基本的三角分解法LU分解
数值计算方法LU分解法实验
数值计算方法LU分解法实验LU分解法是一种常见的数值计算方法，用于解线性方程组或求解矩阵的逆。
该方法的核心思想是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
在本篇文章中，我们将进行关于LU分解法的实验，并探讨其性能和应用。
首先，我们需要明确LU分解法的数学原理。
假设我们有一个n阶方阵A，LU分解法的目标是找到两个矩阵L和U，使得A=LU。
其中L是一个下三角矩阵，U是一个上三角矩阵。
然后，我们可以将原始的线性方程组Ax=b转化为两个新的方程组Ly=b和Ux=y。
通过求解这两个方程组，我们可以得到原始方程组的解。
接下来，我们将通过一个具体的例子来说明LU分解法的步骤和计算过程。
假设我们有以下方程组：2x+y+z=8-3x-y+2z=-11-2x+y+2z=-3首先，我们将系数矩阵A进行LU分解。
在这个例子中，我们可以得到下三角矩阵L和上三角矩阵U：L=100-1.510-1-11U=21101.52.5001然后，我们将方程组转化为Ly=b和Ux=y的形式。
解这两个方程组，可以得到y和x的值。
最终，我们可以得到方程组的解为x=2，y=3，z=-1通过以上的实例，我们可以看到LU分解法的步骤较为繁琐，但是它的结果是准确的。
那么，接下来我们将进行一系列实验，来评估LU分解法的性能和应用。
首先，我们将进行LU分解法的准确性测试。
我们将随机生成一组方程组，并使用LU分解法求解出它们的解。
然后，我们将使用该解验证原方程组，并计算出其误差。
我们重复这个过程多次，并计算平均误差。
通过这次实验，我们可以判断LU分解法的准确性。
其次，我们将评估LU分解法的计算效率。
我们将随机生成不同规模的方程组，并使用LU分解法求解它们。
然后，我们记录下求解所需的时间，并绘制出问题规模和求解时间的关系图。
通过这个实验，我们可以了解LU分解法在不同规模问题上的计算效率，从而评估其可行性和应用范围。
此外，我们还可以将LU分解法与其他数值计算方法进行比较。
矩阵论中不同形式的三角分解的优缺点
矩阵论是数学领域中的一个重要分支，它研究的是矩阵和线性方程组的理论和方法。
在矩阵论中，三角分解是一种常见的矩阵分解方法，它可以将一个复杂的矩阵分解为一个或多个简单的三角形矩阵的乘积。
不同形式的三角分解有着各自的优缺点，本文将从几种不同的角度来讨论这些优缺点。
一、LU分解LU分解是将一个矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。
LU分解的优点是计算简单，因为它只需要进行一次分解即可得到L和U两个矩阵，后续的线性方程求解可以直接使用LU 分解后的矩阵进行计算。
然而，LU分解的缺点是当原始矩阵A的某些主对角线元素接近于零时，LU分解可能会失效，需要采取一些特殊的技巧来解决这个问题。
二、Cholesky分解Cholesky分解是将一个对称正定矩阵分解为一个下三角矩阵L和其转置矩阵的乘积，即A=LL^T。
Cholesky分解的优点是计算量较小，而且分解出的L矩阵的元素都是实数，因此在存储和计算上都有一定的优势。
然而，Cholesky分解的缺点是它只适用于对称正定矩阵，对于非对称矩阵或不正定矩阵是无法进行Cholesky分解的。
三、QR分解QR分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，即A=QR。
QR分解的优点是适用范围广，对于任意矩阵都可以进行QR分解，并且分解出的Q和R矩阵都具有一些良好的性质，比如Q是正交矩阵，R是上三角矩阵。
然而，QR分解的缺点是计算量较大，尤其是对于大型矩阵来说，QR分解的计算时间会比较长。
不同形式的三角分解都有各自的优缺点，选择合适的分解方法需要根据具体的问题来决定。
在实际应用中，可以根据矩阵的特点和计算需求来选择最合适的三角分解方法，以达到最优的计算效果。
研究和探索更加高效的矩阵分解方法也是矩阵论研究的重要方向之一。
四、SVD分解SVD分解是将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积，即A=UΣV^T，其中U和V分别是正交矩阵，Σ是对角矩阵。
SVD分解的优点是适用于所有的矩阵，无论是否为方阵，而且SVD分解是唯一的，即对于每一个矩阵都存在唯一的SVD分解。
用矩阵的lu三角分解法编程求解方程组
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线性代数中的矩阵分解方法
线性代数中的矩阵分解方法矩阵分解方法是线性代数中的关键概念之一，它通过将一个矩阵分解为多个简化的矩阵形式，从而简化计算和分析。
在本文中，我们将介绍线性代数中常见的矩阵分解方法，并讨论它们的应用和优势。
一、LU分解LU分解是将一个方阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的过程。
通过LU分解，我们可以方便地求解线性方程组，计算逆矩阵等操作。
LU分解的过程可以通过高斯消元法来实现，如下所示：[ A ] = [ L ] [ U ]其中，[ A ]是需要分解的方阵，[ L ]是下三角矩阵，[ U ]是上三角矩阵。
二、QR分解QR分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R 的过程。
QR分解广泛应用于最小二乘拟合、信号处理和图像处理等领域。
QR分解的过程可以通过Gram-Schmidt正交化方法来实现，如下所示：[ A ] = [ Q ] [ R ]其中，[ A ]是需要分解的矩阵，[ Q ]是正交矩阵，[ R ]是上三角矩阵。
三、奇异值分解（SVD）奇异值分解是将一个矩阵分解为一个正交矩阵U、一个对角矩阵Σ和一个正交矩阵V的过程。
SVD广泛应用于图像压缩、降噪和数据降维等领域。
奇异值分解的过程可以通过特征值分解和奇异值分解算法来实现，如下所示：[ A ] = [ U ] [ Σ ] [ V ]^T其中，[ A ]是需要分解的矩阵，[ U ]是正交矩阵，[ Σ ]是对角矩阵，[ V ]是正交矩阵。
四、特征值分解特征值分解是将一个方阵分解为一个特征向量矩阵P和一个特征值对角矩阵D的过程。
特征值分解广泛应用于谱分析、动力系统和量子力学等领域。
特征值分解的过程可以通过求解特征值和特征向量来实现，如下所示：[ A ] = [ P ] [ D ] [ P ]^(-1)其中，[ A ]是需要分解的方阵，[ P ]是特征向量矩阵，[ D ]是特征值对角矩阵。
五、Cholesky分解Cholesky分解是将一个对称正定矩阵分解为一个下三角矩阵L和其转置矩阵的乘积的过程。
5.3 矩阵的三角分解法
8
解： (1)分解A LU，令 2 5 6 1 4 13 19 l 21 6 3 6 l31 0 1 l32 0 u11 0 1 u12 u22 u13 u23 u33
24
由A L( DLT ) 1 l 21 l31 ... l n1 1 l32 ... ln 2 1 ... ... lnn 1 1 d1 ... d1l21 d2 ... d1l31 d 2 l32 d3 ... ... ... ... d1 l n1 d 2 ln2 d 3 ln 3 dn
25
由 i j时aij = l ik d k l jk l ij d j , 知
k =1
j -1
L, D元素计算公式
lij =
aij lik d k l jk
k =1
j -1
dj
j -1
( j 1, 2, ,i 1)
2 d i =aii l ik d k ( i 1, 2, , n) k =1
y1 b1 i -1 y y b l i ij i j j 1
i 2, 3, , n
( i n 1, , 1)
7
或 用 Doolittle 分解法
例:用矩阵的直接三角分解法解方程组
5 6 x1 10 2 4 13 19 x 19 2 6 3 6 30 x3
27
d1 a11
改进平方根法解方程组
1. 分解计算A=LDLT ,
d1 a11 对于i 2, 3, ..., n j 1 c a cik l jk ij ij k 1 cij ( j 1, 2, ..., i 1) lij dj i 1 d i aii cik l ik k 1
python lu分解后回代法解三角方程ly=b及ux=y
python lu分解后回代法解三角方程
ly=b及ux=y
Python中，可以使用lu分解后回代法解三角方程ly=b及ux=y，其具体步骤如下：
1. 计算矩阵A的LU分解，使用`LU_decomposition`函数：
```python
L, U = LU_decomposition(A)
```
其中，`LU_decomposition`函数用于计算矩阵A的LU分解，返回L和U矩阵。
2. 使用L矩阵求解Ly=b：
```python
y = np.zeros_like(b)
n = A.shape(0)
# Solve Ly = b
for i in range(n):
y(i) = b(i)
for j in range(i):
y(i) -= L(i,j)*y(j)
y(i) /= L(i,i)
```
其中，`np.zeros_like(b)`用于创建与b具有相同形状的零矩阵，然后使用循环求解方程组。
3. 使用U矩阵求解Ux=y：
```python
x = np.zeros_like(b)
for i in range(n-1, -1, -1):
x(i) = y(i)
for j in range(i+1, n):
x(i) -= U(i,j)*x(j)
x(i) /= U(i,i)
```
其中，使用循环求解方程组，最终返回x向量作为方程组的解。
请注意，上述代码基于NumPy库实现，具体实现方式可能会因不同的库和版本而有所不同。
[全]矩阵LU分解的几种算法
![[全]矩阵LU分解的几种算法](https://img.taocdn.com/s3/m/890d0cf2f111f18582d05a7c.png)
矩阵LU分解的几种算法Doolittle分解将矩阵A分解为单位下三角矩阵L和上三角矩阵UCrout 分解将矩阵A分解为下三角矩阵L和单位上三角矩阵UCholesky分解Doolittle分解和Crout 分解适于一般非奇异的矩阵，但对于一些更特殊的矩阵，我们有更好的分解方法。
基础概念矩阵A对称：A^T=A矩阵A正定：A的各阶顺序主子式大于0，对于实对称矩阵A正定的等价条件是A的特征值全为正假设矩阵A是对称正定矩阵，则可以分解为：其中L为下三角矩阵注：这里不给出证明，具体的分解过程，大部分数学软件都有相应的函数，我们更关心如何应用这样可以将求解线性方程组的过程看做两个步骤由于L为下三角矩阵，所以x,y都很好求解，简化了运算过程。
现在假设A为对称矩阵，去掉正定的条件，但是规定矩阵A的各阶顺序主子式不为0那么矩阵A可以做如下分解其中D为对角阵，L为下三角矩阵这样我们可以将求解线性方程组的过程同样看做两个步骤由于D为对角阵，它的逆就是它的倒数，其余的矩阵都是三角矩阵，所以计算也十分简便。
值得注意的是，显然，如果矩阵A是对称正定的，那么也是可以分解为LDL^T的，但如果矩阵A 不是正定的，那么不能分解为LL^T。
补充知识：一个三角矩阵的逆，也是三角矩阵且对角线上元素是倒数关系，但其余位置不是的。
例如：追赶法追赶法是针对带状矩阵（尤其是三对角矩阵）这一大稀疏矩阵的特殊结构，得出的一种保带性分解的公式推导，实质结果也是LU分解可以将一个三对角的稀疏矩阵分解为如下形式：其中三对角矩阵A为：最后提及一句：mathematica中提供LUDecomposition,CholeskyDecomposition 两个函数实现矩阵的LU分解。
计算方法_矩阵LU分解法
clear all; %A=LU矩阵三角分解法n=input('输入方矩阵的维数: ');for i=1:nfor j=1:nA(i,j)=input('依次输入矩阵元素：');endend %输入一个n阶方形矩阵for j=1:nL(j,j)=1; %Doolittle分解，L对角元素全为1 endfor j=1:nU(1,j)=A(1,j);end %U的第一行for i=2:nL(i,1)=A(i,1)/U(1,1);end %L的第一列for k=2:nfor j=k:nsum1=0;for m=1:k-1sum1=sum1+L(k,m)*U(m,j);end %求和U(k,j)=A(k,j)-sum1;endfor i=k+1:nsum2=0;for m=1:k-1sum2=sum2+L(i,m)*U(m,k);end %求和L(i,k)=(A(i,k)-sum2)/U(k,k);endendL %输出下三角矩阵LU %输出上三角矩阵U运行结果：（示例）输入方矩阵的维数: 4依次输入矩阵元素： 1依次输入矩阵元素： 1依次输入矩阵元素： 2依次输入矩阵元素： 3依次输入矩阵元素：0依次输入矩阵元素： 2依次输入矩阵元素： 1依次输入矩阵元素： 2依次输入矩阵元素： 1依次输入矩阵元素：-1依次输入矩阵元素： 2依次输入矩阵元素： 2依次输入矩阵元素： 2依次输入矩阵元素： 2依次输入矩阵元素： 5依次输入矩阵元素：9A=LU分解后则可以求解Ax=b线性方程组，相关计算参考计算方法，这里不再详细介绍。
（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。
可复制、编制，期待你的好评与关注）。
一基本的三角分解法LU分解
0 0 u33 u34 0 0 3 /11 2 /11 lir
k 1
urr
0 0 1 l43 T 0 0 1 9T
0 0 0 u44 0 0 0 4
解Ly b,得
y1 b1
j 1
yr br lrj y j
r1
y1 y2 y3 y4 T 10 20 17 /11 16T
li 1
ai 1 l11
r 1
lrr arr lr2k k 1
r 1
air lik lrk
lir
k 1
lrr
i 2,3, , n -------------(4)
r 2, ,n
i r 1, , n
对于线性方程组 Ax b
-------------(5)
其中A为n阶对称正定矩阵 则存在主对角元为正数的下三角阵L, 使得
u1r
urr
u1n
urn
unn
证明略
根据矩阵的乘法原理
,
A的第一行元素
a1
为
j
a1 j u1 j j 1,2, , n A的第r行元素主对角线以右元 素arj ( j r, , n)为
同样
r
arj lrkukj k 1
j r, ,n r 1,2, , n
可知A的第r列元素主对角线以下元 素 air (i r 1, , n)为
1 l21 l31 l41 T 1 1.5 0.5 2T 0 u22 u23 u24 0 11 12 8.5
u1 j a1 j
li 1
ai 1 u11
r 1
urj arj lrkukj k 1
0 1 l32 l42 T 0 1 3 /11 6 /11T
num_2.3直接三角分解法
u 12 a 22 a 32 a 42 u 12 u 22 l 32 l 42
u 13 a 23 a 33 a 43 u 13 u 23 u 33 l 43
u 14 a 24 a 34 a 44 u 14 u 24 u 34 a 44
y1 b2 r 2 b3 b4 y1 y2 r4 y 3 b4
ai2
l
k 1
2
ik
uk2
→
a i 2 l i 1 u 12 l i 2 u 22
li 2
a i 2 l i 1 u 12 u 22
a 11 A ar1 a n1
a1r a rr a nr
a1n a rn a nn
u
jr1
n
rj
xj
r n 1 , n 2 , , 2 ,1
u rr
上述解线性方程组的方法称为 直接三角分解法的 Doolittle法( A=LU ) 例1. 用Doolittle法解方程组
2 3 1 4 10 4 2 14 0 12 3 9 3 13 4 13
T
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 .5
0 .5
2
T
0
0
u 22
u 23
u 24 0
11
12
8 .5
u rj a rj
T
l
k 1
r1
rk
u kj
1
0
l 32
u 33
l 42
T
0
doolittle分解法
doolittle分解法LU分解法也叫Doolittle分解法，它是一种分解矩阵的方法，它可以将一个方阵分解成一个下三角矩阵和一个上三角矩阵，它可以用来求解线性方程组、求逆矩阵、求特征值等。
它是由美国数学家詹姆斯·杜利特尔（James Doolittle）在1850年以后提出的，因此也被称为Doolittle分解法。
LU分解法是一种利用矩阵变换把矩阵分解成两个三角矩阵的方法，它可以将一个n阶方阵A分解成两个n阶三角矩阵L和U，使得A=LU，其中L为下三角矩阵，U为上三角矩阵。
LU分解法的实质是利用矩阵的乘法和加法，把一个矩阵变换为两个三角矩阵，这样可以减少计算量。
LU分解法的一个主要特点是，它可以利用矩阵的乘法和加法，把一个矩阵变换为两个三角矩阵，从而可以有效地减少计算量，提高求解线性方程组的效率。
LU分解法的步骤是：首先，把A矩阵分解成两个三角矩阵，L矩阵的对角线上的元素都是1，其余元素都是0；U矩阵的对角线上的元素是A的对角线上的元素，其余元素都是A的上三角矩阵的元素。
然后，把L和U相乘得到A矩阵，表示为A=LU。
最后，使用LU分解法求解线性方程组。
LU分解法的优点是可以用来求解线性方程组，求逆矩阵，求特征值，有效地减少计算量，提高求解效率，还可以用来计算多元函数的极值。
缺点是LU分解法只适用于方阵，而且LU分解法的结果可能会受到矩阵的谱半径的影响，如果谱半径较大， LU分解法就会失去效率，可能会出现数值不稳定的情况。
总之，LU分解法是一种有效的分解矩阵的方法，它可以有效地求解线性方程组，求逆矩阵，求特征值等，但是它只适用于方阵，而且受到矩阵的谱半径的影响，如果谱半径较大，LU分解法就会失去效率。
因此，使用LU分解法需要谨慎考虑，以便取得最佳的效果。
python lu分解
python lu分解Python LU分解介绍LU分解是线性代数中的一个重要概念，它可以将一个矩阵分解为两个矩阵的乘积，其中一个是下三角矩阵（L），另一个是上三角矩阵（U）。
这种分解方法在求解线性方程组、矩阵求逆等问题中有着广泛的应用。
Python作为一门强大的编程语言，在科学计算领域也得到了广泛的应用。
本文将介绍如何使用Python实现LU分解。
理论基础LU分解的基本思想是将原始矩阵A通过一系列初等行变换变为上三角矩阵U，同时记录下每次变换所用到的初等矩阵，最终得到一个下三角矩阵L。
因此，LU分解可以表示为以下形式：A=LU其中，L和U都是方阵。
L是下三角矩阵，对角线元素均为1；U是上三角矩阵。
实现步骤1. 初始化输入矩阵A和单位下三角矩阵L。
2. 对于每一列j（j从0开始），执行以下步骤：a. 在第j列中找到绝对值最大的元素所在的行i（i>=j）。
b. 如果i!=j，则交换第i行和第j行，同时在L矩阵中记录下这次交换所用到的初等矩阵。
c. 用第j行的元素将第i行以下的元素消为0，同时在L矩阵中记录下这次消元所用到的初等矩阵。
3. 得到上三角矩阵U和下三角矩阵L。
代码实现以下是使用Python实现LU分解的代码：```pythonimport numpy as npdef LU_decomposition(A):n = A.shape[0]L = np.eye(n)U = A.copy()for j in range(n):# 找到绝对值最大的元素所在的行i_max = np.argmax(np.abs(U[j:, j])) + jif i_max != j:# 交换第i_max行和第j行U[[i_max, j], :] = U[[j, i_max], :]L[[i_max, j], :j] = L[[j, i_max], :j]# 消元for i in range(j + 1, n):L[i, j] = U[i, j] / U[j, j]U[i, :] -= L[i, j] * U[j, :]return L, U```我们可以使用以下代码来测试我们的LU分解函数：```pythonA = np.array([[2., 1., 1.],[4., 3., 3.],[8., 7., 9.]])L, U = LU_decomposition(A)print("A:")print(A)print("L:")print(L)print("U:")print(U)```输出结果为：```A:[[2. 1. 1.][4. 3. 3.]L:[[1. 0. 0. ][0.25 1. 0. ][0.5 0.6 1. ]]U:[[8.e+00 7.e+00 9.e+00][0.e+00 5.e-01-5.e-01][0.e+00-2.e-16-4.e-01]]```可以看到，我们的LU分解函数成功地将输入矩阵A分解为了下三角矩阵L和上三角矩阵U。
矩阵的lu分解的计算步骤
矩阵的lu分解的计算步骤
矩阵的 LU 分解是指将一个矩阵 A 分解成一个下三角矩阵 L 和一个上三角矩阵 U，即 A=LU，其中 L 的对角线元素为 1。
LU 分解的计算步骤如下：
Step 1: 选取主元
选取主元可以是部分选主元或者完全选主元。
部分选主元每次选取一列中绝对值最大的元素作为主元，而完全选主元则是每次在全矩阵中选取绝对值最大的元素作为主元。
选取主元的目的是为了在后面的计算过程中减少误差。
Step 2: 消元
进行初等行变换，通过加减倍数的方式将矩阵 A 化为上三角矩阵 U。
同时对于每个主元所在的列，将其下面的元素通过加减倍数的方式消为零。
消元的过程中需要记录每一步所对应的初等矩阵，利用初等矩阵可以还原出矩阵 L。
Step 3: 矩阵 L 的求解
根据步骤 2 中记录的初等矩阵，利用反向代替法求解矩阵 L。
反向代替法是指先求解 L 的下面一行，然后再带入上面一行的求解式中求解。
总结
LU 分解可以大大简化矩阵求解的过程。
在进行 LU 分解的过程中需要注意选取主元的方式，万一选取的主元不合适，就可能导致误差的累计。
因此，选取主元往往是 LU 分解最为关键的一步。
矩阵三角分解法
矩阵三角分解法矩阵三角分解法是一种常用的矩阵分解方法，它可以将一个矩阵分解为一个上三角矩阵和一个下三角矩阵的乘积。
这种分解方法在数值计算、线性代数、统计学等领域都有广泛的应用。
矩阵三角分解法的基本思想是将一个矩阵分解为一个上三角矩阵和一个下三角矩阵的乘积。
这种分解方法可以用来求解线性方程组、矩阵求逆、特征值和特征向量等问题。
在实际应用中，矩阵三角分解法通常比直接求解更加高效和稳定。
矩阵三角分解法的具体实现方法有很多种，其中最常用的是高斯消元法和LU分解法。
高斯消元法是一种基本的线性方程组求解方法，它通过消元和回代的过程将一个线性方程组转化为一个上三角矩阵。
LU分解法是一种更加通用的矩阵三角分解方法，它可以将任意一个矩阵分解为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。
在高斯消元法中，我们首先将线性方程组的系数矩阵进行初等变换，使其变为一个上三角矩阵。
这个过程可以通过矩阵的初等行变换来实现，例如将某一行乘以一个非零常数、将某一行加上另一行的若干倍等。
然后，我们可以通过回代的过程求解出线性方程组的解。
在LU分解法中，我们首先将矩阵A进行初等变换，使其变为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积。
这个过程可以通过矩阵的初等行变换来实现，例如将某一行乘以一个非零常数、将某一行加上另一行的若干倍等。
然后，我们可以将线性方程组Ax=b转化为LUx=b，再通过回代的过程求解出线性方程组的解。
矩阵三角分解法的优点在于它可以将一个矩阵分解为两个三角矩阵的乘积，从而简化了计算过程。
这种分解方法可以大大提高计算效率和数值稳定性，特别是在求解大规模线性方程组时更加明显。
此外，矩阵三角分解法还可以用来求解矩阵的行列式、矩阵的秩、矩阵的特征值和特征向量等问题。
矩阵三角分解法是一种非常重要的矩阵分解方法，它在数值计算、线性代数、统计学等领域都有广泛的应用。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的特点选择不同的矩阵三角分解方法，以提高计算效率和数值稳定性。
pa=lu分解法
pa=lu分解法
PA=LU分解法是一种矩阵分解方法，其中P是置换矩阵，L是下三角矩阵，U是上三角矩阵。
这种方法在高斯消元过程中非常有用，可以用来求解线性方程组。
在PA=LU分解法中，首先对矩阵A进行行交换操作，记录行交换的过程，得到置换矩阵P。
然后对经过行交换后的矩阵进行高斯消元，得到下三角矩阵L和上三角矩阵U。
具体步骤如下：
1. 对矩阵A的第一列元素进行绝对值排序，找到绝对值最大的元素所在行与第1行交换，得到置换矩阵P1。
2. 对经过行交换后的矩阵进行高斯消元，得到下三角矩阵L1和上三角矩阵U1。
3. 重复步骤1和步骤2，直到矩阵A的所有元素都化为0。
通过PA=LU分解法，可以将一个复杂的线性方程组转化为一系列简单的行交换和消元操作，从而方便地求解线性方程组。
LU分解
~ T ~T T T ~T T ~ ( LDU ) = U D L = U DL = LDU
~ 由分解的唯一性有， T = L 即，于是可得下面的结论。 U
定理3：若对称矩阵A各阶顺序主子式不为零时, 定理3：若对称矩阵A各阶顺序主子式不为零时, 则 A可以唯一分解为A= LDLT ，这里
k =1 k =1
得公式 u1j=a1j li1=ai1 / u11
j=1,2,…,n i=2,3,…,n
l ii = 1
当i ≤ j时,有 aij = ∑ l1k ⋅ ukj = ∑ lik ⋅ ukj = ∑ lik ⋅ ukj + uij
k =1 n k =1 i k =1 n i i −1
a ji = ∑ l jk ⋅ uki = ∑ l jk ⋅ uki = ∑ l jk ⋅ uki + l ji ⋅ uii
3 2
例 用直接三角分解法解方程组
1 5 x1 11 2 4 1 12 x2 = 27 − 2 − 4 5 x3 12
解：由前面的公式可得
1 2 1 5 A = LU = 2 1 − 1 2 − 1 3 1 4
k = 1, d 1 = a11 = 5
k = 2,
d2 = a22 − u21l21 = 2.8
u 32 = a 32 − u 31l 21 = − 3.2
j = 3,
k = 3,
l32 = u 32 / d 2 = − 1.14286
d 3 = a33 − u 31l31 − u 32 l32 = 2.14285
LU分解法的基本思想 LU分解法的基本思想 将系数矩阵A转变成等价两个矩阵L 将系数矩阵A转变成等价两个矩阵L和U 的乘积，其中L 的乘积，其中L和U分别是下三角和上三角 矩阵，而且要求L的对角元素都是1 矩阵，而且要求L的对角元素都是1；
研究生数值分(8)直接三角分解法
(b) 对k+2,3,…,n 按计算公式(3),(4)依次
计算U的第k行元素 uki (i k, k 1, , n) 与L的第
k列元素 lik (i k 1, , n; k n)
20 求解三角形方程组LY=b，即按计算公
(i k, k 1, , n) （3）
k 1
lik (aik liju jk ) / ukk j 1
(i k 1, , n; k n) （4）
在我们利用杜利特尔矩阵分解解线性方程 组AX=b时,只要实现矩阵分解A=LU,依次解三角 形方程组LY=b与UX=Y即可。
计算公式：
y1
yk
对那些明确是1或是0的元素不再求。 由矩阵乘法规则与相等条件,
利用 aij 在上述计算过程中，
导出计算 lij 或 uij 的公式。
例如
第一步计算由 ai1 li1u11 得
u1i a1i (i 1,2, ,n)
第二步计算由 a1i u1i 得 li1 ai1 / u11 (i 2,3, ,n)
, n 1)
因此有 1 c1 / a1且0 1 1 由 a2 b2 a21 b2 a2 1 b2 a2 c2 0 有 2 c2 / a2且0 2 1
一般地，用归纳法可以证明
ai ci 0 （即0 i 1） (i 1, 2, , n 1)
因此我们从关系式（2）解出待定系数为
5 3 2, 2 3 5
3
2
3
4
b 7
1
0
2、用追赶法求方程组的解
4 1 0 0 x1 3
1
4
1
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------(9) i−1 bi − ∑lik ⋅ yk y= k =1 i i = 2,3,L, n
lii
l11 M O L = li 1 L lii M M O ln 1 L lni L lnn
2. 解 LT x = y
yn xn = l nn
a rj = ∑ l rk u kj
k =1
r
j = r ,L , n r = 1 ,2 , L , n
同样
可知A的第r列元素主对角线以下元 素 air (i = r + 1,L , n )为
air = ∑ lik u kr
k =1
r
i = r + 1,L , n r = 1 ,2 , L , n − 1 i = 2 ,3 , L , n
|aii | ∑ aij | ≥ |
j =1 j ≠i
n
i = 1,2,L, n
则称A为弱对角占优矩阵.
有一类方程组,在今后要学习的插值问题和边值问题中 有着重要的作用,即三对角线方程组,其形式为:
Ax = d
其中
a1 c1 b2 a2 c2 A= O O O bn−1 an−1 cn−1 bn an
j = 1, 2 , L , n
U的第一行 L的第一列
------(1) ------(2)
i = 2 ,3 , L , n
u rj = a rj − ∑ l rk u kj
k =1
r −1
r = 1 ,2 , L , n j = r ,L , n r = 1 ,2 , L , n − 1
U的第r行 ------(3)
Ux = y
y为 间 知 向 中 未 量 量
1 l21 1 L = l31 l32 1 M M M O l ln2 ln 3 L 1 n1
u11 u12 u13 L u1,n u22 u23 L u2,n U = O M un−1,n−1 un−1,n unn
由 一 三 形 程 的 识,不 得 Ly = b的 : 第 节 角 方 组 知 难 到 解
y1 = b1
y2 = b2 − l21 y1
r −1
yr = br − ∑ lrj y j
j =1
r = 2 ,3 , L , n
1 l21 L = l31 M l n1
1 l32 M ln 2
l11 L li 1 L ln 1 O M M T L = lii L lni O M lnn
yi − ∑lki ⋅ xk x = k =i+1 i
n
------(10)
lii
i = n − 1,L,2,1
例1.
用Cholesky法解对称正定方程组
urr
例1. 用LU分解法解方程组
0 −3 2 10 − 3 − 4 − 12 13 1 2 3 −4 4 14 9 − 13
x1 10 x2 = 5 x3 − 2 x 4 7
ai 1 li 1 = l11
r −1
i = 2 ,3 , L , n
2 lrr = arr − ∑ lrk k =1
-------------(4)
r = 2 ,L , n
lir =
air − ∑ lik ⋅ lrk
k =1
r −1
lrr
i = r + 1,L , n
对于线性方程组
Ax = b
-------------(5)
lir =
air − ∑ lik u kr
k =1
r −1
u rr
i = r + 1, L , n
L的第r列 ------(4)
称上述(1) ~ (4)式所表示的分解过程为LU分解 对于线性方程组
Ax = b
系数矩阵非奇异,经过LU分解后
A = LU
线性方程组可化为下面两个三角形方程组
Ly = b
a11 = l11 ⋅ l11 a21 = l21 ⋅ l11
ai 1 = li 1 ⋅ l11
i = 1 ,2 , L , n
L的第一列元素 li 1可以求出
2 2 arr = ∑ lrk ⋅ lrk = ∑ lrk + lrr
k =1 r r
-------------(1)
假设 L的第 1 ~ r − 1列已求出 , 考察 A的第 r列元素 air
1 M ln 3
O L 1
因 再 Ux = y的 便 到 = b的 此 由 解 得 Ax 解
yn xn = unn
yr − xr =
j =r +1
∑u
n
rj
xj
u11
u12 u22
u13 u23 O
L L u n −1 , n −1
u1 , n u2 ,n M u n −1 ,n unn
其中A为n阶对称正定矩阵 则存在主对角元为正数的下三角阵L, 使得
T A= LL
-------------(6)
则线性方程组(10)可化为两个三角形方程组
L( LT x ) = b
Ly = b
T L x= y
-------------(7) -------------(8)
1 . 解 Ly = b b1 y1 = l11
显然 , r = 1时 , ai 1 = li 1u 11
综合以上分析,有
a1 j = u 1 j
r
j = 1,2 , L , n
ai 1 = li 1u 11
i = 2 ,3 , L , n i = r + 1, L , n
r = 1,2 , L , n − 1
a rj = ∑ lrk u kj
正数的下三角阵 L , 使得
且该分解式唯一
A = LLT
这种关于对称正定矩阵的分解称为Cholesky分解
a11 M 设 A = ar 1 M an 1 L a1 r O M L arr M L anr L a1 n M L arn O M L ann l11 M O L = lr 1 L lrr M M O ln 1 L lnr L lnn
6 7 5 x1 9 7 13 8 x2 = 10 5 8 6 x 9 3
解:
先分解系数矩阵A
6 7 6 5 6
6 7 5 A = 7 13 8 5 8 6
--------(1)
d1 x1 x2 d = d2 x= M M x d n n
A称为三对角线矩阵,并且满足
(1) | a1 |>| c1 |> 0
k =1
(0
(0
1 l32
l42 )T= (0 1 − 3 / 11 − 6 / 11)T
lir =
air − ∑ lik u kr
k =1
r −1
0 u33 u34 ) = (0 0 − 3 / 11 − 2 / 11) 0 1 l43 )T = (0 0 1 − 9 )T 0 0 u 44 ) = (0 0 0 − 4 )
u rr
(0
(0
解Ly = b , 得
( y1
y2
y3
y 4 )T = (10 20 − 17 / 11 − 16 )T
解Ux = y , 得
(x1
x2
x3
x4 )T = (1 2 3 4 )T
yn xn = unn
yr − xr =
j =r +1
∑u
n
பைடு நூலகம்
rj
xj
urr
二、Cholesky分解
定理. (Cholesky分解) 设 A为对称正定矩阵 , 则一定存在一个主对角 元全是
解:
由LU分解
u12 u13 u14 ) = (2 10 0 − 3 )
u1 j = a1 j
li 1 = ai1 u 11
r −1
(u11
(1
(0
l21
l31
l41 )
T
= (1 − 1.5 0.5 2 )T
u22 u23 u24 ) = (0 11 − 12 8.5 )
u rj = a rj − ∑ lrk u kj
7 6 29 6
5 9 6 6 13 −3 −3 174 174 25 10 29 29
xn =
xi =
yn lnn
n
yi − ∑lki ⋅ xk
k =i+1
lii
3
y3 y2 − l32 ⋅ x3 x3 = = 2 x2 = = −1 x1 = l33 l22
y1 − ∑lk 1 ⋅ xk
u11 L u1r L u1n O M M urr L urn ⋅ O M O unn L 1
证明略
根据矩阵的乘法原理 , A的第一行元素 a1 j为
a1 j = u 1 j
j = 1,2 , L , n
A的第 r行元素主对角线以右元 素 arj ( j = r ,L , n )为
k =1 r −1
j = r ,L , n
r = 1 ,2 , L , n
air = ∑ lik u kr