[工学]第一章 晶体学基础-1

lattice 点阵
structural motif 结构基元
Crystal structure 晶体结构
晶体结构 = 点阵 + 结构基元
晶体结构
点 阵
结构基元
+
直线点阵 所有点阵点分布在一条直线上。 所有点阵点分布在一个平面上。
点阵
平面点阵 空间点阵
所有点阵点分布在三维空间上。
1、直线点阵：一维点阵
世界上的固态物质可分为二类，一类是晶态，
另一类是非晶态。自然界存在大量的晶体物质 ，如高山岩石、地下矿藏、海边砂粒、两极冰 川都是晶体组成。人类制造的金属、合金器材、 水泥制品及食品中的盐、糖等都属于晶体，不 论它们大至成千上万吨，小至毫米、微米，晶 体中的原子、分子都按某种规律周期性排列。 另一类固态物质，如玻璃、明胶、碳粉、塑料 制品等，它们内部的原子、分子排列杂乱无章， 没有周期性规律，通常称为玻璃体、无定形物 或非晶态物质
晶胞的两个要素： 1.
晶胞的大小与形状：
由晶胞参数a，b，c，α
，β，γ表示， a，b，c 为 六面体边长， α，β，γ 分 别是bc，ca，ab 所组成的 夹角 晶胞的内容：粒子的种类、数目及它在晶胞 中的相对位置
2.
CsCl晶体结构
上图为CsCl的晶体结构。Cl与Cs的1:1存在 若
a≠b 。 a∧b≠120
（ a ）NaCl
（ b ）Cu
二维周期排列的结构及其点阵（黑点代表点阵点）
b
a
（c）石墨 二维周期排列的结构及其点阵（黑点代表点阵点）
3、空间点阵：三维点阵特点：
①空间点阵可以分解成一组组平面点阵 ②取不在同一平面的三个向量组成平行六面
体单位 素单位：占点为1，其中顶点1/8，棱点1/4， 面点1/2，体心为1 ③按平行六面体排列形成空间格子
1.1 晶体结构的周期性
晶体是由原子或分子在空间按一定规律
、周期重复地排列所构成的固体物质。晶 体内部原子或分子按周期性规律排列的结 构，是晶体结构最基本的特征
点阵和结构基元
1895年
Roentgen发现X射线，1912年 Bragg首次用X射线衍射测定晶体结构，标 志着现代晶体学的创立。晶体内部原子、 分子结构的基本单元，在三维空间做周期 性重复排列，我们可用一种数学抽象—— 点阵来研究它。若晶体内部结构的基本单 元可抽象为一个或几个点，则整个晶体可 用一个三维点阵来表示
第一章 晶体学基础
晶体结构的周期性 2. 晶体结构的对称性 3. 晶体结构的X射线衍射
1.
晶体
远古时期，人类从宝石开始认识晶体。红
宝石、蓝宝石、祖母绿等晶体以其晶莹剔 透的外观，棱角分明的形状和艳丽的色彩 ，震憾人们的感官。名贵的宝石镶嵌在帝 王的王冠上，成为权力与财富的象征，而 现代人类合成出来的晶体，如超导晶体 YBaCuO、光学晶体BaB2O4、LiNbO3、磁 学晶体NdFeB等高科技产品，则推动着人 类的现代化进程
如立方晶系，除了简单立方外，还有体心立
方（I）、面心立方（F）（立方体每个面中心 还有一个点阵点），都满足立方晶系4个3重轴 的对称性。而立方体中，若两个平行面带心（ 无论是底心、侧心）都会破坏3重轴对称性。所 以立方晶系只有简单（cP）、体心（cI）、面 心（cF）三种格子
由于六方晶系和三方晶系都可以划出六方晶
b γ
a
y
x
平面点阵
顶点占1/4，棱点占1/2，体心 点占1。如
1/4 +1=2 4
占点 4 1/4 =1
选单位的规则：①形状尽量规矩，且较小； ②含点数尽量少。 （正则单位）
平面点阵与正当平面格子
净含一个点阵点的平面格子是素格子，多于一个点 阵点者是复格子；平面素格子、复格子的取法都有 无限多种。所以需要规定一种 “正当平面格子”标 准 1. 平行四边形
还有些晶系，晶胞中至少有2个晶轴的单位长
度是相等的，更重要的是这些晶胞中都有一个 高次轴（6次轴、4次轴或3次轴），这个高次 轴就称为它们的特征对称元素。这些晶系有六 方晶系（Hexagonal）、四方晶系（Tetragonal ）、三方晶系（Trigonal）。由于它们晶胞形 状规则性比立方晶系低，又统称为中级晶系。 六方晶系的特征是宏观可观察到6次轴对称性， 但每个晶胞仍是a、b晶轴相等，夹角为120° 的平行六面体。四方晶系中晶轴夹角都是90° ，a、b轴亦相等
正当平面格子的标准
2. 对称性尽可能高 3. 含点阵点尽可能少
正当平面格子有 4 种形状， 5 种型式（其中矩形有带心 与不带心两种型式）
正方形格子 a b a＝b a∧b=90° 六方格子 a b a=b 。 a∧b=120 b a≠b 。 a∧b=90 矩形格子 a 矩形带心格子 a b a≠b 。 a∧b=90 平行四边形格子 a b
胞的点阵单位，它既满足三方晶系的对称性 ，也满足六方晶系的对称性。不同的称呼是 由于历史原因造成的。六方晶系按六方点阵 单位表达，均为素格子（hp）。而三方晶系 按六方晶系表达时，一部分是素格子（hp） ，另一部分为包含3个点阵点的复单位（hR）。 四方晶系有两种格子，一是简单格子（tP） ，一是体心四方（tI）复格子，如若要划底心 四方格子，则可以取出体积更小的简单四方 格子，所以底心四方不存在。同样四方面心 可以取出体积更小的四方体心格子
③B心格子（B）：结点分布于平行六面体的
角顶和平行（010）一对平面的中心 一般情况下所谓底心格子即为C心格子，对A 心或B心格子，能转换成C心格子时，应尽可能 地予以转换 3、体心格子（I）：结点分布于平行六面体的 角顶和体中心 4、面心格子（F）：结点分布于平行六面体 的角顶和三对面的中心
空间格子中任意两个结点联结起来就是一条行 列的方向。行列中相邻结点间的距离称为该行 列的结点间距，在同一行列或平行行列中的结 点间距是相同的；不同方向的行列，其结点间 距一般不相等 3、面网：结点在平面上的分布即构成面网。 任意两个相交的行列就可决定一个面网。面网 上单位面积内结点的密度称为网面密度。相互 平行的面网，网面密度相同；否则一般不同 4、平行六面体：空间格子的最小重复单位， 由六个两两平行而且相等的面组成
Cs+Cl-取一点阵点，我们可将点阵点取 Cl-的位置。根据Cl-的排列，我们可取出一个 a=b=c，α=β=γ＝90º 的立方晶胞，其中8个 Cl- 离子位于晶胞顶点，但每个顶点实际为8 个晶胞共有，所以晶胞中含8×1/8=1个 Cl离子。Cs离子位于晶胞中心。晶胞中只有1 个点阵点。故为素晶胞
金刚石晶胞
十四种空间格子
晶体的空间格子可分为以下四种类型 1、原始格子（P）：结点分布于平行六面
体的八个角顶上 2、底心格子：结点分布于平行六面体的角 顶及某一对面的中心。其中又可细分为三种 类型： ①C心格子（C）：结点分布于平行六面体 的角顶和平行（001）一对平面的中心 ②A心格子（A）：结点分布于平行六面体 的角顶和平行（100）一对平面的中心
2
早在1866年Bravias将点阵点在空间分布按正
当晶胞的规定进行分类，得到14种形式，后人 也将其称为布拉维格子 由于点阵特征，点阵中每个点都具有相同的 周围环境，即相同的对称性。根据选取正当晶 胞的原则，在照顾对称性的条件下，尽量选取 含点阵点较少的做为晶胞，这样每个晶系都有 简单格子（即素单位）。有些晶系还有含体心、 面心、底心的复单位存在
（ c ） Na
（ d ）Cu
(e)金刚石
三维周期排列的结构及其点阵（黑点代表点阵点）
晶胞
空间点阵必可选择3个不相平行的连结相邻
两个点阵点的单位矢量a，b，c，它们将点阵 划分成并置的平行六面体单位，称为点阵单位 。相应地，按照晶体结构的周期性划分所得的 平行六面体单位称为晶胞。矢量a，b，c的长 度a，b，c及其相互间的夹角α，β，γ 称为点 阵参数或晶胞参数 晶胞是晶体结构的基本重复单位，整个晶体 就是晶胞在三维空间周期地重复排列堆砌而成 的
移群是描述晶体结构的代数形式
(a)
(b)
(c)
(d) 一维周期排列的结构及其点阵（黑点代表点阵点）
(a) Cu
(b) 石墨
(c) Se (d) NaCl
2、平面点阵：二维点阵
特点：①可以分解成一组组直线点阵 ②选不在同一平面上的两个向量，组成平行
四边形——平面点阵单位 ③按单位划分，可得平面格子 素单位：只分摊到一个点阵点的单位 复单位：分摊到两个或以上点的单位 平移群：Tmn=ma+nb， 2… m，n=0，1，
另有3个晶系是正交晶系（Orthorhombic）
、单斜晶系（Monoclinic）、三斜晶系（ Triclinic），特征对称元素都不包含高次轴， 所以统称为低级晶系 正交晶系三个晶轴互相垂直，晶胞是边长不 相等的长方体。单斜晶体有一个晶轴夹角不 等于90°。三斜晶体三个晶轴夹角都不等于 90°
按晶系的不同，空间格子具以下十四种类别。详情请见下页 晶系 原始格子(P) 底心格子(C) 体心格子(I) 面心格子(F)
三斜
单斜 斜方 四方 三方 六方 等轴
与本晶系对称不符
C=I
I=F
I=F
F=P
F=C 1
C=P
与本晶系对称不符
与空间格子的条件不符
F=I I=F F=P
与空间格子的条件不符
与本晶系对称不符
晶体的点阵结构：由于晶体具有周期性结构，
可以把结构基元抽象成点，形成点阵，先用数 学研究
点阵：按连接其中任意两点的向量进行平移
后，均能复原的一组点
如等径密置球
. a. . . . . . . .
3a
特点:
①点阵是由无限多个点组成
②每个点周围的环境相同 ③同一个方向上相邻点之间的距离一样
空间格子（Space Lattice）
晶体的本质在于内部质点在三维空间做平移
周期重复，空间格子是表示这种重复规律的几 何图形。连接三维空间的相当点（性质或环境 及方位相同的质点）即获得空间格子。空间格 子有四大要素： 1、结点：它是空间格子中代表晶体结构中的 相当点
2、行列：结点在直线上的排列即构成行列。
晶系
根据晶体的对称性，可将晶体分为七个晶系，
每个晶系都有它自己的特征对称元素 对称性高的晶体，晶胞的规则性强，如立方晶 系的晶胞是立方体，晶胞三个边长（即晶轴单 位长度）相等并互相垂直。这样的晶体，通过 立方晶胞4个体对角线方向各有1个3重轴。这四 个3重轴称为立方晶系的特征对称元素。我们若 在晶体外形或宏观性质中发现4个3重轴，就可 判定该晶体结构中必定存在立方晶系 （Cubic ）。由于立方晶系的晶体包含一个以上的高次 轴，也将立方晶系称作高级晶系
1.立方晶系(c)：在立方晶胞4个方向体对角线
上均有三重旋转轴(a=b=c， α=β=γ=90º) 2.六方晶系(h)：有1个六重对称轴(a=b， α=β=90º， γ=120º) 3.四方晶系(t)：有1个四重对称轴(a=b， α=β=γ=90º) 4.三方晶系(h)：有1个三重对称轴(a=b， α=β=90º，γ=120º) 5.正交晶系(o)：有3个互相垂直的二重对称轴 或2个互相垂直的对称面(α = β = γ = 90º) 6.单斜晶系(m)：有1个二重对称轴或对称面 (α = γ = 90º) 7.三斜晶系(a)： 没有特征对称元素
上图是金刚石的晶胞。金刚石也是一个
a=b=c，α=β=γ＝90º 的立方晶胞，晶胞除了 顶点8×1/8=1个C原子外，每个面心位置各 有1个C原子，由于面心位置C原子为2个晶 胞共有。故6×1/2=3个C原子，除此晶胞内 部还有4个C原子，所以金刚石晶胞共有1＋3 ＋4＝8个C原子。对于晶胞的棱心位置的原 子，则为4个晶胞共有，计数为1/4个
如：结构 点阵 结构基元：
.
a.2a.来自直线点阵 素向量：相邻两点连接的向量——a 复向量：不相邻两点连接的向量——ma
平移：使图形中所有的点在同一方向上移动
同一距离使之复原的操作 平移群：包括按素向量和复向量进行所有平移 操作组成的向量群 Tm=ma， m=0，1， 2…
可以说，点阵是描述晶体结构的几何形式；平
z
c βα γ
y
b
a
x
空间点阵和晶格
平移群：Tmnp=ma+nb+pc，
m，n，p=0，1，
平行六面体单位+结构基元 = 晶胞
4、晶体与点阵的对应关系： 抽象 空间点阵 空间点阵单位 具体 内容 晶体 晶胞 平面点阵 晶面 直线点阵 晶棱 点阵点 结构基元
（a）Po
（ b ）CsCl