5年级-14-容斥原理-难版
小学五年级逻辑思维学习—容斥原理
小学五年级逻辑思维学习—容斥原理知识定位容斥原理中的知识点比较简单，是计数问题中比较浅的一支。
这个知识点经常和数论知识结合出综合型题目。
这个原理本身并不是很难理解，不过经常和数论知识结合出题，所以对学生的理解层次要求较高，学生必须充分理解、吃透。
1. 充分理解和掌握容斥原理的基本概念2. 利用图形分析解决容斥原理问题知识梳理授课批注：本讲的知识点必须让学生充分理解、吃透，这个原理本身并不是很难理解，不过经常和数论知识结合出题所以对学生的理解层次要求较高。
一. 容斥原理的概念定义在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。
我们用|A|表示有限集A的元素个数。
求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成： |A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|，我们称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理。
图示如右:A表示小圆部分，B表示大圆部分，C表示大圆与小圆的公共部分，记为：A∩B，即阴影面积。
用法：包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素的个数，可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来，即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C=|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素个数）二.竞赛考点1. 容斥原理的基本概念2. 与数论相结合的综合型题目例题精讲【题目】在一个炎热的夏日，10个小学生去冷饮店每人都买了冷饮。
其中6人买了汽水，6人买了可乐，4人买了果汁，有 3人既买了汽水又买了可乐，1人既买了汽水又买了果汁，2人既买了可乐又买了果汁。
问：(1)三样都买的有几人？(2)只买一样的有几人？【题目】某班有学生46人，在调查他们家中是否有电子琴和小提琴时发现，有电子琴的22人，两种琴都没有的14人，只有小提琴的与两种琴都有的人数之比是5∶3。
第十讲 容斥原理小学五年级奥数
點算的奧秘：容斥原理基本公式「容斥原理」(Principle of Inclusion and Exclusion)(亦作「排容原理」)是「點算組合學」中的一條重要原理。
但凡略為複雜、包含多種限制條件的點算問題，都要用到這條原理。
現在首先從一個點算問題說起。
例題1：設某班每名學生都要選修至少一種外語，其中選修英語的學生人數為25，選修法語的學生人數為18，選修德語的學生人數為20，同時選修英語和法語的學生人數為8，同時選修英語和德語的學生人數為13 ，同時選修法語和德語的學生人數為6，而同時選修上述三種外語的學生人數則為3，問該班共有多少名學生？答1：我們可以把上述問題表達為下圖：其中紅色、綠色和藍色圓圈分別代表選修英語、法語和德語的學生。
根據三個圓圈之間的交叉關係，可把上圖分為七個區域，分別標以A至G七個字母。
如果我們用這七個字母分別代表各字母所在區域的學生人數，那麼根據題意，我們有以下七條等式：(1) A+D+E+G = 25；(2) B+D+F+G = 18；(3) C+E+F+G = 20；(4) D+G = 8； (5) E+G = 13；(6) F+G = 6；(7) G = 3。
現在我們要求的是A+B+C+D+E+F+G。
如何利用以上資料求得答案？把頭三條等式加起來，我們得到A+B+C+2D+2E+2F+3G = 63。
可是這結果包含了多餘的D、E、F和G，必須設法把多餘的部分減去。
由於等式(4)－(6)各有一個D、E和F，若從上述結果減去這三條等式，便可以把多餘的D、E和 F減去，得A+B+C+D+E+F = 36。
可是這麼一來，本來重覆重現的G卻變被完全減去了，所以最後還得把等式(7)加上去，得最終結果為A+B+C+D+E+F+G = 39，即該班共有39名學生。
□在以上例題中，給定的資料是三個集合的元素個數以及這些集合之間的交集的元素個數。
在該題的解答中，我們交替加上及減去這些給定的資料。
五年级第八讲容斥原理
容斥原理容斥原理：如果有s件东西，其中具有性质A的有a件，具有性质B 的有b件，既有性质A又有性质B的有c件，那么具有性质A或性质B的件数是：a+b-c既不具有性质A也不具有性质B的件数：s-（a+b-c）习题例1．两个长方形A和B的面积分别是21和9平方厘米，它们重叠部分C的面积为4平方厘米，这两个长方形盖住的面积是多少？例2．某校四年级共有132名学生，学生们自愿报名参加课外小组活动。
其中参加体育小组，科技小组的分别是39人、28人，即参加体育小组又参加科技小组的有12人。
问：（1）参加体育小组和科技小组共有多少人？（2）四年级有多少名学生既没参加体育小组又没参加科技小组？例3．在1-100的自然数中，能被3或5整除的数有几个？既不能被3整除又不能被5整除的数有几个？例4．一个班有学生42人，参加体育小组的有30人，参加文艺小组的25人，并且每个人都至少参加一个小组，这个班两小组都参加的有几人？例5．老师出了两道题，全班40人中，第一题有30人对，第二题有12人对，两道题都做对的有20人。
问：（1）第二题对第一题没做对的有多少人？（2）两题都没做对的有几个人？例6．400盏灯，各有一个开关控制（每拉一下开关，电灯的状态发生改变：亮的灭了，灭的亮了）。
现将其编号为1-400，初始状态全都关着。
然后将所有编号为5的倍数的电灯开关都拉一下，再将所有编号为7的倍数的电灯的开关都拉一下。
两次拉完后，灭了的电灯有多少盏？例7．在1-2010这2010个数中，既不能被8整除，又不能被12整除的数共有多少个?习题1．面积为1平方米的正方形桌面上放着两本书A和B，A和B的面积分别为294平方厘米、234平方厘米，两本书重叠部分的面积为100平方厘米。
求桌面没被两本书盖住的面积。
2．五年级一班有48人，其中会游泳的有21人，会滑冰的有12人，既会游泳又会滑冰的有6人，问两样都不会的有几人？3．50名学生面向老师排成一排，编号按顺序分别为1-50号。
小学思维数学讲义：容斥原理之最值问题-带详解
容斥原理之最值问题1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．教学目标 例题精讲知识要点 1．先包含——A B + 重叠部分A B 计算了2次，多加了1次； 2．再排除——A B A B +- 把多加了1次的重叠部分A B 减去．图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．【例1】“走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。
2018五年级数学容斥原理
-周末一对一教学教案
容斥原理
专题简析：容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理，即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分.
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na＋Nb－Nab.
例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手，又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手，最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手，求这个班语文、数学作业都完成的人数.
练：1、五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩，其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人，语文、数学都优秀的有多少人？
2、四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？
3、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中。
计数第14讲_容斥原理的公式(学生版)A4
研究有叠数的计数问题，即包含于排除问题，通常需要画出示意图，这样的示意图叫文氏图． 一．两量重叠问题A 、B 总数A B AB =+-重叠二．三量重叠问题A 、B 、C 总数A B CABBC AC ABC =++---+重叠重叠重叠重叠．文氏图是体现条件的最基本最直观的方法，我们要灵活应用，不能随便套用公式．我们先理解图中各部分含义，再来看相加时每个部分“包含了几次”，然后把重叠的部分减去．计数第14讲_容斥原理的公式ABABC重难点：两个量重叠和三个量重叠的容斥原理公式． 利用文氏图分析相关问题．题模一：两个对象的容斥原理例1.1.1五年一班中，喜欢吃西瓜的有35人，喜欢吃樱桃的有15人，西瓜和樱桃都喜欢的有8人．那么五年一班共有__________名学生喜欢吃水果，其中只喜欢一种水果的有__________名学生．例1.1.2中关村十小对五年级的100名学生进行兴趣调查，已知有60人喜欢踢足球，有35人既喜欢踢足球也喜欢打篮球，有20人两者都不喜欢，那么有______________人喜欢打篮球．例1.1.3某校有140名男生，70名女生参加数学竞赛；有100名女生，90名男生参加语文竞赛．已知该校总共有270名学生参加了竞赛，其中有80名男生两科竞赛都参加了，那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生人数是________．例1.1.4森林里住着100只小白兔，凡是不爱吃萝卜的小白兔都爱吃白菜．其中爱吃萝卜的小白兔数量是爱吃白菜的小白兔数量的2倍，而不爱吃白菜的小白兔数量是不爱吃萝卜的小白兔数量的3倍．它们当中有多少只小白兔既爱吃萝卜又爱吃白菜？题模二：三个对象的容斥原理例1.2.1唐僧西天取经共经历了81难，其中单独渡过了3难，与孙悟空一起渡过了77难，与猪八戒一起渡过了65难，与沙和尚一起渡过了62难，同时与孙悟空和猪八戒一起渡过了64难，同时与孙悟空和沙和尚一起渡过了61难，同时与猪八戒和沙和尚一起渡过了60难．请问：师徒四人共同渡过的有多少难？例1.2.2培英学校有学生1000人，其中有500人订阅了《中国少年报》，有350人订阅了《少年文艺》，有250人订阅了《数学报》，至少订阅两种报刊的有400人，订阅了三种报刊的有100人．请问：培英学校有多少人没有订报？例1.2.3有28人参加运动会，共有三个比赛项目，每人至少参加两项比赛．已知有8人没参加跑的项目，参加跑和跳两项的人数与参加投掷项目的人数都是17人，则只参加跑和投掷两项的有________人．例 1.2.4如图，已知甲、乙、丙三个圆的面积均为30，甲与乙、乙与丙、甲与丙重合部分的面积分别为6，8，5，同时被这三个圆覆盖的部分的面积为2．则： （1）只被甲或乙覆盖，却不被丙覆盖的部分的面积是_________． （2）只被这3个圆中某一个圆覆盖的部分的面积是_________．例1.2.5五年级一班有46名学生参加数学、语文、文艺三项课外小组．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的 3.5倍，还是三项小组都参加的人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数等于三项小组都参加的人数的2倍．参加文艺小组的共_____人．随练1.1某班有30名学生，其中有15人参加数学小组，8人参加语文小组，有5人两个小组都参加．那么有____________个人两个小组都不参加．随练 1.2对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人．两项都会的有10人，两项都不会的有9人．这个班一共有__________人．随练1.3操场上有50名同学在跑步或跳绳．其中女生有18名，跳绳的同学有31名，跑步的男生有14名．跳绳的女生有_________名．随练1.4五年级三班有若干学生参加滑雪、游泳和滑冰比赛．其中23人参加滑雪比赛，25人参加游泳比赛，27人参加滑冰比赛，至少参加两项比赛的共25人，三项都参加的有5人，那么五年级三班共__________人．随练1.5五年级一班有48名学生参加跳远、跳高、跳水三项比赛．其中有30人参加了跳远比赛，20人参加跳高比赛，既参加跳远又参加跳高的有10人．参加跳水的人数是既参加跳远又参加跳水人数的5倍，还是三项比赛都参加的人数的10倍，既参加跳高也参加跳水的人数等于三项都参加的人数的5倍．那么共_____人参加跳水比赛．作业1在一群小朋友中，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动画片《大闹天宫》，并且有8人两部动画片都看过．那么至少看过其中一部的小朋友有_________人． 作业2在全班55名同学中，有47人会骑自行车，21人会滑旱冰，16人两样都会．请求出以下四类各有多少人（1）会骑自行车，但不会滑旱冰（2）会其中一样（3）会骑自行车，或者会滑旱冰（4）两样都不会．作业3渔乡小学举行长跑和游泳比赛，共305人参加．有150名男生和90名女生参加长跑甲乙 丙比赛，有120名男生和70名女生参加游泳比赛，有110名男生两项比赛都参加了．请问：只参加游泳而没参加长跑的女生有多少人？作业4某大学有外语教师120名，其中教英语的有50名，教日语的有45名，教法语的有40名，有15名既教英语又教日语，有10名既教英语又教法语，有8名既教日语又教法语，有4名教英语、日语和法语三门课，则不教这三门课的外语教师有多少名？作业5在一个炎热的夏日，11个小学生去冷饮店每人都买了冷饮．其中6人要汽水，6人要了可乐，4人要了果汁，有3人既要了汽水又要了可乐，1人既要了汽水又要了果汁，2人既要了可乐又要了果汁．问：三样都要的有几人？作业6某班同学中，有26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，有9人既爱打篮球又爱踢足球，有4人既爱打排球又爱踢足球，有7人既爱打篮球又爱打排球，没有一个人三种球都爱玩，也没有一个人三种球都不爱玩，问：这个班共有多少人？作业7有一个棋友俱乐部共77人，每人都至少会下象棋、围棋和军棋中的一种．其中既会下象棋也会下围棋的人有20人，既会下象棋也会下军棋的有15人，既会下围棋也会下军棋的人有10人．只会下一种棋的人数是三种棋都会下的人数的10倍．那么只会下一种棋的有_______人．作业8五年级共有150人，其中92人参加了语文小组，51人参加了英语小组，30人只．参加了数学小组，既参加语文也参加英语小组的人有35人．请问五年级有多少人没有参加小组？作业9某班老师建议学生读A、B、C三本课外书，每人至少读一本，结果有25人没有读A，有17人没有读B，有21人没有读C，恰读了1本书的人数是恰读过2本书人数的3倍，有10人三本书全读过，那么该班有多少人？。
小学奥数容斥原理之最值问题(完整版)
小学奥数容斥原理之最值问题1. 了解容斥原理二量重叠和三量重叠的内容；2. 掌握容斥原理的在组合计数等各个方面的应用．一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)； 第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)． 二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．7-7-5.容斥原理之最值问题教学目标知识要点1．先包含——A B +重叠部分A B 计算了2次，多加了1次；2．再排除——A B A B +-把多加了1次的重叠部分A B 减去． 图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，大圆表示C 的元素的个数．1．先包含：A B C ++ 重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++--- 重叠部分A B C 重叠了3次，但是在进行A B C ++- A B B C A C --计算时都被减掉了． 3．再包含：A B C A B B C A C A B C ++---+．【例 1】“走美”主试委员会为三～八年级准备决赛试题。
五年级容斥原理
容—包括 斥—排除
排队问题：从前面数，从后面数， 丽丽都排第6，这一排共有几个 人？
6＋6－1=11（人）
答：共有11人。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重 复计数，应从它们的和中排除重复部分。
原理1
设A、B是两类有重叠部分的量，如图，A 与B重叠部分对应的量为ab，那么这两类的 总量可以用下面的方法计算： 总量=A+B-ab
答：乒乓球组都不会参加的有106人。
练习
全班46名同学，仅会打乒乓球的有28人， 会打乒乓球又会打羽毛球的有10人，不会打乒 乓球又不会打羽毛球的有6人，仅会打羽毛球 的有多少人？
练习时间：容斥原理
探索之旅
1、五年级96名学生都订了刊物，有64人订了 少年报，有48人订了小学生报，问两种刊物都 订的有多少人？
例 3：
有50个学生，他们穿的裤子是白色或黑色的，上 衣是蓝色的或红色的。若有14人穿的是蓝色上衣、白 裤子，31人穿黑裤子，18人穿红上衣，那么穿红上 衣、黑裤子的学生有多少人？
操场上有50名同学在跑步或跳绳，其中女生有18 名，跳绳的同学有31名，跑步的男生有14名，跳绳 的女生有多少名？
例4 ： 1、罗明、李阳和赵刚每人都有几本书，罗明 和李阳共有33本，罗明和赵刚共有39本，李阳 和赵刚共有34本。问：他们三人各有几本书？
语文 优秀 的人 数： 65人 两科 都优 秀的 人数： 30 数学 优秀 的人 数： 87人
65＋87－30=122（人）
答：五年级一共有122人。
？人
练习： 1 、五年级学生参加了数学和语文考试，其中语文 得100分的12人，数学得100分的17人，两门都没得 100 分的有 26 人，两门都得 100 分的有 8 人，求这个 班共有多少人？
五年级奥数专题 容斥原理(学生版)
容斥原理学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位容斥原理中的知识点比较简单,是计数问题中比较浅的一支。
这个知识点经常和数论知识结合出综合型题目。
这个原理本身并不是很难理解,不过经常和数论知识结合出题,所以对学生的理解层次要求较高,学生必须充分理解、吃透。
1.充分理解和掌握容斥原理的基本概念2.利用图形分析解决容斥原理问题知识梳理授课批注：本讲的知识点必须让学生充分理解、吃透,这个原理本身并不是很难理解,不过经常和数论知识结合出题所以对学生的理解层次要求较高。
一. 容斥原理的概念定义在一些计数问题中,经常遇到有关集合元素个数的计算。
我们用|A|表示有限集A 的元素个数。
求两个集合并集的元素的个数,不能简单地把两个集合的元素个数相加,而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数,即减去交集的元素个数,用式子可表示成：|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|,我们称这一公式为包含与排除原理,简称容斥原理。
图示如右:A表示小圆部分,B表示大圆部分,C表示大圆与小圆的公共部分,记为：A∩B,即阴影面积。
用法：包含与排除原理告诉我们,要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素的个数,可分以下两步进行：第一步：分别计算集合A、B的元素个数,然后加起来,即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来,加在一起）；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数,即减去C=|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素个数）二.竞赛考点1. 容斥原理的基本概念2. 与数论相结合的综合型题目例题精讲【试题来源】【题目】在一个炎热的夏日,10个小学生去冷饮店每人都买了冷饮。
其中6人买了汽水,6人买了可乐,4人买了果汁,有 3人既买了汽水又买了可乐,1人既买了汽水又买了果汁,2人既买了可乐又买了果汁。
问：(1)三样都买的有几人？(2)只买一样的有几人？【试题来源】【题目】某班有学生46人,在调查他们家中是否有电子琴和小提琴时发现,有电子琴的22人,两种琴都没有的14人,只有小提琴的与两种琴都有的人数之比是5∶3。
容斥原理-五年级奥数
容斥原理1、五年级（1）班有学生56人，其中45人完成数学作业，42人完成语文作业，这个班两种作业都做完的有多少人？2、某校挑选18名学生参加春季运动会，获一等奖的有12人，获二等奖的有11人，两个奖都取得的有9人，这次运动会上两个奖都没取得的有多少人？3、在1-100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？4、某学校组织同学参加足球和乒乓球比赛，参加足球比赛的有20人，参加乒乓球比赛的有18人，同时参加足球和乒乓球比赛的有13人，问参加比赛的共有多少人？5、某班有46人，其中会骑车的有17人，会游泳的有14人，既会骑车又会游泳的有5人，问两样都不会的有几人？6、某班共有45人，其中有35人会用电脑打字，这个班有男生23人，女生中有6人不会用电脑打字，那么男生中有多少人会用电脑打字？7、五（1）班有40名学生，参加围棋班的有15人，参加电脑班的有11人，参加美术班的有13人，同时参加围棋和电脑班的有4人，同时参加围棋和美术班的有5人，同时参加美术和电脑班的有5人呢，班上有3人三个班都参加了，问班级中没有参加兴趣班的有多少人？8、在一根长的木棍上有三种刻度线，第一种刻度线，将木棍10等分，第二种刻度线将木棍12等分，第三种刻度线将木棍15等分。
如果沿每条刻度线将木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？创新题1、一个班有45个小学生，统计借课外书的情况是：全班学生都借有语文或数学课外书，借语文课外书的有39人，借数学课外书的有32人，语文、数学两种课外书都借的有多少人？2、在1-100的所有自然数中，既非3的倍数也不是4或5的倍数的数有多少个？3、80个外语老师中，懂英语的有65人，懂日语的有35人，其中必有既懂英语又懂日语的的老师，问只懂英语的老师有多少人？4、五年级某班学生进行百米跑、跳远、投掷3个项目的测试，跳远达到优秀的有28人，投掷达到优秀的有26人，百米跑达到优秀的有24人，百米跑和跳远都达优的有12人，跳远和投掷达优的有9人，百米跑和投掷都达优的有14人，3项都达优的有5人，这个班有多少位同学？单元测试题1、某班有50名学生，在第一次测验中有26人得满分，在第二次测验中有21 人得满分，如果两次测验都没得过满分的学生有17人，那么两次测验都活得满分的有多少人？2、第一小组的同学们都在做两道练习题，做对第一题的有15人，做对第二题的有10人，两题都做对的有7人，两题都做错的有2人，第一小组一共有多少人？3、问1-1000中所有不能被6,8,10整除的自然数有多少个？4、某校100个老师懂英语或法语，其中懂英语的有75人，既懂英语又懂法语的有20人，问懂法语的有多少人？只懂法语的有多少人？5、五年级112名同学参加语文、数学考试，没人至少有一门获优，已知语文获优者60人，数学获优者73人，求只有语文一门获优的人数.6、五一班有56名同学，只会打乒乓球的有28人，会打乒乓球又会打羽毛球的有16人，只会打羽毛球的有多少人？7、在1,2,3，、、、，1998这1998个数中，既不是8的倍数，又不是12的倍数的数共有多少个？。
小学五年级奥数PPT：容斥原理.ppt
? 例1：设某班每名学生都要选修至少一种外语， 其中选修英语的学生人数为25，选修法语的 学生人数为18，选修德语的学生人数为20， 同时选修英语和法语的学生人数为8，同时选 修英语和德语的学生人数为13 ，同时选修法 语和德语的学生人数为6，而同时选修上述三 种外语的学生人数则为3，问该班共有多少名 学生？
（A+D+E+G）＋（B＋D＋F＋G）＋（C＋E+F+G）-（D＋G）－（F＋G）－（E＋Ｇ）
↓
↓
↓ ↓ ↓↓
２５ ＋ ３４＋ ２２－１８－１４－１２
＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ＋Ｅ＋Ｆ
＝６块（去重时把 G去完了）
再加上三种都参加的G
２５＋３４＋２２－１８－１４－１２＋８ ＝这个班人数
?结论（公式二）
? 如果被计数的事物有A、B、C三类， 那么，A类或B类或C类事物个数= A类 事物个数+ B类事物个数+C类事物个 数—既是A类又是B类的事物个数—既 是A类又是C类的事物个数—既是B类 又是C类的事物个数+既是A类又是B类 而且是C类的事=158人 158-90=68人
? 3、在一次数学测验中，所有同学都答了第1、2 两题，其中答对第1题的有35人，答对第2题的 有28人，这两题都答对的有20人，没有人两题 都答错。一共有多少人参加了这次数学测验？
35+28-20=42人
? 4、一个俱乐部里，会下中国象棋的有69人，会 下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有 12人，都会下的有30人。这个俱乐部里有多少 人？
41+34-27=48（人）
?
41 27 34
容斥原理
?一个班有45名学生，订阅《小学生数 学报》的有 15人，订阅《今日少年报》 的有10人，两种报纸都订阅的有 6人。
容斥原理总结
容斥原理习题总结首先讲一下有关这个问题的核心公式：（1）两个集合的容斥关系公式：A＋B＝A∪B＋A∩B（2）三个集合的容斥关系公式：A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C题型一：逆向思维题1、在一次展览会上展品中有366部手机不是A公司的，有276部手机不是B公司的，两公司的展品共有378部，问B公司有多少部手机参展？2、学校展览每个年级的书画作品，其中28副不是五年级的，24副不是六年级的，五六年级的展览作品共有20副。
一二年级的参展作品比三四年级总数少4副。
问一二年级的参赛作品有几幅？解：第一题中问B公司的手机有几部，设为X部。
X+276即为所有展品的数量。
X+276=366+378-X。
（等式右边是以A公司的展品表示的所有展品数量）第二题中设五年级的作品有X副，X+28=24+20-X，求得X=6.则共有作品8+28=36副。
一二三四年级加起来有16副。
X+Y=16X-Y=4 因此一二年级有展品6副。
题型二：需要列表的题（较复杂）1、某班有少先队员35人，这个班有男生23人，问女生少先队员比男生非少先队员多几人。
少先队员非少先队员男X 23-X 23女35-X容易得到答案为12.2、某校参加数学奖赛的有男生120人，女生80人，而参加语文竞赛的男生有80人，女生有120人。
已知共有260人参赛了，75名男生两科都参加了，问只参加数学竞赛而没参加语文竞赛的女生有几人？解：语文数学男120 80 200女80 120 200200 200400=260+75+X，求得参加两科的女生有65人。
80-65=15人。
题型三：分数题结合整除特性来做1、一次数学考试，小王做对的题占全部题目的2/3，小李做错了5道题，两人都做错的占全部的1/4，问小王做对了几道题？解：全部题目能被12整除，两人都做错的题目数≤5，全部题目数≤20，在≤20范围内能被12整除的只有12.所以8道题为答案。
容斥原理公式及运用
在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，研究出一种新的计数方法。
这种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
一、容斥原理1：两个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。
如下图所示。
【示例1】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。
A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。
二、容斥原理2：三个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。
如下图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-（A∩B-A∩B∩C）-（B∩C-A∩B∩C）-（C∩A-A∩B∩C）-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。
即得到：【示例2】某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A∩B，足球、游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B∩C，三项都参加的→A∩B ∩C。
三项都参加的有A∩B∩C=A∪B∪C-A-B-C+A∩B+B∩C+C∩A=45-25-22-24+12+9+8=3人。
容斥原理三大公式
容斥原理三大公式容斥原理是数学中一个非常实用的工具，它能帮助我们在解决一些集合问题时更加得心应手。
容斥原理主要有三大公式，接下来咱们就好好唠唠这三个公式。
咱们先来说说这第一个公式。
假设咱们有两个集合 A 和 B，那么 A 和 B 的并集元素个数就等于 A 的元素个数加上 B 的元素个数，再减去A 和B 的交集元素个数。
用数学式子表示就是：|A∪B| = |A| + |B| -|A∩B| 。
我给您举个例子哈，就说咱们班同学，喜欢数学的有 20 人，喜欢语文的有 15 人，既喜欢数学又喜欢语文的有 5 人。
那喜欢数学或者语文的同学一共有多少人呢？咱们就用这个公式来算算。
|A| 就是喜欢数学的 20 人，|B| 是喜欢语文的 15 人，|A∩B| 是既喜欢数学又喜欢语文的 5 人。
所以喜欢数学或者语文的同学一共有 20 + 15 - 5 = 30 人。
再来说说第二个公式。
要是有三个集合 A、B、C，那么它们的并集元素个数就是 A 的元素个数加上 B 的元素个数加上 C 的元素个数，然后减去 A 和 B 的交集元素个数，减去 A 和 C 的交集元素个数，减去 B 和 C 的交集元素个数，最后再加上 A、B、C 三个集合的交集元素个数。
式子就是：|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |A∩C| - |B∩C| +|A∩B∩C| 。
比如说，咱们学校组织兴趣小组，参加绘画小组的有 12 人，参加音乐小组的有 8 人，参加体育小组的有 10 人。
参加绘画和音乐小组的有 3 人，参加绘画和体育小组的有 4 人，参加音乐和体育小组的有 2 人，三个小组都参加的有 1 人。
那参加兴趣小组的一共有多少人呢？咱们照样用公式来算，|A| 是绘画小组的 12 人，|B| 是音乐小组的 8 人，|C| 是体育小组的 10 人，|A∩B| 是 3 人，|A∩C| 是 4 人，|B∩C| 是 2 人，|A∩B∩C| 是 1 人。
五年级奥数-容斥原理最新解读
例如：一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12 人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个 班至少有一门得满分的同学有多少人？ 分析：依题意，被计数的事物有语、数得满分两类， “数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分” 称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A 类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学” 称为“A类和B类元素个数”的总和。为15+12-4=23。
练1.C班的同学都至少喜欢一项运动，有37人喜欢 乒乓球，26人喜欢篮球，21人两种球都喜欢， 问C班有多少人？ 解： 练2.自然数1，2，3…，99，100当中，能被3整除或能被4整除的 数共有几个？
Байду номын сангаас
解： 练3.某校参加数学竞赛的有120名男生、80名女生，语文竞赛的有 120女生，80男生，总共参赛人数有260名，其中75名男生两科都 参加了，问，只参加数学没参加语文的女生有多少？
问题1.十月国庆节，学校门口挂了一行彩 旗。小张从前数起，红旗是第8面；从后数 起，红旗是第10面。这行彩旗共多少面？
问题2.同学们排队做操，每行人数同样多。小明的位 置从左数起是第4个，从右数起是第3个，从前数起是 第5个，从后数起是第6个。做操的同学共有多少个？ 问题3.把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成 了一块木板。如果这块钉在一起的木板长120厘米， 中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？
例1. A班共有40人，同学们都喜欢打篮球或者打羽毛球。 喜欢打篮球的有26人，喜欢打羽毛球的有24人，问两 种球都喜欢的同学有多少人？ 解：
原理1：既是A又是B的数量=A的数量+B的数量-A或B的数量。
A或B的数量=A的数量+B的数量-既是A又是B的数量
5年级秋季 公开课 容斥原理 - 副本
2016秋季5年级公开课容斥原理何冀承【专题简析】容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥原理。
即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它们的和中排除重复部分。
容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个数=N a ＋N b－N ab。
Nab NbNa【例题1】一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。
又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。
最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。
求这个班语文、数学作业都完成的人数。
【练习1】五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？【例题2】某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？【练习2】五（1）班有40个学生，其中25人参加数学小组，23人参加科技小组，有19人两个小组都参加了。
那么，有多少人两个小组都没有参加？【例题3】某班有56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，如果两科都没有参加的有25人，那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人？【练习3】一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。
两样都会的有多少人？【附加题】光明小学举办学生书法展览。
学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？。
五年级下册奥数较复杂的容斥原理人教版
加语文和英语小组的有12人，同时参加数学和英语小组的有15人，三个学习小组都参加的有5人。
51+48+32-16-11-13+7=98（人）
例2：榆树园小学五（1）班许多同学参加了学习小组，已知参加语文学习小组的有35人，参加数学小组的的有32人，参加英语小组的有45人，同时参加语文和数学小组的有10人，同时参
11+12=23 (人) 答：至少有一门得满分的同学有23人。 答：五年级的学生有98人。 51+48+32-16-11-13+7=98（人）
答：这个班一共有80名学生参加了学习小组。 C：4×4=16﹙cm2﹚
求这个班学生参加了学习小组？ A或B或C＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC 答：五年级的学生有98人。 A＋B＋C－A又B－A又C－B又C＋A又B又C。
100+64+16-25-8-8+4＝143﹙cm2﹚
答：它们盖住的面积是143平方厘米。
第十九页，编辑于星期四：十五点 五十一分。
即学即练
在一个边长为90厘米的正方形桌面上，放上两张边长分别为20厘米 和45厘米的正方形纸，如图。桌面上没被纸片盖住的面积是多少？
45×45+20×20-15×10=2275（平方厘米）
54-（23+27+18-7-4-5）=2（人）
答：其中三个小组都参加的有2人。
第十四页，编辑于星期四：十五点 五十一分。
例4：某班的全体学生在进行了短跑、游泳、投掷三个项目的测试后 ，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一项达 到了优秀，达到了优秀的这部分学生情况如下表：
短游 投 跑泳 掷
第六页，编辑于星期四：十五点 五十一分。
数学五年级竞赛讲座第6讲容斥原理课件
求出|A|=100，|B|=66，|C|=40，|A∩B|=33， |A∩C|=20，|B∩C|=13，|A∩B∩C|=6， 所以|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C|–
|A∩C|+|A∩B∩C|
=100+66+40–33–20–13+6=146. 这是1到200中间的自然数至少有能被2、3、 5中一个数整除的数的个数。 所以1到200的自然数中不能被2、3、5中任 何一个数整除的数有200–146=54（个）。
由题意|A|=75，|B|=83，|A∪B|=100–10=90， 根据容斥原理得 |A∩B|=|A|+|B|–|A∪B|=75+83–90=68. 答：两种语言都懂的旅客有68人。
对于任意三个有限集合A、B、C，我们可 以将上面的容斥原理推广得到如下的公式：
|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C| –|A∩C|+|A∩B∩C|。
B
I
IV
II
VII
VI V
C III
而IV、V、VI部分的元素分别属于某两个集合，
第VII部分则是三个集合的交集。
由于A∪B∪C的元素分别来自集合A、B、C，
因此先计算|A|+|B|+|C|。
在这个和里，第I、II、III部分的元素只计 算了一次，而第IV、V、VI部分的元素各自计 算了两次，第VII部分的元素计算了三次。
最后由手中有红球的共有34人，手中有黄 球的共有26人，手中有篮球的共有18人，
可以填出区域I、II、III内分别填上16、7、5。
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第14讲容斥问题知识梳理森林中住着很多动物，据说狮子大王派仙鹤去统计鸟类的种数，蝙蝠跑过去对仙鹤说；“我有翅膀，我应该是属于鸟类的。
”于是仙鹤就把蝙蝠统计到鸟类的种类里去了，结果得出森林中一共有80种鸟类。
狮子大王又派大象去统计野兽的种类数，蝙蝠听说又来统计兽类了，急忙跑过去对大象说；“我没有羽毛，我应该是属于兽类的。
”于是大象就把蝙蝠统计到兽类的种类里去了，结果统计出森林中一共有60种兽类。
最后狮子大王问：“森林中共有鸟类和兽类多少种？”狡猾的狐狸听见了仙鹤和大象的统计结果，高兴地向狮子大王汇报：“这还不简单！森林中共有鸟类和兽类140种。
”这个统计正确吗？同学们肯定会说：“不对！蝙蝠被算了两次，应该再减去一，是139种。
”这个故事说明了一个数学问题，那就是被称为“容斥原理”的包含与排除问题。
当需要计数的两类事物互相包含（有部分重复交叉）时，应把重复计数的部分排除掉。
由此我们得到逐步排除法（容斥原理）：当两个计数部分有重复时，为了不重复计数，应从它们的和中减去重复部分。
容斥原理1如果被计数的事物有A、B两类，那么，A类B类元素个数总和= 属于A类元素个数+ 属于B类元素个数—既是A类又是B类的元素个数。
即A∪B = A+B - A∩B容斥原理2如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，A类和B类和C类元素个数总和= A 类元素个数+ B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类而且是C类的元素个数。
即A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C典型例题容斥原理1【例1】★一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？【解析】依题意，被计数的事物有语、数得满分两类，“数学得满分”称为“A类元素”，“语文得满分”称为“B类元素”，“语、数都是满分”称为“既是A类又是B类的元素”，“至少有一门得满分的同学”称为“A类和B类元素个数”的总和。
15+12-4=23【小试牛刀】电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，其中11人两个频道都看过。
两个频道都没看过的有多少人？【解析】100-(62+34-11)=15【例2】★一个班有学生48人，每人至少参加跑步、跳高两项比赛中的一项。
已知参加跑步的有37人，参加跳高的有40人，请问：这两项比赛都参加的学生有多少人？【解析】两项比赛都参加的学生人数，就是参加跑步人数、参加跳高人数重复的部分，排除掉重复部分，所得的就是全体参赛人数，也就是全班学生人数。
40-（48－37）=29人。
【小试牛刀】五年级96名学生都订了报纸，有64人订了少年报，有48人订了小学生报。
两种报纸都订的有多少人？【解析】用左边的圆表示订少年报的64人，右边的圆表示订小学报的48人，中间重叠部分表示两种报刊都订的人数。
显然，两种报刊都订的人数被统计了两次：64＋48=112人，比总人数多112－96=16人，这16人就是两种报刊都订的人数。
【例3】★★实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者中有16人不是四年级的，有12人不是五年级的。
该校书法比赛获奖的总人数是多少人？【解析】由“16人不是四年级的”可知：16人是五年级和其他年级的；由“12人不是五年级的”可知：12人是四年级和其它年级的。
用16＋12可算出四年级加五年级以及两个其它年级的人数和，再减去20就得两个其他年级的人数，这样其他年级的人数是：（16＋12－20）÷2=4人，该校参加书法比赛获奖的总人数是4＋20=24人。
【例4】★★五一小学举行小学生田径运动会，其中24名运动员不是六年级的，28名运动员不是五年级的，已知五、六年级运动员共有32名，求五、六年级和中低年级运动员各有多少名？【解析】（24+28-32）÷2=10【例5】★在100个外语教师中，懂英语的有75人，懂日语的有45人，其中必然有既懂英语又懂日语的老师。
问：只懂英语的老师有多少人？【解析】显然，两种语言都懂的人在懂英语的75人中统计过一次，在懂日语的45人中又统计过一次。
因此，75＋45=120人，比100多出的20人就是两种语言都懂的人数。
然后，从懂英语的75人中减去两种语言都懂的20人，就是只懂英语的人数了：75－20=55人。
【小试牛刀】40人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一题。
已知做对第一题的有30人，做对第二题的有21人。
只做对第一题的有多少人？【解析】19人【例6】★★在1至1000这1000个自然数中，能被5或11整除的自然数一共有多少个？【解析】如下图，小圆表示能被11整除的自然数，大圆表示能被5整除的自然数。
如果把大圆内的200个自然数和小圆内90个自然数相加，阴影部分的自然数事实上被加了两次。
因此要想求出：能被5或11整除的自然数的个数就应该：能被5整除的自然数的个数+能被11整除的自然数的个数－既能被5整除又能被11整除的自然数的个数=能被5或11整除的自然数的个数。
【解析】能被5整除的自然数有多少个？1000÷5=200 有200个。
能被11整除的自然数有多少个？1000÷11=90……10 有90个。
既能被5整除又能被11整除的自然数有多少个？1000÷55=18……10 有18个。
所以能被5或11整除的自然数的个数是：200+90－18=272个。
【小试牛刀】 60名同学面向老师站成一横排。
老师先让同学们从左到右按照1、2、3、4、……、59、60的顺序依次报数，再让报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转。
请问：现在面向老师的学生还有多少名？【解析】从1到60中，4的倍数一共有：60÷4=15个，6的倍数一共有：60÷6=10个，既是4的倍数又是6的倍数有：60÷12=5个。
一次都不转的学生是：60－（15+10－5）=40个，转两次的学生有5个，所以面向老师的学生还有40+5=45个。
【例7】★★★有一根长是240厘米的绳子，从一端开始每隔4厘米作一个记号，同时每隔6厘米也作一个记号，然后将标有记号的地方剪断，请问：绳子一共被剪成了多少段？【解析】240厘米长的绳子每隔4厘米作一个记号，这样一共有：240÷4－1=59个记号；每隔6厘米作一个记号，这样一共有：240÷6－1=39个记号。
而两者每隔12厘米重复一个记号，这样一共重复了：240÷12－1=19个记号。
因此绳子上共有记号数是：59+39－19=79，所以绳子一共被剪成了79+1=80段。
容斥原理2【例8】★★某校有28名学生参加市运动会，参加跑步类项目的有15人，参加跳类项目的有13人，参加投掷类项目的有14人，既参加跑又参加跳项目的有4人，既参加跑又参加投掷项目的有6人，既参加跳又参加投掷项目的有5人，三种项目都参加的有2人，试说明，这个报名表有误。
【解析】按照赞加各个项目的详细人数，该校参加市运动会的人数为15+13+14-4-6-5+2=29人，与实际参加人数不符，所以这个报名表有误。
【小试牛刀】某校六（1）班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？【解析】参加足球队的人数25人为A类元素，参加排球队人数22人为B类元素，参加游泳队的人数24人为C类元素，既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人，既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人，既是C类又是A类的为排球游泳都参加的8人，三项都参加的是A类B类C类的总和设为X。
注意：这个题说的每人都参加了体育训练队，所以这个班的总人数既为A类B类和C类的总和。
25+22+24-12-9-8+X=45 解得X=3【例9】★★★从1至1000这1000个自然数中，不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有多少个？【解析】能被3整除的自然数有多少个？1000÷3=333……1 有333个。
能被5整除的自然数有多少个？1000÷5=200 有200个。
能被7整除的自然数有多少个？1000÷7=142……6 有142个。
既能被3整除又能被5整除的自然数有多少个？1000÷15=66……10 有66个。
既能被3整除又能被7整除的自然数有多少个？1000÷21=47……13 有47个。
既能被5整除又能被7整除的自然数有多少个？1000÷35=28……20 有28个。
能同时被3、5、7整除的自然数的个数有多少个？1000÷（3×5×7）=9……55 有9个。
能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有：333+200+142－（66+47+28）+9=457个。
所以不能被3、5、7中任何一个自然数整除的数一共有：1000－543=457【小试牛刀】分母是1001的最简分数一共有多少个？【解析】这一题实际上就是找分子中不能与1001进行约分的数。
由于1001=7×11×13，所以就是找不能被7，11，13整除的数。
由容斥原理知:在1—1001中,能被7或11或13整除的数有(143+91+7)-(13+11+7)+1=281(个),从而不能被7、11或13整除的数有1001-281=720(个).也就是说,分母为1001的最简分数有720个.【例10】★★如下图，在长方形ABCD中，AD=15厘米，AB=8厘米，四边形OEFG的面积是9平方厘米。
请问：阴影部分的面积是多少平方厘米？【解析】三角形ABD、三角形AFD、三角形ACD都可以AD为底，AB为高，故它们的面积都等于AD×AB÷2=15×8÷2=60（平方厘米）。
阴影部分面积=（三角形ABD面积+三角形ACD面积）－（三角形AFD面积-四边形DEFG面积）=（60+60）-（60-9）=69（平方厘米）。
【小试牛刀】如图所示，A、B、C分别是面积为12、28、16的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为38．若A与B、B与C的公共部分的面积分别为8、7，A、B、C这三张纸片的公共部分为3．求A与C公共部分的面积是多少？ABC【解析】设A与C公共部分的面积为x，由包含与排除原理可得：⑴先“包含”：把图形A、B、C的面积相加：12281656++=，那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了1次，因此要排除掉．⑵再“排除”：5687x---，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回．⑶再“包含”：56873---+，这就是三张纸片覆盖的面积．x根据上面的分析得：5687338x=．x---+=，解得：6【例11】★★某校五年级有120名学生，订《故事大王》的有85人，订《儿童漫画》的有90人，订《优秀作文选》的有70人，同时订《故事大王》和《优秀作文选》的有62人，同时订《儿童漫画》和《优秀作文选》的有46人，同时订这三种杂志的有21人，此外，还有5名学生没有订任何杂志，问：恰好只订了《故事大王》和《儿童漫画》的有多少人？【解析】设同时订《故事大王》和《儿童漫画》的有X 人，有120-85-90-70+62+46+X-21=5，X=43，所以恰好只订《故事大王》和《儿童漫画》的有43-21=22人。