第9章 分析动力学基础PPT课件

F Q j F Q * j 0j1 ,2 ,...k
F
* Qj
不便计算，拉格朗日方程利用两个经典
微分关系。将
F
* Q
j
能量化
从而导出拉氏方程。
1)
ri ri “同时消点”
qj qj
2)
d dt
ri q j
ri q j
“交换关系”（求导）
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一、拉氏方程的一般形式
dT T
解:本系统为完整约束，主动力非有
势，采用基本形式的拉氏方程求解。
q1 ①判断系统的自由度，
取广义坐标。
m1
本题中， k 2 ，取 q 1 , q 2 为广义坐标，
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M
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思考 1.本题中如何求绳的张力及圆柱纯滚的条件?
2.用动力学普遍定理如何求解?
3.计入滑轮A质量,结果有何变化?
J O 1
1
O 1
m 1a 0 m 1g
图(b)
A
m 2aC
JC 2 C 2 m 2g 2
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§9-2 拉格朗日方程
对于完整的约束系统，动力学普遍方程的广义坐标形式为
第9章 分析动力学基础
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动力学普遍方程 拉格朗日方程 拉格朗日方程的首次积分
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运用矢量力学分析非自由质点系，必然会 遇到约束力多，方程数目多，求解烦琐，能否 建立不含未知约束力的动力学方程？
将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建 立动力虚功方程，广义坐标化，能量化，化为 第二类拉氏方程，实现用最少数目方程，描述 动力系统。
5
例1 图示为离心式调速器
已知：m1, m2 , l , , 求：(θ) 的关系。
答：
2 (m1 m2)g m1lcos
l θθ l
A B
m1g l
C
l m1g
m2g
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例2 已知 P1,P2,,r,J 求a?
答:
a 2P1P2r2sin g 2P1P2r2 2Jg
a
p1
p2
1 m1 r
O
图(a)
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A
m2 rC 2
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解:自由度k=2
取两轮转角 1 , 2 为 广义坐标，其受力与运
J O 1
1
O 1
m 1a 0 m 1 g
图(b)
动分析，如图(b)所示，
A
m 2aC
JC 2 C 2 m 2g 2
v C r1 r2 ,a C r1 r2
பைடு நூலகம்
dtqj
qj
FQj
j1,2,...k
第二类拉氏方程，以t为自变量，q j ( t ) 为未知函数的 二阶常微分方程组，2k个积分常量，须2k个初始条 件
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例1 均质杆OA质量为m1、可绕轴O转动,
大齿轮半径为R，小齿轮质量为m2，半
径为r ，其上作用一常力偶M，设机构处 于水平面。 求：该杆的运动方程。
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§9-1 动力学普遍方程
一. 方程的一般形式
1.矢量形式：
FiFIiri0
动力学普遍方程或 达朗贝尔－拉格朗日原理 理想约束，不论约束完整，定常与否均适用 2.直角坐标形式：
[ ( F i x m i x i ) δ x i ( F i y m iy i ) δ y i ( F i z m i z i ) δ z i ] 0 i
a1
G1
G2
G1 g
a1
有 G g 1a 1δxG g 2rco sδxG g 2a 1δx0
即
G 1 G 2a 1 G 2 rc os
(a)
又由 δ W F 0 ,δ 0 ,δ x 0 , 有
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1 2 G g 2 r 2δ G g 2 rr δ G g 2 a 1 c o sr δ G 2 s in r δ 0
令 δ10,δ20，由 δWF(2) 0
有 ( m 2 g m 2 a C ) r δ2 J C 2 δ 2 0
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(a)
(b)
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将式(a)及 JC m2r2 代入(b)式，
得 r(122)g (c) 再令 δ10,δ20
J O 1
1
O 1
m 1a 0 m 1g
由
即 2 3G g2rG g2a1co sg2 G sin0 (b)
式(a)代入(b),可得 注意:
a13G1G G22gs2inG 22sin2
令 δx 0
时，牵连惯性力 G 2 g
a1
令 δ 0 时，相对惯性力 G 2 r g
两者相互独立。
并不为零； 并不为零，
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例4 均质圆柱1与薄壁圆筒2用绳相连，并多圈缠绕 圆筒(绳与滑轮A的重量不计)。已知 m1 ,m2 ,r, 试求运动过程中轮心C与轮心O的加速度大小。
p1
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例3 已知重量 G1,G2,及,r, 轮纯滚,水平面光滑, 求三棱柱加速度。
O
G2 r
G1
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δ
1 2
G2 g
r 2
解:加惯性力，受力如图。
选 x , 广义坐标。
G2 g
r
O
r
G2 g
a1
δx
由
δ W F x = 0 ,δ 0 ,δ x 0
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3.广义坐标形式
设完整约束系统有K个自由度，可取 q1,q2,q3..q.k,广义坐标.
k
(FQj
*
FQj
)qj
0
j1
注意: 包含了惯性力虚功!
广义主动力 广义惯性力
n
r FQj
i 1
Fi
i
qj
*
r FQj
n
i1
miai
i
qj
*
FQj FQj 0
j1,2,k
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A
M
r
O
R
答：
(2m 193 m M 2)R (r)2t20t0
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例2 已知： m1 , m2 , R, f , F 。 求： 板的加速度a。
CR
答：
O
F
x
x
a F f (m1 m2)g
m1
m2 3
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例３. 如图所示，铰盘半径为R，转动惯量为J， 其上作用力偶矩为M的力偶，重物质量分别为 m1 , m 2 不计摩擦与滑轮质量，求铰盘的角加速度 。
δWF(1) 0 有
图(b)
m 1 a 0 r δ 1 J 0 1 δ 1 ( m 2 a C m 2 g ) r δ 1 0
A
m 2aC
JC 2 C 2 m 2g 2
即 (3 2m 1rm 2r)1m 2r2m 2g
(d)
联立 (c)和(d)式，可得
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a 0r13 m m 12 g m 2, a C(2 2 (m 3 2 m 1 3 m m 1 2 ))g