2021圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系 教学案 高三数学一轮复习

圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系

[典例] (2021·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k(k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB|＝8.

(1)求l 的方程；

(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．

[解] (1)由题意得F(1,0)，l 的方程为y ＝k(x －1)(k ＞0)．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由⎩⎨⎧ y ＝k x －1，y2＝4x 得k2x2－(2k2＋4)x ＋k2＝0.

Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝2k2＋4k2

. 所以|AB|＝|AF|＋|BF|

＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝4k2＋4k2

. 由题设知4k2＋4k2

＝8， 解得k ＝1或k ＝－1(舍去)．

因此l 的方程为y ＝x －1.

(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，

所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，

即y ＝－x ＋5.

设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，

则⎩

⎨⎧ y0＝－x0＋5，

x0＋12＝y0－x0＋122＋16. 解得⎩⎨⎧ x0＝3，y0＝2或⎩⎨⎧ x0＝11，y0＝－6.

因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.

[方法技巧]

1．确定圆的方程必须有3个独立条件

不论是圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a ，b ，r 或D ，E ，F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a ，b ，r(或D ，E ，F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程．

2．几何法在圆中的应用

在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．

[针对训练]

1．(2019·湖北名校摸底)过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y －2＝0上的圆的方程是( )

A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4 B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4

C．(x－1)2＋(y－1)2＝4 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4

解析：选C 由题知直线AB的垂直平分线为y＝x，直线y＝x与x＋y －2＝0的交点是(1,1)，所以圆的圆心为(1,1)，所以圆的半径为2，故圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝4.

2．(2019·黑龙江伊春三校联考)已知圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为( ) A．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝1

C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝1 D．(x－2)2＋(y－2)2＝1

解析：选B 圆C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，圆心C1为(－1,1)，半径为1.易知点C1(－1,1)关于直线x－y－1＝0对称的点为C2，设C2(a，b)，

则⎩⎪⎨⎪⎧ b －1a ＋1＝－1，a －12－b ＋12－1＝0，得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－2，所以C2(2，－2)，所以圆C2的圆心为C2(2，－2)，半径为1，所以圆C2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.故选B.

直线与圆位置关系

的判断

[典例感悟]

1．(2019·西安模拟)直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R)与圆x2＋y2－2x ＋2y －7＝0的位置关系是( )

A ．相切

B ．相交

C ．相离

D ．不确定

解析：选B 法一：x2＋y2－2x ＋2y －7＝0化为圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝9，故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝3，圆心到直线的距离d ＝|a ＋1－a －1＋2a|

a ＋12＋a －12＝|2a ＋2|

2a2＋2.再根据r2－d2＝9－

4a2＋8a ＋42a2＋2＝7a2－4a ＋7a2＋1

.而7a2－4a ＋7＝0的判别式Δ＝16－196＝－180＜0，故有r2＞d2，即d ＜r ，故直线与圆相交．

法二：由(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R)整理得x －y ＋a(x ＋y ＋2)＝0，

则由⎩⎨⎧ x －y ＝0，x ＋y ＋2＝0，解得x ＝－1，y ＝－1，

即直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R)过定点(－1，－1)，又(－1)2＋(－1)2－2×(－1)＋2×(－1)－7＝－5＜0，则点(－1，－1)在圆x2＋y2－2x ＋2y －7＝0的内部，故直线(a ＋1)x ＋(a －1)y ＋2a ＝0(a ∈R)与圆x2＋y2－2x ＋2y －7＝0相交．

2．(2019·湖北六市联考)将直线x ＋y －1＝0绕点(1,0)沿逆时针方向旋转15°得到直线l ，则直线l 与圆(x ＋3)2＋y2＝4的位置关系是( )

A ．相交

B ．相切

C ．相离

D ．相交或相切

解析：选B 依题意得，直线l 的倾斜角为150°，所以直线l 的方程是y ＝tan 150°(x －1)＝－3

3(x －1)，即x ＋3y －1＝0，圆心(－3,0)到直线

l 的距离d ＝|－3－1|3＋1

＝2，故直线l 与圆相切． 3．直线y ＝－3

3x ＋m 与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的

交点，则m 的取值范围是( )

A ．(3，2)

B ．(3，3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，233 D.⎝ ⎛⎭

⎪⎫1，233 解析：选D 当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m ＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d ＝|m|1＋⎝ ⎛⎭

⎪⎫332＝1，解得m ＝233(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个

不同的交点，则1＜m ＜

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3.

[方法技巧]