第一章 单自由度模态分析理论

105N/m 106N/m
107N/m
1 10
100 频率
(b)无阻尼单自由度系统的对数—对数 导纳图
1 10
100 频率
(c)无阻尼单自由度系统的对数—对数 导纳图
坐标变换的结果可把每张图分成三部分： 1、低频直线图；2、高频直线图；3、带有陡崤的幅值 和相位变化的共振区。
用对数——对数坐标的另一好处是，他把有关 的频响函数特性分离成单个的质量元件和弹簧元件。 从图中可以看出这些质量和刚度特性在对数坐标中 呈直线。
kg j2
kg j2 kg
大家可以发现表1的规律，若由左边项求右边项时，对阻抗
则除 j。对导纳则乘 ；j若 由右边项求左边项时，则对阻
抗则乘 ，对导j纳则除 。
j
对无阻尼系统，可由（1—11）及（1—12）式很方便地求
出其阻抗与导纳的表达式：
Z() k m2
（13b）；
H () 1 k m2
统的动刚度。在一定的激励作用下，其数值与系统的响
应 x(s) 成反比。他具有阻止系统振动的性质。因此称为
系统的机械阻抗，简称阻抗（与电学中的阻抗有类似之
处），现令
Z(s) ms2 cs k
（1—9）
其倒数称为机械导纳，简称导纳，又称传递函数，
1 H (s)
ms2 cs k
（1—10）
若对（1—2）式在付氏域进行变换，即 s j ，则阻
1.3 单自由度系统频响函数数据曲线 表现方式、特性及描述
有了单自由度系统基本位移导纳频率函数表达式之 后，我们转而注意这些数据的各种显示或表达方法。 首先讨论频响函数基本形式的变化，然后探索用图形 表示其特性的不同方法，最后，探讨所形成的图形中 某些有用的几何性质。
1.3.1频响函数数据的图形表示
试验模态分析与 测试技术
第一章单自由度模态分析理论
1．1 引言 模态分析的理论基础是在机械阻抗与导纳的概
念上发展起来的。虽然机械阻抗的概念早在20世纪 30年代就已经形成，但发展成为今天这样较为完整 的理论与方法，却经历了较长的岁月。近二十多年 来，模态分析理论吸取了振动理论、信号分析、数 据处理数理统计以及自动控制理论中的有关“营 养”，结合自身内容的发展，形成了一套独特的理 论，为模态分析及参数识别技术的发展奠定了理论 基础。
频响函数数据绘图的复杂性在于导出的频响函数是复
函数，他们有三个量，即频率、复函数的实部、虚部。而这
些量不能全部展示在一张标准的x—y图上。因为平面曲线只
能表示两个变量，从而描述频响函数就有各种不同的组合。
下面我们讨论三种最常见的表达形式： （1）、频响函数的模（幅值）作为频率的函数（简称幅
频图）图；相位作为频率的函数图（简称相频图）（又称波 德图Bode）。
900，即与速度方向相反，即
fd jx
（1—14）
式中 为结构阻尼系数，他与刚度 k 成正比，
gk
（1—15）
式中 g 为结构损耗因子，或称结构阻尼比，是无量纲因子。
对结构阻尼系统而言，运动方程可写成
mx kx jx f
由（1—15）式，上式可改写为
mx (1 jg)kx f
对上式两边进行拉氏变换，可得
（13c）
二、结构阻尼（滞后阻尼）系统
对于实际金属结构，常常不能用粘性阻尼来描述 他们的衰减特性。实际结构的阻尼主要来源于金属本 身材料的内部摩擦（内耗）及各部件连接界面（如螺 钉、铆钉、忖垫等）之间的相对滑移。因此结构阻尼 主要由材料内部阻尼与滑移阻尼两部分组成。
结构阻尼的阻尼力 fd 与振动位移成正比，相对比位移超前
质量阻抗—— 2m ;阻尼阻抗—— jk ;刚度阻抗—— k
他们的位移导纳分别为各自的倒数，即
1
质量导纳—— 2m
刚度导纳 —— 1
jk
刚度导纳 —— 1 k
上述阻抗与导纳公式均为位移阻抗与位移导纳。若系统的输出
为速度或加速度，则同样可得速度阻抗于加速度导纳。对于不
同的阻尼器，其阻抗与导纳的表达式亦不同。表1给出了单自由
对于自由振动（ f 0），上式可以写为：
m
x
mx cx kx 0 （1—3）
k
c,
其解的形式为: x Xest
（1—4）
s 式中： 为复数； X 为不依赖时间的量。
对（1—2）式两边进行拉普拉斯变换，并假设初始值为0，可得
(ms2 cs k)x(s) f (s)
（1—5）
式中： s 为拉氏变换因子； x(s)为 x(t)的拉氏变换，
从图中可以看出各个图形很象一个圆。事实上，除粘 性阻尼的速度导纳以及结构阻尼的位移导纳为一个精确 圆，其他则只是一个近似圆。其阻尼愈小，则图形愈圆。 （如图）
[ms2 (1 jg)k]x(s) f (s)
因此传递函数及频响函数分别为
H (s)
ms2
1 (1
jg )k
H ()
(1
1 jg )k
m2
（1—16） (1—17） （1—18）
将上式写为实部与虚部，
H ()
1 k
12
(1
2
)2
g2
j
g
(1 2 )2
g2
（1—19）
质量和刚度元件的频率响应
频响函数
质量
刚度
H ()
位移导纳：
log H()
1
2m
log(m) 2log()
1 k
log(k)
H v ()
速度导纳： log H V ()
i
1
m
log(m) log()
i k
log() log(k)
H a ()
加速度导纳：
log H a ()
1 m
log(m)
速 50
度
导
纳
（ 虚
0Leabharlann Baidu
部
） -50
20 频 率(Hz)
40
0
加速度导纳图
20
40
频 率（Hz）
（3）、尼奎斯特图即矢量端图，是被工程广泛使用并能有 效地显示共振区细部的方法。如图所示。
Im
Re
Im
Im
Re
a 位移导纳
b 速度导纳
具有结构阻尼单自由度系统的尼奎斯特图
Re c 加速度导纳
图中表示了单自由度粘性阻尼系统的尼奎斯特形式的 频响函数图。这种图的特点是将离开共振区的点彼此靠的 很近，这样就突出了共振区，故尼奎斯特图对试验模态具 有很大的吸引力。
而 f (s) 则为 f (t) 的拉氏变换。
对自由振动而言，可得 ms2 cs k 0
（1—6）
由上式可解得 s 的两个根，
s1,2
c 2m
c2 4km 2m
0
j
1 2
（1—7）
式中：02 k m ，系统的无阻尼固有频率； 为阻尼比。
c c0 c (2 km) c (2m0 )
（1—8）
度系统各元件的各种阻抗与导纳的表1达式。
表一 单自由度系统元件的阻抗与导纳
系统元件
线性弹簧 k
粘性阻尼 c
刚体质量 m
结构阻尼器
位移
速度
加速度
Zd Hd Zv
k 1k
k j
jc 1
jc
c
Hv Za Ha
j k 2
k 2 k
1 c j
c j c
1
2m 2m
jm
1
jm
m
1 m
jkg 1 kg jkg
位3 移 导 纳 （ 实 部0 ）
-3
0
20
频率
3
0
位
移
导 纳
-5
（
虚 -10
部
）
40
0
位移导纳图
20
40
频率
1
速
度 导
0.5
纳
（
实
部0
）
-3 0
20 频 率(Hz)
0.5
速
度
导 纳
0
（
虚
部
）
-0.5
40
0
速度导纳图
20
40
频 率(Hz)
50
加 速 度 导0 纳 （ 实 部 ）
-50
0
100
加
出曲线图（如图）。
(a)无阻尼单自由度系统的对数—对数 导纳图
-60 -80
速 -100 度 -120 导 纳 （0
DB
=1
m/ N）
105N/m 106N/m
107N/m
10kg 100kg
1000kg
-20
加
-40 -60
速 -80
度 -100
导
纳
（0
DB
=1
m/N）
10kg 100kg 1000kg
我们下面来讨论一
10kg
下这些曲线的用途 并说明每种图的特
-100
位移
导纳
（0Db =1m/N）
-120
100kg 1000kg
-140
殊优点或功能：
10000kg -160
现将上面列出的
105N/m 106N/m 107N/m
三个频响函数图的频
率轴和幅值轴都采用
1
对数坐标，并重新画
10
100
频率
（1—16）式中的 (1称j为g)复k 刚度。
由（1—13）式与（1—19）式比较可见，对粘性阻尼和结构阻
尼，频响函数表达式具有相似的形式，只要将
互置换g ，便可得到各自的频响函数表达式。
2与 相
以上所述的频响函数是位移 x 为对象推导而得。频响函数
还可以用速度与加速度来表示。
Ha () jHv () ( j)2 Hd () 2Hd ()
（2）、频响函数的实部作为频率的函数图（简称实频 图）；虚部作为频率的函数图（简称虚频图）。
（3）、实部作为虚部的函数图（尼奎斯特图Nyquist）, （一个不含频率信息的图）。
14
我们下面来讨论一
位 移
下这些曲线的用途并说明
导 纳 10
每种图的特殊优点或功能： 5
典型的无阻尼单自由度
0
系统位移导纳的经典波德 图（如图(a)所示）。该系
抗与导纳公式可写为：
Z() k m2 c j
（1—11）
H
()
k
1
m 2
c
j
（1—12）
式中 H() 又称为频率响应函数，简称频响函数。
位移导纳，传递函数及频响函数都具有柔度的性质，故又 称为动柔度。在实际应用上（对稳定线性弹簧质量系统而 言）这三个名称并不严格加以区别。
由（1—10）式及（1—12）式可见，传递函数与频响函数
为无量纲因子。一般钢结构属于小阻尼， 0.01 ~ 0.1
对 1 的阻尼称为欠阻尼。
则模态解的形式为：
x(t) Xe0 tei0 1 2t eatei0t
这是带复固有频率的振动 单模态，可分为两部分：
x(t) T 2
0 1 2
衰减振荡周期
虚部(或振动部分)，频率为： X0
0 0 1 2
t
实部(或衰减部分)，阻尼比为：
a 0
Xe 0t 指数衰减
前面的 s1 ， s2 为共轭复数，他们的实部为衰减因子，反映系
统的阻尼；其虚部表现有阻尼系统的固有频率。
模态模型两部分 H ( ) 的物理意义表示在典型自由响应图中，
（如图）
（1—5）式中的 (ms2 cs k)具有刚度特性，故称为系
下面我们分别对粘性阻尼和结构阻尼系统的 频响函数理论进行讨论，并推导他们的表达式。
一、粘性阻尼系统 对粘性阻尼系统，假设其阻尼力与振动速度成正
比，方向与速度相反，即
fd cx
（1—1）
系统的力学模型如图所示。其振动运动方程为：
f
mx cx kx f
（1—2）
式中： x 及 f 均为时间 t 的函数。
2 k
2log() log(k)
（2）、小粘性阻尼单自由度系统的一对实频和虚频图见 如图。我们已给出了所有三种类型的频响函数图，从这 些图中可以看出共振区相位的变化情况——其特点在于， 一个图上曲线的零点总是另一图上的曲线峰值（最大或 最小）处发生。这里必须注意，在用实频和虚频表示频 响函数特性时，不能用对数坐标，因为对数坐标不能兼 容正值和负值。
（1—20）
其中：Ha () 为加速度频响函数；
Hv () 为速度频响函数；
Hd () 为位移频响函数.
在实际应用中，由于测量加速度比较方便（主要是传感
器的原因），故加速度导纳应用比较普遍。 与上述三种导纳相对应的有三种阻抗，即位移阻抗（又称动柔 度）、速度阻抗（又称机械阻抗）、加速度阻抗（又称视在质 量）。他们是相应导纳的倒数。
相 360 位 180
0
统响应的速度导纳和加速
度 导 纳 分 别 见 如 图 (b),(c) 。
0 20 40 60 80 100
频率Hz (a)无阻尼单自由度系统的 导纳图
（见所发的图）
15 速 度 导 10 纳
5
0
0 20 40 60 80 100
相 360 位 180
0
频率Hz (b)无阻尼单自由度系统的 导纳图
均为复数。（1—12）式还可以表示为
H () k m2 j
c
(k m2 ) (c) (k m2 ) (c)
1 1
2
k
(1
2
)
(2
)2
j
(1
2
)
(2c
)
2
（1—13）
式中， 0 称为频率比。
由（1—11）式可见，系统的位移阻抗由三部分组成，即 质量阻抗、阻尼阻抗及刚度阻抗。他们分别为
1．2单自由度频响函数分析
单自由度系统是最基本的振动系统。虽然实际 结构均为多自由度系统，但单自由度系统的分析能 揭示振动系统很多基本的特性。由于他简单，因此 常常作为振动分析的基础。从单自由度系统的分析 出发分析系统的频响函数，将使我们便于分析和深 刻理解他的基本特性。对于线性的多自由度系统常 常可以看成为许多单自由度系统特性的线性叠加。
2 加 速 度 导1 纳
0 0 20 40 60 80 100
相 360 位 180
0
频率Hz (c)无阻尼单自由度系统的 导纳图
由于振动数据很多，表示频响函数特性的可能问题之一， 是数据分布在较宽的数据范围内，无论使用上述频响特性图的 何种形式，总有一些数据不能包括在内。采用对数坐标可解决 这个问题。