第四章课件保角变换8

平面上的边界．我们能证明，如果 (x, y) 满足拉普拉斯方 程，则经过保角变换后得到的 (u,v ) 也满足拉普拉斯方程．
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【证明】 利用复合函数求导法则有
x
u
u x
v
v x
2 x2
u
2u x2
2 u 2
( u )2 x
v
W f (z) u(x, y) jv(x, y) x x(u,v), y y(u,v)
y
Z平面
t平面
W f (z)
O
x O
定理1 如果将由 z x iy 到 w u iv
的保角变换看成为二元（实变）函数 (x, y) 的 由 x, y
u,v z w 到
的变量代换，则 平面上的边界变成了
发生了变化．
同理可以证明，亥姆霍兹方程
2 x2
2 y 2
k 2
0
经变换后仍然服从亥姆霍兹方程
2 2 u 2 v2
k2 f '(z) 2
0
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注意到方程要比原先复杂，且 前的系数可能
不是常系数．
保角变换法的优点不仅在于拉普拉斯方程、泊松方程 等方程的类型在保角变换下保持不变，更重要的是，能将 复杂边界问题变为简单边界问题，从而使问题得到解决．
下面，在介绍用保角变换法来求解拉普拉斯方程之前， 先介绍常用到的一些保角变换．
w ln z
z r ej
w ln r j
u ln r, v
u v
例 两个同轴圆柱构成柱形电容器，内外半径
分别为R1、R2，电势分别为 1、2。求导体内
任一点的电势。
y
z平面
1 2
R1
R2
x
v
1
w lnz 2 π
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w = 同理可以证明，在单叶解析函数 f ( z)
变换下，泊松方程
2 x2
2 y 2
( x,
y)
仍然满足泊松方程
2 2 u2 v2
1 f '(z) 2
[x(u, v), y(u, v)]
由上式可知，在保角变换下，泊松方程中的电荷密度
0
化简后得到
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2 x2
2 y 2
[(u )2 x
(
v x
)
2
](
2 u 2
+
2 v 2
)
|
f
( z) |2
2 2 ( u2 + v 2 )
注意到上式已经使用了：
w
f
(z)
u x
i
v x
对于保角变换 w f (z) 0, 因而只要
2v x2
2 v 2
( v )2 x
2
2 uv
u x
v x
同理
2 y 2
u
2u y 2
2 u 2
( u )2 y
v
2v y 2
2 v 2
( v )2 y
2 2 uv
u y
v y
两式相加得到
2 x 2
2 y 2
[( u )2 x
(
u y
)
2
]
2 u 2
+[( v )2 x
v ( y
)
2
]
2 v 2
ln R1
W平面
2
u
ln R2
2π
2
u 2
2
v 2
0
Au B
A 2 1 , B 1 ln R2 2 ln R1
ln R2 / R1
ln R2 / R1
Aln r B
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+
(
2u x 2
2u y 2
)
u
2v ( x2
2v y2 ) v
+2(
u x
v +
x
u y
v y
2 ) uv
利用解析函数 w f (z) u iv 的C-R条件
u x
v y
,
v u x y
以及解析函数的实部和虚部分别满足拉普拉斯方程的性质
2u x2
2u y 2
0,
2v x2
2v y 2
(x, y) 满足拉普拉斯方程，则 (u,v ）也满足拉
普拉斯方程，即为
2 x2
2 y 2
0
(
2 u 2
+
2 v2
)
0
这样我们就wenku.baidu.com结论：如果在 z x iy 平面上给定了 ( x, y) 的拉普拉斯方程边值问题，则利用保角变换
w w f (z) ，可以将它转化为 u iv 平面上
(u,v)的拉普拉斯方程边值问题．
保角变换法解定解问题的基本思想：
通过解析函数的变换或映射（这部分知识在复变函数论中 已经学习过）将 Z平面上具有复杂边界形状的边值问题变换为 W平面上具有简单形状（通常是圆、上半平面或带形域）的 边值问题，而后一问题的解易于求得．于是再通过逆变换 就求得了原始定解问题的解．
保角变换与拉普拉斯方程边值问题的关系