线性代数期终考试卷

线性代数期终考试卷

一、 试卷一

1)填空题（每小题4分，共20分）

（1）设A=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡300220111,则A T A= （2）在分块矩阵A=⎥

⎦

⎤⎢

⎣⎡O C B O 中，已知1-B 、1-C 存在，则=-1

A

（3）设A=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡963042321，B 为三阶非零矩阵，满足AB=O ，则r(B)= （4）若⎥⎦⎤⎢

⎣⎡3152X=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡-1264，则X= （5）三次代数方程

3

2

1

842

184211111

x x x

--=0的根是

2）选择题（每小题3分，共15分）

（1）设A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3332

31

332221131211a a a a a a a a a ,B=⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡+++133312

3211

3113121123

2221

a a a a a a a a a a a a P 1=⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡100001010，P 2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101010001，则必有（ ） (A)AP 1P 2=B (B)AP 2P 1=B

(C)P 1P 2A=B (D)P 2P 1A=B

(2)设A 是三阶矩阵，A*是其转置伴随矩阵，又k 为常数k ≠0,1±，则(kA)*=( ) (A)kA* (B)k 2A* (C)k 3A* (D)

3

1A* (3)若r(A)=r

(4)下列说法中正确的是（ ）

(A ）对向量组k

αα,,1Λ，若有全不为零的数k c c ,,1Λ使011=++k k c c ααΛ，则

k αα,,1Λ线性无关

(B) 若有全不为零的数k c c ,,1Λ使011≠++k k c c ααΛ，则k

αα,,1Λ线性无关

(C)若向量组k

αα,,1Λ线性相关，則其中每个向量皆可由其余向量线性表示 (D)任何n+2个n 维向量必线性相关

(5)矩阵A=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡001010100的特征值是（ ） (A)1，1，0 (B)-1，1，1 (C)1，1，1 (D) 1，-1，-1

3）（每小题6分，共12分）

（1）计算行列式D= ⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-+y y x x

1111111111111111 （2）已知q 1=T

⎥⎦⎤⎢

⎣⎡313

13

1

,q 2=T

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡-2102

1，求q 3

，使Q=[

]

321q q q

为

正交阵。

4)(共10分)设β=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡5411，1α=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡3201，2α=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡5311，3α=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢

⎢⎣⎡+-1211a ，4α=⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+8421a ，问a 取何值时，β可唯一地表示成1α，2α，3α，4α的线性组合，

（6分），并写出此表示式（4分）。 5)(共10分)给定矩阵A=⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡0011100y x ，试求出A 的特征值（4分），问x,y 满足什么条件时矩阵A 可对角化（4分），为什么？（2分）

6)(共14分)对线性代数方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++3

4324241

3

332323132

3222213

1321211a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x （1）若4321,,,a a a a 两两不等，问方程组是否有解（4分），为什么？（4分） （2）若b a a ==31, b a a -==42 (b ≠0)，且已知方程的两个解

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1111ξ, ⎥⎥

⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1112ξ

试给出方程组的通解。（6分）

7）(共12分)已知二次型q=2x 12+3x 22+3x 32+2ax 2x 3(a>0)通过正交变化成标准型 q=y 12+2y 22+5y 32。

试求： （1）参数a 的值。（4分） (2)所用的正交变化矩阵Q 。（4分）

（3）问q 是否为正定二次型？为什么？（4分）

8）(共7分)已知n 阶矩阵A 对任意n 维向量x=[]T

n x x x ,...,,21 ，y=[]T

n y y y ,...,,21 均有

x T Ay=0。试证A=O 。

二、试卷二

1) 填空题 （每小题4分，共20分）

（1）设C B A ,,皆为n 阶矩阵，已知0)det(≠-A I 。若AB I B +=，CA A C +=，则

=-C B

（2）设A 为三阶非零矩阵，⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡-----=a B 11213112

且O AB T

=)(，则=a

(3)设三阶方阵A =[,,,21γγα] ，B=[β,,,21γγ]其中21,,,γγβα均为三维列向量，且已知det A =3， det B=4,则det(5A -2B )= 。 (4)已知齐次线性方程组

⎪⎩

⎪

⎨⎧=++=+-+-=-+-++00)3(0)2()2(3213213221ax x x abx x a x x a ab x a b bx 的解空间是二维的，则=a ,=b