旋转模型总结及教程文件

旋转模型总结及”手拉手”数学模型

上传: 黄金声更新时间：2014-11-14 23:24:32

旋转模型总结及”手拉手”数学模型

核心知识点梳理:

考点一.旋转的定义:

在平面内,一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫做旋转,定点叫做旋转中心,旋转的角度叫做旋转角.

考点二.旋转的性质:

①旋转前后图形的大小和形状没有改变;

②对应点到旋转中心的距离相等

③对应点与旋转中心的连线所成的角相等,都等于旋转角;

④旋转中心是唯一不动点

考点三.常考模型

1、”手拉手”数学模型;

2、半角模型;

3、构造旋转模型;

1、“手拉手”数学模型：

思路：两等边三角形（或两正方形）共顶点,求解度数时,注意”8”字形的运用.

{C}例1、如图1，△ABE和△ACF是等边三角形,①求证:△EAC≌△BAF, ②求∠COF的度数

{C}例2{C}、如图2,在△ABC的外部,作正方形ABEF和正方形ACHD, ①求证:△BAD≌FAC, ②求∠COD 的度数.

2、”半角”模型;

思路:大角含半角+有相等的边,通过旋转”使相等的边重合,拼出特殊角”

{C}例3、{C}如图3,在正方形ABCD中,边长为a,∠EAF=45°,E,F分别在BC,CD上,AH⊥EF交EF于点H,BD分别交AE,AF于点M,N.

{C}①求证:EF=BE+FD, ②求△ECF的周长, ③求证AH=AB, ④求证

3、构造旋转模型;

思路:等线段,共端点+特殊角,通过旋转”使相等的边重合,得出特殊图形”

{C}例4、{C}如图4,在等腰△ABC中,D是AB上的一个动点,求证:

图1

图2

图3

图4

经典题:如图1，RT△ABC≌RT△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°.△EDF绕着AB 的中点D旋转，DE,DF分别交线段AC与点M,K.

{C}(1){C}观察:

{C}①图2、图3，当∠CDF=0°或60°时，AM+CK MK

(填“＞”，“＜”或“=”).

②如图4，当∠CDF=30°时，AM+CK MK(填“＞”，“＜”)

(2)猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK MK.证明你所得到的结论.

(3)如果MK2 +CK2 =AM2 ,求出∠CDF的度数.

图4

习题巩固一:”手拉手:数学模型

5、如图5,等腰直角三角形ABC中,∠B=90°,AB=a,O为AC的中点,EO⊥OF,则BE+BF= ,四边形BEOF 的面积为

6、如图6,在正方形ABCD外取一点E,连接AE,BE,DE,过A作AE的垂线交DE于点P,若AE=AP=1,PB= ,下列结论:①△APD≌△AEB;②点B到直线AE的距离为 ,③EB⊥ED;④⑤

正确的有.

7、(1)如图7-1,C为线段AE上一动点(点C不与A,E重合),在AE的同侧分别做正△ABC和正△CDE,AD于BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ,以下五个结论:①AD=BE,②PQ//AE,③AP=BQ,

④DE=DP,⑤∠AOB=60°,恒成立的有( ),

(2)如图7-2,在△BCD中,∠BCD<120°,分别以BC,CD和BD为边分别在△BCD外部作等边△ABC、等边△CDE和等边△BDF,连结AD,BE和CF交于点P,下列结论中正确的是( )

①AD=BE=CF, ②∠BEC=∠ADC; ③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°

(3)在(2 )的条件下,求证:PB+PC+PD=BE.

8、如图8,四边形ABCD是正方形,G是CD边上的一个动点(G与C、D不重合),以CG为一边在正方形ABCD 外作正方形CEFG,连接BG,DE.我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系:

(1)猜想图8-1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系;

(2)将图8-1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针或者逆时针方向旋转任意角度 ,得到图8-2,图8-3情形,请你通过观察,测量等方法判断(1)中的结论是否仍然成立,并分别证明你的判断.

(3)在图8-2中,连接DG,BE,且AB=3,CE=2,求的值.

9.如图9-1.将三角板放在正方形ABCD,上,使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合,三角板的一边交CD于点F,另一边交CB的延长线于点G,

(1)求证:EF=EG;

(2)如图9-2,移动三角板,使顶点E始终在正方形ABCD的对角线上,其他条件不变,(1)中结论是否仍然成立?若成立,请给予证明,若不成立,请说明理由:

(3)如图9-3,将(2)中的”正方形ABCD”改为”矩形ABCD”，

且使三角板的一边经过点B,其他条件不变,若

AB=a,BC=b,求的值.

全等三角形中的”倍长中线”与”截长补短”技巧

倍长中线定义:延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系以方便求其中一

边的范围值.

方法精讲:常用辅助线添加方法——倍长中线

倍长中线定义:如图10-1,△ABC中,AD是BC边中线,

延长AD至E,使AD=DE,连接BE, 则△ACD≌EBD

技巧:遇中线,先倍长,证全等,找关系

例10,在△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围.

提示：画出图形，倍长中线AD，利用三角形两边之和大于第三边.

例11, 如图11, △ABC中，AD是BC边上的中线，

E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF

提示：倍长AD至G，连接BG，证明ΔBDG≌ΔCDA

三角形BEG是等腰三角形

例12：已知：如图12，在中，，D、E在BC上，

且DE=EC，过D作交AE于点F，DF=AC.

求证：AE平分

提示：

方法1：倍长AE至G，连结DG

方法2：倍长FE至H，连结CH

方法精讲:常用辅助线添加方法——截长补短

截长:截取较长线段,使其和较短线段长度相等

在图13中,在AB上截取AD=AC

补短:延长较短线段,使其和较长线段长度相等

在图14中,延长AC至D,使AD=AB

技巧:条件或问题中包含a+b=c

目的是构造全等三角形

例13,如图15,△ABC中,AC=BC,∠C=90°,AD平分∠BAC,求证:AC+CD=AB.

例14,如图16,已知,△ABC中,AB=CD-BD,AD垂直BC,求证:∠B=2∠C

总结:同时注意角平分线的性质,优先选择截长法.但是当截长法比较麻烦时,我们只能采用补短法,如下题例15,已知:如图17,△BDE是等边三角形,A在BE延长线上,C在BD延长线上,AD=AC,求证:DE+DC=AE

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