概率论重点及课后题答案2

第2章 条件概率与独立性

一、大纲要求

（1）理解条件概率的定义.

（2）掌握概率的加法公式、乘法公式，会应用全概率公式和贝叶斯公式. （3）理解事件独立性的概念，掌握应用事件独立性进行概率计算.

（4）了解独立重复试验概型，掌握计算有关事件概率的方法，熟悉二项概率公式的应用.

二、重点知识结构图

三、基础知识

1.条件概率

定义 设有事件 A B 、，且()0P B ≠，在给定B 发生的条件下A 的条件概率，记为(|)P A B ，有

()

(|)()

P AB P A B P B =

2．乘法公式

定理 若对于任意事件A B 、，都有()0,()0P A P B >> ，则

()()(|)()(|)P AB P A P B A P B P A B ==

这个公式称为乘法定理.

乘法定理可以推广到有限多个随机事件的情形. 定理 设12,,

,n A A A 为任意n 个事件（2n ≥）

，且 121()0n P A A A ->，则有

12

112131212

1()()(|)(|)(|)n n n n P A A A A P A P A A P A A A P A A A A --=

3．全概率公式 定理 设12,,

B B 为一列（有限或无限个）两两互不相容的事件，有

1

i

i B

∞

==Ω∑ ()0(

1,2,i P B i >=

则对任一事件A ，有1

()()(|)i i i P A P B P A B ∞

==∑.

4.贝叶斯公式 定理 设12,,

B B 为一系列（有限或无限个）两两互不相容的事件，有

1

i

i B

∞

==Ω∑ ()0(1,2,)i P B i >=

则对任一具有正概率的事件A ，有

1

()(|)

(|)()(|)

k k k j

j

j P B P A B P B A P B P A B ∞

==

∑

5.事件的相互独立性

定义 若两事件A B 、满足 ，则称A B 、（或B A 、）相互独立，简称独立. 定理 若四对事件;;A B A B A B A B 、、 、；、 中有一对是相互独立的，则另外三对事件也是相互独立的.即这四对事件或者都相互独立，或者都相互不独立. 定义 设12n A A A ，，，是n 个事件，若对所有可能的组合1i j k n ≤<<<≤成

立：

()()()i j i j P A A P A P A = （共2

n

C 个） ()()()()i j k i j k P A A A P A P A P A = （共3

n

C 个）

12

12()()()()n n P A A A P A P A P A =（共n

n

C 个） 则称 12,,

n A A A 相互独立.

定理 设n 个事件12,,

n A A A 相互独立，那么，把其中任意m （1m n ≤≤）个

事件相应换成它们的对立事件，则所得的n 个事件仍然相互独立.

6. 重复独立试验，而且这些重复试验具备：（1）每次试验条件都相同，因此各次试验中同一个事件的出现概率相同；（2）各次试验结果相互独立；满足这两个条件的 n 次重复试验，称为n 重独立试验.

定理 （二项概率公式）设在一次试验中，事件A 出现的概率为

()(01)P A p p =<<，则在n 重伯努利试验中，事件A 恰好出现k 次的概率()n P k 为

()(0,1,2,,)k k n k

n n P k C p q

k n -==

式中，1()q p P A =-= 四、典型例题

例1 掷两颗骰子，在第一枚骰子出现的点数被3整除的条件下，求两枚骰子出现的点数大于8的概率.

解 同时掷两枚骰子，样本空间所包含的样本点数总数为6636n =⨯=.若设

A ={第一枚骰子出现的点数能被3整除}，则第一枚骰子出现3点或者6点，此

时事件A 所包含的样本数为2612k =⨯=.设B ={两枚骰子出现的点数之和大于8}，则AB ={（3,6），（6,3），（6,4），（6,5），（6,6）}，故

121()363P A =

=， 5()36P AB =， ()5(|)()12

P AB P B A P A == 例2 袋子有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球，现有两人依次随机地从袋子中各取一球，然后不放回，求两人取得黄球的概率. 解 设 i A ={第i 个人摸到黄球} (1,2)i =，则

1202()505

P A =

= 22112111922032()(|)()(|)()4954955

P A P A A P A P A A P A =+=

⨯+⨯= 例3 对一个目标依次进行三次对立的射击，设第一、二、三次射击命中概率分别为0.4，0.5，0.7，试求：（1）三次射击击中恰好有一次命中的概率；（2）三次射击中至少有一次命中的概率.

解 设 i A ={第 次命中}， B ={恰有一次命中}，C ={至少有一次命中}，则 （1） 123123123

()()

()()P B P A A A P A A A

P A A A =++ 0.40.50.3

0.60.50.3

0.6

0.5

=⨯⨯

+⨯⨯+⨯⨯= （2）123()1()10.60.50.30.91P C P A A A =-=-⨯⨯=

例 4 设三次独立试验中事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率为19/27，求事件A 在一次试验中出现的概率.

解 由于33319{1}1{0}1(1)27P k P k p ≥=-==--=

解得1

3

p = 例5 掷三枚均匀骰子，设A ={三枚骰子掷出的点数中至少有两枚一样}， B ={至少有一枚骰子掷出1}，问A B 、是否独立？

解 考虑(|)P A B ，若B 发生，则三枚骰子不出现1点，那么只有5种可能性发生（2,3,4,5,6），比不知B 发生时可能取的点数（1,2,3,4,5,6）少了一个，从5个数字取3个（可重复取），其中有两个一样的可能性，应比6个数字中取3个时有两个一样的可能性要大些，即()(|)P A P A B <.由此可以推出()(|)P A P A B >，故A B 、不独立.

例6 若某种病菌在人口中的带病概率为0.83.当检查时，带菌者未必检出阳性反应，而不带菌者也可能呈阳性反应，假设

(|)0.99P =阳性带菌，(|)0.01P =阴性带菌 (|)0.05P =阳性不带菌， (|)0.95P =阴性不带菌

设某人检出阳性，问：他“带菌”的概率是多少？