平摆线和渐开线

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从上述分析可以看到，在圆周沿定直线无滑动滚动的过
程中，圆周上定点M的位置可以有圆心角φ惟一确定，因
此以φ为参数是非常自然的. 摆线的参数方程也不能化为普通方程.
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【例1】 已知一个圆的摆线过一定点(1，0)，请写出该摆线的
参数方程.
解 根据圆的摆线的参数方程的表达式 (φ 为参数)可知，只需求
x＝r（φ－sin φ）， y＝r（1－cos φ）
出其中的 r，也就是说，摆线的参数方程由圆 的半径唯一来确定，因此只需把点(1，0)代入 参数方程求出 r 值再代入参数方程的表达式.
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令 r(1－cos φ)＝0 可得 cos φ＝1， 所以 φ＝2kπ (k∈Z)代入可得 x＝r(2kπ－sin 2kπ)＝1. 1 所以 r＝ .又根据实际情况可知 r 是圆的半径，故 r>0. 2kπ 所以，应有 k>0 且 k∈Z，即 k∈N＋. 1 x＝2kπ（φ－sin φ）， 所以，所求摆线的参数方程是 y＝ 1 （1－cos φ） 2kπ (φ 为参数) (其中 k∈N＋).
解
π xM＝r· θ－r· cos（φ＋θ）－2＝r[θ－sin(φ＋θ)]，
π yM＝r＋r· sinφ＋θ－2＝r[1－cos(φ＋θ)].
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题型二
圆的渐开线
渐开线要从其生成过程理解其简单性质， 体会渐开线上 动点所满足的几何条件， 建立渐开线参数方程的关键是 将“切线 BM 的长就是AB的长”用坐标表示出来. 渐开线的参数方程不能化为普通方程.
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2.平摆线轨迹的参数方程
x＝r（α－sin α）， (－∞＜α＜＋∞，α y＝r（1－cos α）
为参数)
3.渐开线定义 把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上， 将铅笔系在绳的外端，把绳拉紧逐渐地展开，要求绳 的拉直部分和圆保持相切，那么铅笔会画出一条曲线，
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【例2】 求半径为4的圆的渐开线的参数方程.
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解
→ 以圆心为原点 O，绳端点的初始位置为 M0，向量OM0的
方向为 x 轴正方向， 建立坐标系， 设渐开线上的任意点 M(x， y) ， 绳拉直时和圆的切点为 A， 故 OA⊥AM， 按渐开线定义， → 弧AM0的长和线段 AM 的长相等，记OA和 x 轴正向所夹的角 为 θ(以弧度为单位)，则|AM|＝AM0＝4θ. 作 AB 垂直于 x 轴，过 M 点作 AB 的垂线，由三角和向量知 识，得
圆的渐开线，这个圆叫作渐开线的_____. 基圆 这条曲线叫__________
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4.圆的渐开线的参数方程
x＝r（cos φ＋φsin . φ）
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【思维导图】
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2.写出半径为2的基圆的渐开线参数方程.
解 直接利用圆的渐开线的参数方程公式，方
x＝2（cos φ＋φsin 程为： y＝2（sin φ－φcos
φ）， (φ 是参数). φ）
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x＝4（cos θ＋θsin θ）， → 又OM＝(x， y)， 因此有 y＝4（sin θ－θcos θ）
这就是所求圆的渐开线的参数方程.
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【反思感悟】 关键根据渐开线的生成过程，归结到向量知 识和三角的有关知识建立等式关系. 用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的过程和步骤： (1)建立合适的坐标系，设轨迹曲线上的动点为 M(x，y). (2)取定运动中产生的某一角度为参数. (3)用三角、几何知识写出相关向量的坐标表达式. → (4)用向量运算得到OM的坐标表达式， 由此得到轨迹曲线的 参数方程.
§4 平摆线和渐开线
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1.平摆线定义 一个圆在平面上沿着一条直线无滑动地滚动时，我们把 平摆线 (或旋轮线). 圆周上一定点的运动轨迹叫作_______ 当圆滚动半周时，过定点M的半径转过的角度是π，点M πr，2r) ，再滚动半周，点M到达(2π r，0) ， 到达最高点( _______ _______ 这时圆周和x轴又相切于点M，得到平摆线的一拱.圆滚 动一周时，平摆线出现一个周期. 2r ，最小值是__ 0 ，即平 平摆线上点的纵坐标最大值是___ 2r 摆线的拱高为___.
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【反思感悟】 本题易错点是误把点(1，0)中的1或0
当成φ的值，代入参数方程中求出x和y的值，再计 算r的值；或者在求出cos φ＝1时，直接得出φ＝0， 从而导致答案不全面.
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1.圆的半径为r，沿x轴正向滚动，圆与x轴相切于原点O，圆
上点M起始处沿顺时针已偏转φ角.试求点M的轨迹方程.
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→ OA＝(4cos θ，4sin θ). 由几何知识知∠MAB＝θ， → → → → AM＝(4θsin θ，－4θcos θ)，得OM＝OA＋AM ＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ) ＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ)).
【知能要点】
1.平摆线，平摆线的参数方程. 2.圆的渐开线，渐开线的参数方程.
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题型一
平摆线
在分析平摆线上动点满足的几何条件时，关键是正确理解 “一个圆沿一条定直线无滑动地滚动”的意思.如图所示，假 设圆周上定点 M 的起始位置是圆与定直线的切点 O， 圆保持 与定直线相切向右滚动，点 M 就绕圆心 B 作圆周运动.如果 点 M 绕圆心 B 转过 φ 弧度后，圆与直线相切于 A，那么线段 OA 的长等于AM的弧长，即 OA＝rφ；点 M 绕圆心 B 运动一 周回到切点的位置 E，那么 OE 的长恰等于圆周长.这就是所 谓“无滑动地滚动”的意思.