第四章课件保角变换8

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保角变换法

R R i c ln 2 wm t 1 R 1 R
式中
1 wm w1 w2 ， c 2
平板叶栅的一般绕流
为绕一个翼型的环量。
2.3.P9
（五）平板叶栅一般流动中环量的确定
环量的确定依据是弧立翼型绕流中的库塔 —— 恰普雷金条件。而栅中翼型尾缘点 B 必然是后驻点，此外速度是一有限值。经换算得
a) b)
2.3.P6
其复势为
t W 2 i R 1 R i ie ln ie ln R 1 R
流动奇点强度为
q1 q2 t sin
1 2 t cos
（三）平板叶栅纯环量绕流 b) 图示，栅前后只有列线方向速度 w1、w2 。
可见 L L t b , ，具体数值见图示曲线。由上述已解得的平板叶栅流动，可以求解由任何翼型组成的等价平面直列叶栅流动。
平板叶栅环量修正曲线
三、平面环列叶栅流动的解法
2.3.P11
设图示环列叶栅由 n 个翼型组成，流动自中心向外。可见，只要确定一个扇形区域内的流动即可。
平板叶栅无环量平行绕流
2
2.3.P4
q t cos
t sin
Z 平面复势
W z zei
表示速度为 1 的均匀流复势。变换为平面为 R 处相应放置点源、点汇
q 和点涡的绕圆流动。
其复势
t W 2 i R i 1 R e ln e ln R 1 R
变换为平面绕单位圆流动，且有
R R i W ln 1 1 4 R R

保角变换基础理论

一、基础知识 1 定义在自变量域我们对同一个点从两个方向趋近，这两个趋近方向的夹角与在因变量上趋近的方向夹角一致，称为保角变换 2泊松方程与拉普拉斯方程对于泊松方程：20ρϕε∇=（在静电场中，可以表示电势与电荷的分布关系）同时在没有电荷分布的地方满足拉普拉斯方程：20ϕ∇=3将在原来复杂的区域上的表达式通过一个变换，折射到宁一个区域上，使得某一分布函数得到简化变换的条件是泊松方程与拉普拉斯方程仍然成立22222x y∂∂∇=+∂∂，同时，我们定义x 、y 为ξ、η的函数：(,)x ξη、(,)y ξη 则x x x ξηξη∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂2222222()x x x x x x x x x x ξηξξηηξηξξηη∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+++ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 其中：222x x x x x ξηξηξξξηξξηξ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+=+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 同理：222x x x x x ηξηξηηηξηηξη∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+=+⋅ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 所以：222222222222x x x x x x x ξηξηξηξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ =++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 同理：222222222222y y y y y y y ξηξηξηξηξηξη∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++++ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 所以拉普拉斯方程变换为：22222222222222222222222x y x y x y xy xy x y y x ξξηηξξηηξηξηξηξηξη ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ ∇=+=+++++++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂要满足保角变换，其实部与虚部都需要满足拉普拉斯方程：20ξ∇=、20η∇= 将实部与虚部要满足的拉普拉斯方程代入上式：2222222222222x y x y x y ξξηηξη∂∂∂∂∂∂∂∂ ∇=+=+++∂∂∂∂∂∂∂∂ ()'f z ix xξη∂∂=+∂∂（对于趋近方向为：0,0x y ∆→∆=） 222222"()f z x x x y y x ξηξξηη ∂∂∂∂∂∂=+=+=+ ∂∂∂∂∂∂将其代入：22222222'()'()'f z f z ξη ∂∂∇=+=∇∂∂也就是说，原坐标下的拉普拉斯方程与泊松方程变换为：220'0ϕϕ∇=⇒∇=222001''()f z ρρϕϕεε∇=⇒∇= 那么对于一个线段，在原坐标系下长度为1，其在新的坐标系下长度为'()f z 二、常用的保角变换1. 线性变换f az b =+，显然'f a =，其几何效果如下：线性变换一般不单独使用：仅对原来的二位分布做了位似2.幂和根式n xn f z = i n in z Ae f A e ϕϕ=⇒=用来处理过原点的射线，原来的射线的长度ρ的取值范围为（0，+∞），求幂或根还是（0，+∞）将原来的自变量求幂次积，几何效果如下：假设有变换3f z =，其效果为：将原来的60°夹角变为180°，并且其中的点的分布也随之扩大角度，假设原来的函数为电势分布函数，求p 点的电势，则通过变换之后，在新的复平面得到了一个平行分布的电势图，设新的电势分布图中，边界上的电势为V 0，则空间中的电势分布为0u V C η=+⋅，其中，C 为常数，C 与介质表面的面密度σ相关，其正负与σ的正负相反我们在新的复平面中求出电势的表达式之后，再求逆变换得到在原来的复平面上的电势表达式：0u V C η=+⋅中，由原来的变换：()()()32332322333(3)(3)i x iy x x iy x iy iy x xy i x y y ξη+=+=+⋅++=−+−由实部对实部，虚部对虚部，得：233x y y η=− 将η代入电势表达式中：()2303u V C x y y =+⋅−得到电势关于x 、y 的表达式同理可以得到将原来的复平面上的表达式开根得到将原来的夹角缩小相应的倍数的变换方法3. 指对数变换（一）、对于指数函数：()z x iy x iy f e e e e +===⋅此处需要注意，这里使用了复变函数的幅角表示法，即：i z Ae ϕ=，所以此处的x e 为幅值，iy e 为幅角其几何空间意义如下：（1），复平面中平行于实轴的直线，其变换后的图像为过原点的射线对于原空间有一条平行于实轴的直线（(,)y const x ∈−∞+∞，），原来的x 的值为幅角，y 的值为幅值。

共形变换和保角变换

共形变换和保角变换
共形变换和保角变换是复变函数论中的重要概念。

共形变换是指保持角度不变的变换，即它保持两条曲线在交点处的夹角大小不变。

保角变换是指保持曲线上的角度不变的变换，即它保持曲线上各点的切线所成的角度不变。

共形变换和保角变换在物理学、工程学和自然科学中都有广泛应用。

例如，在地理学中，地图投影就是一种共形变换，它保持了地球表面上不同地区的地理特征和角度关系。

在流体力学中，一些流体运动模型中也使用了保角变换来描述流体的运动轨迹。

共形变换和保角变换在复变函数论中有着重要的应用。

它们可以用来研究复平面上的连续函数和解析函数的性质，以及解析函数在复平面上的分布和变换规律。

通过研究共形变换和保角变换，可以推导出许多复变函数的重要结论和定理。

因此，共形变换和保角变换是复变函数论中不可或缺的基础概念之一。

- 1 -。

复变函数及保角变换

§1 复变函数的定义由两个实数x，y确定的数z=x+i y称为复数。

x，y分别称为复数z的实部和虚部，记作x=Re z 和y =Im z。

Re和Im分别为表示复数实部和虚部的符号。

其中称为虚数单位。

显然z可以用直角坐标系（x，y）表示，x称为实轴，y称为虚轴。

坐标平面称为复平面，或者z平面。

因此，z平面上的任一点可记作称为复数z的模，称为z的幅角，其在[0，2 ]之间的值称为主幅角。

显然，复数可以写作极坐标表达形式。

设有一个复数z=x+i y的集合g。

对于集合g中的每一个复数z都有对应的复数值，w=u+i v，则称w是z的复变函数，记作w = f (z)。

给定一个复变函数就是在点（x，y）与（u，v）之间给出了一一对应关系。

因此，u，v均随x，y而确定，这就是说给定了一个复变函数和给定两个实变函数u=u（x，y），v=v（x，y）是等价的。

而且w=u（x，y）+i v（x，y）复变函数和实变函数同样有单值函数和多值函数，应该注意到实变函数的性质对于复变函数可能是不成立的。

例如复变函数中的对数函数w=ln z是多值的。

为了便于理解，以对数函数为例。

设。

上式对于z的所有不等于零的复数值定义了函数ln z。

在公式中包含一个任意的整数k，这就是说ln z是一个多值函数。

对于k的任一整数值，就有函数ln z的一个分支。

通常取k=0的那一支叫做的主值，即如果z的一个值对应着w的一个值，那么函数f（z）是单值函数；如果z的一个值对应着两个或两个以上的w值，则f（z）是多值函数。

集合g称为f（z）的定义集合。

§2 解析函数--复变函数的可导性复变函数的导数与实变函数的导数定义是相同的。

因此，关于实变函数的一系列微分公式与法则，可以完全照搬到复变函数上。

不过应该注意的是，复变函数的变量是复变量，不是实变量。

值得指出的是，实变函数的可导性要求当x＝x0+∆x 由左右两方趋近x0时，∆y/∆x的极限都存在而且相等。

第四章课件保角变换8

发生了变化．
同理可以证明，亥姆霍兹方程
2 x2
2 y 2
k 2
0
经变换后仍然服从亥姆霍兹方程
2 2 u 2 v2
k2 f '(z) 2
0
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注意到方程要比原先复杂，且前的系数可能
不是常系数．
保角变换法的优点不仅在于拉普拉斯方程、泊松方程等方程的类型在保角变换下保持不变，更重要的是，能将复杂边界问题变为简单边界问题，从而使问题得到解决．
W f (z) u(x, y) jv(x, y) x x(u,v), y y(u,v)
y
Z平面
t平面
W f (z)
O
x O
定理1 如果将由 z x iy 到 w u iv
的保角变换看成为二元（实变）函数 (x, y) 的由 x, y
u,v z w 到
的变量代换，则平面上的边界变成了
0
化简后得到
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2 x2
2 y 2
[(u )2 x
(
v x
)
2
](
2 u 2
+
2 v 2
)
|
f
( z) |2
2 2 ( u2 + v 2 )
注意到上式已经使用了：
w
f
(z)
u x
i
v x
对于保角变换 w f (z) 0, 因而只要
平面上的边界．我们能证明，如果 (x, y) 满足拉普拉斯方程，则经过保角变换后得到的 (u,v ) 也满足拉普拉斯方程．
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茹科夫斯基保角变换

茹科夫斯基保角变换
茹科夫斯基保角变换是指一种变换方法，用于把一个凸多边形映射到另一个凸多边形，保持所有角的大小和方向不变。

在数学上，一个茹科夫斯基保角变换可表示为：
z = f(z) = A + B \frac{z-z_0}{\overline{z}-\overline{z_0}}。

其中，z和z_0是原凸多边形和目标凸多边形的顶点坐标，A、B是复数常数，\overline{z}表示z的共轭复数。

茹科夫斯基保角变换具有以下性质：
1.保持角的大小和方向不变；
2.把界面上的点映射到界面上的点；
3.把凸多边形映射为凸多边形；
4.对于给定的点z_0，存在唯一的茹科夫斯基保角变换f(z)，将原凸多边形映射为目标凸多边形。

《流体力学》课件 3.9 保角变换

d w dW d d z d d z
在无穷远处，有：
d w d z
dW d
d dz
考虑到
dW d
kV
，
d dz
1 k
，有：
dw dz
V
三、环量的确定
1. 补充条件
dw 有限的常数
dz zB 2. 环量的确定
dz
d
E
0
dw 有限常数
dz zB
dw
d
E
w1 z
Q
2
lnz
i
h
Q
2
lnz
i
h
Q ln z2 h2 2
wz
w1 z
w1
a2 z
wz
Q
2
ln z2
a4 z2
h2
a4 h2
dz
d
k
；（其中：
k
是正的实数）
（根据黎曼定理这样的函数存在且是唯一的）
W
kV
w
z
kV R
kV
2
2 i
F z
ln
kV
F z
R
2
F z
ln
2 i
F
z
证明：1. 因W 是在 K D 上连续且在 D 内解析的函数， Fz是在 C D 上连续且在 D 内解析的函数。于是，根据复合函数的性质 wz W F z
一、保角变换的概念
w f z
V f lin w f ei Δz0 z
w wei f eiz f z ei
12
1 2
2 1` 2 1`
黎曼定理：
任何一个单连通区域必可通过某个保角变换变为另一个任意给定的单连通区域。

保角变换

1 应用原理及特点在矿场水力压裂中，如何针对有效渗透率和厚度不等的特定储层，设计出缝长和导流能力的优化方案，是应考虑的首要问题之一。

另外需要一种计算裂缝井产能的简易方法。

应用保角变换方法研究压裂井产能，其原理及特点是：①能将 z 平面上特别复杂的渗流问题转化为平面上一相对简单和易于求解的渗流问题；② 可准确地描述井筒附近较为复杂的流动型态( 裂缝内流动和非裂缝区域拟径向流动) 对压裂后产能的贡献，而且能对不同导流能力造成的复杂流线型态统一转化，因而具有广泛的适应性；③经过保角变换后假设的缝端封闭边界条件更符合实际，因保角变换后，裂缝端部位于主流线上。

以此为基础，应用质量守衡定律和达西运动方程，推导出了裂缝内原油流动所满足的压力二阶微分方程，并进行了产量的求解，与现有的典型曲线对比，一致性程度较好。

2 数学模型2、1模拟的假设条件模拟的假设条件是： ①垂直裂缝，且对称分布于油井的两边； ②假设裂缝剖面为矩形，高度恒定，并等于油层厚度； ③裂缝宽度相对油藏的供给半径来说非常小，即在进行保角变换时可忽略不记； ④裂缝内导流能力可以是有限导流，也可以是无限导流； ⑤油藏及裂缝内为单相流动，且符合达西线性定律； ⑥稳态渗流，且不考虑地层的垂向流动； ⑦不考虑地层和裂缝内的污染。

2、2模型的建立在 z 平面上建立一 Y 坐标系，保角变换转化为平面 r — s 坐标系( 图1 )图一保角变换示意图取保角变换为：chw L z f =2ww e e chw -+=式中：z 为Z 平面上的复变函数，i y x z +=，f L 为裂缝半长，m;w 为变换后的W 平面，''i y x w +=。

裂缝井的渗流问题从而演变为带状地层向中心线A 的单向渗流问题。

由于对称性，只研究平面中图示阴影部分的单向渗流问题。

其中'O 为''B A 的中点，即2''π=A O 。

保角变换能计算力

保角变换能计算力摘要：1.保角变换的定义和作用2.保角变换在计算力中的应用3.保角变换在实际问题的应用案例4.保角变换的局限性和发展前景正文：保角变换是一种数学变换，它在数学、物理等领域具有广泛的应用。

保角变换能够保持角度不变，仅改变长度和面积的比值。

在计算力方面，保角变换能够简化复杂的计算问题，提高计算效率。

保角变换在计算力中的应用主要体现在以下几个方面：1.坐标变换：在平面上，保角变换可以将一个复杂的图形变换到一个简单的图形，从而降低问题的复杂度。

例如，将极坐标变换为直角坐标，可以简化计算过程。

2.微积分：在求解微分方程、积分等问题时，保角变换可以将复杂的问题转化为简单的三角函数问题。

例如，在研究波动方程时，利用保角变换可以将空间坐标变换为复数坐标，从而简化问题的求解。

3.数值计算：在数值计算中，保角变换可以提高计算精度和稳定性。

例如，在求解非线性方程时，采用保角变换可以将方程变为易于求解的形式。

4.信号处理：在信号处理领域，保角变换被广泛应用于信号分析、滤波和信号重建。

例如，傅里叶变换和拉普拉斯变换就是两种常见的保角变换方法，它们能够将时域信号转换为频域信号，从而方便对信号进行分析和处理。

在实际问题中，保角变换的应用案例众多。

例如，在地震勘探、无线通信、图像处理等领域，保角变换技术都发挥着重要作用。

然而，保角变换也存在一定的局限性，如在处理奇异值问题时，保角变换可能失效。

因此，在未来发展中，我们需要不断探索新的变换方法，以应对更为复杂的问题。

总之，保角变换在计算力领域具有重要的应用价值。

通过简化复杂问题、提高计算效率，保角变换为科学研究和实际工程带来极大的便利。

保角变换-数学物理方法

在处理波动方程中的应用
波动方程是描述波动现象的基本方程，如声波、光波等。保角变换在处理波动方程中具有广泛应用。
通过保角变换，可以将波动方程转化为更容易求解的形式，如分离变量法或积分变换法等。这有助于我们更深入地理解波动现象的本质，并为实际工程问题提供解决方案。
在研究几何光学问题中的应用
几何光学是研究光线传播规律的科学。保角变换在几何光学中有重要应用，尤其是在处理光线折射和反射问题时。
02
常见的保角变换方法
极坐标变换
01
02
03
极坐标变换是一种常见的保角变换方法，它将平面上的点从直角坐标
系变换到极坐标系。
极坐标变换公式为：$x = rcostheta, y =
rsintheta$，其中$r$是点到原点的距离，
$theta$是点与x轴的夹角。
极坐标变换在处理与圆和极坐标相关的问题时非常有用，例如电场、磁场和流体力学中的问
发展高维空间的保角变换
将保角变换从二维平面扩展到高维空间，探索其在高维几何处理和计算几何等领域的应用。
保角变换的算法优化与改进
算法效率提升
针对现有保角变换算法的瓶颈，研究优化算法结构和计算过程，提高算法执行效率。
并行化与分布式计算
利用并行化和分布式计算技术，实现大规模保角变换任务的快速处理和实时响应。
弹性力学中的保角变换在结构分析、地震工程和材料科学等领
03
域有广泛应用。
03
保角变换在数学物理问题中的应用
在求解偏微分方程中的应用
偏微分方程是描述物理现象的重要工具，而保角变换可以用来求解某些偏微分方程。通过保角变换，可以将复杂的偏微分方程转化为更容易求解的形式，从而得到物理现象的解。

保角变换

∂u ∂u ∂v ∂v 1. , , , 在( x, y )点处存在； ∂x ∂y ∂x ∂y 2. 在( x, y )点处满足Cauchy − Riemann条件
∂u ∂v ∂v ∂u = , =− ∂x ∂y ∂x ∂y
逆命题不成立
xy , xy ≥ 0 f ( z ) = Re z ⋅ Im z = i | xy | , xy < 0
例：指出下列各式，哪些是区域，哪些不是？那些是有界区域？
二、复变函数的连续
设w=f(z)是定义在区域B上的单值函数，若在B内某点z0，极限
存在，则称函数f(z)在z0点处连续，如果w=f(z)在区域B上各点都连续，则称在区域B上连续。
1.3 导数
三、导数的定义
设w=f(z)是定义在区域B上的单值函数，若在B内某点z0，极限
f ( z ) − f ( z0 ) ∆ω lim = lim ∆z →0 ∆z z → z0 z − z0
存在，则称函数f(z)在z0点处可导，并称该极限值为函数f(z)在 z0点处的导数或微商，记为
f ′( z0 ),
d f ( z0 ) d f ( z) 或 d z z = z0 dz
说明
形式上类似于实变函数的一元函数的导数定义。形式上类似于实变函数的一元函数的导数定义。因此实变函数中一元函数的求导法则及初等函数的求导公式都可以照搬过来，只不过将实变量x改的求导公式都可以照搬过来，只不过将实变量改写成复数z而已而已。写成复数而已。 d d ω1 d ω2 ′ ′ d ω1 ω1ω2 − ω1ω2 = (ω1 ± ω2 ) = ± 2
四、Cauchy-Riemann条件设 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是定义在区域B内的函数，如果f(z)在任一点z=x+iy可导，则一定有下式成立