锐角三角函数的实际应用

广州卓越一对一初中数学教研部编著

1．边与边关系：a 2＋b 2＝c 2

2．角与角关系：∠A ＋∠B ＝90°

3．边与角关系，sinA ＝a c ，cosA ＝b c ，tanA ＝a b ，cota ＝b

a

4．仰角、俯角的定义：如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角

叫做

仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角

叫做俯角。右图中的∠1就是仰角，∠2就是俯角。

坡角、坡度的定义：坡面的铅垂高度与水平宽度的比叫做坡度 (或坡比)，读作i ，即i ＝AC

BC ，坡度通常用1:m 的形式，例如上图的1:2

的形

式。

坡面与水平面的夹角叫做坡角。 从三角函数的概念可以知道，

坡度与坡角的关系是i ＝tanB 。显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越

陡。

例：如图，若∠CAB = 90°，∠C = ∠α，∠BDA = ∠β，CD = m ，求AB.

解法：设AB = x ，在R t △BAD 中，tan tan AB x

DA ββ

=

=， 在R t △ABC 中，tan tan AB x

CA αα

==

∵ CA = CD + DA ∴

tan tan x x

m αβ

=+ 通过解方程求出知数x 的值

例1：某人在D 处测得大厦BC 的仰角∠BDC 为30°,沿DA 方向行20米至A 处,测得仰角∠BAC 为45°,求此大厦的高度BC 。

变式训练1：（2011广东）如图，小明家在A 处，门前有一口池塘，隔着池塘有一条公路l ，AB 是A 到l 的小路. 现新修一条路AC 到公路l . 小明测量出∠ACD =30º，∠ABD =45º，BC =50m . 请你帮小明计算他家到公路l 的距离AD 的长度（精确到0.1m ；参考数据：414.12≈，732.13≈）.

变式训练2：如图所示，小明家住在32米高的A 楼里，小丽家住在B 楼里，B 楼坐落在A 楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30

． （1）如果A B ，两楼相距A 楼落在B 楼上的影子有多长？ （2）如果A 楼的影子刚好不落．

在B 楼上，那么两楼的距离应是多少米？

330 m

A

B

C

D E α

︶

（结果保留根号）

2、仰角、俯角

当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角。 例2：（2011江苏淮安，23，10分）题图为平地上一幢建筑物与铁塔图，右图为其示意图.建筑物AB 与铁塔CD 都垂直于底面，BD=30m ，在A 点测得D 点的俯角为45°，测得C 点的仰角为60°.求铁塔CD 的高度

变式训练1：小明想测量塔BC 的高度．他在楼底A 处测得塔顶B 的仰角为60；爬到楼顶D 处测得大楼AD 的高度为18米，同时测得塔顶B 的仰角为30，求塔BC 的高度．

变式训练2：某高为5.48 m 的建筑物CD 与一铁塔AB 的水平距离BC 为330 m ，一测绘员在建筑物顶点D 测得塔顶A 的仰角a 为30°. 求铁塔AB 高.（精确到0.1 m ）.

30°

A

B

F E P

45°

变式训练3、（2011年三门峡实验中学3月模拟）如图，热气球的探测器显示，从热气球A 看一栋大楼顶部B 的俯角为30°，看这栋大楼底部C 的俯角为60°，热气球A 的高度为240米，求这栋大楼的高度．

3、方位角：指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°的角为方向角。

例3：一个半径为20海里的暗礁群中央P 处建有一个灯塔，一艘货轮由东向西航行，第一次在A 处观测此灯塔在北偏西60°方向，航行了20海里后到B ，灯塔在北偏西30°方向，如图. 问货轮沿原方向航行有无危险？

变式训练1：（2009广东中山，15，6分）如图所示，A 、B 两城市相距100km ，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB ），经测量，森林保护中心P 在A 城市的北偏东30°和B 城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km 为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什

么？（参考

数据：

1.732 1.414）

变式训练2:为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航任务．某天我护航舰正在某小岛A 北偏西45︒并距该岛20海里的B 处待命．位于该岛正西方向C 处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东60︒的方向有我军护航舰（如图所示），便发出紧急求救信号．我护航舰接警后，立即沿BC 航线以每小时60海里的速度前去救援．问我护航舰需多少分钟可以到达该商船

所在的位置C 1.4 1.7）

如图，小明从A 地沿北偏东 30方向走到B 地，再从B 地向正南方向走200m 到C 地，此时小明离A 地 m ．

4、坡度与坡角

坡角：把坡面与水平面的夹角α叫做坡角。

坡度：坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i 表示。即==:h

i h l l

， 坡度=tan h i l

α==

坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡

例4：（2011湖南衡阳，9，3分）如图所示，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1BC =5m ，则坡

面AB 的长度是（ ）

30°45°E D

C

B A

A．10m B．

C．15m D．

例5：（2011甘肃兰州，17，4分）某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i=1

坡度i=1∶1，则两个坡角的和为。

例6：(2006年福建省漳州市) 一个钢球沿坡角31°的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是（）A．5sin 31米B．5cos31米C．5tan 31米D．5cot 31米

例7：一水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽6.2米，坝高23.5米，斜坡AB的坡度i1＝1∶3，斜坡CD的坡度i2 = 1∶2.5。求：

(1) 斜坡AB与坝底AD的长度（精确到0.1米）；

(2) 斜坡CD的坡角α（精确到1°）。

变式训练1：某人沿着坡度i=1:3的山坡走了50米，则他离地面米。

变式训练2：（2011山东东营，8，3分）河堤横断面如图所示，堤高BC＝5米，迎水坡AB的坡比1

（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），则AC的长是（）

A．

B．10米C．15米D．

米

变式训练3：（08年顺义二模）20．一座建于若干年前的水库大坝的横断面为梯形ABCD，如图所示，其中背水面为AB，现准备对大坝背水面进行整修，将坡角由45°改为30°，若测量得AB=20米，求整修后需

占用地面的宽度BE的长．（精确到0.1

1.414, 1.732,

2.449≈≈≈

变式训练4、如图，水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽10米，坝高BE=CF=30米，斜坡AB的坡角∠A=30°，斜坡CD的坡度i=1:3，求坝底宽AD的长.（答案保留根号）