数学必修2第二章线面平行、面面平行的判定及性质测验

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高中数学必修二2.2 直线、平面平行的判定及其性质课堂练习及答案

si r2.2.直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定●知识梳理1简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：a αb β => a ∥αa ∥b●知能训练一．选择题1．已知m ，n 是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n2．若直线l 不平行于平面α，且l ⊄α，则（）A ．α内存在直线与l 异面B ．α内存在与l 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与l 平行D ．α内的直线与l 都相交3．如图，M 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，给出下列命题①过M 点有且只有一条直线与直线AB 、B 1C 1都相交；②过M 点有且只有一条直线与直线AB 、B 1C 1都垂直；③过M 点有且只有一个平面与直线AB 、B 1C 1都相交；④过M 点有且只有一个平面与直线AB 、B 1C 1都平行．其中真命题是（）godfo rs A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③4．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中M ，N ，Q 分别是棱D 1C 1，A 1D 1，BC 的中点．P 在对角线BD 1上，且BP ＝BD 1，给出下面四个命题：（1）MN ∥面APC ；（2）C 1Q ∥面APC ；（3）A ，P ，M 三点共线；（4）面MNQ ∥面APC ．正确的序号为（）A ．（1）（2）B ．（1）（4）C ．（2）（3）D ．（3）（4）5．在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的各个顶点与各棱中点共20个点中，任取两点连成直线，所连的直线中与A 1BC 1平行的直线共有（）A ．12条B ．18条C ．21条D ．24条6．直线a ∥平面α，P ∈α，那么过P 且平行于a 的直线（）A ．只有一条，不在平面α内B ．有无数条，不一定在平面α内C ．只有一条，且在平面α内D ．有无数条，一定在平面α内7．如果直线a ∥平面α，那么直线a 与平面α内的（）A ．一条直线不相交B ．两条直线不相交C ．无数条直线不相交D ．任意一条直线不相交8．如图在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与平面AB 1C 平行的直线是（）A ．DD 1B ．A 1D 1C ．C 1D 1D ．A 1D9．如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，点D 为AC 的中点，点D 1是A 1C 1上的一点，若BC 1∥平面AB 1D 1，则等于（）A ．1/2B ．1C ．2D ．3re o od fo rs10．下面四个正方体图形中，A 、B 为正方体的两个顶点，M 、N 、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的图形是（）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④11．如图，正方体的棱长为1，线段B′D′上有两个动点E ，F ，EF=，则下列结论中错误的是（）A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCDC ．三棱锥A-BEF 的体积为定值D ．异面直线AE ，BF 所成的角为定值的中点，AA =AB=2．an d2.2.2 平面与平面平行的判定●知识梳理1符号表示：βa βb ∩ = β∥a b p α∥a α∥b α2、判断两平面平行的方法有三种：（1）用定义；（2）判定定理；（3●知能训练一．选择题1．已知两个不重合的平面α，β，给定以下条件：①α内不共线的三点到β的距离相等；②l ，m 是α内的两条直线，且l ∥β，m ∥β；③l ，m 是两条异面直线，且l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β；其中可以判定α∥β的是（）A．①B．②C．①③D．③2．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（）A．α、β都垂直于平面rB．α内存在不共线的三点到β的距离相等C．l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β3．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面的位置关系（）A．平行B．相交C．异面D．以上都不对h i n（1）求证：平面PCD ∥平面MBE ；（2）求四棱锥M-BCDE 的体积．2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质知识梳理1简记为：线面平行则线线平行。

数学必修2第二章线面平行、面面平行的判定及性质练习测试

精心整理2.2 线面平行、面面平行的判断例题分析 :例 1. 如图， ABCD 是平行四边形， S 是平面 ABCD 外一点， M 为SC 的中点 .求证： SA ∥平面MDB.例 2. 正方形 ABCD 交正方形 ABEF 于 AB ， M 、 N 在对角线 AC 、 FB 上，且 AM FN ，求证： MN // 平面 BCE F E例 3. 已知 ABCD 是平行四边形，点 P 是平面 ABCD 外一点， M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G ，过 GN和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH ，求证： AP ∥GH 、例 4. 如图，在空间四边形 ABCD 中， P 、 Q 分别是△ ABC 和△ BCD 的重心 . 求证： PQ ∥平面 ACD.A B例 5. 如图，在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，O 为底面 ABCD 的中心，P 是 DD 1 的中点，设 Q 是 CC 1 上的点，问：当点 Q 在什么地点时，平面 D 1BQ ∥ 平面 PAO? M稳固练习： D C1. 若 l // ， A ，则以下说法正确的选项是（）A. 过 A 在平面内可作无数条直线与 l平行 B. 过 A 在平面内仅可作一条直线与 l 平行C.过 A 在平面内可作两条直线与 l平行 D.与 A 的地点相关2. 若直线 a ∥ 直线 b ，且 a ∥ 平面，则 b 与 a 的地点关系是（）A 、必定平行 B 、不平行 C 、平行或订交 D 、平行或在平面内3. 如图在四周体中，若直线 EF 和GH订交，则它们的交点必定（） . A.在直线 DB 上 B. 在直线 AB 上C.在直线CB上 D.都不对 4. 一条直线若同时平行于两个订交平面，则这条直线与这两个平面的交线()A ．异面B ．订交C ．平行D ．不确立5. 已知平面、β 和直线 m ，给出条件： ①m ∥ ； ②m ⊥ ； ③m? ； ④ ⊥β；⑤ ∥β . 为使m ∥β，应选择下边四个选项中的 ()A ．①④B． ①⑤C．②⑤D．③⑤6. 若直线 l 与平面α的一条平行线平行，则 l 和的地点关系是 ()A. lB. l //C. l或l//D. l 和订交7 若直线 a 在平面内，直线 a,b 是异面直线，则直线A ．订交 B. 平行 C. 订交或平行 D.订交且垂直 8. 若直线 l 上有两点 P 、 Q 到平面的距离相等，则直线A. 平行B. 订交C.平行或订交D.平行、订交或在平面b 和平面的地点关系是 l 与平面的地点关系是内()()9. 以下命题正确的个数是 (???)(1) 若直线 l 上有无数个点不在α内，则 l ∥精心整理(2)若直线 l 与平面α平行， l 与平面内的随意向来线平行(3)两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与这个平面平行(4)若向来线 a 和平面内向来线 b 平行，则 a∥A.0 个???????B.1 个 ??????C.2 个 ???????D.3 个10.如图，在四棱锥 P ABCD 中， ABCD 是平行四边形， M ， N 分别是AB ， PC 的中点．求证： MN // 平面 PAD ．11.如图 , S 是平行四边形 ABCD 平面外一点，M , N分别是SA, BD上的点，且AM=BN,SM ND求证： MN // 平面 SBC12.如图 A 、 B 、C分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心 . 求证：面A B C∥面ABC.13.如图，空间四边形 ABCD 的对棱 AD 、 BC 成60o的角，且 AD 面分别交 AB、 AC、CD、BD于E、F 、G、H ．A （１）求证：四边形EGFH 为平行四边形；（２） E 在 AB 的哪处时截面 EGFH 的面积最大？最大面积是多少？ASPM D C BC 2 ，平行于AD与BC的截·N· B·CCB。

(完整版)高中数学必修二2.2直线、平面平行的判定及其性质课堂练习及答案

2.2. 直线、平面平行的判断及其性质直线与平面平行的判断知识梳理1、直线与平面平行的判判定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：aαbβ=> a∥ αa∥ b知能训练一．选择题1．已知 m，n 是两条不同样直线，α，β，γ是三个不同样平面，以下命题中正确的选项是（）A ．若 m∥ α， n ∥ α，则 m∥ n B ．若α⊥ γ，β⊥ γ，则α∥ βC．若 m ∥ α， m ∥ β，则α∥ β D ．若 m ⊥ α， n⊥ α，则 m ∥ n 2．若直线l 不平行于平面α，且l?α，则（）A ．α内存在直线与 l 异面B ．α内存在与 l 平行的直线C．α内存在唯一的直线与 l 平行D ．α内的直线与 l 都相交3．如图， M 是正方体 ABCD-A 1B 1C1D 1的棱 DD 1的中点，给出以下命题①过 M 点有且只有一条直线与直线AB 、 B 1C1都订交；②过 M 点有且只有一条直线与直线AB 、 B 1C1都垂直；③过 M 点有且只有一个平面与直线AB 、 B 1C1都订交；④过 M 点有且只有一个平面与直线AB 、 B 1C1都平行．其中真命题是（）A ．② ③ ④B ．① ③ ④C ．① ② ④D ．① ② ③4．正方体 ABCD-A 1B 1C1D 1中 M ，N ，Q 分别是棱 D 1C1， A 1D 1，BC 的中点． P在对角线 BD 1上，且BP＝BD1，给出下面四个命题：（1）MN ∥面 APC；（2）C1 Q∥面 APC；（3）A ，P， M 三点共线；（4）面 MNQ ∥面 APC．正确的序号为（）A ．（ 1 ）（ 2 ）B ．（ 1 ）（ 4 ）C．（ 2）（ 3 ） D ．（ 3 ）（ 4）5．在正方体ABCD-A 1B 1C1D 1的各个极点与各棱中点共20 个点中，任取两点连成直线，所连的直线中与A 1BC 1平行的直线共有（）A ． 12 条B ． 18 条C ． 21 条D ． 24 条6．直线 a∥平面α，P∈ α，那么过 P 且平行于 a 的直线（）A ．只有一条，不在平面α内B ．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D ．有无数条，一定在平面α内7．若是直线a∥平面α，那么直线 a 与平面α内的（）A ．一条直线不相交B ．两条直线不相交C ．无数条直线不相交D ．任意一条直线不相交8．如图在正方体ABCD-A 1B 1C1D 1中，与平面AB 1C 平行的直线是（）A ．DD 1B ．A 1 D 1C ．C 1D 1 D ．A 1 D9．如图，在三棱柱 ABC-A 1B1C1中，点 D 为 AC 的中点，点 D1是 A 1C1上的一点，若 BC 1∥平面 AB 1D 1，则等于（）A ． 1/2B ． 1C． 2 D ． 310．下面四个正方体图形中， A 、B 为正方体的两个极点，M、N 、 P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面 MNP 的图形是（）A ．①②B ．①④C．②③ D ．③④11．如图，正方体的棱长为1，线段 B′ D上′有两个动点 E ，F，EF= ，则以下结论中错误的选项是（）A ． AC ⊥ BEB ． EF ∥平面 ABCDC．三棱锥 A-BEF的体积为定值D ．异面直线 AE ， BF 所成的角为定值二．填空题12．如图，在正方体ABCD-A1B 1C1D 1 中，E，F，G，H，M分别是棱AD ，DD 1，D1A 1，A 1A ，AB的中点，点 N在四边形EFGH的四边及其内部运动，则当N 只需满足条件时，就有MN ⊥ A1C1；当N 只需满足条件时，就有MN ∥平面 B 1D 1C．13．如图，正方体ABCD-A1B 1C1D 1 中，AB=2，点E 为 AD的中点，点 F 在 CD上，若EF ∥平面AB 1C，则线段EF的长度等于．三．解答题14．如图，在三棱柱 ABC-A 1B 1 C1中，侧棱 AA 1⊥底面 ABC ，AB ⊥ BC，D 为 AC的中点， AA 1=AB=2 ．（1）求证： AB 1∥平面 BC1D ；（2）若 BC=3 ，求三棱锥 D-BC 1C 的体积．平面与平面平行的判断知识梳理1、两个平面平行的判判定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

必修二立体几何线线平行、面面平行、线面垂直判定及性质练习

必修二立体几何线线平行、面面平行、线面垂直判定及性质练习本文档将介绍必修二立体几何中关于线线平行、面面平行、线面垂直的判定方法和性质，并提供相关练题。

一、线线平行的判定和性质1. 判定方法- 定理1：若两线的任意一对对应角相等，则这两条线平行。

定理1：若两线的任意一对对应角相等，则这两条线平行。

- 定理2：若一条直线与两平行线相交，则所成的对应角相等。

定理2：若一条直线与两平行线相交，则所成的对应角相等。

2. 性质- 平行线之间的距离相等。

- 平行线截取的两个平行线段成比例。

- 平行线相交的任意两对内错角相等，外错角相等。

- 平行线与一个横截线相交，所成的相应角、对应角均相等。

二、面面平行的判定1. 判定方法- 定理3：若两平面有一对平行线，则这两个平面平行。

定理3：若两平面有一对平行线，则这两个平面平行。

- 定理4：若两平面分别与一直线平行，则这两个平面平行。

定理4：若两平面分别与一直线平行，则这两个平面平行。

2. 性质- 平行面之间的距离相等。

三、线面垂直的判定1. 判定方法- 定理5：一条直线与平面垂直的充分必要条件是直线与平面内的任意一条短线都垂直。

定理5：一条直线与平面垂直的充分必要条件是直线与平面内的任意一条短线都垂直。

2. 性质- 垂直于同一平面的两条直线平行。

四、练题1. 若两线段的长度相等，能判断这两条线段平行吗？若能，请说明理由。

2. 若两平行线上的两点与另外一直线上的两点分别相连，那么这四条线段相交于一点还是两点？请说明理由。

3. 若两平面平行，能判断这两个平面之间的距离吗？请说明理由。

以上是必修二立体几何中关于线线平行、面面平行、线面垂直的判定方法和性质的介绍及练题。

通过理解和练这些内容，你将更好地掌握立体几何的基本概念和性质。

希望对你有帮助！。

高一数学人教版A版必修二：2 直线与平面平行的判定牛老师

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►Suffering is the most powerful teacher of life. 苦难是人生最伟大的老师。 ►For man is man and master of his fate. 人就是人，是自己命运的主人。 ►A man can't ride your back unless it is bent. 你的腰不弯，别人就不能骑在你的背上。
连接D1H，在△DD1H中，
∵DDOH＝23＝DDDG1，∴GO∥D1H，又GO⊄平面D1EF，D1H⊂平面D1EF， ∴GO∥平面D1EF.
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解析答案
规律与方法
1.判断或证明线面平行的常用方法 (1)定义法：证明直线与平面无公共点(不易操作). (2)判定定理法：(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α). (3)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内. 2.证明线线平行的常用方法 (1)利用三角形、梯形中位线的性质. (2)利用平行四边形的性质. (3)利用平行线分线段成比例定理.
外一点，E、FE.
证明如图，取PC的中点M，连接 ME、MF，则 FM∥CD 且 FM＝12CD. 又∵AE∥CD 且 AE＝12CD， ∴FM綊AE，即四边形AFME是平行四边形. ∴AF∥ME，
又∵AF⊄平面PCE，EM⊂平面PCE，
∴AF∥平面PCE.
a⊄α b⊂α a∥b
⇒a∥α
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题型探究
重点难点个个击破
类型一直线与平面平行的判定定理
例1 如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是( D )
A.相交
B.b∥α
C.b⊂α
D.b∥α或b⊂α
解析由a∥b，且a∥α，知b与α平行或b⊂α.

人教新课标版数学必修2第2章学业分层测评13直线与平面平行的性质

学业分层测评(十三)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列说法：①两个相交平面所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；③二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系．其中正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3【解析】根据二面角的定义知①②③都不正确．【答案】 A2．如图2-3-24，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是()图2-3-24A．平面ABCDB．平面PBCC．平面PADD．平面PBC【解析】由PA⊥平面ABCD得PA⊥CD，由四边形ABCD为矩形得CD ⊥AD，从而有CD⊥平面PAD，所以平面PCD⊥平面PAD.故选C.【答案】 C3．如果直线l，m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么必有()A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γA[A正确．B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交，D错，有可能α与β相交．故选A.]4．如图2-3-25，AB是圆的直径，PA垂直于圆所在的平面，C是圆上一点(不同于A、B)且PA＝AC，则二面角P-BC-A的大小为()图2-3-25A．60°B．30°C．45°D．15°【解析】由条件得：PA⊥BC，AC⊥BC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA为二面角P-BC-A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，∴C对．【答案】 C5．如图2-3-26，在三棱锥P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中错误的是()图2-3-26A．平面EFG∥平面PBCB．平面EFG⊥平面ABCC．∠BPC是直线EF与直线PC所成的角D．∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角【解析】A正确，∵GF∥PC，GE∥CB，GF∩GE＝G，PC∩CB＝C，∴平面EFG∥平面PBC；B正确，∵PC⊥BC，PC⊥AC，PC∥GF，∴GF⊥BC，GF⊥AC，又BC∩AC＝C，∴GF⊥平面ABC，∴平面EFG⊥平面ABC；C正确，易知EF∥BP，∴∠BPC是直线EF与直线PC所成的角；D错误，∵GE与AB不垂直，∴∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角．【答案】 D二、填空题6．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝6，那么二面角P-BC-A的大小为__________．【解析】取BC的中点O，连接OA，OP(图略)，则∠POA为二面角P-BC-A 的平面角，OP＝OA＝3，PA＝6，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°.【答案】90°7．在平面几何中，有真命题：如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补．某同学将此结论类比到立体几何中，得一结论：如果一个二面角的两个面和另一个二面角的两个面分别垂直，那么这两个二面角相等或互补．你认为这个结论________．(填“正确”或“错误”)【解析】如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABC1D1⊥平面BCC1B1，平面CDD1C1⊥平面ABCD，而二面角A-C1D1-C为45°，二面角A-BC-C1为90°.则这两个二面角既不相等又不互补．【答案】错误三、解答题8．如图2-3-27，在底面为直角梯形的四棱锥P -ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，PA ⊥平面ABCD ，AC ∩BD ＝E ，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.求证：平面PBD ⊥平面PAC .图2-3-27【证明】 ∵PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥PA .又tan ∠ABD ＝AD AB ＝33，tan ∠BAC ＝BC AB ＝3，∴∠ABD ＝30°，∠BAC ＝60°，∴∠AEB ＝90°，即BD ⊥AC .又PA ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面PAC .又BD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面PAC .9．如图2-3-28，在圆锥PO 中，AB 是⊙O 的直径，C 是上的点，D 为AC 的中点．证明：平面POD ⊥平面PAC .图2-3-28【证明】如图，连接OC ，CB ，因为OA ＝OC ，D 是AC 的中点，所以AC ⊥OD .又PO ⊥底面ABC ，AC ⊂底面ABC ，所以AC ⊥PO .因为OD ，PO 是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD.又AC⊂平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC.[能力提升]10．如图2-3-29所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD.则在三棱锥A-BCD中，下列命题正确的是()图2-3-29A．AD⊥平面BCDB．AB⊥平面BCDC．平面BCD⊥平面ABCD．平面ADC⊥平面ABC【解析】在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，所以BD⊥CD，又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD，所以CD⊥AB，又AD⊥AB，AD∩CD＝D，故AB⊥平面ADC，从而平面ABC⊥平面ADC.【答案】 D11．在边长为5的菱形ABCD中，AC＝8.现沿对角线BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值为9 25.(1)求证：平面ABD⊥平面CBD；(2)若M是AB的中点，求三棱锥A-MCD的体积．图2-3-30【解】 (1)证明：在菱形ABCD 中，记AC ，BD 的交点为O ，AD ＝5，OA ＝4，∴OD ＝3，翻折后变成三棱锥A -BCD ，在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋CD 2－2AD ·CD ·cos ∠ADC＝25＋25－2×5×5×925＝32，在△AOC 中，OA 2＋OC 2＝32＝AC 2，∴∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC ，又AO ⊥BD ，OC ∩BD ＝O ，∴AO ⊥平面BCD ，又AO ⊂平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面CBD .(2)∵M 是AB 的中点，所以A ，B 到平面MCD 的距离相等，∴V A －MCD ＝V B －MCD ＝12V A －BCD ＝16S △BCD ·AO ＝8.。

高中数学必修2立体几何常考题型：直线与平面、平面与平面平行的判定全面版

直线与平面、平面与平面平行的判断【知识梳理】1．直线与平面平行的判断表示图形文字定理直线与平面平行平面外一条直线与此平面内向来线平行，则该的判断定理直线与此平面平行2．平面与平面平行的判断表示图形文字地点一个平面内的两条平面与平面平行订交直线与另一个平面的判断定理平行，则这两个平面平行符号a?αb? α ? a∥ αa∥ b符号a? βb? βa∩b＝ P? α∥ βa∥αb∥ α【常考题型】题型一、直线与平面平行的判断【例 1】已知公共边为 AB 的两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不在同一平面内， P，Q 分别是对角线 AE， BD 上的点，且 AP＝ DQ (如图 ) ．求证： PQ∥平面 CBE.[ 证明 ]作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连结MN，如图，PM EP QN BQ则 PM∥QN，AB＝EA，CD＝BD.∵EA＝ BD，AP ＝DQ ，∴EP＝ BQ.又 AB＝ CD ，∴PM 綊 QN，∴四边形 PMNQ 是平行四边形，∴PQ∥MN .又 PQ?平面 CBE， MN? 平面 CBE，∴PQ∥平面CBE.【类题通法】利用直线和平面平行的判断定理证明线面平行的重点是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、平行公义等．【对点训练】1.如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， E，F 分别是 PB ，PC 的中点．证明： EF∥平面 PAD.证明：在△PBC 中， E， F 分别是 PB， PC 的中点，∴EF∥BC.又 BC ∥AD ，∴EF ∥AD .∵AD ? 平面 PAD， EF?平面 PAD，∴EF∥平面PAD .题型二、面面平行的判断【例 2】如图，在正方体ABCD — A1B1C1D1中， M、 E、F、N 分别是 A1B1、 B1C1、 C1D1、 D 1A1的中点．求证： (1) E、 F 、B、 D 四点共面；(2) 平面 MAN ∥平面 EFDB .[证明 ] (1)连结 B1D1，∵E、 F 分别是边B1 C1、 C1D1的中点，∴EF∥B1D 1.而 BD∥B1D 1，∴BD∥EF.∴E、 F 、 B、 D 四点共面．(2) 易知 MN ∥B1D1， B1D 1∥BD，∴MN ∥BD .又 MN?平面 EFDB ， BD? 平面 EFDB .∴MN ∥平面EFDB .连结 MF .∵M、 F 分别是 A1B1、 C1D1的中点，∴MF ∥A1D 1，MF ＝ A1D1.∴MF ∥AD ， MF ＝AD .∴四边形 ADFM 是平行四边形，∴ AM ∥DF .又 AM?平面 BDFE ， DF ? 平面 BDFE ，∴AM ∥平面BDFE .又∵AM∩MN ＝M，∴平面 MAN ∥平面EFDB .【类题通法】两个平面平行的判断定理是确立面面平行的重要方法．解答问题时必定要追求好判断定理所需要的条件，特别是订交的条件，即与已知平面平行的两条直线一定订交，才能确立面面平行．【对点训练】2.如图，已知四棱锥 P－ ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，点 M， N， Q 分别在 PA， BD ，PD 上，且 PM ∶MA＝ BN∶ ND ＝PQ∶ QD.求证：平面 MNQ ∥平面PBC.证明：∵PM ∶MA＝ BN∶ND ＝PQ∶QD ，∴MQ ∥AD ， NQ∥BP.∵BP? 平面 PBC， NQ?平面 PBC，∴NQ∥平面PBC.又底面 ABCD 为平行四边形，∴BC∥AD ，∴MQ ∥BC.∵BC? 平面 PBC， MQ?平面 PBC ，∴MQ ∥平面PBC.又 MQ ∩ NQ＝Q，依据平面与平面平行的判断定理，得平面MNQ ∥平面PBC.题型三、线线平行与面面平行的综合问题【例 3 】如图，在四棱锥O－ ABCD 中，底面ABCD 是边长为 1 的菱形， M 为 OA 的中点， N 为 BC 的中点．证明：直线MN ∥平面 OCD .[证明 ]如图，取OB中点E，连结ME，NE，则ME∥AB .又∵AB∥CD ，∴ME ∥CD .又∵ME?平面 OCD ， CD? 平面 OCD ，∴ME ∥平面OCD .又∵NE∥OC，且 NE?平面 OCD ， OC? 平面 OCD ，∴NE∥平面OCD .又∵ME∩ NE＝ E，且 ME ，NE? 平面 MNE，∴平面 MNE ∥平面OCD .∵MN ? 平面 MNE ，∴MN∥平面OCD .【类题通法】解决线线平行与面面平行的综合问题的策略(1)立体几何中常有的平行关系是线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是互相联系、互相转变的．判断判断(2) 线线平行――→ 线面平行――→ 面面平行所以平行关系的综合问题的解决一定灵巧运用三种平行关系的判断定理．【对点训练】3.如图，在正方体 ABCD － A1B1C1D 1中， S 是 B1D1的中点， E， F ，G 分别是 BC， DC ，SC 的中点．求证： (1) 直线 EG∥平面 BDD 1B1；(2) 平面 EFG ∥平面 BDD 1B1.证明： (1) 如图，连结 SB，∵E， G 分别是 BC， SC 的中点，∴EG∥SB.又∵SB? 平面 BDD 1B1， EG?平面 BDD 1B1.∴直线 EG∥平面BDD 1B1.(2) 连结 SD，∵F， G 分别是 DC， SC 的中点，∴FG ∥SD.又∵SD? 平面 BDD 1B1，FG ?平面 BDD 1B1，∴FG ∥平面BDD 1B1.又 EG∥平面BDD 1B1，且 EG? 平面 EFG ，FG ? 平面 EFG ，EG∩ FG ＝ G，∴平面 EFG ∥平面BDD 1 B1 .【练习反应】1．若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面的地点关系是 ()A ．必定平行B ．必定订交C．平行或订交D．以上判断都不对分析：选 C可借助于长方体判断两平面对应平行或订交．2．能保证直线 a 与平面α平行的条件是 ()A ． b? α， a∥ bB ．b? α， c∥ α， a∥b， a∥ cC．b? α， A、B∈ a，C、 D∈ b，且 AC∥ BDD． a?α， b? α， a∥b分析：选 D由线面平行的判断定理可知， D 正确．3．正方体ABCD － A1B1C1D1中， E 为 DD 1的中点，则 BD1与过 A，C，E 三点的平面的位置关系是 ________．分析：如右图所示，连结BD 交 AC 于点 O.在正方体中简单获得点O为 BD 的中点．又由于 E 为 DD 1的中点，所以OE∥BD 1.又∵OE? 平面 ACE，BD 1?平面 ACE，∴BD 1∥平面ACE.答案：平行4．以下命题真命题序号为________①若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；②若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行；③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行；④若一个平面内的两条订交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行．分析：①错，应为一平面内两订交直线与另一平面平行；②当两平面订交时，一面内也有无数条直线均与另一平面平行，②也不对；③中随意直线都与另一平面平行，也有两订交直线与另一平面平行，故③为真；④为两平面平行的判断定理，故④也为真．答案：③④5.如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在平面订交．EF ∥ AC，AB ＝2，EF ＝ 1.求证： AF ∥平面 BDE.证明：设 AC， BD 交于点 G，由于 EF∥AC，且 EF＝ 1，易得 AG＝12AC＝1，所以四边形AGEF 为平行四边形，所以AF∥EG.由于 AF?平面 BDE ，EG? 平面 BDE，所以 AF ∥平面BDE .你曾落的泪，最都会成阳光，照亮脚下的路。

【精品】高中数学必修2_直线、平面平行的判定讲义知识点讲解+巩固练习(含答案)_基础

直线、平面平行的判定【学习目标】1.掌握直线与平面平行的判定定理；2.掌握两平面平行的判定定理；3．能熟练应用直线与平面、平面与平面平行的判定定理解决相关问题．【要点梳理】【高清课堂：线面平行的判定与性质39945 知识讲解1】要点一、直线和平面平行的判定文字语言：直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.简记为：线线平行，则线面平行.图形语言：符号语言：a α⊄、b α⊂，//a b //a α⇒. 要点诠释：（1）用该定理判断直线a 与平面α平行时，必须具备三个条件： ①直线a 在平面α外，即a α⊄； ②直线b 在平面α内，即b α⊂； ③直线a ，b 平行，即a ∥b ．这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立．（2）定理的作用将直线和平面平行的判定转化为直线与直线平行的判定，也就是说，要证明一条直线和一个平面平行，只要在平面内找一条直线与已知直线平行即可．要点二、两平面平行的判定文字语言：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 图形语言：符号语言：若a α⊂、b α⊂，a b A =I ，且//a β、//b β，则//αβ. 要点诠释：（1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的．（2）定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行⇒面面平行．要点三、判定平面与平面平行的常用方法1．利用定义：证明两个平面没有公共点，有时直接证明非常困难，往往采用反证法． 2．利用判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行．3．平面平行的传递性：即若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行．【典型例题】类型一、直线与平面平行的判定例1．已知AB ，BC ，CD 是不在同一平面内的三条线段，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CD 的中点，求证：AC//平面EFG ， BD//平面EFG ．【解析】欲证明AC ∥平面EFG ，根据直线和平面平行的判定定理，只需证明AC 平行于平面EFG 内的一条直线，如右图可知，只需证明AC ∥EF ．证明：如右图，连接AC ，BD ，EF ，GF ，EG ．在△ABC 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴AC ∥EF ，又AC ⊄平面EFG ，EF ⊂平面EFG ，于是AC ∥平面EFG ．同理可证BD ∥平面EFG ．【总结升华】由线面平行的判定定理判定直线与平面平行的顺序是：（1）在平面内寻找直线的平行线；（2）证明这两条直线平行；（3）由判定定理得出结论．OO 1CDC 11A 1B 1例2．已知有公共边AB 的两个全等的矩形ABCD 和ABEF 不在同一个平面内，P 、Q 分别为对角线AE 、BD 上的点，且AP=DQ ，如右图．求证：PQ ∥平面CBE ．证明：作PM ∥AB 交BE 于点M ，QN ∥AB 交BC 于点N ，则PM ∥QN ． ∴PM EP AB EA =，QN BQDC BD=． ∵AP=DQ ，∴EP=BQ ．又∵AB=CD ，EA=BD ， ∴PM //QN ．∴四边形PMNQ 是平行四边形． ∴PQ ∥MN ．综上，PQ ⊄平面CBE ，MN ⊂平面CBE ，又∵PQ ∥MN ，∴PQ ∥平面CBE ．【总结升华】证线面平行，需证线线平行，寻找平行线是解决此类问题的关键．举一反三：【高清课堂：线面平行的判定与性质39945 例1】【变式1】在正方体1111ABCD A B C D -中，1O 是正方形1111A B C D 的中心，求证：1//AO 面1BC D ．证明：如图，取面ABCD 的中心O ，连1OC ．11//O C OC Q ，且11O C OC = ∴四边形11AOC O 是平行四边形11//AO OC ∴，又11OC BDC ⊂Q 平面 ∴1//AO 面1BC D【变式2】已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 、F 分别为AB 、PD 的中点，求证：AF ∥平面PEC.【解析】证明线面平行，根据判定定理，作出平行四边形，利用平行四边形的性质，证明平面外直线与平面上的直线平行.证明：设PC 的中点为G ，连接EG 、FG ．∵F 为PD 中点，∴GF ∥CD 且GF=12CD ．∵AB ∥CD ，AB=CD ，E 为AB 中点，∴GF ∥AE ，GF=AE ，四边形AEGF 为平行四边形． ∴EG ∥AF ，又∵AF ⊄平面PEC ，EG ⊂平面PEC ，∴AF ∥平面PEC ．【总结升华】要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了．注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用．【变式3】如右图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP=AB ，BP=BC=2，E ，F 分别是PB ，PC 的中点．（1）证明：EF ∥平面PAD ；（2）求三棱锥E —ABC 的体积V ．【解析】（1）在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC ．又BC ∥AD ，∴EF ∥AD ．又∵AD ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ， ∴EF ∥平面PAD ．（2）连接AE ，AC ，EC ，过E 作EG ∥PA 交AB 于点G ，如下图，则EG ⊥平面ABCD ，且12EG PA =．在△PAB 中，AP=AB ，∠PAB=90°，BP=2， ∴2AP AB ==，22EG =． ∴1122222ABC S AB BC ∆=⋅=⨯⨯=， ∴112123323E ABC ABC V S EG -∆=⋅=⨯⨯=．类型二、平面与平面平行的判定例3．如右图，已知正方体ABC D —A 1B 1C 1D 1，求证：平面AB 1D 1∥平面BDC 1．【解析】要证明两个平面平行，由面面平行的判定定理知：须在某一平面内寻找两条相交且都与另一平面平行的直线．证明：∵AB //A 1B 1，C 1D 1//A 1B 1，∴AB //C 1D 1， ∴四边形ABC 1D 1为平行四边形，∴AD 1∥BC 1．又AD 1⊂平面AB 1D 1，BC 1⊄平面AB 1D 1， ∴BC 1∥平面AB 1D 1．同理，BD ∥平面AB 1D 1，又BD ∩BC 1=B ，∴平面AB 1D 1∥平面BDC 1．【总结升华】利用面面平行的判定定理判定两个平面平行的程序是：（1）在第一个平面内找出（或作出）两条平行于第二个平面的直线；（2）说明这两条直线是相交直线；（3）由判定定理得出结论．例4．如右图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、E 、F 分别是棱A 1B 1、A 1D 1、B 1C 1、C 1D 1的中点．求证：平面AMN ∥平面EFDB ．证明：连接MF ，∵M 、F 分别是A 1B 1、C 1D 1的中点，且四边形A 1B 1C 1D 1为正方形，∴MF //A 1D 1．又A 1D 1//AD ，∴MF //AD ，∴四边形AMFD 是平行四边形，∴AM ∥DF ．∵DF ⊂平面EFDB ，AM ⊄平面EFDB ， ∴AM ∥平面EFDB ．同理，AN ∥平面EFDB ．又AM 、AN ⊂平面AMN ，且AM ∩AN=A ， ∴平面AMN ∥平面EFDB ．【总结升华】应用判定定理时，一定要注意“两条相交直线”这一关键性条件，问题最终转化为证明直线和直线的平行．举一反三：【高清课堂：空间面面平行的判定与性质399113例1】【变式1】点P 是△ABC 所在平面外一点，123,,G G G 分别是△PBC ，△APC ，△ABP 的重心，求证：面123//G G G 面ABC .证明：连32,PG PG ，并延长分别交AB ，AC 于M ，Q ，连MQ .因为32,G G 为重心，所以M ，Q 分别为所在边的中点. 又直线PM ∩PQ =P ，所以直线PM ，PQ 确定平面PMQ , 在△PMQ 中，因为32,G G 为重心，所以323221PG PG G M G Q==，所以23//G G MQ . 因为23G G ⊄面ABC ，MQ ⊂面ABC ，23//G G MQ ，所以23//G G 面ABC 同理13//G G 面ABC ，因为13G G ⊂面123G G G ，23G G ⊂面123G G G ，13233G G G G G =I ，23//G G 面ABC ，13//G G 面ABC ，所以面123//G G G 面ABC .【变式2】如右图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，点D ，E 分别是BC 与B 1C 1的中点．求证：平面A 1EB ∥平面ADC 1．证明：由棱柱的性质知，B 1C 1//BC ，又D ，E 分别为BC ，B 1C 1的中点，所以C 1E //DB ，则四边形C 1DBE 为平行四边形，因此EB ∥C 1D ，又C 1D ⊂平面ADC 1，EB ⊄平面ADC 1，所以EB ∥平面ADC 1．连接DE ，同理，EB 1//BD ，所以四边形EDBB 1为平行四边形，则ED //B 1B ．因为B 1B //A 1A （棱柱的性质），所以ED //A 1A ，则四边形EDAA 1为平行四边形，所以A 1E ∥AD ，又A 1E ⊄平面ADC 1，AD ⊂平面ADC 1，所以A 1E ∥平面ADC 1．由A 1E ∥平面ADC 1，EB ∥平面ADC 1，A 1E ⊂平面A 1EB ，EB ⊂平面A 1EB ，且A 1E ∩EB=E ，所以平面A 1EB ∥平面ADC 1．【变式3】已知在正方体''''ABCD A B C D -中，M ，N 分别是''A D ，''A B 的中点，在该正方体中作出过顶点且与平面AMN 平行的平面，并证明你的结论．【解析】与平面AMN 平行的平面有以下三种情况：下面以上图（1）为例进行证明：证明：∵四边形ABEM是平行四边形，∴BE∥AM，又BE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE．∵MN是'''MN B D，∆的中位线，∴//''A B D∵四边形''BD B D，∴MN∥BD，BDD B是平行四边形，∴//''又BD⊂平面BDE，MN⊄平面BDE，∴MN∥平面BDE．又AM、MN⊂平面AMN，且MN∩AM=M，由平面与平面平行的判定定理可得，平面AMN∥平面BDE．【巩固练习】1．下列说法中正确的是（）A ．如果一个平面内有一条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行B ．如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行C ．如果一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行D ．如果两个平面平行于同一直线，则这两个平面平行2．已知三条互相平行的直线a 、b 、c 中，a α⊂，,b c α⊂，则平面α、β的位置关系是（） A ．平行 B ．相交 C ．平行或相交 D ．重合3．已知m ，n 是两条不重合的直线，α、β是两个不重合的平面，给出下列三个命题：①////m m n n ββ⎧⇒⎨⊂⎩；②//m n n m ββ⎧⇒⎨⎩与异面与相交；③//////m n m n αα⎧⇒⎨⎩。

高中数学必修二同步练习题库：直线、平面平行的判定和性质(填空题：较难)

直线、平面平行的判定和性质（填空题：较难）1、如图所示，是三角形所在平面外一点，平面∥平面，分别交线段于′，若，则 __________．2、如图所示，在正方体中，、、、分别为棱，，，的中点，是的中点，点在四边形及内部运动，则满足__________时，有平面．3、在棱长均相等的正四棱锥中，为底面正方形的重心，分别为侧棱的中点，有下列结论：①平面；②平面平面；③；④直线与直线所成角的大小为.其中正确结论的序号是__________.（写出所有正确结论的序号）4、如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻转成.若为线段的中点，则在翻折过程中：①是定值；②点在某个球面上运动；③存在某个位置，使；④存在某个位置，使平面.其中正确的命题是_________.5、如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①当0<CQ<时，S为四边形；②当CQ＝时，S为等腰梯形；③当<CQ<1时，S为六边形；④当CQ＝1时，S的面积为.6、在棱长为1的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是_______7、设为互不重合的平面，W#W$W%.K**S*&5^U是互不重合的直线，给出下列四个命题：①②③④若；其中正确命题的序号为▲ .参考答案1、9：492、3、①②③4、①②④5、①②④6、7、④【解析】1、因为平面∥平面，所以，则，所以,所以，则,所以 ,又所以，所以有。

点睛：本题通过面面平行证明线面平行到线线平行的转化，利用三角形面积比等于边长的平方之比来求解，属于中档题。

2、∵，,∴面平面．∵点在四边形上及其内部运动，要使平面，则，故答案为．3、如图，连接，易得，所以平面，结论①正确；同理，所以平面平面，结论②正确；由于四棱锥的棱长均相等，所以，所以，又，所以，结论③正确.由于分别为侧棱的中点，所以，又四边形为正方形，所以，所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，为，知三角形为等边三角形，所以，故④错误，故答案为①②③ .【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角、线面平行的判定、面面平行的判定，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.4、解：取CD中点F，连接MF,BF，则MF∥DA1,BF∥DE，∴平面MBF∥平面DA1E，∴MB∥平面DA1E，故④正确.由，由余弦定理可得，所以为定值，所以①正确；B是定点，M是在以B为圆心，MB为半径的球面上，故②正确.假设③正确，即在某个位置，使得DE⊥A1C，又矩形ABCD中，，满足，从而DE⊥平面A1EC，则DE⊥A1E，这与DA1⊥A1E矛盾.所以存在某个位置，使得DE⊥A1C不正确，即③不正确.综上，正确的命题是①②④点睛：有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．5、截面S与DD1的交点为M，由平面与平面平行的性质定理知AM∥PQ，若0<CQ< ，则M在线段DD1上(不包括端点)如图S为四边形，命题①正确；当CQ＝时，M点与D1重合，四边形APQD1为等腰梯形，命题②正确．③中，当<CQ<1时，连接AM交A1D1于N，则截面S为五边形APQRN，命题③错误．当CQ＝1时，截面S为菱形，其对角线长分别为，，则S的面积··＝，故命题④正确6、试题分析：过作，为垂足依题意可得平面又因为平面所以可得假设由可得所以四面体的体积==当且仅当成立故填考点：1 线面平行的性质 2 线面垂直 3 三棱锥的体积公式7、略。

高一数学_直线_平面平行的判定及性质典例整理含答案】

直线、平面平行的判定及其性质1. 下列命题中，正确命题的是 ④ . ①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α;②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行； ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点. 2. 下列条件中，不能判断两个平面平行的是（填序号）. ①一个平面内的一条直线平行于另一个平面 ②一个平面内的两条直线平行于另一个平面 ③一个平面内有无数条直线平行于另一个平面④一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面答案 ①②③3. 对于平面α和共面的直线m 、n ，下列命题中假命题是（填序号）. ①若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α ②若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ③若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n④若m 、n 与α所成的角相等，则m ∥n 答案 ①②④ 4. 已知直线a ,b ,平面α，则以下三个命题： ①若a ∥b ,b ⊂α,则a ∥α; ②若a ∥b ,a ∥α,则b ∥α; ③若a ∥α,b ∥α,则a ∥b .其中真命题的个数是 . 答案 05. 直线a //平面M ,直线b ⊂/M ,那么a //b 是b //M 的条件. A .充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.不充分也不必要6. 能保证直线a 与平面α平行的条件是 A.b a b a //，，αα⊂⊄ B.b a b //，α⊂ C.c a b a c b //////，，，αα⊂D.b D b C a B a A b ∈∈∈∈⊂，，，，α且BD AC = 7. 如果直线a 平行于平面α,则A.平面α内有且只有一直线与a 平行B.平面α内无数条直线与a 平行C.平面α内不存在与a 平行的直线D.平面α内的任意直线与直线a 都平行 8. 如果两直线a ∥b ,且a ∥平面α,则b 与α的位置关系 A.相交 B.α//b C.α⊂b D .α//b 或α⊂b9. 下列命题正确的个数是（1）若直线l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥α（2）若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一直线平行（3）两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行（4）若一直线a 和平面α内一直线b 平行,则a ∥αA .0个 B.1个 C.2个 D.3个10. b 是平面α外的一条直线，下列条件中可得出b ∥α是A.b 与α内的一条直线不相交B.b 与α内的两条直线不相交C.b 与α内的无数条直线不相交 D .b 与α内的所有直线不相交 11. 已知两条相交直线a 、b ，a ∥平面α，则b 与α的位置关系A.b ∥αB.b 与α相交C.b ⊂α D .b ∥α或b 与α相交三角形中位线平面平行的性质12. 如图所示，已知S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，且SA =SB =SC ，SG 为△SAB 上的高， D 、E 、F 分别是AC 、BC 、SC 的中点，试判断SG 与平面DEF 的位置关系，并给予证明.解 SG ∥平面DEF ，证明如下：方法一连接CG 交DE 于点H ，如图所示.∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥AB .在△ACG 中，D 是AC 的中点，且DH ∥AG . ∴H 为CG 的中点. ∴FH 是△SCG 的中位线， ∴FH ∥SG .又SG ⊄平面DEF ，FH ⊂平面DEF ， ∴SG ∥平面DEF .方法二 ∵EF 为△SBC 的中位线，∴EF ∥SB.∵EF ⊄平面SAB ，SB ⊂平面SAB ， ∴EF ∥平面SAB .同理可证，DF ∥平面SAB ，EF ∩DF =F ，∴平面SAB ∥平面DEF ，又SG ⊂平面SAB ，∴SG ∥平面DEF . 平行四边形的性质，平行线的传递性13. 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 、H 分别是BC 、CC 1、C 1D 1、A 1A 的中点.求证：（1）BF ∥HD 1；（2）EG ∥平面BB 1D 1D ；（3）平面BDF ∥平面B 1D 1H .证明（1）如图所示，取BB 1的中点M ，易证四边形HMC 1D 1是平行四边形，∴HD 1∥MC 1.又∵MC 1∥BF ，∴BF ∥HD 1.（2）取BD 的中点O ，连接EO ，D 1O ，则OE 21DC ，又D 1G21DC ，∴OE D 1G ， ∴四边形OEGD 1是平行四边形， ∴GE ∥D 1O .又D 1O ⊂平面BB 1D 1D ，∴EG ∥平面BB 1D 1D .（3）由（1）知D 1H ∥BF ，又BD ∥B 1D 1，B 1D 1、HD 1⊂平面HB 1D 1，BF 、BD ⊂平面BDF ，且B 1D 1∩HD 1=D 1， DB ∩BF =B ，∴平面BDF ∥平面B 1D 1H . 平行四边形的性质14. 如图所示，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，M 、N 分别是BC 和A 1B 1的中点. 求证：MN ∥平面AA 1C 1.证明设A 1C 1中点为F ，连接NF ，FC ，∵N 为A 1B 1中点， ∴NF ∥B 1C 1，且NF =21B 1C 1，又由棱柱性质知B 1C 1 BC ，又M 是BC 的中点，∴NF MC ，∴四边形NFCM 为平行四边形.AA 1C 1.∴MN ∥CF ，又CF ⊂平面AA 1C 1，MN ⊄平面AA 1C 1，∴MN ∥平面平行线分线段成比例15. 如图所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧面对角线AB 1，BC 1上分别有两点E ，F ，且B 1E =C 1F . 求证：EF ∥平面ABCD .方法二过E 作EG ∥AB 交BB 1于G ，连接GF ，则BB GB A B E B 1111=， ∵B 1E =C 1F ，B 1A =C 1B ，∴BB GB BC E C 1111=，∴FG ∥B 1C 1∥BC ，又EG ∩FG =G ，AB ∩BC =B ，∴平面EFG ∥平面ABCD ，而EF ⊂平面EFG ， ∴EF ∥平面ABCD . 面面平行的判定16. 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为底面ABCD 的中心，P 是DD 1的中点，设Q 是CC 1上的点，问：当点Q 在什么位置时，平面D 1BQ ∥平面PAO ？解当Q 为CC 1的中点时，平面D 1BQ ∥平面PAO .∵Q 为CC 1的中点，P 为DD 1的中点，∴QB ∥PA . ∵P 、O 为DD 1、DB 的中点，∴D 1B ∥PO .又PO ∩PA =P ，D 1B ∩QB =B ， D 1B ∥平面PAO ，QB ∥平面PAO ， ∴平面D 1BQ ∥平面PAO . 直线与平面平行的性质定理17. 如图所示，四边形EFGH 为空间四边形ABCD 的一个截面，若截面为平行四边形.（1）求证：AB ∥平面EFGH ，CD ∥平面EFGH .（2）若AB =4，CD =6，求四边形EFGH 周长的取值范围. （1）证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形，∴EF ∥HG . ∵HG ⊂平面ABD ，∴EF ∥平面ABD . ∵EF ⊂平面ABC ，平面ABD ∩平面ABC =AB ， ∴EF ∥AB .∴AB ∥平面EFGH . 同理可证，CD ∥平面EFGH .(2)解设EF =x （0＜x ＜4），由于四边形EFGH 为平行四边形， ∴4x CB CF =.则6FG =BC BF =BC CF BC -=1-4x .从而FG =6-x 23.∴四边形EFGH 的周长l =2(x +6-x 23)=12-x .又0＜x ＜4,则有8＜l ＜12,∴四边形EFGH 周长的取值范围是（8，12）. 两个平行平面同时与第三个平面相交，则交线平行；平行线分线段成比例18. 如图所示，平面α∥平面β，点A ∈α，C ∈α，点B ∈β，D ∈β,点E ，F 分别在线段AB ，CD 上，且AE ∶EB =CF ∶FD . （1）求证：EF ∥β;（2）若E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC =4，BD =6，且AC ，BD 所成的角为60°，求EF 的长. （1）证明方法① 当AB ，CD 在同一平面内时，由α∥β，平面α∩平面ABDC =AC ，平面β∩平面ABDC =BD ，∴AC ∥BD ， ∵AE ∶EB =CF ∶FD ，∴EF ∥BD ，又EF ⊄β,BD ⊂β,∴EF ∥β.方法② 当AB 与CD 异面时，设平面ACD ∩β=DH ，且DH =AC . ∵α∥β，α∩平面ACDH =AC ，∴AC ∥DH ，∴四边形ACDH 是平行四边形，在AH 上取一点G ，使AG ∶GH =CF ∶FD ，又∵AE ∶EB =CF ∶FD ，∴GF ∥HD ，EG ∥BH ，又EG ∩GF =G ，∴平面EFG ∥平面β.∵EF ⊂平面EFG ，∴EF ∥β.综上，EF ∥β.三角形中位线（2）解如图所示，连接AD ，取AD 的中点M ，连接ME ，MF . ∵E ，F 分别为AB ，CD 的中点， ∴ME ∥BD ，MF ∥AC ，且ME =21BD =3，MF =21AC =2， ∴∠EMF 为AC 与BD 所成的角（或其补角）， ∴∠EMF =60°或120°，∴在△EFM 中由余弦定理得，EF =EMF MF ME MF ME ∠∙∙-+cos 222=212322322⨯⨯⨯±+=613±，即EF =7或EF =19.16分19. 正方形ABCD 与正方形ABEF 所在平面相交于AB ，在AE 、BD 上各有一点P 、Q ，且AP =DQ . 求证：PQ ∥平面BCE.证明方法一如图所示，作PM ∥AB 交BE 于M ，作QN ∥AB 交BC 于N ，连接MN .∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ，∴AE =BD . 又∵AP =DQ ，∴PE =QB ，又∵PM ∥AB ∥QN ， ∴AEPE AB PM =，BD BQ DC QN =，DC QN AB PM =，∴PM QN ， ∴四边形PMNQ 为平行四边形，∴PQ ∥MN . 又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE .方法二如图所示，连接AQ ，并延长交BC 于K ，连接EK ，∵AE =BD ，AP =DQ ， ∴PE =BQ ， ∴PE AP =BQDQ① 又∵AD ∥BK ，∴BQ DQ =QKAQ②由①②得PE AP =QKAQ，∴PQ ∥EK . 又PQ ⊄平面BCE ，EK ⊂平面BCE ， ∴PQ ∥平面BCE .方法三如图所示，在平面ABEF 内，过点P 作PM ∥BE ，交AB 于点M ，连接QM .∵PM ∥BE ，PM ⊄平面BCE ，即PM ∥平面BCE ， ∴PE AP =MBAM①又∵AP =DQ ，∴PE =BQ ，∴PE AP =BQDQ②由①②得MB AM =BQDQ，∴MQ ∥AD ， ∴MQ ∥BC ，又∵MQ ⊄平面BCE ，∴MQ ∥平面BCE . 又∵PM ∩MQ =M ，∴平面PMQ ∥平面BCE ， PQ ⊂平面PMQ ，∴PQ ∥平面BCE .20. 如图所示，正四棱锥P —ABCD 的各棱长均为13，M ，N 分别为PA ，BD 上的点，且PM ∶MA =BN ∶ND =5∶8.（1）求证：直线MN ∥平面PBC ；（2）求线段MN 的长.（1）证明连接AN 并延长交BC 于Q ，连接PQ ，如图所示.∵AD ∥BQ ，∴△AND ∽△QNB ，∴NQ AN =NB DN =BQ AD =58，又∵MA PM =ND BN =85， ∴MP AM =NQ AN =58，∴MN ∥PQ ，又∵PQ ⊂平面PBC ，MN ⊄平面PBC ， ∴MN ∥平面PBC .（2）解在等边△PBC 中，∠PBC =60°，在△PBQ 中由余弦定理知 PQ 2=PB 2+BQ 2-2PB ·BQ cos ∠PBQ =132+2865⎪⎭⎫⎝⎛-2×13×865×21=642818，∴PQ =891，∵MN ∥PQ ，MN ∶PQ =8∶13，∴MN =891×138=7.。

高中数学必修二同步练习题库：直线、平面平行的判定和性质(填空题：容易)

直线、平面平行的判定和性质（填空题：容易）1、已知，，，则与的位置关系是_______.2、已知直线和平面，且，则与的位置关系是 .3、设平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，直线AB与CD交于点S，且S位于平面α，β之间，AS＝8，BS＝6，CS＝12，则SD＝________4、α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β．②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n．③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β．④如果m∥n,α∥β,那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．其中正确的命题有．（填写所有正确命题的编号）5、过平面外一点可以作直线与已知平面平行．6、已知是两条不同直线，、β、γ是三个不同平面．下列命题中正确的是．（1）．若⊥γ，β⊥γ，则//β（2）．若⊥，⊥，则//（3）．若//，//，则//（4）．若//，//β，则//β7、设m，n，l为空间不重合的直线，为空间不重合的平面，则下列命题中真命题的序号是．（1）m//l，n//l，则m//n；（2）m l，n l，则m//n；（3），则；（4），则；8、已知直线l∥平面α,直线m Ìα,则直线l和m的位置关系是．（平行、相交、异面三种位置关系中选）9、（本小题满分14分）如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为的正方形，为线段的中点．（Ⅰ）求证：⊥平面；（Ⅱ）求证：直线∥平面；（Ⅲ）设为线段上任意一点，在内的平面区域（包括边界）是否存在点，使，并说明理由．10、如图所示，在正方体ABCD -A1B1C1D1中，M、N分别是棱C1D1，C1C的中点．给出以下四个结论：①直线AM与直线C1C相交；②直线AM与直线DD1异面；③直线AM与直线BN平行；④直线BN与直线MB1异面．其中正确结论的序号为（填入所有正确结论的序号）．11、已知直线l⊥平面α，直线m平面β，有下列四个命题：①若α∥β，则l⊥m ；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m,则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β．其中正确命题序号是．12、设为两两不重合的平面，为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，，，则；③若，，则；④若，，，，则其中真命题的个数是．13、已知是直线，是平面，下列命题中，正确的命题是 .（填序号）①若垂直于内两条直线，则；②若平行于，则内可有无数条直线与平行；③若m⊥n，n⊥l则m∥l；④若，则；14、[2013·郑州模拟]设α，β，γ为三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.可以填入的条件有()A．①或②B．②或③C．①或③D．①或②或③15、[2014·长春质检]如图，四棱锥P－ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，BA⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系为________．16、已知，是空间中两条不同的直线，，，是空间中三个不同的平面，则下列命题正确的序号是．①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．17、已知直线，和平面且，给出下列四个命题：①②③④其中真命题的有________(请填写全部正确命题的序号)18、下面是空间线面位置关系中传递性的部分相关命题：①与两条平行线中一条平行的平面必与另一条直线平行；②与两条平行线中一条垂直的平面必与另一条直线垂直；③与两条垂直直线中一条平行的平面必与另一条直线垂直；④与两条垂直直线中一条垂直的平面必与另一条直线平行；⑤与两个平行平面中一个平行的直线必与另一个平面平行；⑥与两个平行平面中一个垂直的直线必与另一个平面垂直；⑦与两个垂直平面中一个平行的直线必与另一个平面垂直；⑧与两个垂直平面中一个垂直的直线必与另一个平面平行.其中正确的命题个数有________个.19、已知直线m、n及平面，其中m∥n，那么在平面内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：①一条直线；②一个平面；③一个点；④空集。

高中数学必修二几何证明题练习

1、如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD中，AB AC, PA 平面ABCD ,且PA AB AC,点E是PD的中点.(1)求证：PB〃平面AEC; (2)求证：AC PB (3)求异面直线PB,AD所成角.2、已知，如图P是平行四边形ABCD卜一点同M, N分别是PC AB的中点求证：MN//平面PAD3、在正方体ABCD —— A i B i C i D i中，E、F分别是棱BC与C i D i的中点。

求证：EF〃平面BDD i B i.1、如图，S 是平行四边形 ABCW 面外一点，M N 分别是AD SB 上的中点，且 SD=DC SD DC 求证：(1) MN//平面SDC(2)求异面直线 MNf CD 所成的角.B2、已知四棱锥 V — ABCD 四边形 ABC 师平行四边形，E 、F 、G 分别是AD BC VB 的中点,求证：平面EFG / 平面VDC8.如图：直三棱柱 ABC A 1B 1C 1,底面三角形ABC 中，CA CB 1, BCA 90 ,棱AA , 2,M 、N’分别为A 1B 1、AB 7中点‘求证：平面A 〔NC//平面BMC1 NB iA i1 .如图所示，在正方体ABCD—A i B i C i D i中，E、F分别是棱B i C i、B1B的中点.求证：CF，平面EAB.2如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，FA = AD.求证：(I)CD，PD; (2)EF，平面PCD3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，FA，底面ABCD, AC=2^2, PA=2, E是PC上的一点，PE=2EC.(i)证明：PC,平面BED;(2)设二面角A—PB—C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小.1如图，在直三棱柱ABC—A i B i C i中，E、F分别是A i B、A1C的中点，点D在B i C i上，A i DXB i C. 求证：(i)EF//平面ABC;(2)平面A i FD，平面BB i C i C.2.如图，棱长为a的正方体ABCD ABCQ i中，E, F分别为棱AB和BC的中点，M为棱0B的中点.EF 平面BB i D i D； (2)平面EFB i 平面DQM .i6 .如图所示，ABCD是正方形，O是正方形白中心，POL底面ABCD,底面边长为a, E是PC的中点.(i)求证：PA//面BDE;(2)求证：平面FACL平面BDE;求证：(i)42。

人教A版高中数学必修二2.2直线、平面平行的判定及其性质(习题课)精品课件(共22张PPT)

∴ MN∥平面ABC
M 面 N A,C 面 AD C 面 A D B AC C
由线面平行的性质知MN∥AC
又 M N 面 PQ,A M C N 面 PQMN
∴ AC∥截面PQMN 同理可得MQ∥BD，又MN⊥QM，则AC⊥BD 故①②正确. 又∵BD∥MQ，∴异面直线PM与BD所成的角即为∠PMQ＝ 45°，故④正确. 答案 ③
三.大题中锋、规范解答
A
例1. （10 分）正方形 ABCD 与正方形
ABEF 所在平面相交于 AB，在 AE、BD 上各有
FP
一点 P、Q，且 AP＝DQ.
B
求证：PQ∥平面 BCE.
E
思维启迪：证明线面平行可以转化证线线平行，利用线面平行的判定定理；也可以转化证面面平行，利用面面平行的性质
①AC⊥BD；面面平行的定义与判定定理
在四面体ABCD中，截面PQMN是空间中各种平行关系相互转化关系的示意图
②AC∥截面PQMN； ②AC∥截面PQMN；
直线与平面平行的性质定理
③AC＝BD；
④异面直线PM与BD所成的角为45°.
二.基础自测、巩固知识
解析 ∵PQMN是正方形，∴MN∥PQ
P Q 面 AB ,M C N 面 ABC
一.小题前锋，知识再现
（ 1）l若 ,则 l/ /; 错误
要点梳理 1.直线 a 和平面 α 的位置关系有
__平_行___、_相__交__、线_在__平__面__内_，其中 _平_行__ 与 __相__交__ 统称直线在平面外.
2. 两个平面的位置关系有 ___平__行__、_相__交____.
∵MQ⊄平面 BCE，BC⊂平面 BCE

高中数学(人教版必修2)直线、平面平行的判定及其性质配套练习(有答案)

§2.2直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定一、基础过关1．直线m∥平面α，直线n∥m，则() A．n∥αB．n与α相交C．n⊂αD．n∥α或n⊂α2．棱台的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在的平面的位置关系是() A．平行B．相交C．平行或相交D．不相交3．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是() A．b∥αB．b与α相交C．b⊂αD．b∥α或b与α相交4．一条直线l上有相异三个点A、B、C到平面α的距离相等，那么直线l与平面α的位置关系是() A．l∥αB．l⊥αC．l与α相交但不垂直D．l∥α或l⊂α5. 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：(1)与直线AB平行的平面是______；(2)与直线AA1平行的平面是______；(3)与直线AD平行的平面是______．6．已知不重合的直线a，b和平面α.①若a∥α，b⊂α，则a∥b；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b⊂α，则a∥α；④若a∥b，a∥α，则b∥α或b⊂α，其中正确命题的个数是________．7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，求证：BD1∥平面AEC.8. 如图，四棱锥A—DBCE中，O为底面正方形DBCE对角线的交点，F为AE的中点．求证：AB∥平面DCF.二、能力提升9．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝EF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是()A．平行B．相交C．在内D．不能确定10．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面() A．不存在B．只能作出一个C．能作出无数个D．以上都有可能11．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条．12．如图，在平行四边形ABCD中，E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，F为线段A′C的中点．求证：BF∥平面A′DE.三、探究与拓展13. 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面BCE.(用两种方法证明)答案1．D 2.B 3.D 4.D5．(1)平面A1C1和平面DC1(2)平面BC1和平面DC1(3)平面B1C和平面A1C1 6．17．证明如图，连接BD交AC于F，连接EF.因为F为正方形ABCD对角线的交点，所以F为AC、BD的中点．在三角形DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，所以EF∥D1B.又EF⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC，所以BD1∥平面AEC.8．证明连接OF，∵O为正方形DBCE对角线的交点，∴BO＝OE，又AF＝FE，∴AB∥OF，⎭⎬⎫AB⊄平面DCFOF⊂平面DCFAB∥OF⇒AB∥平面DCF.9．A10．D11．1212．证明取A′D的中点G，连接GF，GE，由条件易知FG∥CD，FG＝12CD，BE∥CD，BE＝12CD，所以FG∥BE，FG＝BE，故四边形BEGF为平行四边形，所以BF∥EG.因为EG⊂平面A′DE，BF⊄平面A′DE，所以BF∥平面A′DE.13．证明如图所示，连接AQ并延长交BC于K，连接EK.∵KB∥AD，∴DQBQ＝AQQK.∵AP＝DQ，AE＝BD，∴BQ＝PE.∴DQBQ＝APPE.∴AQQK＝APPE.∴PQ∥EK.又PQ⊄平面BCE，EK⊂平面BCE，∴PQ∥平面BCE.2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系一、基础过关1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( )A ．异面B ．平行C ．相交D ．以上都有可能2．若AB ∥A ′B ′，AC ∥A ′C ′，则有( )A ．∠BAC ＝∠B ′A ′C ′ B ．∠BAC ＋∠B ′A ′C ′＝180°C ．∠BAC ＝∠B ′A ′C ′或∠BAC ＋∠B ′A ′C ′＝180°D ．∠BAC ＞∠B ′A ′C ′3．空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形一定是 ( )A ．空间四边形B ．矩形C ．菱形D ．正方形4．“a 、b 为异面直线”是指：①a ∩b ＝∅，且aD \∥b ；②a ⊂面α，b ⊂面β，且a ∩b ＝∅；③a ⊂面α，b ⊂面β，且α∩β＝∅；④a ⊂面α，b ⊄面α；⑤不存在面α，使a ⊂面α，b ⊂面α成立．上述结论中，正确的是( )A ．①④⑤B ．①③④C ．②④D ．①⑤5．如果两条直线a 和b 没有公共点，那么a 与b 的位置关系是________． 6．已知正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中： (1)BC ′与CD ′所成的角为________； (2)AD 与BC ′所成的角为________．7．如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠F AB＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊12F A ，G 、H 分别为F A 、FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？8．如图，正方体ABCD －EFGH 中，O 为侧面ADHE 的中心，求：(1)BE 与CG 所成的角； (2)FO 与BD 所成的角．二、能力提升9.如图所示，已知三棱锥A －BCD 中，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，则下列结论正确的是( )A ．MN ≥12(AC ＋BD )B ．MN ≤12(AC ＋BD )C ．MN ＝12(AC ＋BD )D ．MN <12(AC ＋BD )10．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线( )A ．12对B ．24对C ．36对D ．48对11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 所成的角为60°； ③EF 与MN 是异面直线； ④MN ∥CD .以上结论中正确的序号为________．12．已知A 是△BCD 平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．三、探究与拓展13．已知三棱锥A —BCD 中，AB ＝CD ，且直线AB 与CD 成60°角，点M 、N 分别是BC 、AD 的中点，求直线AB 和MN 所成的角．答案1．D 2．C 3．B 4．D 5.平行或异面 6．(1)60° (2)45°7．(1)证明由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH 綊12AD .又BC 綊12AD ，∴GH 綊BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解由BE 綊12AF ，G 为F A 中点知，BE 綊FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG . 由(1)知BG 綊CH ，∴EF ∥CH ， ∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C 、D 、F 、E 四点共面．8．解 (1)如图，∵CG ∥BF ，∴∠EBF (或其补角)为异面直线BE 与CG 所成的角，又△BEF 中，∠EBF ＝45°，所以BE 与CG 所成的角为45°.(2)连接FH ，BD ，FO ，∵HD 綊EA ，EA 綊FB ， ∴HD 綊FB ，∴四边形HFBD 为平行四边形， ∴HF ∥BD ，∴∠HFO (或其补角)为异面直线FO 与BD 所成的角．连接HA 、AF ，易得FH ＝HA ＝AF ， ∴△AFH 为等边三角形，又依题意知O 为AH 中点，∴∠HFO ＝30°，即FO 与BD 所成的角是30°.9．D 10．B 11．①③12．(1)证明假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A 、B 、C 、D 在同一平面内，这与A 是△BCD 平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)解取CD 的中点G ，连接EG 、FG ，则EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．在Rt △EGF 中，由EG ＝FG ＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.13．解如图，取AC 的中点P .连接PM 、PN ，则PM ∥AB ，且PM ＝12AB ，PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN 为直线AB 与CD 所成的角(或所成角的补角)．则∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°，若∠MPN ＝60°，因为PM ∥AB ，所以∠PMN 是AB 与MN 所成的角(或所成角的补角)．又因AB ＝CD ，所以PM ＝PN ，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°.若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形．所以∠PMN ＝30°，即AB 与MN 所成的角为30°.故直线AB 和MN 所成的角为60°或30°.2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系一、基础过关1．已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是() A．相交B．平行C．异面D．平行或异面2．直线l与平面α不平行，则() A．l与α相交B．l⊂αC．l与α相交或l⊂αD．以上结论都不对3．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的() A．一条直线不相交B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交4．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是() A．平行B．相交C．平行或相交D．AB⊂α5．直线a⊂平面α，直线b⊄平面α，则a，b的位置关系是________．6．若a、b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________．7．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么α∥β是否正确？说明理由．8. 如图，直线a∥平面α，a⊂β，α∩β＝b，求证：a∥b.二、能力提升9．下列命题正确的是() A．若直线a在平面α外，则直线a∥αB．若直线a与平面α有公共点，则a与α相交C．若平面α内存在直线与平面β无交点，则α∥βD．若平面α内的任意直线与平面β均无交点，则α∥β10．教室内有一根直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线与直尺所在的直线() A．异面B．相交C．平行D．垂直11．若不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A、B、CD/∈α，则面ABC 与面α的位置关系为________．12. 如图，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论．三、探究与拓展13．正方体ABCD—A1B1C1D1中，点Q是棱DD1上的动点，判断过A、Q、B1三点的截面图形的形状．答案1．D2．C3．D4．C5.平行、相交或异面6．b⊂α，b∥α或b与α相交7．解不正确．如图，设α∩β＝l，则在α内与l平行的直线可以有无数条，如a1，a2，…，a n，它们是一组平行线，这时a1，a2，…，a n与平面β平行，但此时α与β不平行，α∩β＝l.8．证明∵直线a∥平面α，∴直线a与平面α无公共点．∵α∩β＝b，∴b⊂α，b⊂β.∴直线a与b无公共点．∵a⊂β，∴a∥b.9．D10.D11.平行或相交12．解由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a、b无公共点．又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α与β无公共点，又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.13．解由点Q在线段DD1上移动，当点Q与点D1重合时，截面图形为等边三角形AB1D1，如图(1)所示；当点Q与点D重合时，截面图形为矩形AB1C1D，如图(2)所示；图(1)图(2)当点Q不与点D，D1重合时，截面图形为等腰梯形AQRB1，如图(3)所示．图(3)2.2.2平面与平面平行的判定一、基础过关1．直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是() A．相交B．平行C．异面D．不确定2．平面α与平面β平行的条件可以是() A．α内的一条直线与β平行B．α内的两条直线与β平行C．α内的无数条直线与β平行D．α内的两条相交直线分别与β平行3．给出下列结论，正确的有()①平行于同一条直线的两个平面平行；②平行于同一平面的两个平面平行；③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．A．1个B．2个C．3个D．4个4．若正n边形的两条对角线分别与面α平行，则这个正n边形所在的平面一定平行于平面α，那么n的取值可能是() A．12 B．8 C．6 D．55．已知平面α、β和直线a、b、c，且a∥b∥c，a⊂α，b、c⊂β，则α与β的关系是________．6．有下列几个命题：①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β.其中正确的有________．(填序号)7．如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，求证：AE∥平面DCF.8. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是AB、CD、A1B1、C1D1的中点．求证：平面A1EFD1∥平面BCF1E1.二、能力提升9．α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同的直线，在下列条件下，可判定α∥β的是() A．α，β都平行于直线a、bB．α内有三个不共线的点到β的距离相等C．a，b是α内两条直线，且a∥β，b∥βD．a、b是两条异面直线，且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β10. 正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是()A．平面E1FG1与平面EGH1B．平面FHG1与平面F1H1GC．平面F1H1H与平面FHE1D．平面E1HG1与平面EH1G11. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.12．已知在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、E、F、N分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点．求证：(1)E、F、D、B四点共面；(2)平面AMN∥平面EFDB.三、探究与拓展13．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M、N、G分别为△ABC、△ABD、△BCD的重心．(1)求证：平面MNG∥平面ACD；(2)求S△MNG∶S△ADC.答案1．B 2．D 3．B 4.D 5．相交或平行 6．③7．证明由于AB ∥CD ，BE ∥CF ，故平面ABE ∥平面DCF .而直线AE 在平面ABE 内，根据线面平行的定义，知AE ∥平面DCF . 8．证明 ∵E 、E 1分别是AB 、A 1B 1的中点，∴A 1E 1∥BE 且A 1E 1＝BE .∴四边形A 1EBE 1为平行四边形． ∴A 1E ∥BE 1.∵A 1E ⊄平面BCF 1E 1， BE 1⊂平面BCF 1E 1. ∴A 1E ∥平面BCF 1E 1. 同理A 1D 1∥平面BCF 1E 1， A 1E ∩A 1D 1＝A 1，∴平面A 1EFD 1∥平面BCF 1E 1. 9．D 10.A 11.M ∈线段FH12．证明 (1)∵E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点，∴EF 綊12B 1D 1，∵DD 1綊BB 1，∴四边形D 1B 1BD 是平行四边形， ∴D 1B 1∥BD . ∴EF ∥BD ，即EF 、BD 确定一个平面，故E 、F 、D 、B 四点共面． (2)∵M 、N 分别是A 1B 1、A 1D 1的中点， ∴MN ∥D 1B 1∥EF . 又MN ⊄平面EFDB ， EF ⊂平面EFDB . ∴MN ∥平面EFDB .连接NE ，则NE 綊A 1B 1綊AB . ∴四边形NEBA 是平行四边形．∴AN ∥BE .又AN ⊄平面EFDB ，BE ⊂平面EFDB .∴AN ∥平面EFDB . ∵AN 、MN 都在平面AMN 内，且AN ∩MN ＝N ， ∴平面AMN ∥平面EFDB .13．(1)证明连接BM 、BN 、BG 并延长交AC 、AD 、CD 分别于P 、F 、H .∵M 、N 、G 分别为△ABC 、△ABD 、△BCD 的重心，则有BM MP ＝BN NF ＝BGGH ＝2.连接PF 、FH 、PH ，有MN ∥PF . 又PF ⊂平面ACD ，MN ⊄平面ACD ， ∴MN ∥平面ACD .同理MG ∥平面ACD ，MG ∩MN ＝M ， ∴平面MNG ∥平面ACD .(2)解由(1)可知MG PH ＝BG BH ＝23，∴MG ＝23PH .又PH ＝12AD ，∴MG ＝13AD .同理NG ＝13AC ，MN ＝13CD .∴△MNG ∽△DCA ，其相似比为1∶3， ∴S △MNG ∶S △ADC ＝1∶9.2.2.3 直线与平面平行的性质一、基础过关1．a ，b 是两条异面直线，P 是空间一点，过P 作平面与a ，b 都平行，这样的平面( ) A ．只有一个 B ．至多有两个 C ．不一定有D ．有无数个2. 如图，在四面体ABCD 中，若截面PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为( )A ．AC ⊥BDB ．AC ∥截面PQMNC ．AC ＝BDD ．异面直线PM 与BD 所成的角为45°3. 如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱AA 1和BB 1的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于G 、H ，则HG 与AB 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行和异面4．直线a ∥平面α，α内有n 条直线交于一点，则这n 条直线中与直线a 平行的直线( ) A ．至少有一条 B ．至多有一条 C ．有且只有一条D ．没有5．设m 、n 是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m ∥n ；②m ∥α；③n ∥α.以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：______________.(用序号表示)6. 如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1、B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________.7. ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH .8. 如图所示，三棱锥A —BCD 被一平面所截，截面为平行四边形EFGH .求证：CD∥平面EFGH.二、能力提升9.如图所示，平面α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，下列说法正确的是()A．l1平行于l3，且l2平行于l3B．l1平行于l3，且l2不平行于l3C．l1不平行于l3，且l2不平行于l3D．l1不平行于l3，但l2平行于l310．如图所示，已知A、B、C、D四点不共面，且AB∥平面α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G，则四边形EFHG的形状是________．10题图11题图11．如图所示，在空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH，AC＝m，BD＝n，当四边形EFGH是菱形时，AE∶EB ＝________.12. 如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面P AD∩平面PBC＝l.(1)求证：BC∥l；(2)MN与平面P AD是否平行？试证明你的结论．三、探究与拓展13．如图所示，三棱柱ABC—A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.答案1．C 2．C 3．A 4．B5．①②⇒③(或①③⇒②) 6.223a7．证明如图所示，连接AC 交BD 于O ，连接MO ，∵ABCD 是平行四边形，ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GH .∴O 是AC 中点，又M 是PC 的中点， ∴AP ∥OM .根据直线和平面平行的判定定理，则有P A ∥平面BMD .∵平面P AHG ∩平面BMD ＝GH ，根据直线和平面平行的性质定理，则有AP ∥GH .8．证明 ∵四边形EFGH 为平行四边形， ∴EF ∥GH .又GH ⊂平面BCD ，EF ⊄平面BCD . ∴EF ∥平面BCD .而平面ACD ∩平面BCD ＝CD ，EF ⊂平面ACD ，∴EF ∥CD . 而EF ⊂平面EFGH ，CD ⊄平面EFGH ， ∴CD ∥平面EFGH . 9．A 10.平行四边形 11．m ∶n12．(1)证明因为BC ∥AD ，AD ⊂平面P AD ，BC ⊄平面P AD ，所以BC ∥平面P AD .又平面P AD ∩平面PBC ＝l ，BC ⊂平面PBC ，所以BC ∥l . (2)解 MN ∥平面P AD . 证明如下：如图所示，取PD 中点E . 连接EN 、AE .又∵N 为PC 中点，∴EN 綊12AB∴EN綊AM，∴四边形ENMA为平行四边形，∴AE∥MN.又∵AE⊂平面P AD，MN⊄平面P AD，∴MN∥平面P AD.13．证明连接A 1C交AC1于点E，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴E是A1C的中点，连接ED，∵A1B∥平面AC1D，平面A1BC∩平面AC1D＝ED，∴A1B∥ED，∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点．又∵D1是B1C1的中点，∴BD1∥C1D，又∵C1D⊂平面AC1D，BD1⊄平面AC1D，∴BD1∥平面AC1D，又A1B∩BD1＝B，∴平面A1BD1∥平面AC1D.2.2.4 平面与平面平行的性质一、基础过关1．已知平面α∥平面β，过平面α内的一条直线a 的平面γ，与平面β相交，交线为直线b ，则a 、b 的位置关系是( ) A ．平行B ．相交C ．异面D ．不确定2．已知a 、b 表示直线，α、β表示平面，下列推理正确的是( )A ．α∩β＝a ，b ⊂α⇒a ∥bB ．α∩β＝a ，a ∥b ⇒b ∥α且b ∥βC ．a ∥β，b ∥β，a ⊂α，b ⊂α⇒α∥βD ．α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b ⇒a ∥b3. 如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段P A 、PB 、PC 于A ′、B ′、C ′，若P A ′∶AA ′＝2∶3，则S △A ′B ′C ′∶S △ABC 等于( )A ．2∶25B ．4∶25C ．2∶5D ．4∶54．α，β，γ为三个不重合的平面，a ，b ，c 为三条不同的直线，则有下列命题，不正确的是( )①⎭⎪⎬⎪⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b; ② ⎭⎪⎬⎪⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b ； ③⎭⎪⎬⎪⎫α∥c β∥c ⇒α∥β； ④ ⎭⎪⎬⎪⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；⑤⎭⎪⎬⎪⎫α∥c a ∥c ⇒α∥a; ⑥⎭⎪⎬⎪⎫α∥γa ∥γ⇒a ∥α. A ．④⑥ B ．②③⑥ C ．②③⑤⑥ D ．②③5．分别在两个平行平面的两个三角形．(填“相似”“全等”) (1)若对应顶点的连线共点，那么这两个三角形具有______关系； (2)若对应顶点的连线互相平行，那么这两个三角形具有________关系．6．已知平面α∥β∥γ，两条直线l 、m 分别与平面α、β、γ相交于点A 、B 、C 与D 、E 、F .已知AB ＝6，DE DF ＝25，则AC ＝______.7.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是A 1C 1的中点，平面AB 1M ∥平面BC 1N ，AC ∩平面BC 1N ＝N .求证：N 为AC 的中点．8. 如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P －ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？并证明你的结论．二、能力提升9．设α∥β，A ∈α，B ∈β，C 是AB 的中点，当A 、B 分别在平面α、β内运动时，得到无数个AB 的中点C ，那么所有的动点C( )A ．不共面B ．当且仅当A 、B 分别在两条直线上移动时才共面C ．当且仅当A 、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D ．不论A 、B 如何移动，都共面10．已知平面α∥平面β，P 是α，β外一点，过点P 的直线m 与α，β分别交于点A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于点B ，D ，且P A ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为( )A ．16B ．24或245 C ．14 D ．2011．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使α、β都平行于γ；③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l ，m ，使得l ∥α，l ∥β，m ∥α，m ∥β.其中可以判断两个平面α与β平行的条件有________个．12. 如图所示，平面α∥平面β，△ABC 、△A ′B ′C ′分别在α、β内，线段AA ′、BB ′、CC ′共点于O ，O 在α、β之间，若AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝90°，OA ∶OA ′＝3∶2. 求△A ′B ′C ′的面积．三、探究与拓展13．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？如果能，求出截面的面积．§2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定一、基础过关1．已知直线a∥b，平面α∥β，a⊥α，则b与β的位置关系是() A．b⊥βB．b∥βC．b⊂βD．b⊂β或b∥β2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是() A．a⊥βB．a∥βC．a⊂βD．a⊂β或a∥β3．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是() A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定5. 在正方体ABCD－A 1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是______．6. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝______.7．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB.8. 如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱P A垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点，P A＝AD.求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD.二、能力提升9. 如图所示，P A⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为()A．4 B．3 C．2 D．110．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中() A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件________时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．12. 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证：B1O⊥平面P AC.三、探究与拓展13．已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别为1和2，A、B两点在α内的射影之间距离为3，求直线AB和平面α所成的角．答案1．A 2.D 3．C 4．B 5．(1)45° (2)30° (3)90° 6．90°7．证明在平面B 1BCC 1中， ∵E 、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点， ∴△BB 1E ≌△CBF ， ∴∠B 1BE ＝∠BCF ，∴∠BCF ＋∠EBC ＝90°，∴CF ⊥BE ，又AB ⊥平面B 1BCC 1，CF ⊂平面B 1BCC 1， ∴AB ⊥CF ，又AB ∩BE ＝B ， ∴CF ⊥平面EAB .8．证明 (1)∵P A ⊥底面ABCD ， ∴CD ⊥P A .又矩形ABCD 中，CD ⊥AD ，且AD ∩P A ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ，∴CD ⊥PD .(2)取PD 的中点G ，连接AG ，FG .又∵G 、F 分别是PD 、PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴AG ∥EF . ∵P A ＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG ⊥PD ，∴EF ⊥PD ， ∵CD ⊥平面P AD ，AG ⊂平面P AD . ∴CD ⊥AG .∴EF ⊥CD .∵PD ∩CD ＝D ，∴EF ⊥平面PCD . 9．A 10．B 11．∠A 1C 1B 1＝90°12．证明连接AB 1，CB 1，设AB ＝1.∴AB 1＝CB 1＝2，∵AO ＝CO ，∴B 1O ⊥AC .连接PB1.∵OB21＝OB2＋BB21＝32，PB21＝PD21＋B1D21＝94，OP2＝PD2＋DO2＝34，∴OB21＋OP2＝PB21.∴B1O⊥PO，又∵PO∩AC＝O，∴B1O⊥平面P AC.13．解(1)如图①，当A、B位于平面α同侧时，由点A、B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1、B1，则AA1＝1，BB1＝2，B1A1＝ 3.过点A作AH⊥BB1于H，则AB和α所成角即为∠HAB.而tan∠BAH＝2－13＝33.∴∠BAH＝30°.(2)如图②，当A、B位于平面α异侧时，经A、B分别作AA1⊥α于A1，BB1⊥α于B1，AB∩α＝C，则A1B1为AB在平面α上的射影，∠BCB1或∠ACA1为AB与平面α所成的角．∵△BCB1∽△ACA1，∴BB1AA1＝B1CCA1＝2，∴B1C＝2CA1，而B1C＋CA1＝3，∴B1C＝233.∴tan∠BCB1＝BB1B1C＝2233＝3，∴∠BCB1＝60°.综合(1)、(2)可知：AB与平面α所成的角为30°或60°.2.3.2平面与平面垂直的判定一、基础过关1．过两点与一个已知平面垂直的平面() A．有且只有一个B．有无数个C．一个或无数个D．可能不存在2．不能肯定两个平面一定垂直的情况是() A．两个平面相交，所成二面角是直二面角B．一个平面经过另一个平面的一条垂线C．一个平面垂直于另一个平面内的一条直线D．平面α内的直线a与平面β内的直线b是垂直的3．设有直线m、n和平面α、β，则下列结论中正确的是()①若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β；②若m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则α⊥β；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.A．①②B．①③C．②③D．①②③4．设l是直线，α，β是两个不同的平面，下列结论中正确的是() A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β5．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP 所成的二面角的度数是________．6．如图所示，已知P A⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．7．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分别为MB、PB、PC的中点，且AD＝PD＝2MA.求证：平面EFG⊥平面PDC.8. 如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，P A⊥底面ABCD，P A＝ 3.(1)证明：平面PBE⊥平面P AB；(2)求二面角A—BE—P的大小．二、能力提升9．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B －AC －D 的余弦值为( )A.13B.12C.223D.32 10．在正四面体P －ABC 中，D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，下面四个结论中不成立的是( )A ．BC ∥面PDFB ．DF ⊥面P AEC ．面PDF ⊥面ABCD ．面P AE ⊥面ABC11．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点，点D 在B 1C 1上，A 1D ⊥B 1C . 求证：(1)EF ∥平面ABC ； (2)平面A 1FD ⊥平面BB 1C 1C .12．如图，在三棱锥P —ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D 、E 分别在棱PB 、PC 上，且DE ∥BC .(1)求证：BC ⊥平面P AC .(2)是否存在点E 使得二面角A —DE —P 为直二面角？并说明理由．三、探究与拓展13．如图所示，三棱锥P —ABC 中，D 是AC 的中点，P A ＝PB ＝PC ＝5，AC ＝22，AB ＝2，BC ＝ 6.(1)求证：PD ⊥平面ABC ； (2)求二面角P —AB —C 的正切值．答案1．C 2.D 3.B 4.B5．45°6．57．证明因为MA⊥平面ABCD，PD∥MA，所以PD⊥平面ABCD.又BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.因为四边形ABCD为正方形，所以BC⊥DC.又PD∩DC＝D，所以BC⊥平面PDC.在△PBC中，因为G、F分别为PB、PC的中点，所以GF∥BC，所以GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，所以平面EFG⊥平面PDC.8．(1)证明如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°知，△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为P A⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以P A⊥BE.而P A∩AB＝A，因此BE⊥平面P AB.又BE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面P AB.(2)解由(1)知，BE⊥平面P AB，PB⊂平面P AB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A—BE—P的平面角．＝3，则∠PBA＝60°.在Rt△P AB中，tan∠PBA＝P AAB故二面角A—BE—P的大小是60°.9．B 10．C11．证明(1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知EF∥BC.因为EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC.所以EF∥平面ABC.(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1.又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D.又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.12．(1)证明∵P A⊥底面ABC，∴P A⊥BC.又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC.又∵AC∩P A＝A，∴BC⊥平面P AC.(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面P AC，∴DE⊥平面P AC.又∵AE⊂平面P AC，PE⊂平面P AC，∴DE⊥AE，DE⊥PE.∴∠AEP 为二面角A —DE —P 的平面角． ∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥AC ， ∴∠P AC ＝90°.∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC .这时∠AEP ＝90°，故存在点E ，使得二面角A —DE —P 为直二面角． 13．(1)证明连接BD ，∵D 是AC 的中点，P A ＝PC ＝5， ∴PD ⊥AC .∵AC ＝22，AB ＝2，BC ＝6， ∴AB 2＋BC 2＝AC 2.∴∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC .∴BD ＝12AC ＝2＝AD .∵PD 2＝P A 2－AD 2＝3，PB ＝5， ∴PD 2＋BD 2＝PB 2.∴PD ⊥BD . ∵AC ∩BD ＝D ，∴PD ⊥平面ABC .(2)解取AB 的中点E ，连接DE 、PE ，由E 为AB 的中点知DE ∥BC ， ∵AB ⊥BC ，∴AB ⊥DE . ∵PD ⊥平面ABC ，∴PD ⊥AB .又AB ⊥DE ，DE ∩PD ＝D ，∴AB ⊥平面PDE ，∴PE ⊥AB . ∴∠PED 是二面角P —AB —C 的平面角．在△PED 中，DE ＝12BC ＝62，PD ＝3，∠PDE ＝90°，∴tan ∠PED ＝PDDE ＝ 2.∴二面角P —AB —C 的正切值为 2.2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质一、基础过关1．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是( )①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线； ③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上； ④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面． A ．4B ．3C ．2D ．1 2．在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一底面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是( ) A ．相交B ．平行C ．异面D ．相交或平行3．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )①⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ② ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒m ∥n ； ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒m ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n ⇒n ⊥α. A ．1 B ．2C ．3D ．4 4．在△ABC 所在的平面α外有一点P ，且P A ＝PB ＝PC ，则P 在α内的射影是△ABC 的( )A ．垂心B ．内心C ．外心D ．重心5. 如图所示，AF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ，且AF ＝DE ，AD ＝6，则EF ＝________.6．若α⊥β，α∩β＝AB ，a ∥α，a ⊥AB ，则a 与β的关系为________． 7. 如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，平面P AB ⊥平面PBC .求证：BC ⊥AB .8. 如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 上一点，N 是A 1C 的中点，MN ⊥平面A 1DC . 求证：(1)MN ∥AD 1； (2)M 是AB 的中点．二、能力提升9. 如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′等于( )A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶310．设α－l －β是直二面角，直线a ⊂α，直线b ⊂β，a ，b 与l 都不垂直，那么( )A ．a 与b 可能垂直，但不可能平行B ．a 与b 可能垂直，也可能平行C ．a 与b 不可能垂直，但可能平行D ．a 与b 不可能垂直，也不可能平行11．直线a 和b 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的两个不同平面内，使a ∥b 成立的条件是________．(只填序号)①a 和b 垂直于正方体的同一个面； ②a 和b 在正方体两个相对的面内，且共面； ③a 和b 平行于同一条棱；④a 和b 在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直． 12．如图所示，在多面体P —ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△P AD 是等边三角形，已知BD ＝2AD ＝8，AB ＝2DC ＝4 5. (1)设M 是PC 上的一点，求证：平面MBD ⊥平面P AD ； (2)求四棱锥P —ABCD 的体积．三、探究与拓展13．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD . (1)证明：DC 1⊥BC ；(2)求二面角A 1－BD －C 1的大小．答案1．B 2.B 3．C 4．C 5．6 6．a ⊥β7．证明在平面P AB 内，作AD ⊥PB 于D . ∵平面P AB ⊥平面PBC ，且平面P AB ∩平面PBC ＝PB . ∴AD ⊥平面PBC . 又BC ⊂平面PBC ， ∴AD ⊥BC .又∵P A ⊥平面ABC ， BC ⊂平面ABC ，∴P A ⊥BC ，∴BC ⊥平面P AB . 又AB ⊂平面P AB ， ∴BC ⊥AB .8．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D .又∵CD ⊥平面ADD 1A 1， ∴CD ⊥AD 1. ∵A 1D ∩CD ＝D ， ∴AD 1⊥平面A 1DC . 又∵MN ⊥平面A 1DC ， ∴MN ∥AD 1.(2)连接ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC .∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON ∥AM . 又∵MN ∥OA ，∴四边形AMNO 为平行四边形， ∴ON ＝AM . ∵ON ＝12AB ，∴AM ＝12AB ，∴M 是AB 的中点． 9．A 10．C 11．①②③12．(1)证明在△ABD 中，∵AD ＝4，BD ＝8，AB ＝45， ∴AD 2＋BD 2＝AB 2.∴AD ⊥BD .又∵面P AD ⊥面ABCD ，面P AD ∩面ABCD ＝AD ，BD ⊂面ABCD ，∴BD ⊥面P AD ，又BD ⊂面BDM ， ∴面MBD ⊥面P AD . (2)解过P 作PO ⊥AD ， ∵面P AD ⊥面ABCD ， ∴PO ⊥面ABCD ，即PO 为四棱锥P —ABCD 的高．又△P AD 是边长为4的等边三角形， ∴PO ＝2 3.在底面四边形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2DC ，∴四边形ABCD 为梯形．在Rt △ADB 中，斜边AB 边上的高为4×845＝855，此即为梯形的高． ∴S 四边形ABCD ＝25＋452×855＝24. ∴V P —ABCD ＝13×24×23＝16 3.13．(1)证明由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1.又AC ＝12AA 1，可得DC 21＋DC 2＝CC 21，所以DC 1⊥DC .而DC 1⊥BD ，CD ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD .因为BC ⊂平面BCD ，所以DC 1⊥BC .(2)解 DC 1⊥BC ，CC 1⊥BC ⇒BC ⊥平面ACC 1A 1⇒BC ⊥AC ，取A 1B 1的中点O ，过点O 作OH ⊥BD 于点H ，连接C 1O ，C 1H ，A 1C 1＝B 1C 1⇒C 1O ⊥A 1B 1，面A 1B 1C 1⊥面A 1BD ⇒C 1O ⊥面A 1BD ，又∵DB ⊂面A 1DB ，∴C 1O ⊥BD ，又∵OH ⊥BD ，∴BD ⊥面C 1OH ，C 1H ⊂面C 1OH ，∴BD ⊥C 1H ，得点H 与点D 重合，且∠C 1DO 是二面角A 1－BD －C 的平面角，设AC ＝a ，则C 1O ＝22a ，C 1D ＝2a ＝2C 1O ⇒∠C 1DO ＝30°，故二面角A 1－BD －C 1的大小为30°.章末检测一、选择题1．下列推理错误的是() A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂αB．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A∈l，l⊂α⇒A∈α2．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于() A．30°B．45°C．60°D．90°3．下列命题正确的是() A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行4．在空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF，GH交于一点P，则() A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P一定在直线AC或BD上D．P既不在直线AC上，也不在直线BD上5．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是() A．①和②B．②和③C．③和④D．②和④6．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是() A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥βD．AC⊥β7．如图(1)所示，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，如图(2)所示，那么，在四面体S－EFG中必有()。

人教版高中数学必修二《直线、平面平行的判定与性质》

三、知识要点
(3)平面与平面平行性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行. 图形语言: 符号语言:
// a // b a _________ b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
三、知识要点
3. 重要结论 (1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)垂直于同一条直线的两个平面平行. (3)平行于同一个平面的两个平面平行.
三、知识要点
2. 平面与平面平行 (1) 定义: 如果两个平面没有公共点，则称这两个平面平行.
三、知识要点
(2)平面与平面平行的判定定理:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. 图形语言: 符号语言:
a // , b // ü _______________ ï ï ï a , b _______________ ý Þ a // b ï ï a b P _______________ ï ï þ
三、知识要点
(3)直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任意一个平面与此平面的交线与该直线平行. 图形语言: 符号语言: _________ a // ü ï ï a ï _________ ý Þ a // b ï bï _________ ï ï þ
四、课前小练答案: 1.×××√×× 2.A 3.C 4.A 5.C
五、例题分析
例 1．对于空间中的两条直线 m,n 和一个平面 ,下列命题中真命题是( D ) A．若 m // , n // 则 m // n B．若 m // , n 则 m // n C．若 m // , n 则 m // n D．若 m , n 则 m // n

人教新课标版数学必修2第2章学业分层测评11直线与平面平行的判定

学业分层测评(十一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a 平行的()A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有【解析】过a和平面内n条直线的交点只有一个平面β，所以平面α与平面β只有一条交线，且与直线a平行，这条交线可能不是这n条直线中的一条，也可能是．故选B.【答案】 B2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【解析】条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，又a与α无公共点，故选C.【答案】 C3．下列命题中不正确的是()A．两个平面α∥β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面βB．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线【解析】选项A中直线a可能与β平行，也可能在β内，故选项A不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，选项B，D也正确，故选A.【答案】 A4．如图2-2-24，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G，H，则GH与AB的位置关系是()图2-2-24A．平行B．相交C．异面D．平行或异面【解析】由长方体性质知：EF∥平面ABCD，∵EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH，又∵EF∥AB，∴GH∥AB，∴选A.【答案】 A5．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，动点C()A．不共面B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．无论点A，B如何移动都共面【解析】无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距离始终相等，故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．【答案】 D二、填空题6．如图2-2-25，正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．图2-2-25【解析】因为EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD，平面AB1C∩平面ABCD＝AC，所以EF∥AC.又点E为AD的中点，点F在CD上，所以点F是CD的中点，所以EF＝12AC＝ 2.【答案】 27．如图2-2-26所示，直线a∥平面α，A∉α，并且a和A位于平面α两侧，点B，C∈a，AB、AC分别交平面α于点E，F，若BC＝4，CF＝5，AF＝3，则EF＝________.图2-2-26【解析】EF可看成直线a与点A确定的平面与平面α的交线，∵a∥α，由线面平行的性质定理知，BC∥EF，由条件知AC＝AF＋CF＝3＋5＝8.又EF BC ＝AFAC，∴EF＝AF×BCAC＝3×48＝32.【答案】3 2三、解答题8．如图2-2-27所示，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE 交AP 于点E ，交DP 于点F ，求证：四边形BCFE 为梯形．图2-2-27【证明】 ∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ∥AD .∵AD ⊂平面APD ，BC ⊄平面APD ，∴BC ∥平面APD .又平面BCFE ∩平面APD ＝EF ，∴BC ∥EF ，∴AD ∥EF .又E ，F 是△APD 边上的点，∴EF ≠AD ，∴EF ≠BC .∴四边形BCFE 是梯形．9．如图2-2-28，S 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M ，N 分别是SA ，BD 上的点，且AM SM ＝DN NB ，求证：MN ∥平面SBC .图2-2-28【证明】在AB 上取一点P ，使AP BP ＝AM SM，连接MP ，NP ，则MP ∥SB .∵SB ⊂平面SBC ，MP ⊄平面SBC ，∴MP ∥平面SBC .又AM SM ＝DN NB ，∴AP BP ＝DN NB ，∴NP ∥AD .∵AD ∥BC ，∴NP ∥BC .又BC⊂平面SBC，NP⊄平面SBC，∴NP∥平面SBC.又MP∩NP＝P，∴平面MNP∥平面SBC，而MN⊂平面MNP，∴MN∥平面SBC.[能力提升]10．对于直线m、n和平面α，下列命题中正确的是()A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n【解析】对于A，如图(1)所示，此时n与α相交，故A不正确；对于B，如图(2)所示，此时m，n是异面直线，而n与α平行，故B不正确；对于D，如图(3)所示，m与n相交，故D不正确．故选C.图(1)图(2)图(3)【答案】 C11．如图2-2-29，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，当点M在何位置时，BM∥平面AEF.图2-2-29【解】如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ ∥AE.因为EC＝2FB＝2，所以PE＝BF.所以四边形BFEP为平行四边形，所以PB ∥EF.又AE，EF⊂平面AEF，PQ，PB⊄平面AEF，所以PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，所以平面PBQ∥平面AEF.又BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF.。

高中数学人教版必修二(浙江专版)学案直线平面平行的判定及其性质含答案

面内找
[活学活用] 已知有公共边 AB 的两个全等的矩形 ABCD 和 ABEF 不同在一个平面内，P，Q 分别是对角
线 AE，BD 上的点，且 AP＝DQ.求证：PQ∥平面 CBE. 证明：如图，作 PM∥AB 交 BE 于点 M，作 QN∥AB 交 BC 于点 N，连接 MN，则 PM∥QN，PAMB＝
关系是( )
A．一定平行
B．一定相交
C．平行或相交
D．以上判断都不对
解析：选 C 可借助于长方体判断两平面对应平行或相交．
直线与平面平行的判定
[典例]
平面 AD G.
1
[证明]
如图，在正方体 ABCDA B1 C1 D1 中 1 ，E，F，G 分别是 BC，CC ，1 BB 的中点，求证：EF∥ 1
D．不能确定
解析：选 A ∵AE∶EB＝CF∶FB＝2∶5，∴EF∥AC.又 EF⊂平面 DEF，AC⊄平面 DEF，∴AC∥
平面 DEF. 4．已知 a，b，c，d 是四条直线，α，β 是两个不重合的平面，若 a∥b∥c∥d，a⊂α，b
⊂α，c⊂β，d⊂β，则 α 与 β 的位置关系是( )
A．平行
2．已知 α，β 是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面 α 与平面 β 平行
的是( ) A．平面 α 内有一条直线与平面 β 平行
B．平面 α 内有两条直线与平面 β 平行
C．平面 α 内有一条直线与平面 β 内的一条直线平行
D．平面 α 与平面 β 不相交解析：选 D 选项 A、C 不正确，因为两个平面可能相交；选项 B 不正确，因为平面 α 内
∴平面 A′B′C′∥平面 ABC.
A′B′ PA′ 2 (2)由(1)知 A′B′∥MN，且 MN ＝ PM ＝3，