初二轴对称图形难题总结

初二轴对称图形难题总结

如图（a）,点A、B在直线I的同侧，要在直线I上找一点C,使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于I的对称点B',连接A B与直线I交于点C,则点C即为所求.

（1）实践运用：

如图（b）,已知，O O的直径CD为4,点A在O O 上, / ACD=30 , B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP 的最小值为 ____________________ .

（2）知识拓展：

如图（c）,在Rt A ABC中，AB=10, / BAC=45 , / BAC的平分线交BC于点D, E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程.

2. （1）观察发现

如图（1）:若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P,使AP+BP的值最小，做法如下：

作点B关于直线m的对称点B',连接AB',与直线m的交点就是所求的点P,线段AB'的长度即为AP+BP的最小

如图（2）:在等边三角形ABC中，AB=2,点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P,使BP+PE的值最小, 做法如下：

作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P,故BP+PE的最小值为（2 ）实践运用

如图（3）：已知O O的直径CD为2，配的度数为60 °点B是AC的中点，在直径CD上作出点P,使BP+AP的

（3）拓展延伸

如图（4）:点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB BC上作出点M，点N,使PM+PN+MN的值最小，保留作图痕迹，不写作法.

如图（1）,要在燃气管道I上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气•泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

你可以在I上找几个点试一试，能发现什么规律？

人/I

* / V

y ■-r

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P \% H

* *

B4 5 6 7 8 9

⑴⑵

聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法•他把管道I看成一条直线（图（2））,问题就转化为，要在直线I上找一点P,使AP与BP的和最小.他的做法是这样的：

①作点B关于直线I的对称点B'.

②连接AB交直线I于点P,则点P为所求.

请你参考小华的做法解决下列问题•如图在△ ABC中，点D、E分别是AB AC边的中点，BC=6, BC边上的高为4,

请你在BC边上确定一点巳使厶PDE得周长最小.

（1）在图中作出点P （保留作图痕迹，不写作法）.

（2）请直接写出△ PDE周长的最小值：__________ .

4（1）观察发现：

如（a）图，若点A, B在直线I同侧，在直线I上找一点P,使AP+BP的值最小.

做法如下：作点B关于直线I的对称点B',连接AB'，与直线I的交点就是所求的点P.再如（b）图，在等边三角

形ABC中，AB=2,点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P,使BP+PE的值最小.

做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P,故BP+PE 的最小值为___________ .

（2）实践运用：

如（c）图，已知O O的直径CD为4, / AOD的度数为60°点B是肛＜的中点，在直径CD上找一点P,使BP+AP

的值最小，并求BP+AP的最小值.

（3）拓展延伸：

8,

(a)

5.几何模型：

条件：如下图, A、B是直线I同旁的两个定点.

久

问题：在直线I 上确定一点P ,使PA+PB 的值最小.

方法：作点A 关于直线I 的对称点A',连接A'B 交I 于点P,贝U PA+PB=A B 的值最小(不必证明).

模型应用：

(1)

如图

1,正方形ABCD 的边长为2, E 为AB 的中点，P 是AC 上一动点.连接 BD,由正方形对称性可知， B 与

D 关于直线AC 对称.连接ED 交AC 于P,贝U PB+P

E 的最小值是 ______________ ;

(2) 如图2, O O 的半径为2,点A 、B 、C 在O O 上，0A 丄OB , / AOC=60 , P 是0B 上一动点，求 PA+PC 的最小 值； (3) 如图3, / AOB=45 , P 是/AOB 内一点，PO=10, Q 、R 分别是 OA 、0B 上的动点，求 △ PQR 周长的最小值. 6.如图，已知平面直角坐标系，

A 、

B 两点的坐标分别为 A (2, - 3), B (4,- 1).

(1) __________________________________________________ 若P ( p , 0)是x 轴上的一个动点，则当 p= 时，△ PAB 的周长最短；

(2) _____________________________________________________________ 若C (a , 0), D (a+3, 0 )是x 轴上的两个动点，则当 a= _____________________________________________________ 时，四边形ABDC 的周长最短； (3)

设M , N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点

M (m , 0)、N (0, n ),使四边形ABMN 的

周长最短？若存在，请求出 m= ____________ , n= ___________ (不必写解答过程)；若不存在，请说明理由.

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8 .如图所示，在一笔直的公路 MN 的同一旁有两个新开发区 A , B ,已知AB=10千米，直线 AB 与公路MN 的夹角 / AON=30 ；新开发区 B 到公路MN 的距离BC=3千米.

a

y

E1

圈2

图孑

A ,

B 两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置.

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3.

公曙

7 .需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到