk ! ( n k )! k 1 k - 1
E (Y ) yf X ( x )dx





yf ( x, y )dxdy
作业
3.2 （期望） 3.6 （期望） 3.7（期望）
3.1.2 随机变量函数的数学期望

1.离散型随机变量函数的数学期望
已知X的分布列
X P
p1
x1
x2 p2
xn pn g( x n ) pn
求函数Y=g(X)的 Y g( X ) g( x1 ) g( x2 ) 数学期望 p1 p2 P

E ( g( X )) g( xi ) pi
i 1
n
3.1.2随机变量函数的数学期望

2.连续型随机变量函数的数学期望
已知X的密度函数 求函数Y=g(X)的数学期望
E (Y ) yfY ( y )dy
期望也叫做均值
例1.求X的分布列，并求E(X)
X P
1
2 3
1
3
0
p
1 解： p 3 2 1 1 E ( X ) -1 1 0 3 3 3 3
例2
k k X ~ B(n, p),即P ( X k ) C n p (1 p) nk ,
k 0,1,, n
k 1

k -1

3.1.1数学期望的定义
wenku.baidu.com
2. 连续型随机变量的数学期望
设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x ), 若积分



x f ( x) d x

绝对收敛 , 则 称 积 分 x f ( x ) d x 的 值 为 随 机 变量 X 的数学期望 , 记 为 E( X ) . 即 E ( X ) x f ( x ) d x.
0
3 12
1 12
4 12
a
求E(X), E(Y)
解：a 1
X P
1 1 3 4 1 2 12 12 12 12 12 12
-1
5 12
2
7 12
E ( X ) ( 1)
5 7 3 2 12 12 4
Y P
-2
5 12
-1
2 12
0
5 12
E (Y) ( 2)
1 x 0; 0 x 1; x 1
求随机变量 X的期望 E( X ).
解：EX xf ( x )dx
0

x(1 x )dx x(1 x )dx
1 0
1
0
3.1.1数学期望的定义

3. 二维随机向量的各分量数学期望（离散）
（1）二维离散型随机变量 ( X , Y ),分布列： P ( X xi , Y y j ) pij , i 1, , m; j 1, , n
n k 1 k nk n C n p ( 1 p ) 1 k 1 n
B(n 1, p)的分布列
k 1 k -1 nk C p ( 1 p ) 1 n1 k 1 n
k 1 k -1 nk np C n p ( 1 p ) 1
n
np
k 1
例3

例5：计算均匀分布的数学期望和方差
X ~ U (a , b)

1 f ( x) , x (a , b) ba
b
EX xf ( x )dx

a
1 b a x dx ba 2
例6：连续随机变量 X的概率密度
1 x f ( x ) 1 x 0

例1.设随机变量 X在区间 [0, ]服从均匀分布，求 Y sinX的期望。
1 解：f X ( x) 0
x [0, ] 其它

E (Y ) E (sin X ) sin x
0
1

dx
2

例2： 设 风 速 V在(0, a )上 服 从 均 匀 分 布 ， 即 有 具密度函数： 1 f (v ) a 0
5 2 (1) 0 1 12 12
3.1.1数学期望的定义

3. 二维随机向量的各分量数学期望（连续）
（2）二维连续型随机变量 ( X , Y ),联合密度函数 f ( x, y )
E( X )


-
xf X ( x )dx
-

-


-
xf ( x , y )dydx
X ~ P ( ),即P ( X k ) e

k
k!
,
k 0,1,求X的 数 学 期 望 EX。
解：EX ke
k 0
k
k!
ke
k 1


k
k!
e
k 1


k - 1! k - 1!
k -1
k
e
k 1

e k - 1! 1
第三章 随机变量的数字特征
期望
方差 协方差
3.1 随机变量的期望
随机变量的期望的定义及计算
随机变量函数的期望 随机变量的期望的性质
2016/11/29
3.1.1数学期望的定义

1.离散型随机变量的数学期望
X P
p1
x1
x2 p2
xn pn
把 x1 p1 xn pn叫做随机变量 X的数学期望，记为 E( X ).
( X , Y )离散型 g ( xi , yj ) pi j , 联合分布律 E( Z) E[ g ( X , Y )] j 1 i 1 g ( x , y) f ( x , y)dx dy, ( X , Y )连续型
联合密度
E ( X ) xi pi . xi pij
i 1 m
m
n
i 1 j 1
p
j 1
n
ij
E(Y )
yj p j j
. 1
n

y j pij i j
1 1
m
n
例7
设 ( X , Y ) 的联合分布律如下 Y X -1 2 -2 -1
1 12 1 12
0
2 y 2 dy
0
1 3
2 3
小结1
一维离散型随机变量数 的学期望： E ( X ) x i pi
n
一维连续型随机变量的 数学期望： E ( X ) xf ( x )dx

i 1
二维离散型随机变量 ( X , Y )，各个随机变量的数学 期望
E ( X ) xi pi . x i pij

例4：已知 X服从参数为 的指数分布。即密度函 数为
e x f ( x) 0
x≥0
x<0
求EX .
解：EX xe
0

x
dx
0

0
xdex
[ xe

x
|
0
e x dx]
1
e
0
x
dx
1 1
1
g ( x ) f ( x )dx X - g( x ) f X ( x )dxy
g单 调 上 升 g单 调 下 降
g( x ) f X ( x )dx
-

E ( g( X )) g( x ) f ( x )dx


yf ( g 1 ( y ))g 1 ( y )' dy - X yf X ( g 1 ( y ))g 1 ( y )' dy -
g单 调 上 升 g单 调 下 降
令y g( x),则x g ( y)
dy x g ( y ) 1 g ( y )' dx