初二轴对称图形难题总结

初二轴对称图形难题总结
如图（a）,点A、B在直线I的同侧，要在直线I上找一点C,使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于I的对称点B',连接A B与直线I交于点C,则点C即为所求.
（1）实践运用：
如图（b）,已知，O O的直径CD为4,点A在O O 上, / ACD=30 , B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP 的最小值为 ____________________ .
（2）知识拓展：
如图（c）,在Rt A ABC中，AB=10, / BAC=45 , / BAC的平分线交BC于点D, E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程.
2. （1）观察发现
如图（1）:若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P,使AP+BP的值最小，做法如下：
作点B关于直线m的对称点B',连接AB',与直线m的交点就是所求的点P,线段AB'的长度即为AP+BP的最小
如图（2）:在等边三角形ABC中，AB=2,点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P,使BP+PE的值最小, 做法如下：
作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P,故BP+PE的最小值为（2 ）实践运用
如图（3）：已知O O的直径CD为2，配的度数为60 °点B是AC的中点，在直径CD上作出点P,使BP+AP的
（3）拓展延伸
如图（4）:点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB BC上作出点M，点N,使PM+PN+MN的值最小，保留作图痕迹，不写作法.
如图（1）,要在燃气管道I上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气•泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？
你可以在I上找几个点试一试，能发现什么规律？
人/I
* / V
y ■-r
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P \% H
* *
B4 5 6 7 8 9
⑴⑵
聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法•他把管道I看成一条直线（图（2））,问题就转化为，要在直线I上找一点P,使AP与BP的和最小.他的做法是这样的：
①作点B关于直线I的对称点B'.
②连接AB交直线I于点P,则点P为所求.
请你参考小华的做法解决下列问题•如图在△ ABC中，点D、E分别是AB AC边的中点，BC=6, BC边上的高为4,
请你在BC边上确定一点巳使厶PDE得周长最小.
（1）在图中作出点P （保留作图痕迹，不写作法）.
（2）请直接写出△ PDE周长的最小值：__________ .
4（1）观察发现：
如（a）图，若点A, B在直线I同侧，在直线I上找一点P,使AP+BP的值最小.
做法如下：作点B关于直线I的对称点B',连接AB'，与直线I的交点就是所求的点P.再如（b）图，在等边三角
形ABC中，AB=2,点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P,使BP+PE的值最小.
做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P,故BP+PE 的最小值为___________ .
（2）实践运用：
如（c）图，已知O O的直径CD为4, / AOD的度数为60°点B是肛＜的中点，在直径CD上找一点P,使BP+AP
的值最小，并求BP+AP的最小值.
（3）拓展延伸：
8,
(a)
5.几何模型：
条件：如下图, A、B是直线I同旁的两个定点.
久
问题：在直线I 上确定一点P ,使PA+PB 的值最小.
方法：作点A 关于直线I 的对称点A',连接A'B 交I 于点P,贝U PA+PB=A B 的值最小(不必证明).
模型应用：
(1)
如图
1,正方形ABCD 的边长为2, E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点.连接 BD,由正方形对称性可知， B 与
D 关于直线AC 对称.连接ED 交AC 于P,贝U PB+P
E 的最小值是 ______________ ;
(2) 如图2, O O 的半径为2,点A 、B 、C 在O O 上，0A 丄OB , / AOC=60 , P 是0B 上一动点，求 PA+PC 的最小 值； (3) 如图3, / AOB=45 , P 是/AOB 内一点，PO=10, Q 、R 分别是 OA 、0B 上的动点，求 △ PQR 周长的最小值. 6.如图，已知平面直角坐标系，
A 、
B 两点的坐标分别为 A (2, - 3), B (4,- 1).
(1) __________________________________________________ 若P ( p , 0)是x 轴上的一个动点，则当 p= 时，△ PAB 的周长最短；
(2) _____________________________________________________________ 若C (a , 0), D (a+3, 0 )是x 轴上的两个动点，则当 a= _____________________________________________________ 时，四边形ABDC 的周长最短； (3)
设M , N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点
M (m , 0)、N (0, n ),使四边形ABMN 的
周长最短？若存在，请求出 m= ____________ , n= ___________ (不必写解答过程)；若不存在，请说明理由.
2
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/ A
8 .如图所示，在一笔直的公路 MN 的同一旁有两个新开发区 A , B ,已知AB=10千米，直线 AB 与公路MN 的夹角 / AON=30 ；新开发区 B 到公路MN 的距离BC=3千米.
a
y
E1
圈2
图孑
A ,
B 两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置.
£
3.
公曙
7 .需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到
(1) ________________________________________ 新开发区A到公路MN的距离为；
(2)现要在MN上某点P处向新开发区A, B修两条公路PA, PB,使点P到新开发区A, B的距离之和最短.此时PA+PB= _________ (千米).
10 .如图，在直角坐标系中，等腰梯形 ABB1A1的对称轴为y 轴.
(1)
请画出：点 A 、B 关于原点0的对称点A2、B2 (应保留画图痕迹，不必写画法，也不必证明)
;
(2) 连接A1A2、B1B2 (其中A2、B2为(1)中所画的点)，试证明：x 轴垂直平分线段 A1A2、B1B2; (3)
设线段AB 两端点的坐标分别为 A (- 2, 4)、B ( - 4, 2),连
接(1)中A2B2,试问在x 轴上是否存在点 C , 使厶A1B1C 与厶A2B2C 的周长之和最小？若存在，求出点
C 的坐标(不必
说明周长之和最小的理由) ；若不存在，
请说明理由.
1
A
厂
B
比
____________________________________ X
11•某大型农场拟在公路 L 旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地 A 、B 的水果
集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益.请你在图中标明加工厂所在的位置 C ,使A 、B 两地到加工厂 C 的运
输路程之和最短.(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)
■
B 9
9.如图：
(1) 若把图中小人平移，使点 A 平移到点B ,请你在图中画出平移后的小人； (2)
若图中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸边
I 上点P 处喝水后，再游到
B ,但要使游泳的路程最短，试
如图1 , △ ABC中，沿/ BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 / B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿/ BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次
恰好重合，/ BAC是△ ABC的好角.
小丽展示了确定 / BAC是厶ABC的好角的两种情形.情形一：如图2,沿等腰三角形ABC顶角/ BAC的平分线AB1 折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿/ BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 / B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合.
探究发现
(1)_______________________________________________________________________ △ ABC中，/ B=2/ C,经过两次折叠， / BAC是不是△ ABC的好角？____________________________________________ (填是”或不是”).
(2)小丽经过三次折叠发现了 / BAC是厶ABC的好角，请探究 / B与/C (不妨设/ B> Z C)之间的等量关系•根据以上内容猜想：若经过n次折叠Z BAC是厶ABC的好角，则Z B与Z C (不妨设Z B> Z C)之间的等量关系为
应用提升
(3)小丽找到一个三角形，三个角分别为15° 60° 105°发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角.
请你完成，如果一个三角形的最小角是4°试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的
好角.
sinZB=T
13 .如图，△ ABC中AB=AC, BC=6, 5,点p从点B出发沿射线BA移动，同时，点Q从点C出发沿线段
AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.
(1)如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；
(2)如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E,当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、CD中是否存在长度
14 . (2012?东城区二模)已知：等边△ ABC中，点0是边AC, BC的垂直平分线的交点，M , N分别在直线AC, BC 上，且Z M0N=6° .
(1)如图1,当CM=CN时，M、N分别在边AC、BC上时，请写出AM、CN MN三者之间的数量关系；
(2)如图2,当C昨CN时，M、N分别在边AC、BC上时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成
立，请说明理由；
(3)如图3,当点M在边AC上，点N在BC 的延长线上时，请直接写出线段AM、CN、MN三者之间的数量关系. 保持不变的线段？请说明理由;
16 .如图，在 △ ABC 和厶DCB 中，AB=DC, AC=DB, AC 与DB 交于点 M .求证: (1) △ ABC ^^ DCB;
(2) 点M 在BC 的垂直平分线上.
17 .如图，△ ABC 的边BC 的垂直平分线 DE 交厶BAC 的外角平分线 AD 于D , E 为垂足，DF 丄AB 于F ,且AB > AC,
15 •如图，线段 CD 垂直平分线段 求证：DE=DF
AB, CA 的延长线交BD 的延长线于E , CB 的延长线交AD 的延长线于F
,
18 .已知△ ABC 的角平分线 AP 与边BC 的垂直平分线
求证：BK=CL
PM 相交于点P ,作PK 丄AB , PL 丄AC,垂足分别是 K 、L
,
19 .某私营企业要修建一个加油站，如图，其设计要求是，加油站到两村 A 、B 的距离必须相等，且到两条公路
21.如图，在 △ ABC 中，/ BAC 的平分线与 BC 的垂直平分线 PQ 相交于点 P ,过点P 分别作PN 丄AB 于N , PM 丄AC 于点M ，求证：BN=CM .
/ B=15° DE 垂直平分 AB , E 为垂足交 BC 于D, BD=16cm ,求 AC 长.
参考答案与试题解析 一.解答题（共22小题）
1. （2013?日照）问题背景：
如图（a ）,点A 、B 在直线I 的同侧，要在直线I 上找一点C ,使AC 与BC 的距离之和最小，我们可以作出点 B 关于
I 的对称点B',连接A B 与直线I 交于点C ,则点C 即为所求.
n 的距离也必须相等，那么加油站应修在什么位置，在图上标出它的位置. （要有作图痕迹）
MN 交BC 于M ，交AB 于N ,求BM 的长
.
(1)实践运用：
如图(b),已知，O O的直径CD为4,点A在O O上，/ ACD=30 , B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为2二.
(2)知识拓展：
如图(c),在Rt A ABC中，AB=10, / BAC=45 , / BAC的平分线交BC于点D, E、F分别是线段AD和AB上的动点, 求BE+EF 的最小值，并写出解答过程.
考点：轴对称-最短路线问题.3113559
分析：(1)找点A或点B关于CD 的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所
求作的位置•根据题意先求出 / C' AE再根据勾股定理求出AE,即可得出PA+PB的最小值；
(2)首先在斜边AC上截取AB =AB连结BB',再过点B作B' L AB,垂足为F,交AD于E,连结BE,则线段
解答：
解：(1)作点B关于CD的对称点E,连接AE交CD于点P 此时PA+PB最小，且等于AE.
作直径AC,连接C'.
根据垂径定理得弧BD=< DE.
•/ / ACD=30 ,°
••• / AOD=60 ° / DOE=30 °
••• / AOE=90 °
•/ C' AE=45 °
又AC为圆的直径，AEC =90；
•/ C'纟C' AE=45 °
V2
• C' E=AE= AC' =2 °
即AP+BP的最小值是2:.
故答案为：2二；
(2)如图，在斜边AC上截取AB =AB连结BB.
•/ AD 平分 / BAC,
•••点B与点B关于直线AD对称.
过点B'作B' L AB,垂足为F,交AD于E,连结BE, 则线段B'F勺长即为所求.(点到直线的距离最短)
在RtA AFB中，•••/ BAC=45 , AB =AB=10
•B' F=AB ' ?sin45 °=AB?sin455^2, =10 x
•BE+EF的最小值为' •-.
⑹ I
点评：
此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题以及锐角三角函数关系等知识，根据已知得出对应点 P
位置是解题关键.
（1）观察发现
A 、
B 在直线m 同侧，在直线 m 上找一点P ,使AP+BP 的值最小，做法如下：
m 的对称点B',连接AB',与直线m 的交点就是所求的点 P ,线段AB'的长度即为AP+BP 的最小
E 是AB 的中点，AD 是高，在 AD 上找一点 P ,使BP+PE 的值最小,
做法如下：
作点B 关于AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接CE 交AD 于一点，则这点就是所求的点
P ,故BP+PE 的最小值为
（2 ）实践运用
如图（3）:已知O O 的直径CD 为2，証的度数为60 °点B 是風 的中点，在直径 CD 上作出点P ,使BP+AP 的
值最小，则 BP+AP 的值最小，则 BP+AP 的最小值为..
（3）拓展延伸
如图（4）:点P 是四边形ABCD 内一点，分别在边 AB BC 上作出点M ，点N ,使PM+PN+MN 的值最小，保留作图 痕迹，不写作法.
2 . （2013?六盘水）
如图（1）:若点
圆的综合题；轴对称-最短路线问题.3113559 压轴题. (1) 观察发现：利用作法得到 CE 的长为BP+PE 的最小值；由AB=2,点E 是AB 的中点，
根据等
_1
边三角形的性质得到 CE1AB, / BCE=：/ BCA=30, BE=1，再根据含30度的直角三角形三边的关 系得CE=-
(2) 实践运用：过 B 点作弦BE 丄CD,连结AE 交CD 于P 点，连结OB 、OE 、OA 、PB,根据垂径 定理得到CD 平分BE,即点E 与点B 关于CD 对称，则AE 的长就是BP+AP 的最小值；
由于“的度数为60°,点B 是的中点得到 / BOC=30 , / AOC=60，所以/ AOE=60 +30° =90°, 于是可判断△ OAE 为等腰直角三角形，则 AE=二0A=.'：; (3 )拓展延伸：分别作出点
P 关于AB 和BC 的对称点E 和F ,然后连结EF, EF 交AB 于M 、交
BC 于 N .
解：(1)观察发现
如图(2) , CE 的长为BP+PE 的最小值，
•••在等边三角形 ABC 中，AB=2，点E 是AB 的中点
2
••• CE 丄 AB , / BCE= :/ BCA=30 ,° BE=1, CE= ；BE= 故答案为一：；
(2 )实践运用
如图(3),过B 点作弦BE 丄CD,连结AE 交CD 于P 点，连结 OB 、OE 、OA 、PB, •/ BE 丄 CD,
• CD 平分BE,即点E 与点B 关于CD 对称，
•••AC 的度数为60 ；点B 是AC 的中点，
• / BOC=30 ,° / AOC=60 /
• / EOC=30,°
• / AOE=60 +30 =90 °
•/ OA=OE=1,
• AE=：》O A =--,
••• AE 的长就是 BP+AP 的最小值. 故答案为- 丁；
(3 )拓展延伸 如图(4).
考点 专题 分析
解答:
3. (2012?凉山州)在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题.
如图(1),要在燃气管道I 上修建一个泵站，分别向 A 、B 两镇供气•泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气 管线最短？ 你可以在I 上找几个点试一试，能发现什么规律?
⑴ <2>25
聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法•他把管道 为，要在直线I 上找一点P ,使AP 与BP 的和最小.他的做法是这样的: ① 作点B 关于直线I 的对称点B'. ② 连接AB 交直线I 于点P,则点P 为所求. 请你参考小华的做法解决下列问题•如图在
△ ABC 中，点D 、E 分别是AB AC 边的中点，BC=6, BC 边上的高为4,
请你在BC 边上确定一点 巳使厶PDE 得周长最小. (1) 在图中作出点 P (保留作图痕迹，不写作法). (2)
请直接写出 △ PDE 周长的最小值： 8 .
考点： 轴对称-最短路线问题.3113559 专题： 压轴题.
分析：
(1)根据提供材料 DE 不变，只要求出 DP+PE 的最小值即可，作 D 点关于BC 的对称点D',连接D' E 与BC 交于点P , P 点即为所求； (2)
利用中位线性质以及勾股定理得出 D'啲值，即可得出答案.
解答：
解：(1)作D 点关于BC 的对称点D',连接D' E 与BC 交于点P , P 点即为所求；
(2) •••点D 、E 分别是AB AC 边的中点, ••• DE ABC 中位线，
点评:
I 看成一条直线(图(2)),问题就转化
用到，同时熟练掌握等边三角形的性质以及轴对称-最短路径问题.
•/ BC=6, BC 边上的高为4, ••• DE=3, DD ' =4 • D ' E=「f * 二5, • △ PDE 周长的最小值为： DE+D ' E=3+5=8
故答案为：&
此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及三角形中位线的知识，根据已知得出要求 值，求出
DP+PE 的最小值即可是解题关键.
4. （2010?淮安）（1）观察发现：
如（a ）图，若点A , B 在直线I 同侧，在直线I 上找一点P,使AP+BP 的值最小.
做法如下：作点 B 关于直线I 的对称点B',连接AB'，与直线I 的交点就是所求的点 P.再如（b ）图，在等边三角 形ABC 中，AB=2,点E 是AB 的中点，AD 是高，在 AD 上找一点 P,使BP+PE 的值最小.
做法如下：作点 B 关于AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接CE 交AD 于一点，则这点就是所求的点 P ,故BP+PE
的最小值为
.
（2） 实践运用：
如（c ）图，已知O O 的直径CD 为4, / AOD 的度数为60°点B 是AD 的中点，在直径 CD 上找一点P ,使BP+AP 的值最小，并求 BP+AP 的最小值. （3） 拓展延伸：
考点： 轴对称-
最短路线问题.3113559
分析：
（1 ）首先由等边三角形的性质知， CE1AB ,在直角△ BCE 中，/ BEC=90BC=2 BE=1，由勾股定理可 求出CE 的长度，从而得出结果；
（2） 要在直径CD 上找一点P ,使PA+PB 的值最小，设 A'是A 关于CD 的对称点，连接 A',与CD 的 交点即为点P .此时PA+PB=A B 是最小值，可证 △ OA B 是等腰直角三角形，从而得出结果. （3） 画点B 关于AC 的对称点B',延长DB 交AC 于点P .则点P 即为所求.
解答：
解：（1） BP+PE 的最小值=•八■
] L=.… 」=.';.
点评:
△ PDE 周长的最小
(2)作点A 关于CD 的对称点 A ,连接A B 交CD 于点P,连接OA , AA', OB. •••点A 与A 关于CD 对称，/ AOD 的度数为60 °
•••/ A ， OD=AOD=60 ； PA=PA,' •••点B 是i 的中点，
• / BOD=30 ,°
•••/ A ， O 出A ，OD+BOD=90 ° •/ O O 的直径CD 为4 °
• OA=OA ， =2 • A ， B=2:.
• PA+PB=PA ， +PB=A ，.B=2
(3) 如图d :首先过点 B 作BB 丄AC 于O °且OB=OB , 连接DB 并延长交AC 于P .
(由AC 是BB'的垂直平分线，可得 / APB=Z APD).
此题主要考查轴对称--最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题 转化为求线段问题，其说明最短的依据是三角形两边之和大于第三边.
5. (2009?漳州)几何模型:
条件：如下图，A 、B 是直线I 同旁的两个定点.
问题：在直线I 上确定一点P ,使PA+PB 的值最小.
方法：作点A 关于直线I 的对称点A',连接A'交I 于点P,贝U PA+PB=A B 的值最小(不必证明). 模型应用： (1)
如图1°正方形ABCD 的边长为2 ° E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点.连接 BD,由正方形对称性可知， B 与
D 关于直线AC 对称.连接ED 交AC 于P,贝U PB+P
E 的最小值是 ；
(2) 如图2° O O 的半径为2°点A 、B 、C 在O O 上，OA 丄OB ° / AOC=60 ° P 是OB 上一动点，求 PA+PC 的最小
值；
(3) 如图3° / AOB=45 ° P 是/AOB 内一点，PO=10, Q 、R 分别是 OA 、OB 上的动点，求 △ PQR 周长的最小值. 轴对称-最短路线问题.3113559 压轴题；动点型.
(1) 由题意易得 PB+PE=PD+PE=DE 在厶ADE 中，根据勾股定理求得即可；
(2) 作A 关于OB 的对称点A'°连接A'C 交OB 于P,求A'啲长，即是PA+PC 的最小值;
点评
:
考点 专题 分析
(3)作出点P关于直线OA的对称点M，关于直线OB的对称点N,连接MN，它分别与OA, OB 的交点Q、
R,这时三角形PEF的周长-MN，只要求MN的长就行了.
解答：
解：(1) •••四边形ABCD是正方形，
• AC垂直平分BD,
•PB-PD,
由题意易得：PB+PE-PD+PE-D,
在厶ADE中，根据勾股定理得，DE- T
(2)作A关于OB的对称点A',连接A C交OB于P, PA+PC的最小值即为A'啲长，
•/ / AOC-60 °
•/ A' OC-120 °
作OD丄A'C于D,则 / A OD-60
•••OA' -OA-2
• A' D-；
•I「:;
(3)分别作点P关于OA、OB的对称点M、N,连接OM、ON、MN , MN交OA、OB于点Q、R, 连接
PR、PQ,此时△ PQR周长的最小值等于MN .
由轴对称性质可得，OM=ON=OP=10, / MOA=Z POA,
•••/ MON=2 / AOB=2 X 4590 °
在Rt A MON 中，MN= | 厂I =10 I:.
即厶PQR周长的最小值等于10二
点评:
3
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V
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S
o
此题综合性较强，主要考查有关轴对称--最短路线的问题,
角形的有关知识.
综合应用了正方形、圆、等腰直角三
6. (2006?湖州)如图，已知平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为 A (2, - 3), B (4,—1).
(1)P ( p, 0)是x轴上的一个动点，则当p=工时，△ PAB的周长最短;
(2)
(3) 时，四边形ABDC的周长最短；
M (m, 0)、N (0, n),使四边形ABMN 的
周长最短？若存在，请求出m=
5
-■(不必写解答过程) ；若不存在，请说明理
由.
/ NOB=/ POB,
T C 点的坐标为(a , 0),且在直线A'F 上,
5
••• a="
(3)存在使四边形 ABMN 周长最短的点 M 、N ,
作A 关于y 轴的对称点A',作B 关于x 轴的对称点B',连接A B'与x 轴、y 轴的交点即为点 M 、N ,
• A' (- 2, - 3), B' (4 , 1),
2 卫
•直线A ' 的解析式为：y='x -」,
考点 专题 分析 轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质. 3113559
压轴题. (1)
根据题意，设出并找到 B (4, - 1)关于x 轴的对称点是B',其坐标为(4 ,
1),进而可得直 线AB'的解析式，进而可得答案；
(2) 过A 点作AE 丄x 轴于点E ,且延长AE ,取A'E=AE 做点F (1, - 1),连接A'F .利用两点间 的线段最短，可知四边形 ABDC 的周长最短等于 A'F+CD+AB 从而确定C 点的坐标值.
5
解答: (3)根据对称轴的性质，可得存在使四边形 ABMN 周长最短的点 M 、N ,当且仅当m=：,
时成立.
解：(1)设点B (4, - 1)关于x 轴的对称点是B',其坐标为(4 , 1), 设直线AB'的解析式为y=kx+b ,
n=—
上；
把 A (2, - 3) , B' (4, 1 )代入得:
解得 ••• y=2x - 7 ,
a
令y=0得x=-
即p= -
(2 )过A 点作AE 丄x 轴于点E ,且延长 AE ,取A'E=AE.做点F (1, - 1),连接A'F .那么 3).
A (2,
直线A'F 的解析式为
C K -1)
£ 丄 ,即 y=4x — 5,
O 站 S 5
• M ( 7, 0), N (0, - 8).
C (a , 0),
D (a+3, 0 )是x 轴上的两个动点，则当 a= 1 M , N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点
5
m= —, n=—
考查图形的轴对称在实际中的运用，同时考查了根据两点坐标求直线解析式，运用解析式求直线与 坐标轴的交点等知识.
7. （ 2007?庆阳）需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到
轴对称-最短路线问题.3113559 作图题.
利用轴对称图形的性质可作点
A 关于公路的对称点 A ,连接A',与公路的交点就是点 P 的位置.
本题主要是利用轴对称图形来求最短的距离.用到的知识：两点之间线段最短.
8. （2006?贵港）如图所示，在一笔直的公路 MN 的同一旁有两个新开发区 A , B ,已知AB=10千米，直线 AB 与公 路MN 的夹角/ AON=30，新开发区B 到公路MN 的距离BC=3千米. （1）
新开发区A 到公路MN 的距离为 8 ;
（2） 现要在MN 上某点P 处向新开发区 A , B 修两条公路PA , PB,使点P 到新开发区A , B 的距离之和最短.此时 PA+PB= 14 （千米）
.
点评
:
A ,
B 两个城市的距离之和最小，请作出机场的
考点 专题 分析 解答
点评
:
O 站
考点： 轴对称-最短路线问题.3113559 专题： 计算题；压轴题.
分析：
(1)先求出0B 的长，从而得出 0A 的长，再根据三角函数求得到公路的距离.
(2)根据切线的性质得 EF=CD=BC=3 AF=AE+EF=AE+BC=1,再根据余弦概念求解.
解答： 解：(1) •/ BC=3, / AOC=30 , •••0B=6.
过点A 作AE 丄MN 于点E , A0=AB+0B=16
• AE=8.
即新开发区A 到公路的距离为8千米；
(2)过D 作DF 丄AE 的延长线(点 D 是点B 关于MN 的对称点)，垂足为F . 贝U EF=CD=BC=3 AF=AE+EF=AE+BC=1,1 过B 作BG 丄AE 于G ,
• BG=DF ,
•/ BG=AB?cos30 ° -'=5
•
Q 二麻护
*D 严二Jilt (MT )豆二“196 二 14
连接 PB,贝U PB=PD,
• PA+PB=PA+PD=AD=1（千米）.
点评： 此题主要考查学生利用轴对称的性质来综合解三角形的能力.
9. (2006?巴中)如图： (1) 若把图中小人平移，使点 A 平移到点B ,请你在图中画出平移后的小人；
(2)
若图中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸边 I 上点P 处喝
水后，再游到 B ,但要使游泳的路程最短，试 在图中画出点 P 的位置
.
考点： 轴对称-最短路线问题；作图-轴对称变换；作图-平移变换.3113559 专题： 作图题.
分析： 根据平移的规律找到点 B ,再利用轴对称的性质和两点之间线段最短的性质，找到点 A 的对称点,
连接A1B 与I 相交于点P,即为所求.
点评：
本题考查的是平移变换与最短线路问题.
最短线路问题一般是利用轴对称的性质解题，通过作轴对称图形，利用轴对称的性质和两点之间线 段最短可求出所求的点.
作平移图形时，找关键点的对应点也是关键的一步•平移作图的一般步骤为：确定平移的方向和距 离，先确定一组对应点； ②确定图形中的关键点； ③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有 关键点的对应点； ④按原图形顺序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形.
10 . （2003?泉州）如图，在直角坐标系中，等腰梯形 ABB1A1的对称轴为y 轴.
（1） 请画出：点 A 、B 关于原点O 的对称点A2、B2 （应保留画图痕迹，不必写画法，也不必证明）
；
（2） 连接A1A2、B1B2 （其中A2、B2为（1）中所画的点），试证明：x 轴垂直平分线段 A1A2、B1B2；
（3） 设线段AB 两端点的坐标分别为 A （- 2, 4）、B （ - 4, 2）,连接（1）中A2B2,试问在x 轴上是否存在点 C , >△ A1B1C 与厶A2B2C 的周长之和最小？若存在，求出点 C 的坐标（不必说明周长之和最小的理由）
；若不存在，
请说明理由
.
解答
:
解：I 一! ： f ! I —丄丄；
考点：作图-轴对称变换；线段垂直平分线的性质；轴对称-最短路线问题.3113559
专题：作图题；证明题；压轴题；探究型.
分析：(1)根据中心对称的方法，找点A2, B2,连接即可.
(2 )设 A (xl, y1 )、B (x2, y2)依题意与(1)可得A1 (- x1, y1), B1 (- x2, y2), A2 (- x1,
-y1) , B2 (- x2,- y2),得到A1、B1关于x轴的对称点是A2、B2,所以x轴垂直平分线段A1A2、B1B2.
(3)根据A1与A2, B1与B2均关于x轴对称，连接A2B1交x轴于C,点C为所求的点.根据题意得B1 (4,
2), A2 (2,- 4)
设直线A2B1的解析式为y=kx+b则利用待定系数法•解得I，所以可求直线A2B1的解析式
10 10 22
为y=3x- 10.令y=0,得x=3 ,所以C的坐标为(3,0).即点C^ , 0)能使△A1B1C与厶A2B2C 的周长之和最小.
解答：解：(1)如图，A2、B2为所求的点.
(2 )设 A (x1 , y1)、B (x2, y2)
依题意与(1)可得A1 (- x1, y1) , B1 (- x2, y2), A2 (- x1,- y1) , B2 (- x2 , - y2)
••• A1、B1关于x轴的对称点是A2、B2 ,
••• x轴垂直平分线段A1A2、B1B2.
(3 )存在符合题意的C点.
由(2)知A1与A2 , B1与B2均关于x轴对称，
•连接A2B1交x轴于C,点C为所求的点.
T A (- 2 , 4) , B (- 4 , 2)依题意及(1 )得：
B1 (4, 2), A2 (2, - 4).
r4k^b=2
设直线A2B1的解析式为y=kx+b则有［乐+b二T 解得(b二- 1°
•直线A2B1的解析式为y=3x- 10 ,
110
令y=0,得x=
点评： 主要考查了轴对称的作图和性质， 以及垂直平分线的性质. 要知道对称轴垂直平分对应点的连线. 会
根据此性质求得对应点利用待定系数法解一次函数的解析式是解题的关键.
11. （2001?宜昌）某大型农场拟在公路 L 旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地 A 、B 的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益•请你在图中标明加工厂所在的位置 C ,使A 、B 两地到加
工厂C 的运输路程之和最短.（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）
A
B
■-
轴对称-最短路线问题.3113559 作图题.
作A 关于直线L 的对称点E ,连接BE 交直线L 于C ,则C 为所求.
本题主要考查对轴对称-最短路线的问题的理解和掌握，根据题意正确画出图形是解此题的关键,
12 . （2012?淮安）阅读理解
如图1 , △ ABC 中，沿/ BAC 的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 / B1A1C 的平分线A1B2折叠，剪掉
重复部分；…；将余下部分沿/ BnAnC 的平分线AnBn+1折叠，点Bn 与点C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次 恰好重合，
/ BAC 是△ ABC 的好角.
小丽展示了确定 / BAC 是厶ABC 的好角的两种情形.情形一：如图 2,沿等腰三角形 ABC 顶角/ BAC 的平分线AB1 折叠，点B 与点C 重合；情形二：如图 3，沿/ BAC 的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 / B1A1C 的 平分线A1B2折叠，此时点B1与点C 重合. 探究发现 考点 专题 分析 解答
点评:
w
••• C 的坐标为（：；，0）
BAC是不是△ ABC的好角？是（填是”或不是”）.
（2）小丽经过三次折叠发现了 / BAC是厶ABC的好角，请探究 / B与/C （不妨设/ B>Z C）之间的等量关系•根据以上内容猜想：若经过n次折叠/ BAC是厶ABC的好角，则/ B与/ C （不妨设/ B>Z C）之间的等量关系为 / B=n/ C •
应用提升
（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15° 60° 105°发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角.
请你完成，如果一个三角形的最小角是4°试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的
考点：翻折变换（折叠问题）• 3113559
专题：压轴题；规律型.
分析：（1 ）在小丽展示的情形二中，如图3，根据根据三角形的外角定理、折叠的性质推知/ B=2/ C;
（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知/ A1A2B2=/ C+/ A2B2C=2Z C;
根据四边形的外角定理知/ BAC+2Z B - 2C=180①，根据三角形ABC的内角和定理知 / BAC+/ B+/
C=180。

②由①② 可以求得 / B=3 / C;
利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：/ B=n/ C;
（3）利用（2）的结论知 / B=n/C, / BAC是厶ABC的好角，/ C=n/ A, / ABC是厶ABC的好角， /
A=n/ B, / BCA是厶ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是4、
172; & 168; 16、160; 44、132; 88 ° 88 °
解答：解：（1）△ ABC中，/ B=2/ C,经过两次折叠， / BAC是厶ABC的好角；
理由如下：小丽展示的情形二中，如图3,
•••沿/ BAC的平分线AB1折叠，
••• / B=/ AA1B1;
又•••将余下部分沿/ B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，
•/ A1B1C=/ C;
•/ / AA1B1=/ C+/ A1B1C （外角定理），
•/ B=2/ C, / BAC是厶ABC 的好角.
故答案是：是；
（2） / B=3/ C;如图所示，在△ ABC中，沿/ BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿/
B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿/ B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重
合，则/ BAC是厶ABC的好角.
证明如下：•••根据折叠的性质知，/ B=/ AA1B1, / C=/ A2B2C, / A1 B1C=/ A1A2B2,
•根据三角形的外角定理知，/ A1A2B2=/ C+/ A2B2C=2Z C;
•••根据四边形的外角定理知，/ BAC+/ B+/ AA1B1- / A1 B1C=/ BAC+2/ B- 2/ C=180 ,
根据三角形ABC的内角和定理知，/ BAC+/ B+/ C=180,
•/ B=3/ C;
由小丽展示的情形一知，当 / B=/ C时，/ BAC是厶ABC的好角；
由小丽展示的情形二知，当 / B=2/ C时，/ BAC是厶ABC的好角；
由小丽展示的情形三知，当 / B=3/ C时，/ BAC是厶ABC的好角；
故若经过n次折叠/ BAC是厶ABC的好角，则/ B与/C （不妨设/ B> / C）之间的等量关系为 / B=n/ C;。