2013江苏高考数学试卷及答案
2013年江苏省高考数学试卷加详细解析
2013年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相印位置上．1．（5分）（2013•江苏）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为_________．2．（5分）（2013•江苏）设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为_________．3．（5分）（2013•江苏）双曲线的两条渐近线方程为_________．4．（5分）（2013•江苏）集合{﹣1，0，1}共有_________个子集．5．（5分）（2013•江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是_________．，结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为_________．7．（5分）（2013•江苏）现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为_________．8．（5分）（2013•江苏）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F ﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=_________．9．（5分）（2013•江苏）抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）．若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是_________．10．（5分）（2013•江苏）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=，若=λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为_________．11．（5分）（2013•江苏）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为_________．12．（5分）（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d 1，F到l的距离为d2，若d2=，则椭圆C的离心率为_________．13．（5分）（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为_________．14．（5分）（2013•江苏）在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n的最大正整数n 的值为_________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2013•江苏）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值．16．（14分）（2013•江苏）如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA．17．（14分）（2013•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．18．（16分）（2013•江苏）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19．（16分）（2013•江苏）设{a n}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），S n是其前n项和．记，n∈N*，其中c为实数．（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：（k，n∈N*）；（2）若{b n}是等差数列，证明：c=0．20．（16分）（2013•江苏）设函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=e x﹣ax，其中a为实数．（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．数学Ⅱ(附加题)21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4 - 1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，AB 和BC 分别与圆O相切于点D 、C ，AC 经过圆心O ，且BC=2OC 。
2013年江苏省高考数学试卷及答案
2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）数学试卷及参考答案2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。
请把答案填写在答题卡相印位置上。
1．函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 ．2．设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ．3．双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ． 4．集合}1,0,1{-共有 个子集．5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ． 6．抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：运动员 第一次第二次 第三次 第四次 第五次 甲 87 91 90 89 93 乙8990918892则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ． 7．现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取，则n m ，都取到奇数的概率为 ．8．如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ．9．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界)。
若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ．yx Oy ＝2x —1y ＝—12 xABC1ADE F1B1C2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）数学试卷及参考答案y x lB FOcb a 10．设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=， 若AC AB DE 21λλ+=（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 ．11．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。
当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)( 的解集用区间表示为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 ．13．在平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数xy 1=（0>x ）图象上一动点， 若点A P ，之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 ． 14．在正项等比数列}{n a 中，215=a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a 2121>+++的 最大正整数n 的值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分） 已知)sin ,(cos )sin ,(cos ββαα=b a ，＝，παβ<<<0．（1）若2||=-b a ，求证：b a ⊥；xyy ＝xy ＝x 2—4 xP (5,5)Q (﹣5, ﹣5)2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）数学试卷及参考答案（2）设)1,0(=c ，若c b a =+，求βα,的值．16．（本小题满分14分）如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ，BC AB ⊥，AB AS =，过A 作SB AF ⊥，垂足为F ，点G E ，分别是棱SC SA ，的中点．求证： （1）平面//EFG 平面ABC ；（2）SA BC ⊥．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l ． 设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线， 求切线的方程；（2）若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐 标a 的取值范围．A B CSG F E xy A lO2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）数学试卷及参考答案18．（本小题满分16分）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径。
2013年普通高等学校招生统一考试数学试题、参考答案(江苏)
数学Ⅰ试题参考公式:样本数据x 1,x 2, ,x n 的方差s 2=1n ∑n i =1x i -x ()-2,其中x -=1n ∑n i =1x i .棱锥的体积公式:V =13Sh ,其中S 是锥体的底面积,h 为高.棱柱的体积公式:V =Sh ,其中S 是柱体的底面积,h 为高.(第5题)一㊁填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答㊃题卡相应位置上∙∙∙∙∙∙∙.1.函数y =3sin(2x +π4)的最小正周期为 ▲ .2.设z =(2-i)2(i 为虚数单位),则复数z 的模为 ▲ .3.双曲线x 216-y 29=1的两条渐近线的方程为 ▲ .4.集合{-1,0,1}共有 ▲ 个子集.5.右图是一个算法的流程图,则输出的n 的值是 ▲ .6.抽样统计甲㊁乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下:运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ .7.现有某类病毒记作X m Y n ,其中正整数m ,n (m ≤7,n ≤9)可以任意选取,则m ,n 都取到奇数的概率为 ▲ . (第8题)8.如图,在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中,D ,E ,F 分别是AB ,AC ,AA 1的中点.设三棱锥F -ADE 的体积为V 1,三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的体积为V 2,则V 1∶V 2= ▲ .9.抛物线y =x 2在x =1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D (包含三角形内部与边界).若点P (x ,y )是区域D 内的任意一点,则x +2y 的取值范围是 ▲ .10.设D ,E 分别是ΔABC 的边AB ,BC 上的点,AD =12AB ,BE =23BC.若→DE =λ1→AB +λ2→AC (λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为 ▲ .11.已知f (x )是定义在R 上的奇函数.当x >0时,f (x )=x 2-4x ,则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为 ▲ .12.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B.设原点到直线BF 的距离为d 1,F 到l 的距离为d 2.若d 2=6d 1,则椭圆C 的离心率为 ▲ .13.在平面直角坐标系xOy 中,设定点A (a ,a ),P 是函数y =1x (x >0)图象上一动点.若点P ,A 之间的最短距离为22,则满足条件的实数a 的所有值为 ▲ .14.在正项等比数列{a n }中,a 5=12,a 6+a 7=3.则满足a 1+a 2+ +a n >a 1a 2 a n 的最大正整数n 的值为 ▲ .二㊁解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答㊃题卡指定区域∙∙∙∙∙∙内作答,解答时应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.15.(本小题满分14分)已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),0<β<α<π.(1)若a -b =2,求证:a ⊥b;(第16题)(2)设c =(0,1),若a +b =c ,求α,β的值.16.(本小题满分14分)如图,在三棱锥S -ABC 中,平面SAB ⊥平面SBC ,AB ⊥BC ,AS =AB.过A 作AF ⊥SB ,垂足为F ,点E ,G 分别是棱SA ,SC 的中点.求证:(1)平面EFG ∥平面ABC ;(2)BC ⊥SA.17.(本小题满分14分)(第17题)如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A (0,3),直线l :y =2x -4.设圆C 的半径为1,圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y =x -1上,过点A 作圆C 的切线,求切线的方程;(2)若圆C 上存在点M ,使MA =2MO ,求圆心C 的横坐标a 的取值范围.18.(本小题满分16分)如图,游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C.现有甲㊁乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为50m/min .在甲出发2min 后,乙从A 乘缆车到B ,在B 处停留1min (第18题)后,再从B 匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min,山路AC 长为1260m,经测量,cos A =1213,cos C =35.(1)求索道AB 的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?19.(本小题满分16分)设{a n }是首项为a ,公差为d 的等差数列(d ≠0),S n 是其前n 项的和.记b n =nS n n 2+c ,n ∈N *,其中c 为实数.(1)若c =0,且b 1,b 2,b 4成等比数列,证明:S nk =n 2S k (k ,n ∈N *);(2)若{b n }是等差数列,证明:c =0.20.(本小题满分16分)设函数f (x )=ln x -ax ,g (x )=e x -ax ,其中a 为实数.(1)若f (x )在(1,+¥)上是单调减函数,且g (x )在(1,+¥)上有最小值,求a 的取值范围;(2)若g (x )在(-1,+¥)上是单调增函数,试求f (x )的零点个数,并证明你的结论.数学Ⅰ试题参考答案一㊁填空题:本题考查基础知识㊁基本运算和基本思想方法.每小题5分,共计70分.1.π 2.5 3.y =±34x 4.8 5.3 6.2 7.2063 8.1∶24 9.[-2,12]10.12 11.(-5,0)∪(5,+¥) 12.33 13.-1,10 14.12二㊁解答题15.本小题主要考查平面向量的加法㊁减法㊁数量积㊁三角函数的基本关系式㊁诱导公式等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力.满分14分.解:(1)由题意得a -b 2=2,即(a -b )2=a 2-2a ㊃b +b 2=2.又因为a 2=b 2=a 2=b 2=1,所以2-2a ㊃b =2,即a ㊃b =0,故a ⊥b .(2)因为a +b =(cos α+cos β,sin α+sin β)=(0,1),所以cos α+cos β=0,sin α+sin β=1{,由此得,cos α=cos(π-β),由0<β<π,得0<π-β<π,又0<α<π,故α=π-β.代入sin α+sin β=1得,sin α=sin β=12,而α>β,所以α=5π6,β=π6.16.本小题主要考查直线与直线㊁直线与平面以及平面与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力.满分14分.(第16题)证明:(1)因为AS =AB ,AF ⊥SB ,垂足为F ,所以F 是SB 的中点.又因为E 是SA 的中点,所以EF ∥AB.因为EF ⊄平面ABC ,AB ⊂平面ABC ,所以EF ∥平面ABC.同理EG ∥平面ABC.又EF ∩EG =E ,所以平面EFG ∥平面ABC.(2)因为平面SAB ⊥平面SBC ,且交线为SB ,又AF ⊂平面SAB ,AF ⊥SB ,所以AF ⊥平面SBC ,因为BC ⊂平面SBC ,所以AF ⊥BC.又因为AB ⊥BC ,AF ∩AB =A ,AF ,AB ⊂平面SAB ,所以BC ⊥平面SAB.因为SA ⊂平面SAB ,所以BC ⊥SA.17.本小题主要考查直线与圆的方程,考查直线与直线㊁直线与圆㊁圆与圆的位置关系等基础知识,考查运用数形结合㊁待定系数法等数学思想方法分析解决问题的能力.满分14分.(第17题)解:(1)由题设,圆心C 是直线y =2x -4和y =x -1的交点,解得点C (3,2),于是切线的斜率必存在.设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y =kx +3,由题意,3k +1k 2+1=1,解得k =0或-34,故所求切线方程为y =3或3x +4y -12=0.(2)因为圆心在直线y =2x -4上,所以圆C 的方程为(x -a )2+[y -2(a -2)]2=1.设点M (x ,y ),因为MA =2MO ,所以x 2+(y -3)2=2x 2+y 2,化简得x 2+y 2+2y -3=0,即x 2+(y +1)2=4,所以点M 在以D (0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M (x ,y )在圆C 上,所以圆C 与圆D 有公共点,则2-1≤CD ≤2+1,即1≤a 2+(2a -3)2≤3.由5a 2-12a +8≥0,得a ∈R ;由5a 2-12a ≤0,得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围为0,12éëêêùûúú5.18.本小题主要考查正余弦定理㊁二次函数的最值以及三角函数的基本关系㊁两角和的正弦等基础知识,考查数学阅读能力和分析解决实际问题的能力.满分16分.解:(1)在△ABC 中,因为cos A =1213,cos C =35,所以(第18题)sin A =513,sin C =45.从而sin B =sin[π-(A +C )]=sin(A +C )=sin A cos C +cos A sin C =513×35+1213×45=6365.由正弦定理AB sin C =AC sin B ,得AB =AC sin B ×sin C =12606365×45=1040(m).所以索道AB 的长为1040m .(2)假设乙出发t 分钟后,甲㊁乙两游客距离为d ,此时,甲行走了(100+50t )m,乙距离A 处130t m,所以由余弦定理得d 2=(100+50t )2+(130t )2-2×130t ×(100+50t )×1213=200(37t 2-70t +50),因0≤t ≤1040130,即0≤t ≤8,故当t =3537(min)时,甲㊁乙两游客距离最短.(3)由正弦定理BC sin A =AC sin B ,得BC =AC sin B ×sin A =12606365×513=500(m).乙从B 出发时,甲已走了50×(2+8+1)=550(m),还需走710m 才能到达C.设乙步行的速度为v m /min,由题意得-3≤500v -71050≤3,解得125043≤v ≤62514,所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在125043,625éëêêùûúú14(单位:m /min)范围内.19.本小题主要考查等差㊁等比数列的定义㊁通项㊁求和等基础知识,考查分析转化能力及推理论证能力.满分16分.解:由题设,S n =na +n (n -1)2 d.(1)由c =0,得b n =S n n =a +n -12d.又因为b 1,b 2,b 4成等比数列,所以b 22=b 1b 4,即(a +d 2)2=a (a +32d ),化简得d 2-2ad =0.因为d ≠0,所以d =2a.因此,对于所有的m ∈N *,有S m =m 2a.从而对于所有的k ,n ∈N *,有S nk =(nk )2a =n 2k 2a =n 2S k .(2)设数列b {}n 的公差是d 1,则b n =b 1+(n -1)d 1,即nS n n 2+c =b 1+(n -1)d 1,n ∈N *,代入S n 的表达式,整理得,对于所有的n ∈N *,有(d 1-12d )n 3+(b 1-d 1-a +12d )n 2+cd 1n =c (d 1-b 1).令A =d 1-12d ,B =b 1-d 1-a +12d ,D =c (d 1-b 1),则对于所有的n ∈N *,有An 3+Bn 2+cd 1n =D. (*)在(*)式中分别取n =1,2,3,4,得A +B +cd 1=8A +4B +2cd 1=27A +9B +3cd 1=64A +16B +4cd 1,从而有7A +3B +cd 1=0, ①19A +5B +cd 1=0,②21A +5B +cd 1=0,{③由②,③得A =0,cd 1=-5B ,代入方程①,得B =0,从而cd 1=0.即d 1-12d =0,b 1-d 1-a +12d =0,cd 1=0.若d 1=0,则由d 1-12d =0,得d =0,与题设矛盾,所以d 1≠0.又因为cd 1=0,所以c =0.20.本小题主要考查导数的运算及利用导数研究函数的性质,考查函数㊁方程及不等式的相互转化,考查综合运用数学思想方法分析与解决问题及推理论证能力.满分16分.解:(1)令f ′(x )=1x -a =1-ax x <0,考虑到f (x )的定义域为(0,+¥),故a >0,进而解得x >a -1,即f (x )在(a -1,+¥)上是单调减函数.同理,f (x )在(0,a -1)上是单调增函数.由于f (x )在(1,+¥)上是单调减函数,故(1,+¥)⊆(a -1,+¥),从而a -1≤1,即a ≥1.令g′(x )=e x -a =0,得x =ln a.当x <ln a 时,g′(x )<0;当x >ln a 时,g′(x )>0.又g (x )在(1,+¥)上有最小值,所以ln a >1,即a >e .综上,有a ∈(e,+¥).(2)当a ≤0时,g (x )必为单调增函数;当a >0时,令g′(x )=e x -a >0,解得a <e x ,即x >ln a ,因为g (x )在(-1,+¥)上是单调增函数,类似(1)有ln a ≤-1,即0<a ≤e -1.结合上述两种情况,有a ≤e -1.(ⅰ)当a =0时,由f (1)=0以及f ′(x )=1x >0,得f (x )存在唯一的零点;(ⅱ)当a <0时,由于f e ()a =a -a e a =a (1-e a )<0,f ()1=-a >0,且函数f (x )在e a ,[]1上的图象不间断,所以f (x )在(e a ,1)上存在零点.另外,当x >0时,f ′(x )=1x -a >0,故f (x )在(0,+¥)上是单调增函数,所以f (x )只有一个零点.(ⅲ)当0<a ≤e -1时,令f ′(x )=1x -a =0,解得x =a -1.当0<x <a -1时,f ′(x )>0,当x >a -1时,f ′(x )<0,所以,x =a -1是f (x )的最大值点,且最大值为f a ()-1=-ln a -1.①当-ln a -1=0,即a =e -1时,f (x )有一个零点x =e .②当-ln a -1>0,即0<a <e -1时,f (x )有两个零点.实际上,对于0<a <e -1,由于f e ()-1=-1-a e -1<0,f a ()-1>0,且函数f (x )在[e -1,a -1]上的图象不间断,所以f (x )在(e -1,a -1)上存在零点.另外,当x ∈(0,a -1)时,f ′(x )=1x -a >0,故f (x )在(0,a -1)上是单调增函数,所以f (x )在(0,a -1)上只有一个零点.下面考虑f (x )在(a -1,+¥)上的情况.先证f (e a -1)=a (a -2-e a -1)<0.为此,我们要证明:当x >e 时,e x >x 2.设h (x )=e x -x 2,则h′(x )=e x -2x ,再设l (x )=h′(x )=e x -2x ,则l′(x )=e x -2.当x >1时,l′(x )=e x -2>e-2>0,所以l (x )=h′(x )在(1,+¥)上是单调增函数.故当x >2时,h′(x )=e x -2x >h′(2)=e 2-4>0,从而h (x )在(2,+¥)上是单调增函数,进而当x >e 时,h (x )=e x -x 2>h (e)=e e -e 2>0.即当x >e 时,e x >x 2.当0<a <e -1,即a -1>e 时,f (e a -1)=a -1-a e a -1=a (a -2-e a -1)<0,又f (a -1)>0,且函数f (x )在[a -1,e a -1]上的图象不间断,所以f (x )在(a -1,e a -1)上存在零点.又当x >a -1时,f ′(x )=1x -a <0,故f (x )在(a -1,+¥)上是单调减函数,所以f (x )在(a -1,+¥)上只有一个零点.综合(ⅰ),(ⅱ),(ⅲ),当a ≤0或a =e -1时,f (x )的零点个数为1,当0<a <e -1时,f (x )的零点个数为2.数学Ⅱ(附加题)21.【选做题】本题包括A ㊁B ㊁C ㊁D 四小题,请㊃选定其中两小题∙∙∙∙∙∙∙,并㊃在相应的答题区域内作答∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.(第21-A 题)A.[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ,C ,AC 经过圆心O ,且BC =2OC.求证:AC =2AD.B.[选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A =-10éëêùûú02,B =12éëêùûú06,求矩阵A -1B.C.[选修4-4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为x =t +1,y =2{t (t 为参数),曲线C 的参数方程为x =2tan 2θ,y =2tan {θ(θ为参数).试求直线l 和曲线C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.D.[选修4-5:不等式选讲](本小题满分10分)已知a ≥b >0,求证:2a 3-b 3≥2ab 2-a 2b.【必做题】第22题㊁第23题,每题10分,共计20分.请在答㊃题卡指定区域∙∙∙∙∙∙内作答,解答时应(第22题)写出文字说明㊁证明过程或演算步骤.22.(本小题满分10分)如图,在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中,AB ⊥AC ,AB =AC =2,A 1A =4,点D 是BC 的中点.(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值;(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值.23.(本小题满分10分)设数列{a n }:1,-2,-2,3,3,3,-4,-4,-4,-4, ,(-1)k -1k , ,(-1)k -1ìîíïïïïïïïïk k 个, ,即当(k -1)k 2<n ≤k (k +1)2(k ∈N *)时,a n =(-1)k -1k.记S n =a 1+a 2+ +a n (n ∈N *).对于l ∈N *,定义集合P l ={n S n 是a n 的整数倍,n ∈N *,且1≤n ≤l }.(1)求集合P 11中元素的个数;(2)求集合P 2000中元素的个数.数学Ⅱ(附加题)参考答案21.【选做题】A.[选修4-1:几何证明选讲]本小题主要考查圆的切线性质㊁相似三角形判定与性质,考查推理论证能力.满分10分.证明:连结OD.因为AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ,C,(第21-A 题)所以∠ADO =∠ACB =90°.又因为∠A =∠A ,所以Rt ΔADO ∽Rt ΔACB.所以BC OD =AC AD .又BC =2OC =2OD ,故AC =2AD.B.[选修4-2:矩阵与变换]本小题主要考查逆矩阵㊁矩阵的乘法,考查运算求解能力.满分10分.解:设矩阵A 的逆矩阵为a b éëêùûúc d ,则-10éëêùûúa b éëêùûúc d =10éëêùûú,即-a -b éëêùûúd =10éëêùûú,故a =-1,b =0,c =0,d =12,从而A 的逆矩阵为A -1=-100éëêêêùûúúú12,所以A -1B =-100éëêêêùûúúú1212éëêùûú06=-1-2éëêùûú03.C.[选修4-4:坐标系与参数方程]本小题主要考查参数方程与普通方程的互化以及直线与抛物线的位置关系等基础知识,考查转化问题的能力.满分10分.解:因为直线l 的参数方程为x =t +1,y =2{t (t 为参数),由x =t +1得t =x -1,代入y =2t ,得到直线l 的普通方程为2x -y -2=0.同理得到曲线C 的普通方程为y 2=2x.联立方程组y =2(x -1),y 2=2x {,解得公共点的坐标为(2,2),(12,-1).D.[选修4-5:不等式选讲]本小题主要考查利用比较法证明不等式,考查推理论证能力.满分10分.证明:2a 3-b 3-(2ab 2-a 2b )=2a (a 2-b 2)+b (a 2-b 2)=(a 2-b 2)(2a +b )=(a -b )(a +b )(2a +b ).因为a ≥b >0,所以a -b ≥0,a +b >0,2a +b >0,从而(a -b )(a +b )(2a +b )≥0,即2a 3-b 3≥2ab 2-a 2b.22.【必做题】本小题主要考查异面直线㊁二面角㊁空间向量等基础知识以及基本运算,考查运用空间向量解决问题的能力.满分10分.(第22题)解:(1)以A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ,则A (0,0,0),B (2,0,0),C (0,2,0),D (1,1,0),A 1(0,0,4),C 1(0,2,4),所以A 1→B =(2,0,-4),C 1→D =(1,-1,-4).因为cos〈A 1→B ,C 1→D 〉=A 1→B ㊃C 1→D A 1→B C 1→D =1820×18=31010,所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.(2)设平面ADC 1的法向量为n 1=(x ,y ,z ),因为→AD =(1,1,0),AC →1=(0,2,4),所以n 1㊃→AD =0,n 1㊃AC →1=0,即x +y =0且y +2z =0,取z =1,得x =2,y =-2,所以,n 1=(2,-2,1)是平面ADC 1的一个法向量.取平面AA 1B 的一个法向量为n 2=(0,1,0),设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ.由cos θ=n 1㊃n 2n 1n 2=29×1=23,得sin θ=53.因此,平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53.23.【必做题】本小题主要考查集合㊁数列的概念和运算㊁计数原理等基础知识,考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.满分10分.解:(1)由数列a {}n 的定义得a 1=1,a 2=-2,a 3=-2,a 4=3,a 5=3,a 6=3,a 7=-4,a 8=-4,a 9=-4,a 10=-4,a 11=5,所以S 1=1,S 2=-1,S 3=-3,S 4=0,S 5=3,S 6=6,S 7=2,S 8=-2,S 9=-6,S 10=-10,S 11=-5,从而S 1=a 1,S 4=0×a 4,S 5=a 5,S 6=2a 6,S 11=-a 11,所以集合P 11中元素的个数为5.(2)先证:S i (2i +1)=-i (2i +1)(i ∈N *).事实上,①当i =1时,S i (2i +1)=S 3=-3,-i (2i +1)=-3,故原等式成立;。
2013年江苏省高考数学试卷及答案(Word版)
2013 年一般高等学校招生全国一致考试（江苏卷）数学 Ⅰ 注意事项绝密 ★启用前考生在答题前请仔细阅读本注意事项及各题答题要求： 1．本试卷共4 页，均为非选择题 （第 1 题～第 20 题，共 20 题）.本卷满分为160 分.考试时间为 120分钟 .考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回 .2．答题前，请您务势必自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的署名笔填写在试卷及答题卡的规定地点 .3．请仔细查对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考据号与您自己能否符合.4．作答试题一定用 5．如需作图，须用0.5 毫米黑色墨水的署名笔在答题卡的指定地点作答，2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.在其余地点作答一律无效.一、填空题：本大题共 14 小题，每题5 分，共 70 分．请把答案直接填写在答题卡相应地点上．．．．．．．．.1.函数 y3sin(2x) 的最小正周期为 ▲.4分析： T=2=22.设 z (2 i)2 (i 为虚数单位 )，则复数 z 的模为▲.分析： Z 3 4i , Z 3224 =53.双曲线x 2y 2 的两条渐近线的方程为▲.1619 分析： y=3 x44.会合1,0,1 共有▲个子集 .开始分析： 238 （个）n1， a2n n 15.右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是▲a 20Ya 3a 2分析：经过了两次循环， n 值变成 3N输出 n结束（第 5题）6.抽样统计甲，乙两位射击运动员的 5 次训练成绩 (单位：环 )，结果以下：运动员第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次第 5 次甲87 91 90 89 93乙89 90 91 88 92则成绩较为稳固(方差较小 )的那位运动员成绩的方差为▲.解析：易知均值都是90，乙方差较小，s2 1nn21 2 2 2 2 2x x 92 9089 90 90 90 91 90 88 90 2i5i 17.现有某类病毒记作X m Y n，此中正整数m,n(m 7, n 9) 能够随意选用，则m, n 都取到奇数的概率为▲.分析：m 能够取的值有：1,2,3,4,5,6,7 共7 个n 能够取的值有：1,2,3,4,5,6,7,8,9 共 9 个因此总合有 7 9 63 种可能切合题意的 m 能够取1,3,5,7 共 4 个切合题意的 n 能够取1,3,5,7,9共 5 个因此总合有 4 5 20 种可能切合题意因此切合题意的概率为20638.如图，在三棱柱A1 B1C1 ABC 中，D , E, F分别是 AB, AC, AA1的中点，设三棱锥 F ADE 的体积为 V1，三棱柱 A1 B1C1 ABC 的体积为 V2，则 V1 :V2 ▲.分析：V1 1S ADE h1 11S ABC1h21V2 C13 34 2 24B1因此 V1 :V2 124 A1F CE BA D。
2013年高考真题——数学(江苏卷) 含答案
2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。
请把答案填写在答题卡相印位置上。
1、函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 ▲ 2、设2)2(i z -=（i 为虚数单位），则复数z 的模为 ▲3、双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ▲ 4、集合}1,0,1{-共有 ▲ 个子集5、右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为 ▲7、现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n （7≤m ，9≤n ）可以任意选取， 则n m ，都取到奇数的概率为 ▲8、如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，， 的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体 积为2V ，则=21:V V ▲9、抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D （包含 三角形内部和边界）。
若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ▲10、设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=， 若12DE AB AC λλ=+（21λλ，为实数），则21λλ+的值为 ▲11、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。
当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的A B C 1A D E F 1B 1C解集用区间表示为 ▲12、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ， 右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ， 若126d d =，则椭圆C 的离心率为 ▲13、在平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数xy 1=（0>x ）图象上一动点， 若点A P ，之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 ▲14、在正项等比数列}{n a 中，215=a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a 2121>+++的 最大正整数n 的值为 ▲二、解答题：本大题共6小题，共计90分。
2013年江苏数学高考试卷含答案和解析
2013年江苏数学高考试卷参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑。
棱锥的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 为高。
棱柱的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 为高。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应．．．．．．位置上．．．。
1、函数3sin(2)4y x π=+的最小正周期为 ▲ 。
2、设2(2)z i =- (i 为虚数单位)，则复数z 的模为 ▲ 。
3、双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为 ▲ 。
4、集合{-1，0，1}共有 ▲ 个子集。
5、右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲ 。
6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ 。
7、现有某类病毒记作为m n X Y ，其中正整数,(7,9)m n m n ≤≤可以任意选取，则,m n 都取到奇数的概率为 ▲ 。
8、如图，在三棱柱A 1B 1C 1 -ABC 中，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、A A 1的中点，设三棱锥F-ADE 的体积为1V ，三棱柱A 1B 1C 1 -ABC 的体积为2V ，则1V ：2V = ▲ 。
9、抛物线2y x =在1x =处的切线与坐标轴围成三角形区域为D(包含三角运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙8990918892形内部与边界)。
若点P(x ，y)是区域D 内的任意一点，则2x y +的取值范围是 ▲ 。
10、设D 、E 分别是△ABC 的边AB 、BC 上的点，且12,23AD AB BE BC ==。
若12DE AB AC λλ=+(1λ、2λ均为实数)，则1λ+2λ的值为 ▲ 。
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,解析版)
2013年普通高等学校招生全国统一考试 （江苏卷）数学Ⅰ注意事项绝密★启用前考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）.本卷满分为160分.考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符. 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．. 1.函数42sin(3π-=x y 的最小正周期为 ▲ .解析：2==2T ππ 2.设2)2(i z -=(i 为虚数单位)，则复数z 的模为 ▲ . 解析：34,Z i Z =-=3.双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 ▲ . 解析：3y=4x ±则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ . 解析：易知均值都是90，乙方差较小，()()()()()()()22222221118990909091908890929025ni i s x xn ==-=-+-+-+-+-=∑7.现有某类病毒记作n m Y X ，其中正整数)9,7(,≤≤n m n m 可以任意选取，则n m ,都取到奇数的概率为 ▲ . 解析：m 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7共7个 n 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7,8,9共9个所以总共有7963⨯=种可能 符合题意的m 可以取1,3,5,7共4个 符合题意的n 可以取1,3,5,7,9共5个 所以总共有4520⨯=种可能符合题意 所以符合题意的概率为20638.如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ,,分别是1,,AA AC AB 的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ▲ . 解析： 所以121:24V V =9.抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界).若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ▲ . 解析：易知切线方程为：21y x =-所以与两坐标轴围成的三角形区域三个点为()()()0,00.5,00,1A B C -易知过C 点时有最小值2-10.设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点，AB AD 21=,BC BE 32=,若AC AB DE 21λλ+=(21,λλ为实数)，则21λλ+的值为 ▲ .解析： 易知()121212232363DE AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=-+ 所以1212λλ+=11.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 ▲ . 解析：因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，所以易知0x ≤时，2()4f x x x =-- 解不等式得到x x f >)(的解集用区间表示为()()5,05,-+∞12.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ,右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d .若126d d =，则椭圆的离心率为 ▲ . 解析：由题意知2212,bc a b d d c a c c==-=所以有2b c =两边平方得到2246a b c =，即42246a a c c -= 两边同除以4a 得到2416e e -=，解得213e =，即3e =13.平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数)0(1>=x xy 图像上一动点，若点A P ,之间最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 ▲ . 解析： 由题意设()0001,,0P x x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭则有()222222200000200000111112++2=+-2+22PA x a a x a x a x a x a x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 令()001t 2x t x +=≥则()222=(t)=t 2222PA f at a t -+-≥ 对称轴t a = 1.2a ≤时，22min 2(2)2422428PA f a a a a ==-+∴-+=1a =- ， 3a =（舍去） 2.2a >时，22min 2()228PA f a a a ==-∴-=10a = ， 10a =-（舍去） 综上1a =-或10a = 14.在正项等比数列{}n a 中，215=a ，376=+a a .则满足n n a a a a a a a a ......321321>++++的最大正整数n 的值为 ▲ . 解析：又12n =时符合题意，所以n 的最大值为12二、解答题：本大题共6小题，共计90分。
13年江苏省高考数学试卷及答案(Word解析版)
【答案】1：24
【解析】三棱锥 与三棱锥 的相似比为1：2，故体积之比为1：8．
又因三棱锥 与三棱柱 的体积之比为1：3．所以，三棱锥 与三棱柱 的体积之比为1：24．
9．抛物线 在 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 (包含三角形内部和边界)．若点 是区域 内的任意一点，则 的取值范围是．
2013年普通高等学校统一考试试题（江苏卷）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相印位置上。
1．函数 的最小正周期为．
【答案】π
【解析】T＝| |＝| |＝π．
2．设 （ 为虚数单位），则复数 的模为．
【答案】5
【解析】z＝3－4i，i2＝－1，|z|＝ ＝5．
3．双曲线 的两条渐近线的方程为．
【答案】
【解析】令： ，得 ．
4．集合 共有个子集．
【答案】8
【解析】23＝8．
5．右图是一个算法的流程图，则输出的 的值是．
【答案】3
【解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4．
6．抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：
知：AB＝52k＝1040m．
（2）设乙出发x分钟后到达点M，
此时甲到达N点，如图所示．
则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，
由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcosA＝7400x2－14000x＋10000，
其中0≤x≤8，当x＝ (min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短．
运动员
第一次
第二次
2013年江苏省 高考数学试卷 (真题与答案解析)
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学(江苏卷)数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．． 1．(2013江苏，1)函数π3sin 24y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为__________． 2．(2013江苏，2)设z ＝(2－i)2(i 为虚数单位)，则复数z 的模为__________．3．(2013江苏，3)双曲线22=1169x y -的两条渐近线的方程为__________． 4．(2013江苏，4)集合{－1,0,1}共有__________个子集．5．(2013江苏，5)下图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是__________．6．(2013江苏，6)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：7．(2013江苏，7)现有某类病毒记作X m Y n ，其中正整数m ，n (m ≤7，n ≤9)可以任意选取，则m ，n 都取到奇数的概率为__________．8．(2013江苏，8)如图，在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥F －ADE 的体积为V 1，三棱柱A 1B 1C 1－ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝__________.9．(2013江苏，9)抛物线y ＝x 2在x ＝1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界)．若点P (x ，y )是区域D 内的任意一点，则x ＋2y 的取值范围是__________．10．(2013江苏，10)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，1=2AD AB ，2=3BE BC .若12DE AB AC λλ=+(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为__________．11．(2013江苏，11)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为__________．12．(2013江苏，12)在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为2222=1x y a b+(a ＞0，b ＞0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.若21d =，则椭圆C 的离心率为__________．13．(2013江苏，13)在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数1y x=(x ＞0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为a 的所有值为__________．14．(2013江苏，14)在正项等比数列{a n }中，512a =，a 6＋a 7＝3.则满足a 1＋a 2＋…＋a n ＞a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为__________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(2013江苏，15)(本小题满分14分)已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a－b|a⊥b；(2)设c＝(0,1)，若a－b＝c，求α，β的值．16．(2013江苏，16)(本小题满分14分)如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.17．(2013江苏，17)(本小题满分14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4.设圆C的半径为1，圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.18．(2013江苏，18)(本小题满分16分)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min，在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝1213，cos C＝35.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19．(2013江苏，19)(本小题满分16分)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项和．记2n n nS b n c=+，n ∈N *，其中c 为实数． (1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0.20．(2013江苏，20)(本小题满分16分)设函数f (x )＝ln x －ax ，g (x )＝e x－ax ，其中a 为实数． (1)若f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，且g (x )在(1，＋∞)上有最小值，求a 的取值范围； (2)若g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，试求f (x )的零点个数，并证明你的结论．数学Ⅱ(附加题)【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21．(2013江苏，21)A ．[选修4－1：几何证明选讲](本小题满分10分) 如图，AB 和BC 分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且BC ＝2OC .B ．[选修4－2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A ＝ 1 00 2-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ＝1 20 6⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求矩阵A －1B .C ．[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1,2x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数)，曲线C 的参数方程为22tan 2tan x y θθ⎧=⎨=⎩(θ为参数)．试求直线l 和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．D ．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)已知a ≥b ＞0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区．．．．．．域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(2013江苏，22)(本小题满分10分)如图，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值；(2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值．23．(2013江苏，23)(本小题满分10分)设数列{a n }：1，－2，－2,3,3,3，－4，－4，－4，－4，…，11(1),,(1)k k k k k ----个，…，即当1122k k k k n (-)(+)<≤(k ∈N *)时，a n ＝(－1)k －1k .记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)．对于l ∈N *，定义集合P l ＝{n |S n 是a n 的整数倍，n ∈N *，且1≤n ≤l }．(1)求集合P 11中元素的个数； (2)求集合P 2 000中元素的个数．。
2013年江苏高考数学试题和答案(含理科附加)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑。
棱锥的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 为高。
棱柱的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 为高。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应．．．．．．位置上．．．。
DE AB AC λλ=+(λ、λ11、已知()f x 是定义在R 上的奇函数。
12n n a a a a ++>的二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15、（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),0a b ααβββαπ==<<<。
（1）若||2a b -=，求证：a b ⊥；（2）设(0,1)c =，若a b c +=，求βα,的值。
16、（本小题满分14分）如图，在三棱锥S-ABC 中，平面⊥SAB 平面SBC,BC AB ⊥，AS=AB 。
过A 作SB AF ⊥，垂足为F ，点E 、G 分别为线段SA 、SC 的中点。
求证：（1）平面EFG//平面ABC ； （2）BC SA ⊥。
17、（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xoy 中，点A(0,3)，直线42:-=x y l ，设圆C 的半径为1，圆心在直线l 上。
（1）若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MA=2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围。
18、（本小题满分16分）如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径。
一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C 。
2013年江苏高考数学试题和答案(含理科附加)
2013年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）参考公式：样本数据12,,,n x x x L 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑。
棱锥的体积公式：13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 为高。
棱柱的体积公式：V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 为高。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应．．．．．．位置上．．．。
1、函数3sin(2)4y x π=+的最小正周期为 ▲ 。
2、设2(2)z i =- (i 为虚数单位)，则复数z 的模为 ▲ 。
3、双曲线221169x y -=的两条渐近线的方程为 ▲ 。
4、集合{-1，0，1}共有 ▲ 个子集。
5、右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲ 。
6、抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ 。
7、现有某类病毒记作为m n X Y ，其中正整数,(7,9)m n m n ≤≤可以任意选取，则,m n 都取到奇数的概率为 ▲ 。
8、如图，在三棱柱A 1B 1C 1 -ABC 中，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、A A 1的中点，设三棱锥F -ADE 的体积为1V ，三棱柱A 1B 1C 1 -ABC 的体积为2V ，则1V ：2V = ▲ 。
运动员 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲 87 91 90 89 93 乙8990918892二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15、（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),0a b ααβββαπ==<<<r r。
（1）若||a b -=r ra b ⊥r r ；（2）设(0,1)c =r，若a b c +=r r r ，求βα,的值。
2013年江苏省高考数学试卷答案与解析
2013年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相印位置上．1．（5分）（2013•江苏）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为π．2x+T=||=||=2．（5分）（2013•江苏）设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为5．=53．（5分）（2013•江苏）双曲线的两条渐近线方程为．的而双曲线的渐近线方程为±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：4．（5分）（2013•江苏）集合{﹣1，0，1}共有8个子集．5．（5分）（2013•江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是3．6．（5分）（2013•江苏）抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为2．7．（5分）（2013•江苏）现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为．都取到奇数的概率为故答案为8．（5分）（2013•江苏）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2= 1：24．9．（5分）（2013•江苏）抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）．若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是[﹣2，]．所以当直线）时，故答案为10．（5分）（2013•江苏）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若=λ1+λ2（λ1，λ2为实数），则λ1+λ2的值为．=，=12，===1+2，，，所以故答案为：11．（5分）（2013•江苏）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x 的解集用区间表示为（﹣5，0）∪（5，﹢∞）．12．（5分）（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d 2，若d2=，则椭圆C的离心率为．=的关系，可求得x==，则，整理得a，得（）﹣，解得=．故答案为：13．（5分）（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为﹣1或．，利用两点间的距离公式可得=，∴，解得．14．（5分）（2013•江苏）在正项等比数列{a n}中，，a6+a7=3，则满足a1+a2+…+a n＞a1a2…a n的最大正整数n的值为12．由题意可得，解之可得：===，=＞，，即，即最大为二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）（2013•江苏）已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），0＜β＜α＜π．（1）若|﹣|=，求证：⊥；（2）设=（0，1），若+=，求α，β的值．）由给出的向量的坐标，求出的坐标，由模等于由向量坐标的加法运算求出+，+列式整理得到）由==．即）由得：，得：．所以16．（14分）（2013•江苏）如图，在三棱锥S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥SA．17．（14分）（2013•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x ﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．）联立得：，=1﹣x+3=2，≤．18．（16分）（2013•江苏）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cosC=（1）求索道AB的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？cosA=cosC=，所以sinA=，，=sinAcosC+cosAsinC=由正弦定理=×=200），即t=min）由正弦定理BC=≤解得[19．（16分）（2013•江苏）设{a n}是首项为a，公差为d的等差数列（d≠0），S n是其前n项和．记b n=，n∈N*，其中c为实数．（1）若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：S nk=n2S k（k，n∈N*）；（2）若{b n}是等差数列，证明：c=0．代入中整理得到的形式，说明，成等比数列时，则，得：，，即，而20．（16分）（2013•江苏）设函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=e x﹣ax，其中a为实数．（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；（2）若g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．）上是单调减函数，转化为﹣﹣，．结合上述两种情况，有=﹣≤﹣．当时，时，x=（时，＜＜（＜（[）在（＜=）上时单调增函数，所）上只有一个零点．）在（（（＜，即）（[，）在（，＞﹣）在（，，时，时，评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10分）（2013•江苏）如图，AB和BC分别与圆O相切于点D、C，AC经过圆心O，且BC=2OC．求证：AC=2AD．，可得B．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．（10分）（2013•江苏）已知矩阵A=，B=，求矩阵A﹣1B．1=，即，C．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（为参数），曲线C的参数方程为（t为参数）．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．的参数方程为，解得，，D．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．（2013•江苏）已知a≥b＞0，求证：2a3﹣b3≥2ab2﹣a2b．第25题、第26题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．25．（10分）（2013•江苏）如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（1）求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值．}}=＞=所成角的余弦值为的法向量为的法向量为|=|，=．所成二面角的正弦值为26．（10分）（2013•江苏）设数列{a n}：1，﹣2，﹣2，3，3，3，﹣4，﹣4，﹣4，﹣4，…，，…，即当＜n≤（k∈N*）时，．记S n=a1+a2+…+a n（n∈N∗）．对于l∈N∗，定义集合P l=﹛n|S n为a n的整数倍，n∈N∗，且1≤n≤l}（1）求P11中元素个数；（2）求集合P2000中元素个数．21。
2013年全国普通高等学校招生统一考试数学(江苏卷带解析)答案解析
2013年全国普通高等学校招生统一考试（江苏卷）数学答案解析1、【答案】【解析】∵函数的周期为，∴函数的最小正周期.2、【答案】5【解析】∵，∴.3、【答案】【解析】依题意，，，∴双曲线的两条渐近线的方程为.4、【答案】8【解析】因为集合中有3个元素，其子集有个.5、【答案】3【解析】输入，，执行，后；输入，，执行，后；输出.6、【答案】2【解析】由表中数据知，乙运动员成绩稳定，平均成绩，方差.7、【答案】【解析】∵，，且、，基本事件的总数是种，、都取到奇数的事件有种，由古典概型公式，、都取到奇数的概率为. 【考点定位】考查奇数、偶数的定义，古典概型.注意古典概型与几何概型的区别.容易题.8、【答案】【解析】依题意，，三棱锥的高为三棱柱的高的. ∴.【考点定位】三棱柱与三棱锥的体积，三角形中位线定理，相似三角形的面积比等于相似比的平方.空间想象能力.中等题.9、【答案】【解析】∵，∴，，而当时，即切点为，切线方程为，即，切线与两坐标轴围成的三角形区域为如图，令，由图知，当斜率为的直线经过，取得最大值，即；当斜率为的直线经过，取得最大值，即. 故的取值范围是.【考点定位】.导数的集合意义，不等式表示的平面区域，线性规划求目标函数的取值范围. 中等题.10、【答案】【解析】依题意，，∴，∴，，故.【考点定位】平面向量的加法、减法法则.分析、计算能力.中等题.11、【答案】【解析】∵当时，，令，，∴，又是定义在上的奇函数，∴，∴，即时，. 要，则或或，解得或，∴不等式的解集用区间为.【考点定位】分段函数，函数的奇偶性，一元二次不等式的解法. 考查计算能力.中等题.12、【答案】【解析】依题意，作于，则，又，解得，而椭圆准线的方程为，，设直线与轴交于，则点到直线的距离，∵，∴，整理的，两边平方，，∴，又，解得.【考点定位】椭圆的性质、点到直线的距离公式，考查分析转化能力、计算能力.中等题.13、【答案】【解析】依题意，定点在直线上，直线与曲线的交点，，由两点间的距离公式得这两点间的距离为，∴满足条件.设，则设，∵，∴，，即，解得，而，∴.故满足条件的实数的所有值为，【考点定位】考查函数与的图象性质，两点间的距离公式，考查不等式的性质、二次函数的最值. 较难题.14、【答案】12【解析】∵正项等比数列中，，.∴，，∴，解得或（舍去），∴，∴，∴，.∴当，即，取，不成立；取，成立；…取，成立；取，成立；取，不成立；故满足的最大正整数的值为12.【考点定位】等比数列的性质，考查分析转化能力、计算能力.较难题.15、【答案】（1）见解析（2），.【解析】由题意，，即，又因为，∴，即，∴.（2），∴，由此得，由，得，又，故，代入得，而，∴，.【考点定位】本小题主要考查平面向量的加法、减法、数量积、三角函数的基本关系、有道公式等基础只晒，考查运算求解能力和推理论证能力.16、【答案】见解析【解析】[证明]（1）∵，，垂足为，∴是的中点，又因为是的中点，∴∥，∵平面，平面，∴∥平面；同理∥平面. 又，∴平面∥平面.（2）∵平面平面，且交线为，又平面，，∴平面，∵平面，∴，又因为，，、平面，∴平面，∵平面，∴.【考点定位】本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力.17、【答案】（1）或（2）【解析】（1）由题意，圆心是直线和的交点，解得点，于是切线的斜率必存在，设过的圆的切线方程为，由题意，，解得或，故所求切线方程为或.（2）∵圆心在直线上，∴圆的方程为，设，∵，∴，化简整理得，∴点在以为圆心，2为半径的圆上，由题意，在圆上，∴圆与圆有公共点，则，即，由得，由，得，所以点的横坐标的取值范围是.【考点定位】本小题主要考查直线与圆的方程，考查直线与直线、直线与圆、圆与圆的位置关系，等基础知识，考查运用数形结合、待定系数法等数学思想方法分析解决问题的能力.18、【答案】（1）m （2）（3）（单位：m/min）【解析】（1）在中，∵，，∴，，从而.由正弦定理，得，所以索道的长为1040（m）.（2）假设乙出发分钟后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了m，乙距离处m，由余弦定理得，∵，即，故当(min)时，甲、乙两游客距离最短.（3）由正弦定理，，得（m），乙从出发时，甲走了（m），还需要走（m）才能到达，设乙步行的速度为m/min，由题意，，解得，∴为使两游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在（单位：m/min）范围内.【考点定位】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、二次函数的最值以及三角函数的基本关系、两角和的正弦等基础知识，考查数学阅读能力和分析解决实际问题的能力.19、【答案】见解析【解析】[证明]（1）由题设，，由，得，又，，成等比数列，∴，即，化简得，∵，∴.因此对于所有的，从而对于所有的，.（2）设数列的公差为，则，即，，代入的表达式，整理得，对于所有的有，令，，，则对于所有的有，在上式中取，∴，从而有，由②③得，代入①得，从而，即，，，若，则由得，与题设矛盾，∴，又，∴. 【考点定位】本小题主要考查等差、等比数列的定义、通项、求和等基础知识，考查分析转化以及推理论证能力.20、【答案】（1）（2）当或时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2.【解析】（1）∵，考虑到函数的定义域为，故，进而解得，即在上是单调减函数. 同理，在上是单调增函数.由于在是单调减函数，故，从而，即. 令，得，当时，；当时，，又在上有最小值，所以，即，综上所述，.（2）当时，必是单调增函数；当时，令，解得，即，∵在上是单调函数，类似（1）有，即，综合上述两种情况，有.①当时，由以及，得存在唯一的零点；②当时，由于，，且函数在上的图象不间断，∴在是单调增函数，∴在上存在零点. 另外，当时，，则在上是单调增函数，只有一个零点.③当时，令，解得.当时，；当时，. ∴是的最大值点，且最大值为.1)当，即时，有一个零点.2)当，即时，有两个零点. 实际上，对于，由于，，且函数在上的图象不间断，∴在上存在零点.另外，当时，，故在上是单调增函数，∴在上有一个零点.下面需要考虑在上的情况，先证，为此，我们要证明：当时，，设，则，再设，则.当时，，∴在上是单调增函数，故当时，，从而在上是单调增函数，进而当时，，即当时，.当，即时，，又，且函数在的图象不间断，∴在上存在零点.又当时，，故在是单调减函数，所以，在上只有一个零点.综上所述，当或时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2.【考点定位】本小题主要考查导数的运算及用导数研究函数的性质，考查函数、方程及不等式的相互转化，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题及推理论证能力.21、【答案】见解析【解析】[证明]连结，∵和分别与圆相切于、，∴，又，∴，∴，而，∴.【考点定位】本小题主要考查圆的切线性质、相似三角形判定与性质，考查推理论证能力.22、【答案】【解析】设矩阵的逆矩阵为，则，即，∴，，，，从而，的逆矩阵为，∴.【考点定位】本小题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法，考查运算求解能力.23、【答案】.【解析】因为直线的参数方程为，（为参数），由，得代入得到直线的普通方程为.同理得曲线的普通方程为.联立方程组，解得公共点的坐标为，.【考点定位】本小题主要考查参数方程与普通方程的互化以及直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查转化问题的能力.24、【答案】见解析【解析】[证明]∵，∴，，，从而，即.【考点定位】本小题主要考查利用比较法证明不等式，考查推理论证能力.25、【答案】（1）（2）【解析】（1）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，∴，，∵，∴异面直线与所成角的余弦值为.（2）设平面的法向量为，因为，，∴，即，取，得，，∴，取平面的一个法向量为，设平面与平面所成的二面角的大小为，由，得，故平面与平面所成二面角的正弦值.【考点定位】本小题主要考查异面直线、二面角、空间向量等基础知识以及基本运算，考查运用空间向量解决问题的能力.26、【答案】（1）2 （2）1008【解析】（1）由数列的定义，得，，，，，，，，，，，∴，，，，，，，，，，∴，，，，，∴集合中元素的个数为5.（2）先证：，事实上，①当时，，，原等式成立；②当时成立，即，则时，，综合①②可得，于是，，由上式可知是的倍数，而，∴是的倍数，又不是的倍数，而，∴不是的倍数，故当时，集合中元素的个数为，于是，当时，集合中元素的个数为，又，故集合中元素的个数为.【考点定位】本小题主要考查集合、数列的概念和运算、计数原理等基础知识，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.。
2013年全国普通高等学校招生统一考试数学(江苏卷带解析)试题
2013年全国普通高等学校招生统一考试（江苏卷）数学试题1、【题文】函数的最小正周期为2、【题文】设为虚数单位），则复数的模为3、【题文】双曲线的两条渐近线的方程为4、【题文】集合共有个子集.5、【题文】下图是一个算法的流程图，则输出的的值是6、【题文】抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩（单位：环），结果如下：则成绩较稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为7、【题文】现有某病毒记作其中正整数、（）可以任意选取，则、都取到奇数的概率为8、【题文】如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点，设三棱锥体积为，三棱柱的体积为，则9、【题文】抛物线在处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为（包含三角形内部和边界）.若点是区域内任意一点，则的取值范围是10、【题文】设、分别是的边，上的点，，. 若（为实数），则的值是11、【题文】已知是定义在上的奇函数. 当时，，则不等式的解集用区间表示为12、【题文】在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为，右准线为，短轴的一个端点. 设原点到直线的距离为，点到的距离为. 若，则椭圆的离心率为13、【题文】在平面直角坐标系中，设定点，是函数图象上一动点. 若点，之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为14、【题文】在正项等比数列中，，. 则满足的最大正整数的值为15、【题文】已知，.（1）若，求证：；（2）设，若，求，的值.16、【题文】如图，在三棱锥中，平面平面，，. 过点作，垂足为，点，分别为棱，的中点.求证：（1）平面平面；（2）.17、【题文】如图，在平面直角坐标系中，点，直线，设圆的半径为1，圆心在上.（1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；（2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.18、【题文】如图，旅客从某旅游区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到，另一种从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为 m/min，在甲出发2 min后，乙从乘缆车到，在处停留1 min后，再从匀速步行到. 假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路长1260 m ，经测量，，.（1）求索道的长；（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19、【题文】设是首项为，公差为的等差数列（），是前项和. 记，，其中为实数.（1）若，且，，成等比数列，证明：；（2）若是等差数列，证明.20、【题文】设函数，，其中为实数.（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.21、【题文】、分别与圆相切于、，经过圆心，且，求证：.22、【题文】已知矩阵，，求矩阵.23、【题文】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数），曲线的参数方程为，（为参数），试求直线和曲线的普通方程，并求它们的公共点的坐标.24、【题文】已知，求证：.25、【题文】如图，在直三棱柱中，，，，点是的中点.（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.26、【题文】设数列：，即当时，记.记. 对于，定义集合是的整数倍，，且.（1）求集合中元素的个数；（2）求集合中元素的个数.。
2013年江苏省高考数学试卷加详细解析
2013年江苏省高考数学试卷
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2013年江苏省高考数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相印位置上．
1．（5分）（2013•江苏）函数y=3sin（2x+）的最小正周期为_________．
2．（5分）（2013•江苏）设z=（2﹣i）2（i为虚数单位），则复数z的模为_________．
3．（5分）（2013•江苏）双曲线的两条渐近线方程为_________．
4．（5分）（2013•江苏）集合{﹣1，0，1}共有_________个子集．
5．（5分）（2013•江苏）如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是_________．
6．（5分）（2013•江苏）抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩（单位：环），结果如下：
运动员第一次第二次第三次第四次第五次
甲87 91 90 89 93
乙89 90 91 88 92
则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为_________．
7．（5分）（2013•江苏）现在某类病毒记作X m Y n，其中正整数m，n（m≤7，n≤9）可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为_________．
8．（5分）（2013•江苏）如图，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F ﹣ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积为V2，则V1：V2=_________．
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