关于fcc和bcc点阵晶面间距计算式的证明
立方晶系的晶面间距公式
立方晶系的晶面间距公式
立方晶系是一种常见的晶体结构，其晶面间距是晶体结构中的重要参数。
在立方晶系中，晶面间距公式为d=a√h2+k2+l2，其中d是晶面间距，a是晶格常数，h、k、l是晶面指数。
这个公式是基于几何学原理推导出来的。
在立方晶系中，晶面指数h、k、l表示了晶面的方向，而晶格常数a则表示了晶体结构的周期性。
晶面间距d则表示了相邻的两个晶面之间的距离。
通过这个公式，我们可以方便地计算出立方晶系中任意两个相邻晶面之间的距离。
这对于研究晶体结构、晶体生长以及材料科学等领域具有重要意义。
需要注意的是，立方晶系的晶面间距公式只适用于立方晶系，不适用于其他晶系。
对于其他晶系，需要使用相应的晶面间距公式进行计算。
总之，立方晶系的晶面间距公式是一个重要的数学工具，在晶体结构和材料科学等领域中具有广泛的应用价值。
体心立方晶面间距证明
体心立方晶面间距证明晶体是由重复排列的原子、离子或分子组成的固体。
晶体的表面由晶面构成，晶面是晶体中由原子、离子或分子组成的平面。
晶面间距指的是相邻晶面之间的距离。
体心立方晶体是一种晶体结构，其中每个晶胞的中心都有一个原子。
在体心立方晶体中，晶胞由一个原子和其八个相邻原子组成。
晶面是由晶胞的平面来定义的，晶面间距是指相邻晶面之间的距离。
我们以体心立方晶体的(200)晶面和(220)晶面为例来讨论晶面间距的计算方法。
我们需要知道体心立方晶体的晶格常数。
晶格常数是指晶体中最小重复单元的尺寸。
对于体心立方晶体，晶格常数可以通过实验测量或者理论计算得到。
假设体心立方晶体的晶格常数为a，我们可以通过以下公式计算(200)晶面的间距d1：d1 = a / √(h^2 + k^2 + l^2)其中h、k、l是晶面的指数。
对于(200)晶面，h=2，k=0，l=0。
带入公式计算，我们可以得到(200)晶面的间距d1。
同样地，我们可以通过以下公式计算(220)晶面的间距d2：d2 = a / √(h^2 + k^2 + l^2)对于(220)晶面，h=2，k=2，l=0。
带入公式计算，我们可以得到(220)晶面的间距d2。
通过计算，我们可以得到体心立方晶体的(200)晶面间距d1和(220)晶面间距d2。
这些数值可以通过实验测量或者理论计算得到。
体心立方晶面间距的计算方法可以应用于其他晶面。
对于不同的晶面，只需将对应的h、k、l值代入公式中即可。
晶面间距的计算对于研究晶体的结构和性质非常重要。
通过测量晶面间距，我们可以了解晶体中原子、离子或分子的排列方式，进而研究晶体的物理和化学性质。
总结起来，体心立方晶体的晶面间距可以通过晶格常数和晶面指数来计算。
晶面间距的计算方法适用于不同的晶面。
通过计算晶面间距，我们可以深入了解晶体的结构和性质。
这些研究对于材料科学和固体物理学有着重要的意义。
立方晶系晶面间距公式
立方晶系晶面间距公式立方晶系是一种晶体结构，它的晶格常数a、b、c相等，轴角α、β、γ都等于90°。
立方晶系有三种类型：简单立方（SC）、面心立方（FCC）和体心立方（BCC）。
不同类型的立方晶系的晶面间距公式也不同。
简单立方晶面间距公式简单立方是最简单的晶体结构，它的每个顶点上都有一个原子。
简单立方的晶面间距公式是：d=a√h2+k2+l2其中，a是晶格常数，h、k、l是晶面指数。
这个公式可以用几何方法推导出来，如下图所示：简单立方晶面间距推导在简单立方中，相邻两个原子的距离就是a，所以我们可以用a作为单位长度。
假设我们要求的晶面为(hkl)，它与三个坐标轴的交点分别为A、B、C。
那么，A点的坐标就是(a/h,0,0)，B点的坐标就是(0,a/k,0)，C点的坐标就是(0,0,a/l)。
由于A、B、C三点共线，所以它们满足以下关系：x a/h =ya/k=za/l这个方程就是(hkl)晶面的方程。
我们可以用它来求出任意一点P(x,y,z)到这个晶面的距离d。
为了方便计算，我们取P点为原点(0,0,0)，那么d就等于原点到晶面的垂直距离。
根据点到平面距离的公式，我们有：d=|Ax+By+Cz+D|√A2+B2+C2其中，A、B、C、D是平面方程Ax+By+Cz+D=0的系数。
将(hkl)晶面的方程代入，得到：d=|a/hx+a/ky+a/lz|√(a/h)2+(a/k)2+(a/l)2将P点的坐标(0,0,0)代入，得到：d=a√(h/a)2+(k/a)2+(l/a)2化简后，得到：d=a√h2+k2+l2这就是简单立方晶面间距公式。
面心立方晶面间距公式面心立方是一种常见的金属结构，它在每个顶点和每个面心都有一个原子。
面心立方的晶面间距公式是：d=a√4(h2+k2+l2)其中，a是晶格常数，h、k、l是晶面指数。
这个公式也可以用几何方法推导出来，如下图所示：面心立方晶面间距推导在面心立方中，相邻两个顶点原子的距离是√2a，相邻两个面心原子的距离是a，所以我们可以用a作为单位长度。
晶面间距计算公式
晶面间距计算公式
晶面间距是物理学中的重要概念，它是指两个晶面之间的距离或者说是晶体中晶面之间的最小距离。
晶面间距可以通过一系列公式来计算。
晶面间距计算公式是建立在晶体衍射理论基础上的，它可以用来确定晶体中任意两个晶面之间的距离。
晶面间距的计算公式可以分为全空间公式和平面公式。
全空间公式用于计算任意两个晶面之间的距离，而平面公式则用于计算在矩形晶体和正方体晶体中晶面之间距离。
全空间公式通常表示为：d=n1*a1+n2*a2+n3*a3，n1、n2、n3分别表示晶面的晶格向量，a1、a2、a3分别表示晶格常数。
这个公式可以用来计算任意一对晶面之间的距离。
平面公式通常表示为：d=|k1*a1+k2*a2|，其中k1、k2分别表示晶面的晶格向量，a1、a2分别表示晶格常数。
这个公式可以用来计算矩形晶体和正方体晶体中任意两个晶面之间的距离。
晶面间距的计算公式的应用非常广泛，它可以用来确定晶体中任意两个晶面之间的距离，也可以用来计算晶体晶格参数，从而计算晶体的特性。
晶面间距的计算公式还可以用来研究X射线衍射现象，从而更深入地了解晶体结构。
晶面间距计算公式是晶体结构确定和研究的重要工具，因此，在物理学和材料科学领域，晶面间距计算公式都有着广泛的应用。
它可以帮助科学家更好地了解晶体的结构特性，从而更好地开发出新的材料，为科学发展做出贡献。
晶面间距及面密度
三 计算原理
则，晶胞中任一原子（x, y, z）与其所在原子面 （ (s m / q) / h ， (s m / q) / k ，(s m / q) / l ）满足下式：
x y z 1 ( s m / q) / h ( s m / q) / k ( s m / q) / l
三 计算原理
晶面截距的一般表达式：
sm/q sm/q sm/q h k l s、m、q 为整数，m、q 为互质数，且 m＜q
根据解析几何中平面的截距式表达式：截距为 a、 b、c 的平面内，任意一点（x, y, z）满足下式：
x y z 1 a b c
(4)
THE END
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0
11 22
(5)
113 (6) 444
333 444
(7)
311 444
131 444
THE END
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二 计算举例
晶面（221）的面间距及面密度
P 1 hx 1 ky1 lz1 2 0 2 0 1 0 0
1 1 2 1 0 2 2 2 1 1 1 P3 2 2 0 1 1 2 2 2 1 1 1 P4 2 0 2 1 1 2 2 2 1 1 3 3 P5 2 2 1 1 4 4 4 4 3 3 3 3 P6 2 2 1 3 4 4 4 4 3 1 1 1 P7 2 2 1 2 4 4 4 4 1 3 1 1 P8 2 2 1 2 4 4 4 4 P2 2
西南工业大学材料科学与基础第三版(刘智恩)习题解析
第一章原子排列1. 作图表示立方晶系中的(123),(012),(421)晶面和[102],[211],[346]晶向.附图1-1 有关晶面及晶向2. 分别计算面心立方结构与体心立方结构的{100},{110}和{111}晶面族的面间距, 并指出面间距最大的晶面(设两种结构的点阵常数均为a).解由面心立方和体心立方结构中晶面间的几何关系, 可求得不同晶面族中的面间距如附表1-1所示.附表1-1 立方晶系中的晶面间距显然, FCC中{111}晶面的面间距最大, 而BCC中{110}晶面的面间距最大.注意: 对于晶面间距的计算, 不能简单地使用公式, 应考虑组成复合点阵时, 晶面层数会增加.3. 分别计算fcc和bcc中的{100},{110}和{111}晶面族的原子面密度和<100>,<110>和<111>晶向族的原子线密度, 并指出两种结构的差别. (设两种结构的点阵常数均为a)解原子的面密度是指单位晶面内的原子数; 原子的线密度是指晶面上单位长度所包含的原子数. 据此可求得原子的面密度和线密度如附表1-2所示.附表1-2 立方晶系中原子的面密度和线密度可见, 在BCC 中, 原子密度最大的晶面为{110}, 原子密度最大的晶向为<111>; 在FCC 中, 原子密度最大的晶面为{111}, 原子密度最大的晶向为<110>. 4. 在(0110)晶面上绘出[2113]晶向. 解 详见附图1-2.附图1-2 六方晶系中的晶向5. 在一个简单立方二维晶体中, 画出一个正刃型位错和一个负刃型位错. 试求: (1) 用柏氏回路求出正、负刃型位错的柏氏矢量.(2) 若将正、负刃型位错反向时, 说明其柏氏矢量是否也随之反向.(3) 具体写出该柏氏矢量的方向和大小.(4) 求出此两位错的柏氏矢量和.解 正负刃型位错示意图见附图1-3(a)和附图1-4(a).(1) 正负刃型位错的柏氏矢量见附图1-3(b)和附图1-4(b).(2) 显然, 若正、负刃型位错线反向, 则其柏氏矢量也随之反向.(3) 假设二维平面位于YOZ坐标面, 水平方向为Y轴, 则图示正、负刃型位错方向分别为[010]和[010], 大小均为一个原子间距(即点阵常数a).(4) 上述两位错的柏氏矢量大小相等, 方向相反, 故其矢量和等于0.6. 设图1-72所示立方晶体的滑移面ABCD平行于晶体的上下底面, 该滑移面上有一正方形位错环. 如果位错环的各段分别与滑移面各边平行, 其柏氏矢量b // AB, 试解答:(1) 有人认为“此位错环运动离开晶体后, 滑移面上产生的滑移台阶应为4个b”, 这种说法是否正确? 为什么?(2) 指出位错环上各段位错线的类型, 并画出位错移出晶体后, 晶体的外形、滑移方向和滑移量. (设位错环线的方向为顺时针方向)图1-72 滑移面上的正方形位错环附图1-5 位错环移出晶体引起的滑移解 (1) 这种看法不正确. 在位错环运动移出晶体后, 滑移面上下两部分晶体相对移动的距离是由其柏氏矢量决定的. 位错环的柏氏矢量为b, 故其相对滑移了一个b 的距离.(2) A ′B ′为右螺型位错, C ′D ′为左螺型位错, B ′C ′为正刃型位错, D ′A ′为负刃型位错. 位错运动移出晶体后滑移方向及滑移量见附图1-5.7. 设面心立方晶体中的(111)晶面为滑移面, 位错滑移后的滑移矢量为[110]2a.(1) 在晶胞中画出此柏氏矢量b 的方向并计算出其大小.(2) 在晶胞中画出引起该滑移的刃型位错和螺型位错的位错线方向, 并写出此二位错线的晶向指数.解 (1) 柏氏矢量等于滑移矢量, 因此柏氏矢量的方向为[110], /2. (2) 刃型位错与柏氏矢量垂直, 螺型位错与柏氏矢量平行, 晶向指数分别为[112]和[110], 详见附图1-6.附图1-6 位错线与其柏氏矢量、滑移矢量 8. 若面心立方晶体中有[101]2ab =的单位位错及[121]6ab =的不全位错, 此二位错相遇后产生位错反应.(1) 此反应能否进行? 为什么?(2) 写出合成位错的柏氏矢量, 并说明合成位错的性质. 解 (1) 能够进行. 因为既满足几何条件:[111]3abb==∑∑后前, 又满足能量条件: .22222133ba ba =>=∑∑后前.(2) [111]3ab =合, 该位错为弗兰克不全位错.9. 已知柏氏矢量的大小为b = 0.25nm, 如果对称倾侧晶界的取向差θ = 1° 和10°, 求晶界上位错之间的距离. 从计算结果可得到什么结论? 解 根据bD θ≈, 得到θ = 1°,10° 时, D ≈14.3nm, 1.43nm. 由此可知, θ = 10° 时位错之间仅隔5~6个原子间距, 位错密度太大, 表明位错模型已经不适用了. 第二章 固体中的相结构1. 已知Cd, In, Sn, Sb 等元素在Ag 中的固熔度极限(摩尔分数)分别为0.435, 0.210, 0.130, 0.078; 它们的原子直径分别为0.3042 nm, 0.314 nm, 0.316 nm, 0.3228 nm; Ag 的原子直径为0.2883 nm. 试分析其固熔度极限差异的原因, 并计算它们在固熔度极限时的电子浓度.答: 在原子尺寸因素相近的情况下, 熔质元素在一价贵金属中的固熔度(摩尔分数)受原子价因素的影响较大, 即电子浓度e/a 是决定固熔度(摩尔分数)的一个重要因素, 而且电子浓度存在一个极限值(约为1.4). 电子浓度可用公式A B B B (1)c Z x Z x =-+ 计算. 式中, ZA, ZB 分别为A, B 组元的价电子数; xB 为B 组元的摩尔分数. 因此, 随着熔质元素价电子数的增加, 极限固熔度会越来越小.Cd, In, Sn, Sb 等元素与Ag 的原子直径相差不超过15%(最小的Cd 为5.5%, 最大的Sb 为11.96%), 满足尺寸相近原则, 这些元素的原子价分别为2, 3, 4, 5价, Ag 为1价, 据此推断它们的固熔度极限越来越小, 实际情况正好反映了这一规律; 根据上面的公式可以计算出它们在固熔度(摩尔分数)极限时的电子浓度分别为1.435, 1.420, 1.390, 1.312.2. 碳可以熔入铁中而形成间隙固熔体, 试分析是α-Fe 还是γ-Fe 能熔入较多的碳. 答: α-Fe 为体心立方结构, 致密度为0.68; γ-Fe 为面心立方结构, 致密度为0.74. 显然, α-Fe中的间隙总体积高于γ-Fe, 但由于α-Fe的间隙数量多, 单个间隙半径却较小, 熔入碳原子将会产生较大的畸变, 因此, 碳在γ-Fe中的固熔度较α-Fe的大. 3. 为什么只有置换固熔体的两个组元之间才能无限互熔, 而间隙固熔体则不能? 答: 这是因为形成固熔体时, 熔质原子的熔入会使熔剂结构产生点阵畸变, 从而使体系能量升高. 熔质原子与熔剂原子尺寸相差越大, 点阵畸变的程度也越大, 则畸变能越高, 结构的稳定性越低, 熔解度越小. 一般来说, 间隙固熔体中熔质原子引起的点阵畸变较大, 故不能无限互熔, 只能有限熔解.第三章凝固1. 分析纯金属生长形态与温度梯度的关系.答: 纯金属生长形态是指晶体宏观长大时固-液界面的形貌. 界面形貌取决于界面前沿液相中的温度梯度.(1) 平面状长大: 当液相具有正温度梯度时, 晶体以平直界面方式推移长大. 此时, 界面上任何偶然的、小的凸起深入液相时, 都会使其过冷度减小, 长大速率降低或停止长大, 而被周围部分赶上, 因而能保持平直界面的推移. 长大过程中晶体沿平行温度梯度的方向生长, 或沿散热的反方向生长, 而其它方向的生长则受到限制.(2) 树枝状长大: 当液相具有负温度梯度时, 晶体将以树枝状方式生长. 此时, 界面上偶然的凸起深入液相时, 由于过冷度的增大, 长大速率越来越大; 而它本身生长时又要释放结晶潜热, 不利于近旁的晶体生长, 只能在较远处形成另一凸起. 这就形成了枝晶的一次轴, 在一次轴成长变粗的同时, 由于释放潜热使晶枝侧旁液体中也呈现负温度梯度, 于是在一次轴上又会长出小枝来, 称为二次轴, 在二次轴上又长出三次轴……由此而形成树枝状骨架, 故称为树枝晶(简称枝晶).2. 简述纯金属晶体长大机制及其与固-液界面微观结构的关系.答: 晶体长大机制是指晶体微观长大方式, 即液相原子添加到固相的方式, 它与固-液界面的微观结构有关.(1) 垂直长大方式: 具有粗糙界面的物质, 因界面上约有50%的原子位置空着, 这些空位都可以接受原子, 故液相原子可以进入空位, 与晶体连接, 界面沿其法线方向垂直推移, 呈连续式长大.(2) 横向(台阶)长大方式: 包括二维晶核台阶长大机制和晶体缺陷台阶长大机制, 具有光滑界面的晶体长大往往采取该方式. 二维晶核模式, 认为其生长主要是利用系统的能量起伏, 使液相原子在界面上通过均匀形核形成一个原子厚度的二维薄层状稳定的原子集团, 然后依靠其周围台阶填充原子, 使二维晶核横向长大, 在该层填满后, 则在新的界面上形成新的二维晶核, 继续填满, 如此反复进行.晶体缺陷方式, 认为晶体生长是利用晶体缺陷存在的永不消失的台阶(如螺型位错的台阶或挛晶的沟槽)长大的. 第四章 相图1. 在Al-Mg 合金中, xMg 为0.15, 计算该合金中镁的wMg 为多少.解 设Al 的相对原子量为MAl, 镁的相对原子量为MMg, 按1mol Al-Mg 合金计算, 则镁的质量分数可表示为Mg MgMg Al Al Mg Mg100%x M w x M x M =⨯+.将xMg = 0.15, xAl = 0.85, MMg = 24, MAl = 27代入上式中, 得到wMg = 13.56%.2. 根据图4-117所示二元共晶相图, 试完成:(1) 分析合金I, II 的结晶过程, 并画出冷却曲线.(2) 说明室温下合金I, II 的相和组织是什么, 并计算出相和组织组成物的相对量.(3) 如果希望得到共晶组织加上相对量为5%的β初 的合金, 求该合金的成分.图4-117 二元共晶相图 附图4-1 合金I 的冷却曲线 附图4-2 合金II 的冷却曲线解 (1) 合金I 的冷却曲线参见附图4-1, 其结晶过程如下:1以上, 合金处于液相;1~2时, 发生匀晶转变L →α, 即从液相L 中析出固熔体α, L 和α的成分沿液相线和固相线变化, 达到2时, 凝固过程结束;2时, 为α相;2~3时, 发生脱熔转变, α→βII.合金II 的冷却曲线参见附图4-2, 其结晶过程如下:1以上, 处于均匀液相;1~2时, 进行匀晶转变L →β;2时, 两相平衡共存, 0.50.9L β;2~2时,剩余液相发生共晶转变0.50.20.9L βα+;2~3时, 发生脱熔转变α→βII.(2) 室温下, 合金I 的相组成物为α + β, 组织组成物为α + βII.相组成物相对量计算如下:αβ0.900.20100%82%0.900.050.200.05100%18%0.900.05w w -=⨯=--=⨯=-组织组成物的相对量与相的一致.室温下, 合金II 的相组成物为α + β, 组织组成物为β初 + (α+β).相组成物相对量计算如下:αβ0.900.80100%12%0.900.050.800.05100%88%0.900.05w w -=⨯=--=⨯=-组织组成物相对量计算如下:β(α+β)0.800.50100%75%0.900.500.900.80100%25%0.900.50w w -=⨯=--=⨯=-初(3) 设合金的成分为wB = x, 由题意知该合金为过共晶成分, 于是有β0.50100%5%0.900.50x w -=⨯=-初所以, x = 0.52, 即该合金的成分为wB = 0.52.3. 计算wC 为0.04的铁碳合金按亚稳态冷却到室温后组织中的珠光体、二次渗碳体和莱氏体的相对量, 并计算组成物珠光体中渗碳体和铁素体及莱氏体中二次渗碳体、共晶渗碳体与共析渗碳体的相对量.解 根据Fe-Fe3C 相图, wC = 4%的铁碳合金为亚共晶铸铁, 室温下平衡组织为 P + Fe3CII + Ld ′, 其中P 和Fe3CII 系由初生奥氏体转变而来, 莱氏体则由共晶成分的液相转变而成, 因此莱氏体可由杠杆定律直接计算, 而珠光体和二次渗碳体则可通过两次使用杠杆定律间接计算出来. Ld ′ 相对量: dL 4 2.11100%86.3%4.3 2.11w '-=⨯=-.Fe3CII相对量:3II Fe C 4.34 2.110.77100% 3.1%4.3 2.11 6.690.77w --=⨯⨯=--.P相对量:P 4.34 6.69 2.11100%10.6%4.3 2.11 6.690.77w --=⨯⨯=--.珠光体中渗碳体和铁素体的相对量的计算则以共析成分点作为支点, 以wC = 0.001%和wC = 6.69%为端点使用杠杆定律计算并与上面计算得到的珠光体相对量级联得到. P 中F 相对量:F P 6.690.77100%9.38%6.690.001w w -=⨯⨯=-.P 中Fe3C 相对量:3Fe C 10.6%9.38% 1.22%w =-=.至于莱氏体中共晶渗碳体、二次渗碳体及共析渗碳体的相对量的计算, 也需采取杠杆定律的级联方式, 但必须注意一点, 共晶渗碳体在共晶转变线处计算, 而二次渗碳体及共析渗碳体则在共析转变线处计算. Ld ′ 中共晶渗碳体相对量: dCm L 4.3 2.11100%41.27%6.69 2.11w w '-=⨯⨯=-共晶Ld ′ 中二次渗碳体相对量: dCm L 6.69 4.3 2.110.77100%10.2%6.69 2.11 6.690.77w w '--=⨯⨯⨯=--IILd ′ 中共析渗碳体相对量:dCm L 6.69 4.3 6.69 2.110.770.0218100% 3.9%6.69 2.11 6.690.77 6.690.0218w w '---=⨯⨯⨯⨯=---共析4. 根据下列数据绘制Au-V 二元相图. 已知金和钒的熔点分别为1064℃和1920℃.金与钒可形成中间相β(AuV3); 钒在金中的固熔体为α, 其室温下的熔解度为wV = 0.19; 金在钒中的固熔体为γ, 其室温下的熔解度为wAu = 0.25. 合金系中有两个包晶转变, 即1400V V V 1522V V V (1) β(0.4)L(0.25)α(0.27)(2) γ(0.52)L(0.345)α(0.45)w w w w w w =+===+==℃℃解 根据已知数据绘制的Au-V 二元相图参见附图4-3.附图4-3 Au-V 二元相图 第五章 材料中的扩散1. 设有一条直径为3cm 的厚壁管道, 被厚度为0.001cm 的铁膜隔开, 通过输入氮气以保持在膜片一边氮气浓度为1000 mol/m3; 膜片另一边氮气浓度为100 mol/m3. 若氮在铁中700℃时的扩散系数为4×10-7 cm2 /s, 试计算通过铁膜片的氮原子总数. 解设铁膜片左右两边的氮气浓度分别为c1, c2, 则铁膜片处浓度梯度为7421510010009.010 mol /m 110c c c c x x x --∂∆-≈===-⨯∂∆∆⨯根据扩散第一定律计算出氮气扩散通量为722732410(10)(9.010) 3.610 mol/(m s)cJ Dx---∂=-=-⨯⨯⨯-⨯=⨯∂于是, 单位时间通过铁膜片的氮气量为3-22-63.610(310) 2.5410 mol/s4J A π-=⨯⨯⨯⨯=⨯最终得到单位时间通过铁膜片的氮原子总数为-62318-1A () 2.5410 6.02102 3.0610 s N J A N =⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯第六章 塑性变形1. 铜单晶体拉伸时, 若力轴为 [001] 方向, 临界分切应力为0.64 MPa, 问需要多大的拉伸应力才能使晶体开始塑性变形?解 铜为面心立方金属, 其滑移系为 {111}<110>, 4个 {111} 面构成一个八面体, 详见教材P219中的图6-12.当拉力轴为 [001] 方向时, 所有滑移面与力轴间的夹角相同, 且每个滑移面上的三个滑移方向中有两个与力轴的夹角相同, 另一个为硬取向(λ = 90°). 于是, 取滑移系(111)[101]进行计算.ks cos cos cos cos 0.64 1.57 MPa.m mϕλϕλτσ=========即至少需要1.57 MPa 的拉伸应力才能使晶体产生塑性变形.2. 什么是滑移、滑移线、滑移带和滑移系? 作图表示α-Fe, Al, Mg 中的最重要滑移系. 那种晶体的塑性最好, 为什么?答: 滑移是晶体在切应力作用下一部分相对于另一部分沿一定的晶面和晶向所作的平行移动; 晶体的滑移是不均匀的, 滑移部分与未滑移部分晶体结构相同. 滑移后在晶体表面留下台阶, 这就是滑移线的本质. 相互平行的一系列滑移线构成所谓滑移带. 晶体发生滑移时, 某一滑移面及其上的一个滑移方向就构成了一个滑移系.附图6-1 三种晶体点阵的主要滑移系α-Fe具有立方体心结构, 主要滑移系可表示为{110}<111>, 共有6×2 = 12个; Al 具有面心立方结构, 其滑移系可表示为{111}<110>, 共有4×3 = 12个; Mg具有密<>, 共有1×3 = 3个. 晶体的塑性与其滑排六方结构, 主要滑移系可表示为{0001}1120移系的数量有直接关系, 滑移系越多, 塑性越好; 滑移系数量相同时, 又受滑移方向影响, 滑移方向多者塑性较好, 因此, 对于α-Fe, Al, Mg三种金属, Al的塑性最好, Mg 的最差, α-Fe居中. 三种典型结构晶体的重要滑移系如附图6-1所示.3. 什么是临界分切应力? 影响临界分切应力的主要因素是什么? 单晶体的屈服强度与外力轴方向有关吗? 为什么?答: 滑移系开动所需的作用于滑移面上、沿滑移方向的最小分切应力称为临界分切应力.临界分切应力τk的大小主要取决于金属的本性, 与外力无关. 当条件一定时, 各种晶体的临界分切应力各有其定值. 但它是一个组织敏感参数, 金属的纯度、变形速度和温度、金属的加工和热处理状态都对它有很大影响.如前所述, 在一定条件下, 单晶体的临界分切应力保持为定值, 则根据分切应力与外加轴向应力的关系: σs = τk / m, m为取向因子, 反映了外力轴与滑移系之间的位向关系, 因此, 单晶体的屈服强度与外力轴方向关系密切. m越大, 则屈服强度越小, 越有利于滑移.4. 孪生与滑移主要异同点是什么? 为什么在一般条件下进行塑性变形时锌中容易出现挛晶, 而纯铁中容易出现滑移带?答: 孪生与滑移的异同点如附表6-1所示.附表6-1 晶体滑移与孪生的比较锌为密排六方结构金属, 主要滑移系仅3个, 因此塑性较差, 滑移困难, 往往发生孪生变形, 容易出现挛晶; 纯铁为体心立方结构金属, 滑移系较多, 共有48个, 其中主要滑移系有12个, 因此塑性较好, 往往发生滑移变形, 容易出现滑移带. 第七章 回复与再结晶1. 已知锌单晶体的回复激活能为8.37×104 J/mol, 将冷变形的锌单晶体在-50 ℃进行回复处理, 如去除加工硬化效应的25% 需要17 d, 问若在5 min 内达到同样效果, 需将温度提高多少摄氏度?解 根据回复动力学, 采用两个不同温度将同一冷变形金属的加工硬化效应回复到同样程度, 回复时间、温度满足下述关系:122111exp t Q t R T T ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理后得到221111ln T t RT Q t =+.将41211223 K,/5/(172460),8.3710 J/mol, 8.314 J/(mol K)4896T t t Q R ==⨯⨯==⨯=⋅代入上式得到2274.7 K T =.因此, 需将温度提高21274.722351.7 T T T ∆=-=-=℃.2. 纯铝在553 ℃ 和627 ℃ 等温退火至完成再结晶分别需要40 h 和1 h, 试求此材料的再结晶激活能.解 再结晶速率v 再与温度T 的关系符合阿累尼乌斯(Arrhenius)公式, 即exp()Q v A RT=-再其中, Q 为再结晶激活能, R 为气体常数.如果在两个不同温度T1, T2进行等温退火, 欲产生同样程度的再结晶所需时间分别为t1, t2, 则122112122111exp[()]ln(/)t Q t R T T RT T t t Q T T =--⇒=- 依题意, 有T1= 553 + 273 = 826 K, T2 = 627 + 273 = 900 K, t1 = 40 h, t2 = 1 h, 则58.314826900ln(40/1)3.0810J/mol900826Q ⨯⨯⨯=⨯-3. 说明金属在冷变形、回复、再结晶及晶粒长大各阶段的显微组织、机械性能特点与主要区别.答: 金属在冷变形、回复、再结晶及晶粒长大各阶段的显微组织、机械性能特点与主要区别详见附表7-1.附表7-1 金属在冷变形、回复、再结晶及晶粒长大各阶段的显微组织、机械性能。
不同点阵的晶格常数计算公式
不同点阵的晶格常数计算公式晶格常数是描述晶体内部排列结构的物理量，它定义为晶胞中最小的平行于晶格相邻点之间的距离。
晶格常数是晶体学中最基本的物理量之一，可以通过不同的方法计算得到。
晶格常数的计算常用的公式有以下几种：1.X射线衍射法：这是实验测定晶体结构最常用的方法之一、通过测定不同晶面的衍射角，可以得到晶格常数的信息。
根据布拉格方程可以得到计算晶格常数的公式：d = λ / (2 sin θ)其中d为晶面间距，λ为入射X射线波长，θ为衍射角。
通过多次测量不同晶面的衍射角，并代入公式即可得到晶格常数的估计值。
2.倍频衍射法：这是一种通过利用干涉现象间接计算晶格常数的方法。
实验中，通过不同角度的入射光束产生的两束相干光经过干涉后形成衍射条纹。
根据干涉条纹的间距可以计算晶格常数。
对于相邻两条纹的间距为ΔS，入射波长为λ，则晶格常数a可以由以下公式计算得到：ΔS=λ/2a将实验测得的干涉条纹间距代入上式即可得到晶格常数的估计值。
3.散射法：注意到晶体的散射现象，也可以通过散射实验计算晶格常数。
通过测定介质中入射光和散射光的波长之比，可以计算出晶格常数。
这种方法常用于测量液体和气体的晶格常数。
4.DEBYE-SCHERRER公式：这是一种根据拍带条纹间距来计算晶格常数的方法。
DEBYE-SCHERRER公式给出了晶格常数与出射角度θ、入射波长λ和条纹间距d之间的关系：sin θ = λ / (2d) （d为晶格常数）通过实验测定不同条纹间距的角度，将其代入上式进行计算即可得到晶格常数的估计值。
除了上述方法，还有很多其他方法可以计算晶格常数，如电子衍射法、中子衍射法、AFM等。
每种方法都有其适用范围和对实验条件的要求。
在实际应用中，根据实验设备和样品特性的不同，选择最合适的方法进行测量，以得到准确的晶格常数数值。
立方晶格晶面间距的计算
立方晶格晶面间距的计算屈盛;杨留方;刘涵哲;马雄韬;王玉林【摘要】为了纠正补充教材和文献中有关立方晶格晶面间距的计算方法,对已有晶面间距的计算方法进行深入地总结与讨论,并给出一种利用密度比来计算晶面间距的方法,最后利用这些方法分别计算了面心立方晶格和体心立方晶格的晶面间距,不同方法的计算结果完全一致,从而验证了这些计算方法的正确性.【期刊名称】《云南民族大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(024)004【总页数】3页(P346-348)【关键词】面心立方晶格;体心立方晶格;晶面间距【作者】屈盛;杨留方;刘涵哲;马雄韬;王玉林【作者单位】云南民族大学电气信息工程学院,云南昆明650500;云南民族大学电气信息工程学院,云南昆明650500;云南民族大学电气信息工程学院,云南昆明650500;云南民族大学电气信息工程学院,云南昆明650500;云南民族大学电气信息工程学院,云南昆明650500【正文语种】中文【中图分类】O481晶面间距是固体物理学中的一个很重要的参数，研究晶体结构时往往会用到它.在《X射线衍射分析》和《材料科学》的不少教材中常常采用下式来计算立方晶格的晶面间距［1－3］:式中，a为立方系晶胞(单胞)的边长(即晶格常数)，而(hkl)是晶面的密勒指数，d为相应的晶面间距.在教学实践中常常看到，在计算简单立方晶格的晶面间距时，(1)式是正确无误的，但在计算面心立方(FCC)晶格和体心立方(BCC)晶格的晶面间距时，(1)式所得出的结果有时是错误的.例如，利用(1)式计算FCC晶格的(100)面和(111)面的晶面间距时，所得的结果分别为 a和 a/，即(1)式可以得出(100)面的晶面间距大于(111)面的晶面间距的结论.但由晶体学知识我们知道，FCC晶格中(111)面为最密排面，其晶面间距应该是所有晶面族中最大的.(1)式计算所得的结果与这个常识相矛盾，可见(1)式并不适用于 FCC晶格晶面间距的计算.文献［4］中指出了上述矛盾和(1)式的局限性，然而作者通过计算却得出FCC晶格中(100)面和(111)面的晶面间距是相等的(均为a/).这显然是错误的，因为FCC晶格中，(100)面和(111)面上的原子排列情况并不相同，(111)面是最密排面，而(100)面并不是最密排面，所以二者的晶面间距理应是不相同的.鉴于教材和文献中对于晶面间距的计算(尤其是对于立方晶格的晶面间距的计算)，过于笼统和不精确，本文对晶面间距的计算进行了深入的总结与讨论，并给出一种利用密度比来计算晶面间距的方法，最后利用这些方法分别计算了FCC晶格和BCC晶格的晶面间距.如果不同方法的计算结果是完全相同的，则可以验证这些计算方法都是正确的.1 晶面间距的传统计算方法1.1 以原胞基矢描述的计算在有关教材中，常常采用2种基本的重复单元来描述晶格的周期性和对称性［5－6］:一种是固体物理学原胞，另一种是晶体学单胞(也称晶胞).对于布喇菲格子来说，原胞只在其顶角处存在原子，而晶胞则在其顶角、面心、体心、底心处均可以存在原子［5－7］.因此，原胞和晶胞并不完全相同，只有简单布喇菲格子(例如简单立方、简单四方、简单正交等晶格)的晶胞才和它的原胞相同.参照文献中的习惯，为了便于区别，本文也将原胞的基矢记为a1、a2和a3，对应的晶面的参数记为(h1h2h3)，称之为面指数;而将晶胞的基矢记为a、b和c，对应的晶面的参数记为(hkl)，称之为密勒指数［7］.利用倒格矢的性质可以知道，(h1h2h3)晶面族的晶面间距可以由下式计算得到［7－9］:其中为倒格矢(i=1，2，3)为倒格子基矢.对于立方系布喇菲格子，由于a1=a2=a3，故晶面间距可表示为:实际工作中，常常用密勒指数(hkl)来表征晶面，而不是用面指数(h1h2h3)来表征晶面.由于晶胞的基矢 a、b、c和原胞的基矢 a1、a2、a3并不一定全同，因而对于同一族晶面，其密勒指数(hkl)与面指数(h1h2h3)并不一定相同，而(hkl)和(h1h2h3)相同，也并不一定表示同一晶面族［7］.所以，(2)式和(3)式并没有直接给出以(hkl)标记的晶面族的晶面间距［7］.因此，对于实际工作来说，(2)式和(3)式的使用很有限，必须找出利用密勒指数(hkl)来表示的晶面间距dhkl的公式［8］.1.2 以单胞(晶胞)基矢描述的计算根据文献［8］，利用密勒指数(hkl)表示的晶面间距dhkl的计算公式可以归纳为［8］:其中，Khkl=ha*+kb*+lc*为倒格式，而a*、b*、c*为倒格子基矢，而α=1或者2，是与结构有关的系数.对于立方系布喇菲格子，由于a=b=c，故晶面间距可表示为:由文献［7－8］可知，对于简单立方晶格，α恒等于1;而对于面心立方晶格，当h、k、l均为奇数时α等于1，否则α等于2;对于体心立方晶格，当h+k+l=偶数时α等于1;否则α等于2.也就是说，面心立方晶格的晶面间距的计算公式为［7－10］:而体心立方晶格的晶面间距的计算公式为［7，10］:显然，(5)式比(1)式更能准确地反映出立方晶系(hkl)晶面族的晶面间距，(1)式只是(5)式在特定情况下的形式，或者说，(1)式只适合于计算简单立方晶格的晶面间距，这就是本文开始部分中所提到的矛盾所产生的原因.需要指出的是，(5)式简化为(1)式的晶面条件和面心(体心)立方晶格产生X线的衍射的晶面条件相同，例如，计算面心立方(111)面的晶面间距时，由于此时满足h、k、l均为奇数的条件，故(5)式简化成了(1)式，而此时该结构的(111)晶面恰好也是对X线产生衍射的晶面.2 晶面间距的密度比的计算方法2.1 密度比的计算方法如果将晶格中单位面积内所包含的原子数目定义为面密度σ，而将单位体积内所包含的原子数目定义为体密度ρ，则可以利用下式来计算晶格的晶面间距:2.2 FCC和BCC的晶面间距的计算图1给出FCC和BCC晶格的不同晶面上的原子排布情况，表1则给出了对应的不同晶面上的三角形或四边形的面积、所含原子数目、计算得到的面密度、晶格的体密度和按照(6)式计算得到的晶面间距.表1的最后一列还给出了由(5)式计算得到的结果.由表1可以看到，(6)式的计算结果和(5)式的计算结果完全一致，因此两式可以相互验证对方的正确性.利用(6)式计算晶面间距时，应注意体密度和面密度的计算要正确.计算体密度时往往取一个晶胞来计算.例如一个体心立方晶胞和一个面心立方晶胞的体积均为a3，且分别含有2个原子和4个原子，因此体心立方晶格和面心立方晶格的体密度分别为2/a3和4/a3.而计算面密度时则稍微复杂些.例如一个体心立方晶胞和一个面心立方晶胞的(100)面的面积均为a2，且分别含有1个原子和2个原子，如图1所示，因此，体心立方晶格和面心立方晶格(100)面的面密度分别为1/a2和2/a2.故由(6)式计算得到的体心立方晶格和面心立方晶格(100)面的晶面间距均为a/2. 由上面的计算还可以知道，利用(6)式计算晶面间距比利用(5)式计算要复杂一些.但是(6)式没有使用条件，可以应用于任何一个晶面族的计算，而(5)式应用于不同晶面族的计算时，系数α有所不同，如果记不住其使用条件，那么有可能会计算错误.3 结语文中的(1)式并不能正确地计算所有立方晶格的晶面间距，在计算面心立方晶格和体心立方晶格的晶面间距时，应该使用(5)式来计算或者采用本文给出的(6)式来进行计算，(1)式只是(5)式在特定情况下的形式.从本文的例子可以看到，(5)式和(6)式的计算结果是一致的，它们可以相互验证对方的正确性.表1 利用密度比的方法来计算FCC和BCC的晶面间距时所得到的结果结构晶面三角形或四边形的面积子数目面密度体密度按(6)式计算所得晶面间距所含原按(5)式计算所得晶面间距面心立方(100) a2 2 2/a2(110) ■2)=a/2 a/(■a/2 a/(2 12+02+0■2/a2(111) ■2a2 2 ■4/a3 2 2)a/■2 2) a/(2 12+12+0■2)=a/(■3a2/2 2 4/(■3a2)3a/ 12+12+1■2=a/■3体心立方(100) a2 1 1/a2(110) ■2)=a/2a/■a/2 a/(2 12+02+0■2/a2(111) ■2a2 2 ■2/a32a/ 12+12+0■2=a/■2 3a2/21/2 1/(■3a22 3) a/(2 12+12+1■a/(■)2)=a/(2■ 3)参考文献:［1］黄胜涛.固体X射线学［M］.北京:高等教育出版社，1985:33－35.［2］陈建，严文，刘春霞.材料研究方法［M］.北京:化学工业出版社，2011:47－48.［3］石德珂.材料科学基础［M］.北京:机械工业出版社，2003:43－44.［4］马天平，谭伟石.由面心立方(111)面间距谈几何晶体学的几个基本概念［J］.物理通报，2012(2):15－17.［5］黄昆，韩汝琦.固体物理学［M］.北京:高等教育出版社，1988:6－11.［6］方俊鑫，陆栋.固体物理学(上册)［M］.上海:上海科学技术出版社，1980:13－31.［7］吴英凯.以密勒指数(hkl)标志的晶面族面间距公式［J］.大学物理，1991(10):7－14.［8］冯家显.面间距公式的一点探讨［J］.浙江师范大学学报:自然科学版，1989，12(2):84 －89.［9］冯双久，张晓红.有心立方晶格面间距的计算［J］.大学物理，2005，24(9):33 －34.［10］宫秀敏，朱勇，周一志.关于FCC和BCC点阵晶面间距计算式的证明［J］.武汉工学院学报，1991，13(1):51－57.。
立方晶格晶面间距的计算
立方晶格晶面间距的计算在晶体学中，晶格是重要的概念，它描述了晶体内原子、离子或分子的排列方式。
晶格可以被看作是由许多平行于一些面或轴的平面或轴组成的集合。
晶面是指穿过晶体的平坦面，晶面间距则是指两个相邻晶面之间的距离。
要计算立方晶格晶面间距，我们首先需要了解立方晶格的基本知识。
立方晶格是最简单的晶格之一，它是各向同性的，具有等边的正方形投影，以及等边的三角形投影。
立方晶格具有相等的晶面间距，因此只需计算其中一个晶面间距即可。
立方晶格中的结晶面由晶面指数(hkl)定义。
晶面指数是用来描述晶面的一组整数，表示晶面与晶格边缘的交点个数。
在立方晶格中，晶面指数(hkl)中的每个指数都表示与轴的交点个数。
进一步的，立方晶格的晶面间距可以通过布拉维（Bravais）指数计算得出。
布拉维指数是以(hkl)指数为基础的指数。
为了计算立方晶格晶面间距，我们可以使用以下公式：d = a / sqrt(h^2 + k^2 + l^2)其中，d是晶面间距，a是晶格常数，h、k和l分别是晶面指数(hkl)中的整数。
假设我们要计算(100)晶面的晶面间距，可以代入h=1,k=0,l=0。
d = a / sqrt(1^2 + 0^2 + 0^2) = a这意味着在立方晶格中，(100)晶面的晶面间距就是晶格常数a。
对于其他晶面指数，晶面间距的计算方法仍然适用。
比如，对于(110)晶面，可以代入h=1,k=1,l=0。
d = a / sqrt(1^2 + 1^2 + 0^2) = a / sqrt(2)这意味着在立方晶格中，(110)晶面的晶面间距是晶格常数a的1/√2倍。
类似地，对于(111)晶面，可以代入h=1,k=1,l=1d = a / sqrt(1^2 + 1^2 + 1^2) = a / sqrt(3)这意味着在立方晶格中，(111)晶面的晶面间距是晶格常数a的1/√3倍。
需要注意的是，上述公式仅适用于立方晶格。
对于其他晶系如正交晶系、六方晶系等，晶面间距的计算方法略有不同。
材料科学基础-作业参考答案
材料科学基础练习题参考答案第一章原子排列1. 作图表示立方晶系中的(123),(012),(421)晶面和[102],[211],[346]晶向.附图1-1 有关晶面及晶向2. 分别计算面心立方结构与体心立方结构的{100},{110}和{111}晶面族的面间距, 并指出面间距最大的晶面(设两种结构的点阵常数均为a).解由面心立方和体心立方结构中晶面间的几何关系, 可求得不同晶面族中的面间距如附表1-1所示.附表1-1 立方晶系中的晶面间距晶面{100}{110}{111}面间距FCC2a24a33aBCC2a22a36a显然, FCC中{111}晶面的面间距最大, 而BCC中{110}晶面的面间距最大.注意:对于晶面间距的计算, 不能简单地使用公式, 应考虑组成复合点阵时, 晶面层数会增加.3. 分别计算fcc和bcc中的{100},{110}和{111}晶面族的原子面密度和<100>,<110>和<111>晶向族的原子线密度, 并指出两种结构的差别. (设两种结构的点阵常数均为a)解原子的面密度是指单位晶面内的原子数; 原子的线密度是指晶面上单位长度所包含的原子数. 据此可求得原子的面密度和线密度如附表1-2所示.晶面/晶向{100}{110}{111}<100><110><111>面/线密度BCC21a22a233a1a22a233aFCC22a22a2433a1a2a33a可见, 在BCC中, 原子密度最大的晶面为{110}, 原子密度最大的晶向为<111>; 在FCC 中, 原子密度最大的晶面为{111}, 原子密度最大的晶向为<110>.4. 在(0110)晶面上绘出[2113]晶向.解详见附图1-2.附图1-2 六方晶系中的晶向5. 在一个简单立方二维晶体中, 画出一个正刃型位错和一个负刃型位错. 试求:(1) 用柏氏回路求出正、负刃型位错的柏氏矢量.(2) 若将正、负刃型位错反向时, 说明其柏氏矢量是否也随之反向.(3) 具体写出该柏氏矢量的方向和大小.(4) 求出此两位错的柏氏矢量和.解正负刃型位错示意图见附图1-3(a)和附图1-4(a).(1) 正负刃型位错的柏氏矢量见附图1-3(b)和附图1-4(b).(2) 显然, 若正、负刃型位错线反向, 则其柏氏矢量也随之反向.(3) 假设二维平面位于YOZ坐标面, 水平方向为Y轴, 则图示正、负刃型位错方向分别为[010]和[010], 大小均为一个原子间距(即点阵常数a).(4) 上述两位错的柏氏矢量大小相等, 方向相反, 故其矢量和等于0.6. 设图1-72所示立方晶体的滑移面ABCD平行于晶体的上下底面, 该滑移面上有一正方形位错环. 如果位错环的各段分别与滑移面各边平行, 其柏氏矢量b // AB, 试解答:(1) 有人认为“此位错环运动离开晶体后, 滑移面上产生的滑移台阶应为4个b”, 这种说法是否正确? 为什么?(2) 指出位错环上各段位错线的类型, 并画出位错移出晶体后, 晶体的外形、滑移方向和滑移量. (设位错环线的方向为顺时针方向)图1-72 滑移面上的正方形位错环 附图1-5 位错环移出晶体引起的滑移解 (1) 这种看法不正确. 在位错环运动移出晶体后, 滑移面上下两部分晶体相对移动的距离是由其柏氏矢量决定的. 位错环的柏氏矢量为b , 故其相对滑移了一个b 的距离.(2) A ′B ′为右螺型位错, C ′D ′为左螺型位错, B ′C ′为正刃型位错, D ′A ′为负刃型位错. 位错运动移出晶体后滑移方向及滑移量见附图1-5.7. 设面心立方晶体中的(111)晶面为滑移面, 位错滑移后的滑移矢量为[110]2a .(1) 在晶胞中画出此柏氏矢量b 的方向并计算出其大小.(2) 在晶胞中画出引起该滑移的刃型位错和螺型位错的位错线方向, 并写出此二位错线的晶向指数.解 (1) 柏氏矢量等于滑移矢量, 因此柏氏矢量的方向为[110], 大小为2/2a .(2) 刃型位错与柏氏矢量垂直, 螺型位错与柏氏矢量平行, 晶向指数分别为[112]和[110], 详见附图1-6.附图1-6 位错线与其柏氏矢量、滑移矢量8. 若面心立方晶体中有[101]2a b =的单位位错及[121]6a b =的不全位错, 此二位错相遇后产生位错反应.(1) 此反应能否进行? 为什么?(2) 写出合成位错的柏氏矢量, 并说明合成位错的性质.解 (1) 能够进行.因为既满足几何条件:[111]3a b b ==∑∑后前,又满足能量条件: . 22222133b a b a =>=∑∑后前. (2) [111]3a b =合, 该位错为弗兰克不全位错. 9. 已知柏氏矢量的大小为b = 0.25nm, 如果对称倾侧晶界的取向差θ = 1° 和10°, 求晶界上位错之间的距离. 从计算结果可得到什么结论?解 根据bD θ≈, 得到θ = 1°,10° 时, D ≈14.3nm, 1.43nm. 由此可知, θ = 10° 时位错之间仅隔5~6个原子间距, 位错密度太大, 表明位错模型已经不适用了.第二章 固体中的相结构1. 已知Cd, In, Sn, Sb 等元素在Ag 中的固熔度极限(摩尔分数)分别为0.435, 0.210, 0.130, 0.078; 它们的原子直径分别为0.3042 nm, 0.314 nm, 0.316 nm, 0.3228 nm; Ag 的原子直径为0.2883 nm. 试分析其固熔度极限差异的原因, 并计算它们在固熔度极限时的电子浓度.答: 在原子尺寸因素相近的情况下, 熔质元素在一价贵金属中的固熔度(摩尔分数)受原子价因素的影响较大, 即电子浓度e /a 是决定固熔度(摩尔分数)的一个重要因素, 而且电子浓度存在一个极限值(约为1.4). 电子浓度可用公式A B B B (1)c Z x Z x =-+计算. 式中, Z A , Z B 分别为A, B 组元的价电子数; x B 为B 组元的摩尔分数. 因此, 随着熔质元素价电子数的增加, 极限固熔度会越来越小.Cd, In, Sn, Sb 等元素与Ag 的原子直径相差不超过15%(最小的Cd 为5.5%, 最大的Sb 为11.96%), 满足尺寸相近原则, 这些元素的原子价分别为2, 3, 4, 5价, Ag 为1价, 据此推断它们的固熔度极限越来越小, 实际情况正好反映了这一规律; 根据上面的公式可以计算出它们在固熔度(摩尔分数)极限时的电子浓度分别为1.435, 1.420, 1.390, 1.312.2. 碳可以熔入铁中而形成间隙固熔体, 试分析是α-Fe 还是γ-Fe 能熔入较多的碳.答: α-Fe 为体心立方结构, 致密度为0.68; γ-Fe 为面心立方结构, 致密度为0.74. 显然, α-Fe 中的间隙总体积高于γ-Fe, 但由于α-Fe 的间隙数量多, 单个间隙半径却较小, 熔入碳原子将会产生较大的畸变, 因此, 碳在γ-Fe 中的固熔度较α-Fe 的大.3. 为什么只有置换固熔体的两个组元之间才能无限互熔, 而间隙固熔体则不能?答: 这是因为形成固熔体时, 熔质原子的熔入会使熔剂结构产生点阵畸变, 从而使体系能量升高. 熔质原子与熔剂原子尺寸相差越大, 点阵畸变的程度也越大, 则畸变能越高, 结构的稳定性越低, 熔解度越小. 一般来说, 间隙固熔体中熔质原子引起的点阵畸变较大, 故不能无限互熔, 只能有限熔解.第三章 凝固1. 分析纯金属生长形态与温度梯度的关系.答: 纯金属生长形态是指晶体宏观长大时固-液界面的形貌. 界面形貌取决于界面前沿液相中的温度梯度.(1) 平面状长大: 当液相具有正温度梯度时, 晶体以平直界面方式推移长大. 此时, 界面上任何偶然的、小的凸起深入液相时, 都会使其过冷度减小, 长大速率降低或停止长大, 而被周围部分赶上, 因而能保持平直界面的推移. 长大过程中晶体沿平行温度梯度的方向生长, 或沿散热的反方向生长, 而其它方向的生长则受到限制.(2) 树枝状长大: 当液相具有负温度梯度时, 晶体将以树枝状方式生长. 此时, 界面上偶然的凸起深入液相时, 由于过冷度的增大, 长大速率越来越大; 而它本身生长时又要释放结晶潜热, 不利于近旁的晶体生长, 只能在较远处形成另一凸起. 这就形成了枝晶的一次轴, 在一次轴成长变粗的同时, 由于释放潜热使晶枝侧旁液体中也呈现负温度梯度, 于是在一次轴上又会长出小枝来, 称为二次轴, 在二次轴上又长出三次轴……由此而形成树枝状骨架, 故称为树枝晶(简称枝晶).2. 简述纯金属晶体长大机制及其与固-液界面微观结构的关系.答: 晶体长大机制是指晶体微观长大方式, 即液相原子添加到固相的方式, 它与固-液界面的微观结构有关.(1) 垂直长大方式: 具有粗糙界面的物质, 因界面上约有50% 的原子位置空着, 这些空位都可以接受原子, 故液相原子可以进入空位, 与晶体连接, 界面沿其法线方向垂直推移, 呈连续式长大.(2) 横向(台阶)长大方式: 包括二维晶核台阶长大机制和晶体缺陷台阶长大机制, 具有光滑界面的晶体长大往往采取该方式. 二维晶核模式, 认为其生长主要是利用系统的能量起伏, 使液相原子在界面上通过均匀形核形成一个原子厚度的二维薄层状稳定的原子集团, 然后依靠其周围台阶填充原子, 使二维晶核横向长大, 在该层填满后, 则在新的界面上形成新的二维晶核, 继续填满, 如此反复进行.晶体缺陷方式, 认为晶体生长是利用晶体缺陷存在的永不消失的台阶(如螺型位错的台阶或挛晶的沟槽)长大的.第四章 相图1. 在Al-Mg 合金中, x Mg 为0.15, 计算该合金中镁的w Mg 为多少.解 设Al 的相对原子量为M Al , 镁的相对原子量为M Mg , 按1mol Al-Mg 合金计算, 则镁的质量分数可表示为Mg MgMg Al Al Mg Mg 100%x M w x M x M =⨯+.将x Mg = 0.15, x Al = 0.85, M Mg = 24, M Al = 27代入上式中, 得到w Mg = 13.56%.2. 根据图4-117所示二元共晶相图, 试完成:(1) 分析合金I, II 的结晶过程, 并画出冷却曲线.(2) 说明室温下合金I, II 的相和组织是什么, 并计算出相和组织组成物的相对量.(3) 如果希望得到共晶组织加上相对量为5%的β初的合金, 求该合金的成分.图4-117 二元共晶相图附图4-1 合金I的冷却曲线附图4-2 合金II的冷却曲线解(1) 合金I的冷却曲线参见附图4-1, 其结晶过程如下:1以上, 合金处于液相;1~2时, 发生匀晶转变L→α, 即从液相L中析出固熔体α, L和α的成分沿液相线和固相线变化, 达到2时, 凝固过程结束;2时, 为α相;2~3时, 发生脱熔转变, α→βII.合金II的冷却曲线参见附图4-2, 其结晶过程如下:1以上, 处于均匀液相;1~2时, 进行匀晶转变L→β;2时, 两相平衡共存, 0.50.9L βƒ;2~2′ 时, 剩余液相发生共晶转变0.50.20.9L βα+ƒ;2~3时, 发生脱熔转变α→βII .(2) 室温下, 合金I 的相组成物为α + β, 组织组成物为α + βII .相组成物相对量计算如下:αβ0.900.20100%82%0.900.050.200.05100%18%0.900.05w w -=⨯=--=⨯=- 组织组成物的相对量与相的一致.室温下, 合金II 的相组成物为α + β, 组织组成物为β初 + (α+β).相组成物相对量计算如下:αβ0.900.80100%12%0.900.050.800.05100%88%0.900.05w w -=⨯=--=⨯=- 组织组成物相对量计算如下:β(α+β)0.800.50100%75%0.900.500.900.80100%25%0.900.50w w -=⨯=--=⨯=-初 (3) 设合金的成分为w B = x , 由题意知该合金为过共晶成分, 于是有β0.50100%5%0.900.50x w -=⨯=-初 所以, x = 0.52, 即该合金的成分为w B = 0.52.3. 计算w C 为0.04的铁碳合金按亚稳态冷却到室温后组织中的珠光体、二次渗碳体和莱氏体的相对量, 并计算组成物珠光体中渗碳体和铁素体及莱氏体中二次渗碳体、共晶渗碳体与共析渗碳体的相对量.解 根据Fe-Fe 3C 相图, w C = 4%的铁碳合金为亚共晶铸铁, 室温下平衡组织为 P + Fe 3C II + L d ′, 其中P 和Fe 3C II 系由初生奥氏体转变而来, 莱氏体则由共晶成分的液相转变而成, 因此莱氏体可由杠杆定律直接计算, 而珠光体和二次渗碳体则可通过两次使用杠杆定律间接计算出来.L d ′ 相对量: d L 4 2.11100%86.3%4.3 2.11w '-=⨯=-. Fe 3C II 相对量: 3II Fe C 4.34 2.110.77100% 3.1%4.3 2.11 6.690.77w --=⨯⨯=--. P 相对量: P 4.34 6.69 2.11100%10.6%4.3 2.11 6.690.77w --=⨯⨯=--. 珠光体中渗碳体和铁素体的相对量的计算则以共析成分点作为支点, 以w C = 0.001%和w C = 6.69%为端点使用杠杆定律计算并与上面计算得到的珠光体相对量级联得到.P中F相对量:F P 6.690.77100%9.38% 6.690.001w w-=⨯⨯=-.P中Fe3C相对量:3Fe C10.6%9.38% 1.22%w=-=.至于莱氏体中共晶渗碳体、二次渗碳体及共析渗碳体的相对量的计算, 也需采取杠杆定律的级联方式, 但必须注意一点, 共晶渗碳体在共晶转变线处计算, 而二次渗碳体及共析渗碳体则在共析转变线处计算.L d′中共晶渗碳体相对量:dCm L4.3 2.11100%41.27%6.69 2.11w w'-=⨯⨯=-共晶L d′中二次渗碳体相对量:dCm L6.69 4.3 2.110.77100%10.2%6.69 2.11 6.690.77w w'--=⨯⨯⨯=--IIL d′中共析渗碳体相对量:dCm L6.69 4.3 6.69 2.110.770.0218100% 3.9%6.69 2.11 6.690.77 6.690.0218w w'---=⨯⨯⨯⨯=---共析4. 根据下列数据绘制Au-V二元相图. 已知金和钒的熔点分别为1064℃和1920℃. 金与钒可形成中间相β(AuV3); 钒在金中的固熔体为α, 其室温下的熔解度为w V = 0.19; 金在钒中的固熔体为γ, 其室温下的熔解度为w Au = 0.25. 合金系中有两个包晶转变, 即1400V V V1522V V V(1) β(0.4)L(0.25)α(0.27)(2) γ(0.52)L(0.345)β(0.45)w w ww w w=+===+==垐垐?噲垐?垐垐?噲垐?℃℃解根据已知数据绘制的Au-V二元相图参见附图4-3.附图4-3 Au-V二元相图第五章 材料中的扩散1. 设有一条直径为3cm 的厚壁管道, 被厚度为0.001cm 的铁膜隔开, 通过输入氮气以保持在膜片一边氮气浓度为1000 mol/m 3; 膜片另一边氮气浓度为100 mol/m 3. 若氮在铁中700℃时的扩散系数为4×10-7 cm 2 /s, 试计算通过铁膜片的氮原子总数.解 设铁膜片左右两边的氮气浓度分别为c 1, c 2, 则铁膜片处浓度梯度为7421510010009.010 mol /m 110c c c c x x x --∂∆-≈===-⨯∂∆∆⨯ 根据扩散第一定律计算出氮气扩散通量为722732410(10)(9.010) 3.610 mol/(m s)c J D x---∂=-=-⨯⨯⨯-⨯=⨯∂g 于是, 单位时间通过铁膜片的氮气量为 3-22-63.610(310) 2.5410 mol/s 4J A π-=⨯⨯⨯⨯=⨯g最终得到单位时间通过铁膜片的氮原子总数为-62318-1A () 2.5410 6.02102 3.0610 s N J A N =⨯=⨯⨯⨯⨯=⨯g第六章 塑性变形1. 铜单晶体拉伸时, 若力轴为 [001] 方向, 临界分切应力为0.64 MPa, 问需要多大的拉伸应力才能使晶体开始塑性变形?解 铜为面心立方金属, 其滑移系为 {111}<110>, 4个 {111} 面构成一个八面体, 详见教材P219中的图6-12.当拉力轴为 [001] 方向时, 所有滑移面与力轴间的夹角相同, 且每个滑移面上的三个滑移方向中有两个与力轴的夹角相同, 另一个为硬取向(λ = 90°). 于是, 取滑移系(111)[101]进行计算.222222222222kscos,3001111cos,2001(1)01cos cos,60.646 1.57 MPa.mmϕλϕλτσ==++⨯++==++⨯-++====⨯=即至少需要1.57 MPa的拉伸应力才能使晶体产生塑性变形.2. 什么是滑移、滑移线、滑移带和滑移系? 作图表示α-Fe, Al, Mg中的最重要滑移系. 那种晶体的塑性最好, 为什么?答:滑移是晶体在切应力作用下一部分相对于另一部分沿一定的晶面和晶向所作的平行移动; 晶体的滑移是不均匀的, 滑移部分与未滑移部分晶体结构相同. 滑移后在晶体表面留下台阶, 这就是滑移线的本质. 相互平行的一系列滑移线构成所谓滑移带. 晶体发生滑移时, 某一滑移面及其上的一个滑移方向就构成了一个滑移系.附图6-1 三种晶体点阵的主要滑移系α-Fe具有体心立方结构, 主要滑移系可表示为{110}<111>, 共有6×2 = 12个; Al具有面心立方结构, 其滑移系可表示为{111}<110>, 共有4×3 = 12个; Mg具有密排六方结构, 主要滑移系可表示为{0001}1120<>, 共有1×3 = 3个. 晶体的塑性与其滑移系的数量有直接关系, 滑移系越多, 塑性越好; 滑移系数量相同时, 又受滑移方向影响, 滑移方向多者塑性较好, 因此, 对于α-Fe, Al, Mg三种金属, Al的塑性最好, Mg的最差, α-Fe居中. 三种典型结构晶体的重要滑移系如附图6-1所示.3. 什么是临界分切应力? 影响临界分切应力的主要因素是什么? 单晶体的屈服强度与外力轴方向有关吗? 为什么?答:滑移系开动所需的作用于滑移面上、沿滑移方向的最小分切应力称为临界分切应力.临界分切应力τk的大小主要取决于金属的本性, 与外力无关. 当条件一定时, 各种晶体的临界分切应力各有其定值. 但它是一个组织敏感参数, 金属的纯度、变形速度和温度、金属的加工和热处理状态都对它有很大影响.如前所述, 在一定条件下, 单晶体的临界分切应力保持为定值, 则根据分切应力与外加轴向应力的关系: σs = τk / m, m为取向因子, 反映了外力轴与滑移系之间的位向关系, 因此, 单晶体的屈服强度与外力轴方向关系密切. m越大, 则屈服强度越小, 越有利于滑移.4. 孪生与滑移主要异同点是什么? 为什么在一般条件下进行塑性变形时锌中容易出现挛晶, 而纯铁中容易出现滑移带?答:孪生与滑移的异同点如附表6-1所示.附表6-1 晶体滑移与孪生的比较锌为密排六方结构金属, 主要滑移系仅3个, 因此塑性较差, 滑移困难, 往往发生孪生变形, 容易出现挛晶; 纯铁为体心立方结构金属, 滑移系较多, 共有48个, 其中主要滑移系有12个, 因此塑性较好, 往往发生滑移变形, 容易出现滑移带.第七章 回复与再结晶1. 已知锌单晶体的回复激活能为8.37×104 J/mol, 将冷变形的锌单晶体在-50 ℃进行回复处理, 如去除加工硬化效应的25% 需要17 d, 问若在5 min 内达到同样效果, 需将温度提高多少摄氏度?解 根据回复动力学, 采用两个不同温度将同一冷变形金属的加工硬化效应回复到同样程度, 回复时间、温度满足下述关系:122111exp t Q t R T T ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 整理后得到221111ln T t R T Q t =+.将41211223 K,/5/(172460),8.3710 J/mol, 8.314 J/(mol K)4896T t t Q R ==⨯⨯==⨯=⋅代入上式得到2274.7 K T =.因此, 需将温度提高21274.722351.7 T T T ∆=-=-=℃.2. 纯铝在553 ℃ 和627 ℃ 等温退火至完成再结晶分别需要40 h 和1 h, 试求此材料的再结晶激活能.解 再结晶速率v 再与温度T 的关系符合阿累尼乌斯(Arrhenius)公式, 即exp()Q v A RT=-再 其中, Q 为再结晶激活能, R 为气体常数.如果在两个不同温度T 1, T 2进行等温退火, 欲产生同样程度的再结晶所需时间分别为t 1, t 2, 则122112122111exp[()]ln(/)t Q t R T T RTT t t Q T T =--⇒=-依题意, 有T 1 = 553 + 273 = 826 K, T 2 = 627 + 273 = 900 K, t 1 = 40 h, t 2 = 1 h, 则58.314826900ln(40/1)3.0810J/mol 900826Q ⨯⨯⨯=⨯-B3. 说明金属在冷变形、回复、再结晶及晶粒长大各阶段的显微组织、机械性能特点与主要区别.答: 金属在冷变形、回复、再结晶及晶粒长大各阶段的显微组织、机械性能特点与主要区别详见附表7-1.附表7-1 金属在冷变形、回复、再结晶及晶粒长大各阶段的显微组织、机械性能第八章 固态相变。
材料科学基础期末模拟试题集
模拟试题1简答题（每题5分，共30分）1.已知fcc晶体的致密度比bcc晶体的大，请解释为什么fcc的固溶度仍比bcc的大？答：间隙分为四面体间隙和八面体间隙。
在fcc中八面体间隙较大，而bcc中因八面体间隙为扁八面体间隙，故其四面体间隙较大。
因此fcc晶体能够容纳更多的溶质原子。
2.请简述影响固溶体固溶度的因素有哪些。
答：1）原子尺寸因素：置换固溶体的溶质与溶剂原子尺寸越相近固溶度越大。
间隙固溶体的溶质原子与溶剂间隙尺寸越相近固溶度越大。
2）晶体结构因素：置换固溶体溶质溶剂的晶体结构相似固溶度越大。
3）电负性因素：溶质与溶剂的电负性越相近固溶度越大。
4）电子浓度因素：电子浓度越低固溶度越大。
3.均匀形核与非均匀形核具有相同的临界晶核半径，非均匀形核的临界形核功也等于三分之一表面能，为什么非均匀形核比均匀形核容易？答：非均匀形核与均匀形核的临界晶核半径相等，但非均匀形核的临界晶核体积小。
非均匀形核的临界形核功也等于三分之一表面能，但非均匀形核的表面能小于均形核的表面能，即非均匀形核的临界形核功小。
因此非均匀形核比较容易。
4.原子的热运动如何影响扩散？答：原子热运动越强烈，原子的跃迁距离增大，跃迁频率增大，跃迁几率增大，将使得扩散系数增大，即促进扩散。
5.如何区分金属的热变形和冷变形？答：冷、热变形温度的分界是再结晶温度。
6.基体、增强体和界面在复合材料中各起什么作用？答：基体：1）固定和粘附增强体2）保护增强体免受物理化学损伤3）隔离和阻断损伤。
增强体：1）承担载荷；2）阻碍基体变形。
界面：协调变形二、作图计算题（每题10分，共40分）1. 请分别计算简单立方晶体与面心立方晶体（100）、（110）和（111）晶面的间距。
晶面（100）（110）（111）简单立方 a （1分）22a（2分）33a（2分）面心立方2a（1分）42a（2分） 33a（2分）2. 已知某晶体在500℃时，每1010个原子中可以形成有1个空位，请问该晶体的空位形成能是多少？（已知该晶体的常数A ＝0.0539，波耳滋曼常数K ＝1.381×10-23 J / K ）答：J A c kT E kT E A c V V19201023109.18.1710068.10539.010ln)]273500(10381.1[ln )exp(----⨯=⨯⨯=+⨯⨯-=-=∆∆-=3. 请判定在fcc 中下列位错反应能否进行：]111[3]211[6]110[2aa a →+答：几何条件：()1113313131612162612121a c b a c b a b b =-+=⎪⎭⎫⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+能量条件：332626622222222a a a a aa >=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+满足几何条件和能量条件，反应可以进行。
晶面间距及晶包参数计算公式
空间点阵必可选择3个不相平行的连结相邻两个点阵点的单位矢量a，b，c，它们将点阵划分成并置的平行六面体单位，称为晶面间距。
空间点阵按照确定的平行六面体单位连线划分，获得一套直线网格，称为空间格子或晶格。
点阵和晶格是分别用几何的点和线反映晶体结构的周期性，它们具有同样的意义。
1概述空间点阵必可选择3个不相平行的连结相邻两个点阵点的单位矢量a，b，c，它们将点阵划分成并置的平行六面体单位，称为晶面间距。
空间点阵按照确定的平行六面体单位连线划分，获得一套直线网格，称为空间格子或晶格。
点阵和晶格是分别用几何的点和线反映晶体结构的周期性，它们具有同样的意义。
2 计算不同的{hkl}晶面（标准卡片可读出hkl为衍射指数），其面间距(即相邻的两个平行晶面之间的距离)各不相同。
总的来说，低指数的晶面其面间距较大，而高指数面的面间距小。
以图1-22所示的简单立方点阵为例，可看到其{100}面的晶面间距最大，{120}面的间距较小，而{320}面的间距就更小。
但是，如果分析一下体心立方或面心立方点阵，则它们的最大晶面间距的面分别为{110}或{111}而不是{100}，说明此面还与点阵类型有关。
此外还可证明，晶面间距最大的面总是阵点(或原子)最密排的晶面，晶面间距越小则晶面上的阵点排列就越稀疏。
正是由于不同晶面和晶向上的原子排列情况不同，使晶体表现为各向异性。
简单立方点阵晶面间距d与点阵常数之间的关系：。
面心立方晶体（FCC）晶面间距与点阵常数a之间的关系：若h、k、l 均为奇数，则；否则，。
体心立方晶体（BCC）晶面间距与点阵常数a之间的关系：若h+k+l=偶数，则；否则，。
点阵常数和晶面间距
点阵常数和晶面间距点阵常数和晶面间距是固体结构中的两个重要参数，它们对于材料的性质和行为有着重要的影响。
点阵常数是指晶体中相邻原子之间的距离，而晶面间距则是指晶体中两个相邻晶面之间的距离。
本文将从点阵常数和晶面间距的定义、计算方法以及对材料性质的影响等方面进行探讨。
一、点阵常数的定义和计算方法点阵常数是晶体中原子之间的距离，它是晶体结构的一个重要参数。
点阵常数的计算方法有多种，常见的有X射线衍射法和电子衍射法。
其中，X射线衍射法是通过测量入射X射线和衍射X射线之间的夹角以及衍射的波长，利用布拉格方程计算点阵常数。
电子衍射法则是利用电子束在晶体上的衍射现象，通过测量衍射斑的位置和间距，计算点阵常数。
二、晶面间距的定义和计算方法晶面间距是晶体中两个相邻晶面之间的距离，它决定了晶体的晶胞结构和晶体平面的排列方式。
晶面间距的计算方法也有多种，常见的有布拉格方程、米勒指数和晶胞参数的计算等。
布拉格方程是通过入射光波长、晶面间距和衍射角之间的关系来计算晶面间距的。
三、点阵常数和晶面间距对材料性质的影响点阵常数和晶面间距对材料的性质和行为有着重要的影响。
首先，点阵常数决定了晶体中原子之间的距离，从而影响了原子之间的相互作用力和结构稳定性。
较小的点阵常数意味着原子之间的距离较近，相互作用力较强，晶体结构较稳定。
而较大的点阵常数则意味着原子之间的距离较远，相互作用力较弱，晶体结构较不稳定。
晶面间距决定了晶体的晶胞结构和晶体平面的排列方式。
不同的晶面间距会导致晶体中晶胞的大小和形状不同，从而影响了晶体的力学性能、热学性能和电学性能等。
例如，较小的晶面间距意味着晶体中晶胞较小，原子之间的距离较近，从而使晶体具有较高的密度和较好的机械强度。
点阵常数和晶面间距还会影响晶体的晶格畸变和晶体缺陷的形成。
当晶体中的点阵常数和晶面间距发生变化时，晶格结构会发生畸变，从而引起晶体中的缺陷和位错。
这些缺陷和位错将会影响晶体的力学性能、导电性能和热学性能等。