高一数学必修五知识点总结

n k 1
1 d
1
ak
1 ak 1
1 d
1
a1
1 a2
1 a2
1 a3
……
1 an
1 an1
1
1
1
d a1 an1
［练习］求和：1
1 1
2
1
1 2
3
……
1
2
3
1
……
n
an
……
……，Sn
2
1 n 1
（2）错位相减法
8
若an 为等差数列，bn 为等比数列，求数列 anbn（差比数列）前 n 项和，
1
1
xn
x2
nxn 1 x
，
x
1 时， Sn
1 2 3 …… n
n n 1
2
（3）倒序相加法
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
Sn Sn
a1 an
a2 an
1
…… an 1 …… a2
an a1
相加
2Sn
a1
an
a2
an 1
…
a1
an
…
［练习］已知
f
(x)
x2 1 x2
（2） Sn，S2n Sn，S3n S2n …… 仍为等比数列,公比为 q n .
注意：由 Sn 求 an 时应注意什么？
n 1 时， a1 S1 ；
n 2 时， an Sn Sn1 .
3．求数列通项公式的常用方法
（1）求差（商）法
如：数列an ，
1 2
a1
1 22
a2
……
1 2n
an
（2）数列 a2n1 , a2n ,a2n1仍为等差数列， Sn，S2n Sn，S3n S2n …… 仍为
等差数列，公差为 n2d ；
（3）若三个成等差数列，可设为 a d，a，a d
（4）若
an，bn
是等差数列，且前
n
项和分别为
Sn，Tn
，则
am bm
S 2m 1 T2m 1
（5）an 为等差数列 Sn an2 bn （ a，b 为常数，是关于 n 的常数项为 0
题型 2【解三角形及求面积】
一般地，把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几 个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
例 2.在 ABC 中， a 1 ， b 3 ， A 300 ，求 的值 例 3.在 ABC 中，内角 A, B, C 对边的边长分别是 a, b, c ，已知 c 2 ， C ．
2n
5
，求
an
解
n
1 时，
1 2
a1
21
5
，∴
a1
14
①
n
2
时，
1 2
a1
1 22
a2
……
1 2 n1
a n1
2n
1
5
②
①—②得：
1 2n
an
2 ，∴ an
2n1
，∴ an
14 (n 1) 2n1 (n 2)
6
［练习］数列 an
满足
Sn
S n 1
5 3
an 1，a1
4
，求
an
注意到 an1
已知三角形的三边为 a,b,c,
【面积公式】
2
1. S
1 2
aha
1 2
ab
sin C
1 2
r (a
b
c)
（其中 r
为三角形内切圆半径）
2.设 p 1 (a b c) , S p( p a)( p b)( p c) 2
【三角形中的常见结论】
（
1
）
A BC
(2)
sin( A B) sin C, cos( A B) cos C, tan( A B) tan C,
an1 an 2
∴
1
为等差数列，
1
1，公差为 1 ，∴
1
1 n 1·1 1 n 1 ，
an
a1
2
an
22
∴
an
2 n 1
(
附：
a 公式法、利用 n
S1(n1)
Sn Sn1 (n2) 、 累 加 法 、 累 乘 法. 构 造 等 差 或 等 比
an1 pan q 或 an1 pan f (n) 、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归
（4）三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
（5）三角形中最大角大于等于 60 ，最小角小于等于 60
(6) 锐角三角形 三内角都是锐角 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角
任意两边的平方和大于第三边的平方.
钝角三角形 最大角是钝角 最大角的余弦值为负值
（7） ABC 中，A,B,C 成等差数列的充要条件是 B 60 .
3 （Ⅰ）若 ABC 的面积等于 3 ，求 a, b ； （Ⅱ）若 sin C sin(B A) 2 sin 2 A ，求 ABC 的面积．
题型 3【证明等式成立】
证明等式成立的方法：（1）左 右，（2）右 左，（3）左右互相推.
例 4.已知 ABC 中，角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ，求证： a b cos C c cos B .
纳法、换元法
) 4. 求数列前 n 项和的常用方法
(1) 裂项法 把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项.
如：an
是公差为
d
的等差数列，求
n k 1
ak
1 ak
1
解：由 1 ak·ak 1
ak
1
ak d
1 d
1 ak
1 ak 1
d
0
∴
n k 1
1 ak ak 1
高中数学必修五知识点总结 解直角三角形...............2 数列.......................5 不等式.....................11
1
解三角形复习知识点
一、知识点总结
【正弦定理】
1．正弦定理: a b c 2R (R 为三角形外接圆的半径). sin A sin B sin C
Sn1
Sn
，代入得
Sn1 Sn
4 又 S1 ；
4 ，∴Sn 是等比数列，Sn
4n
n 2 时， an Sn Sn1 …… 3·4n1
（2）叠乘法
如：数列an 中， a1
3，an1 an
n n 1
，求 an
解
a2·a3 a1 a2
…… an an1
1·2 …… n 1
23
n
，∴
an a1
1 n
如果一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正 着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序 相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识 的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前 n 项和公式的推导，用 的就是“倒序相加法”。
d
，∴
x
d c 1
，∴
an
d c 1
是首项为
a1
d ，c c 1
为公比的等比数
列
∴ an
d c 1
a1
c
d
1
·c
n
1
，∴
an
a1
c
d
1
c
n1
d c 1
（5）倒数法
7
如： a1
1，an1
2an an 2
，求
an
由已知得： 1 an 2 1 1 ，∴ 1 1 1
an1 2an 2 an
点时，与灯塔 A 的距离是多少？
4
数列知识点
1. 等差数列的定义与性质
定义： an1 an d （ d 为常数）， an a1 n 1d
等差中项： x，A，y 成等差数列 2A x y
前n
项和 Sn
a1
an 2
n
na1
n
n 1
d 2
性质：an 是等差数列
（1）若 m n p q ，则 am an ap aq；
可由 Sn qSn ，求 Sn ，其中 q 为bn 的公比.
如： Sn 1 2x 3x 2 4x3 …… nx n1
①
x·Sn x 2x 2 3x3 4x 4 …… n 1x n1 nx n
②
①—② 1 x Sn 1 x x 2 …… x n1 nx n
x
1 时， Sn
a2 b 2 c2 A是锐角 ABC是锐角三角形
（注意： A是锐角 ABC是锐角三角形 ）
(3) 若 sin 2 A sin 2B ，则 A=B 或 A B . 2
3
例 1.在 ABC 中， c 2b cos A ，且 (a b c)(a b c) 3ab ，试判断 ABC 形状.
sin A B cos C , cos A B sin C ; sin 2A 2sin A cos A ,
2
2
2
2
（3）若 A B C a b c sin A sin B sin C 若 sin A sin B sin C a b c A B C
（大边对大角，小边对小角）
S2n n(a1 a2n ) n(a2 a2n1 ) n(an an1 )(an , an1为中间两项)
S偶 S奇
nd ， S奇 S偶
an a n 1
.
5
（7）项数为奇数 2n 1的等差数列an ，有
S2n1 (2n 1)an (an为中间项) ，
S奇
S偶
an
，
S奇 S偶
仰角 俯角
题型 4【解三角形在实际中的应用】 方向角 方位角 视角
例 5．如图所示，货轮在海上以 40km/h 的速度沿着方位角
（从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为 140°的方
向航行，为了确定船位，船在 B 点观测灯塔 A 的方位角为 110°，
航行半小时到达 C 点观测灯塔 A 的方位角是 65°，则货轮到达 C
n
n
1
.
2. 等比数列的定义与性质
定义：
an1 an
q
（q
为常数， q
0 ）， an
a1q n1 .
等比中项： x、G、y 成等比数列 G2 xy ，或 G xy .
na1 (q 1)
前 n 项和： Sn
a1
1 qn
1 q
（要注意！） (q 1)
性质：an 是等比数列
（1）若 m n p q ，则 am·an ap·aq
又 a1
3 ，∴ an
3 n
.
（3）等差型递推公式
由 an an1 f (n)，a1 a0 ，求 an ，用迭加法
a2 a1 f (2)
n 2 时，
a3 a2 f (3) …… ……
两边相加得
an
a1
f
(2)
f
(3) ……
f
(n)
an an1 f (n)
∴ an a0 f (2) f (3) …… f (n)
2.正弦定理的一些变式：
i a b c sin A sin B sin C ； ii sin A a ,sin B b ,sin C c ；
2R
2R
2R
iii a
2R sin A,b
2R sin B,b
2R sin C
；（4）
sin
abc A sin B sin C
2R
3．两类正弦定理解三角形的问题：
［练习］数列an 中， a1
1，an
3n1
an 1
n
2 ，求
பைடு நூலகம்an
an （
1 2
3n 1
）
（4）等比型递推公式 an can1 d （ c、d 为常数， c 0，c 1，d 0 ）
可转化为等比数列，设 an x c an1 x an can1 c 1x
令
(c
1) x
(8) ABC 为正三角形的充要条件是 A,B,C 成等差数列，且 a,b,c 成等比数列.
二、题型汇总 题型 1【判定三角形形状】
判断三角形的类型 （1）利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现 边角转化，统一成边的形式或角的形式.
a2 b 2 c2 A是直角 ABC是直角三角形 （2）在 ABC 中，由余弦定理可知: a2 b 2 c2 A是钝角 ABC是钝角三角形
，则
f
(1)
f (2)
f
1 2
f (3)
f
1 3
f
(4)
f
1 4
1 2
由
f
(x)
f
1 x
x2 1 x2
1
x 1 x
2
x2 1 x2
1 1 x2
1
∴原式
f
(1)
f
(2)
f
1 2
f
(3)
f
1 3
f
(4)
f
1 4
1 2
111
31 2
(附：
a.用倒序相加法求数列的前 n 项和
的二次函数）
Sn 的最值可求二次函数 Sn an2 bn 的最值；或者求出an 中的正、负
分界项，
即：当 a1 0，d 0 ，解不等式组 aann1 00 可得 Sn 达到最大值时的 n 值.
当 a1 0，d 0 ，由 aann1 00 可得 Sn 达到最小值时的 n 值.
(6)项数为偶数 2n 的等差数列an ，有
a2
c2
b2
.
2ac
cos
C
b2
a2 2ab
c2
设 a 、 b 、 c 是 C 的角 、 、 C 的对边，则：
①若 a2 b2 c2 ，则 C 90 ；
②若 a2 b2 c2 ，则 C 90 ；
③若 a2 b2 c2 ，则 C 90 ．
3.两类余弦定理解三角形的问题：（1）已知三边求三角. （2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.
（1）已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
（2）已知两边和其中一边的对角，求其他边角.（可能有一解，两解，无解）
【余弦定理】
a2 b2 c2 2bc cos A
1．余弦定理：
b
2
a2
c2
2ac
cos
B
c2 b2 a2 2ba cosC
2.推论：
cos
A
b2
c2 2bc
a2
cos B