最新专转本高数空间向量复习资料(同方)汇总
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2013专转本高数空间向量复习资料(同方)
第七章 矢量与空间解析几何
本章主要知识点
● 矢量运算 ● 平面
● 直线方程
●
主要的几个立体图形及方法
一、矢量运算
着重掌握矢量的内积、叉积运算，并深刻理解这两种运算在研究线线、线面、面面之间位置关系时的作用；掌握以矢量为主要线索来建立直线和平面方程的方法和实质。
1．矢量的内积
（1）«Skip Record If...»，其中«Skip Record If...»为«Skip Record If...»的夹角 （2）若«Skip Record If...»，
«Skip Record If...» 且«Skip Record If...» （3）«Skip Record If...» («Skip Record If...»为非零矢量) 例7.1．«Skip Record If...»，求«Skip Record If...»。 解：«Skip Record If...»。 例7.2．如果«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»，求«Skip Record If...»。 解：«Skip Record If...» 得：«Skip Record If...» 得：«Skip Record If...»。
2．矢量的叉积«Skip Record If...»
如图所示，如果«Skip Record If...»不平行于«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»同时垂直与«Skip Record If...»又垂直于«Skip Record If...»，或者等价地，«Skip Record If...»垂直于由«Skip
««Ski
p
Record If...»确定的一平面。它在后面研究平面与直线中起相当重要的作用。
如果«Skip Record If...»那么
«Skip Record If...»，
利用第一行代数余子式展开计算。
若«Skip Record If...»非零，«Skip Record If...»«Skip Record If...»
例7.3．«Skip Record If...»，求«Skip Record If...»
解：«Skip Record If...»
例7.4．如果«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»求
«Skip Record If...»
解：«Skip Record If...»，解得：«Skip Record If...»。
3．单位向量
«Skip Record If...»为矢量«Skip Record If...»的方向上的单位矢量。4．矢量«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上的投影«Skip Record If...»«Skip Record If...»
二、平面方程
1．平面方程的基本形式（点法式）
平面«Skip Record If...»过点«Skip Record If...»，法矢量为«Skip Record If...»那么平面方程为
«Skip Record If...»
（1）点法式有两个基本要素：点«Skip Record If...»和法向量«Skip Record If...»。
（2）如果一平面方程写为«Skip Record If...»，那么«Skip Record If...»。（3）两平面之间的位置矢量由各自的法向量«Skip Record If...»来决定。（4）点«Skip Record If...»到平面«Skip Record If...»的距离«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
例7.5．已知平面过三点«Skip Record If...»,求平面方程。
解： «Skip Record If...»
平面方程为 «Skip Record If...»
例7.6．已知平面过点«Skip Record If...»且平行与矢量«Skip Record If...»，求平面方程。
解：«Skip Record If...»
«Skip Record If...»
平面方程为«Skip Record If...»«Skip Record If...»。
例7.7．已知平面过点«Skip Record If...»且与平面«Skip Record If...»平行，求平面的方程
解：«Skip Record If...»，平面方程为«Skip Record If...»。
三、直线方程
直线过«Skip Record If...»且方向矢量为«Skip Record If...»，则直线方程（点斜式）的基本形式为： «Skip Record If...»
直线点斜式两基本要素为«Skip Record If...»及方向矢量«Skip Record If...»。
另外一种常见的直线方程可由两平面相交形式给出。
例7.8．如果直线方程为«Skip Record If...»，求直线的方向矢量«Skip Record If...»的点斜式方程
解：令«Skip Record If...»，得«Skip Record If...»，所以 «Skip Record If...»故«Skip Record If...»，两平面的方向为«Skip Record If...»，则
«Skip Record If...»
直线的点斜式为«Skip Record If...»
例7.9．求直线«Skip Record If...»在平面«Skip Record If...»的投影直线的方程。
解：取«Skip Record If...»
直线«Skip Record If...»，交线构成平面«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，
«Skip Record If...»的法线
«Skip Record If...»«Skip Record If...»
故平面方程为«Skip Record If...»，
即，«Skip Record If...»。
故直线的方程为«Skip Record If...»。
例7.10．当«Skip Record If...»为何值时，直线«Skip Record If...»与直线«Skip Record If...»平行？
解：平面«Skip Record If...»法矢量分别为：«
«S kip
«
S «
图示7.2