《中学代数研究》第2章--式、代数式,不等式
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零多项式：各个系数都等于零的多项式
多项式的次数：ki +li +...+qi(i 1, 2,..., s)中的最大非负整数值
多项式恒等——数域 上的两个具有相同变数字母的多项式，如果对于变数字 母的所有取值，这两个多项式的值都相等，那么称这两个多项式是恒等的。 定理：以标准形式给出的两个多项式恒等的充分且必要的条件是这两个多 项式的对应项分别是具有相同系数的同类项。（待定系数法的理论依据）
2015/12/21
பைடு நூலகம்
1631年，英国数学家使用“×”表示乘法， 1998年莱布尼兹用“•”表示乘法。1659年，瑞士人 雷恩引入除法的记号“÷”。1557年英国数学家首先 使用等号，但到17世纪晚期才普遍使用。 1693年英国数学家写出的方程的形式和现代的方 程符号非常一致。 至于指数、 对数、 方根、 绝对值、 阶乘等等 符号，都先后在欧洲出现。经过几百年的磨合，也随 着19世纪末、20世纪初国际交往的扩大，终于有了比 较统一的国际通用的数学符号。 中国普遍使用国际通用数学符号相当晚。满清政 府推行“中学为体，西学为用”的政策，在符号使用 上拒绝和国际接轨。
2015/12/21
解析式分为代数式和超越式。 代数式只含有加、减、乘、除四则运算和有理数 次的乘方开方运算，
超越式则是含有超越运算的解析式。例如，sin, x cos, lg, a (x是无理数)等等。 超越式 解析式 无理式
代数式
有理式
整式
分式。 对于整式,根据其不定元数和次数，还分别有不同 的名称。k元n次式。
中学代数研究第二章
1 2015/12/21
第二章
式、代数式与不等式
数学主要是一种符号语言。 数学式能够方便地表达一定的逻辑含义，这标志 着符号数学语言的产生。 学生学会运用符号语言表示数学思想，这是数学 教育的一项重要的目标，也是学生必须掌握的一切数 学基本能力。
2015/12/21
第一节
数学符号简历
2015/12/21
指数式与对数式
1.如果a 0, 规定a0 1
2. 3.
4.
a a , 其中a 0, q N , q 1 a a p , 其中a 0, p, q N , q 1
1 a s , 其中a 0, s是任何正有理数 a
s
p q q
1 q
q
2015/12/21
现在的小学里，已经使用符号来代表数。例如， 7+( )=16?，就是用括号代表所要求的数，括号也是 符号。 进入中学学习“代数”，正式提出“字母表示数” 的课题，要求用字母x代替要求的未知数。 利用字母表示的数学符号称为形式符号。一旦数 学引入了形式符号，符号语言就开始发挥重大的作用。
2015/12/21
整式
求证：ax 2 2bxy cy 2 2dx 2ey f 是一个完全平方式的 充要条件是：ac b2 , af d 2 , cf e2 , 且a, c, f 是非负实数。
2015/12/21
分式
有理分式：两个多项式的比 P( x, y, Q( x, y, , z) , z)
2015/12/21
根式
算术根—— n次幂等于 A的非负实数 ，称为数A的 n次算术根，并记作
a n A( A 0, n N , n 1), 其中n称为根指数，A称为被开方数
最简根式——如果根式的被开方数的指数和根指数是互质的，被开方数的每 一个因式的指数都小于根指数，并且被开方数不含有分母，那么称这个根 式为最简根式。
2015/12/21
第三节
字母表示数
在中学里，许多术语和概念都难以严格定义，往 往只是一种形象性的描述。 有的概念本身很原始，没有办法再用逻辑方法加 以严格地定义。还有一些则是太复杂，难以说清楚。 对于这类数学法则，初学者一般只需要承认他，并能 加以运用就行了。
有一些知识，虽然教师需要透彻理解，而学生只需 要了解其大意，会用即可。文字代表数，就是其中之一。
ab 化简： a b
2
b a
a b
4ab
2015/12/21
指数式与对数式
定理(对数存在定理)：如果正实数a 1，那么对于任一给定的正实数N， 有唯一的实数 , 使a N 定义：如果不等于1的正实数a的某次乘方的幂等于正实数N，那么 称这个幂的指数是以 a为底的N的对数，记做 log a N .
2015/12/21
整式
整式（多项式）：A1 xk1 yl1 z q1 A2 x k2 y l2 z q2 As x ks y ls z qs (s 1)
注意：是数域 F上的多项式，变数字母 x,y,…z所取的数值都属于数域F
A1 xki yli
z qi 称为多项式的项，Ai 称为项的系数，ki、li、 ...qi都是非负整数
这就是不定元带给我们的好处。
2015/12/21
第四节
解析式
由于研究方程、函数等的需要，对于那些用运算符 号、函数符号、括号，作用于数字和字母之上形成的 数学式称为解析式。
例如，3·(12-7), ax-by+3z, n!, xdx+ydy, ∫sinxdx 等等都是解析式，其中的x,y,z是不定元 。 解析式可以看作是不定元通过运算符号连接起来的 符号串。不定元的个数，称为解析式的“元”数。前 后用加减号隔开的那一部分称为解析式的“项”。
在初等数学中，三角函数的定义是用几何方法建立起来的，它仅仅给出了 自变数的取值与三角函数值的对应，而不能给出直接由自变数的值计算三 角函数值的公式。 在数学分析教程中，用泰勒公式可将三角函数展开为幂级数。事实上，三 角式的概念及其运算关系的建立并不依赖于几何的解释。 定义——对于实数 ，符号 C(x)称为解析余弦， S(x)称为解析正弦，其中
5.
当 是正无理数，a是正实数，a lim a lim a
n n
n
n
6.
1 , 分别是 精确到 n 的不足近似值和过剩近似值 10 1 当 是正无理数，a是正实数，规定a- a
n n
2015/12/21
三角式与反三角式
在初等数学中，三角函数由几何性质给出定义，但研究由三角式与反三角 式给出的解析式主要是运用代数的方法，并且着重于三角式与反三角式的 恒等变形。
2015/12/21
数学教学中，常常见到：先讲例子，然后引出文字 的定义，最后说它的记号是什么。 既然符号是一种语言，具有深刻的含义，就应该及 早出现，讲清意义, 多加使用，尽量练习，有时甚至先 介绍符号，逐一加以解释，往往可以收到“事半功倍” 的效果。 今天的计算机时代里，控制计算机的语言恰恰是“符 号语言”。程序语言归根结底是一种特定的符号语言。 数学学得好，多半计算机学得好。 把数学符号仅仅帮助记号，而不把它作为语言教学， 是不对的。 符号语言的运用是数学的特征之一，学会使用符号 语言表述丰富的思想，并用以指挥计算机进行操作，是 人类理性思维发展的必备基础。
2015/12/21
方程就是一种条件等式。 习惯上把“含有未知数的等式叫做方程” 。 问题: x--x=0; 0·x=0; sin x+cos x=1,
2 2
是不是方程?
2015/12/21
习惯上把“含有未知数的等式叫做方程”，其实并不 完全。我们习惯上不会把含有未知数的恒等式叫做方程。 所以
x--x=0; 0·x=0; sin x+cos x=1, 这样的等式，都不属于方程的研究范围。
2015/12/21
第二节
数学符号语言----代数式
从历史上看，每一个重大的数学进展都和数学符 号的创造性运用分不开。阿拉伯人用字母代表数，创 立了代数的新纪元。 用符号写成的微分方程成为描写现代世界的最强 有力的工具。抽象代数可以说是研究符号运算的数学 分支。……
数学符号语言的运用，使复杂的数学推理成为可能。 理性思维的基本品质之一是善于使用符号语言。
有理分式的定义域：在已知数域内，任意一组使 的分母不为0的自变数值。
P ( x, y , Q ( x, y ,
, z) , z)
1 1 1 1 化简： a a b a c a d b b a b c b d c c a c b c d d d a d b d c
方程的根的数目可以是无限的。 例如x +y =1的根的集合对应平面上的点集合组成一 个圆。
2 2
2
2
2015/12/21
类似地，把两个解析式用不等号连接起来的式子 称为不等式，也有绝对不等式和条件不等式之分。
在现实世界中，两个量一般情形之下可能相等， 也可能不等，而相等只是一种特殊情形。数学的任务 是找出那些相等的数量关系。
2015/12/21
1859年，李善兰在翻译第一部微积分著作时，还 使用许多自己创作的符号。
由此可见中国融入世界数学的艰难。辛亥革命之 后，李善兰创造的这套早期符号，终于废弃不用。用 x,y,z取代天,地,人的过程，前后经历了半个世纪之久。
1919年五四运动以后，中国开始普及现代学校教育， 国际通用的数学符号终于在我国逐渐传播开来。
2015/12/21
字母表示数可以分为以下的四个层次： 1.用文字泛指某个数集中的一个数。a+b =b+a（加 法交换律）。a，b泛指已经学过的数。
2.专指特定的数。列方程时所假设的未知数 x, y。 3.作为变量。例如，函数中的字母。 4.作为不定元参与数学运算。
2015/12/21
不定元也是符号，相当于一个词汇。至于不定元 如何和数字一样进行运算，则相当于“数学符号语言” 的语法。 字母代表数，是数学进步的一个重要里程碑。 其真正价值在于： “文字能够和数字一起进行四则运算和乘方、开 方，进行指数、对数、三角等运算，乃至对字母进行 微分、积分运算等等。 ”
例如，列出的各种方程，比例关系，函数的表示， 以及几何中勾股定理等等都是等式。等式的变换是数 学学习的基本技能。 从合并同类项，配方、因式分解，到方程的同解变 形，函数的运算变换，三角函数的恒等变换等，贯穿 整个中学数学学习的始终。
x2 x4 x6 C ( x) 1 , 2! 4! 6! x x3 x5 x 7 S ( x) 1! 3! 5! 7!
2015/12/21
反三角式
对于实数(-1 x 1), 如果 sin(arcsin x) x, cos(arccos x) x, 并且-
2015/12/21
强调数学学习的重要性，原因之一在于数学能够 培养学生熟练地使用形式符号进行推理的能力，并且 由此提高理性思维的品质和素养。
对数学教师来说，能否帮助学生掌握符号语言的 运用，是教学能否取得成功的关键之一。 数学语言中的符号不仅仅是简单的符号约定，合 理的符号体系是逻辑演绎的有力工具。 在数学中，符号具有逻辑的功能，是可以运算求 解的对象。 一个数学模型，往往就是一个用符号写成的方程， 是一种科学规律的简洁表示，具有深刻的内涵。例如 函数符号，极限的记号。
2
arcsin x
2
， 0 arcsin x
表达式 arcsin x,arccos x分别称为反正弦、反余弦，
2015/12/21
我们研究的主要对象是用数学式（主要是解析式） 构成的等式和不等式。
解析式中一般含有不定元，它可以取某些数值，所以， 解析式最终代表数值，因而具有大小和相等关系。 把两个解析式用等号连接起来的式子称为等式，又 可分为恒等式和条件等式。 恒等式也称为绝对等式。在数学运算中，善于进行 恒等变形是一项基本数学能力。例如，合并同类项，因 式分解，配方等等整式运算，方程的恒等变形，三角恒 等变换等，都是非常重要的基本运算能力。
古代数学涉及的抽象概念很少，也很少利用抽象 符号。《几何原本》就不使用数学符号。
公元10世纪左右的阿拉伯数学，用文字代表数， 使得数和文字可以实行运算，并借此求未知数，这是 一项重大贡献。 15～16世纪，数学有了重大发展，对数的产生、 方程的求解等等进步，要求使用精确、简约的符号表 达复杂的数学概念并进行运算。最早使用“+” “-” 表示加减的是德国数学家。
多项式的次数：ki +li +...+qi(i 1, 2,..., s)中的最大非负整数值
多项式恒等——数域 上的两个具有相同变数字母的多项式，如果对于变数字 母的所有取值，这两个多项式的值都相等，那么称这两个多项式是恒等的。 定理：以标准形式给出的两个多项式恒等的充分且必要的条件是这两个多 项式的对应项分别是具有相同系数的同类项。（待定系数法的理论依据）
2015/12/21
பைடு நூலகம்
1631年，英国数学家使用“×”表示乘法， 1998年莱布尼兹用“•”表示乘法。1659年，瑞士人 雷恩引入除法的记号“÷”。1557年英国数学家首先 使用等号，但到17世纪晚期才普遍使用。 1693年英国数学家写出的方程的形式和现代的方 程符号非常一致。 至于指数、 对数、 方根、 绝对值、 阶乘等等 符号，都先后在欧洲出现。经过几百年的磨合，也随 着19世纪末、20世纪初国际交往的扩大，终于有了比 较统一的国际通用的数学符号。 中国普遍使用国际通用数学符号相当晚。满清政 府推行“中学为体，西学为用”的政策，在符号使用 上拒绝和国际接轨。
2015/12/21
解析式分为代数式和超越式。 代数式只含有加、减、乘、除四则运算和有理数 次的乘方开方运算，
超越式则是含有超越运算的解析式。例如，sin, x cos, lg, a (x是无理数)等等。 超越式 解析式 无理式
代数式
有理式
整式
分式。 对于整式,根据其不定元数和次数，还分别有不同 的名称。k元n次式。
中学代数研究第二章
1 2015/12/21
第二章
式、代数式与不等式
数学主要是一种符号语言。 数学式能够方便地表达一定的逻辑含义，这标志 着符号数学语言的产生。 学生学会运用符号语言表示数学思想，这是数学 教育的一项重要的目标，也是学生必须掌握的一切数 学基本能力。
2015/12/21
第一节
数学符号简历
2015/12/21
指数式与对数式
1.如果a 0, 规定a0 1
2. 3.
4.
a a , 其中a 0, q N , q 1 a a p , 其中a 0, p, q N , q 1
1 a s , 其中a 0, s是任何正有理数 a
s
p q q
1 q
q
2015/12/21
现在的小学里，已经使用符号来代表数。例如， 7+( )=16?，就是用括号代表所要求的数，括号也是 符号。 进入中学学习“代数”，正式提出“字母表示数” 的课题，要求用字母x代替要求的未知数。 利用字母表示的数学符号称为形式符号。一旦数 学引入了形式符号，符号语言就开始发挥重大的作用。
2015/12/21
整式
求证：ax 2 2bxy cy 2 2dx 2ey f 是一个完全平方式的 充要条件是：ac b2 , af d 2 , cf e2 , 且a, c, f 是非负实数。
2015/12/21
分式
有理分式：两个多项式的比 P( x, y, Q( x, y, , z) , z)
2015/12/21
根式
算术根—— n次幂等于 A的非负实数 ，称为数A的 n次算术根，并记作
a n A( A 0, n N , n 1), 其中n称为根指数，A称为被开方数
最简根式——如果根式的被开方数的指数和根指数是互质的，被开方数的每 一个因式的指数都小于根指数，并且被开方数不含有分母，那么称这个根 式为最简根式。
2015/12/21
第三节
字母表示数
在中学里，许多术语和概念都难以严格定义，往 往只是一种形象性的描述。 有的概念本身很原始，没有办法再用逻辑方法加 以严格地定义。还有一些则是太复杂，难以说清楚。 对于这类数学法则，初学者一般只需要承认他，并能 加以运用就行了。
有一些知识，虽然教师需要透彻理解，而学生只需 要了解其大意，会用即可。文字代表数，就是其中之一。
ab 化简： a b
2
b a
a b
4ab
2015/12/21
指数式与对数式
定理(对数存在定理)：如果正实数a 1，那么对于任一给定的正实数N， 有唯一的实数 , 使a N 定义：如果不等于1的正实数a的某次乘方的幂等于正实数N，那么 称这个幂的指数是以 a为底的N的对数，记做 log a N .
2015/12/21
整式
整式（多项式）：A1 xk1 yl1 z q1 A2 x k2 y l2 z q2 As x ks y ls z qs (s 1)
注意：是数域 F上的多项式，变数字母 x,y,…z所取的数值都属于数域F
A1 xki yli
z qi 称为多项式的项，Ai 称为项的系数，ki、li、 ...qi都是非负整数
这就是不定元带给我们的好处。
2015/12/21
第四节
解析式
由于研究方程、函数等的需要，对于那些用运算符 号、函数符号、括号，作用于数字和字母之上形成的 数学式称为解析式。
例如，3·(12-7), ax-by+3z, n!, xdx+ydy, ∫sinxdx 等等都是解析式，其中的x,y,z是不定元 。 解析式可以看作是不定元通过运算符号连接起来的 符号串。不定元的个数，称为解析式的“元”数。前 后用加减号隔开的那一部分称为解析式的“项”。
在初等数学中，三角函数的定义是用几何方法建立起来的，它仅仅给出了 自变数的取值与三角函数值的对应，而不能给出直接由自变数的值计算三 角函数值的公式。 在数学分析教程中，用泰勒公式可将三角函数展开为幂级数。事实上，三 角式的概念及其运算关系的建立并不依赖于几何的解释。 定义——对于实数 ，符号 C(x)称为解析余弦， S(x)称为解析正弦，其中
5.
当 是正无理数，a是正实数，a lim a lim a
n n
n
n
6.
1 , 分别是 精确到 n 的不足近似值和过剩近似值 10 1 当 是正无理数，a是正实数，规定a- a
n n
2015/12/21
三角式与反三角式
在初等数学中，三角函数由几何性质给出定义，但研究由三角式与反三角 式给出的解析式主要是运用代数的方法，并且着重于三角式与反三角式的 恒等变形。
2015/12/21
数学教学中，常常见到：先讲例子，然后引出文字 的定义，最后说它的记号是什么。 既然符号是一种语言，具有深刻的含义，就应该及 早出现，讲清意义, 多加使用，尽量练习，有时甚至先 介绍符号，逐一加以解释，往往可以收到“事半功倍” 的效果。 今天的计算机时代里，控制计算机的语言恰恰是“符 号语言”。程序语言归根结底是一种特定的符号语言。 数学学得好，多半计算机学得好。 把数学符号仅仅帮助记号，而不把它作为语言教学， 是不对的。 符号语言的运用是数学的特征之一，学会使用符号 语言表述丰富的思想，并用以指挥计算机进行操作，是 人类理性思维发展的必备基础。
2015/12/21
方程就是一种条件等式。 习惯上把“含有未知数的等式叫做方程” 。 问题: x--x=0; 0·x=0; sin x+cos x=1,
2 2
是不是方程?
2015/12/21
习惯上把“含有未知数的等式叫做方程”，其实并不 完全。我们习惯上不会把含有未知数的恒等式叫做方程。 所以
x--x=0; 0·x=0; sin x+cos x=1, 这样的等式，都不属于方程的研究范围。
2015/12/21
第二节
数学符号语言----代数式
从历史上看，每一个重大的数学进展都和数学符 号的创造性运用分不开。阿拉伯人用字母代表数，创 立了代数的新纪元。 用符号写成的微分方程成为描写现代世界的最强 有力的工具。抽象代数可以说是研究符号运算的数学 分支。……
数学符号语言的运用，使复杂的数学推理成为可能。 理性思维的基本品质之一是善于使用符号语言。
有理分式的定义域：在已知数域内，任意一组使 的分母不为0的自变数值。
P ( x, y , Q ( x, y ,
, z) , z)
1 1 1 1 化简： a a b a c a d b b a b c b d c c a c b c d d d a d b d c
方程的根的数目可以是无限的。 例如x +y =1的根的集合对应平面上的点集合组成一 个圆。
2 2
2
2
2015/12/21
类似地，把两个解析式用不等号连接起来的式子 称为不等式，也有绝对不等式和条件不等式之分。
在现实世界中，两个量一般情形之下可能相等， 也可能不等，而相等只是一种特殊情形。数学的任务 是找出那些相等的数量关系。
2015/12/21
1859年，李善兰在翻译第一部微积分著作时，还 使用许多自己创作的符号。
由此可见中国融入世界数学的艰难。辛亥革命之 后，李善兰创造的这套早期符号，终于废弃不用。用 x,y,z取代天,地,人的过程，前后经历了半个世纪之久。
1919年五四运动以后，中国开始普及现代学校教育， 国际通用的数学符号终于在我国逐渐传播开来。
2015/12/21
字母表示数可以分为以下的四个层次： 1.用文字泛指某个数集中的一个数。a+b =b+a（加 法交换律）。a，b泛指已经学过的数。
2.专指特定的数。列方程时所假设的未知数 x, y。 3.作为变量。例如，函数中的字母。 4.作为不定元参与数学运算。
2015/12/21
不定元也是符号，相当于一个词汇。至于不定元 如何和数字一样进行运算，则相当于“数学符号语言” 的语法。 字母代表数，是数学进步的一个重要里程碑。 其真正价值在于： “文字能够和数字一起进行四则运算和乘方、开 方，进行指数、对数、三角等运算，乃至对字母进行 微分、积分运算等等。 ”
例如，列出的各种方程，比例关系，函数的表示， 以及几何中勾股定理等等都是等式。等式的变换是数 学学习的基本技能。 从合并同类项，配方、因式分解，到方程的同解变 形，函数的运算变换，三角函数的恒等变换等，贯穿 整个中学数学学习的始终。
x2 x4 x6 C ( x) 1 , 2! 4! 6! x x3 x5 x 7 S ( x) 1! 3! 5! 7!
2015/12/21
反三角式
对于实数(-1 x 1), 如果 sin(arcsin x) x, cos(arccos x) x, 并且-
2015/12/21
强调数学学习的重要性，原因之一在于数学能够 培养学生熟练地使用形式符号进行推理的能力，并且 由此提高理性思维的品质和素养。
对数学教师来说，能否帮助学生掌握符号语言的 运用，是教学能否取得成功的关键之一。 数学语言中的符号不仅仅是简单的符号约定，合 理的符号体系是逻辑演绎的有力工具。 在数学中，符号具有逻辑的功能，是可以运算求 解的对象。 一个数学模型，往往就是一个用符号写成的方程， 是一种科学规律的简洁表示，具有深刻的内涵。例如 函数符号，极限的记号。
2
arcsin x
2
， 0 arcsin x
表达式 arcsin x,arccos x分别称为反正弦、反余弦，
2015/12/21
我们研究的主要对象是用数学式（主要是解析式） 构成的等式和不等式。
解析式中一般含有不定元，它可以取某些数值，所以， 解析式最终代表数值，因而具有大小和相等关系。 把两个解析式用等号连接起来的式子称为等式，又 可分为恒等式和条件等式。 恒等式也称为绝对等式。在数学运算中，善于进行 恒等变形是一项基本数学能力。例如，合并同类项，因 式分解，配方等等整式运算，方程的恒等变形，三角恒 等变换等，都是非常重要的基本运算能力。
古代数学涉及的抽象概念很少，也很少利用抽象 符号。《几何原本》就不使用数学符号。
公元10世纪左右的阿拉伯数学，用文字代表数， 使得数和文字可以实行运算，并借此求未知数，这是 一项重大贡献。 15～16世纪，数学有了重大发展，对数的产生、 方程的求解等等进步，要求使用精确、简约的符号表 达复杂的数学概念并进行运算。最早使用“+” “-” 表示加减的是德国数学家。