函数的零点问题

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函数零点问题

函数零点问题

函数零点问题
函数零点问题,又称为函数根搜索问题,是求解一元函数或多元函数的实根的方法。

即在给定的一个区间[a,b]内求解f(x)=0的根,其中f(x)是一个连续函数。

该问题的求解最常用的方法是二分法和牛顿迭代法。

二分法是一种简单而有效的求解函数零点的方法,它的基本思想是将定义域划分为两个子区间,如果函数在两个子区间的符号不同,则说明该区间存在函数零点,然后再把该区间一分为二,得到新的两个子区间,重复上述步骤,直至找到函数零点的精确位置。

牛顿迭代法是一种根据函数的导数来求函数零点的一种方法,它的基本思想是:令函数f(x)在某点x0上的切线与X轴相交于点P,然后选择P作为下一个迭代点,重复该过程,直至收敛到函数零点。

函数的零点问题

函数的零点问题

函数的零点问题 黄雨荞判断下列函数在给定区间是否存在零点.(1)f (x )=x ^2-3x-18,x ∈[1,8];(2)f (x )=log2(x+2)-x ,x ∈[1,3].解:(1)方法一:令f (x )=0得x2-3x-18=0,x ∈[1,8]所以(x-6)(x+3)=0,所以x=6∈[1,8],x=-3∉[1,8],故f (x )=x2-3x-18,x ∈[1,8]存在零点.方法二:因为f (1)=-20<0,f (8)=22>0,所以f (1)•f (8)<0故f (x )=x2-3x-18,x ∈[1,8]存在零点.(2)方法一:因为f (1)=log 23-1>log 22-1=0,f (3)=log 25-3<log 28-3=0, 所以f (1)•f (3)<0,故f (x )=log2(x+2)-x ,x ∈[1,3]存在零点方法二:设y=log2(x+2),y=x ,在同一直角坐标系中画出它们的图象, 从图象中可以看出当1≤x ≤3时,两图象有一个交点,因此f (x )=log2(x+2)-x ,x ∈[1,3]存在零点.讨论:利用函数零点的存在定理确定出零点是否存在,或者通过解方程、数形结合解出其零点,(1)可以利用零点的存在性定理或直接求出零点,(2)可以利用零点的存在性定理或利用两图象的交点来确定函数是否有零点. 对函数零点存在的判断中,必须强调:(1)f(x)在[a,b ]上连续;(2)f(a)·f(b)<0;(3)在(a,b )内存在零点.事实上,这是零点存在的一个充分条件,但不必要.练习:设函数 (x>0),则y=f(x) ( ) A.在区间 (1,e)内均有零点 B.在区间 (1,e)内均无零点 C.在区间 内有零点,在区间(1,e)内无零点 D.在区间 内无零点,在区间(1,e)内有零点 ),1,e 1(),1,e 1(),1,e 1(),1,e 1()1()e 1(f f ∙,0)1e31(31)1ln 31()e 1ln e 131(>+=-∙-∙=解:因为因此f(x)在 内无零点,因此f(x)在(1,e)内有零点.答案 D)1,e 1(.093e lne)e 31()1ln 131((e))1(<-=-∙-⨯=∙f f 又。

函数零点的个数问题

函数零点的个数问题

2x 2 x
2
2m
2x 2 x 2m2 8
0,利用换元设
t 2x 2x ( t 2 ),则问题转化为只需让方程 t2 2mt 2m2 8 0 存在大于等于 2 的解
即可,故分一个解和两个解来进行分类讨论。设 g t t2 2mt 2m2 8 0 。
(1)若方程有一个解,则有相切(切点 x m 大于等于 2)或相交(其中交点在 x 2 两侧),
3:已知函数
f
x
kx ln x,
2, x x
0
0k
R
,若函数
y
f x k 有三个零点,则实数 k
的取值范围是(

A. k 2
B. 1 k 0
C. 2 k 1
D. k 2
思路:函数 y f x k 有三个零点,等价于方程 f x k 有三个不同实数根,进而等
价于 f x 与 y k 图像有三个不同交点,作出 f x 的图像,则 k 的正负会导致 f x 图
A.
ln 3 3
,
1 e
B.
ln 3 9
,
1 3e
C.
ln 3 9
,
1 2e
D.
ln 3 9
,
ln 3 3
思路:
f x
f 3x
f x
f
x 3
,当
x
3,
9
时,
f
x
f
x 3
ln
x 3
,所以
- 4 - / 18
ln x,1 x 3
f
x
ln
x ,3 3
x
,而 g x
9
f
区间 a,b 内至少有函数 f x 的一个零点,即至少有一点 x0 a,b ,使得 f x0 0 。 (1) f x 在a,b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提

函数零点的题型归纳与解题技巧

函数零点的题型归纳与解题技巧

函数零点的题型归纳与解题技巧函数零点是指函数取值为零的点,即f(x)=0的解。

在高中数学、大学数学以及各类数学竞赛中,函数零点常见的题型有很多种,这里我们将从题型归纳与解题技巧两方面进行探讨。

一、题型归纳1. 求解一元函数零点:例如求解f(x) = x^3-2x^2-x+2=0的零点。

2. 求解二元函数零点:例如求解f(x,y) = x^2+y^2-1=0的零点。

3. 求解多项式方程零点:例如求解f(x) = x^3-x^2+2x-2=0的零点。

4. 求解参数方程零点:例如求解x(t) = t^2-t+2,y(t) =t^3-t^2+2t-2,求解当f(x,y)=0时对应的参数t。

5. 利用零点求解函数的性质:例如已知f(x)的零点及其性质,求解f'(x)或f''(x)的零点。

6. 证明存在或不存在零点:例如证明函数f(x)在区间(a,b)上存在唯一零点。

二、解题技巧1. 分类讨论:对于不同的函数类型,采用不同的方法求解零点。

例如线性函数、二次函数、三次函数、对数函数等,都有相应的求解方法。

2. 利用代数方法:通过代数运算,将原方程转化为容易求解的方程。

例如将原方程化为因式分解的形式,利用韦达定理等。

3. 利用几何方法:将方程与几何图形进行关联,求解图形的相交点即为零点。

例如将方程与直线、圆、椭圆、抛物线等几何图形关联起来。

4. 利用数学分析方法:利用微积分知识,如导数、二分法、牛顿法等,求解零点。

例如,求解f'(x)=0的零点,可以找到函数的拐点;二分法则多用于求解逼近零点。

5. 利用数值方法:通过计算机进行数值逼近求解零点。

例如求解非线性方程组零点时,可以采用牛顿法、拟牛顿法等。

6. 利用泰勒展开:对于非常复杂的函数,可以考虑将其在某一点附近进行泰勒展开,将高次函数近似为低次函数(如线性、二次),再求解零点。

7. 利用解析几何方法:通过解析几何知识,求解平面或空间上的几何问题。

函数零点问题解答分析与思考

函数零点问题解答分析与思考

函数零点问题解答分析与思考函数零点问题是数学中一个常见且重要的问题,它涉及到了函数图像的特征、方程的解、数值计算等多个方面。

在数学学习中,零点问题往往是一个绕不过去的坎,因此对于零点问题的解答分析与思考具有重要的意义。

本文将围绕函数零点问题展开讨论,分析其解答方法和思考路径,帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学概念。

一、函数零点的定义我们来看一下函数零点的定义。

在数学中,函数的零点指的是函数取零值的自变量的值。

也就是说,对于函数f(x),如果存在一个值x0,使得f(x0)=0,那么我们就说x0是函数f(x)的一个零点。

函数的零点在函数图像上对应的便是函数与x轴的交点,它是函数的一个重要特征。

二、零点问题的解答方法1. 代数法:对于一些简单的函数,我们可以通过代数方法求解其零点。

比如一元一次函数f(x)=ax+b,其零点就可以通过求解方程ax+b=0来得到,结果为x=-b/a。

对于一元二次函数f(x)=ax^2+bx+c,我们可以通过求解二次方程ax^2+bx+c=0来得到其零点,当然这需要使用一些二次方程的求解方法。

2. 图像法:对于一些复杂的函数,我们可以通过画出函数的图像来寻找其零点。

通过观察函数的图像,我们可以大致找到函数的零点所在的区间,并进一步使用数值计算方法来精确求解。

3. 数值计算法:对于一些难以用代数法或图像法求解的函数,我们可以借助数值计算方法来获取函数的零点。

比如二分法、牛顿迭代法等都可以用来求解函数的零点,这些方法在计算机程序中也得到了广泛的应用。

以上提到的几种方法是我们在解答零点问题时常用到的方法,每种方法都有其适用的范围和局限性,需要根据具体的函数和问题来选择合适的方法。

三、零点问题的思考路径除了使用合适的方法来解答零点问题,我们在面对零点问题时还需要进行一些思考和分析。

下面就是一些解答零点问题时的思考路径:1. 函数的特征:首先我们需要了解函数的特征,比如函数的单调性、凹凸性、导数的符号等。

函数零点的7种问题及解法

函数零点的7种问题及解法

函数零点的7种问题及解法1.若x0是方程lgx+x=2的解,则x0属于区间()a.(0,1) b.(1,1.25)c.(1.25,1.75) d.(1.75,2)解析:设f(x)=lg x +x-2,则f(1.75)=f74=lg 74-,f(2)=lg 20.答案:d2.函数f(x)=x2+2x-3,x0,-2+lnx,x0的零点个数为()a.0个 b.1个 c.2个 d.3个解析::x0时由x2+2x-3=0x=-3;x0时由-2+lnx=0x=e2.答案:c3.设函数f(x)=x2-x+a(a0),若f(m)0,则()a.f(m-1)0b.f(m-1)0c.f(m-1)=0d.f(m-1)与0的'大小不能确定解析:融合图象极易推论.答案:a4.函数f(x)=ex+x-2的零点所在的一个区间就是()a.(-2,-1) b. (-1,0)c. (0,1) d.(1,2)解析:因为f(0)=-10,f(1)=e-10,所以零点在区间(0,1)上,选c.答案:c5.函数f(x)=4x-2x+1-3的零点是________解析:由4x-2x+1-3=0(2x+1)(2x-3)=02x=3, x=log23.答案:log236.函数f(x)=(x-1)(x2-3x+1)的零点就是__________.解析:利用定义可求解.答案:1,7.若函数y=x2-ax+2有一个零点为1,则a等于__________.解析:由零点定义可以解.答案:38.未知函数f(x)=logax+x-b(a0且a1),当时,函数f(x)的零点为x0(n,n+1)(nn*),则n=________.解析:根据f(2)=loga2+2-blogaa+2-3=0,f(3)=loga3+3-blogaa+3-4=0,x0(2,3),故n=2.答案:29.证明:方程x2x=1至少有一个小于1的正根.证明:令f(x)=x2x-1,则f(x)在区间(-,+)上的图象是一条连续不断的曲线.当x=0时,f(x)=-10.当x=1时,f(x)=10.f(0)f(1)0,故在(0,1)内至少有一个x0,当x=x0时,f(x)=0.即至少有一个x0,满足01,且f(x0)=0,故方程x2x=1至少有一个小于1的正根.。

专题13 函数的零点的问题(解析版)

专题13 函数的零点的问题(解析版)

专题13 函数的零点的问题一、题型选讲题型一 函数零点问题中参数的范围已知函数零点的个数,确定参数的取值范围,常用的方法和思路:(1) 直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围.(2) 分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决,解法2就是此法.它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理,这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题.(3) 数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后数形结合求解. 例1、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)设函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧e -x -12,x>0,x 3-3mx -2,x ≤0(其中e 为自然对数的底数)有3个不同的零点,则实数m 的取值范围是________.例2、(2018扬州期末)已知函数f(x)=e x ,g(x)=ax +b ,a ,b ∈R . 若对任意实数a ,函数F (x )=f (x )-g (x )在(0,+∞)上总有零点,求实数b 的取值范围.例3、(2019苏州期末)已知函数f(x)=ax 3+bx 2-4a(a ,b ∈R ).(1) 当a =b =1时,求f (x )的单调增区间;(2) 当a ≠0时,若函数f (x )恰有两个不同的零点,求ba 的值;题型二 函数零点个数证明与讨论函数的零点:有“零点存在性定理”作为理论基础,可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点。

例4、(2017南通一调)已知函数f (x )=ax 2-x -ln x ,a ∈R .(1) 当a =38时,求函数f (x )的最小值;(2) 若-1≤a ≤0,证明:函数f (x )有且只有一个零点; (3) 若函数f (x )有两个零点,求实数a 的取值范围.例5、(2016南通一调)已知函数f (x )=a +x ln x (a ∈R ).(1) 求f (x )的单调区间;(2) 试求f (x )的零点个数,并证明你的结论.题型三 函数零点问题的不等式的证明函数的零点,方程的根,两图像的交点这三者各有特点,且能相互转化,在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围以及证明零点方面的不等问题时,这些问题时要用到这三者的灵活转化。

函数零点问题的几种常见求解方法

函数零点问题的几种常见求解方法
【 例4 】 函数 厂 ( z ) 一l 一C O S X的零点有 (
A. 4个
【 例1 】 函数 ’ ( ) X C O S . Z " 在区间[ 0 , 4 ] 上零 点 的
) .
B . 3个
C . 2个 D 1个
分析 : 求方程 X C O S o T 。 一0 在 区间[ 0 , 4 ] 上解的个 数 , z 一0 为一个解 ; ∈( 0 , 4 ] 时, ∈( O , l 6 ] , 由C O S , Z 一0得
方法二 : 利 用 零 点存 在 性 定 理 法. 如 果 函 数 Y=
【 例 5 】 函数 厂 ( z ) 一z 。 一8 x +6 1 n x 十m 有三 个零 点, 求 实数 的取值 范围. 分析 : 函数有三个零点等价于 图象 与 3 7 轴有三 个不
同 的交 点 .
( ) 一2 x- -8 +一 6
故 由零点存在性定理 , 函数有零点.
结合二分法, g ( 一÷ ) <0 ,
g ( _ 。 黄 ) >o,
3 4 中学 教学参考
m I
年 1月 总第 期 2 0 1 3 1 4 6
中学 教 学 参考
解题 方 法s技 巧 ……
函 数 零 点 问题 的 几 种 常 见 求 解 方 法
湖 北十堰 市第 一 中 ̄( 4 4 2 0 0 0 ) 卢
函数零点是函数与导数部分 的重要知识 , 它涉及 函 数 的图像 与性 质等 基本 知识 , 渗 透着转化 与化 归 、 数形 结合 、 分类讨论 、 函数与方程等重要 思想 , 体 现对学 生综 合能力 的考查. 下面对常见的几种 函数零点解 决办法作
解得 7 <m <1 5 —6 1 n 3 .

函数的存在性问题和零点问题

函数的存在性问题和零点问题

函数的存在性问题和零点问题【知识梳理】1.函数的零点:使函数y =f (x )的值为0的实数x 称为函数y =f (x )的零点.(1)函数的零点⇔方程的根;(2)零点存在理论:在区间[a ,b ]上连续;f (a )·f (b )<0.2.常见求解方法(1)直接解方程,如一元二次方程;(2)用二分法求方程的近似解;(3)一元二次方程实根分布规律;(4)用数形结合法将方程的根转化为函数零点.画出y =f (x )图象可用到以下方法:①用图象变换法则画复杂函数图象;②用求导得出较复杂函数的单调性,然后再画图象,如y =ln x x ;③可以将原函数进行分离为两个较为简单的函数如方程e x ln x =1,转化为y =ln x ,y =⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ; ④如果是带有参数的方程,可以进行参数分离变为m =g (x ),再画y =g (x )与y =m (常数函数)的图象.【热点探究】► 探究点一 用零点存在定理判断函数零点零点存在定理是间接判断方程的根或函数零点的间接方法.只能大致判断零点所在区间以及区间中零点的个数,不能够准确求解零点的值.【例1】 已知函数f (x )=1+x -x 22+x 33-x 44+…+x 20112011,g (x )=1-x +x 22-x 33+x 44-…-x 20112011,设F (x )=f (x +3)·g (x -3),且函数F (x )的零点均在区间[a ,b ](a <b ,a ,b ∈Z)内,则b -a 的最小值为________.► 探究点二 用图象判定方程的根由于函数的零点⇔方程的根,所以当方程的根不能够直接求出时,可以通过图象来判断对应方程的根的个数.【例2】 (1)已知函数f (x )=2x +x ,g (x )=x +log 2x ,h (x )=x 3+x 的零点依次为a ,b ,c ,则a ,b ,c 的大小顺序为________.(2)设定义在R 上的函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1|x -3|,x ≠3,1,x =3,若关于x 的方程f 2(x )+af (x )+b =0有5个不同实数解,则实数a 的取值范围是________.►探究点三不定方程的根的判断所谓不定方程,是指未知数的个数多于方程个数,且未知数受到某些限制(如要求是有理数、整数或正整数等等)的方程或方程组.常见问题有:(1)求不定方程的解;(2)判定不定方程是否有解;(3)判定不定方程的解的个数.【例3】设m∈N,若函数f(x)=2x-m10-x-m+10存在整数零点,则m的取值集合为________.►探究点四含参数的方程根的问题含有参数的方程根的问题,随着参数取值不同,方程根的个数不同,所以需要借助于数形结合和分类讨论的思想来解决.【例4】已知函数f(x)=12x2-a ln x(a∈R).(1)若函数f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,求a,b的值;(2)讨论方程f(x)=0的解的个数,并说明理由.【例5】已知定义在(0,+∞)上的三个函数f(x)=lnx,g(x)=x2-af(x),h(x)=x-a x且g(x)在x=1处取得极值.(1)求函数g(x)在x=2处的切线方程;(2)求函数h(x)的单调区间;(3)把h(x)对应的曲线C1向上平移6个单位后得到曲线C2,求C2与g(x)对应曲线C3的交点个数,并说明理由.【巩固训练】(全国II 理)已知函数()x x x f -=3。

函数的单调性与零点问题

函数的单调性与零点问题

函数的单调性与零点问题函数的单调性是数学中一个重要的概念,它描述了函数在定义域上的递增或递减的性质。

在本文中,我们将介绍函数的单调性以及与之相关的零点问题。

一、函数的单调性函数的单调性指的是函数在其定义域上的递增或递减的性质。

具体而言,如果对于定义域上的任意两个不同的实数x1和x2,都有f(x1)≤f(x2),那么我们称这个函数为递增函数;如果对于定义域上的任意两个不同的实数x1和x2,都有f(x1)≥f(x2),那么我们称这个函数为递减函数。

函数的单调性可以通过求导来判断。

对于可导函数,如果其导函数恒大于0,则函数在定义域上递增;如果其导函数恒小于0,则函数在定义域上递减。

二、函数的零点问题函数的零点,也称为根,是指函数取值为0的实数解。

对于给定的函数,寻找其零点是解决方程 f(x)=0 的问题。

零点问题在数学和工程领域中都有重要的应用,比如求解方程、计算实数的近似值等。

对于具体的函数,我们可以通过代数方法或图像分析的方式来求解其零点。

代数方法包括因式分解、配方法等,而图像分析则通过绘制函数的图像来找到函数与x轴相交的点,这些点即为函数的零点。

三、函数单调性与零点问题的关系函数的单调性与零点问题有着密切的联系。

对于一个递增的函数,如果存在两个不同的实数x1和x2,使得f(x1)<0<f(x2),那么根据介值定理,必然存在一个介于x1和x2之间的实数c,使得f(c)=0,即函数存在零点。

同样地,对于一个递减的函数,如果存在两个不同的实数x1和x2,使得f(x1)>0>f(x2),那么根据介值定理,必然存在一个介于x1和x2之间的实数c,使得f(c)=0,即函数存在零点。

函数的单调性可以为我们解决零点问题提供了重要的线索和思路。

通过观察函数的单调性,我们可以初步判断函数的零点的存在与位置,从而更高效地求解方程。

综上所述,函数的单调性与零点问题密切相关。

通过研究函数的单调性,我们可以得到有关零点问题的许多有用信息。

高中数学-函数的零点问题及例题分析

高中数学-函数的零点问题及例题分析

高中数学-函数的零点问题及例题分析1. 引言函数是数学中一个非常重要的概念,它在数学和实际问题中发挥着重要的作用。

函数的零点问题是函数中一个常见且重要的问题,它与方程的解有着紧密的联系。

本文将介绍函数的零点问题,并通过一些例题分析来加深理解。

2. 函数的定义与性质回顾函数是一个将一个集合的元素映射到另一个集合的元素的规则。

函数通常用符号表示,如$f(x)$,其中$x$是自变量,$f(x)$是对应的函数值。

函数的零点指的是函数取零值的点,即满足$f(x)=0$的$x$值。

函数的零点问题与方程的解问题紧密相关。

对于一元函数,函数的零点就是方程$f(x)=0$的解。

因此,解方程可以转化为求函数的零点。

函数的零点可以通过图像、图表或数值计算等方法来确定。

下面将通过几个例题来进一步分析。

3. 例题分析3.1 例题一已知函数$f(x)=2x^2-3x+1$,求函数$f(x)$的零点。

解析:要求函数$f(x)$的零点,即求解方程$2x^2-3x+1=0$。

我们可以使用配方法、求根公式或因式分解等方法来解这个二次方程,最终可以得到$x=1$和$x=\frac{1}{2}$两个解。

3.2 例题二已知函数$g(x)=\sqrt{x+3}-2$,求函数$g(x)$的零点。

解析:要求函数$g(x)$的零点,即求解方程$\sqrt{x+3}-2=0$。

为了消除平方根,我们可以将方程两边平方,得到$x+3=4$,然后解得$x=1$。

因此,函数$g(x)$的零点为$x=1$。

3.3 例题三已知函数$h(x)=\frac{1}{x-2}$,求函数$h(x)$的零点。

解析:函数$h(x)$在$x=2$处不存在定义,因此不存在零点。

4. 总结本文介绍了函数的零点问题及其与方程的解之间的联系。

函数的零点是函数取零值的点,可以通过解相应的方程来求得。

通过例题分析,我们进一步了解了求函数零点的具体方法。

在实际问题中,函数的零点问题有时对于确定某个变量的取值非常重要,因此对于函数的零点问题的理解和掌握是非常有益的。

函数零点问题解答分析与思考

函数零点问题解答分析与思考

函数零点问题解答分析与思考
函数零点问题是数学中的一个重要问题,其解决方法涉及到诸多数学知识和方法。

下面我们从以下几个方面对函数零点问题进行解答分析与思考。

一、什么是函数零点?
函数零点,又称函数根或零点解,指的是一个函数在数轴上与$x$轴相交的点,即满足$f(x)=0$的$x$值。

二、如何求函数的零点?
求函数的零点是数学中的重要问题,常见的方法有以下几种:
1.直接求解法:将$f(x)=0$转化为$x$的方程,然后解方程,这是最基本的求解零点的方法。

2.图像法:通过函数的图像来判断函数的零点。

当函数在某一区间内的取值为正,而在另一区间内的取值为负时,这两个区间上必定有一点$f(x)=0$,即为函数的零点。

3.牛顿迭代法:牛顿迭代法是一种求函数零点的迭代方法,它通过不断迭代来逼近函数的零点。

4.二分法:二分法是一种逐步缩小区间的求根方法,它通过不断缩小区间的范围来逼近函数的零点。

三、函数零点问题的应用
1.数值计算:求函数的零点是数值计算中的一个重要问题。

在数值计算中,函数的零点通常被用来求解方程和优化问题。

2.科学研究:函数的零点在科学研究中也有着广泛的应用。

例如,在物理学中,函数的零点可以用来确定一物体的运动状态。

四、结论
函数零点问题是数学中的一个重要问题,它有着广泛的应用。

求函数的零点涉及到多种数学知识和方法,求解的过程往往需要综合运用这些知识和方法。

在实际的应用中,掌握函数零点问题的解决方法对于解决实际问题是非常有帮助的。

函数的零点问题PPT课件

函数的零点问题PPT课件
(2) f (2) 0
f (1) 0
f (0) 0,解得a的取值范围是(0,1). 3
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The
More You Know, The More Powerful You Will Be
函数与方程

数 零
函数
使 f ( x) 0的实数 x

数形结合
图象 与x 轴交点的横坐标
零点的存在性定理
f (x)在a,b上连续
f ( x)在 a, b上单调
f (a) f (b) 0
f ( x)在a, b 有唯一
零点
一、直接求函数的零点
求根定零点
[例1](2012湖北)函数 f (x) x cos x2 在区间[0,4]
函数的零点问题
高考地位
函数零点是新课标教材的 新增内容之一,纵观近几年全国 各地的高考试题,经常出现一些 与零点有关的问题,它可以以选 择题、填空题的形式出现,也 可以在解答题中与其它知识交 汇后闪亮登场,可以说”零点” 成为了高考新的热点、亮点和 生长点.
方程 方程 f ( x) 0的实数根
上的零点的个数为
(C )
A.4 B.5
C.6
D.7
f (x) x cos x2 0 x 0或 cos x2 0
x 0或2x k , k .
x
0或x
k
2
0, 2
. k
0,1, 2,3
24
B
二、确定零点的大致位置
异号定零点位置
A
f (a) f (b) 0 f (b) f (c) 0 [练习]若函数 f (x)的零点与g( x) 4x 2x 2的零点

函数零点问题的求解“四法”

函数零点问题的求解“四法”
3 .利 用 定 理
点评 此类方法一般适用于二次函数 在 Y轴 两侧 ,
的零点 、 一些 可 以 因式 分 解 的 高 次 函数 的零 点 等.
2 .利用 图象

般 的函数 零 点 个 数 的确 定 性 问题 , 往
往把 对应 的 函数转 化 为两 个 基本 初 等 函数 , 利用 两 函数 的 图 象 的交 点 个 数 来 确 定 对 应
( 一3 ) :1 6 >o , 方程有 两个不 相等实数根 ,
又z +2 x一 3: ( +3 ) ( X一 1 ) 一0 , z 1 —1 ,
7 。
圈 l
: 一3 所以 厂 ( z ) 的零 点 为 1 , 一3 .
由 图 1易 知 , 两 图象 有 两 个交 点 且 分别 所 以函数 有 一个 正 零 点 和 一个 负零 点 , 故 填答 案 : D. 函数 :g ( z ) -h ( x ) 的零点 , 实 际上是曲线 —g ( z ) 与 一 ( z ) 的交点的横坐 标. 函数零点 的个数与交点的个数 相同 , 故可 以 转化为考虑两个简 单 的基 本初等 函数 , 一般 通 过作 出基本的图象来分析与处理的问题.
二 次方程 至 多有两 个 实根 , 所 以 ( z ) 有 两个 零 点. 故填 答 案 : ( n , 6 ) , ( 6 , c ) .
解 由于厂 ( 1 ) 一一2 <o , ( 2 ) 一5 >o ,
因此 区间 [ 1 , 2 ] 作为计 算的初始 区间 , 用二 分 法逐 次计算 , 如下 表 :
断对应 的方程 是否 有 实 数 根 , 再 通 过 因式 分
解法 、 配方 法或 公 式 法来 求 解 相 应 的 方程 的

函数的零点与解析问题及例题分析

函数的零点与解析问题及例题分析

函数的零点与解析问题及例题分析1. 函数的零点函数的零点指的是函数取值为零的点,即满足$f(x) = 0$的$x$值。

求函数的零点是许多数学问题中的基本任务。

求函数的零点方法很多,常见的包括二分法、牛顿法、割线法等。

下面以二分法为例来说明求函数零点的过程。

例题1::已知函数$f(x) = \sin(x)$,求$f(x)$的零点。

解析过程如下:1. 首先确定一个区间$[a, b]$,使得$f(a)$和$f(b)$异号。

2. 将区间中点记作$c$,计算$f(c)$的值。

3. 如果$f(c)$为零,则$c$是$f(x)$的零点;否则,根据$f(c)$和$f(a)$(或$f(b)$)的符号确定新的区间。

4. 重复步骤2和3,直到找到一个足够接近零点的解。

2. 解析问题解析问题是指在数学运算中的一些特殊情况,如分母为零、根号内为负数等。

解析问题的存在可能导致函数无法取值或无法计算。

解析问题的判定和处理与具体的数学表达式有关。

以下是一些常见的例子:- 分母为零:当函数中出现分母为零的情况时,其解析问题是分母为零的$x$值,并且在该点处函数无法取值。

- 根号内为负数:当函数中出现根号内为负数的情况时,其解析问题是根号内为负数的$x$值,并且在该点处函数无法计算。

解析问题在数学问题的解决中需要注意,可以通过数值计算的方法来规避这些问题。

3. 例题分析例题2::已知函数$f(x) = \frac{1}{x^2 - 4}$,求$f(x)$的定义域。

解析过程如下:由于分母为$x^2 - 4$,我们需要排除使分母为零的情况。

即解方程$x^2 - 4 = 0$,求得$x = \pm 2$。

因此,函数$f(x)$的定义域为$(-\infty, -2) \cup (-2, 2) \cup (2, \infty)$。

以上是关于函数的零点与解析问题的简要分析和例题讲解。

希望对您有所帮助!。

函数的零点个数问题-含答案

函数的零点个数问题-含答案

【知识要点】一、方程的根与函数的零点(1)定义:对于函数()y f x =(x D ∈),把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =(x D ∈)的零点.函数的零点不是一个点的坐标,而是一个数,类似的有截距和极值点等.(2)函数零点的意义:函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根,亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标,即:方程f(x)=0有实数根⇔函数()y f x =的图像与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点.(3)零点存在性定理:如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线,并且有0)()(<⋅b f a f ,那么函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点,即存在(,c a b ∈)使得()0f c =,这个c 也就是方程的根.函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线,并且有0)()(<⋅b f a f 是函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点的一个充分不必要条件.零点存在性定理只能判断是否存在零点,但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定,一般通过数形结合解决. 二、二分法(1)二分法及步骤对于在区间[,]a b 上连续不断,且满足0)()(<⋅b f a f 的函数()y f x =,通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法. (2)给定精确度ε,用二分法求函数的零点近似值的步骤如下: 第一步:确定区间[,]a b ,验证0)()(<⋅b f a f ,给定精确度ε. 第二步:求区间(,)a b 的中点1x .第三步:计算1()f x :①若1()f x =0,则1x 就是函数的零点;②若1()()0f a f x <,则令1b x = (此时零点01(,)x a x ∈)③若1()()0f x f b <,则令1a x =(此时零点01(,)x x b ∈)第四步:判断是否达到精确度ε即若a b ε-<,则得到零点值a 或b ,否则重复第二至第四步. 三、一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布讨论一元二次方程2()0(0)f x ax bx c a =++=≠的根的分布一般从以下个方面考虑列不等式组: (1)a 的符号; (2)对称轴2bx a=-的位置; (3)判别式的符号; (4)根分布的区间端点的函数值的符号.四、精确度为0.1指的是零点所在区间的长度小于0.1,其中的任意一个值都可以取;精确到0.1指的是零点保留小数点后一位数字,要看小数点后两位,四舍五入. 五、方法总结函数零点问题的处理常用的方法有:(1) 方程法;(2)图像法;(3)方程+图像法. 【方法点评】方法一 方程法使用情景 方程可以直接解出来. 解题步骤 先解方程,再求解.【例1 】已知函数2()32(1)(2)f x x a x a a 区间(1,1)-内有零点,求实数a 的取值范围.【点评】(1)本题如果用其它方法比较复杂,用这种方法就比较简洁.关键是能发现方程能直接解出来.(2)对于含有参数的函数要尝试因式分解,如果不好因式分解,再考虑其它方法.【反馈检测1】函数2()(1)cos f x x x =-在区间[0,4]上的零点个数是( ) A .4 B .5 C .6 D . 7方法二 图像法使用情景一些简单的初等函数或单调性容易求出,比较容易画出函数的图像.解题步骤先求函数的单调性,再画图分析.学科@网【例2】(2017全国高考新课标I理科数学)已知函数2()(2)x xf x ae a e x=+--.(1)讨论()f x的单调性;(2)若()f x有两个零点,求a的取值范围.(2) ①若0,a≤由(1)知()f x至多有一个零点.②若0a>,由(1)知当lnx a=-时,()f x取得最小值,1(ln)1lnf a aa-=-+.(i)当1a=时,(ln)f a-=0,故()f x只有一个零点.(ii)当(1,)a∈+∞时,由于11ln aa-+>0,即(ln)0f a->,故()f x没有零点.(iii)当0,1a∈()时,11ln0aa-+<,即(ln)0f a-<.422(2)(2)2220,f ae a e e----=+-+>-+>故()f x在(,ln)a-∞-只有一个零点.00000000003ln(1),()(2)203ln(1)ln,()n n n nn n f n e ae a n e n naa f xa>-=+-->->->->-∞设正整数满足则由于因此在(-lna,+)有一个零点.综上所述,a的取值范围为(0,1).【点评】(1)本题第2问根据函数的零点个数求参数的范围,用的就是图像法. 由于第1问已经求出了函数的单调性,所以第2问可以直接利用第1问的单调性作图分析. (2) 当0,1a∈()时,要先判断(,ln)a-∞的零点的个数,此时考查了函数的零点定理,(ln)0f a-<,还必须在该区间找一个函数值为正的值,它就是422(2)(2)2220,f ae a e e----=+-+>-+>要说明(2)0f->,这里利用了放缩法,丢掉了42ae ae--+.(3) 当0,1a∈()时,要判断(ln,)a-+∞上的零点个数,也是在考查函数的零点定理,还要在该区间找一个函数值为正的值,它就是03ln(1)n a>-,再放缩证明0()f n >0. (4)由此题可以看出零点定理在高考中的重要性.【例3】已知3x =是函数()()2ln 110f x a x x x =++-的一个极值点. (Ⅰ)求a ;(Ⅱ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅲ)若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点,求b 的取值范围.(Ⅲ)由(Ⅱ)知,()f x 在()1,1-内单调增加,在()1,3内单调减少,在()3,+∞上单调增加,且当1x =或3x =时,()'0f x =所以()f x 的极大值为()116ln 29f =-,极小值为()332ln 221f =- 因此()()21616101616ln 291f f =-⨯>-=()()213211213f e f --<-+=-<所以在()f x 的三个单调区间()()()1,1,1,3,3,-+∞直线y b =有()y f x =的图象各有一个交点,当且仅当()()31f b f <<,因此,b 的取值范围为()32ln 221,16ln 29--【点评】本题第(3)问,由于函数()f x 中没有参数,所以可以直接画图数形结合分析解答.【反馈检测2】已知函数2()1x e f x ax =+,其中a 为实数,常数 2.718e =.(1) 若13x =是函数()f x 的一个极值点,求a 的值; (2) 当4a =-时,求函数()f x 的单调区间;。

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函数零点问题处理函数零点问题时,我们不但要掌握零点存在性定理,还要充分运用等价转化、函数与方程、数形结合等思想方法,才能有效地找到解题的突破口.近几年的数学高考中频频出现零点问题,其形式逐渐多样化,但却与函数、导数知识密不可分.用导数解决函数的零点问题是近几年高考命题的热点题型,此类题一般属于压轴题,难度较大.[典例] (理)(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )=x 3+ax +14,g (x )=-ln x .(1)当a 为何值时,x 轴为曲线y =f (x )的切线;(2)用min{m ,n }表示m ,n 中的最小值,设函数h (x )=min{f (x ),g (x )}(x >0),讨论h (x )零点的个数.[思路演示]解:(1)设曲线y =f (x )与x 轴相切于点(x 0,0),则f (x 0)=0,f ′(x 0)=0,即⎩⎪⎨⎪⎧x 30+ax 0+14=0,3x 20+a =0,解得⎩⎨⎧x 0=12,a =-34.因此,当a =-34时,x 轴为曲线y =f (x )的切线.(2)当x ∈(1,+∞)时,g (x )=-ln x <0,从而h (x )=min{f (x ),g (x )}≤g (x )<0,故h (x )在(1,+∞)上无零点.当x =1时,若a ≥-54,则f (1)=a +54≥0,h (1)=min{f (1),g (1)}=g (1)=0,故x =1是h (x )的零点;若a <-54,则f (1)<0,h (1)=min{f (1),g (1)}=f (1)<0,故x =1不是h (x )的零点.当x ∈(0,1)时,g (x )=-ln x >0,所以只需考虑f (x )在(0,1)上的零点个数.①若a ≤-3或a ≥0,则f ′(x )=3x 2+a 在(0,1)上无零点,故f (x )在(0,1)上单调.而f (0)=14,f (1)=a +54,所以当a ≤-3时,f (x )在(0,1)上有一个零点;当a ≥0时,f (x )在(0,1)上没有零点.②若-3<a <0,则f (x )在⎝⎛⎭⎫0,-a 3上单调递减,在⎝⎛⎭⎫-a 3,1上单调递增,故在(0,1)上,当x =-a3时,f (x )取得最小值,最小值为f ⎝⎛⎭⎫ -a 3=2a3 -a 3+14. 若f ⎝⎛⎭⎫-a 3>0,即-34<a <0,则f (x )在(0,1)上无零点. 若f ⎝⎛⎭⎫-a 3=0,即a =-34,则f (x )在(0,1)上有唯一零点.上有两个零点;当-3<a ≤-54时,f (x )在(0,1)上有一个零点.综上,当a >-34或a <-54时,h (x )有一个零点;当a =-34或a =-54时,h (x )有两个零点;当-54<a <-34时,h (x )有三个零点.[解题师说]对于已知参数的取值范围,讨论零点个数的情况,借助导数解决的办法有两个:[典例] (文)设函数f (x )=ln x +mx,m ∈R.(1)当m =e(e 为自然对数的底数)时,求f (x )的极小值; (2)讨论函数g (x )=f ′(x )-x3零点的个数.[方法演示]解:(1)由题设,当m =e 时,f (x )=ln x +ex ,则f ′(x )=x -e x 2,∴当x ∈(0,e)时,f ′(x )<0,f (x )在(0,e)上单调递减, 当x ∈(e ,+∞)时,f ′(x )>0,f (x )在(e ,+∞)上单调递增, ∴当x =e 时,f (x )取得极小值f (e)=ln e +ee=2,∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )=f ′(x )-x 3=1x -m x 2-x 3(x >0),令g (x )=0,得m =-13x 3+x (x >0).设φ(x )=-13x 3+x (x ≥0),则φ′(x )=-x 2+1=-(x -1)(x +1).当x ∈(0,1)时,φ′(x )>0,φ(x )在(0,1)上单调递增;当x ∈(1,+∞)时,φ′(x )<0,φ(x )在(1,+∞)上单调递减.∴x =1是φ(x )的唯一极值点,且是极大值点,因此x =1也是φ(x )的最大值点, ∴φ(x )的最大值为φ(1)=23. 又φ(0)=0,结合y =φ(x ) 的图象(如图),可知,①当m >23时,函数g (x )无零点;②当m =23时,函数g (x )有且只有一个零点;③当0<m <23时,函数g (x )有两个零点;④当m ≤0时,函数g (x )有且只有一个零点.综上所述,当m >23时,函数g (x )无零点;当m =23或m ≤0时,函数g (x )有且只有一个零点;当0<m <23时,函数g (x )有两个零点.[解题师说]对于已知参数的取值范围,讨论零点个数的情况,借助导数解决的办法有两个:[应用体验]1.已知函数f (x )=-x 3+ax -14,g (x )=e x -e(e 为自然对数的底数).(1)若曲线y =f (x )在(0,f (0))处的切线与曲线y =g (x )在(0,g (0))处的切线互相垂直,求实数a 的值;(2)设函数h (x )=⎩⎪⎨⎪⎧f (x ),f (x )≥g (x ),g (x ),f (x )<g (x ),试讨论函数h (x )零点的个数.解:(1)f ′(x )=-3x 2+a ,g ′(x )=e x ,所以f ′(0)=a ,g ′(0)=1,由题意,知a =-1. (2)易知函数g (x )=e x -e 在R 上单调递增,仅在x =1处有一个零点,且x <1时,g (x )<0, 又f ′(x )=-3x 2+a ,①当a ≤0时,f ′(x )≤0,f (x )在R 上单调递减,且过点⎝⎛⎭⎫0,-14,f (-1)=34-a >0,即f (x )在x ≤0时必有一个零点,此时y =h (x )有两个零点;②当a >0时,令f ′(x )=-3x 2+a =0,得两根为x 1=-a3<0,x 2= a3>0,而f ⎝⎛⎭⎫-a 3=-⎝⎛⎭⎫- a 33+a ⎝⎛⎭⎫- a 3-14=-2a 3a 3-14<0. 现在讨论极大值的情况:f a3=-a 33+a a 3-14=2a 3a 3-14, 当f a 3<0,即a <34时,函数y =f (x )在(0,+∞)上恒小于零,此时y =h (x )有两个零点; 当f a 3=0,即a =34时,函数y =f (x )在(0,+∞)上有一个零点x 0= a 3=12,此时y =h (x )有三个零点;当f a 3>0,即a >34时,函数y =f (x )在(0,+∞)上有两个零点,一个零点小于a3,一个零点大于a 3, 若f (1)=a -54<0,即a <54时,y =h (x )有四个零点;若f (1)=a -54=0,即a =54时,y =h (x )有三个零点;若f (1)=a -54>0,即a >54时,y =h (x )有两个零点.综上所述:当a <34或a >54时,y =h (x )有两个零点;当a =34或a =54时,y =h (x )有三个零点;当34<a <54时,y =h (x )有四个零点.[典例] (1)讨论f (x )的单调性;(2)若f (x )有两个零点,求a 的取值范围. [思路演示]解:(1)f (x )的定义域为(-∞,+∞),f ′(x )=2a e 2x +(a -2)e x -1=(a e x -1)(2e x +1). (ⅰ)若a ≤0,则f ′(x )<0,所以f (x )在(-∞,+∞)上单调递减. (ⅱ)若a >0,则由f ′(x )=0,得x =-ln a .当x ∈(-∞,-ln a )时,f ′(x )<0;当x ∈(-ln a ,+∞)时,f ′(x )>0. 所以f (x )在(-∞,-ln a )上单调递减,在(-ln a ,+∞)上单调递增. (2)(ⅰ)若a ≤0,由(1)知,f (x )至多有一个零点.(ⅱ)若a >0,由(1)知,当x =-ln a 时,f (x )取得最小值,最小值为f (-ln a )=1-1a +ln a .①当a =1时,由于f (-ln a )=0,故f (x )只有一个零点;②当a ∈(1,+∞)时,由于1-1a+ln a >0,即f (-ln a )>0,故f (x )没有零点;③当a ∈(0,1)时,1-1a +ln a <0,即f (-ln a )<0. 又f (-2)=a e -4+(a -2)e -2+2>-2e -2+2>0,故f (x )在(-∞,-ln a )有一个零点.设正整数n 0满足n 0>ln ⎝⎛⎭⎫3a -1,则f (n 0)=e n 0(a e n 0+a -2)-n 0>e n 0-n 0>2n 0-n 0>0. 由于ln ⎝⎛⎭⎫3a -1>-ln a ,因此f (x )在(-ln a ,+∞)有一个零点.综上,a 的取值范围为(0,1).[解题师说]本题是已知区间上有零点,求参数的范围问题.由于含有超越函数式的函数图象较为复杂,也没有固定的形状特点,所以在研究此类问题时,可以从两个方面去思考:(1)根据区间上零点的个数情况,估计出函数图象的大致形状,从而推导出导数需要满足的条件,进而求出参数满足的条件;(2)也可以先求导,通过求导分析函数的单调情况,再依据函数在区间内的零点情况,推导出函数本身需要满足的条件,此时,由于函数比较复杂,常常需要构造新函数,通过多次求导,层层推理得解.[应用体验]2.(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )=(x -2)e x +a (x -1)2.(1)讨论f (x )的单调性;(2)若f (x )有两个零点,求a 的取值范围.解:(1)f ′(x )=(x -1)e x +2a (x -1)=(x -1)(e x +2a ).①设a ≥0,则当x ∈(-∞,1)时,f ′(x )<0;当x ∈(1,+∞)时,f ′(x )>0. 所以f (x )在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. ②设a <0,由f ′(x )=0得x =1或x =ln(-2a ).若a =-e2,则f ′(x )=(x -1)(e x -e),所以f (x )在(-∞,+∞)上单调递增.若a >-e2,则ln(-2a )<1,故当x ∈(-∞,ln(-2a ))∪(1,+∞)时,f ′(x )>0;当x ∈(ln(-2a ),1)时,f ′(x )<0. 所以f (x )在(-∞,ln(-2a )),(1,+∞)上单调递增,在(ln(-2a ),1)上单调递减.若a <-e2,则ln(-2a )>1,故当x ∈(-∞,1)∪(ln(-2a ),+∞)时,f ′(x )>0;当x ∈(1,ln(-2a ))时,f ′(x )<0. 所以f (x )在(-∞,1),(ln(-2a ),+∞)上单调递增,在(1,ln(-2a ))上单调递减.(2)①设a >0,则由(1)知,f (x )在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.又f (1)=-e ,f (2)=a ,取b 满足b <0且b <ln a 2,则f (b )>a 2(b -2)+a (b -1)2=ab 2-32b >0,所以f (x )有两个零点.②设a =0,则f (x )=(x -2)e x ,所以f (x )只有一个零点.③设a <0,若a ≥-e2,则由(1)知,f (x )在(1,+∞)上单调递增.又当x ≤1时,f (x )<0,故f (x )不存在两个零点;若a <-e2,则由(1)知,f (x )在(1,ln(-2a ))上单调递减,在(ln(-2a ),+∞)上单调递增.又当x ≤1时,f (x )<0,故f (x )不存在两个零点.综上,a 的取值范围为(0,+∞).[典例] (理)(2018·长春质检)已知函数f (x )=12x 2+(1-a )x -a ln x ,a ∈R.(1)若f (x )存在极值点1,求a 的值;(2)若f (x )存在两个不同的零点x 1,x 2,求证:x 1+x 2>2. [思路演示]解:(1)由已知得f ′(x )=x +1-a -ax ,因为f (x )存在极值点1,所以f ′(1)=0,即2-2a =0,a=1,经检验符合题意,所以a =1.(2)证明:f ′(x )=x +1-a -ax=(x +1)⎝⎛⎭⎫1-a x (x >0), ①当a ≤0时,f ′(x )>0恒成立,所以f (x )在(0,+∞)上为增函数,不符合题意;②当a >0时,由f ′(x )=0,得x =a ,当x >a 时,f ′(x )>0,所以f (x )单调递增,当0<x <a 时,f ′(x )<0,所以f (x )单调递减,所以当x =a 时,f (x )取得极小值f (a ).又f (x )存在两个不同的零点x 1,x 2,所以f (a )<0,即12a 2+(1-a )a -a ln a <0,整理得ln a >1-12a ,作y =f (x )关于直线x =a 的对称曲线g (x )=f (2a -x ), 令h (x )=g (x )-f (x )=f (2a -x )-f (x )=2a -2x -a ln 2a -xx,则h ′(x )=-2+2a 2(2a -x )x =-2+2a 2-(x -a )2+a 2≥0,所以h (x )在(0,2a )上单调递增.不妨设x 1<a <x 2,则h (x 2)>h (a )=0,即g (x 2)=f (2a -x 2)>f (x 2)=f (x 1),又2a -x 2∈(0,a ),x 1∈(0,a ),且f (x )在(0,a )上为减函数,所以2a -x 2<x 1,即x 1+x 2>2a , 又ln a >1-12a ,易知a >1成立,故x 1+x 2>2.(文)已知函数f (x )=ln x +tx-s (s ,t ∈R).(1)讨论f (x )的单调性及最值;(2)当t =2时,若函数f (x )恰有两个零点x 1,x 2(0<x 1<x 2),求证:x 1+x 2>4. [思路演示]解:(1)f ′(x )=x -tx2(x >0),当t ≤0时,f ′(x )>0,f (x )在(0,+∞)上单调递增,f (x )无最值;当t >0时,由f ′(x )<0,得x <t ,由f ′(x )>0,得x >t ,f (x )在(0,t )上单调递减,在(t ,+∞)上单调递增,故f (x )在x =t 处取得极小值也是最小值,最小值为f (t )=ln t +1-s ,无最大值.(2)证明:∵f (x )恰有两个零点x 1,x 2(0<x 1<x 2),∴f (x 1)=ln x 1+2x 1-s =0,f (x 2)=ln x 2+2x 2-s =0,即s =2x 1+ln x 1=2x 2+ln x 2,∴2(x 2-x 1)x 1x 2=ln x 2x 1,设t =x 2x 1>1,则ln t =2(t -1)tx 1,x 1=2(t -1)t ln t ,故x 1+x 2=x 1(t +1)=2(t 2-1)t ln t,∴x 1+x 2-4=2⎝⎛⎭⎫t 2-1t -2ln t ln t. 令函数h (t )=t 2-1t-2ln t ,∵h ′(t )=(t -1)2t 2>0,∴h (t )在(1,+∞)上单调递增,∵t >1,∴h (t )>h (1)=0,又t =x 2x 1>1,ln t >0,故x 1+x 2>4成立.[解题师说]已知函数存在零点,需要证明零点满足某项性质时,实际上是需要对函数零点在数值上进行精确求解或估计,需要对零点进行更高要求的研究,为此,不妨结合已知条件和未知要求,构造新的函数,再次通过导数的相关知识对函数进行更进一步的分析研究,其中,需要灵活运用函数思想、化归思想等,同时也需要我们有较强的抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.[应用体验]3.已知函数f (x )=ln x -12ax 2+x ,a ∈R.(1)当a =0时,求曲线y =f (x )在(1,f (1))处的切线方程; (2)令g (x )=f (x )-(ax -1),求函数g (x )的极值;(3)若a =-2,正实数x 1,x 2满足f (x 1)+f (x 2)+x 1x 2=0,证明:x 1+x 2≥5-12. 解:(1)当a =0时,f (x )=ln x +x ,则f (1)=1,又f ′(x )=1x +1,∴切线斜率为f ′(1)=2,故切线方程为y -1=2(x -1),即2x -y -1=0.(2)g (x )=f (x )-(ax -1)=ln x -12ax 2+(1-a )x +1,则g ′(x )=1x -ax +(1-a )=-ax 2+(1-a )x +1x(x >0),当a ≤0时,∵x >0,∴g ′(x )>0. ∴g (x )在(0,+∞)上是增函数,函数g (x )无极值点. 当a >0时,g ′(x )=-ax 2+(1-a )x +1x =-a ⎝⎛⎭⎫x -1a (x +1)x ,令g ′(x )=0,得x =1a.∴当x ∈⎝⎛⎭⎫0,1a 时,g ′(x )>0;当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ,+∞时,g ′(x )<0. ∴g (x )在⎝⎛⎭⎫0,1a 上是增函数,在⎝⎛⎭⎫1a ,+∞上是减函数. ∴x =1a 时,g (x )有极大值g ⎝⎛⎭⎫1a =ln 1a -a 2×1a 2+(1-a )·1a +1=12a-ln a . 综上,当a ≤0时,函数g (x )无极值;当a >0时,函数g (x )有极大值12a -ln a ,无极小值.(3)证明:当a =-2时,f (x )=ln x +x 2+x ,x >0. f (x 1)+f (x 2)+x 1x 2=0,即ln x 1+x 21+x 1+ln x 2+x 22+x 2+x 1x 2=0,从而(x 1+x 2)2+(x 1+x 2)=x 1x 2-ln(x 1x 2),令t =x 1x 2(t >0),φ(t )=t -ln t ,则φ′(t )=1-1t =t -1t ,由φ′(t )>0,得t >1;由φ′(t )<0,得0<t <1,所以φ(t )在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增. ∴φ(t )≥φ(1)=1,∴(x 1+x 2)2+(x 1+x 2)≥1,∵x 1>0,x 2>0,∴x 1+x 2≥5-12.1.已知函数f (x )=x 2a+bx -ln x .(1)若a =b =1,求f (x )的极值;(2)若b =-1,函数f (x )有且只有一个零点,求实数a 的取值范围.解:(1)a =b =1时,f (x )=x 2+x -ln x (x >0),则f ′(x )=2x +1-1x =(x +1)(2x -1)x .当0<x <12时,f ′(x )<0,f (x )单调递减;当x >12时,f ′(x )>0,f (x )单调递增,所以f (x )的极小值为f ⎝⎛⎭⎫12=34+ln 2,无极大值.(2)若f (x )有且只有一个零点,即方程x 2a -x -ln x =0在(0,+∞)上有且只有一个实数根,即1a =1x+ln x x 2. 令h (x )=1x +ln x x 2,则h ′(x )=1-x -2ln x x 3. 再令φ(x )=1-x -2ln x ,则φ′(x )=-1-2x<0,又φ(1)=0,因而当x ∈(0,1)时,φ(x )>φ(1)=0;当x ∈(1,+∞)时,φ(x )<φ(1)=0. 所以当x ∈(0,1)时,h ′(x )>0,h (x )单调递增;当x ∈(1,+∞)时,h ′(x )<0,h (x )单调递减,故h (x )≤h (1)=1,又当x →+∞时,h (x )→0且h (x )>0,而当x →0时,h (x )→-∞, 所以1a <0或1a =1,即a <0或a =1时函数f (x )有且只有一个零点.故实数a 的取值范围为(-∞,0)∪{1}. 2.设函数f (x )=x 3+ax 2+bx +c .(1)求曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程;(2)设a =b =4,若函数f (x )有三个不同零点,求实数c 的取值范围; (3)求证:a 2-3b >0是f (x )有三个不同零点的必要不充分条件.解:(1)由f (x )=x 3+ax 2+bx +c ,得f ′(x )=3x 2+2ax +b . 因为f (0)=c ,f ′(0)=b , 所以曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y =bx +c .(2)当a =b =4时,f (x )=x 3+4x 2+4x +c ,所以f ′(x )=3x 2+8x +4.令f ′(x )=0,得x =-2或x =-23. 于是,当x 变化时,f ′(x )与f (x )变化情况如下表:所以,当c >0且c -3227<0时,存在x 1∈(-4,-2),x 2∈⎝⎭⎫-2,-23,x 3∈⎝⎭-23,0,使得f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)=0.由f (x )的单调性知,当且仅当c ∈⎝⎛⎭⎫0,3227时,函数f (x )=x 3+4x 2+4x +c 有三个不同零点,故实数c 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0,3227. (3)证明:当Δ=4a 2-12b <0时,f ′(x )=3x 2+2ax +b >0恒成立,此时函数f (x )在区间(-∞,+∞)上单调递增,所以f (x )不可能有三个不同零点.当Δ=4a 2-12b =0时,f ′(x )=3x 2+2ax +b 只有一个零点,记作x 0. 当x ∈(-∞,x 0)时,f ′(x )>0,f (x )在区间(-∞,x 0)上单调递增.当x ∈(x 0,+∞)时,f ′(x )>0,f (x )在区间(x 0,+∞)上单调递增.所以f (x )不可能有三个不同零点.综上所述,若函数f (x )有三个不同零点,则必有Δ=4a 2-12b >0. 故a 2-3b >0是f (x )有三个不同零点的必要条件.当a =b =4,c =0时,a 2-3b >0,f (x )=x 3+4x 2+4x =x (x +2)2只有两个不同零点,所以a 2-3b >0不是f (x )有三个不同零点的充分条件.因此a -3b >0是f (x )有三个不同零点的必要不充分条件. 3.(理)设函数f (x )=1-m -xe x.(1)求函数f (x )在[0,2]上的单调区间;(2)当m =0,k ∈R 时,求函数g (x )=f (x )-kx 2在R 上零点个数. 解:(1)f ′(x )=x +m -2e x,令f ′(x )=0,得x =2-m .当2-m ≤0,即m ≥2时,f ′(x )≥0,f (x )在[0,2]上单调递增.当0<m <2时,由f ′(x )<0,得0<x <2-m ;由f ′(x )>0,得2-m <x <2,所以f (x )在[0,2-m ]上单调递减,在[2-m,2]上单调递增.当m ≤0时,f ′(x )≤0,f (x )在[0,2]上单调递减.综上,当m ≥2时,f (x )的单调递增区间为[0,2];当0<m <2时,f (x )的单调递减区间为[0,2-m ],单调递增区间为[2-m,2];当m ≤0时,f (x )的单调递减区间为[0,2].(2)当m =0时,由g (x )=f (x )-kx 2=0,得1-x e x =kx 2,即k =1-x x 2e x (x ≠0).令h (x )=1-xx 2e x ,则h ′(x )=x 2-2x 3e x . 由h ′(x )>0,得-2<x <0或x >2;由h ′(x )<0,得x <-2或0<x <2,∴h (x )在(-∞,-2),(0,2)上单调递减,在(-2,0),(2,+∞)上单调递增. 在x <0时,当x =-2时,h (x )取得极小值h (-2)=1+22e 2,当x →-∞时,h (x )→+∞;x →0时,h (x )→+∞. 在x >0时,当x =2时,h (x )取得极小值h (2)=1-22e 2<0, 当x →0时,h (x )→+∞,x →+∞时,h (x )→0.画出函数h (x )的大致图象如图所示,当k <1-22e 2时,g (x )没有零点,当k =1-22e 2或0≤k <1+22e2时,g (x )有1个零点,当1-22e2<k <0或k =1+22e 2时,g (x )有2个零点,当k >1+22e2时,g (x )有3个零点.(文)已知函数f (x )=x 3+x 2+ax +b .(1)当a =-1时,求函数f (x )的单调递增区间;(2)若函数f (x )的图象与直线y =ax 恰有两个不同的交点,求实数b 的值.解:(1)当a =-1时,f (x )=x +x -x +b ,所以f ′(x )=3x +2x -1,由f ′(x )>0,得x <-1或x >13,所以函数f (x )的单调递增区间为(-∞,-1)和⎝⎛⎭⎫13,+∞. (2)函数f (x )的图象与直线y =ax 恰有两个不同的交点,等价于f (x )-ax =0有两个不等的实根. 令g (x )=f (x )-ax =x 3+x 2+b ,则g ′(x )=3x 2+2x .由g ′(x )>0,得x <-23或x >0;由g ′(x )<0,得-23<x <0. 所以函数g (x )在⎝⎛⎭⎫-∞,-23和(0,+∞)上单调递增,在⎝⎛⎭⎫-23,0上单调递减. 所以当x =-23时,函数g (x )取得极大值g ⎝⎛⎭⎫-23=427+b ,当x =0,时函数g (x )取得极小值为g (0)=b . 要满足题意,则需g ⎝⎛⎭⎫-23=427+b =0或g (0)=b =0, 所以b =-427或b =0. 4.(2018·广西三市第一次联考)已知函数f (x )=2a 2ln x -x 2(a >0).(1)当a =1时,求曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程;(2)求函数f (x )的单调区间;(3)讨论函数f (x )在区间(1,e 2)上零点的个数(e 为自然对数的底数).解:(1)当a =1时,f (x )=2ln x -x 2,∴f ′(x )=2x-2x ,∴f ′(1)=0,又f (1)=-1, ∴曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为y +1=0.(2)∵f (x )=2a 2ln x -x 2,∴f ′(x )=2a 2x -2x =2a 2-2x 2x =-2(x -a )(x +a )x , ∵x >0,a >0,∴当0<x <a 时,f ′(x )>0,当x >a 时,f ′(x )<0.∴f (x )在(0,a )上是增函数,在(a ,+∞)上是减函数.(3)由(2)得f (x )max =f (a )=a 2(2ln a -1).讨论函数f (x )的零点情况如下:①当a 2(2ln a -1)<0,即0<a <e 时,函数f (x )无零点,在(1,e 2)上无零点.②当a 2(2ln a -1)=0,即a =e 时,函数f (x )在(0,+∞)内有唯一零点a ,而1<a =e<e 2,∴f (x )在(1,e 2)上有一个零点.③当a 2(2ln a -1)>0,即a >e 时,由于f (1)=-1<0,f (a )=a 2(2ln a -1)>0,f (e 2)=2a 2ln e 2-e 4=4a 2-e 4=(2a -e 2)(2a +e 2),当2a -e 2<0,即e<a <e 22时,1<e<a <e 22<e 2,f (e 2)<0,由函数的单调性可知,函数f (x )在(1,a )上有唯一零点x 1,在(a ,e 2)上有唯一零点x 2,∴f (x )在(1,e 2)上有两个零点.当2a -e 2≥0,即a ≥e 22>e 时,f (e 2)≥0,由函数的单调性可知,f (x )在(1,e)上有唯一的一个综上所述,当0<a <e 时,函数f (x )无零点;当a =e 或a ≥e 22时,函数f (x )有一个零点;当e<a <e 22时,函数f (x )有两个零点.。

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