圆锥曲线第二定义

圆锥曲线第二定义解题例说

圆锥曲线的第二定义出现在例题中，教材中没有专门举例说明其应用，有很多同学对其认识不足，为此本文举例说明第二定义的应用。

一、求焦点弦长

例 1 过抛物线x 4y 2=的焦点F 作直线交抛物线于A （11y x ，）、B （22y x ，），若6x x 21=+，求|AB|的长。

解：设AB 的中点为E ，点A 、E 、B 在抛物线准线l ：1x -=上的射影分别为G 、H 、M 。由第二定义知：

8)1(2

x x 2|EH |2|BM ||AG ||BF ||AF ||AB |21=--+==+=+=。

二、求离心率

例2 设椭圆22

22b

y a x +=1（a>b>0）的右焦点为1F ，右准线为l 1，若过F 1且垂直于x 轴的弦的长度等于F 1到准线l 1的距离，求椭圆的离心率。

解：如图，AB 是过F 1垂直于x 轴的弦，|C F |1为F 1到准线l 1的距离，AD ⊥l 1于D ，则|AD|=|F 1C|，由题意知|AB |2

1|AF |1=

。 由椭圆的第二定义知： 2

1|AB ||AB |21|C F ||AB |21|AD ||AF |e 11====

三、求点的坐标

例3 双曲线13

y x 2

2

=-的右支上一点P ，到左焦点F 1与到右焦点F 2的距离之比为2：1，求点P 的坐标。 解：设点P （00y x ，）（0x 0>），双曲线的左准线为l 1：21x -=，右准线为l 2：21x =，则点P 到l 1、l 2的距离分别为2

1x d 21

x d 0201-=+=，。 所以，1221x 21

x d d PF PF 002121=-+

==，解得23x 0=。 将其代入原方程，得215y 0±=。因此，点P 的坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛±21523，。

四、求离心率的范围

例4 已知椭圆)0b a (1b

y a x 22

22>>=+，21F F 、分别是左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2=90°，求椭圆的离心率e 的取值范围。

解：设点P （00y x ，），则由第二定义得0201ex a c a x e |PF |+=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=，0022ex a x c a e |PF |-=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=。 因为21F PF ∆为直角三角形，所以2212221|F F ||PF ||PF |=+。

即222020c 4)c 2()ex a ()ex a (==-++ 解得22220e

a c 2x -=，由椭圆方程中x 的范围知220a x 0≤≤。

22

22a e a c 20<-≤∴，解得1e 22<≤。

五、求最值

例5 已知点A （32，-），设点F 为椭圆112

y 16x 2

2=+的右焦点，点M 为椭圆上一动点，求|MF |2|MA |+的最小值，并求此时点M 的坐标。

解：如图，过点A 作右准线l 的垂线，垂足为N ，与椭圆交于点M 。

∵椭圆的离心率2

1e = ∴由第二定义得|MN ||MF |2=

∴|MF |2|AM |+的最小值为|AN|的长，且1082|AN |=+=

∴|MF |2|AM |+的最小值为10，此时点M 的坐标为（32，3）