变型鸡兔同笼问题与假设法详细典型题型

第三讲变型鸡兔同笼问题与假设法

【专题知识点概述】1500 大约在问题吗？这个问题，是我国古代着名趣题之一。你以前听说过“鸡兔同笼”年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，

问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一只脚。求笼中各有几只鸡和兔？个头；从下面数，有94 个笼子里，从上面数，有35 古人常用的这种思维方法叫化归法。化归法就是在解决问题时，先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，直到最终把它归成某个已经解决的问题。今天我们将给大家介另外一种求解“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”！

【授课批注】本节课意让在探究中体会解题思想，在策略多样性中体验最优思想，培养学生多手段、多层面、多角度地探索问题，解决问题的基本方法和一般方法，体验了解决问题策略的多样同时体会解题过程性，使学生感受“鸡兔同笼”问题的变式及其在生活中的广泛的应用，中化难为易、化繁为简的思想方法，发展了学生创新意识，开拓了学生解题思路，发展了学生的个性，使学生在各种数学思想的渗透中形成良好的数学解题能力。

鸡兔同笼”问题基本解题公式

1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：（= 兔数；每只鸡的脚数×总头数）÷（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）- （总脚数= 鸡数。总头数-兔数鸡数；-每只鸡脚数）= 或者是（每只兔脚数×总头数- 总脚数）÷（每只兔脚数兔数。- 鸡数= 总头数）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用式（ 2 兔数；每只兔的脚数）= （每只鸡脚数×总头数-

脚数之差）÷（每只鸡的脚数+ = 鸡数- 总头数兔数= 鸡数；鸡兔脚数之差）

÷（每只鸡的脚数+每只免的脚数）+ 或（每只兔脚数×总头数兔数。-总头数鸡数= ）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可

用公式。（3 =每只兔的脚数）兔数；（每只鸡的脚数×总头数+鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数+

鸡数。兔数总头数-=

鸡每只兔的脚数）= 鸡兔脚数之差）÷（每只鸡的脚数或（每只兔的脚数×总头数-+ 数；兔数。=鸡数-总头数

（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式：

（1 只合格品得分数×产品总数-实得总分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）= 不合格品数。

或者是总产品数-（每只不合格品扣分数×总产品数+ 实得总分数）÷（每只合格品得分数+ 每只不合格品扣分数）= 不合格品数。

（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题），可用下面的公式：

〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数和）+ （两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷ 2= 鸡数；

〔（两次总脚数之和）÷（每只鸡兔脚数之和）- （两次总脚数之差）÷（每只鸡兔脚数之差）〕÷ 2= 兔数。

重点难点解析】

1. 通过不同的方法研究解决鸡兔同笼问题

2. 对“假设法”的理解和应用，渗透假设的思想方法

【竞赛考点挖掘】

1. 假设法的应用

2. 理解用假设法解决“鸡兔同笼”问题的的算理

【习题精讲】

【例1】（难度等级※）

工人运青瓷花瓶250 个，规定完整运一个到目的地给运费20 元，损坏一个要倒赔100 元，运完这批花瓶后，工人共得4400 元.问共损坏了几个花瓶？【分析与解】

假设250 个能够完整运达目的地。将得运费250 ×20=5000 （元），与实际所得相差5000-4400=600 （元）。损坏个数600 ÷（100+20 ）=5 （个）。【例2】（难度等级※※）松鼠妈妈采松果，晴天每天可以采20 个，雨天每天只能采12 个.它一连几天采了112 个松果，平均每天采14 个.问这几天中有几个雨天？

【分析与解】．

因松鼠妈妈共采松果112 个，平均每天采14 个，所以实际用了112 ÷14＝8（天）. 假设这8 天全是晴天，松鼠妈妈应采松果20×8＝160 （个），比实际采的多了160 －112 ＝48（个），因雨天比晴天少采20－12＝8（个），所以共有雨天48 ÷ 8＝6（天）.

【例3】（难度等级※※）

四年级四班有60 个学生参加下棋活动老师准备了象棋、跳棋20 副，2 人下一幅象棋，6 人下一副跳棋，问象棋和跳棋各多少副？

【分析与解】

假设20 副均为象棋，共有20 × 2=40 （人）在玩，还有20 人没参加活动。跳

棋数20 ÷（6-2 ）=5 （副），象棋数20-5=15 （副）。

【例4】（难度等级※※）

实验小学四年级举行数学竞赛，一共出了10 道题目，答对一道得10 分，答错

一题反扣 5 分（没有不答的情况）。张华得了70 分，他答对了几道题？【分析与解】

假设所有问题全部答对，得分10 ×10=100 （分），比实际得分多100-70=30 （分），错题数：30÷（10+5 ）=2 （道），正确题数：10-2-8 （道）。

【例5】（难度等级※※※）

蜘蛛有8 条腿，蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀，蝉有 6 条腿和 1 对翅膀。现在这

三种小虫共18 只，有118 条腿和20 对翅膀。每种小虫各几只？

【分析与解】

因为蜻蜓和蝉都有 6 条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成“ 8 条腿” 与“6 条腿”两种。

利用公式就可以算出8 条腿的蜘蛛数（118 －6×18）÷（8－6）＝5（只）。因此就知道 6 条腿的小虫共18 －5＝13（只）。

也就是蜻蜓和蝉共有13 只，它们共有20 对翅膀。

蝉数（13×2－20）÷（2－1）＝6（只）。

因此蜻蜓数是13 －6＝7（只）。

【例6】（难度等级※※※）

一份稿件,甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10 小时完成,现在甲单独打若干小时后,因有事由乙接着打完,共用了7 小时.甲打字用了多少小时？【分析与解】

我们把这份稿件平均分成30 份（30 是 6 和10 的最小公倍数）,甲每小时打

30 ÷