圆周运动中的“不脱轨”问题典例
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圆周运动中的“不脱轨”问题典例
河南省信阳高级中学 陈庆威 2016.8.30
对竖直面内的圆周运动的临界问题，大部分同学都知道恰能通过 最高点而不脱轨的临界速度是 gr ，而容易忽略不脱轨问题中隐含的 另外一种情况：就是物体最多只能上升到与圆心等高处，在半圆以下 轨道处返回。笔者在此收集了高中阶段比较典型的三个例题，相信， 通过下面三个例题的详细解析，能给很多在该问题上有困惑的学生以 启发。
解得
为了保证圆轨道不重叠，R3 最大值应满足 解得 R3=27.9m 综合 I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下
面的条件 或 当
时，小球最终停留点与起始点 A 的距离为 L′，则
当
时，小球最终停留点与起始点 A 的距离为 L〞，则
5
三个圆形轨道的最低点，B、C 间距与 C、D 间距相等，半径
、
。一个质量为
kg 的小球（视为质点），从轨道的左侧
A 点以
的初速度沿轨道向右运动，A、B 间距
m。小球
与水平轨道间的动摩擦因数
，圆形轨道是光滑的。假设水平轨
道足够长，圆形轨道间不相互重叠。重力加速度取 果保留小数点后一位数字。试求：
，计算结
① 小球在最高点受到重力 mg 和轨道对得
② ③
（2）设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为 v2，由题意
④
⑤
由④⑤得
⑥
（3）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：
I．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速
度为 v3，应满足
⑦ ⑧
4
由⑥⑦⑧得 II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为 R3，根据动能定理
（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的
大小？
（2）如果小球恰能通过第二个圆形轨道，B、C 间距应是多少？
（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个
圆形轨道的设计中，半径 应满足的条件；小球最终停留点与起点的 距离。
3
【解析】 （1）设小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度为 v1，由动能定理：
1
某个最大值 v2，则 1mv22＝mgL 2
满足此条件的速度为 v0≤v2＝ 2gL 故水平初速度 v0 的范围为：v0≥ 5gL或 v0≤ 2gL. 例 2.如图所示是翻滚过山车的模型，光滑的竖直圆轨道半径 R＝2 m， 入口的平直轨道 AC 和出口的平直轨道 CD 均是粗糙的，质量为 m＝2 kg 的小车与水平轨道之间的动摩擦因数均为μ＝0.5，加速阶段 AB 的长 度为 l＝3 m，小车在 A 点由静止开始受到 F＝60 N 的水平拉力作用， 在 B 点撤去拉力，试问： (1)要使小车恰好通过圆轨道的最高点，小车在 C 点的速度为多 少？ (2)在满足第(1)问的条件下，小车沿着出口水平轨道 CD 滑行多 远的距离？ (3)要使小车不脱离轨道，求平直轨道 BC 段的长度范围．
Fl－μmg(l＋sBC)＝12mv2C， sBC≤5 m. 小车进入圆轨道时，上升的高度小于 R＝2 m 时，小车返回而不 会脱离轨道： Fl－μmg(l＋sBC)－mgh＝0－0，h≤2 m，sBC≥11 m， 综上可得：sBC≤5 m 或 sBC≥11 m 小车不脱离轨道．
例 3.过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型， 它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D 分别是
例 1.如图所示，小球被长为 L 的细绳静止地悬挂着，给小球多大的 水平初速度，才能使绳在小球运动过程中始终绷紧？
【解析】 在小球运动过程中绳始终绷紧，有两种情况： (1)小球能通过最高点，做完整的圆周运动．此时小球在最高点 有最小速度 v＝ gL，设最低点的速度为 v1，则由机械能守恒定律有 1mv21＝1mv2＋2mgL 22 满足此条件的水平速度为 v0≥v1＝ 5gL. (2)小球只能摆动到悬点高度下的某一位置，做不完整的圆周运 动．此时小球在最高点运动的速度为零，这意味着小球的初速度存在
【解析】 (1)设最高点的速度为 v0：mg＝mRv20，
由 C 点到最高点满足机械能守恒定律：
1mv2C＝mg2R＋1mv20
2
2
vC＝10 m/s. (2)动能定理：－μmgsCD＝0－12mv2C，
sCD＝10 m.
2
(3)小车经过 C 点的速度大于 10 m/s 就能做完整圆周运动，由动 能定理：
河南省信阳高级中学 陈庆威 2016.8.30
对竖直面内的圆周运动的临界问题，大部分同学都知道恰能通过 最高点而不脱轨的临界速度是 gr ，而容易忽略不脱轨问题中隐含的 另外一种情况：就是物体最多只能上升到与圆心等高处，在半圆以下 轨道处返回。笔者在此收集了高中阶段比较典型的三个例题，相信， 通过下面三个例题的详细解析，能给很多在该问题上有困惑的学生以 启发。
解得
为了保证圆轨道不重叠，R3 最大值应满足 解得 R3=27.9m 综合 I、II，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下
面的条件 或 当
时，小球最终停留点与起始点 A 的距离为 L′，则
当
时，小球最终停留点与起始点 A 的距离为 L〞，则
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三个圆形轨道的最低点，B、C 间距与 C、D 间距相等，半径
、
。一个质量为
kg 的小球（视为质点），从轨道的左侧
A 点以
的初速度沿轨道向右运动，A、B 间距
m。小球
与水平轨道间的动摩擦因数
，圆形轨道是光滑的。假设水平轨
道足够长，圆形轨道间不相互重叠。重力加速度取 果保留小数点后一位数字。试求：
，计算结
① 小球在最高点受到重力 mg 和轨道对得
② ③
（2）设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为 v2，由题意
④
⑤
由④⑤得
⑥
（3）要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：
I．轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速
度为 v3，应满足
⑦ ⑧
4
由⑥⑦⑧得 II．轨道半径较大时，小球上升的最大高度为 R3，根据动能定理
（1）小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的
大小？
（2）如果小球恰能通过第二个圆形轨道，B、C 间距应是多少？
（3）在满足（2）的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个
圆形轨道的设计中，半径 应满足的条件；小球最终停留点与起点的 距离。
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【解析】 （1）设小球经过第一个圆轨道的最高点时的速度为 v1，由动能定理：
1
某个最大值 v2，则 1mv22＝mgL 2
满足此条件的速度为 v0≤v2＝ 2gL 故水平初速度 v0 的范围为：v0≥ 5gL或 v0≤ 2gL. 例 2.如图所示是翻滚过山车的模型，光滑的竖直圆轨道半径 R＝2 m， 入口的平直轨道 AC 和出口的平直轨道 CD 均是粗糙的，质量为 m＝2 kg 的小车与水平轨道之间的动摩擦因数均为μ＝0.5，加速阶段 AB 的长 度为 l＝3 m，小车在 A 点由静止开始受到 F＝60 N 的水平拉力作用， 在 B 点撤去拉力，试问： (1)要使小车恰好通过圆轨道的最高点，小车在 C 点的速度为多 少？ (2)在满足第(1)问的条件下，小车沿着出口水平轨道 CD 滑行多 远的距离？ (3)要使小车不脱离轨道，求平直轨道 BC 段的长度范围．
Fl－μmg(l＋sBC)＝12mv2C， sBC≤5 m. 小车进入圆轨道时，上升的高度小于 R＝2 m 时，小车返回而不 会脱离轨道： Fl－μmg(l＋sBC)－mgh＝0－0，h≤2 m，sBC≥11 m， 综上可得：sBC≤5 m 或 sBC≥11 m 小车不脱离轨道．
例 3.过山车是游乐场中常见的设施。下图是一种过山车的简易模型， 它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D 分别是
例 1.如图所示，小球被长为 L 的细绳静止地悬挂着，给小球多大的 水平初速度，才能使绳在小球运动过程中始终绷紧？
【解析】 在小球运动过程中绳始终绷紧，有两种情况： (1)小球能通过最高点，做完整的圆周运动．此时小球在最高点 有最小速度 v＝ gL，设最低点的速度为 v1，则由机械能守恒定律有 1mv21＝1mv2＋2mgL 22 满足此条件的水平速度为 v0≥v1＝ 5gL. (2)小球只能摆动到悬点高度下的某一位置，做不完整的圆周运 动．此时小球在最高点运动的速度为零，这意味着小球的初速度存在
【解析】 (1)设最高点的速度为 v0：mg＝mRv20，
由 C 点到最高点满足机械能守恒定律：
1mv2C＝mg2R＋1mv20
2
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vC＝10 m/s. (2)动能定理：－μmgsCD＝0－12mv2C，
sCD＝10 m.
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(3)小车经过 C 点的速度大于 10 m/s 就能做完整圆周运动，由动 能定理：