椭圆曲线密码

群和域的相关概念
定义5（二进制域）阶为2m的域称为二进制域或特征为2的有限域。构成F2m的一 种方法是采用多项式表示法。在这种表示法当中，域F2m 的元素是次数最多为m1次的二进制多项式（多项式的系数取自F2=｛0，1｝）
F2 {am-1Z m-1 am-2 Z m-2 a2 Z 2 a1Z a0 : a {0,1}}
椭圆曲线密码的优势


带宽要求低 。对长消息进行加密时，几种公钥系统有相 同的带宽。但是应用于短消息时，ECC对带宽的要求要低 得多，而公钥系统又多用于短消息，所以这一特点使得 ECC在无线网络领域具有广泛的应用前景。 灵活性好。有限域上的椭圆曲线可以通过改变曲线参数， 得到不同的曲线，因而椭圆曲线具有丰富的多选择性
谢谢！
椭圆曲线密码制研究
内容安全研究室 朱潜
报告的主要内容
群和域的相关概念 椭圆曲线的定义和运算法则 椭圆曲线离散对数问题 椭圆曲线密码体制 椭圆曲线密码的优势 曲线密码体制的应用

为什么要在有限域上研究椭圆曲线密码？
密码学常在有限域的基础上研究椭圆密码曲线，在有限域的椭圆 曲线主要是基于Fp和F2m基础上。基于有限域Fp，而不是使用实数域、 是因为实数计算时会产生截段误差，无法满足密码算法的精确性，而 且实数运算的速度很慢。基于F2m是由于可以在计算机处理时大大提 高处理速度。
椭圆曲线密码体制
密码分析者 明文 加密 A PKB SKB 密文 解密 B 原始明文
加密模型
密码分析者 消息 签名 A SKA 签名—消息对 PKA 验证 B 消息
认证模型
椭圆曲线加密和解密过程
为方便于椭圆曲线密码体制的计算，需要把明文嵌入作为曲线E上的一个 点就是对明文信息进行编码。如果明文较长，可分段处理。 加密前，首先要把明文信息分组为有限域上的明文信息块m，而后对m编码 使之变换为椭圆曲线上的对应点Pm
m
Eg2:
F23
的元素为
0,1,z,z+1,z2,z2+1,z2+z+1
椭圆曲线的定义
1985年，Koblitz,Miller ,提出用椭圆曲线构造密码体制。 提出利用有限域上的椭圆曲线的点集构成Abel群，利用这类点群上离散对数 问题的难解性来建立椭圆曲线密码体制。 椭圆曲线是一个具有两个变元的方程，椭圆曲线密码体制使用的是变元和 系数均为有限域中元素的椭圆曲线。
P=（16，5）；2P=（20,20）；3P=（14，14）；4P=（19，20）； 5P=（13，10）；6P=（7，3）；7P=（8，7）；8P=（12，17）； 9P=（4，5）；因为9P=（4，5）=Q，所以，以P=（16，5）为底的Q=（4，5）的离 散对数k=9。 但是在实际应用当中，k的值非常大，使用穷举法并不可行。在构造椭圆曲 线密码体制时，要求有理点群的阶必须足够大，且含有长度不小于160bit的大 素因子。
椭圆曲线密码的优势



安全性能高。和其他几种公钥系统相比，其抗攻击性更具 有绝对的优势，更安全。在同等安全条件下，安全要求越 高，其短密钥的优势越明显。 计算量小，处理速度快。虽然RSA可以选取较小的公钥提 高公钥处理速度，使其在加密和签名验证速度域ECC有可 比性，但是在私钥的处理速度上，ECC远远要比其他公钥 系统快得多， 存储空间占用小。ECC的密钥长度和系统参数与其他公钥 系统相比要小得多，这意味着它所需的存储空间要小得多。
y
图像如下所示：
2
xy x
3
1
有限域上椭圆曲线的加法原理
为了简化起见，我们可以将P+P记为2P,以此类推 mP=P+P+……+P 称为椭圆曲线上点P的m倍加。当P≠Q时，称为椭圆曲线上点的点加或者普加。 下面给出椭圆曲线上 y
2
xy x 3 1 上点P的3倍加的几何意义。
椭圆曲线离散对数问题
ECDLP---Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem
椭圆曲线离散对数问题
考虑由方程y2mod23=(x3+9x+17)mod23所定义的群E23(9，17).以P=（16，5） 为底的Q=（4，5）的离散对数k为多少？穷举攻击是通过计算P的倍数来寻求Q。
基于椭圆曲线的数字签名方案
假设Alice发送信息m给Bob, m可简单认为是明文信息的二进制形式（假 设曲线参数同加解密的情形），Bob的公钥为Q。私钥为d, Bob希望对消息m 进行签名并将签名对发送给Alice, Alice验证签名是否正确。 签名生成： （1）随机选择k∈[1,n-1],计算R=[k]G=[x1,y1]； （2）计算r=x1modn,若r=0,则返回（1）； （3）利用sk=（Hash(m)+dr）modn，计算s，若s=0，则返回（1）； Hash是一种Hash算法，如：MD5等。 （4）（r,s）即是Bob对消息m的签名。将（m,(r,s)）发给Alice 验证算法： 1、验证r和s是不是在[1,n-1]区间的正整数，如果不是，则(r,s)不是有效的签名。 2、计算e=H(m)。 3、计算w=s-1modn,u1=emodn,u2=rw modn； 4、计算T=u1G+u2Q,T≠0； 5、计算v=Txmodn(Tx是T的横坐标)； 6、如果v=r,签名验证通过，否则拒绝。
椭圆曲线密码体制的应用
在智能卡领域应用广泛，其存储空间小，短密钥所带来的优点弥补了智能卡的各 种局限，有效地降低了生产成本，也提高了智能卡的实用性。 在信息隐藏，身份认证方面也有一些应用 SET(Secue Electronic Transactions)协议的制定者已把它作为下一代SET 协议中缺省的公钥密码算法。 在无线移动网络安全中的应用 WTLS（无线传输层安全协议）、PKI（公钥信息基础设施）、WPKI、 WAPI（无线局域网鉴别域保密基础结构）等。 目前在无线局域网及移动通信网络中已经有相关协议将其纳入标准。加拿大 Certicom公司是国际上最煮面的ECC密码技术公司，已经授权300多家企业使用 ECC密码技术，包括Cisco,摩托罗拉，索尼等公司。
椭圆曲线的定义
设F是一个域，域F上的Weierstrass方程是：
y 2 a 1 xy a 3 y x 3 a 2 x 2 a 4 x a 6
满足Weierstrass方程的数偶（x,y）称为域F上椭圆曲线E的点。域F可以是 有理数域，也可以是复数域，还 可以是有限域。除了曲线E上的所有点外，还 需要加上一个特殊的无穷点“O”。点集与定义在它上面运算共同构成了一个域 ，这个域就是椭圆曲线密码体制（ECC）的基础。 ECC----Elliptic Curve Cryptography 在对域F上的椭圆曲线E的研究，我们经常使用的有如下两种情况：
群和域的相关概念
定义3：有限域，如果域F中的元素个数有限，则称F为有限域或伽罗华域，其 中F中的元素个数称为有限域F的阶，记为∣F ∣。 对有限域而言，其元素的个数必为一素数的方幂。即存在一个q阶有限域F， 当且仅当q是一个素数的幂，即q=pm,其中，p是一个素数，并称为域F的特征， m是一个正整数。若m=1,则域F就称为素域。 定义4：设p是一个素数，以p为模，则模p的全体余数的集合{0，1，2，……， p-1}关于模p的加法和乘法构成一个p阶有限域，简称素域，并且用符号Fp表示。 我们称p为Fp的模。 Eg1:（素数F29）F29的元素是｛0,1,2, …… ,28}.下面是该域上的一些算术运算 的例子。 a)加法：17+20=8，因为37mod29=8 b)减法：17-20=26，因为-3mod29=26 c)乘法：17*20=21，因为340mod20=21 d)求逆：17-1=12，因为17*12mod29=1
椭圆曲线的定义
（1）当域的特征不为2，3时，也就是大素数域 Fp 时，我们通常取如下形式 的Weierstrass方程： y x ax b （2）当域的特征为2的有限域
2 3
F2 n 时，我们通常取如下形式的Weierstrass方程
y 2 xy x 3 a2 x 2 a6
举一个比较简单的椭圆曲线的例子：
y2=x3-x
有限域上椭圆曲线的加法原理
运算法则：设P，Q是E上的两个点，L是过P和Q的直线（过P点切线，如果P=Q ）,R是L与曲线E相交的第三点。设L’是过R和O的直线，则P+Q就是L‘与E相交 的第三点。
(a)
(b)
有限域上椭圆曲线的加法原理
注意：点P+Q与点R不一定关于x轴对称，原因是椭圆曲线不一定关于x轴对称 ，例如R上的椭圆曲线
（密钥对的产生）假设椭圆曲线E(F(p))已经确定，基点为G=（xG, yG） ,则密钥对的产生非常简单：随机产生d∈[2,n-2]（其中n为椭圆曲线的阶 ）作为用户的私钥，计算Q=[d]G,Q作为用户的公钥。
椭圆曲线加密和解密过程
用户A向用户B传数据：
1、选取椭圆曲线Ep(a,b)和基点G。A随即选取一个整数nA(nA<n) 作为私钥保存，B随即选取一个整数nB(nB<n)作为私钥保存，并 分别产生自己的公钥PA=nA×G,PB=nB×G。 2、随机选取一个正整数k，并产生密文Cm={kG, Pm+kPB},在这里 A使用了B的公钥。 3、B要解密，需要做以下运算：Pm+kPB-nB(kG)=Pm+k(nBG)nB(kG)=Pm+k(nBG)-k(nBG)=Pm。A通过KPB与Pm相加来对Pm进 行伪装。因为只有A知道k,即使PB是公钥，除了A之外均不能伪 装kPm。
群和域的相关概念
定义1：任意给定一个非空集合F和其上的二元运算“*”，如果满足 （1）封闭性：对任意a,b∈F,存在c ∈F,使得c=a*b ∈F; （2）结合律：对于任意a,b∈F,都有(a*b)*c=a*b*c; （3）单位元e存在：即存在e ∈F,对于任意a ∈F,都有a*e=e*a; （4）逆元存在：对于任意a ∈F,存在b ∈F,使得a*b=b*a=e;则称集合F关于二元 运算“*”构成群，记为（F，*）。 在群（F，*）中，如果对于任意a ,b∈F,都有a*b=b*a,则称群（F，*）是交 换群，也称为阿贝尔（Abel）群。 定义2：设“+”，“*”是G上的二元运算，如果满足： （1）（G，+）是一个交换群，其单位元记为0； （2）（G-{0}，*）是交换群，其单位元记为1； （3）运算“*”对“+”可分配，即对任意a ,b,c∈G,都有 a*(b+c)=a*b+a*c (a+b)*c=a*c+b*c 则称（G,+,*）是域。