实序列的共轭对称性及其工程应用 (1)
数字信号处理中的对称性问题
数字信号处理中的对称性问题虞粉英;陆锦辉【摘要】数字信号处理是利用计算机或信号处理设备、采用数值计算方法对信号进行处理的过程.该文分析了离散时间傅里叶变换(DTFT)、离散傅里叶变换(DFT)、连续与非周期以及离散与周期的对称性,将N点序列的离散谱视为DTFT连续谱一个周期的采样,解决了利用计算机分析信号频谱的问题.通过对比分析DTFT和DFT 的对称性可知,将DFT的对称性应用到实序列DFT计算中,可减少约50％运算量.【期刊名称】《南京理工大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(042)005【总页数】7页(P615-621)【关键词】数字信号处理;奇偶对称性;共轭对称性;圆周共轭对称性【作者】虞粉英;陆锦辉【作者单位】南京理工大学电子工程与光电技术学院,江苏南京210094;南京理工大学电子工程与光电技术学院,江苏南京210094【正文语种】中文【中图分类】TN911.72数字信号处理(Digital signal processing,DSP)是利用计算机或通用(专用)的信号处理设备，采用数值计算的方法对信号进行处理的一门学科。
随着信息、通信、计算机科学与技术的迅速发展，数字信号处理理论得到快速发展，在信息与通信领域应用广泛。
文献[1]利用多路欠采样的方法对多分量线性调频(Linear frequency modulation，LFM)信号进行参数估计。
文献[2，3]研究了中继协作通信系统中数字信号处理算法的对称性问题，用于设计上下行链路。
数字信号处理理论在自动控制、生物医学、机械、能源、电力、纺织、仪器仪表等领域的应用也日益广泛[4，5]。
我国中东部经济发达地区电力供应相对紧缺，为此，在国家西电东输工程中，电力的转换与传输中存在大量的数据监测和监控，利用数字信号处理的方法就可以进行数据的自动分类、准确监控，从而实现高效率、高精度的电力转换与传输。
数字信号处理理论在电网储能优化配置中也有着重要作用[6]。
数字信号处理第三版西科大课后答案第2章
第2章时域离散信号和系统的频域分析2.1学习要点与重要公式2.2FT和ZT的逆变换2.3分析信号和系统的频率特性 2.4例题2.5习题与上机题解答2.1学习要点与重要公式数字信号处理中有三个重要的数学变换工具，即傅里叶变换（FT）、Z变换（ZT）和离散傅里叶变换（DFT）。
利用它们可以将信号和系统在时域空间和频域空间相互转换，这方便了对信号和系统的分析和处理。
三种变换互有联系，但又不同。
表征一个信号和系统的频域特性是用傅里叶变换。
Z 变换是傅里叶变换的一种推广，单位圆上的Z变换就是傅里叶变换。
在z域进行分析问题会感到既灵活又方便。
离散傅里叶变换是离散化的傅里叶变换，因此用计算机分析和处理信号时，全用离散傅里叶变换进行。
离散傅里叶变换具有快速算法FFT，使离散傅里叶变换在应用中更加方便与广泛。
但是离散傅里叶变换不同于傅里叶变换和Z变换，它将信号的时域和频域，都进行了离散化，这是它的优点。
但更有它自己的特点，只有掌握了这些特点，才能合理正确地使用DFT。
本章只学习前两种变换，离散傅里叶变换及其FFT将在下一章学习。
2.1.1学习要点（1）傅里叶变换的正变换和逆变换定义，以及存在条件。
（2）傅里叶变换的性质和定理：傅里叶变换的周期性、移位与频移性质、时域卷积定理、巴塞伐尔定理、频域卷积定理、频域微分性质、实序列和一般序列的傅里叶变换的共轭对称性。
（3）周期序列的离散傅里叶级数及周期序列的傅里叶变换表示式。
（4）Z变换的正变换和逆变换定义，以及收敛域与序列特性之间的关系。
（5）Z变换的定理和性质：移位、反转、z域微分、共轭序列的Z变换、时域卷积定理、初值定理、终值定理、巴塞伐尔定理。
（6）系统的传输函数和系统函数的求解。
（7）用极点分布判断系统的因果性和稳定性。
（8）零状态响应、零输入响应和稳态响应的求解。
（9）用零极点分布定性分析并画出系统的幅频特性。
2.1.2重要公式（1）这两式分别是傅里叶变换的正变换和逆变换的公式。
共轭对称矩阵和实对称矩阵
共轭对称矩阵和实对称矩阵共轭对称矩阵和实对称矩阵在线性代数中，我们经常会遇到一些特殊的矩阵，其中共轭对称矩阵和实对称矩阵就是两种很重要的矩阵类型。
它们在数学和物理等领域都有着广泛的应用，对于研究和理解矩阵的性质和特点具有重要的意义。
在本文中，我们将深入探讨共轭对称矩阵和实对称矩阵的定义、性质和应用，希望通过本文的阐述，能够让读者对这两种矩阵有更深入的理解。
一、共轭对称矩阵的定义和性质1. 共轭对称矩阵的定义共轭对称矩阵是指矩阵的转置等于其共轭的矩阵，即A* = A^T。
其中A*表示矩阵A的共轭转置，A^T表示矩阵A的转置。
如果一个矩阵的转置等于其共轭，那么就称这个矩阵为共轭对称矩阵。
2. 共轭对称矩阵的性质- 共轭对称矩阵的特征值都是实数。
- 共轭对称矩阵的特征向量是两两正交的。
- 共轭对称矩阵可以通过正交相似变换成对角矩阵。
二、实对称矩阵的定义和性质1. 实对称矩阵的定义实对称矩阵是指矩阵的转置等于其本身，即A = A^T。
如果一个矩阵的转置等于其自身，那么就称这个矩阵为实对称矩阵。
2. 实对称矩阵的性质- 实对称矩阵的特征值都是实数。
- 实对称矩阵的特征向量是两两正交的。
- 实对称矩阵可以通过正交相似变换成对角矩阵。
三、共轭对称矩阵和实对称矩阵的联系和区别共轭对称矩阵和实对称矩阵在定义和性质上有一些相似之处，都涉及到矩阵的转置和特征值的性质。
但是它们之间也有一些重要的区别。
1. 区别- 共轭对称矩阵的元素可以是复数，而实对称矩阵的元素必须是实数。
- 共轭对称矩阵的转置是其共轭，实对称矩阵的转置是其本身。
2. 联系- 共轭对称矩阵和实对称矩阵都具有实数特征值和正交特征向量的性质。
四、共轭对称矩阵和实对称矩阵的应用共轭对称矩阵和实对称矩阵在数学和物理领域有着广泛的应用，下面我们简要介绍一些常见的应用领域。
1. 物理学在量子力学和振动理论中，矩阵经常用来描述物理系统的性质。
共轭对称矩阵和实对称矩阵可以描述物理系统的对称性和能量的量子化，是研究物理学中的态矢量和能级结构的重要工具。
有机化学中的共轭体系的应用
有机化学中的共轭体系的应用共轭体系是有机化学中重要的概念和结构，具有广泛的应用。
在有机分子中，共轭体系能够影响分子的特性和性质，为合成新的化合物和材料提供了思路和方法。
本文将介绍共轭体系的定义、特性以及其在有机化学中的应用。
一、共轭体系的定义与特性共轭体系是指由相邻的单键、双键或者烯烃键共享电子形成的一系列π键的结构。
共轭体系具有以下特性：1. 扩展π电子共轭结构：共轭体系中的π电子会扩展到整个分子中，形成扩展的共轭结构。
这种扩展的π电子能够影响分子的电子分布和电子云密度，从而影响分子的性质。
2. 良好的共轭性质：共轭体系中的π电子共享电子，使得电子在分子中能够自由运动。
这种良好的共轭性质使得共轭分子具有更低的能量和更高的稳定性。
3. 共轭体系的共振：由于共轭体系具有多重共振结构，分子中的电荷和电子密度可以在共轭体系中进行共振转移。
这种共振能够影响分子的电子云密度和电荷分布，从而影响分子的特性。
二、共轭体系的应用1. 共轭体系在有机合成中的应用共轭体系可以通过调整共轭结构的长度和取代基的类型来控制分子的共轭程度和稳定性。
这种调控能够实现新化合物的合成和设计。
例如，有机发光分子中的共轭结构能够使其π电子能级降低，使得分子具有吸收和发射光的能力。
这种特性使得有机发光分子在有机光电子器件中具有广泛的应用，例如有机发光二极管和有机太阳能电池等。
另外，通过引入共轭结构，可以调控分子的电荷传递和电子传导能力。
这对于设计和合成有机半导体材料和聚合物材料等具有重要意义，为电子元件的性能提供了改进和优化的思路。
2. 共轭体系在药物化学中的应用共轭体系的引入可以显著改变分子的化学性质和生物活性，从而实现新药物的设计和合成。
例如，共轭结构可以改变化合物的吸光特性和荧光性质，使得药物在荧光成像和分析检测中具有应用潜力。
此外，共轭分子还可以通过共轭体系的作用改变分子的电子云密度和电子亲和性，从而调控药物的生物活性和药效。
实序列的傅里叶变换必是共轭偶对称
实序列的傅里叶变换必是共轭偶对称1. 概述傅里叶变换是一种重要的数学工具，可以将一个函数在时域或空域上的表示转换为在频域或空间域上的表示。
在信号处理、图像处理、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
在一些特定的情况下，对于实序列而言，它的傅里叶变换是共轭偶对称的。
本文将探讨实序列的傅里叶变换为何必是共轭偶对称。
2. 实序列的定义实序列是指其傅里叶变换中包含了实部和虚部的序列。
所谓实部指的是只包含实数部分的序列，虚部指的是只包含虚数部分的序列。
一个信号如果是实数的，那么其频谱必然是共轭对称的。
傅里叶变换这种性质在实际应用和理论研究中具有重要意义，因为它可以简化计算和分析过程。
3. 傅里叶变换的定义傅里叶变换是一种将时域或空域上的信号转换到频域或空间域上的数学工具，其定义如下：F(u) = ∫f(x)e^-j2πux dx其中F(u)表示频率为u的信号的复数表示，f(x)表示时域或空域上的信号，e^-j2πux表示欧拉公式中的指数部分。
4. 实序列的傅里叶变换对于一个实序列f(x)（假设x为实数），其傅里叶变换F(u)满足以下性质：- F(-u) = F(u)*- F(u)为实数即傅里叶变换的频谱是共轭对称的，并且频谱中不包含虚部。
5. 证明实序列的傅里叶变换为共轭偶对称我们用Fourier变换中的定义来证明该结论F(u) = ∫f(x)e^-j2πux dx其中f(x)是实函数F(-u) = ∫f(x)e^j2πux dx= ∫f*(x)e^-j2πux dx= F(u)*其中f*(x)为f的共轭复数所以F(-u) = F(u)*F(u)为实数我们假设f(x)的傅里叶变换F(u)包含虚部，则F(-u)也包含虚部，即F(-u) = F(u)*不能成立。
所以F(u)为实数实序列的傅里叶变换必是共轭偶对称的。
6. 总结实序列的傅里叶变换是共轭偶对称的这一结论在信号处理领域中有着重要的应用价值。
它简化了计算和分析的复杂度，也有利于对信号的特性进行分析和提取。
傅里叶变换共轭对称序列
傅里叶变换共轭对称序列简介傅里叶变换是一种重要的数学工具，它将一个函数或信号分解为一系列不同频率的正弦和余弦函数的和，帮助我们理解和分析信号的频域特性。
在傅里叶变换的研究中，共轭对称序列是一种比较特殊的形式。
本文将介绍傅里叶变换共轭对称序列的定义、性质以及在实际应用中的重要性。
1. 共轭对称序列的定义与性质1.1 定义共轭对称序列是指实数序列中的元素满足一定的对称性质。
设序列为x[n]，其中n 为整数，则x[n]是共轭对称序列当且仅当存在一个整数m，使得x[n]=x[m-n]。
1.2 性质共轭对称序列具有以下几个重要的性质：•对称中心：共轭对称序列的对称中心位于序列的中心，即在序列的长度为N 时，对称中心位于第(N+1)/2个元素。
如果序列长度为偶数，则有两个对称中心。
•共轭对称：共轭对称序列中的元素具有共轭对称的性质，即如果x[n]是共轭对称序列，那么x[n]是其共轭序列，即x[n]=x[-n]。
•傅里叶变换的共轭对称性：傅里叶变换后，共轭对称序列的频谱也是共轭对称的，即X[k]=X[N-k]，其中X[k]为原始序列的傅里叶变换结果，X[k]为其共轭。
2. 共轭对称序列的性质证明共轭对称序列的性质可以通过数学证明得出。
首先，我们考虑共轭对称序列的对称中心点，从而推导共轭对称性。
2.1 对称中心假设序列长度为N，我们可以通过推导得出共轭对称序列的对称中心。
根据共轭对称序列的定义，有x[n]=x[m-n]。
当n=0时，x[0]=x[m-0]由于共轭对称序列是实数序列，所以x[0]和x[m-0]的共轭是相等的，即x[0]=x*[0]。
将两边的共轭平移项展开，x[0]=x*[0]将其分解为实部和虚部的形式，x[0]=Re(x[0])+iIm(x[0])x*[0]=Re(x[0])-iIm(x[0])由于x[0]=x*[0]，所以Re(x[0])=Re(x[0])，Im(x[0])=-Im(x[0])。
序列的共轭对称
X (e ) X cs (e ) X ca (e )
j
3.30
1 j j )] 式中 X cs (e ) [ X (e ) X (e 2 1 j X ca (e ) [ X (e j ) X (e j )] 2
3.31a
3.31b
对于序列x[n] ，也有同上面类似的概念和结论。
X K (e ) x[n]e
n K
j K
j
K
j n
lim X (e ) X K (e ) 0
j
称级数一致收敛(uniform convergence)于X(ej)
• 若 x[n] 是绝对可和的序列（ absolutely summable sequence ）
由于
x[ n] x[ n] , n n
2
2
•绝对可和的序列一定具有有限的能量
例 序列 x[n] n [n] ||< 1 是绝对可和的
1 [n] 1 n n 0
n n
其 DTFT X(ej) 一致收敛于
1 e e d [ ] 2 jn jn
jc n
- jc n
n
• 根据帕斯瓦尔关系得序列的能量：
n
1 hLP [n] 2
2
H LP (e ) d
j
2
c 1 c d 2 c • 能量有限，但不绝对可和
因此
第三章
离散时间傅立叶变换
Discrete-Time Fourier Transform
主要内容：
数字信号处理课后答案+第4章(高西全丁美玉第三版)
6*． 按照下面的IDFT算法编写MATLAB语言 IFFT程 序， 其中的FFT部分不用写出清单， 可调用fft函数。 并分 别对单位脉冲序列、 矩形序列、 三角序列和正弦序列进行 FFT和IFFT变换， 验证所编程序。
解： 为了使用灵活方便， 将本题所给算法公式作为函 数编写ifft46.m如下： %函数ifft46.m %按照所给算法公式计算IFET function xn=ifft46(Xk， N) Xk=conj(Xk)； %对Xk取复共轭 xn=conj(fft(Xk， N))/N； %按照所给算法公式计算IFFT 分别对单位脉冲序列、 长度为8的矩形序列和三角序列 进行FFT， 并调用函数ifft46计算IFFT变换， 验证函数 ifft46的程序ex406.m如下：
快速卷积时， 需要计算一次N点FFT（考虑到H(k)= DFT［h(n)］已计算好存入内存）、 N次频域复数乘法和 一次N点IFFT。 所以， 计算1024点快速卷积的计算时间Tc 约为
Fs <
1024 = 15 625 次 /秒 65536 × 10−6
Fs 15625 = = 7.8125 kHz 2 2
1 x ( n) = IDFT[ X ( k )] = [DFT[ X * ( k )]]* N
%程序ex406.m %调用fft函数计算IDFT x1n=1； %输入单位脉冲序列x1n x2n=［1 1 1 1 1 1 1 1］； %输入矩形序列向量x2n x3n=［1 2 3 4 4 3 2 1］； %输入三角序列序列向量x3n N=8； X1k=fft(x1n， N)； X2k=fft(x2n， N)； X3k=fft(x3n， N)； %计算x1n的N点DFT %计算x2n的N点DFT %计算x3n的N点DFT
20秋西南大学[1077]《数字信号处理》作业辅导资料
![20秋西南大学[1077]《数字信号处理》作业辅导资料](https://img.taocdn.com/s3/m/fe7c5602312b3169a551a402.png)
西南大学培训与继续教育学院课程代码： 1077 学年学季：20202判断题1、应用DFT分析无限长信号的频谱时，必然会产生误差。
1. A.√2. B.×2、离散周期信号的DFS中，频域的周期N对应数字频率为2π。
1. A.√2. B.×3、实数序列的DFT为共轭对称的序列。
1. A.√2. B.×4、一个域的周期性，对应另一域的离散性。
1. A.√2. B.×5、信号的最高频率为3π/5，则最大程度减小数据量的I/D值为 3/5 。
1. A.√2. B.×6、单位圆上的零点，对应幅频特性的零值。
1. A.√2. B.×7、LP表示的滤波器类型是低通滤波器。
1. A.√2. B.×8、通带最平坦的滤波器是巴特沃思滤波器。
1. A.√2. B.×9、陷波器必然有零点位于单位圆上。
1. A.√2. B.×10、圆周卷积和线卷积相等的条件是圆周卷积的点数不小于线性卷积的长度。
1. A.√2. B.×11、按照最大误差最小准则设计的滤波器，具有等波纹的特点。
1. A.√2. B.×12、单位脉冲序列的DTFT结果为1。
1. A.√2. B.×13、x(n)与h(n)的卷积的Z变换为X(Z)H(Z)。
1. A.√2. B.×14、所谓全通系统，就是其频率响应的幅度在任意需要考虑的频率点处均为常数。
1. A.√2. B.×15、FIR滤波器由于无原点外的极点，故相比IIR阶次更高。
1. A.√2. B.×16、对连续信号作频谱分析，设信号的采样频率为10KHz，频域的分辨能力为不大于10Hz，则对应DFS点数1. A.√2. B.×17、靠近单位圆上的极点，对应幅频特性的极大值。
1. A.√2. B.×18、线性相位可分为第一类与第二类线性相位两种情况。
数字信号处理： MATLABdft对称性验证以及应用
数字信号处理： MATLABdft对称性验证以及应用武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书目录1 MATLAB基本操作及常用命令介绍 (1)1(1 MATLAB的启动 .....................................................................11(2桌面平台 ..................................................................... . (1)1.3 基本平面图形绘制命令plot (2)2 理论分析 ..................................................................... (3)2.1实验内容 ..................................................................... . (3)2.2序列对称性的理论验证 (3)3 程序验证 ............................................................................................. 4 4 结果分析 ..................................................................... ........................ 7 5 对称性的应用 ..................................................................... .. (10)5.1 FFT算法的基本思想 (10)5.2 对称性应用的程序实现 (11)6 心得体会 ..................................................................... ...................... 15 参考文献 ..................................................................... .. (16)武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书1 MATLAB基本操作及常用命令介绍1(1 MATLAB的启动启动MATLAB有多种方式，最常用的方法就是双击系统桌面的MATLAB图标，也可以在开始菜单的程序选项中选择MATLAB快捷方式。
数字信号处理_证明题(32道)_1
为纯虚函数并奇对称。
证明：由 DFT 的共轭对称性可知， 如果 x(n)=xep(n)+xop(n)
则：X(k)=Re［X(k)］+j Im［X(k)］ 则：Re［X(k)］=DFT［xep(n)］, j Im［X(k)］=DFT［xop(n)］ 所以：当 x(n)=－x(N－n)时， 等价于 x(n)只有 xop(n)成分（即 xep(n)=0），
FT[ax1(n) bx2 (n)]
[ax1(n) bx2 (n)]e jwn n
ax1(n)e jwn bx2 (n)e jwn
n
n
a x1(n)e jwn b x2 (n)e jwn
n
n
aX1(e j ) bX 2 (e j )
证明 FT 的线性性质。即设 X1(ejω)=FT［x1(n)］, X2(ejω)=FT［x2(n)］, 那 么 FT[ax1(n) bx2 (n)] aX1(e j ) bX 2 (e j) 式中, a，b 是常数
X
e
e j
xr n e jn X e e j
n
实序列的 Fourier 变换具有共轭对称性
将 序 列 x(n) 分 成 实 部 xr(n) 与 虚 部 xi(n) ， x(n)=xr(n)+jxi(n) ， 证 明 ：
FT[ jxi (n)] xo (e j )
证明： X o e j j xi n e jn n
N 1
N 1
x(m)
W n(mk) N
m0
n0
由于：
N 1
W n(mk) N
原序列与共轭对称的关系
原序列与共轭对称的关系
原序列和它的共轭对称序列是一种特殊的关系。
对于一个有限序列，它的共轭对称序列是将原序列中所有元素按照逆序排列得到的序列。
例如，对于序列 {1, 2, 3, 4}，它的共轭对称序列是 {4, 3, 2, 1}。
这种关系有很多有趣的性质。
首先，原序列和它的共轭对称序列的长度相等。
其次，如果原序列中所有元素都是实数，那么它的共轭对称序列就是将每个元素都取复共轭得到的序列。
最后，如果原序列是对称的，也就是说，它的第 i 个元素和第 n-i+1 个元素相等（其中 n 是序列的长度），那么它的共轭对称序列也是对称的。
在信号处理中，原序列和它的共轭对称序列都有很重要的应用。
例如，在傅里叶变换中，一个实数序列的傅里叶变换是一个复数序列，它的共轭对称性质可以用来简化计算。
此外，在数字滤波器设计中，共轭对称滤波器是一种常见的滤波器类型，它的共轭对称性质可以用来减少计算复杂度。
因此，理解原序列和共轭对称序列的关系对于信号处理非常重要。
- 1 -。
数字信号处理课后答案+第3章(高西全丁美玉第三版)
X (k ) =
∑
kn 1 ⋅ WN
=
∑
=
1− e 1− e
N k = 0 = 0 k = 1, 2, ⋯, N − 1
（2） X (k ) = ∑ δ(n)W
n =0
N −1
kn N
（10） 解法一
X (k ) =
∑
n =0
N −1 kn nW N
k = 0, 1, ⋯ , N − 1
上式直接计算较难， 可根据循环移位性质来求解X(k)。 因 为x(n)=nRN(n)， 所以 x(n)－x((n－1))NRN(n)+Nδ(n)=RN(n) 等式两边进行DFT， 得到 X(k)－X(k)WkN+N=Nδ(k)
j
2π mn N ,
0<m< N
2π x(n) = cos mn , 0 < m < N N
(7) (8) (9)
x(n)=ejω0nRN(n) x(n)=sin(ω0n)RN(n) x(n)=cos(ω0n)RN(N)
(10) x(n)=nRN(n) 解： (1)
H (k ) = ∑ ∑ x((n′ + lN )) N e
l =0 n′=0
m −1 N −1
−j
2π( n′+lN ) k rN
2π 2π −j n′k − j lk N −1 k r −1 − j 2π lk ′)e mN e m = X ∑ e m = ∑ ∑ x(n l =0 n′=0 r l =0 m −1
数字信号处理_证明题(3道)_
证明：由DFT的共轭对称性可知，如果
x(n)=xep(n)+xop(n)
则：X(k)=Re［X(k)］+j Im［X(k)］
则：Re［X(k)］=DFT［xep(n)］, j Im［X(k)］=DFT［xop(n)］
所以：当x(n)=－x(N－n)时，等价于x(n)只有xop(n)成分（即xep(n)=0），故X(k)只有纯虚部，且由于x(n)为实序列，即X(k)共轭对称，X(k)=X*(N－k)=－X(N－k),为纯虚奇函数。
题干
证明DFT的对称定理，即假设X(k)=DFT［x(n)］，
证明：DFT［X(n)］=Nx(N－k)
答案
证：因为：
所以：
由于：
所以：DFT［X(n)］=Nx(N－k)k=0, 1, …,N－1
题干
如果X(k)=DFT［x(n)］，证明DFT的初值定理：
答案
证:由IDFT定义式：
可知：
题干
证明:若x(n)为实序列， 则X(k)为共轭对称序列，即 。
答案
证明：
题干
将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)，x(n)=xr(n)+jxi(n)，证明：
答案
证明：
实序列的Fourier变换具有共轭对称性
题干
将序列x(n)分成实部xr(n)与虚部xi(n)，x(n)=xr(n)+jxi(n)，证明：
答案
证明：
虚数Fourier变换具有共轭反对称性
答案
证明：因为
令m′=n－m,则
题干
证明线性卷积服从分配律，即证明下面等式成立：x(n)*(h1(n)+h2(n))=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)
共轭线性对称性及其对pt-对称量子理论的应用
2 共轭线性算子的性质
本文用 K 表示 n 维复 Hilbert 空间, 用∥x∥表 √
示向量 x ∈ K 的范数, 即∥x∥ = ⟨x|x⟩ . 用 I 表示
K 上的恒等算子. 对于 K 上的线性算子 A , 用 A† 表
示线性算子 A 的 Hermitian 伴随算子. 若 A = A† ,
则称 A是自伴的; 否则, 称 A是非自伴的. 若存在
共轭线性对称性及其对PT -对称量子理论的应用*
黄永峰 1)2) 曹怀信 1)† 王文华 3)
1) (陕西师范大学数学与信息科学学院, 西安 710119) 2) (昌吉学院数学系, 昌吉 831100)
3) (陕西师范大学民族教育学院, 西安 710119)
(2019 年 7 月 31 日收到; 2019 年 11 月 18 日收到修改稿)
© 2020 中国物理学会 Chinese 理 学 报 Acta Phys. Sin. Vol. 69, No. 3 (2020) 030301
PT -对称性在光学领域的应用 [15], PT -对称量子 场论的相关问题 [16,17], PT -对称量子系统中的纠 缠问题 [18], PT -对称量子系统中无信号原理及其 实验观测 [19,20], PT -对称性与图论及量子随机游 走的关系 [21−23] 等. 此外, 还有一些其他的相关研 究 [24−37]. 最近, Huang 等 [38] 通过弱测量模拟了缺 破 (broken) PT -对称哈密顿系统.
可逆线性算子 B 使得 A = B†B , 则称 A 为正定算子;
若[A, B] := AB − BA = 0 , 则称算子 A 与 B 可交换.
复数, 为了保证其特征值为实数, 又引入了完整 PT -对称的概念. 在此基础上, 通过引入一个 C 算 子, 构造了一个新的正定 CPT -内积, 使得哈密顿 H在该内积下是自伴的, 从而也遵守酉演化, 同时 还说明了 C 算子是不唯一的 [4−7]. 后来, Mostafazadeh[8−12] 提出了伪自伴算子的概念, 研究了伪自 伴哈密顿的相关性质, 指出 PT -对称哈密顿可以 看成一类特殊的伪自伴哈密顿, 同时给出了针对 Freedman-Robertson-Walker 模型中哈密顿是伪 自伴的例子. Bender 等 [13] 发现在 PT -对称量子理 论下, 量子系统的最优演化时间能够迅速减小甚至 达到零. Zheng 等 [14] 通过设计核磁共振量子系统 中具有 PT -对称哈密顿量的时间演化实验, 证实 了相应的结果. 目前, 关于 PT -对称量子理论的研 究已经涉及到了物理学及信息学的各个方面, 包括
DFT的共轭对称性
N −1
内插公式与内插函数
1 − z − N N −1 X ( k ) 内插公式：X ( z ) = ∑ 1 − W − k z −1 N k =0 N 1 1 − z−N 内插函数：Φ k ( z ) = ⋅ − k −1 N 1 − WN z
则内插公式简化为： X ( z ) = ∑ X ( k )Φ k ( z )
即可由频域采样 X ( k ) 不失真地恢复原信号 x ( n ) ，否则产生时域混叠现象。
二、由X (k )表示X ( Z )和X (e ) - - -内插恢复
1.由X(k)恢复X(Z) M 点有限长序列x ( n )，频域N 点等间隔抽样，且
jω
N≥M
则： X ( z ) = ∑ x ( n ) z − n = ∑ x ( n ) z − n
若有: x(n) = xr (n) + jxi (n) DFT[ x(n)] = X (k ) = X ep (k ) + X op (k )
则有：
1 xr (n) = [ x(n) + x∗ (n)] 证明： 2 1 DFT[ xr (n)] = [ X (k ) + X ∗ ( N − k )] = X ep (k ) 2 1 xi (n) = [ x(n) − x∗ (n)] 2 1 DFT[xi (n)] = [ X (k ) − X ∗ ( N − k )] = X op (k ) 2
DFT [ x1 (n)] = X 1 (k )
DFT [ x2 (n)] = X 2 (k )
利用两序列构成一个复序列
w( n ) = x1 ( n ) + jx2 ( n ) 则 W ( k ) = DFT [ w( n )] = DFT [ x1 ( n ) + jx2 ( n )] = DFT [ x1 ( n )] + jDFT [ x2 ( n )] = X 1 ( k ) + jX 2 ( k )
共轭序列的傅里叶变换 c程序怎么写
一、共轭序列的傅里叶变换在信号处理和数字信号处理中，傅里叶变换是一种非常重要的数学工具，用于将信号从时域转换到频域。
而共轭序列的傅里叶变换是指对一个实数序列进行傅里叶变换后得到的频谱是对称的。
在实际应用中，我们经常需要对共轭序列进行傅里叶变换来分析信号的频谱特性和进行滤波处理。
1. 共轭序列的定义和特性让我们来回顾一下共轭序列的定义和特性。
一个序列x(n)的共轭序列定义为x*(-n)，即将原序列的每一项取复共轭。
对于实数序列来说，它的共轭序列就是它本身。
而对于复数序列来说，其共轭序列就是将实部取负，虚部取反。
共轭序列有一个非常重要的性质，即其傅里叶变换的频谱是对称的。
这就意味着，对于实数序列来说，其频谱中的正频率部分和负频率部分是共轭的，它们是一一对应的。
2. 傅里叶变换的数学原理接下来，我们来简单回顾一下傅里叶变换的数学原理。
傅里叶变换可以将一个信号从时域转换到频域，从而可以分析信号的频谱特性。
傅里叶变换有时域傅里叶变换和频域傅里叶变换两种形式，它们是一一对应的关系。
通过傅里叶变换，我们可以得到信号的频谱，包括频率分量和幅度分量。
在实际应用中，傅里叶变换经常用于信号滤波、频谱分析和通信系统中。
3. 共轭序列的傅里叶变换现在让我们来探讨共轭序列的傅里叶变换。
对于一个实数序列x(n)来说，其共轭序列x*(-n)的傅里叶变换X(k)是对称的，即X(k) = X*(-k)。
这意味着，共轭序列的频谱中的正频率部分和负频率部分是相互对应的，并且它们具有相同的幅度。
这个特性在信号处理中是非常重要的，它可以帮助我们分析信号的频谱特性和进行滤波处理。
在实际应用中，我们经常需要对共轭序列进行傅里叶变换来得到信号的频谱，从而进行后续的分析和处理。
4. 怎样编写C程序进行共轭序列的傅里叶变换让我们来谈一下如何编写C程序进行共轭序列的傅里叶变换。
在实际应用中，我们可以使用C语言来编写程序实现对共轭序列的傅里叶变换。
常见的方法是使用快速傅里叶变换（FFT）算法来高效地计算共轭序列的傅里叶变换。
《数字信号处理》第三版课后答案
《数字信号处理》第三版课后答案D解：（1）令：输入为0()x n n -，输出为'000'0000()()2(1)3(2)()()2(1)3(2)()y n x n n x n n x n n y n n x n n x n n x n n y n =-+--+---=-+--+--=故该系统是时不变系统。
12121212()[()()]()()2((1)(1))3((2)(2))y n T ax n bx n ax n bx n ax n bx n ax n bx n =+=++-+-+-+- 1111[()]()2(1)3(2)T ax n ax n ax n ax n =+-+- 2222[()]()2(1)3(2)T bx n bx n bx n bx n =+-+-1212[()()][()][()]T ax n bx n aT x n bT x n +=+故该系统是线性系统。
（3）这是一个延时器，延时器是一个线性时不变系统，下面予以证明。
令输入为1()x n n -，输出为'10()()y n x n n n =--，因为'110()()()y n n x n n n y n -=--=故延时器是一个时不变系统。
又因为12102012[()()]()()[()][()]T ax n bx n ax n n bx n n aT x n bT x n +=-+-=+ 故延时器是线性系统。
（5）2()()y n x n =令：输入为0()x n n -，输出为'2()()y n x n n =-，因为2'()()()y n n x n n y n -=-=故系统是时不变系统。
又因为21212122212[()()](()()) [()][()]()()T ax n bx n ax n bx n aT x n bT x n ax n bx n +=+≠+=+因此系统是非线性系统。
数字信号处理-共轭对称、共轭反对称
xxxx大学实验报告学生姓名＿xxx＿学号＿xxxxxxx＿年级班级＿xxxxxxx＿实验项目＿xxxxxxxx＿实验时间＿xxxxxxxxx＿实验二一、实验目的:1.充分熟悉复指数函数find、sigshift、sigfold函数的使用；2.熟悉序列的加、减、乘、除、移位、折叠的计算；3.能够画出结果的图形。
二、实验步骤:1.用help查找find、sigshift、sigfold函数的使用情况；2.编辑并生成函数sigadd.m(序列相加)function [y,n] = sigadd(x1,n1,x2,n2)% 实现y(n) = x1(n)+x2(n)% [y,n] = sigadd(x1,n1,x2,n2)% y = 在包含n1 和n2 的n点上求序列和% x1 = 在n1上的第一序列% x2 = 在n2上的第二序列(n2可与n1不等)n = min(min(n1),min(n2)):max(max(n1),max(n2)); % y(n)的长度y1 = zeros(1,length(n)); y2 = y1; % 初始化y1(find((n>=min(n1))&(n<=max(n1))==1))=x1; % 具有y的长度的x1 y2(find((n>=min(n2))&(n<=max(n2))==1))=x2; % 具有y的长度的x2 y = y1+y2; % 序列相加.3.编辑并生成函数sigmult.m(序列相乘)function [y,n] = sigmult(x1,n1,x2,n2)% 实现y(n) = x1(n)*x2(n)% [y,n] = sigmult(x1,n1,x2,n2)% y = 在n区间上的乘积序列,n 包含n1 和n2% x1 = 在n1上的第一序列% x2 = 在n2上的第二序列(n2可与n1不等)n = min(min(n1),min(n2)):max(max(n1),max(n2)); % y(n)的长度y1 = zeros(1,length(n)); y2 = y1; %初始化y1(find((n>=min(n1))&(n<=max(n1))==1))=x1; % 具有y的长度的x1 y2(find((n>=min(n2))&(n<=max(n2))==1))=x2; % 具有y的长度的x2 y = y1 .* y2; % 序列相乘4.编辑并生成函数sigshift.m(序列移位)function [y,n] = sigshift(x,m,n0)% 实现y(n) = x(n-n0)% [y,n] = sigshift(x,m,n0)n = m+n0; y = x;5.编辑并生成函数sigfold.m(序列折叠)function [y,n] = sigfold(x,n)% 实现y(n) = x(-n)% [y,n] = sigfold(x,n)y = fliplr(x); n = -fliplr(n);6.编辑并生成实现两序列相乘和相加程序clc;clear;x1=[0,1,2,3,4,3,2,1,0];n1=-2:6;x2=[2,2,0,0,0,-2,-2]; n2=2:8;[y1,n]=sigmult(x1,n1,x2,n2);[y2,n]=sigadd(x1,n1,x2,n2);subplot(2,2,1);stem(n1,x1);title('序列x1')xlabel('n');ylabel('x1(n)');subplot(2,2,2);stem(n2,x2);title('序列x2')xlabel('n');ylabel('x2(n)');subplot(2,2,3);stem(n,y1);title('两序列相乘')xlabel('n');ylabel('y1(n)');subplot(2,2,4);stem(n,y2);title('两序列相加')xlabel('n');ylabel('y2(n)');运行以上程序得到的图形：体会：相加或相乘时，两序列尺度要保持一致。
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03 共轭对称性的工程应用
共轭对称性的工程应用
●共轭对称性在磁共振图像处理消除伪影技术上的应用
Ghost伪影是回波平面成像(EPI)中一个很普遍的伪影，利用K空间原始数据的共轭对称性 来消除ghost伪影的方法，且可以自动进行而不需要参考扫描。首先利用K空间的上述特 性估计产生ghost伪影的K空间数据奇数和偶数行间的相位差，然后用迭代的方法对K空间 数据进行校正，直到达到最好的ghost伪影消除效果。
证明共轭对称性
结果图：
xep
4
2
0
-2
0
2
4
2
0
-2
-4
0
2
xop
共轭对称分量
4
6
8
n
共轭反对称分量
10
12
4
6
8
10
12
n
证明共轭对称性
结果图：
10 5 0 -5
-10 0
10 5 0 -5
-10 0
real(X)
5
10
k
DFT[xep(n)]
5
10
k
10 0
-10 0
10 0
-10 0
imag(X)
证明共轭对称性
主程序：
figure(1) n=0:11;x=[2.5 0 1.6 -3 -2 2 1.6 -3 -1 4 4.5 2]； [xep,xop]=gedc(x); subplot(2,1,1); stem(n,xep); title('共轭对称分量');xlabel('n'); ylabel('xep'); axis([-0.5,12.5,-3,4]); subplot(2,1,2); stem(n,xop); title('共轭反对称分量'); xlabel('n'); ylabel('xop'); axis([-0.5,12.5, 4,4]); figure(2) X=dft(x,12) ; Xep=dft(xep,12);Xop=dft(xop,12); subplot(2,2,1); stem(n,real(X)); axis([-0.5,12.5,-10,10]); title(' real(X)'); xlabel('k'); subplot(2,2,2); stem(n,imag(X)); axis([-0.5,12.5,-17,17]); title(' imag(X)'); xlabel('k'); subplot(2,2,3); stem(n,Xep); axis([-0.5,12.5, -10,10]); title('DFT[xep(n)]'); xlabel('k'); subplot(2,2,4); stem(n,imag(Xop)); axis([-0.5,12.5,-17,17]); title('DFT[xop(n)]'); xlabel('k'); figure(3) X=dft(x,12) ; [Xe,Xo]=gedc(X); subplot(2,2,1); stem(n, Xe); axis([-0.5,12.5,-10,10]); title(' Xep'); xlabel('k'); subplot(2,2,2); stem(n,Xo); axis([-0.5,12.5,-17,17]); title(' Xop'); xlabel('k'); subplot(2,2,3);stem(n,real(X)); axis([-0.5,12.5, -10,10]); title('DFT[real(xn)]'); xlabel('k'); subplot(2,2,4); stem(n,i*imag(X)); axis([-0.5,12.5,-17,17]); title('DFT[imag(xn)]'); xlabel('k');
复序列共轭反对称分量的离散傅立叶变换是原来序列离散傅
立叶变换的虚数部分。 DFT xop (n) jX I (k)
复序列实数部分的离散傅立叶变换是原来序列离散傅立叶
变换的共轭对称分量。 DFT xR (n) X ep (k)
复序列虚数部分乘以j的离散傅立叶变换是原来序列离散傅立
叶变换的共轭反对称分量。DFT jxI (n) X op (k)
DTFT x (n) R
DTFT
x(n) x*(n) 2
X (e j ) X 2
* (e j )
Xe(e j )
DTFT jxI (n)
DTFT
x(n) x*(n) 2
X (e j ) X * (e j ) 2
Xo(e j ) X (e j ) X * (e j ) 2
X R (e j )
X (e j ) X * (e j ) 2
jX (e j ) X (e j ) X * (e j )
I
2
共轭对称性
DTFT的对称性
DTFT x *(n) X *(e- j ) DTFT x *(-n) X *(e j )
jX I (k)
X (k) X * (k) 2
共轭对称性
DFT的对称性
DFT x * (n) X * ( N - k ) DFT x * ( N - n) X * (k )
DFT
x (n) ep
DFT
x(n)
x* ( N 2
n)
X (k) X *(k) 2
x(n)为N点的实中心偶对称序列时,x(n) x( N n)
x(n)为共轭对称序列，即 X(k) X * (N - k) X (N - k)
x(n) xep (n) 0 X(k) X (k ) 0
R
x(n)为N点的实中心奇对称序列时, x(n) - x(N n)
DTFT xe (n)
DTFT
x(n)
x*(n)
2
X (e j ) X * (e j ) 2
X R (e j )
DTFT xo (n)
DTFT
x(பைடு நூலகம்)
x 2
*
(n)
X (e j ) X * (e j ) 2
jX I (e j )
5
10
k
DFT[xop(n)]
5
10
k
10 5 0 -5
-10 0
10 5 0 -5
-10 0
Xep
5
10
k
DFT[real(xn)]
5
10
k
10 0
-10 0
10 0
-10 0
Xop
5
10
k
DFT[imag(xn)]
5
10
k
结论
复序列共轭对称分量序列的离散傅立叶变换是原来序列离散
傅立叶变换的实数部分。 DFT xep (n) X R (k)
共轭对称性的工程应用
●用于电力谐波分析，改善电网的环境
共轭对称性的工程应用
●在抗干扰中的应用
Thank you
谢谢观看
x(n)为共轭反对称序列，即 X(k) X * (N - k ) - X (N - k )
x(n) 0 xop (n) X(k) 0 jX I (k )
02 证明共轭对称性
证明共轭对称性
·用MATLAB证明共轭对称性
创建gedc的脚本文件，gedc的 脚本文件是用来生成共轭对称 分量与共轭反对称分量的，程 序如下：
虚部
x(n) x* (n)
jxI (n)
2
频域： X (k) X ep (k) X op (k)
X R (k) jX I (k)
X (k) X (k) X * (N k)
ep
2
X op (k )
X (k)
X *(N 2
k)
X R (k)
X (k) X * (k) 2
实序列的共轭对称性及 其工程应用
目录
01 共轭对称性
02 证明共轭对称性
03 共轭对称性的工程应用
01 共轭对称性
共轭对称性
函数的对称性
f (t) fe (t) fo (t)
偶函数
fe (t)
f (t) f (t) 2
奇函数 fo (t)
f (t) f (t) 2
序列的对称性
X (k) R
DFT
xop (n)
DFT
x(n)
x* (N 2
n)
X (k) X *(k) 2
jX I (k)
DFT xR (n)
DFT
x(n)
2
x
*
(n)
X (k)
X *(N 2
k)
X ep (k)
DFT jx (n) I
Xo(e j )
共轭对称性(DFT)
时域：
x(n) x (n) x (n)
ep
op
xR (n) j xI (n)
共轭对称序列