2020年高考文科数学全国卷1试题解析(word版)

2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标卷I）文科数学试题解析一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A={x|x2-3x-4≤0}，B={-4,1,3,5}，且A∩B=( )A．{-4,1} B．{1,5} C．{3,5} D．{1,3}解析：A={x|-1≤x≤4}，∴A∩B={1,3}，故选D2．若z=1+2i+i3，则|z|=( )A．0 B．1 C2D．2解析：z=1+i，∴|z2 C3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A．514B．512C．514D．512解析：设四棱锥的高为h，底面边长为2a，侧面三角形的高为m，依题h2=am，且h2+a2=m2，联立消去h得m2-am -a2=0，152 hm±∴=，舍去负号，故选C. 4．设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为( )A．15B．25C．12D．45解析：任取三点有：O-A-B,C,D，O-B-C,D，O-C-D，A-B-C,D，A-C-D，B-C-D，共有10种。

其中3点共线的有2种，故选A.5．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：°C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(x i. y i)(i=1,2,···,20)得到散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是( )A ．y=a+bxB ．y=a+bx 2C ．y=a+be xD ．y=a+b ln x解析：根据散点图可排除A ．B ．C ．故选D.6．已知圆x 2+y 2-6x =0，过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：依题圆心为C (3,0)，半径r =3，过点A (1,2)的最短弦是垂直AC 的弦. 又AC 2，由勾股关系可得最短弦长=2，故选B. 7．设函数f (x )=cos(ωx +6π)在[-π,π]的图像大致如下图， 则f (x )的最小正周期为( ) A ．109πB ．76π C ．43π D ．32π 解析：依图49π-是(-π,0)的一个零点。

∴4962πππω-+=-32ω⇒=，故选C.8．设a log 34=2，则4-a =( ) A ．116B ．19C ．18D ．16解析：依题log 34a =2，4a =32=9，∴4-a =9-1，故选B.9．执行下面的程序框图，则输出的n =( ) A ．17 B ．19 C ．21D ．23解析：依题S 是求k 个正奇数的和，S=k 2。

S ≤100，∴k =10。

∴输出n=2×11-1=21，故选C.10．设{a n }是等比数列，且a 1+a 2+a 3=1， a 2+a 3+a 4=2，则a 6+a 7+a 8=( )A ．12B ．24C ．30D ．32解析：∵ a 1+a 2+a 3，a 2+a 3+a 4，···仍成等比数列且公比为2， 其第6项为：a 6+a 7+a 8=1×25=32，故选D.y x O 2x+y -2=0y+1=0x -y -1=0ABC 2 11．设F 1, F 2是双曲线C ：2213y x -=的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |=2，则∆PF 1F 2的面积为( ) A ．72B ．3C ．52D ．2 解析：a =1,b 2=3，∴c=2，∴| F 1F 2|=4，又|OP |=2，∴∠F 1PF 2=90°， 设|PF 1|=m ，|PF 2|=n ，则|m -n |=2，∴m 2+n 2-2mn =4， 且m 2+n 2 =16。

∴mn =6，∴∆PF 1F 2的面积为3，故选B.12．已知A ,B ,C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为∆ABC 的外接圆，若⊙O 1的面积为4π，AB=BC=AC=OO 1，则球O 的表面积为( ) A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π解析：设球O 半径为R ，⊙O 1的半径为r ，依题πr 2=4π，∴r =2。

又AB=BC=AC=OO 1，∴OO 1=AB=2r sin60°=3R 2=12+4=16，∴球的表面积为64π，故选A. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若x ,y 满足约束条件220,10,10,x y x y y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪+≥⎩则z =x +7y 的最大值为 . 1解析：作出可行域，如图.画出直线l 0： x +7y =0，平移l 0到l ， 当l 经过点A (1,0)时z 最大 所以，z max =1.14．设为(1,1)(1,24),a b m m a b -=+-⊥=，若，则m = . 5解析：依题m +1-(2m -4)=0，解得m =5.15．曲线y=ln x+x +1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为 . y =2x解析：y ′=11x +，由y ′=2，解得x =1。

可得切点为(1,2)，∴切线方程分别为y -2=2(x -1)，化简得y =2x .16．数列{a n }满足a n +2+(-1)n a n =3n -1，前16项和为540，则a 1= . 7解析：(1)当n =2k (k ∈N*)时，a 2k +2+a 2k =6k -1，∴(a2+a4)+(a6+a8)+ (a10+a12)+(a14+a16)=5+17+29+41=92.(2)当n=2k-1(k∈N*)时，a2k+1-a2k-1=6k-4，即a2k+1=a2k-1+6k-4.∴a3=a1+2，a5=a3+8=a1+10，a7=a5+14=a1+24，a9=a7+20=a1+44，a 11=a9+26=a1+70，a13=a11+32=a1+102，a15=a13+38=a1+140，∴a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=8a1+392.依题8a1+392+92=540，解得a1=7.三、解答题：（共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分。

17．（12分）某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：甲分厂产品等级的频数分布表乙分厂产品等级的频数分布表（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务?解析：（1）由试加工产品等级的频数分布表知，甲分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为400.4100=； 乙分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率的估计值为280.28100=. （2）由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为65402520520752015100⨯+⨯-⨯-⨯=.由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为70283017034702110100⨯+⨯+⨯-⨯=.比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润，应选甲分厂承接加工业务.18．（12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a，b =ABC △的面积；（2）若sin AC ，求C .解析：（1）由题设及余弦定理得2222832cos150c c =+-⨯︒，解得2c =-（舍去），2c =，从而a =ABC △的面积为12sin1502⨯⨯︒=（2）在ABC △中，18030A B C C =︒--=︒-，所以sin sin(30)sin(30)A C C C C =︒-=︒+，故sin(30)C ︒+=而030C ︒<<︒，所以3045C ︒+=︒，故15C =︒.19．（12分）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，ABC △是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，∠APC =90°．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAC ；（2）设DO ，求三棱锥P −ABC 的体积. 解析：（1）由题设可知，PA =PB = PC ．又∠APC =90°，故∠APB =90°，∠BPC =90°．由于△ABC 是正三角形，故可得△PAC ≌△PAB ．△PAC ≌△PBC ． 从而PB ⊥PA ，PB ⊥PC ，故PB ⊥平面PAC ，所以平面PAB ⊥平面PAC ． （2）设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ． 由题设可得rl222l r -=． 解得r =1，l从而AB =．由（1）可得222PA PB AB +=，故PA PB PC ===所以三棱锥P -ABC 的体积为311113232PA PB PC ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯=．20．（12分）已知函数()e (2)x f x a x =-+.（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围.解析：（1）当a =1时，f （x ）=e x –x –2，则f x '（）=e x –1． 当x <0时，f x '（）<0；当x >0时，f x '（）>0． 所以f （x ）在（–∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．（2）f x '（）=e x –a ． 当a ≤0时，f x '（）>0，所以f （x ）在（–∞，+∞）单调递增， 故f （x ）至多存在1个零点，不合题意．当a >0时，由f x '（）=0可得x =ln a ． 当x ∈（–∞，ln a ）时，f x '（）<0； 当x ∈（ln a ，+∞）时，f x '（）>0．所以f （x ）在（–∞，ln a ）单调递减，在（ln a ，+∞）单调递增，故当x =ln a 时，f （x ）取得最小值，最小值为f （ln a ）=–a （1+ln a ）．（i ）若0≤a ≤1e ，则f （ln a ）≥0，f （x ）在（–∞，+∞）至多存在1个零点，不合题意．（ii ）若a >1e，则f （ln a ）<0．由于f （–2）=e –2>0，所以f （x ）在（–∞，ln a ）存在唯一零点． 由（1）知，当x >2时，e x –x –2>0，所以当x >4且x >2ln （2a ）时， ln(2)22()e e (2)e (2)(2)202x x a xf x a x a x a =⋅-+>⋅+-+=>．故f （x ）在（ln a ，+∞）存在唯一零点，从而f （x ）在（–∞，+∞）有两个零点．综上，a 的取值范围是（1e，+∞）．21．（12分）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程；（2）证明：直线C D 过定点.解析：（1）由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -．则(,1)AG a =，(,1)GB a =-．由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =．所以E 的方程为2219x y +=．（2）设1122(,),(,),(6,)C x y D x y P t ．若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<． 由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以11(3)9ty x =+．直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以22(3)3ty x =-．可得12213(3)(3)y x y x -=+．由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++， 即221212(27)(3)()(3)0m y y m n y y n ++++++=．①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290m y mny n +++-=．所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=-++． 代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0m n m n mn n m +--++++=． 解得3n =-（舍去），32n =． 故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3(,0)2． 若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3(,0)2．综上，直线CD 过定点3(,0)2．（二）选考题：共10分。