数学建模1

利用线性规划求解草坪安装问题模型

摘要：本文主要利用线性规划的方式，在不同的喷头中选出最优的组合并将其安装到矩形草坪中。前提是要做到无缝喷灌，使得草坪各处都可以浇灌到水。在本文的几个模型中，我们都做了喷头喷管的范围是一个稳定的圆面这一假设，并且是在草坪足够大的前提下，以至于边界上的误差可以忽略不计。主要利用几何学的知识，并根据需求做了相关的定义。利用LINGO求出最优解。

在问题一中，首先考虑了一种半径的喷头最优的结果，利用效率最大（82.7％）的时候，基本单元为正三角形；然后考虑两种喷头，其组合的最优利用率接近1，此时为等腰三角型，比给出了安装两种喷头的半径和安装图，最后考虑用尽可能多的喷头时，喷灌效率也接近1.

在问题二中，类比于问题一中的相关思想，由于一般三角形也具有良好的延展性，因而可以将单元格细化到一般三角形当中，定义出成本密度的概念。利用物理学中微扰理论的相关思想，先求出成本的主要来源，即喷头的安装，成本密度可以近似为喷头的成本密度。再考虑水管的安装，类比于电路的相关知识，水管网类比于电网，水流类比于电流，则考虑到实际情况要将水管分级安装，利用几何学的知识，找出各级水管的最优解。

在问题三中，

关键字：

模型背景：

我国是个农业大国，然而农业生产所需的水资源却呈现出，分布不均

匀，人均量较少，总体短缺较为严重的特点。因而改良灌溉技术迫在眉睫。近几年，随着农业科技的发展，各种灌溉的方案措施相继出现。喷灌的方法相对于其他浇灌方案有着水的利用率较高，成本较低，且操作简单，适宜大规模的浇灌的优势。本文将在之前的灌溉方案的基础上，建立数学模型，通过合理安排喷头和管道的位置，从而增大喷灌效率，较少喷灌成本，以改量现有的喷灌方案。

问题重复：

在目前干旱问题日趋严重的情况下，喷灌法已然成为一种上佳的灌溉方式，但是，为此要涉及到一个安装喷头的问题，根据喷头的流量、射程、价格等参数选择几种组合使用，安装时主要考虑位置和成本。

问题一：不考虑经济因素，在矩形草坪上，在保证完全喷洒到所有草坪的前提下，实现节约用水。

问题二: 在保证完全喷洒到所有草坪的前提下,实现成本最低。

问题三：相比于人工浇灌的方式，以目前自来水市价，收回成本所需的时间。

问题分析：

问题一：本问题的目标是节约用水，欲达到这一目的，尽量减少水的浪费，由于只要保证草坪每处都浇到水，因而可将本题定性为无缝浇灌的问题。

问题二：在考虑经济因素的情况下，主要考虑安装成本的问题，同时也不能忽视整块草坪上的用水量的问题。安装成本主要来自于喷头与水管的成本。

问题三：喷灌方式的用水量相较于人工灌溉的方式显然更加节省水资源，因而在水的花费上面显然更为节省，并在长时间累积下产生一个很大的差价，尽管，喷灌法需要预先的成本更大，但由于用水量更少，将会在未来收回成本。

符号说明：

符号含义

S’有效灌溉面积

S 实际灌溉面积

灌溉效率

模型一：

模型假设：

1，草坪视为一无穷大的平面(即不考虑草坪边界的喷灌情况).

2，每个喷头将水均匀喷灌在以喷头为中心的一个圆域内.

3，喷头在无风的条件下喷洒

4，地貌相对平坦。

5，同一个喷头喷射的半径是恒定的。

模型建立与求解：

让单位面积草从喷灌中获得的水等于q’，由假设2可得，可以将问题转化为讨论在的矩形区域，用一些圆对其进行完全覆盖，要求相交的面积竟可能的少。

首先考虑只有一种半径的园的情况，算出喷灌效率。然后考虑有两种

喷头的情况，当两种喷头的情况下，理论效率已经接近1，就没有考虑三种极其以上的组合。

当只有一种半径的时候

其基本元素图形[1]为正n(n≥3)边形, 正n 边形的每个内角

值为M , 显然M =180(n- 2)/n , 又设X =360/M(显然有: X ≥3, X ∈N

则

X =2n/(n -2)→n =2X /(X -2)= 2+4/(X -2)

解此不定方程得: X = 3, n= 6; X = 4; n= 4; X = 6, n= 3.

即: 在单元正规拼装中, 其基本元素图形只可能是正三角形、正四边形、正六边形.

又正三角形、正四边形、正六边形可以如下图1 的方法进行全平面拼装:

当基本单元为正三角形时

如图所示：

设园的半径为r,则：

()827

.0/'6

1334

3''2

2==**=*==δδπS

S R S R S S S ABC

当基本图形为四边形形时，图形如下

设半径为R 则

()637

.0/'4

142''22

==**===δδπS

S R S R S S S ABCD

当基本图形为正六边形时

则： 413

.0/'3

16436''22==**=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛*==δδπS S R S R S S S ABCDEF

当两种喷射半径的喷头时，其实就是用两种组合圆拼图。首先考虑基本单元为正多边形

当为正三角形时，图形如下：

设三角形的边长为2a ，以三角形的中心为圆心，R 为半径作圆，以三角形的三个顶点为圆心，作半径为r 的园。

则：

()S S r R S R S S S ABC

/'213''222

=⎪⎭⎫ ⎝

⎛+*===δπ

由余弦定理可得：

()()496

.09

1093203323'34332233

4332max 2

min 2222

2=*==⇒=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+*-*=+*-=δππa S a r a r S a r a r S a r a r R r r 当基本图形为正方形[2]时，图形如下

设正方形边长为2a,以正方形的中心为圆心，R 为半径作园；再以四个顶点为圆心，作半径为r 的圆。

则

由图形可知：

()2

22r a a R -+=

当基本图形为正六边形时，图形如下：