单自由度强迫振动

取值多少,当r＝1时都有＝p/2,即曲线都交于(1,p/2)
这一点。这一现象可以用来测定系统的固有频率;
• r →∞时, →p, 激振力与位移反相, 系统平稳运行;
• r →0时, →0, 激振力与位移同相, 近似静位移.
第3章 单自由度系统强迫振动
3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
3.1 单自由度系统在谐和 激振下的强迫振动
所谓谐和激励就是正弦或余弦激励。
设激励为 F(t)=F0sinwt ，这 里 w为激振频率，利用牛顿定 律并引入阻尼比x 可得到
F0 x 2wnx x w x sin wt m
2 n
第3章 单自由度系统强迫振动
3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
量为 p (M m) x m( x wl cos w t )
Mx mwl cos w t
利用动量定理得
dp Mx mw 2l sin w t cx k ( x st ) mg dt
cx kx mlw sin w t M x
F0 / k
w 其中： r wn
第3章 单自由度系统强迫振动
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3.1.2 非齐次方程的通解—— 瞬态振动和稳态振动的叠加(P39-40)
方程
的全解为：
F0 x 2wnx x w x sin wt m
2 n
x(t ) exwn t ( A1 cos wn 1 x 2 t
A2 sin wn 1 x t )
15
稳态响应分析(P34-39)
1. 稳态响应xp=X0sin(wt－)的性质(P34)
（ 1 ）在谐和激振条件下 , 响应也是谐和
的,其频率与激振频率相同;
（2）谐和激励强迫振动的振幅X0和相位 角φ决定于系统本身的物理性质和激振力 的大小与频率，与初始条件无关;
第3章 单自由度系统强迫振动
3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
1 x (r2 r1 ) 2
级数展开后近似为 则
所以
wn 1 1 Q 2x r2 r1 w2 w1
3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
第3章 单自由度系统强迫振动
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利用上式可以估算系统的阻尼比 x ，当
Q>5或x<0.1时其误差不超过3％。
通常把共振区取为
w1 w2 r1 r r2 wn wn
3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
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由此得到
z F0 H (w )e
*
iwt
F0 / k iwt e i Ce
2

F0 / k (1 r ) (2x r )
2 2
ei (wt )
F0 H (w ) e
i (wt )
X 0e
i (wt )
第3章 单自由度系统强迫振动
1 2x 1 x 2
1 2 2 2 2x (1 r ) (2x r )
1
由此看出：当 x 很小时的 R 和 Rmax 相差 很小，所以在工程中通常认为当 w＝wn 时 发生共振。
第3章 单自由度系统强迫振动
3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
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3. 相频特性曲线（P37）
以 x 为参数 ,
失，称为瞬态响应或暂态响应；
最后只剩下第三部分
X 0 sin(w t ) ，代表
与激振力同形式的等幅的强迫振动，称为稳态响 应，这才是我们最关心的。
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3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
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若为余弦激励, 则响应（解）为：
x0 xwn x0 xe sin wd t x0 cos wd t wd xw t xwn cos w sin X 0e sin wd t cos cos wd t wd
xwn t
n
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X 0 cos(w t )
系数X0和与正弦激励相同。
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无阻尼系统的响应（解） 正 弦 激 励
x
wn
x0
sin wnt x0 cos wnt
F0 sin wt r sin wn t 2 k (1 r )
得
r 2 (1 2x 2 ) 2x 1 x 2
当x<<1时,略去x 2以上小量得
r 1 2x
2
第3章 单自由度系统强迫振动
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则
r12 1 2x r1 1 x
r2 r1 2x
r22 1 2x r2 1 x
3
3.1.1 非齐次方程的特解（P33-34） 齐次方程的通解上章已经给出。设其特解为:
x p X 0 sin(wt )
代入方程确定系数X0和为：
X0
, arctan 2x r (1 r 2 ) 2 (2x r ) 2 1 r2
为频率比。
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令 1 r 2 2ix r Cei
C (cos i sin )
比较系数得
1 r 2 C cos 2x r C sin
求得C和为
C (1 r ) (2x r )
2 2
2
2x r arctan 2 1 r
第3章 单自由度系统强迫振动
*
1/ k iwt F0 e 2 1 r 2ix r
令
1/ k H (w ) 2 1 r 2ix r
则
z H (w ) F0e
*
iw t
H(w) 称为复频率响应函数，是系统对频 率为w 的单位谐干扰力的复响应的振幅。
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3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
F0 iw t z 2wnx z w z e m
2 n
其实部和虚部分别分别代表余弦和
正弦激励。令其特解为
z Ze
*
iw t
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代入方程得到
F0 / m iw t z 2 e 2 wn w 2ixwnw
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（ 3 ）强迫振动振幅 X0 的大小，在工程 实际中具有重要的意义。如果振幅超过
允许的限度，构件就会产生过大的交变
应力而导致疲劳破坏，或影响机械加工 或仪表的测量精度。因此在振动工程中 必需控制振幅的大小。
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3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
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2. 幅频特性曲线（P35） 对于稳态响应，定义动力放大系数
因此加大阻尼可以有效降低共振振幅。

R
2r [(1 r 2 ) 2 (2x r ) 2 ]3
(2x 2 1 r 2 )
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令其等于0得
r 1 2x
2
2
2
即w 1 2x wn时 Rmax＝
而 r＝ 1 时 R
xwnt
上述解的第一部分代表由初始条件引
起的自由振动;
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第二部分
X 0e
xwnt
xwn sin w cos sin wd t sin cos wd t wd
代表由干扰力引起的自由振动。 这两部分都是衰减振动，随时间的推移而消
x0
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所以线性阻尼振动系统在正弦激励作用下的响 应（解）最终表示为:
xe
xwn t
x0 xwn x0 sin wd t x0 cos wd t wd
xwn sin w cos X 0e sin wd t sin cos wd t wd X 0 sin(w t )
3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
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这里的X0与和前面方法给出的结果一
样，即
X0
F0 / k (1 r 2 ) 2 (2x r ) 2
2x r arctan 1 r2
分别取 z* 式的实部和虚部就是对应于 余弦和正弦激励的稳态响应。
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r
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R
讨论：
• r<<1时(近似静载),R≈1。即
响应幅值近似等于激振力幅 值F0所引起的静位移F0/k; • r >>1时
r
1 R 2 (1 r 2 ) 2 (2x r ) 2 r
1
0
F0 F0 X0 2 2 2 2 2 kr m w (1 r ) (2x r )
R为响应的振幅X0与最大干扰力F0所引
起的静位移的比值：
X0 1 R F0 / k (1 r 2 ) 2 (2x r ) 2
以x为参数，画出R-r 曲线即幅频特 性曲线，表明了阻尼和激振频率对响
应幅值的影响。
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R
两点的激振频率为w1、w2， q1、q2 称为半功率
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R
Q 2
q1
q2
1 Q＝ 2x
w1/ wn 1 w2/ wn
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r
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3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
求出动力放大系数对应于两点q1、q2的
两个用x 表示的根。由
Q 1 1 R(x ) 2 2x 2 (1 r 2 ) 2 (2x r ) 2
共振区内的频率响应曲线称为共振峰。
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3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
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【例】总质量为 M的振动机支承在弹簧 k和阻尼 器c上,两个偏心质量m/2绕相反方向以等角速度 w转
动。试讨论振动机在其平衡位置附近的运动。
第3章 单自由度系统强迫振动
举 例
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解：用动量定理求振动方程。 x 方向的动
画出 -r 曲线即

相频特性曲线 ,
表明了阻尼和 激振频率对相 位差的影响。
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3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
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讨论：
• 从图中可以看出 , 无阻尼情况下
的曲线是由 ＝ 0 和 ＝ p 的半直线 段组成,在r＝1处发生间断;

• 有阻尼时为在0～p之间变化的光滑曲线,并且不论
2
X 0 sin(w t )
第3章 单自由度系统强迫振动
3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
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系数A1和A2由初始条件确定。设t＝0时,
x 0 x x0 , x
则：
A1 x0 X 0 sin
xwn X 0w A2 ( x0 X 0 sin ) cos wd w d wd
余 弦 激 励
x
wn
x0
sin wnt x0 cos wnt
F0 cos wt cos wn t 2 k (1 r )
3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
第3章 单自由度系统强迫振动
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3.1.3 频率域研究方法—— 频率响应函数和复参数（P42-45） 将振动方程写为复数形式
振幅的大小主要决定于系统的惯性。这就是高速 旋转的机器正常工作时运转非常平稳的原因。
第3章 单自由度系统强迫振动
3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
F0 / k
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R

r≈1 （激振频率接近固有频
r
率）时， R迅速增大，振幅很
大，这种现象称为共振;

阻尼比 x 的影响 : 阻尼越小，共振越厉害。 共振位置：将R对r求导数
第3章 单自由度系 统强迫振动
第3章 单自由度系统强迫振动
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系统在外部激励作用下的振动称为受
迫振动或强迫振动。
自由振动只是系统对初始扰动 ( 初始
条件)的响应。由于阻尼的存在,振动现象
很快就会消失。
要使振动持续进行，必须有外界激励 输入给系统, 以补充阻尼消耗的能量。
第3章 单自由度系统强迫振动
2
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4. 品质因子（P36)
工程上通常把共振时的动力放大系数称
为品质因子，记为Q：
直线在共振区附近截出两点 q1、 q2，对应于这
点，w1、w2 之差称为系统的半功率带宽。
第3章 单自由度系统强迫振动
3.1 单自由度系统在谐和激振下的强迫振动
Q 在频率响应曲线上用 R＝ 的一条水平 2
1 Q＝ 2x