探究高考中的直角折线距离问题_甘大旺

探究高考中的直角折线距离问题

浙江省宁波市北仑明港中学

315806甘大旺（特级教师）

在坐标平面内，与两点间的直线段距离相比较，近年来高考命题专家热衷于两点间、多点间依托纵横方向的“直角折线距离”问题，本文来探究之．

例1(2014年江西省高考题)对任意x 、

y ∈Ｒ，x －1+x +y －1+y +1的最小值为（）．A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解由于x －1+x ≥（x －1）－x =1（其中当0≤x ≤1时取等号）且y －1+y +1≥（y －1）－（y +1）=2（其中当－1≤y ≤1时取等

号），则x －1+x +y －1+y +1的最小值为1+2=3．

所以选C ．

图1

探析①上述解法用到一个

实数绝对值的不等式u －a +u －b ≥a －b （其中当b ≤u ≤a 时取等号）；②如图1，此题的命题意图是求坐标平面内的动点P （x ，y ）到两个定点M （1，1）、N （0，－1）间沿垂直于坐标轴方向的“直角折

线距离”，该距离取最小值3时动点P 的轨迹是矩形区域｛（x ，

y ）0≤x ≤1，－1≤y ≤1｝．

例2(2014年福建省高考题)在平面直角坐标系

中，两点P 1x 1，

y 1()，P 2x 2，y 2()间的“L －距离”定义为‖P 1P 2|=|x 1－x 2|+|y 1－y 2|，

则平面内与x 轴上两个不同的定点F 1、F 2的“L －距离”之和等于定值（大于‖F 1F 2|）的点的轨迹可以是（

）

．A．B．

C．

D．

解

依题意设两个定点F 1（－m ，0）、F 2（m ，0），其

中常数m ＞0，则F 1F 2=2m．设动点P （x ，y ）与两个定点F 1、F 2的“L －距离”之和等于定值2n ，其中n ＞m ，

则PF 1+PF 2=2n ，

即就是（x +m +y ）+（x －m +y ）=2n．

当y ≥0时，

y =x +n ，－n ≤x ≤－m ；n －m ，－m ≤x ≤m ；－x +n ，m ≤x ≤n．

{

当y ≤0时，

y =－x －n ，－n ≤x ≤－m ；－n +m ，－m ≤x ≤m ；x －n ，m ≤x ≤n．{

所以，点P 的轨迹是六边形，故选A ．

探析这里给出临时定义“L －距离”，其实是一般的直角折线距离，后面例题的临时定义虽然本质不

变，但说法及其记号都有变化．

例3

(2006年福建省高考题，2009年珠海市竞赛

题)对于直角坐标平面内的任意两点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），定义它们之间的一种“距离”：AB =x 1－x 2+y 1－y 2．给出下列三个命题：

①若点C 在线段AB 上，则AC +CB =AB ；②在△ABC 中，若∠C =90ʎ，

则AC 2+CB 2=AB 2

；③在△ABC 中，AC +CB ＞

AB ．

其中，真命题的个数为（）．A ．0B ．1

C ．2

D ．3

解

对于命题①，由于点C 在线段AB 上，

则

x A ≤x C ≤x B 或x A ≥x C ≥x B

y A ≤y C ≤y B 或y A ≥y C ≥y B {

，则AC +CB

=x A －x C +y A －y C +x C －x B +y C －y B

=x A －x C +x C －x B +y A －y C +y C －y B

=x A －x B +y A －y B =AB ，则①是真命题．

对于命题②，不妨取C （0，

0）、A （－1，1）、B （2，2），则∠ACB =90ʎ，但此时AC 2+CB 2－AB 2

=（1+1）2+（2+2）2－（3+1）2≠0

．所以，②是假命题．

图2

对于命题③，不妨取A （0，0）、B （3，2）、C （2，1），

则此时AC +

CB －AB =（2+1）+（1+1）－

（3+5）=0．所以，③是假命题．所以选B ．

探析

这里的真命题

①是直角折线距离的一个基本性质，其直观意义如图

2所示．

例4(2010年广东省高考题)已知A （x 1，

y 1）、B （x 2，y 2）是平面直角坐标系xOy 上的两点，定义由点A

到点B 的一种折线距离ρ（A ，

B ）=x 1－x 2+7

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中学数学杂志2015年第7期

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y 1－y 2．

对于平面xOy 上给定的不同两点A （x 1，

y 1）、B （x 2，y 2），解答下列问题．（Ⅰ）若点C （x ，y ）是平面xOy 上的点，试证明：

ρ（A ，

C ）+ρ（C ，B ）≥ρ（A ，B ）；（Ⅱ）在平面xOy 上是否存在点C （x ，y ），同时满

足：（ⅰ）ρ（A ，

C ）+ρ（C ，B ）=ρ（A ，B ）；（ⅱ）ρ（A ，C ）=ρ（C ，B ）．若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，

请予证明．

解（Ⅰ）因为ρ（A ，

C ）+ρ（C ，B ）=（x 1－x +y 1－y ）

+（x －x 2+y －y 2）

=（x 1－x +x －x 2）+（y 1－y +y －y 2）≥x 1－x 2+y 1－y 2

=ρ（A ，B ），

所以ρ（A ，

C ）+ρ（C ，B ）≥ρ（A ，

B ）．（Ⅱ）取点

C （x ，y ）使x =x 1+x 2

2，y =y 1+y 22

，验知

此时点C （x ，

y ）同时满足条件（ⅰ）、（ⅱ），则存在点C 满足题意，且所有符合条件的点C 是线段AB 的中点（

x 1+x 22，y 1+y 2

2）．探析

此例的两个小题都是例3的唯一真命题①的拓广和推论，可画图示意之．

例5(2009年上海市高考题)某地街道呈现东———西、南———北向的网格状，相邻街距都为1．两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为轴

建立直角坐标系，现有下述格点（－2，

2），（3，1），（3，4）（－2，3），（4，5），（6，6）为报刊零售点．请确定一个格点（除零售点外）

为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短．

解

依题意，设发行站的格点坐标是P （x ，

y ），则6个零售点沿街道到发行站之间路程的和为

S =（x +2+y －2）+（x －3+y －1）+（x －3+y －4）+（x +2+y －3）+（x －4+y －5）+（x －6+y －6）=（x +2+x +2+x －3+x －3+x －4+x －6）+（y －1+y －2+y －3+y －4+y －5+y －6）．于是，当x =3且3≤y ≤4时，S 取得最小值S min =14+9=23．因为还要考虑到除零售点

外的格点（如图3），

所以发行站的位置坐标是（3，3）．图3

探析

①直角折线距离

的一个现实典型应用是垂直街道网的直达输送的最短行

程问题；②一般地，设t 1≤t 2≤t 3≤…≤t n ，

其中n ∈N +，并记绝对值和式S （t ）=t －t 1+t －t 2+t －t 3+

…+t －t n ，则当n =2k －1（k ∈N +）时S （t ）的最小

值S （t ）min =S （t k ），当n =2k （k ∈N +）时S （t ）的最小值S （t ）min =S （t'）（其中t'适合t k ≤t'≤t k +1）．

例6(2013年湖南省高考题)在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M 到N 的一条

“L 路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy 内三点A （3，20）、B （14，0）、C （－10，0）处．现计划在x 轴上方区域（包含x 轴）内的某一

点P （x ，

y ）处修建一个文化中心．（1）写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值

的表达式（不要求证明）；

（2）若以原点O 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区，请确定点P 的位置，使其到三个居民区的

“L 路径”长度值和最小．解（1）点P 到居民区A 的

“L 路径”长度最小值的表达式d =x －3+y －20，

这里x ∈Ｒ、y ≥0．（2）假如不考虑半径为1的保护区，则点P 到三个

居民区的

“L 路径”的最短长度和为d 1=（x －3+y －20）+（x －14+y ）+（x +10+y ）=（x +10+x －3+x －14）+（y +y +y －20）≥（3+10+3－3+3－14）+（0+0+0－20）=43．图4

此时，点P 位于（3，0），但要经过保护区的区域x 2

+y 2＜1．如图4，为了完全符合题意，作出调整

不妨使獉獉獉

以C 点引发的路径先过点C'（－10，1），则点P 到三个居民区的“L 路径”的

最短长度和为

d 2=（x －3+y －20）+（x －14+y ）+（1+x +10+y －1）=（x +10+x －3+x －14）+（y +y －1+y －20）+1≥（3+10+3－3+3－14）+（1+1－1+1－20）+1=45（其中当x =3、y =1时取等号）．

所以，符合题意的点P 的位置是（3，1）．探析此例中，点A 与点P 的最短

“L 路径”只有1条，点B 与点P 的最短“L 路径”有无数条，点C 与点P 的最短“L 路径”也有无数条．这里只是“不妨使獉獉獉

以C

点引发的路径先过点C'（－10，1）”，其实也能够以横、纵方向依次经过点C （－10，

0）、C 1（－5．5，0）、C 2（－5．5，1）、P （3，1），等等，这并不影响第（2）小题最后的解题结论．

综上所述，本文只是探究平面上的直角折线距离（有时可用其它名称和记号）；作为该探究的一个最近

发展区，我们可以预见不远的将来还可能遇到三维空间上的直角折线距离问题．

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2ZHONGXUESHUXUEZAZHI 中学数学杂志2015年第7期