浙教版初中数学九年级上知识点及典型例题

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浙教版九年级全册初三数学(基础版)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(家教、补习、复习用)

浙教版九年级全册初中数学全册知识点梳理及重点题型巩固练习二次函数y=ax 2(a ≠0)与y=ax 2+c(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）【学习目标】1．理解二次函数的概念，能用待定系数法确定二次函数的解析式；2．会用描点法画出二次函数y=ax 2(a≠0) 与()20y ax c a =+≠的图象，并结合图象理解抛物线、对称轴、顶点、开口方向等概念；3. 掌握二次函数y=ax 2(a≠0) 与()20y ax c a =+≠的图象的性质，掌握二次函数()20y axa =≠与()20y ax c a =+≠之间的关系；（上加下减）.【要点梳理】要点一、二次函数的概念 1.二次函数的概念一般地，形如y=ax 2+bx+c （a≠0，a, b, c 为常数）的函数是二次函数. 若b=0，则y=ax 2+c ；若c=0，则y=ax 2+bx ；若b=c=0，则y=ax 2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax 2+bx+c （a ≠0）是二次函数的一般式. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： ①（a≠0）；②（a≠0）；③（a≠0）；④（a≠0），其中；⑤（a≠0）.要点诠释：如果y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a≠0)，那么y 叫做x 的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b 、c 可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.2.二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）（或称交点式）.要点诠释：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.要点二、二次函数y=ax 2（a ≠0）的图象及性质 1.二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax 2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y 轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.因为抛物线y=x 2关于y 轴对称，所以y 轴是这条抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点，从图上看，抛物线y=x 2的顶点是图象的最低点。

浙教版九年级数学上册知识点汇总

九年级（上册）1. 二次函数1.1. 二次函数把形如()0a ,,y 2≠++=是常数，其中c b a c bx ax 的函数叫做二次函数，称a 为二次项系数，b 为一次项系数，c 为常数项。

1.2. 二次函数的图象二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象是一条抛物线，它关于y 轴对称，顶点是坐标原点。

当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。

函数y=a(x-m)2+k(a ≠0)的图象，可以由函数y=ax 2的图象先向右（当m>0时）或向左（当m<0时）平移|m|个单位，再向上（当k>0时）或向下（当k<0时）平移|k|个单位得到，顶点是(m,k)，对称轴是直线x=m 。

函数y=a(x-m)2+k(a ≠0)的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线a b 2x -=，顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a 44,2b 2 当a>0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线上的最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线上的最高点。

1.3. 二次函数的性质二次函数y=ax 2(a ≠0)的图象具有如下性质：1.4. 二次函数的应用运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值，首先应当求出函数表达式和自变量的取值范围，然后通过配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。

注意：由此求得的最大值或最小值对应的自变量的必须在自变量的取值范围内。

2. 简单事件的概率2.1. 事件的可能性把在一定条件下一定会发生的事件叫做必然事件；把在一定条件下一定不会发生的事件叫做不可能事件；把在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件叫做不确定事件或随机事件。

2.2.简单事件的概率把事件发生可能性的大小称为事件发生的概率，一般用P表示。

事件A发生的概率记为P(A)。

必然事件发生的概率为100%，即P(必然事件)=1；不可能事件发生的概率为0，即P(不可能事件)=0；随机事件的概率介于0与1之间，即0<P(随机事件)<1.如果事件发生的各种结果的可能性相同且互相排斥，结果总数为n，事件A包含其中的结果数为m(m≤n)，则事件A发生的概率为：P(A)=m/n。

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x
、反比例函数解析式的确定
确定及诶是的方法仍是待定系数法。

由于在反比例函数中，只有一个待定系数，x
k
y =
因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。

、反比例函数中反比例系数的几何意义
∠DOE B．CE=DE C．OE=BE
内一点M的最长弦长为10cm，最短弦长为
．6cm C．cm D．9cm
O的直径为10，弦AB长为8，M是弦
≤5 B．4≤OM≤5C．3<OM<5
的半径为10，弦AB∥CD，AB=12，CD=16注：要分两种情况讨论：（1）弦AB、CD在圆心O
、圆心角定理
十）圆锥的侧面积和全面积
，扇形的半径。

就是圆锥的
由于
开图扇形的半径已知，因此展开图扇形的面积可求，而这个扇形的面积实质就是圆锥的侧
，它的侧面积为
的值是否相等，。

浙教版九年级数学上册知识点及典型例题

九年级上册第一章二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质向上 ()00，y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．0a <向下()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a > 向上y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ．0a <向下()0c ，y 轴．a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a >向上 X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a <向下X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a > 向上 ()h k ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．0a <向下()h k ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a =-时，y 有最小值244ac b a-． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a =-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当时，，即抛物线的对称轴在；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑵ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离2214b acAB x x a-=-=. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.∆>⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：练习1、函数a ax y -=2与xay =在同一直角坐标系中的图象可能是（）A B C D2、反比例函数y =k -1x与一次函数y = k (x+1)在同一坐标系中的象只可能是（）3、某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件，调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件．（1）请写出每月销售该商品的利润y 元与单价上涨x 元的函数关系式；（2）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？第二章圆的基本性质【本章知识框架】∆= 抛物线与x 轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根0∆< 抛物线与x 轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.O C B A圆基本元素：圆的定义，圆心，半径，弧，弦，弦心距的垂径定理认对称性：旋转不变性，轴对称，中心对称（强）识圆心角、弧、弦、弦心距的关系与圆有关的角：圆心角，圆周角弧长，扇形的面积，弓形的面积，及组合的几何图形圆中的有关计算：圆锥的侧面积、全面积一、圆的概念1、圆的定义：线段OA 绕着它的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的封闭曲线，叫做圆．点O 叫做圆心，线段OP 叫做半径。

九上数学知识点总结(浙教版)(打印版)

九上数学知识点总结知识点、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念：如果)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。

)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像：二次函数的图像是一条关于bx -=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点；④与y 轴有交点3、二次函数图像的平移函数)0()(2≠+-=a k m x a y 的图象可由函数2ax y =的图象先向右（当m>0）或向左（当m<0）平移|m|个单位，再向上（当k>0）或向下（当k<0）平移|k|个单位得到，顶点是（m,k ）,对称轴是直线x=m4、函数平移规律（口诀:左加右减、上加下减）（1）函数图像向左移动b(b>0)个单位后，需将原函数解析式中x 改为(x+b)，才符合移动后的图像所对应的函数解析式。

（2）函数图像向上移动c(c>0)个单位后，需将原函数解析式的等式右边整体加上c ，才符合移动后的图像所对应的函数解析式。

知识点、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，。

h=,k=（3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的因式分解))((212x x x x a c bx ax --=++，2,1x =aacb 24b 2-±-.二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式(交点式)))((21x x x x a y --=。

如果与x 轴没有交点，则不能这样表示。

知识点、二次函数的最值（1）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，a b ac y 442-=最值。

浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题

浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题知识点一、二次函数的概念和图像、二次函数的概念1 ，如果特一般地，的二次函数。

x 叫做y那么不为零a特别注2)0 a是常数，c,(b,ac bx ax y意，2y)0 a是常数，c,b,a(c bx ax 叫做二次函数的一般式。

、二次函数的图像2 b x 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

二次函数的图像是一条关于a2 抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

：五点作图法--------、二次函数图像的画法3（，并用虚线画出对称轴M）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点12c bx ax y 与坐标轴的交点：）求抛物线2（及抛物线与A,B轴有两个交点时，描出这两个交点x当抛物线与。

D的对称点C，再找到点C轴的交点y 将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

M、C。

由D及对称点C轴的交点y轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与x当抛物线与三点可粗D、，然后顺次连接五点，画B、A地画出二次函数的草图。

如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点略出二次函数的图像。

2，-2x-3y=x已知函数、】1例【（轴的交点关于图象对称轴的对称点。

然后画出 y ）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与1 函数图象的草图；）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：2（y<0；② y=0取哪些值时，① x 出）题的图象草图，说1）根据第（3（ y>0 ；③ 知识点二、二次函数的解析式三顶点两根一般 ----- 二次一般式：）1（两根函数的解析式有三种形式：口诀一般2)0 a是常数，c,b,a(c bx ax y与当抛物线）2（有实轴有交点时，即对应的一元二次方程22c bx ax y0 c bx ax可，二次函数存在时，根据二次三项式的分解因式x22xxc bx ax y)bxx x)(x x(a c ax。

浙教版初中数学九年级上册专题50题含参考答案

浙教版初中数学九年级上册专题50题含答案一、单选题1．小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为（ )A ．B ．C ．D ． 2．已知扇形的圆心角为120°，面积为12π，则扇形的弧长是（）A ．3πB ．4πC ．5πD ．6π 3．二次函数2y x 2x 4=--+的最大值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6 4．点A(-4，y 1)， B(-3，y 2)， C(1， y 3)为二次函数y=x 2 + 4x + 4的图象上的三点，则123,,y y y 的大小关系是( ).A ．213y y y <<B ．123y y y <<C ．312y y y <<D ．132y y y <<5．如图ABC 内接于⊙O ，⊙A ＝60°，OD ⊙BC 于点D ，若OD ＝3，则BC 的弧长为（）A ．4πB ．103πC ．2πD ．π 6．将二次函数2y x =-的图像先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的抛物线的函数表达式是（）A ．()232y x =--+B ．()232y x =--- C ．()232y x =-++ D ．()232y x =-+-7．我国古代数学《九章算术》中有一道“井深几何”的问题：“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸（1尺等于10寸），问井深几何？”根据题意画出如图示意图，则井深为（）A ．56.5尺B ．57.5尺C ．6.25尺D ．1.25尺 8．已知AB 、CD 是两个不同圆的弦，如AB ＝CD ，那么弧AB 与弧CD 的关系是（）A ．弧AB=弧CDB ．弧AB ＞弧CDC ．弧AB ＜弧CD D ．不能确定 9．如图，ABO 的顶点坐标()A 3,5、()5,3B 、()0,0O ，若ABO 绕点O 按逆时针方向旋转90°，再向右平移2个单位，得到，则点A 的对应点的坐标是（）.A ．()3,3-B ．()5,3-C ．()3,5D ．()1,5 10．二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（）A ．0abc >B ．函数的最大值为a b c -+C ．当31x -时，0yD ．420a b c -+<11．已知矩形ABCD 中，46AB AD ＝，＝，E 是AD 的中点．将ABE 沿AE 折叠至A BE '，延长BA 与CD 交于P ．下列结论成立的是（）A ．90BEP ∠︒＞B ． 6.5BP ＝C ．DP CP ＝D ．74CP ＝ 12．下面四组线段中，成比例的是（）A ．2a =，3b =，4c =，5d =B ．1a =，2b =，2c =，4d =C ．4a =，6b =，8c =，10d =D ．a =b =3c =，d =13．已知：A （，）、B （1，0）、C （-2，2），且⊙ABC 的一个顶点在抛物线上，则点A 关于原点对称点坐标为（） A ．（-2，3） B ．（2，-3） C ．（2，3） D ．（-2，-3） 14．如图是二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A(﹣3，0)，对称轴为直线x ＝﹣1，下列结论：⊙b 2＞4ac ；⊙2a+b ＝0；⊙a+b+c ＞0；⊙若B(﹣5，y 1)、C(﹣1，y 2)为函数图象上的两点，则y 1＜y 2．其中正确结论是（）A ．⊙⊙B ．⊙⊙⊙C ．⊙⊙D ．⊙⊙ 15．如图，将菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转得到菱形AB C D '''，使点D 落在对角线AC 上，连接DD '，B D ''，则下列结论一定正确的是（）A ．12DDB D '''= B ．90DAB '∠=︒C ．ABD ''是等边三角形 D ．ABC AD C ''≅△△16．如图，四边形ABCD 是O 的内接四边形，90B ，120BCD ∠=︒，4AB =，2BC =，则AD 的长为（）A ．B ．4C 1D ．2+17．如图所示为二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象，在下列选项中错误的是（）A ．0ac <B ．1x >时，y 随x 的增大而增大C ．0a b c ++>D ．方程20ax bx c ++=的根是11x =-，23x =18．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）的图像经过点A （﹣1，0），点B （m ，0），点C （0，﹣m ），其中2＜m ＜3，下列结论：⊙2a ＋b ＞0，⊙2a ＋c ＜0，⊙方程ax 2＋bx ＋c ＝﹣m 有两个不相等的实数根，⊙不等式ax 2＋（b ﹣1）x ＜0的解集为0＜x ＜m ，其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．419．如图，⊙O 的半径为3，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则劣弧AC 的长为（）A ．6πB ．3πC ．2πD ．π 20．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论错误的是（）A ．20a b +<B ．0abc >C ．240b ac ->D ．320a b c ++>二、填空题21．五张分别写有3，4，5，6，7的卡片，现从中任意取出一张卡片，则该卡片上的数字为奇数的概率是________22．如图，平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标是()3,4-，点B 是A 上一点，A 的半径为2，连接OB ，则线段OB 的最小值为__________．23．半径为6cm 的圆中，有一条长的弦，则圆心到此弦的距离为___________cm.24．如图，ABC 绕顶点A 顺时针旋转53°至ADE ．若⊙BAE ＝17°，⊙D ＝45°，则⊙C 的大小为______度．25．若37a b =，则a b b +=_______． 26．某商人将进价为每件8元的某种商品按每件10元出售，每天可销出100件，经试验，把这种商品每件每提价1元，每天的销售量就会减少10件，则每天所得的利润y （元）与售价x （元/件）之间的函数关系式为：________．27．如图，在ABC 中，4AB =， 5.8BC =，=60B ∠︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转得到ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为________．28．不等式x 2+ax +b ≥0（a ≠0）的解集为全体实数，假设f （x ）=x 2+ax +b ，若关于x 的不等式f （x ）＜c 的解集为（m ，m +6），则实数c 的值为_______．29．如图，抛物线221y x x m =-+++交x 轴于点(),0A a 和(),0B b ，交y 轴于点C ，抛物线的顶点为D ．下列四个命题：⊙当0x >时，0y >；⊙若1a =-，则4b =；⊙抛物线上有两点()11,P x y 和()22,Q x y ，若121x x ，且122x x +>，则12y y >；⊙点C 关于抛物线对称轴的对称点为E ，点G 、F 分别在x 轴和y 轴上，当2m =时，四边形EDFG 周长的最小值为______．30．把形状完全相同风景不同的两张图片全部从中剪断，再把四张形状相同的小图片混合在一起，从四张图片中随机摸取两张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的概率为____________．31．石景山区八角北路有一块三角形空地（如图1）准备绿化，拟从点A 出发，将△ABC 分成面积相等的三个三角形，栽种三种不同的花草．下面是小美的设计（如图2）．作法：（1）作射线BM ；（2）在射线BM 上顺次截取BB 1=B 1B 2=B 2B 3；（3）连接B 3C ，分别过B 1、B 2作B 1C 1⊙B 2C 2⊙B 3C ，交BC 于点C 1、C 2；（4）连接AC 1、AC 2．则1122ABC AC C AC C S S S ∆∆∆==．请回答，1122ABC AC C AC C S S S ∆∆∆==成立的理由是：⊙_____；⊙_____．32．一圆锥底面圆的周长为5cm ，母线长为4cm ，则其侧面积为________________.33．在平面直角坐标系中，与抛物线21 42y x =-+关于x 轴成轴对称的抛物线的解析式是__________34．如图，圆的两条弦AC 、BD 相交于点P ，AmB 、CnD 的度数分别为α、β，APB ∠的度数为γ，则α、β和γ之间的数量关系为__________．35．在△ABC 中，AB=1，BC=2，以AC 为边作等边三角形ACD ，连接BD ，则线段BD 的最大值为_____．36．为了满足广大师生的饮食用餐要求，学校餐厅为师生准备了A ，B ，C ，D 四种特制套餐，丁老师和小明同学一起去吃饭，他们每人随机选取一份套餐（套餐量满足师生选择需求），则丁老师和小明选到不同种套餐的概率是_____．37．如图，在矩形ABCD 中，点G 在AD 上，且GD ＝AB ＝1，AG ＝3，点E 是线段BC 上的一个动点（点E 不与点B 、C 重合），连接GB 、GE ，⊙GBE 与⊙GFE 关于直线GE 对称，当点F 落在直线BC 和直线DC 上时，则所有满足条件的线段BE 的长是_____．38．如图，在▱ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，⊙ABC ＝120°．E ，F 分别是边CD 和AB 上的点，将▱ABCD 沿EF 对折．若点B 和点D 重合，则折痕EF ＝___；若点A 和点C 重合，则折痕EF ＝___39．如图，在ABCD 中，3AB =，6BC =，AB BD ⊥，P 是BC 上方一动点，且60BPC ∠=︒，PC 交BD 于点E ．当点P 运动到PB PC =时，PE EC 的值为________；随着点P 的运动，PE EC的最大值为________．三、解答题40．某校为调查“停课不停学”期间九年级学生平均每天上网课时长，随机抽取了50名九年级学生做网络问卷调查．共四个选项：(4A 小时以下)、5(4~B 小时)、6(5~C 小D小时以上)，每人只能选一时)，6(项．并将调查结果绘制成如下不完整的统计表和统计图．被调查学生平均每天上网课时间统计表根据以上信息，解答下列问题：()1a=，b=，()2补全条形统计图；()3该校有九年级学生720名，请你估计全校九年级学生平均每天上网课时长在5小时及以上的共多少名；()4在被调查的对象中，平均每天观看时长超过6小时的，有2名来自九()1班，1名来自九()5班，其余都来自九()2班，现教导处准备从D选项中任选两名学生进行电话访谈，请用列表法或画树状图的方法求所抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率．41．如图，矩形OBCD的边OD、OB分别在x轴正半轴和y轴负半轴上，且OD＝10，OB＝8．将矩形的边BC绕点B逆时针旋转，使点C恰好与x轴上的点A重合．(1)直接写出点A、B的坐标：A( ，)、B( ，)；(2)若抛物线y＝－13x2＋bx＋c经过点A、B，请求出这条抛物线的解析式；(3)当72≤x≤7，在抛物线上存在点P，使⊙ABP的面积最大，那么⊙ABP最大面积是．（请直接写出结论，不需要写过程）42．如图，在平面直角坐标系中，⊙ABC的顶点坐标分别为A（-2，4），B（4，4），C(6，0）.（1）⊙ABC的面积是.（2）请以原点O为位似中心，画出⊙A'B'C'，使它与⊙ABC的相似比为1：2，变换后点A、B的对应点分别为点A'、B'，点B'在第一象限；（3）若P（a,b)为线段BC上的任一点，则变换后点P的对应点P' 的坐标为.43．甲、乙两个人住同一小区，小区内有A、B、C三家药店，甲、乙两人随机挑选一家药店买退烧药．而A药店退烧药缺货，其他两家退烧药充足．(1)甲买到退烧药的概率是___________；(2)利用画树状图或列表的方法，求甲、乙都买到退烧药的概率．44．函数y=ax2（a≠0）的图象与直线y=2x﹣3交于点（1，b）．（1）求a 和b 的值．（2）求抛物线y=ax2的解析式，并求出顶点坐标和对称轴．（3）求抛物线与直线y=﹣2的两个交点及顶点所构成的三角形的面积．45．近日，据农业农村部消息，“红火蚁”已传播至我国12个省份，435个县市区，经常出现在路边、草地、公园……其危害性极大．国家九部门联合部署防控行动，紧急防控红火蚁．某公司为了解员工对防护措施的了解程度（包括不了解、了解很少、基本了解和很了解），通过网上问卷调查的方式进行了随机抽样调查（每名员工必须且只能选择一项），并将调查结果绘制成如下两幅统计图．请你根据上面的信息，解答下列问题（1）本次共调查了名员工，条形统计图中m ＝；（2）若该公司共有员工1000名，请你估计不了解防护措施的人数＝名；（3）在调查中，发现有4名员工对防护措施很了解，其中有3名男员工、1名女员工．若从他们中随机抽取2名，让其在公司群内普及防护措施，求恰好抽中一男一女的概率．46．如图，钢球从斜面顶端由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加1.5m /s ．（1）写出滚动的距离s （单位：m ）关于滚动的时间t （单位：s ）的函数解析式．（提示：本题中，距离=平均速度v ⨯时间t ，02t v v v +=，其中，0v 是开始时的速度，t v 是t 秒时的速度．）（2）如果斜面的长是3m ，钢球从斜面顶端滚到底端用多长时间？47．一个边长为60米的正六边形跑道，P 、Q 两人同时从A 处开始沿相反方向都跑一圈后停止，P 以4米/秒逆时针方向、Q 以5米/秒顺时针方向，PQ 的距离为d 米，设跑步时间为x 秒，令d 2＝y ，（1）跑道全长为米，经过秒两人第一次相遇．（2）当P 在BC 上，Q 在EF 上时，求y 关于x 的函数解析式；并求相遇前当x 为多少时，他们之间的距离最大．（3）直接写出P 、Q 在整个运动过程中距离最大时的x 的值及最大的距离．48．如图1，⊙ABC 为等腰直角三角形，⊙ACB =90⊙，F 是AC 边上的一个动点(点F 与A 、C 不重合)，以CF 为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF ，连接BF 、AD ．(1)猜想图1中线段BF 、AD 的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；(2)将图1中的正方形CDEF ，绕着点C 按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2的情形．图2中BF 交AC 于点H ，交AD 于点O ，请你判断（1）中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断．(3)将原题中的等腰直角三角形ABC 改为直角三角形ABC ，⊙ACB =90⊙，正方形CDEF改为矩形CDEF ，如图3，且AC =4，BC =3，CD =43，CF =1，BF 交AC 于点H ，交AD 于点O ，连接BD 、AF ，求BD 2+AF 2的值．49．抛物线的解析式是24y x x a =-++．直线2y x =-+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点E ，点F 与直线上的点()5,3G -关于x 轴对称．(1)如图⊙，求射线MF 的解析式；(2)在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF 有两个交点时，设两个交点的横坐标是x 1，x 2（12x x <），求12x x +的值；(3)如图⊙，当抛物线经过点()0,5C 时，分别与x 轴交于A ，B 两点，且点A 在点B 的左侧．在x 轴上方的抛物线上有一动点P ，设射线AP 与直线2y x =-+交于点N ．求PN AN的最大值．参考答案：1．A【详解】试题分析：一共有4种等可能的结果：小明打扫社区卫生，小华打扫社区卫生；小明打扫社区卫生，小华参加社会调查；小明参加社会调查，小华打扫社区卫生；小明参加社会调查，小华参加社会调查．其中两人同时选择参加社会调查只有1种．所以两人同时选择参加社会调查的概率．故此题选A ．考点：概率．2．B【分析】根据扇形面积公式求得半径R ，再根据弧长的公式求弧长即可．【详解】令扇形的半径为R ，弧长为l ， ⊙212036012S R ππ==， ⊙R =6， ⊙1412080R l ππ==． ⊙扇形的弧长为4π．故选：B ．【点睛】本题考查了弧长的计算和扇形面积的计算．解答该题需要牢记弧长公式和扇形的面积公式．3．C【分析】先利用配方法将解析式化为y=a(x-h)2+k ，然后根据二次函数的最值问题求解.【详解】解： 2y x 2x 4=--+=-(x 2+2x+1)+5=-(x+1)2+5，⊙a=-1<0，⊙当x=-1时，y 有最大值，最大值为5．故选C.【点睛】本题考查了二次函数的最值，确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值． 4．A【分析】分别计算出自变量为-4，-3和1所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．【详解】解：当x=-4时，y1=x2 + 4x + 4=16-16+4=4；当x=-3时，y2=x2 + 4x + 4=9-12+4=1；当x=1时，y3=x2 + 4x + 4=1+4+4=9；所以y3＞y1＞y2．故选A．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．5．A【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理求出⊙BOC的度数，可求出⊙COD＝60°，求出OC＝6，由弧长公式可得出答案．【详解】解：连接OB，OC，⊙⊙A＝60°，⊙⊙BOC＝2⊙A＝120°．⊙OB＝OC，OD⊙BC，⊙⊙COD＝12⊙BOC＝60°，⊙⊙OCD＝30°，⊙OD＝3，⊙OC＝2DO＝6，⊙BC的长为1206180π⋅⨯＝4π．故选：A．【点睛】本题考查弧长计算，熟练掌握圆中的基本定理与性质，熟记弧长公式是解题关键．6．C【分析】根据题意易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．【详解】抛物线2y x =-的顶点坐标为（0，0）．向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后的顶点坐标为（-3，2），得到的抛物线的解析式是：()232y x =-++．故选：C ．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．7．B【分析】根据题意可知⊙ABF⊙⊙ADE ，根据相似三角形的性质可求AD ，进一步得到井深．【详解】依题意可得：⊙ABF⊙⊙ADE ，⊙AB ：AD=BF ：DE ，即5：AD=0.4：5，解得：AD=62.5，BD=AD-AB=62.5-5=57.5尺．故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是得到⊙ABF⊙⊙ADE ． 8．D【分析】根据在同圆和等圆中相等的弦所对的弧相等分析，从而得到答案．【详解】解：在同圆和等圆中相等的弦所对的弧才会相等，要注意同圆和的条件，本题是两个不同的圆，所以无法判断两弦所对的弧的大小.故选D ．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，在同圆和等圆中相等的弦所对的弧相等的理解及运用．熟练掌握三者之间的关系是解本题的关键．9．A【分析】作图说明ABO 绕点O 按逆时针方向旋转90°后点A 的对应点A ′′的坐标，然后可得再向右平移2个单位后得到的点的坐标．【详解】解：如图，ABO 的边OA 绕点O 按逆时针方向旋转90°后为OA ′′，⊙A ′′（－5，3），⊙再向右平移2个单位后得到的点的坐标是()3,3-，故选：A ．【点睛】本题考查了旋转和平移，掌握旋转和平移的性质是解题的关键．10．D【分析】根据抛物线开口方向、抛物线的对称轴位置和抛物线与y 轴的交点位置可判断a 、b 、c 的符号，利用抛物线的对称性可得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（-3，0），从而分别判断各选项．【详解】解：⊙抛物线开口向下，⊙a ＜0，⊙抛物线的对称轴为直线x =-1， ⊙12b a-=-，即b =2a ，则b ＜0， ⊙抛物线与y 轴交于正半轴，⊙c ＞0，则abc ＞0，故A 正确；当x =-1时，y 取最大值为a b c -+，故B 正确；由于开口向下，对称轴为直线x =-1，则点（1，0）关于直线x =-1对称的点为（-3，0），即抛物线与x 轴交于（1，0），（-3，0），⊙当31x -≤≤时，0y ≥，故C 正确；由图像可知：当x =-2时，y ＞0，即420y a b c =-+>，故D 错误；故选D ．【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c ）．11．D【分析】先证明()A EP DEP HL '≌，得到90BEP A ∠∠=︒＝，进而证明BEA BPE ∽，即可得到BE 、BA 、BP 之间的比例关系，代入题中数据解题即可．【详解】如图：解析：由已知903()BA E A A E AE DE Rt A EP RtDEP HL ∠'∠=︒'∴'＝，＝＝＝．≌ 290BEP Rt BEA Rt BPE BE BA BP ∴∠︒∴∴＝．∽．＝． 2252594545.4444AB BE BP BP DP A P ∴∴∴∴'-=＝，＝．＝．＝＝＝ 97444CP BC DP ∴=-=-＝故选：D【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．12．B【分析】根据成比例线段的概念逐项判断即可．【详解】解：A 、2×5≠3×4，故此选项不符合题意；B 、1×4=2×2，故此选项符合题意；C 、4×10≠6×8，故此选项不符合题意；D 3≠，故此选项不符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查成比例线段的概念，理解概念，熟练掌握成比例线段的判断方法：最小的与最大的相乘，另外的两个相乘，看它们的积是否相等，同时注意单位要统一． 13．B【详解】试题分析：把B,C 两点坐标分别代入抛物线上，来验证都不在抛物线上，所以，只有 A （，）在抛物线上，所以，点A 关于原点对称点坐标应在抛物线2-+2-3y x x =，把各选项代入验证即可得出（2，-3）在抛物线，故选B.考点：1.抛物线的性质；2.点关于原点对称点的坐标14．C【分析】根据抛物线与x 轴有两个交点可得⊙＝b 2﹣4ac>0，可对⊙进行判断；由抛物线的对称轴可得﹣2b a＝﹣1，可对⊙进行判断；根据对称轴方程及点A 坐标可求出抛物线与x 轴的另一个交点坐标，可对⊙进行判断；根据对称轴及二次函数的增减性可对⊙进行判断；综上即可得答案．【详解】⊙抛物线与x 轴有两个交点，⊙b 2﹣4ac ＞0，即：b 2＞4ac ，故⊙正确，⊙二次函数y ＝ax 2+bx+c 的对称轴为直线x ＝﹣1，⊙﹣2b a＝﹣1， ⊙2a ＝b ，即：2a ﹣b ＝0，故⊙错误．⊙二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x ＝﹣1， ⊙二次函数与x 轴的另一个交点的坐标为（1，0），⊙当x ＝1时，有a+b+c ＝0，故结论⊙错误；⊙⊙抛物线的开口向下，对称轴x ＝﹣1，⊙当x ＜﹣1时，函数值y 随着x 的增大而增大，⊙﹣5＜﹣1则y 1＜y 2，则结论⊙正确故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，对于二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小：当a ＞0时，抛物线向上开口；当a ＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a 与b 同号时（即ab ＞0），对称轴在y 轴左侧；当a 与b 异号时（即ab ＜0），对称轴在y 轴右侧；常数项c 决定抛物线与y 轴交点位置：抛物线与y 轴交于（0，c ）；抛物线与x 轴交点个数由⊙=b 2-4ac 决定：⊙＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；⊙= 0时，抛物线与x 轴有1个交点；⊙＜0时，抛物线与x 轴没有交点．15．D 【分析】根据旋转以及菱形的性质，得到1122DO DB D B ==''，DOD ∠'=90︒，从而得到DD DO '>，说明选项A 错误；根据旋转以及菱形的性质，得到AD AB '=，等腰三角形底角不可能是直角，说明选项B 错误；根据旋转以及菱形的性质，得到AD AB '='，没有理由说明⊙AB D ''的内角等于60︒，说明选项C 错误；根据旋转以及菱形的性质，利用“SSS”即可判定选项D 正确．【详解】连接BD 交AC 于点O ，⊙菱形AB C D '''是菱形ABCD 旋转得来的， ⊙1122DO DB D B ==''，AD AD ='，DB ⊙AC ， ⊙DOD ∠'=90DD O ∠︒>'， ⊙12DD DO D B >='''，故选项A 错误； ⊙菱形AB C D '''是菱形ABCD 旋转得来的，由菱形的性质可知，DAD D AB BAB ∠∠'''∠==,且DAB DAD D AB BAB ∠∠∠''''=∠++，题中没有条件给出30DAD '∠=︒，⊙90DAB '∠≠︒，故选项B 错误；⊙四边形AB C D '''是菱形，⊙AD AB '='，没有条件说明⊙AB D ''的内角等于60︒，⊙⊙AB D ''不一定是等边三角形，故选项C 错误；⊙菱形AB C D '''是菱形ABCD 旋转得来，⊙AB BC AD C D '='='=，AC AC '=，⊙⊙ABC ≅⊙AD C '' (SSS)，故选项D 正确；故选：D ．【点睛】本题主要考查了菱形及旋转的性质以及三角形全等的判定，根据菱形及旋转性质求得所需线段之间的关系以及角之间的关系是解题的关键．16．D【分析】延长AB DC 、交于点E ，构造了两个含30︒的直角三角形，利用直角三角形的性质和勾股定理即可求解．【详解】解：延长AB DC 、交于点E ，如图所示，90ABC ∠=︒，AB ∴为直径，90CBE ∠=︒，90ADC ∴∠=︒，120BCD ∠=︒，36090212060BAD ∴∠=︒-︒⨯-︒=︒，30E ∴∠=︒，在Rt BCE ∆中，2BC =，4EC ∴=，BE ∴==4AE ∴=+在Rt ADE ∆中，122AD AE == 故选D ．【点睛】此题考查了圆周角定理、直角三角形的性质、勾股定理和四边形的内角和等知识，熟练掌握相关知识和添加适当的辅助线是解答此题的关键．17．C【分析】由抛物线的开口方向判断a 的符号，由抛物线与y 轴的交点得出c 的值，根据开口方向及对称轴判断二次函数的增减性，然后根据图象经过的点的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：A 、由二次函数的图象开口向上可得a ＞0，由抛物线与y 轴交于x 轴下方可得c ＜0，所以ac ＜0，正确；B 、由a ＞0，对称轴为x=1，可知x ＞1时，y 随x 的增大而增大，正确；C 、把x=1代入y=ax2+bx+c 得，y=a+b+c ，由函数图象可以看出x=1时二次函数的值为负，错误；D 、由二次函数的图象与x 轴交点的横坐标是-1或3，可知方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3，正确．故选C ．【点睛】由图象找出有关a ，b ，c 的相关信息以及抛物线的交点坐标，会判断二次函数的增减性，会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c ，y=a-b+c ，然后根据图象判断其值．18．D【分析】利用二次函数的对称轴方程可判断⊙，结合二次函数过()1,0,- 可判断⊙，由y m =-与2y ax bx c =++有两个交点，可判断⊙，由ax 2＋（b ﹣1）x ＜0可得ax 2+bx +c ＜x +c ，可理解成y ＝ax 2＋bx ＋c 与y =x +c 的图象交点问题，就可以判断⊙，从而可得答案；【详解】解：⊙ 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）的图像经过点A （﹣1，0），点B （m ，0），∴ 抛物线的对称轴为：1,2m x ⊙ 2＜m ＜3，则111,22m 1,2b a而图象开口向上0,a > 2,b a 即20,a b 故⊙符合题意；⊙ 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）的图像经过点A （﹣1，0），0,a b c ∴-+= 则,b a c 11,22b a 则2,a b a0,a b ∴+<20,a c 故⊙符合题意；0,,23,C m m⊙y m =-与2y ax bx c =++有两个交点，⊙方程ax 2＋bx ＋c ＝﹣m 有两个不相等的实数根，故⊙符合题意；⊙ax 2＋（b ﹣1）x ＜0⊙ax 2+bx -x ＜0，整理一下可得：ax 2+bx +c ＜x +c ，⊙此选项可理解成y ＝ax 2＋bx ＋c 与y =x +c 的图象交点问题，如图所示：⊙两个图象的交点分别是C （0，-m ）、B （m ，0），⊙ax 2+bx +c ＜x +c ，⊙解集为0＜x ＜m ，⊙不等式ax 2＋（b ﹣1）x ＜0的解集不是0＜x ＜m ，故⊙符合题意；综上：符合题意的有⊙⊙⊙⊙；故选：D ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，利用二次函数的图象判断a b c ，，及代数式的符号，二次函数与一元二次方程，不等式之间的关系，熟练的运用数形结合是解本题的关键．19．C【详解】试题解析：如图所示：⊙ABCDEF 为正六边形， ⊙⊙AOB=360°×16=60°， ⊙⊙AOC=120°，⊙AC 的长为1203180π⨯⨯=2π．故选C ．20．A【分析】根据图象可知,,a b c 的取值范围，进而可判断B 的正误；根据对称轴大于1小于2，计算可判断A 的正误；根据方程的根的个数可判断C 的正误；由图象可知x =0y >，有230a c a c +=+>，2b >，进而可判断D 的正误．【详解】解：由图象可知a<0，0c <，122b a<-< ⊙0b >，20b a +>故A 错误，符合题意；⊙0abc >故B 正确，不符合题意； ⊙方程20ax bx c ++=，有两个不等的实数根⊙240b ac =->故C 正确，不符合题意；⊙230a c a c +=++>，2b⊙3230a b c a c ++>+>故D 正确，不符合题意；故选A ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，与一元二次方程的关系．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象与性质．21．35【分析】先找出分别写有3，4，5，6，7的五张卡片中奇数的个数，再根据概率公式解答即可．【详解】解：分别写有3，4，5，6，7的五张卡片中，有三张标有奇数；任意抽取一张，数字为奇数的概率是35．故答案为：35．【点睛】本题考查了概率公式，解题的关键是掌握：概率=所求情况数与总情况数之比． 22．3．【分析】由图可知，线段OA 与圆的交点为B 时，OB 值最小，过点A 作AE y ⊥轴，过点B 作BF y ⊥轴，根据勾股定理求出OA ，即可得到结果；【详解】由图可知，线段OA 与圆的交点为B 时，OB 值最小，过点A 作AE y ⊥轴，过点B 作BF y ⊥轴，⊙点A 的坐标是()3,4-，⊙3AE=，4OE=，⊙5OA===，又⊙半径为2，OB=-=．⊙523故答案是3．【点睛】本题主要考查了圆的性质和勾股定理，准确计算是解题的关键．23．4【分析】在直角△OCE中，6cm==，．根据勾股定理和垂径定理求解．OC CD【详解】在直角△OCE中，6cm，==OC CD根据CD⊙AB，则CE=,根据勾股定理得4cm.OE==故答案为4.【点睛】考查垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理的性质是解题的关键.24．65∠∠，再结合已知条件和三角形内角和定理即可求得．【分析】根据旋转分别求得,B CAE【详解】旋转D B CAE BAD∴∠=∠=︒∠=∠=︒，45,53∠=︒，BAE17BAC BAE EAC∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，175370C B BAC∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．180180457065故答案为：65．【点睛】本题考查了旋转的性质三角形内角和定理，理解旋转的性质是解题的关键．旋转性质：图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动．⊙对应点到旋转中心的距离相等．⊙对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．⊙旋转前、后的图形全等，即旋转前后图形的大小和形状没有改变．⊙旋转中心是唯一不动的点．⊙一组对应点的连线所在的直线所交的角等于旋转角度．25．107##317【详解】解：根据题意，可设a=3k，b=7k，k≠0，代入可得a bb+=371077k kk+=.故答案为10 7.26．2102801600y x x=-+-【分析】每天所得的利润=（售价-进价）×（原来的销售量-多于10元的售价×10），把相关数值代入化简即可．【详解】解：每件可获得的利润为（x-8）元，可售出的数量为100-（x-10）×10=200-10x，⊙y=（x-8）×（200-10x）=-10x2+280x-1600，故答案为y=-10x2+280x-1600．【点睛】考查列二次函数关系式；得到利润的等量关系是解决本题的关键；得到销售量是解决本题的难点．27．1.8【分析】先根据旋转的性质可得AB AD=，再根据等边三角形的判定与性质可得4BD AB==，然后根据线段的和差即可得．【详解】由旋转的性质得：4AB AD==，60B∠=︒，ABD∴是等边三角形，4BD AB∴==，5.8BC=，5.84 1.8CD BC BD∴=-=-=，故答案为：1.8．【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．28．9【详解】解：⊙不等式x 2+ax +b ≥0的解为全体实数，⊙函数f （x ）=x 2+ax +b 的图象与x 轴只有一个交点，即⊙=a 2-4b =0则b =24a ， ⊙不等式f （x ）＜c 的解集为m ＜x ＜m +6，⊙x 2+ax +24a ＜c 的解集为m ＜x ＜m +6． ⊙x 2+ax +24a -c =0的两根为m ，m +6．⊙|m +6-m . 解得：c =9．故答案为9.29．⊙【分析】⊙根据二次函数所过象限，判断出y 的符号；⊙根据A 、B 关于对称轴对称，求出b 的值；⊙根据122x x +＞1，得到x 1＜1＜x 2，从而得到Q 点距离对称轴较远，进而判断出y 1＞y 2； ⊙作D 关于y 轴的对称点D ′，E 关于x 轴的对称点E ′，连接D ′E ′，D ′E ′与DE 的和即为四边形EDFG 周长的最小值．求出D 、E 、D ′、E ′的坐标即可解答．【详解】⊙当x ＞0时，函数图象过一四象限，当0＜x ＜b 时，y ＞0；当x ＞b 时，y ＜0，故本选项错误；⊙二次函数对称轴为x =-22(1)⨯-=1，当a =-1时有12b -+ =1，解得b =3，故本选项错误； ⊙⊙x 1+x 2＞2， ⊙122x x +＞1，又⊙x 1-1＜0＜x 2-1，⊙Q 点距离对称轴较远，⊙y 1＞y 2，故本选项正确；⊙如图，作D 关于y 轴的对称点D ′，E 关于x 轴的对称点E ′，连接D ′E ′，D ′E ′与DE 的和即为四边形EDFG 周长的最小值．当m =2时，二次函数为y =-x 2+2x +3，顶点纵坐标为y =-1+2+3=4，D 为（1，4），则D ′为（-1，4）；C 点坐标为C （0，3）；则E 为（2，3），E ′为（2，-3）；。

浙教版初中数学九年级上册专题50题(含答案)

浙教版初中数学九年级上册专题50题含答案一、单选题是圆心角的是()1．下图中ACBA．B．C．D．【答案】B【分析】根据圆心角的定义判断即可.【详解】顶点在圆心上，角的两边与圆周相交的角叫圆心角.如图，∠AOB的顶点O是圆O的圆心，OA、OB交圆O于A、B两点，则∠AOB是圆心角.故选B.【点睛】本题考查圆心角的定义,关键在于熟记定义.2．通常温度降到0∠以下，纯净的水结冰．这个事件是（）A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．确定性事件【答案】A【分析】根据随机事件的定义即可得出答案．【详解】解：∠通常温度降到0∠以下，纯净的水会结冰，∠这个事件是必然事件．故选：A．【点睛】本题考查的是必然事件，不可能事件，随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在DC的延长线上取一点E，连接OE交BC于点F，若AB＝4，BC＝6，CE＝1，则CF的长为（）B．1.5C D．1A【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识．解此题的关键是准确作出辅助线，合理应用数形结合思想解题．4．已知（0，y1），y 2），（3，y 3）是抛物线y ＝ax 2﹣4ax +1（a 是常数，且a ＜0）上的点，则（） A ．y 1＞y 2＞y 3 B ．y 3＞y 2＞y 1 C ．y 2＞y 3＞y 1 D ．y 2＞y 1＞y 35．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作EA CA ⊥交DB 的延长线于点E ，过点B 作BH AC ⊥于点H ，若3AB =，4BC =，则ACAE的值为（）A ．712B ．512C ．1 D6．平移抛物线y=（x+3）（x-1）后得到抛物线y=（x+1）（x-3），则（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向左平移4个单位D．向右平移4个单位【答案】B【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律．【详解】解：y=（x+3）（x-1）=（x+1）2-4，顶点坐标是（-1，-4）．y=（x+1）（x-3）=（x-1）2-4，顶点坐标是（1，-4）．所以将抛物线y=（x+3）（x-1）向右平移2个单位长度得到抛物线y=（x+1）（x-3），故选：B．【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，属于基础题，熟练掌握平移的规律是解题关键．7．随机投掷标有1至6点的骰子一次，落地后，骰子朝上一面的点数为奇数的概率是（）A．16B．13C．12D．238．如图，AB为∠O的直径，C，D为∠O上两点，若∠CAB＝30°，则∠D等于（）A．30°B．60°C．120°D．150°【答案】B【分析】根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠D＝∠B，然后利用互余计算出∠B即可．【详解】解：∠AB为∠O的直径，∠∠ACB＝90°，∠∠CAB＝30°，∠∠B＝90°﹣∠CAB＝60°，∠∠D＝∠B＝60°．故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．9．如图，在∠ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在边AC，AB上，若∠B＝∠ADE，下列说法：∠∠AED＝90°；∠∠A与∠ADE互为余角；∠BC＝BE；∠∠CDE与∠B互为补角，其中说法正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据∠C=90°，可知∠A与∠B互余，根据∠B=∠ADE，再结合公共角∠A，可证~△△，则有∠AED=∠C=90°，∠B=∠ADE，在四边形BCDE中有ACB AED∠B+∠ADE=180°=∠C+∠DEB，即可求解．【详解】∠∠C=90°，∠∠A与∠B互余，∠∠B=∠ADE，∠A=∠A，∠ACB AED△△，~∠∠AED=∠C=90°，∠B=∠ADE，即①正确，∠∠ADE与∠A互余，∠BED=90°，即②正确，∠∠B=∠ADE，∠∠B+∠CDE=180°，即④正确，根据已有的条件无法判断BC=BE，故③错误，则说法正确的个数为3个，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，余角、补角的概念等知识，根据已有的角相等条件证得ACB AED ~△△是解答本题的关键．10．如图，点A 、C 、B 在∠O 上，已知∠AOB =∠ACB =α，则α的值为（）A ．135°B ．100°C ．110°D ．120°【答案】D【分析】根据圆周角定理得出优弧所对的圆心角为2α，利用周角为360度求解即可【详解】解：∠∠ACB =α ∠优弧所对的圆心角为2α ∠2α+α=360° ∠α=120°．故选D ．【点睛】题目主要考查圆周角定理，结合图形，熟练运用圆周角定理是解题关键． 11．如图，Rt ABC 中，90C ∠=︒，5cm AB =，4cm AC =，点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度沿A C →向点C 运动，同时点Q 从点A 出发，以2cm/s 的速度沿A B C →→向点C 运动，直到它们都到达点C 为止．线段PQ 的长度为y （cm ），点P 的运动时间为t （s ），则y 与t 的函数图象是（）A ．B ．C．D．12．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx﹣4ac+b2与反比例函数a b cyx-+=在同一坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A13．如图，直径为10的∠A经过点C和点O，点B是y轴右侧∠A优弧上一点，∠OBC=30°，则点A的坐标为（）A．）B．52）C．（5，52）D．，52）【答案】B【分析】首先设∠O与x轴的交点为D，连接CD，由圆周角定理可得CD是直径，且CD=10，∠ODC=∠OBC=30°，继而求得OC与OD的长，然后可求得答案．【详解】解：如图，14．如图，点(2,A ，()1,0N ，60AON ∠=，点M 为平面直角坐标系内一点，且MO MA =，则MN 的最小值为( )A ．1B ．32C ．3D ．2故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、坐标与图形性质，涉及到中垂线、线段平行性质等知识点，综合性较强，难度适中．15．在Rt∠ABC中，∠C = 90°，AC = 20 cm，BC = 21 cm，则它的外心与顶点C的距离等于（）.A．13 cm B．13.5 cm C．14 cm D．14.5 cm【答案】D【分析】此题应根据勾股定理先求出斜边AB的长度为29，要理解外心是这个三角形外接圆的圆心，在直角三角形中，它的外心就是斜边的中点，顶点C与外心的距离即为斜边的中线．【详解】先根据题意画图，知道AB为三角形的斜边求得AB2=AC2+BC2=202+212=841=292，要理解外心是这个三角形外接圆的圆心，要求得该直角三角形的外接圆的圆心，则为AB边的一半，求得AB的一半为14.5，应该选择答案为D.【点睛】本题考查了勾股定理和三角形的外接圆和圆心，解题的关键是要理解外心是这个三角形外接圆的圆心.16．一个密码锁有五位数字组成，每一位数字都是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9之中的一个，小明只记得其中的三个数字，则他一次就能打开锁的概率为（）A．15B．12C．120D．110017．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，给出以下结论： ∠0a b c ++<；∠<0a b c -+；∠ 20b a +<；∠0abc >．其中正确结论的序号是（）A ．∠∠B ．∠∠C ．∠∠D ．∠∠∠（4）当x ＝1时，可以确定y ＝a +b +c 的值；当x ＝﹣1时，可以确定y ＝a ﹣b +c 的值． 18．抛物线的顶点坐标是（） A ．（2，1） B ．（-2，1）C ．（2，-1）D ．（-2，-1）【答案】B【详解】试题分析：根据抛物线的解析式直接可确定它的顶点坐标为（-2，1）．故答案选B ．考点：抛物线的顶点坐标．19．已知二次函数y ＝(x ＋m －6)(m －x )＋3，点A (1x ，1y )，B (2x ，2y )( 1x ＜2x )是其图象上两点（）A ．若1x ＋2x ＜6，则1y ＞2yB ．若1x ＋2x ＞6，则1y ＞2yC ．若1x ＋2x ＞－6，则1y ＞2yD ．若1x ＋2x ＜－6，则1y ＞2y【答案】B【分析】化简二次函数，计算1y -2y ，作差比较，判断即可．【详解】∠y ＝(x ＋m －6)(m －x )＋3， ∠y ＝22663x x m m -++-+，∠1y -2y =22221122(663)(663)x x m m x x m m -++-+--++-+=22211266x x x x -+- =212121()()6()x x x x x x -+-- =（2x -1x ）（1x ＋2x -6）， ∠1y ＞2y ，1x ＜2x ， ∠1x ＋2x -6＞0，即1x ＋2x ＞6，故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的增减性，熟练运用作差法解题是解题的关键． 20．如图，长为定值的弦CD 在以AB 为直径的O 上滑动（点C 、D 与点A 、B 不重合），点E 是CD 的中点，过点C 作CF AB ⊥于F ，若3CD =，8AB =，则EF 的最大值是（）A．92B．4C．83D．6二、填空题21．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为抛物线y＝（x﹣2）2上的两点，如果x1＜x2＜2，那么y1_____y2．（填“＞”“＜”或“＝”）22．如图，有长为24米的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃，且花圃的长可借一段墙体（墙体的最大可用长度a=10m），设AB的长为xm，所围的花圃面积为ym2，则y的最大值是__________．23．小明上学途中要经过一个十字路口，十字路口红灯亮30秒、黄灯亮5秒，绿灯亮25秒，小明到达路口恰好遇到绿灯的概率是______．24．抛物线222=-与x正半轴的交点坐标为__________．y x x【答案】（1，0）【分析】令y=0，解方程2x2﹣2x＝0，求出抛物线与x轴的交点坐标,，然后取正半轴上的点即可．【详解】当y＝0时，2x2﹣2x＝0，解得：x1＝0，x2＝1，∠抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（1，0），∠抛物线与x轴正半轴的交点坐标为（1，0）．故答案为：（1，0）．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标与一元二次方程解的关系，二次函数与x轴的交点横坐标是ax2+bx+c=0时方程的解，纵坐标是y=0．25．已知线段a、b、c，其中c是a、b的比例中项，若a＝2cm，b＝8cm，则线段c＝_____cm．∠c1＝4，c2＝﹣4（舍去），∠线段c＝4cm．故答案为：4【点睛】本题考查了比例中项的概念：当两个比例内项相同时，就叫比例中项．这里注意线段不能是负数．26．如图，四边形ABCD中，AC、BD相交于O，若AO DOCO BO=，8AO=，12CO=，15BC=，则AD=______．27．图1是一款由若干条吊链等间距悬挂而成的挂帘，吊链顶端悬挂在水平横梁上，自然下垂时底部呈圆弧形，其中最长吊链为95cm，最短吊链为45cm，挂满后呈轴对称分布．图2是其示意图，其中最长两条吊链AC与BD之间的距离AB为114cm．∠若吊链数量为奇数，则圆弧半径为______cm．∠若吊链数量为偶数，记对称轴右侧最短挂链的底端为点F，当C，F，B三点在同一条直线上时，吊链的数量为______．，设O吊链数量为奇数，=AC BD∴=FM EM设O的半径为在Rt OCM△÷=1146∴共有20故答案为：【点睛】本题考查了勾股定理，轴对称图形的性质，相似三角形的判定与性质，作出辅助线是解决本题的关键．28R（R为半径），则此弓形的面积为_________．90，2AOBS=，扇形AOB 90π360R此弓形的面积为：90，2AOBS=，扇形AOB 270π360R此弓形的面积为：4429．如图，在Rt∠ABC中，∠C 为直角,AC=6，BC=8，现在Rt∠ABC内从左往右叠放边长为1的正方形小纸片，第一层小纸片的一条边都在AB上，依次这样往上叠放上去，则最多能叠放______个在直角∠ABC中，AB==10．1 21 2∠CD==4.8．∠GH 4.82BC 4.8-=，则，解得：DE=356整数部分是：7．则最下边一排是7个正方形．则，解得：GH=，整数部分是5，则第二排是5个正方形；30．已知ABC内接于,O AB AC=，圆心O到BC的距离为2cm，圆的半径为6cm，则腰长AB=_____．31．AB是O的直径，C是O上一点，E是ABC的内心，OE EBAE=ABE的面积为交O 于点F 是O 的直径，可得，证明FEA 是等腰直角三角形，可得2EF ==，根据垂径定理，进而可得ABE 的面积．【详解】解：如下图，延长BE 交O 于点F ，AB 是O 的直径，90AFB C ∴∠=∠=CAB CBA ∴∠+∠E 是ABC 的内心，12EAB CAB ∴∠=∠EAB EBA ∴∠+∠45FEA ∴∠=︒，FEA ∴是等腰直角三角形，2AE AF ∴=22AE =AF EF ∴=OE EB ⊥EF BE ∴=ABE ∴的面积为：故答案为：2．【点睛】本题考查了垂径定理、三角形的内心，勾股定理，圆周角定理，等腰三角形，三角形的外角，解题的关键是作出辅助性构建直角三角形．32．如图，正方形ABCD 边长为1，以AB 为直径作半圆，点P 是CD 中点，BP 与半圆交于点Q ，连接DQ.给出如下结论：DQ 1=①；PQ 3BQ 2=②；PDQ 1S 8=③；ADQ 2DQP.④∠∠=其中正确的结论是______.(填写序号)【点睛】本题主要考查了圆周角定理、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理等知识，综合性比较强，在几何证明中，常用相似三角形的性质、勾股定理、三角函数的定义来建立等量关系，应灵活运用． 33．∠ABC 是半径为2的圆的内接三角形，若BC=2，则∠A 的度数为_____．【答案】60°或120°．【详解】试题分析：本题可直接由外接圆半径公式求得．解：由外接圆公式：2R=== 且已知R=2，BC=2所以sin∠A== 因为∠A 为三角形内角，所以∠A 的度数为60°或120°．考点：三角形的外接圆与外心．34．如图∠，1234,,,O O O O 为四个等圆的圆心，,,,A B C D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是___；如图∠，12345,,,,O O O O O 为五个等圆的圆心，,,,,A B C D E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 __．（答案不唯一）【答案】作图见解析，1O 和3O （答案不唯一）作图见解析，13O O 与24O O 的交点O 和5O （答案不唯一）【分析】利用中心对称图形进行分析，对于图∠，过13,O O 的直线即可满足题意；对于图∠过13O O 和24O O 的交点O 和5O 的直线即可满足题意．【详解】解：图∠既是轴对称图形，也是中心对称图形，则只需过它的对称中心任意画一条直线即可，如图所示：如过13,O O 的一条直线（答案不唯一），故答案为：1O 和3O ；图∠它不是中心对称图形，图∠中，直线过图形的对称中心即可；一个圆时，只要过圆心即可，则画一条过13O O 和24O O 的交点O 和5O 的直线即可，如图所示：故答案为：13O O 与24O O 的交点O 和5O ．【点睛】本题考查利用对称性质作图，借助图形，准确分析图形的对称特征是解决问题的关键．35．如图，正方形ABCD 的边长为2，分别以点B 、C 为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P ，则图中阴影部分的面积为__________．【点睛】本题考查的是扇形面积计算、等边三角形的判定和性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．36．抛物线形拱门的示意图如图所示，底部宽AB为6米，最高点O距地面5米.现有一辆集装箱车，宽为2.8米，高为4米，此车______（填能或不能）通过拱门.37．已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，下列结论：∠<0abc ；∠0a b c ++>；∠0a b c -+>；∠20a b -=；∠80a c +<，其中正确结论的序号为____________．【详解】解：抛物线开口向下，对称轴抛物线的对称轴为2b x a=-2b a ∴=-2a b ∴+=2a b +=3a c ∴+=50a <，80a c∴+<，故∠正确．故答案为：∠∠∠．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键在于能结合图象灵活运用二次函数的性质进行求解判断．38．若5m＝3n，则+m nm＝_____．39．如图，已知正方形ABCD，以AB为腰向正方形内部作等腰∠BAE，其中BE＝BA，过点E作EF∠AB于点F，点P是∠BEF的内心，连接CP，若正方形ABCD的边长为2，则CP的最小值为____．【详解】解：EF AB⊥90EBF=︒点Rt ONC中，'=-CP OC OPCP的最小值为故答案为：10【点睛】本题主要考查了最短路径问题，涉及到正方形的性质、三角形的内心、三角40．如图，在ABCD中，E是BC边上的中点，AP CD⊥于点P，将ABE沿AE翻折，点B的对称点B'落在AP上，延长EB'恰好经过点D，若4AB=，则折痕AE的长为________．AEB ∆'是由AE BB ∴⊥EB EC =CB B ∴∠'//CB AE ∴'四边形AB CD ∴=AP CD ⊥AP AB ∴⊥BAP ∴∠由翻折的性质可知，PAE ∴∠=APD ∠=PAD ∴∆∽∴PD PB PD='2(4)m ∴-4m ∴=BJ JB ='12JE CB ∴=2AJ=2∴=AE AJ故答案为：三、解答题41．某校教务处为了解九年级学生“居家学习”的学习能力，随机抽取该年级部分学生，对他们的学习能力进行了统计，其结果如表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图（其中学习能力指数级别“1”级，代表学习能力很强；“2”级，代表学习能力较强；“3”级，代表学习能力一般；“4“级，代表学习能力较弱）请结合图中相关数据回答问题．（1）本次抽查的学生人数人，并将条形统计图补充完整；（2）本次抽查学生“居家学习”能力指数级别的众数为级，中位数为级．（3）已知学习能力很强的学生中只有1名女生，现从中随机抽取两人写有关“居家学习”的报告，请用列表或画树状图的方法求所抽查的两位学生中恰好是一男一女的概率．；42．如图所示，O为四边形ABCD上一点，以O为位似中心，将四边形ABCD放大为原来的2倍.【答案】见解析.【分析】根据位似的定义，结合位似变换的方法，可以连接AO并延长到A′，使A′O=2AO，可知A′是A的对应点；用同样的方法确定B，C，D的对应点，顺次连接对应点，可以得到四边形A′B′C′D′；在O 的另一侧，连接OA 并延长到A″，使OA″=2AO ，用同样的方法确定其它三个点的对应点，顺次连接对应点，即可得到四边形A″B″C″D″. 【详解】连接AO 并延长到A′，使A′O=2AO ，A′是A 的对应点；用同样的方法确定B ，C ，D 的对应点，顺次连接对应点，可以得到四边形A′B′C′D′；在O 的另一侧，连接OA 并延长到A″，使OA″=2AO ，用同样的方法确定其它三个点的对应点，顺次连接对应点，即可得到四边形A″B″C″D″.如图所示，四边形A′B′C′D′和四边形A″B″C″D″为所要求作的四边形.【点睛】本题考查位似变换作图，可以根据位似比，结合定义和性质画出图形. 43．某超市销售一种商品，每千克成本为30元，经试销发现，该种商品的每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如表所示：(1)求y （千克）与x （元/千克）之间的函数表达式；(2)为保证某天获得1600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？(3)当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)y 与x 之间的函数表达式为2180y x =-+．(2)该天的销售单价应定为50元/千克或70元/千克．(3)当销售单价定为60元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是1800元．【分析】（1）设y 与x 之间的函数表达式为(0)y kx b k =+≠，再在表中任选两组数据代入计算出k 和b 的值即可．（2）依题意列出关于销售单价x 的方程，然后解一元二次方程组即可．（3）利用每件的利润乘以销售量可得总利润，然后根据二次函数的性质来进行计算即可．【详解】（1）设y 与x 之间的函数表达式为(0)y kx b k =+≠，将表中数据（55，70）、（60，60）代入，得：55706060k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：2180k b =-⎧⎨=⎩． ∠y 与x 之间的函数表达式为2180y x =-+．（2）由题意得：(30)(21801600x x --+=），解得1250,70x x ==．答：该天的销售单价应定为50元/千克或70元/千克．（3）设当天的销售利润为w 元，则：(30)(2180)w x x =--+222405400x x =-+-，22(60)1800x =--+，∠20-<，∠当60x =时，1800w =最大值．答：当销售单价定为60元/千克时，才能使当天的销售利润最大，最大利润是1800元．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用，解题的关键是理清题目中的数量关系．44．如图所示的转盘，分成三个相同的扇形，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到一个数(指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形)．（1）求事件“转动一次，得到的数恰好是1-”发生的概率；（2）写出此情境下一个不可能发生的事件；（3）用树状图或列表法，求事件“转动两次，第一次得到的数与第二次得到的数绝对值相等”发生的概率．45．如图，AB 是∠O 的一条弦，OD∠AB ，垂足为点C ，交∠O 于点D ，点E 在∠O 上．(1)若52AOD ∠=，求DEB ∠的度数；(2)若3,6OC OA ==，求tan DEB ∠的值．46．在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同．小米先从盒子中随机取出一个小球，记下数字为x，且不放回盒子，再由小华随机取出一个小球，记下数字为y．（1）用列表法或画树状图表示出（x，y）的所有可能出现的结果；（2）求小米、小华各取一次小球所确定的点（x，y）落在反比例函数y=4x的图象上的概率．47．在四边形ABCD 中，ADC ACB ∠=∠，AC 为对角线，AD CB DC AC ⋅=⋅．(1)如图1，求证：AC 平分DAB ∠；(2)如图1，求8AC =，12AB =，求AD 的长；(3)如图2，若90ADC ACB ∠=∠=︒，E 为AB 的中点，连接CE 、DE ，DE 与AC 交于点F ，6CB =，5CE =，求DF EF 的值．48．已知：在正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过点E作EF BD⊥，交BC于点F，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG．(1)【猜想论证】猜想线段EG与CG的数量关系，并加以证明．(2)【拓展探究】将图1中BEF△绕B点逆时针旋转45°得到图2，取DF中点G，连接EG，CG．你在（1）中得到的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．质，矩形的判定定理和性质，三角形内角和定理，等角对等边，勾股定理，全等三角形的判定定理和性质，综合应用这些知识点是解题关键．49．河西王府井销售一种T 恤衫，每件进价为40 元，经过市场调查，一周的销售量y 件与销售单价x 元/件满足某种函数关系：（1）请根据所学的知识，选择合适的函数模型，求出y 与x 的之间的函数关系式；（2）设一周的销售利润为w 元，请求出w 与x 的函数关系式，并确定当销售单价为多少时一周的销售利润最大，并求出最大利润；（3）商场决定将一周销售T 恤衫的利润全部捐给某村用于精准扶贫的水网改造项目，在商场购进该T 恤衫的资金不超过6000 元情况下，请求出该商场最大捐款数额是多少元？【答案】(1) y=−5x+600；(2)当销售单价为80元时一周的销售利润最大，最大利润为答：当销售单价为80元时一周的销售利润最大，最大利润为8000元；(3)∠商场购进该T 恤衫的资金不超过6000元，∠y∠6000÷40，即−5x+600∠150，解得：x∠90，∠w=−5(x−80)2+8000中，当x>80时w 随x 的增大而减小，∠当x=90时，w 取得最大值，最大值为7500，答：该商场最大捐款数额是7500元.【点睛】此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列出函数关系式.50．探究：如图∠，直线123l l l ，点C 在2l 上，以点C 为直角顶点作90ACB ∠=，角的两边分别交1l 于3l 于点A 、B ，连结AB .过点C 作1CD l ⊥于点D ，延长DC 交3l 于点E .求证：ACD CBE ∆∆∽.应用：如图∠，在图1的基础上，设AB 与2l 的交点为F ，若AC BC =，1l 与2l 之间的距离为2，2l 与3l 之间的距离为1，求AF 的长度.90，再由同角的余角相等可得，如此即可证明两个三角形相似；ACD CBE ≅∆13l ，CD ⊥90ADC CEB ∠=∠.90ACD DAC ∠+∠.90ACB ∠=，90ACD ECB ∠+∠.90，90，10AC =123l l ，23AF DC AB DE ==2103AF =. 【点睛】本题考查了相似和全等的关系以及平行线分线段成比例，运用平行线分线段。

浙教版九年级上册数学基础知识归纳

浙教版九年级上册数学根底知识归纳第一章反比例函数一、根底知识1. 定义：一般地，形如xk y =〔k 为常数，o k ≠〕的函数称为反比例函数。

xk y =还可以写成kx y =1- 2. 反比例函数解析式的特征：⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。

分子是不为零的常数k 〔也叫做比例系数k 〕，分母中含有自变量x ，且指数为1. ⑵比例系数0≠k⑶自变量x 的取值为一切非零实数。

⑷函数y 的取值是一切非零实数。

3. 反比例函数的图像 ⑴图像的画法：描点法① 列表〔应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数〕② 描点〔有小到大的顺序〕 ③ 连线〔从左到右光滑的曲线〕⑵反比例函数的图像是双曲线，xky =〔k 为常数，0≠k 〕中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸局部逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。

⑶反比例函数的图像是是轴对称图形〔对称轴是x y =或x y -=〕。

⑷反比例函数xky =〔0≠k 〕中比例系数k 的几何意义是：过双曲线xky =〔0≠k 〕上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。

4．反比例函数性质如下表：5. 反比例函数解析式确实定：利用待定系数法〔只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k 〕6．“反比例关系〞与“反比例函数〞：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数xk y =中的两个变量必成反比例关系。

7. 反比例函数的应用8、比拟正比例函数和反比例函数的性质第二章、二次函数1.定义：一般地，如果c baxy,,(cbxa2+=是常数，)0+a，那么y叫做≠x的二次函数.2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a的符号决定抛物线的开口方向：当0>a时，开口向上；当0<a时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状一样. 开口越小，绝对值越大。

②平行于y轴〔或重合〕的直线记作hx=.特别地，y轴记作直线0=x.3.求抛物线的顶点、对称轴的方法〔1〕公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（ab ac a b 4422--，对称轴是直线a b x 2-=. 〔2〕配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()kh x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.〔3〕运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。

daoecAAA浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题

d a oe c A A A浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题work Information Technology Company.2020YEAR浙教版九年级上册二次函数知识点总结及典型例题知识点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果特)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，特别注意a 不为零，那么y 叫做x 的二次函数。

)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式。

2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。

抛物线的主要特征：①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。

3、二次函数图像的画法--------五点作图法：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M ，并用虚线画出对称轴（2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。

将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。

当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。

由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。

如果需要画出比较精确的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。

【例1】、已知函数y=x 2-2x-3，（1）写出函数图象的顶点、图象与坐标轴的交点，以及图象与 y 轴的交点关于图象对称轴的对称点。

然后画出函数图象的草图；（2）求图象与坐标轴交点构成的三角形的面积：（3）根据第（1）题的图象草图，说出 x 取哪些值时，① y=0；② y<0；③ y>0知识点二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀----- 一般两根三顶点（1）一般一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）两根当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应的一元二次方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。

新浙教版九年级上册知识点及典型例题

九年级上册第一章二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2. 2y ax c =+的性质：上加下减。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a >向上 ()00，y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．0a <向下()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a > 向上()0c ，y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ．0a <向下 ()0c ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a >向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a <向下()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 22. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a >向上 ()h k ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．0a <向下()h k ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离2214b acAB x x a-=-=. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a++≠本身就是所含字母x的二次函数；下面以0a>时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：练习1、函数aaxy-=2与xay=在同一直角坐标系中的图象可能是（）A B C D2、反比例函数y = k -1x与一次函数y = k (x+1)在同一坐标系中的象只可能是（）3、某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件，调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件．（1）请写出每月销售该商品的利润y元与单价上涨x元的函数关系式；（2）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？∆>抛物线与x轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根∆=抛物线与x轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根∆<抛物线与x轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.第二章简单事件的概率一、可能性1、必然事件：有些事件我们能确定它一定会发生，这些事件称为必然事件．2、不可能事件：有些事件我们能肯定它一定不会发生，这些事件称为不可能事件．3、确定事件：必然事件和不可能事件都是确定的。

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浙教版初中数学九年级上知识点及典型例题第一章：反比例函数1、反比例函数的概念一般地，形如y ＝kx (k 为常数，k ≠0)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是x的函数，k 是比例系数. 注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；（2）解析式有三种常见的表达形式：（A ）y = xk （k ≠ 0）（B ）xy = k （k ≠ 0）（C ）y=kx -1（k ≠0）同步训练：1、已知函数y ＝（m ＋1）x22-m 是反比例函数，则m 的值为 .2、已知变量y 与x-5成反比例，且当x=2时 y=9,写出y 与x 之间的函数解析式.2、反比例函数的图像和性质反比例函数xky =(k ≠0)的图象是由两个分支组成的曲线。

当0>k 时，图象在一、三象限：当0<k 时，图象在二、四象限。

反比例函数ky =(k ≠0)的图象关于直角坐标系的原点成中心对称。

3、反比例函数解析式的确定确定及诶是的方法仍是待定系数法。

由于在反比例函数xky =中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式。

4、反比例函数中反比例系数的几何意义过反比例函数)0(≠=k xky 图像上任一点P 作x 轴、y 轴的垂线PM ，PN ，则所得的矩形PMON 的面积S=PM •PN=xy x y =•。

k S k xy xky ==∴=,, 。

同步训练： 1．反比例函数xky =的图象与正比例函数Y=3X 的图象，交于点A （1，m ），则m ＝________，反比例函数的解析式为__________，这两个图象的另一个交点坐标是_________. 2．已知（11x y ，），（22x y ，），（33x y ，）是反比例函数2y x-=的图象上的三个点，并且1230y y y >>>，则123x x x ，，的大小关系是（）（A ）123x x x <<；（B ）312x x x ><；（C ）123x x x >>；（D ）132.x x x ><同步训练：1、已知关于x 的函数)1(-=x k y 和xky -=（k ≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（）2、已知反比例函数xky =的图象与一次函数m kx y +=的图象相交于点)1,2(.（1）分别求这两个函数的解析式.（2）试判断点)5,1(--P 关于x 轴的对称点'P 是否在一次函数m kx y +=的图象上.第二章：二次函数1、二次函数定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2、二次函数的解析式有三种形式：（1）一般式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）顶点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax 有实根1x 和2x 存在时，根据二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。

如果没有交点，则不能这样表示。

3、二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4、二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5、二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6、抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7、顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8、求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9、抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故： ①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧； ③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab.10、几种特殊的二次函数的图像特征如下：11、用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式： ()()21x x x x a y --=. 12.、直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切；③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故ac x x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb a ca b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-=-=444222122122121同步训练：1、已知函数32-+=bx x y 的图像经过点（2，-3）（1）求这个函数解析式。

（2）求图像与坐标轴的交点坐标和顶点坐标，并画出函数大致的图像。

（3）当x ≥2时，求y 的取值范围。

2、已知函数)0(≠+-=a b ax y 的图像经过一、二、四象限，则函数bx ax y +=2的图像必不经过第象限。

3、抛物线c bx ax y ++=2与直线c ax y +=在同一平面直角坐标系中的图像大致是（）ＣＢＡ第三章：圆的基本性质（一）圆的定义在同一平面内，一条线段OP 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点P 所经过的封闭曲线叫做圆．定点O 就是圆心，线段OP 就是圆的半径．以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”．（二）圆的有关概念弦直径圆弧半圆劣弧优弧等圆同心圆（1）连结圆上任意两点的线段叫做弦，如图BC ．经过圆心的弦是直径，图中的AB 。

直径等于半径的2倍．（2）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．弧用符号“⌒”表示．小于半圆的弧叫做劣弧，如图中以B 、C 为端点的劣弧记做“ ”；大于半圆的弧叫做优弧，优弧要用三个字母表示，如图中的．(3)半径相等的两个圆能够完全重合，我们把半径相等的两个圆叫做等圆．例如，图中的⊙O1和⊙O2是等圆．圆心相同，半径不相等的圆叫做同心圆。

说明：圆上各点到圆心的距离都相等，并且等于半径的长；反讨来，到圆心的距离等于半径长的点必定在圆上．即可以把圆看作是到定点的距离等于定长的点的集合。

（三）三点确定一个圆？1：经过一个已知点A 能作多少个圆?结论：经过一个已知点A 能作无数个圆! 2：经过两个已知点A,B 能作多少个圆？结论：经过两个已知点A,B 能作无数个圆!讨论1：把这些圆的圆心用光滑线连接是什么图形？讨论2：这条直线的位置能确定吗？怎样画这条直线？ 3：经过三个已知点A 、B 、C 能作多少个圆？结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆（四）平面上点与圆的位置关系一般地，如果P 是圆所在平面内的一点，d 表示P 到圆心的距离，r 表示圆的半径，那么就有：d<r P 在圆内 d=r P 在圆上 d>r P 在圆外．（五）圆的有关概念定义：经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心,这个三角形叫做圆的内接三角形.举例、1：⊙O 是△ABC 的外接圆, △ABC 是⊙O 的内接三角形,点O 是△ABC 的外心即外接圆的圆心。