(完整版)哈工大断裂力学讲义(第一章)

y
2 Im Z x2
y
(y
y
Im Z
Im Z
y ) y
y
2 Im Z x2
y
Im Z
y
2 Im Z y 2
y
Im Z
y2 Im Z 2 Im Z y
柯西黎曼条件
Re Z Im Z Im Z
y
x
Im Z Re Z Re Z
y
x
17
有
2 Im Z 2 Re Z y
2
§1.1 线弹性断裂力学的基本理论
线弹性断裂力学的基本理论包括： Griffith理论，即能量释放率理论； Irwin理论，即应力强度因子理论。
一、Griffith理论
1913年，Inglis研究了无限大板中含有一个穿透板厚 的椭圆孔的问题，得到了弹性力学精确分析解，称之为 Inglis解。1920年，Griffith研究玻璃与陶瓷材料脆性断 裂问题时，将Inglis解中的短半轴趋于0，得到Griffith 裂纹。
设金属材料的裂纹扩展单位面积所需要的塑性功为 U p ，则剩余强度和临界裂纹长度可表示为
8
c
2E( UP ) (1 2 )a
2E( UP )
a
平面应变 平面应力
2E( UP )
ac
(1 2 ) 2
2E( UP )
2
平面应变 平面应力
9
Irwin在1948年引入记号 G G 1 (W U ) 2 a
Irwin应用Westergaurd的 方法进行分析.
(1)Westergaurd应力函数 弹性力学平面问题的
求解，归结为要求求一个 应力函数.该函数边界条 件及双调和方程.这类问 题的应力,应变和位移.
Re ZⅠ y Im ZⅠ
15
其中： Z 为解析函数; Z, Z 为一次积分和二次积分. 首先证明: 4 0 满足双调和方程
4 ( )( ) x2 y2 x2 y2
因为: 2 2 Re ZⅠ 2 ( y Im ZⅠ)
解析函数的性质: (1)解析函数的导数和积分仍为解析函数 (2)解析函数的实部和虚部均满足调和方程
2 Re ZⅠ 0
16
2
2 ( y
Im
ZⅠ)
2 x2
(y
Im
ZⅠ)
2 y 2
(y
Im
Z
)
脆性物体断裂
7
二.Orowan与Irwin对griffith理论的解释与发展
Orowan在1948年指出，金属材料在裂纹的扩展过程 中，其尖端附近局部区域发生塑性变形。因此，裂纹扩展 时，金属材料释放的应变能，不仅用于形成裂纹表面所吸 收的表面能，同时用于克服裂纹扩展所需要吸收的塑性变 形能（也称为塑性功）。
表面裂纹:深度和长度皆处于构件表面的裂纹,可简化为 半椭圆裂纹.
深埋裂纹:完全处于构件内部的裂纹,片状圆形或片状椭 圆裂纹.
12
wenku.baidu.com
2.按裂纹的受力和断裂特征分类 张开型(Ⅰ型):拉应力垂直于裂纹扩展面, 裂纹上、下表面沿作用力的方向张开,裂 纹沿着裂纹面向前扩展,是最常见的一种 裂纹.
滑开型(Ⅱ型):裂纹扩展受切应力控制, 切应力平行作用于裂纹面而且垂直于裂 纹线,裂纹沿裂纹面平行滑开扩展.
能量释放率 外力功 释放出的应变能
能量释放率也称为裂纹扩展能力
G 准则
G Gc
Gc 临界值,由试验确定
Irwin的理论适用于金属材料的准脆性破坏—破坏前裂
纹尖端附近有相当范围的塑性变形 .该理论的提出是线弹性
断裂力学诞生的标志.
10
三.应力强度因子理论
裂纹尖端存在奇异性,即:
iy (r, )
1 r
(r 0)
基于这种性质，1957年Irwin
K
提出新的物理量—应力强度因子
,即：
K lim r 0
2 r yy (r, 0)
1960年Irwin用石墨做实验,测定开始裂纹扩展时的 K Kc
断裂判据( K 准则)
K Kc
11
§1.2 裂纹的类型.裂纹尖端附近的应力场和位移值 一.裂纹的类型
1.按裂纹的几何类型分类 穿透裂纹:裂纹沿构件整个厚度贯穿.
3
Griffith研究了如图所示厚度为B的薄平板。上、下端受 到均匀拉应力作用，将板拉长后，固定两端。由Inglis解得到 由于裂纹存在而释放的弹性应变能为
U 1 2 a2 2B
E
U 1 a2 2B
E
平面应变 平面应力
4
另一方面，Griffith认为，裂纹扩展形成新的表面， 需要吸收的能量为
S 2A 4a B
其中： 为单位面积上的表面能。
可以得到如下表达式
d (U S) 0 dA
临界状态
d (U S) 0 dA d (U S) 0 dA
裂纹稳定 裂纹不稳定
5
对于平面应力问题， dA 2Bda，则
dU 2 a
dA E
dS 2
dA
根据临界条件，有
c2 a 2
E 得临界应力为
或 2 ac 2
E
c
( 2E a
1
)2
表示无限大平板在平面应力状态下，长为2a裂纹失稳扩
展时，拉应力的临界值，称为剩余强度。
6
临界裂纹长度
2E ac 2
对于平面应变有
ac
2E (1 2 )
2
c
2E (1 2 )a
Griffith判据如下：
(1)当外加应力 超过临界应力 c
(2)当裂纹尺寸 a 超过临界裂纹尺寸 ac
第一章 线弹性断裂力学
1
线弹性断裂力学认为，材料和构件在断裂以前基本上处 于弹性范围内，可以把物体视为带有裂纹的弹性体。 研究裂纹扩展有两种观点：
一种是能量平衡的观点，认为裂纹扩展的动力是构件在 裂纹扩展中所释放出的弹性应变能，它补偿了产生新裂纹表 面所消耗的能量，如Griffith理论；
一种是应力场强度的观点，认为裂纹扩展的临界状态是 裂纹尖端的应力场强度达到材料的临界值，如Irwin理论。
22 2 (2 Re ZⅠ) 0
即函数 是平面问题的应力函数.
则应力分量:
x
2
y 2
2 y 2
(Re ZⅠ
y Im ZⅠ)
y
(
Re ZⅠ y
Im
ZⅠ
y
Im ZⅠ) y
y
( Im
ZⅠ
Im ZⅠ
y
Re ZⅠ)
Re ZⅠ
y
Re ZⅠ y
Re ZⅠ y Im ZⅠ
18
即 x Re ZⅠ y Im ZⅠ
13
撕开型裂纹(Ⅲ型):在平行于裂纹面 而与裂纹前沿线方向平行的剪应力 作用下,裂纹沿裂纹面撕开扩展.
二.裂纹尖端附近的应力场.位移场
1.Ⅰ型裂纹 问题的描述:无限大板,有一长为 2a 的穿透裂纹,在无限
远处受双向拉应力 的作用.确定裂纹尖端附近的应力
场和位移场.
14
1939年Westergaurd应力函数