线性代数第四章向量组的线性相关性知识要点
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含向量个数等于它的秩.
性质 2
设矩阵 A 的某个 r 阶子式 D 是 A 的
最高阶非零子式, 则 D 所在的 r 个行向量即是矩 阵A的行向量组的一个最大无关组;D 所在的 r 个 列向量即是矩阵 A 的列向量组的一个最大无关 组. 性质 3 R(A) = A 的行秩 = A 的列秩.
性质 4
设向量组 A: 1, 2 , · r 是向量 · ·,
所谓封闭, 是指对 V , V 及 k R,
有 + V , k V .
(2) 由向量组 1, 2 , · , m 所生成的向量空 · ·
间为
L={x | x=k11 + k22 + · + kmm | k1 , · , km R}. · · · ·
向量组 1, 2 , · m (m≥2) 线性 · ·,
相关的充要条件是该向量组中至少有一个向量
可由其余 m - 1 个向量线性表示.
定理 2 设 1, 2 , · , m 线性无关, 而 · ·
1, 2 , · , m , 线性相关, 则 能由 1, 2 , · , · · · ·
知识要点一、内容提要1. 维向量 (1)(2)
(a1,a2 ,,an )
向量的相等, 零向量, 负向量.
(3) 向量的线性运算 若 = (a1 , a2 , · , an), = (b1 , b2 , · , bn), 则 · · · · △ (a + b , a + b , · , a + b ) ; · + ＝ 1 1 2 2 · n n
＝ (a1 , a2 , · , an ) , 其中 R . · ·
△
4) 线性运算满足下列八条规律:
+=+;
( + ) + · + ( + · ; = )
+0=;
+ (-) = 0 ;
1· = ;
() = () ;
( + ) = + ;
组 T 的一个最大无关组, 则向量组 A 与向量组 T
等价.
定理 6
设有两个向量组:
A: 1, 2 , · , r , · · B: 1 , 2 , · , s , · ·
如果 A 组能由 B 组线性表示, 且 A 组线性无关, 则A 组所含向量个数 r 不大于 B 组所含向量个数 s, 即 r ≤ s .
1 , 2 , · ,m ,使 · · = 11 + 22 + · + mm , · ·
则称向量 是向量组 A 的线性组合, 或称 可由 A 线性表示.
如果存在一组不全为零的数 k1 , k2 , · , km , · ·
使
k11 + k22 + · + kmm = 0 , · · 如果向量组 A 中的每一个向量都能由向量组
( + ) = + , 其中 , , · n 维向量 , , R. 为
2. 线性相关与线性无关
(1) 线性组合，线性表示，线性相关 设有 n 维向量组 A: 1, 2 , · , m , · · B: 1 , 2 , · , s , 对于向量 , 如果有一组数 · ·
则称向量组 A 线性相关, 否则称 A 线性无关.
B 中的向量线性表示 , 则称向量组 A 能由向量组 B 线性表示 .如果 A 能由 B 线性表示 , 且 B 也能 由 A 线性表示 , 则称 A 与 B 等价 . 向量组之间的等价关系具有反身性、对称 性、传递性 .
(2) 线性相关的性质
定理 1
推论 1
设向量组 A 的秩为 r1,向量组 B 的秩 等价的向量组有相同的秩.
为 r2 , 若 A 组能由 B 组线性表示, 则 r1 ≤ r2 .
推论 2
4. 向量空间
(1) 设 V 为 n 维向量的集合, 如果集合 V 非空
且集合 V 对于加法及数乘两种运算封闭,那么就称
集合 V 为向量空间.
组的线性相关性, 求出其最大无关组.
3. 掌握向量组的秩、 矩阵的秩、矩阵的等价
等概念, 会求向量组的秩和矩阵的秩.
4. 掌握线性方程组解的结构,会求方程组的 解.
重点 线性相关、线性无关、最大无关组、
秩等概念; 判断线性相关性及求秩的方法.
难点 线性相关、线性无关的概念及其判定
法.
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表示. 那么, 向量组 1, 2 , · r 就称为向量空 · ·, 间V的一个基, r 称为向量空间 V 的维数, 并称 V
为 r 维向量空间.
二 基本要求与重点、难点
基本要求 1. 掌握 n 维向量的概念, 能熟练地进行向量
的线性运算.
2. 掌握线性组合、线性表示、线性相关、线 性无关、最大无关组等概念. 能熟练地判断向量
(3) 设有向量空间 V1 及 V2 , 若 V1 V2 , 就称
V1 是 V2 的子空间. (4) 设 V 为向量空间, 如果 r 个向量
1, 2 , · , r V , 且满足 · ·
(i) 1, 2 , · , r 线性无关; · · (ii) V 中任一向量都可由1, 2 , · , r 线性 · ·
m 线性表示, 且表示式是唯一的.
(3) 线性相关性的判定定理
定理 3 若 1, 2 , · , r 线性相关, 则1, · ·
2 , · , r , r+1, · , m 也线性相关. · · · ·
定理 4 r 维向量组的每个向量添上 n - r 个
分量,成为 n 维向量组,若 r 维向量组线性无关,
(ii) T 中任意 r+1 个向量(如果 T 中有 r+1 个
向量的话)都线性相关, 那么称 1, 2 , · r 是向 · ·,
量组 T 的一个最大线性无关向量组, 简称最大无
关组; 数 r 称为向量组 T 的秩. 并规定: 只含零向
量的向量组的秩为 0.
(2) 性质
性质 1 向量组线性无关的充要条件是它所
则 n 维向量组也线性无关. 反言之, 若 n 维向量组
线性相关, 则 r 维向量组亦线性相关.
定理 5 m 个 n 维向量组成的向量组, 当维
数 n 小于向量个数 m 时一定线性相关.
3. 向量组的秩
(1) 定义
设有向量组 T , 如果
(i) 在 T 中有 r 个向量1, 2 , · , r 线性无关; · ·
性质 2
设矩阵 A 的某个 r 阶子式 D 是 A 的
最高阶非零子式, 则 D 所在的 r 个行向量即是矩 阵A的行向量组的一个最大无关组;D 所在的 r 个 列向量即是矩阵 A 的列向量组的一个最大无关 组. 性质 3 R(A) = A 的行秩 = A 的列秩.
性质 4
设向量组 A: 1, 2 , · r 是向量 · ·,
所谓封闭, 是指对 V , V 及 k R,
有 + V , k V .
(2) 由向量组 1, 2 , · , m 所生成的向量空 · ·
间为
L={x | x=k11 + k22 + · + kmm | k1 , · , km R}. · · · ·
向量组 1, 2 , · m (m≥2) 线性 · ·,
相关的充要条件是该向量组中至少有一个向量
可由其余 m - 1 个向量线性表示.
定理 2 设 1, 2 , · , m 线性无关, 而 · ·
1, 2 , · , m , 线性相关, 则 能由 1, 2 , · , · · · ·
知识要点一、内容提要1. 维向量 (1)(2)
(a1,a2 ,,an )
向量的相等, 零向量, 负向量.
(3) 向量的线性运算 若 = (a1 , a2 , · , an), = (b1 , b2 , · , bn), 则 · · · · △ (a + b , a + b , · , a + b ) ; · + ＝ 1 1 2 2 · n n
＝ (a1 , a2 , · , an ) , 其中 R . · ·
△
4) 线性运算满足下列八条规律:
+=+;
( + ) + · + ( + · ; = )
+0=;
+ (-) = 0 ;
1· = ;
() = () ;
( + ) = + ;
组 T 的一个最大无关组, 则向量组 A 与向量组 T
等价.
定理 6
设有两个向量组:
A: 1, 2 , · , r , · · B: 1 , 2 , · , s , · ·
如果 A 组能由 B 组线性表示, 且 A 组线性无关, 则A 组所含向量个数 r 不大于 B 组所含向量个数 s, 即 r ≤ s .
1 , 2 , · ,m ,使 · · = 11 + 22 + · + mm , · ·
则称向量 是向量组 A 的线性组合, 或称 可由 A 线性表示.
如果存在一组不全为零的数 k1 , k2 , · , km , · ·
使
k11 + k22 + · + kmm = 0 , · · 如果向量组 A 中的每一个向量都能由向量组
( + ) = + , 其中 , , · n 维向量 , , R. 为
2. 线性相关与线性无关
(1) 线性组合，线性表示，线性相关 设有 n 维向量组 A: 1, 2 , · , m , · · B: 1 , 2 , · , s , 对于向量 , 如果有一组数 · ·
则称向量组 A 线性相关, 否则称 A 线性无关.
B 中的向量线性表示 , 则称向量组 A 能由向量组 B 线性表示 .如果 A 能由 B 线性表示 , 且 B 也能 由 A 线性表示 , 则称 A 与 B 等价 . 向量组之间的等价关系具有反身性、对称 性、传递性 .
(2) 线性相关的性质
定理 1
推论 1
设向量组 A 的秩为 r1,向量组 B 的秩 等价的向量组有相同的秩.
为 r2 , 若 A 组能由 B 组线性表示, 则 r1 ≤ r2 .
推论 2
4. 向量空间
(1) 设 V 为 n 维向量的集合, 如果集合 V 非空
且集合 V 对于加法及数乘两种运算封闭,那么就称
集合 V 为向量空间.
组的线性相关性, 求出其最大无关组.
3. 掌握向量组的秩、 矩阵的秩、矩阵的等价
等概念, 会求向量组的秩和矩阵的秩.
4. 掌握线性方程组解的结构,会求方程组的 解.
重点 线性相关、线性无关、最大无关组、
秩等概念; 判断线性相关性及求秩的方法.
难点 线性相关、线性无关的概念及其判定
法.
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表示. 那么, 向量组 1, 2 , · r 就称为向量空 · ·, 间V的一个基, r 称为向量空间 V 的维数, 并称 V
为 r 维向量空间.
二 基本要求与重点、难点
基本要求 1. 掌握 n 维向量的概念, 能熟练地进行向量
的线性运算.
2. 掌握线性组合、线性表示、线性相关、线 性无关、最大无关组等概念. 能熟练地判断向量
(3) 设有向量空间 V1 及 V2 , 若 V1 V2 , 就称
V1 是 V2 的子空间. (4) 设 V 为向量空间, 如果 r 个向量
1, 2 , · , r V , 且满足 · ·
(i) 1, 2 , · , r 线性无关; · · (ii) V 中任一向量都可由1, 2 , · , r 线性 · ·
m 线性表示, 且表示式是唯一的.
(3) 线性相关性的判定定理
定理 3 若 1, 2 , · , r 线性相关, 则1, · ·
2 , · , r , r+1, · , m 也线性相关. · · · ·
定理 4 r 维向量组的每个向量添上 n - r 个
分量,成为 n 维向量组,若 r 维向量组线性无关,
(ii) T 中任意 r+1 个向量(如果 T 中有 r+1 个
向量的话)都线性相关, 那么称 1, 2 , · r 是向 · ·,
量组 T 的一个最大线性无关向量组, 简称最大无
关组; 数 r 称为向量组 T 的秩. 并规定: 只含零向
量的向量组的秩为 0.
(2) 性质
性质 1 向量组线性无关的充要条件是它所
则 n 维向量组也线性无关. 反言之, 若 n 维向量组
线性相关, 则 r 维向量组亦线性相关.
定理 5 m 个 n 维向量组成的向量组, 当维
数 n 小于向量个数 m 时一定线性相关.
3. 向量组的秩
(1) 定义
设有向量组 T , 如果
(i) 在 T 中有 r 个向量1, 2 , · , r 线性无关; · ·