最新专转本高数空间向量复习资料(同方)汇总

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适用于新教材2024版高考数学一轮总复习：空间向量及其运算课件北师大版

4.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判
断向量的共线与垂直.
5.理解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.
强基础固本增分
抓住空间向量的两个主要元素:大小与方向
1.空间向量的有关概念
名称
概念
零向量
模 (长度)为
单位向量模 (长度)为
相等向量方向
相反向量方向
共线向量
相同
相反
关内容相类比进行学习,将达到事半功倍的效果.
2.空间向量中的有关定理
定理
语言描述
共线向量空间两个向量a,b(b≠0)共线的充要条件是存在唯一的实数λ,使得
基本定理 a=λb
空间向量
基本定理
{a,b,c}叫作空间的一组基
如果向量a,b,c是空间三个不共面的向量,p是空间任意一个向量,
那么存在唯一的三元有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc
12 + 22 + 32 12 +22 +32
垂直问题一般通过向量的数量积运算来解决
常用结论
1.证明空间任意三点共线的方法
对空间三点P,A,B,可通过证明下列结论成立来证明三点共线:
①=λ(λ∈R);
②对空间任意一点 O, = +t (t∈R);
③对空间任意一点 O,=x+y(x+y=1).
第八章
第五节空间向量及其运算
内
容
索
引
01
强基础固本增分
02
研考点精准突破
1.掌握空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置;会
推导空间两点间的距离公式.
2.理解空间向量的概念,理解空间向量的基本定理及其意义,掌

2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》空间点直线平面之间的位置关系

2024年高考数学总复习第八章《立体几何与空间向量》§8.2空间点、直线、平面之间的位置关系最新考纲 1.借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．，π2.3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．5．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．概念方法微思考1．分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？提示不一定．因为异面直线不同在任何一个平面内．分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交．2．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角一定相等吗？提示不一定．如果这两个角开口方向一致，则它们相等，若反向则互补．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(√)(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(×)(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．(×)(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．(√)(5)没有公共点的两条直线是异面直线．(×)(6)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．(×)题组二教材改编2．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C解析连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角．又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.3．如图，在三棱锥A—BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．答案(1)AC＝BD(2)AC＝BD且AC⊥BD解析(1)∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.(2)∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝12AC，EH＝12BD，∴AC＝BD且AC⊥BD.题组三易错自纠4．α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是()A．垂直B．相交C．异面D．平行答案D解析依题意，m∩α＝A，n⊂α，∴m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行．5.如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过()A．点AB．点BC．点C但不过点MD．点C和点M答案D解析∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上．同理可知，点C也在γ与β的交线上．6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为______．答案3解析平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH 相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．题型一平面基本性质的应用例1如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．证明(1)如图，连接EF，CD1，A1B.∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E，C，D1，F四点共面．(2)∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示．则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．思维升华共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②证两平面重合．(2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．跟踪训练1如图，在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别在BC ，CD 上，且BG ∶GC ＝DH ∶HC ＝1∶2.(1)求证：E ，F ，G ，H 四点共面；(2)设EG 与FH 交于点P ，求证：P ，A ，C 三点共线．证明(1)∵E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴EF ∥BD .∵在△BCD 中，BG GC ＝DH HC ＝12，∴GH ∥BD ，∴EF ∥GH .∴E ，F ，G ，H 四点共面．(2)∵EG ∩FH ＝P ，P ∈EG ，EG ⊂平面ABC ，∴P ∈平面ABC .同理P ∈平面ADC .∴P 为平面ABC 与平面ADC 的公共点．又平面ABC ∩平面ADC ＝AC ，∴P ∈AC ，∴P ，A ，C 三点共线．题型二判断空间两直线的位置关系例2(1)若直线l 1和l 2是异面直线，l 1在平面α内，l 2在平面β内，l 是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A ．l 与l 1，l 2都不相交B ．l 与l 1，l 2都相交C ．l 至多与l 1，l 2中的一条相交D ．l 至少与l 1，l 2中的一条相交答案D 解析由直线l 1和l 2是异面直线可知l 1与l 2不平行，故l 1，l 2中至少有一条与l 相交．故选D.(2)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在A 1D ，AC 上，且A 1E ＝2ED ，CF ＝2FA ，则EF 与BD 1的位置关系是()A．相交但不垂直B．相交且垂直C．异面D．平行答案D解析连接D1E并延长，与AD交于点M，由A1E＝2ED，可得M为AD的中点，连接BF并延长，交AD于点N，因为CF＝2FA，可得N为AD的中点，所以M，N重合，所以EF和BD1共面，且MEED1＝12，MFBF＝12，所以MEED1＝MFBF，所以EF∥BD1.思维升华空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．异面直线可采用直接法或反证法；平行直线可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决．跟踪训练2(1)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b可能平行或异面或相交，故选A.(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论序号都填上)答案③④解析因为点A 在平面CDD 1C 1外，点M 在平面CDD 1C 1内，直线CC 1在平面CDD 1C 1内，CC 1不过点M ，所以AM 与CC 1是异面直线，故①错；取DD 1中点E ，连接AE ，则BN ∥AE ，但AE 与AM 相交，故②错；因为B 1与BN 都在平面BCC 1B 1内，M 在平面BCC 1B 1外，BN 不过点B 1，所以BN 与MB 1是异面直线，故③正确；同理④正确，故填③④.题型三求两条异面直线所成的角例3(2019·青岛模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝2，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为()A.15B.25C.35D.45答案D 解析连接BC 1，易证BC 1∥AD 1，则∠A 1BC 1即为异面直线A 1B 与AD 1所成的角．连接A 1C 1，由AB ＝1，AA 1＝2，易得A 1C 1＝2，A 1B ＝BC 1＝5，故cos ∠A 1BC 1＝A 1B 2＋BC 21－A 1C 212×A 1B ×BC 1＝45，即异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为45.引申探究将上例条件“AA 1＝2AB ＝2”改为“AB ＝1，若异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为910”，试求AA 1AB 的值．解设AA 1AB＝t (t >0)，则AA 1＝tAB .∵AB ＝1，∴AA 1＝t .∵A 1C 1＝2，A 1B ＝t 2＋1＝BC 1，∴cos ∠A 1BC 1＝A 1B 2＋BC 21－A 1C 212×A 1B ×BC 1＝t 2＋1＋t 2＋1－22×t 2＋1×t 2＋1＝910.∴t ＝3，即AA 1AB ＝3.思维升华用平移法求异面直线所成的角的三个步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角．跟踪训练3(2018·全国Ⅱ)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 为棱CC 1的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为()A.22 B.32 C.52 D.72答案C 解析如图，因为AB ∥CD ，所以AE 与CD 所成角为∠EAB .在Rt △ABE 中，设AB ＝2，则BE ＝5，则tan ∠EAB ＝BE AB ＝52，所以异面直线AE 与CD 所成角的正切值为52.立体几何中的线面位置关系直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题．例如图所示，四边形ABEF 和ABCD 都是梯形，BC ∥AD 且BC ＝12AD ，BE ∥FA 且BE ＝12FA ，G ，H 分别为FA ，FD 的中点．(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形；(2)C ，D ，F ，E 四点是否共面？为什么？(1)证明由已知FG ＝GA ，FH ＝HD ，可得GH ∥AD 且GH ＝12AD .又BC ∥AD 且BC ＝12AD ，∴GH ∥BC 且GH ＝BC ，∴四边形BCHG 为平行四边形．(2)解∵BE ∥AF 且BE ＝12AF ，G 为FA 的中点，∴BE ∥FG 且BE ＝FG ，∴四边形BEFG 为平行四边形，∴EF ∥BG .由(1)知BG ∥CH .∴EF ∥CH ，∴EF 与CH 共面．又D ∈FH ，∴C ，D ，F ，E 四点共面．素养提升平面几何和立体几何在点线面的位置关系中有很多的不同，借助确定的几何模型，利用直观想象讨论点线面关系在平面和空间中的差异．1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为()A ．4B ．3C ．2D ．1答案A 解析首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面．2．a ，b ，c 是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是()A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c答案C解析若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．故选C.3.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是()A．直线ACB．直线ABC．直线CDD．直线BC答案C解析由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上．又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.4.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是()A．A，M，O三点共线B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面D．B，B1，O，M共面答案A 解析连接A 1C 1，AC ，则A 1C 1∥AC ，∴A 1，C 1，A ，C 四点共面，∴A 1C ⊂平面ACC 1A 1，∵M ∈A 1C ，∴M ∈平面ACC 1A 1，又M ∈平面AB 1D 1，∴M 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上，同理A ，O 在平面ACC 1A 1与平面AB 1D 1的交线上．∴A ，M ，O 三点共线．5．(2017·全国Ⅱ)已知直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为()A.32 B.155 C.105 D.33答案C解析方法一将直三棱柱ABC －A 1B 1C 1补形为直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，如图①所示，连接AD 1，B 1D 1，BD .图①由题意知∠ABC ＝120°，AB ＝2，BC ＝CC 1＝1，所以AD 1＝BC 1＝2，AB 1＝5，∠DAB ＝60°.在△ABD 中，由余弦定理知BD 2＝AB 2＋AD 2－2×AB ×AD ×cos ∠DAB ＝22＋12－2×2×1×cos 60°＝3，所以BD ＝3，所以B 1D 1＝3.又AB 1与AD 1所成的角即为AB 1与BC 1所成的角θ，所以cos θ＝AB 21＋AD 21－B 1D 212×AB 1×AD 1＝5＋2－32×5×2＝105.故选C.方法二以B 1为坐标原点，B 1C 1所在的直线为x 轴，垂直于B 1C 1的直线为y 轴，BB 1所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图②所示．图②由已知条件知B 1(0，0，0)，B (0，0，1)，C 1(1，0，0)，A (－1，3，1)，则BC 1→＝(1，0，－1)，AB 1→＝(1，－3，－1)．所以cos 〈AB 1→，BC 1→〉＝AB 1，→·BC 1→|AB 1→||BC 1→|＝25×2＝105.所以异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为105.故选C.6．正方体AC 1中，与面ABCD 的对角线AC 异面的棱有________条．答案6解析如图，在正方体AC 1中，与面ABCD 的对角线AC 异面的棱有BB 1，DD 1，A 1B 1，A 1D 1，D 1C 1，B 1C 1，共6条．7．(2019·东北三省三校模拟)若直线l ⊥平面β，平面α⊥平面β，则直线l 与平面α的位置关系为________．答案l ∥α或l ⊂α解析∵直线l ⊥平面β，平面α⊥平面β，∴直线l ∥平面α，或者直线l ⊂平面α.8．在三棱锥S －ABC 中，G 1，G 2分别是△SAB 和△SAC 的重心，则直线G 1G 2与BC 的位置关系是________．答案平行解析如图所示，连接SG 1并延长交AB 于M ，连接SG 2并延长交AC 于N ，连接MN .由题意知SM为△SAB的中线，且SG1＝23SM，SN为△SAC的中线，且SG2＝23SN，∴在△SMN中，SG1SM＝SG2SN，∴G1G2∥MN，易知MN是△ABC的中位线，∴MN∥BC，∴G1G2∥BC.9.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．答案2解析取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D垂直于圆柱下底面，所以C1D⊥AD.因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝2AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为2，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为2.10.如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案②③④解析还原成正四面体A －DEF ，其中H 与N 重合，A ，B ，C 三点重合．易知GH 与EF 异面，BD 与MN 异面．连接GM ，∵△GMH 为等边三角形，∴GH 与MN 成60°角，易证DE ⊥AF ，又MN ∥AF ，∴MN ⊥DE .因此正确命题的序号是②③④.11.如图所示，A 是△BCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是BC ，AD 的中点．(1)求证：直线EF 与BD 是异面直线；(2)若AC ⊥BD ，AC ＝BD ，求EF 与BD 所成的角．(1)证明假设EF 与BD 不是异面直线，则EF 与BD 共面，从而DF 与BE 共面，即AD 与BC 共面，所以A ，B ，C ，D 在同一平面内，这与A 是△BCD 所在平面外的一点相矛盾．故直线EF 与BD 是异面直线．(2)解取CD 的中点G ，连接EG ，FG ，则AC ∥FG ，EG ∥BD ，所以相交直线EF 与EG 所成的角，即为异面直线EF 与BD 所成的角．又因为AC ⊥BD ，则FG ⊥EG .在Rt △EGF 中，由EG ＝FG＝12AC ，求得∠FEG ＝45°，即异面直线EF 与BD 所成的角为45°.12.如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，D 是PC 的中点．已知∠BAC ＝π2，AB ＝2，AC ＝23，PA ＝2.求：(1)三棱锥P －ABC 的体积；(2)异面直线BC 与AD 所成角的余弦值．解(1)S △ABC ＝12×2×23＝23，三棱锥P －ABC 的体积为V ＝13S △ABC ·PA ＝13×23×2＝433.(2)如图，取PB 的中点E ，连接DE ，AE ，则ED ∥BC ，所以∠ADE (或其补角)是异面直线BC 与AD 所成的角．在△ADE 中，DE ＝2，AE ＝2，AD ＝2，cos ∠ADE ＝AD 2＋DE 2－AE 22×AD ×DE ＝22＋22－22×2×2＝34.故异面直线BC 与AD 所成角的余弦值为34.13．平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为()A.32 B.22 C.33 D.13答案A解析如图所示，设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m 1，∵α∥平面CB 1D 1，则m 1∥m ，又∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，平面CB 1D 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1，∴B 1D 1∥m 1，∴B 1D 1∥m ，同理可得CD 1∥n .故m ，n 所成角的大小与B 1D 1，CD 1所成角的大小相等，即∠CD 1B 1的大小．又∵B 1C ＝B 1D 1＝CD 1(均为面对角线)，∴∠CD 1B 1＝π3，得sin ∠CD 1B 1＝32，故选A.14.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB ⊥EF ；②AB 与CM 所成的角为60°；③EF 与MN 是异面直线；④MN ∥CD .以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案①③解析如图，①AB ⊥EF ，正确；②显然AB ∥CM ，所以不正确；③EF 与MN 是异面直线，所以正确；④MN 与CD 异面，并且垂直，所以不正确，则正确的是①③.15.如图，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝4，∠ACB ＝90°，F ，G 分别是线段AE ，BC 的中点，则AD 与GF 所成的角的余弦值为________．答案36解析取DE 的中点H ，连接HF ，GH .由题设，HF ∥AD 且HF ＝12AD ，∴∠GFH 为异面直线AD 与GF 所成的角(或其补角)．在△GHF 中，可求HF ＝22，GF ＝GH ＝26，∴cos ∠GFH ＝HF 2＋GF 2－GH 22×HF ×GF ＝(22)2＋(26)2－(26)22×22×26＝36.16.如图所示，三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A ⊥底面ABC ，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2.(1)当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF?(2)若BM ∥平面AEF ，判断BM 与EF 的位置关系，说明理由；并求BM 与EF 所成的角的余弦值．解(1)方法一如图所示，取AE 的中点O ，连接OF ，过点O 作OM ⊥AC 于点M .因为EC ⊥AC ，OM ，EC ⊂平面ACC 1A 1，所以OM ∥EC .又因为EC ＝2FB ＝2，EC ∥FB ，所以OM ∥FB 且OM ＝12EC ＝FB ，所以四边形OMBF 为矩形，BM ∥OF .因为OF ⊂平面AEF ，BM ⊄平面AEF ，故BM ∥平面AEF ，此时点M 为AC 的中点．方法二如图所示，取EC 的中点P ，AC 的中点Q ，连接PQ ，PB ，BQ .因为EC ＝2FB ＝2，所以PE ∥BF 且PE ＝BF ，所以PB ∥EF ，PQ ∥AE ，又AE ，EF ⊂平面AEF ，PQ ，PB ⊄平面AEF ，所以PQ ∥平面AFE ，PB ∥平面AEF ，因为PB ∩PQ ＝P ，PB ，PQ ⊂平面PBQ ，所以平面PBQ ∥平面AEF .又因为BQ ⊂平面PBQ ，所以BQ ∥平面AEF .故点Q 即为所求的点M ，此时点M 为AC 的中点．(2)由(1)知，BM 与EF 异面，∠OFE (或∠MBP )就是异面直线BM 与EF 所成的角或其补角．易求AF ＝EF ＝5，MB ＝OF ＝3，OF ⊥AE ，所以cos ∠OFE ＝OF EF ＝35＝155，所以BM 与EF 所成的角的余弦值为155.。

专接本向量知识点总结

专接本向量知识点总结向量是线性代数中的重要概念，它在物理、工程、计算机图形学等领域都有广泛的应用。

以下是关于向量的知识点总结：1. 定义，向量是具有大小和方向的量，通常用箭头表示。

在数学上，向量通常表示为有序数对或者n维空间中的点。

2. 向量的表示，向量可以用不同的方式表示，包括坐标表示、分量表示和矩阵表示等。

在二维空间中，一个向量可以表示为(x, y)，在三维空间中可以表示为(x, y, z)。

3. 向量的运算，向量可以进行加法、减法、数量乘法等运算。

两个向量相加的结果是将它们的对应分量相加，数量乘法是将向量的每个分量都乘以一个标量。

4. 向量的模，向量的模表示向量的大小，通常用||v||表示，其中v为向量。

在二维空间中，向量(v1, v2)的模为√(v1^2 +v2^2)。

5. 向量的方向角，向量的方向可以用它与坐标轴的夹角来表示，常用方向角、方向余弦等概念来描述。

6. 向量的数量积和向量积，向量的数量积（点积）和向量积（叉积）是向量运算中的重要概念。

数量积的结果是一个标量，向量积的结果是一个向量，它们在几何学和物理学中有着重要的应用。

7. 向量的线性相关与线性无关，当一个向量能表示成另一个或几个向量的线性组合时，这些向量就是线性相关的；否则它们就是线性无关的。

8. 向量的投影，向量的投影是一个重要的概念，它可以用来描述一个向量在另一个向量上的投影长度，有着广泛的应用。

总的来说，向量是线性代数中的基本概念，它具有大小和方向，并且可以进行各种运算。

掌握向量的知识对于理解几何、物理和工程问题非常重要。

希望以上总结对你有所帮助。

专升本向量知识点归纳总结

专升本向量知识点归纳总结一、向量的定义与性质1. 向量的定义向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段表示，记作a，可以在平面或空间中表示。

向量的大小称为模，用||a||表示；向量的方向由其指向确定。

2. 零向量零向量是模为0的向量，记作0或0向量。

零向量的方向不确定，但是在平面或空间中任何两个方向是一致的。

二、向量的表示1. 平面向量的表示平面上的向量可以用坐标表示，记作a=(x, y)，其中x和y分别是向量在坐标系中的横纵坐标。

2. 空间向量的表示空间中的向量可以用坐标表示，记作a=(x, y, z)，其中x、y、z分别是向量在空间坐标系中的三个坐标。

三、向量的运算1. 向量的加法向量a和向量b的加法定义为：a+b=(x1+x2, y1+y2)或a+b=(x1+x2, y1+y2, z1+z2)，即将两个向量的对应坐标相加。

2. 向量的减法向量a和向量b的减法定义为：a-b=(x1-x2, y1-y2)或a-b=(x1-x2, y1-y2, z1-z2)，即将两个向量的对应坐标相减。

3. 向量的数乘向量a乘以实数k的结果为ka=(kx, ky)或ka=(kx, ky, kz)，即将向量的每个坐标都乘以k。

四、向量的数量积1. 向量的数量积定义设有向量a=(x1, y1)和向量b=(x2, y2)，则a与b的数量积定义为a·b=x1x2+y1y2，记作a·b。

2. 数量积的性质（1）交换律：a·b=b·a（2）分配律：a·(b+c)=a·b+a·c（3）结合律：(ka)·b=a·(kb)=k(a·b)，其中k是实数（4）数量积为0的充分必要条件是a与b垂直五、向量的向量积1. 向量的向量积定义设有向量a=(x1, y1)和向量b=(x2, y2)，则a与b的向量积定义为a×b=x1y2-x2y1，记作a×b。

2024届高考数学一轮复习+第七章《立体几何与空间向量》第五节+空间向量及其运算+课件

（5）空间向量基本定理定理:如果三个向量 , , 不共面,那么对空间任一向量 ,存在唯一有序实数组使得 _____________.推论:设 , , , 是不共面的四点,则对平面内任一点都存在唯一的有序实数组，使，且 .
2.数量积及坐标运算
（1）两个向量的数量积； _________（ , 为非零向量）; ____.
10
[解析] ，，， .
关键能力·突破
考点一空间向量的线性运算
1. （2022广东深圳重点中学高三联考）如图，空间四边形中，，，，点在上，且满足，点为的中点，则 ( )
B
A. B. C. D.
[解析] 由题意得，，又，，， .
③ ,正确；④ 与不是一对相反向量,是相等向量，错误.正确结论的个数为1，故选A.
4. 已知四边形为正方形，是正方形所在平面外一点，在平面上的射影恰好是正方形的中心，是的中点，求下列各题中，的值：
（1）；
[解析] 如图，， .
（2） .
迁移应用
2. （2022江苏南通期末）试写出一个点的坐标：_ _______________________，使之与点，共线.
（答案不唯一）
[解析] 设 ,令，则，故， ,不妨令，则，故 .
3. （2022山西运城二模）如图，在几何体中，，，均为边长为2的等边三角形，平面平面，平面平面 .求证：，，，四点共面.
5. （2022福建宁德期末）如图，在平行六面体中，，，，点是中点，则异面直线与所成角的余弦值是_ ____.
[解析] ， .又，，从而有，， .
方法感悟用已知向量表示某一向量的三个关键点（1）用已知向量来表示某一向量，一定要结合空间图形，以图形为指导是解题的关键.（2）要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.（3）在空间中，向量的三角形法则、平行四边形法则仍然成立.

专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252

2
2
2
2 , , 3 .
3
3
4
第二节数量积向量积
一、两向量的数量积二、两向量的向量积
返回
一、两向量的数量积
实例

一以物s 表体示在位常移力，F则作力用F下所沿作直的线功从为点
W
|
F
||
s
| cos
M1移动到点

F
s
M2，
M2

(其中为F 与
返回
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复习要求（1）理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。（2）掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积的计算方法。（3）掌握二向量平行、垂直的条件。
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的夹角)
c 的方向既垂直于
a ，又垂直于
b ，指向符合右手
系.
关于向量积的说明：
(1)
a a
0.
( 0 sin 0)
(2)
a
//
b

a

b

0.
(a

0,
b 0)
证
()

a

b

0,
| a | 0,
| b | 0,
返回
四、利用坐标作向量的线性运算

设 a (ax ,
ay,
az
),

【配套新教材】高考数学复习人教版课本同步课件：专题八立体几何第六讲空间向量(核心课件)

则 | a || b | cosa,b 叫做 a，b 的数量积，记作 a b .即 a b | a || b | cosa,b .
特别地，零向量与任意向量的数量积为 0. 由向量的数量积定义，
可以得到： a b a b 0 ； a a | a || a | cosa, a | a |2 .
养成良好的答题习惯，是决定高考数学成败的决定性因素之一。做题前，要认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查，查漏补缺，纠正错误。总之，在最后的复习阶段，学生们不要加大练习量。在这个时候，学生要尽快找到适合自己的答题方式，最重要的是以平常心去面对考试。数学最后的复习要树立信心，考试的时候遇到难题要想“别人也难”，遇到容易的则要想“细心审题”。越到最后，考生越要回归基础，单词最好再梳理一遍，这样有利于提高阅读理解的效率。另附高考复习方法和考前30天冲刺复习方法。
D.
2,
14 3
, 10 3
[解析]
AB
(3,7, 5),OC
2 3
(3,7, 5)
2,14 , 10 33
.
点
C
的坐标为
2, 14 3
,
10 3
.故选
B.
做题时要善于总结。不仅总结方法，也要总结错误。这样，作完之后才会有所收获，才能举一反三。
一、第一轮复习，即基础复习阶段
这个阶段的复习是整个高考复习中最关键的环节，一般从8月份到第二年的三月份，历时8个月，这一阶段的复习效果直接影响整个高考的成败，因此同学们应该高度重视，在第一轮复习中我们必须严格按照《复习大纲》的要求，把《大纲》中所有的考点逐个进行突破，全面落实，形成完整的知识体系。这就需要考生要对课本中的基本概念，基本公式，基本方法重点掌握，在复习中应淡化特殊技巧的训练，重视数学思想和方法的作用。

2024届高考数学一轮复习+第七章《立体几何与空间向量》+空间点、直线、平面之间的位置关系+课件

×
（5）平面外的一条直线上有两个点到平面的距离相等，则直线与平面平行.( )
×
2. （新教材改编题）已知是一个平面，，是两条直线，是一个点，若，，且，，则，的位置关系不可能是( )
A. 垂直 B. 相交但不垂直 C. 异面 D. 平行
D
3. 多选题设表示一个点，，表示两条直线，，表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的有( )
（2）设直线与交于点，求证：，，三点共线.
[答案] ，，，平面，平面，又平面平面，直线 . ，，三点共线.
考点二空间点、直线、平面的位置关系
角度1 空间两直线位置关系的判断
例2
（1）（2023山东潍坊模拟）学校手工课上同学们分组研究正方体的表面展开图.某小组得到了如图所示的表面展开图，则在正方体中，、、、这四条线段所在的直线中，异面直线有( )
方法感悟1.证明点或线共面的两种方法（1）首先由所给条件中的部分线（或点）确定一个平面,然后证其余的线（或点）在这个平面内；（2）将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合.
2.证明线共点的常用方法先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.3.证明点共线的两种方法（1）先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上；（2）可证明这些点都是某两个平面的公共点，从而依据基本事实3证明它们都在这两个平面的交线上.
B
A. 对 B. 对 C. 对 D. 对
[解析] 还原正方体，如图所示，则与，与，与是异面直线，共3对.
（2）（2022福建福州三模）在底面半径为1的圆柱中，过旋转轴作圆柱的轴截面，其中母线，是的中Байду номын сангаас，是的中点，则( )

2023年新高考数学大一轮复习专题32 空间向量及其应用(原卷版)

专题32 空间向量及其应用【考点预测】知识点一：空间向量及其加减运算（1）空间向量在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模．空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可以记作AB ，其模记为a 或AB ．（2）零向量与单位向量规定长度为0的向量叫做零向量，记作0．当有向线段的起点A 与终点B 重合时，0=AB ．模为1的向量称为单位向量．（3）相等向量与相反向量方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量．与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为-a ．（4）空间向量的加法和减法运算①=+=+OC OA OB a b ，=-=-BA OA OB a b ．如图所示．②空间向量的加法运算满足交换律及结合律+=+a b b a ，()()++=++a b c a b c 知识点二：空间向量的数乘运算（1）数乘运算实数λ与空间向量a 的乘积a λ称为向量的数乘运算．当0>λ时，a λ与向量a 方向相同；当0<λ时，向量a λ与向量a 方向相反．a λ的长度是a 的长度的λ倍．（2）空间向量的数乘运算满足分配律及结合律()+=+a b a b λλλ，()()=a a λμλμ．（3）共线向量与平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作//a b ．（4）共线向量定理对空间中任意两个向量a ，b ()0≠b ，//a b 的充要条件是存在实数λ，使=a b λ．（5）直线的方向向量如图8-153所示，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线．对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使=+OP OA ta ①，其中向量a 叫做直线l 的方向向量，在l 上取=AB a ，则式①可化为()()1=+=+-=-+OP OA t AB OA t OB OA t OA tOB ②①和②都称为空间直线的向量表达式，当12=t ，即点P 是线段AB 的中点时，()12=+OP OA OB ，此式叫做线段AB 的中点公式．（6）共面向量如图8-154所示，已知平面α与向量a ，作=OA a ，如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，则说明向量a 平行于平面α．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．（7）共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(),x y ，使=+p xa yb ．推论：①空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(),x y ，使=+AP xAB y AC ；或对空间任意一点O ，有-=+OP OA xAB y AC ，该式称为空间平面ABC 的向量表达式．②已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，满足向量关系式=++OP xOA yOB zOC （其中1++=x y z ）的点P 与点A ，B ，C 共面；反之也成立．知识点三：空间向量的数量积运算（1）两向量夹角已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作=OA a ，=OB b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作,a b ，通常规定0,≤≤a b π，如果,2=a b π，那么向量a ，b 互相垂直，记作⊥a b ．（2）数量积定义已知两个非零向量a ，b ，则cos ,a b a b 叫做a ，b 的数量积，记作⋅a b ，即cos ,⋅=a b a b a b ．零向量与任何向量的数量积为0，特别地，2⋅=a a a ．AaaαO（3）空间向量的数量积满足的运算律： ()()⋅=⋅a b a b λλ，⋅=⋅a b b a （交换律）； ()⋅+=⋅+⋅a b c a b a c （分配律）．知识点四：空间向量的坐标运算及应用（1）设()123,,=a a a a ，()123,,=b b b b ，则()112233,,+=+++a b a b a b a b ； ()112233,,-=---a b a b a b a b ；()123,,=a a a a λλλλ；112233⋅=++a b a b a b a b ；()112233//0,,≠⇒===a b b a b a b a b λλλ； 1122330⊥⇒++=a b a b a b a b ．（2）设()111,,A x y z ，()222,,B x y z ，则()212121,,=-=---AB OB OA x x y y z z ．这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标．（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式．①已知()123,,=a a a a ，()123,,=b b b b ，则221==+a a a 221==+b b b 112233⋅=++a b a b a b a b ；cos ,=a b ；②已知()111,,A x y z ，()222,,B x y z ，则(=AB x ，或者(),=d A B AB ．其中(),d A B 表示A 与B 两点间的距离，这就是空间两点的距离公式．（4）向量a 在向量b 上的投影为cos ,⋅=a b a a b b．知识点五：法向量的求解与简单应用（1）平面的法向量：如果表示向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作⊥n α，如果⊥n α，那么向量n 叫做平面α的法向量．几点注意：①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量n 是平面的法向量，向量m 是与平面平行或在平面内，则有0⋅=m n ．第一步：写出平面内两个不平行的向()()111222，，，，，==a x y z b x y z ；第二步：那么平面法向量()，，=n x y z ，满足1112220000⎧++=⋅=⎧⎪⇒⎨⎨++=⋅=⎩⎪⎩xx yy zz n a xx yy zz n b ．（2）判定直线、平面间的位置关系①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线a ，b 的方向向量分别为a ，b ．若a ∥b ，即=a b λ，则∥a b ；若⊥a b ，即0⋅=a b ，则⊥a b ．②直线与平面的位置关系：直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，且⊥l α．若a ∥n ，即=a n λ，则⊥l α；若⊥a n ，即0⋅=a n ，则∥a α．（3）平面与平面的位置关系平面α的法向量为1n ，平面β的法向量为2n ．若1n ∥2n ，即12=n n λ，则∥αβ；若1n ⊥2n ，即120⋅=n n ，则α⊥β．知识点六：空间角公式．（1）异面直线所成角公式：设a ，b 分别为异面直线1l ，2l 上的方向向量，θ为异面直线所成角的大小，则cos cos ,⋅==a b a b a bθ．（2）线面角公式：设l 为平面α的斜线，a 为l的方向向量，n为平面α的法向量，θ为l 与α所成角的大小，则sin cos ,⋅==a n a n a nθ．（3）二面角公式：设1n ，2n 分别为平面α，β的法向量，二面角的大小为θ，则12,=n n θ或12,-n n π（需要根据具体情况判断相等或互补），其中1212cos ⋅=n n n n θ．知识点七：空间中的距离求解空间中的距离（1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质直接计算．如图，设两条异面直线，a b 的公垂线的方向向量为n ，这时分别在，a b 上任取，A B 两点，则向量在n 上的正射影长就是两条异面直线，a b 的距离．则||||||||⋅=⋅=n AB n d AB n n 即两异面直线间的距离，等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值．（2）点到平面的距离A 为平面α外一点（如图），n 为平面α的法向量，过A 作平面α的斜线AB 及垂线AH ．|n ||n |||||sin |||cos ,|=||nn⋅⋅=⋅=⋅<>=⋅AB AB AH AB AB AB n AB AB θ||||⋅=AB n d n 【方法技巧与总结】用向量法可以证点共线、线共点、线（或点）共面、两直线（或线与面、面与面）垂直的问题，也可以求空间角和距离．因此，凡涉及上述类型的问题，都可以考虑利用向量法求解，且其解法一般都比较简单．用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些点的坐标，进而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除要求不共面外，还要能够便于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基底，如常选择几何体上共点而不共面的三条棱所在的向量为基底），然后将有关向量用基底向量表示，并进行向量运算．【题型归纳目录】题型一：空间向量的加法、减法、数乘运算题型二：空间共线向量定理的应用题型三：空间向量的数量积运算题型四：证明三点共线题型五：证明多点共面的方法题型六：证明直线和直线平行题型七：证明直线和平面平行题型八：证明平面与平面平行题型九：证明直线与直线垂直题型十：证明直线与平面垂直题型十一：证明平面和平面垂直题型十二：求两异面直线所成角题型十三：求直线与平面所成角题型十四：求平面与平面所成角题型十五：求点到平面距离【典型例题】题型一：空间向量的加法、减法、数乘运算例1．设空间向量b 是空间向量a 的相反向量，则下列说法错误的是（） A ．a 与b 的长度相等 B ．a 与b 可能相等 C ．a 与b 所在的直线平行 D ．a 是b 的相反向量例2．如图，空间四边形OABC 中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在OA 上，且满足2OM MA =，点N 为BC 的中点，则MN =（）A ．121232a b c -+B ．211322a b c -++C ．111222a b c +-D ．221332a b c +-例3．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 的中点，若,,PA a PB b PC c ===，则BE =（）A ．111222a b c -+B ．111222a b c --C ．131222a b c -+D ．113222a b c -+例4．如图，在三棱锥S —ABC 中，点E ，F 分别是SA ，BC 的中点，点G 在棱EF 上，且满足12EG GF =，若SA a =，SB b =，SC c =，则SG =（）A ．111326a b c -+B ．111362a b c -+C ．111632a b c -+D ．111366a b c ++例5．如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若AB a =，AD b =，1AA c =，则BM =（）A ．1122a b c -+B ．1122a b c ++C ．1122a b c --+D ．1122-++a b c例6．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AA a =，11A B b =，11A D c =，O 为底面ABCD 的中心，G 为11D C O 的重心，则AG =（）A ．215326a b c ++B ．2536a b c ++C ．121336a b c ++D ．1526a b c ++例7．在长方体1111ABCD A B C D -中，设AB a =，AD b =，1AA c =，若用向量a 、b 、c 表示向量1AC ，则1AC =____________．例8．在下列命题中：①若向量,a b 共线，则,a b 所在的直线平行；②若向量,a b 所在的直线是异面直线，则向量,a b 一定不共面； ③若三个向量,,a b c 两两共面，则三个向量,,a b c 一定也共面；④已知三个向量,,a b c ，则空间任意一个向量p 总可以表示为p xa yb zc =++．其中正确命题的个数为（） A ．0 B ．1C ．2D ．3例9．如图，平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 为1DD 的中点．若1BE xAB yAD zAA =++，则(),,x y z =（）A ．11,1,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．11,1,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．11,1,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．11,1,2⎛⎫--- ⎪⎝⎭例10．已知{},,a b c 是空间向量的一个基底，{,,}a b a b c +-是空间向量的另一个基底，若向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为(4,2,3)，则向量p 在基底{,,}a b a b c +-下的坐标为（）A ．(4,0,3)B ．(1,2,3)C ．(3,1,3)D ．(2,1,3)【方法技巧与总结】空间向量的运算包括空间向量的加法、减法、数乘、数量积的几何意义及坐标运算，可以类比平面向量的运算法则．题型二：空间共线向量定理的应用例11．(1,1,3)A -，(7,0,2)B 为空间直角坐标系中的两个点，(2,,)m λμ=，若//m AB ，则λμ+=________．例12．已知324(0)a m n p a =--≠，(1)82b x m n y p =+++，且m ､n ､p 不共面，若//a b ，则x y +=___________．例13．已知()1,3,2a =，()1,0,1b =，2p ka b =-，34q a b =+．若//p q ，则实数k 的值为______．例14．（多选题）下列命题中正确的是（）A ．a b a b +=+是a ，b 共线的充分条件B ．若//AB CD ，则//AB CDC ．A ，B ，C 三点不共线，对空间任意一点O ，若111244OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面D ．若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有PA PB PC λμ=+（PB ，PC 不共线），则1λμ+=是A ，B ，C 三点共线的充分不必要条件【方法技巧与总结】空间共线向量定理：()//0≠⇔=a b b a b λ．利用此定理可解决立体几何中的平行问题．题型三：空间向量的数量积运算例15．已知空间向量()0,1,2AB =-，2AC =，2,3AB AC π=，则AB BC ⋅=（）A ．5 B 5 C ．5 D 5例16．（多选题）设a ，b 为空间中的任意两个非零向量，下列各式中正确的有（） A ．22a a = B ．a b ba a a⋅=⋅ C ．()222a b a b ⋅=⋅ D ．()2222a ba ab b -=-⋅+例17．（多选题）定义空间两个非零向量的一种运算：||||sin ,a b a b a b ⊗=⋅〈〉，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（） A ．()()a b a b λλ⊗=⊗ B ．a b b a ⊗=⊗ C ．若0a b ⊗=，则a b ⊥ D ．||||||a b a b ⊗≤例18．（多选题）如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M 为11A C 与11B D 的交点，若1,,AB A b c a D AA ===，则下列正确的是（）A ．1122BM a b c =-+B ．1AC a b c =++C ．1ACD ．16cos ,3AB AC =例19．在三棱锥D ABC -中，已知2AB AD ==，1BC =，3AC BD ⋅=-，则CD =___________例20．棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，P 在正方体的12条棱上运动，则AC BP ⋅的取值范围是___________．例21．已知OA AB ⊥，若()1,1,0OA =，则OA OB ⋅=_________．例22．已知点P 为正四面体ABCD 的外接球上的任意一点，正四面体ABCD 的棱长为2，则PA PB ⋅的取值范围为___________．例23．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．在堑堵111ABC A B C -中，AB AC ⊥，M 是11A C 的中点，7AB =，N ，G 分别在棱1BB ，AC 上，且113BN BB =，13=AG AC ，平面MNG 与AB 交于点H ，则AHBH =___________，HM AB ⋅=___________．例24．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是侧面11BB C C 内的一个动点．若点E 满足1D E CE ⊥，则||BE 的最大值为__________，最小值为__________．例25．已知向量()3,1a =-，()1,2b =-，2c a b λ=+，若b c ⊥，则实数λ=（） A ．－2 B ．2 C ．1 D ．－1例26．已知(2,2,3)a =--，(2,0,4)=b ，则cos ,a b 〈〉=（）A B ． C ．0 D ．1例27．已知(1,0,1)a =，(,1,2)b x =-，且3a b ⋅=-，则向量a 与b 的夹角为（） A ．56π B ．23π C ．3π D ．6π例28．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，11145,60AA BAA DAA BAD ∠∠∠===，则1AC =（）A ．1 BC ．9D ．3例29．给出下列命题，其中正确的为（）A ．若AB CD =，则必有A 与C 重合，B 与D 重合，AB 与CD 为同一线段 B ．若0a b ⋅<，则a b ，是钝角 C ．若0AB CD +=，则AB 与CD 一定共线D ．非零向量a 、b 、c 满足a 与b ，b 与c ，c 与a 都是共面向量，则a 、b 、c 必共面例30．正四面体A BCD -的棱长为4，空间中的动点P 满足22PB PC +=则AP PD ⋅的取值范围为（）A ．44⎡-+⎣B ．C ．4⎡-⎣D ．[]14,2-例31．在三棱锥P ABC -中，1PB PC ==，90APB APC ∠=∠=︒，60BPC ∠=︒，则AB PC ⋅=（）A ．12 B C ．1 D例32．已知正四棱台1111ABCD A B C D -的上、下底面边长分别为1和2，P 是上底面1111D C B A 的边界上一点．若PA PC ⋅的最小值为12，则该正四棱台的体积为（）A ．72B ．214C D ．356【方法技巧与总结】121212cos ,⋅==++a b a b a b x x y y z z ；求模长时，可根据221==+a a x 求空间向量夹角时，可先求其余弦值cos ,⋅=a b a b a b．要判断空间两向量垂直时，可以求两向量的数量积是否为0，即0⋅=⇔⊥a b a b ．,a b 为锐角0⇒⋅>a b ；,a b 为钝角0⇒⋅<a b ．由此，通常通过计算⋅a b 的值来判断两向量夹角是锐角还是钝角．题型四：证明三点共线例33．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12C C EC =，13AC FC =．（1）求证：A 、F 、E 三点共线；（2）若点G 是平行四边形11B BCC 的中心，求证：D 、F 、G 三点共线．例34．已知向量a ，b ，c 不共面，453AB a b c =++，23AC a b c =++，675AD a b c =++．求证：B ，C ，D 三点共线．例35．在长方体1111ABCD A B C D -中，M 为1DD 的中点，N 在AC 上，且:2:1AN NC =，E 为BM 的中点．求证：1A ，E ，N 三点共线．例36．如果(1,5,1),(2,4,1),(,3,2)A B C a b -+三点共线，那么a b -=（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【方法技巧与总结】先构造共起点的向量AB ，AC ，然后证明存在非零实数λ，使得=AB AC λ．题型五：证明多点共面的方法例37．已知O 、A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 为空间的9个点（如图所示），并且OE kOA =，OF kOB =，OH kOD =，AC AD mAB =+，EG EH mEF =+．求证：（1）A 、B 、C 、D 四点共面，E 、F 、G 、H 四点共面；（2）//AC EG ．例38．如图，在几何体ABCDE 中，△ABC ，△BCD ，△CDE 均为边长为2的等边三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，平面DCE ⊥平面BCD ．求证：A ，B ，D ，E 四点共面；例39．如图，四边形ABEF 为正方形，若平面ABCD ⊥平面ABEF ，AD BC ∥，AD DC ⊥，22AD DC BC ==．判断点D 与平面CEF 的位置关系，并说明理由．例40．如图，四棱柱1111ABCD A B C D -的侧棱1AA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为菱形，E ，F 分别为1AA ，1CC 的中点．证明：B ，F ，1D ，E 四点共面；例41．（多选题）若{},,a b c 构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A ．,,2a b c a b b c ++-+B ．,,a b a c b c ---C ．2,2,a b a b a c +-+D ．2,63,a b b a c ---例42．（多选题）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E 、F 分别为线段PB 、CD 的中点，G 为线段PC 上的动点（不含端点），则下列说法正确的是（）A ．对任意点G ，则有B 、E 、G 、F 四点共面 B ．存在点G ，使得A 、E 、G 、F 四点共面C ．对任意点G ，则有AG ⊥平面PBD D ．存在点G ，使得//EG 平面PAF例43．以下四组向量在同一平面的是（） A ．()1,1,0、()0,1,1、()1,0,1 B ．()3,0,0、()1,1,2、()2,2,4 C ．()1,2,3、()1,3,2、()2,3,1 D ．()1,0,0、()0,0,2、()0,3,0例44．设,,,A B C D 为空间中的四个点，则“AD AB AC =+”是“,,,A B C D 四点共面”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件例45．(1,1,3),(1,4,2),(1,5,)=-=--=a b c x ，若,,a b c 三向量共面，则实数x =（） A ．3 B ．2C ．15D ．5例46．如图，在四面体ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，过EF 的平面α分别交棱DA 、BC 于G 、H （不同于A 、B 、C 、D ），P 、Q 分别是棱BC 、CD 上的动点，则下列命题错误的是（）A ．存在平面α和点P ，使得//AP 平面αB ．存在平面α和点Q ，使得AQ//平面αC ．对任意的平面α，线段EF 平分线段GHD ．对任意的平面α，线段GH 平分线段EF例47．已知P 和不共线三点A ，B ，C ，四点共面且对于空间任意一点O ，都有OP =2OA OB OC λ++，则λ＝________．例48．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M ，N ，G 分别是棱1AA ，BC ，11A D 的中点，设Q 是该正方体表面上的一点，若MQ xMG yMN =+(,)x y R ∈，则点Q 的轨迹围成图形的面积是_________．例49．在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，且P A ＝AC ＝2AB ＝2AD ＝4，CD ⊥AD ，CB ⊥AB ，G 为PC 的中点，过AG 的平面α与棱PB 、PD 分别交于点E 、F ．若EF ∥平面ABCD ，则截面AEGF 的面积为______．【方法技巧与总结】要证明多点（如A ，B ，C ，D ）共面，可使用以下方法解题．先作出从同一点出发的三个向量（如AB ，AC ，AD ），然后证明存在两个实数,x y ，使得=+AD xAB y AC ．题型六：证明直线和直线平行例50．已知长方体1111ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，13AA =，点S 、P 在棱1CC 、1AA 上，且112CS SC =，12AP PA =，点R 、Q 分别为AB 、11D C 的中点．求证：直线∥PQ 直线RS ．例51．在四棱连P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，底面ABCD 为梯形．//AB CD ，AD DC ⊥，且1AB =，2AD DC DP ===，120PDC ∠=．若M 是棱P A 的中点，则对于棱BC 上是否存在一点F ，使得MF 与PC 平行．【方法技巧与总结】将证线线平行转化为证两向量共线．设,a b 是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为,a b ，则()//,0⇔=∈≠a b a b R λλλ．题型七：证明直线和平面平行例52．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，1AC BC BB ==，D 为AB 的中点．试用向量的方法证明：1//BC 平面1ACD ．例53．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，14DD =，E ，F 分别是11,AA CC 的中点．求证：//BE 平面1AFD ；【方法技巧与总结】（1）利用共面向量定理．设,a b 为平面α内不共线的两个向量，证明存在两个实数,x y ，使得=+l xa yb ，则//l α．（2）转化为证明直线和平面内的某一直线平行．（3）转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（此方法最常用）．题型八：证明平面与平面平行例54．如图，已知棱长为4的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1D 1，A 1B 1，D 1C 1，B 1C 1的中点，求证：平面AMN ∥平面EFBD ．例55．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为AB 、1B C 的中点．用向量法证明平面1//A BD 平面11B CD ；【方法技巧与总结】（1）证明两平面内有两条相交直线分别平行．（2）转化为证两平面的法向量平行（常用此方法）．题型九：证明直线与直线垂直例56．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，AD CD ⊥，12AD CD DD ===，1AB =．求证：111AD B C ⊥；例57．如图，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1=AB =AC =1，AB ⊥AC ，M ，N 分别是CC 1，BC 的中点，点P 在直线A 1B 1上．证明：PN ⊥AM ；例58．如图，在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为11B C 的中点，E 为11A C 与1D M 的交点，F 为BM 与1CB 的交点．（1）求证：111BD AC ⊥，11BD B C ⊥．（2）求证：EF 是异面直线11A C 与1B C 的公垂线段．例59．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别在1BB ，1DD 上，且1AE A B ⊥，1AF A D ⊥．（1）证明：1A C EF ⊥；（2）当3AD =，4AB =，15AA =时，求三棱锥D AEF -的体积．例60．如图，四棱锥S ABCD －中，ABCD 为矩形，SD AD ⊥，且12SD AB AD AB SD ⊥===，，，E 为CD 上一点，且3CE DE =．（1）求证：AE ⊥平面SBD ；（2）M N 、分别在线段SB CD 、上的点，是否存在M N 、，使MN CD ⊥且MN SB ⊥，若存在，确定M N 、的位置；若不存在，说明理由．例61．如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD 且PD =122AB BC AD ===，90BAD ∠=，//BC AD ，点M 为棱PC 的中点．证明：PA DM ⊥；【方法技巧与总结】设直线12,l l 的方向向量为,a b ，则⊥a b 0⇔⋅=a b ．这里要特别指出的是，用向量法证明两直线尤其是两异面直线垂直是非常有效的方法．题型十：证明直线与平面垂直例62．在正方体1111ABCD A B C D -中，如图E 、F 分别是1BB ，CD 的中点，求证：1D F ⊥平面ADE ；例63．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，其中//AD BC ，AB AD ⊥，4PA =，122AB AD BC ===，E 为棱BC 上的点，且14BE BC =．求证：DE ⊥平面PAC ；例64．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别为1AD ，1CD 的中点．求证：MN ⊥平面1DBD ；【方法技巧与总结】（1）证明直线和平面内的两天相交直线垂直．（2）证明直线和平面内的任一直线垂直．（3）转化为证明直线与平面的法向量共线．题型十一：证明平面和平面垂直例65．如图，在四棱锥P ABCD -中，BC ⊥平面P AB ，AD ⊥平面P AB ，36PA AB BC AD ====．120PAB ∠=︒．求证：平面PCD ⊥平面ABCD ；例66．如图在边长是2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AB ，1A C 的中点．证明：平面1EAC ⊥平面1DAC ；例67．在三棱台ABC －A 1B 1C 1中，C 1C ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，且AB =BC =C 1C =2A 1B 1，O 为AC 的中点，P 是C 1C 的中点．证明：平面A 1BC ⊥平面POB ；例68．如图，在直三棱柱111ABC A B C －中，1AB AC AB AC AA D ⊥==，，为BC 的中点．（1）证明：1//A B 平面1ADC ；（2）证明：平面1ADC ⊥平面11BB C C ．【方法技巧与总结】（1）转化为证明两平面的法向量互相垂直（2）转化为证明一平面内的一条直线垂直于另一个平面．题型十二：求两异面直线所成角例69．如图，在平行六面体111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱1AA 的长度为2，且11120A AB A AD ∠=∠=︒．（1）求1BD 的长；（2）直线1BD 与AC 所成角的余弦值．例70．已知正四面体ABCD ，M 为BC 中点，N 为AD 中点，则直线BN 与直线DM 所成角的余弦值为（）A ．16B ．23C D例71．如图，在三棱锥M ABC -中，MA ⊥平面ABC ，ABC 是边长为2的正三角形，MA =F 是MC 的中点，则异面直线MB 与AF 所成角的余弦值是（）A BC D ．58例72．在三棱锥P —ABC 中，P A 、PB 、PC 两两垂直，且P A =PB =PC ，M 、N 分别为AC 、AB 的中点，则异面直线PN 和BM 所成角的余弦值为（）A B C D例73．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则AM 与1BC 所成角的正弦值为（）A B C D例74．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 在线段1CD 上，若直线BE 与1AD 则线段BE 的长为（）A B C ．32D【方法技巧与总结】设两异面直线a 和b 的方向向量为a 和b ，利用求角余弦公式可求得a 和b 的夹角，由于两向量所成角θ的范围是[0,]π，而两异面直线所成角α的范围是0]2π（，．所以||cos =|cos |=||||⋅a b a b αθ．题型十三：求直线与平面所成角例75．如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，BE ⊥平面ABCD ，DF ∥BE ，且DF =2BE =2，EF =3．（1）证明：平面ACF ⊥平面BEFD ；（2）若二面角A -EF -C 是直二面角，求直线AE 与平面ABCD 所成角的正切值．例76．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1,4AB AC AA ==，90BAC ∠=︒，D ，E 分别是BC ，AB 的中点，且143D ABA V -=．（1）证明：1AD BC ⊥；（2）求1A D 与平面11B C E 所成角的正弦值．例77．如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．（1）证明：平面BED ⊥平面ACD ；（2）设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．例78．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//,AD BC AB AD ⊥，点M 在棱PB 上，2PM MB =，点N 在棱PC 上，223PA AB AD BC ====．（1）若2CN NP =，Q 为PD 的中点，求证：A ，M ，N ，Q 四点共面；（2）求直线PA 与平面AMN 所成角的正弦的最大值．例79．如图为一个四棱锥与三棱锥的组合体，C ，D ，E 三点共线，已知三棱锥P －ADE 四个面都为直角三角形，且ED ⊥AD ，P A ⊥平面ABCE ，PE ＝3，CD ＝AD ＝2，ED ＝1，则直线PC 与平面P AE 所成角的正弦值等于（）A BC D例80．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 中点，点P 在线段11A C 上，若直线OP 与平面11A BC 所成的角为θ，则sin θ的取值范围是（）．A ．⎣⎦B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．⎣⎦D ．11,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【方法技巧与总结】设l 为平面α的斜线，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，θ为l 与α所成角的大小，则sin cos ,⋅==a n a n a nθ．题型十四：求平面与平面所成角例81．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为BB 1的中点，则平面A 1ED 与平面ABCD 所成角的正弦值为（）A ．12 B C D例82．如图，在三棱锥P ABC -中，已知PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，90BAC ∠=︒，D 为PC 上一点，且3PC PD =，PC BD ⊥．（1）求AC 的长；（2）若E 为AC 的中点，求二面角D BE A --的余弦值．例83．如图，在四棱锥B ACFM -中，四边形ACFM 为直角梯形，,90FM AC ACF ∠=∥，平面ACFM ⊥平面,1,60ABC BC CF AC ABC ∠====．（1）证明：BC AM ⊥．（2）若四棱锥B ACFM -MAB 与平面FCB 所成的锐二面角的余弦值．例84．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，,,AD BC AD CD APD ⊥∥△是等腰直角三角形，PAD ∠是底角．（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ．（2）若22AD CD BC ===，求二面角A PC B --的余弦值．例85．如图，ABCD 为圆柱OO '的轴截面，EF 是圆柱上异于,AD BC 的母线．（1）证明：BE ⊥平面DEF ；（2）若AB BC ==B DEF -的体积最大时，求二面角B DF E --的正弦值．例86．如图1，矩形PABC 中，PC =PA D 为PC 上一点且2CD DP =．现将PAD △沿着AD 折起，使得PD BD ⊥，得到的图形如图2．（1）证明：PA ⊥平面PBD ；（2）求二面角P AB D --的余弦值．例87．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PD ⊥底面ABCD ，M 为线段PC 的中点，PD AD =，N 为线段BC 上的动点．（1）证明：平面MND ⊥平面PBC（2）当点N 在线段BC 的何位置时，平面MND 与平面P AB 所成锐二面角的大小为30°？指出点N 的位置，并说明理由．例88．如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB CD ∥，AB AD ⊥，3AB =，AD =2AP CD ==，60PAB ∠=．M 是CD 中点，N 是PB 上一点．（1）是否存在点N 使得MN ∥平面PAD ，若存在求PN 的长．若不存在，请说明理由；（2）二面角P AM N 的余弦值为45，求PN PB的值．例89．如图，四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，梯形ABCD 满足AB CD ∥，90BCD ∠=︒，且2PD AD DC ===，3AB =，E 为PC 中点，13PF PB =，2PG GA =．（1）求证：D ，E ，F ，G 四点共面；（2）求二面角F DE P --的正弦值．例90．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，且PA ⊥底面ABCD ，2,4,60AB PA BC ABC ===∠=︒，点E 是线段BC （包括端点）上的动点．（1）探究点E 位于何处时，平面PAE ⊥平面PED ；（2）设二面角P ED A --的平面角的大小为α，直线AD 与平面PED 所成角为β，求证：π2αβ+=【方法技巧与总结】（1）在平面α内，⊥a l ，在平面β内，⊥b l （l 是交线l 的方向向量），其方向如图所示，则二面角--l αβ的平面角的余弦值为||||⋅a b a b ．（2）设12，n n 是二面角--l αβ的两个半平面的法向量，其方向一个指向二面角内侧，另一个指向二面角的外侧，则二面角--l αβ的余弦值为1212n n |n ||n |⋅⋅．题型十五：求点到平面距离例91．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A D 的中点，过1AB E 的平面截此正方体，得如图所示的多面体，F 为棱1CC 上的动点．（1）点H 在棱BC 上，当14CH CB =时，//FH平面1AEB ，试确定动点F 在棱1CC 上的位置，并说明理由；（2）若2AB =，求点D 到平面AEF 的最大距离．例92．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为等边三角形，四边形11BCC B 是边长为2的正方形，D 为AB中点，且1AD（1）求证：CD ⊥平面11ABB A ；（2）若点P 在线段1B C 上，且直线AP 与平面1ACD ，求点P 到平面1ACD 的距离．例93．如图，已知平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，11AA =，1160A AB A AD BAD ∠=∠=∠=︒，M 为11A C 与11B D 的交点，设AB a =，AD b =，1AA c =．（1）用a ，b ，c 表示BM 并求BM 的长；（2）求点A 到直线BM 的距离．例94．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则平面11AB D 与平面1BDC 的距离为（）AB C D例95．定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，直线AC 与1BC 之间的距离是（）A B C ．12 D ．13例96．如图，正四棱锥P ABCD -的棱长均为2，点E 为侧棱PD 的中点．若点M ，N 分别为直线AB ，CE 上的动点，则MN 的最小值为______．例97．某市在滨海文化中心有滨海科技馆，其建筑有鲜明的后工业风格，如图所示，截取其中一部分抽象出长方体和圆台组合，如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，14,2AB AD AA ===，圆台下底圆心O 为AB 的中点，直径为2，圆与直线AB 交于,E F ，圆台上底的圆心1O 在11A B 上，直径为1．（1）求1A C 与平面1A ED 所成角的正弦值；（2）圆台上底圆周上是否存在一点P 使得1FP AC ⊥，若存在，求点P 到直线11A B 的距离，若不存在则说明理由．例98．如图，矩形ABCD 和梯形ABEF ，,//AF AB EF AB ⊥，平面ABEF ⊥平面ABCD ，且2,1AB AF AD EF ====，过DC 的平面交平面ABEF 于MN ．（1）求证：DN 与CM 相交；（2）当M 为BE 中点时，求点E 到平面DCMN 的距离：【方法技巧与总结】如图所示，平面α的法向量为n ，点Q 是平面α内一点，点P 是平面α外的任意一点，则点P 到平面α的距离d ，就等于向量PQ 在法向量n 方向上的投影的绝对值，即|||cos ,|==<>d PQ PQ n 或||=||||⋅⋅PQ n d PQ n【过关测试】一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四面体O ABC -中，OA a →=，OB b →=，OC c →=，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE 可用向量a →，b →，c →表示为（）A ．111222a b c →→→++ B ．111244a b c →→→++ C ．111424a b c →→→++ D ．111442a b c →→→++ 2．（2022·广东·高三阶段练习）已知正四面体ABCD 的棱长为1，且2BE EC =，则AE CD ⋅=（）A ．16B ．16-C ．13-D ．133．（2022·浙江·模拟预测）在四棱台1111ABCD A B C D -中，侧棱1AA 与底面垂直，上下底面均为矩形，1AB =，1112AD AA A B ===，则下列各棱中，最长的是（）A ．1BB B ．11BC C ．1CCD ．1DD4．（2022·浙江·高三开学考试）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -，E ，F ，G 分别是AB ，1CC ，11C D 的中点，则（）A ．直线1A F 与直线EG 相交B ．直线11B D ∥平面EFGC ．直线1BB 与平面EFG 相交D ．直线1A D ⊥平面EFG5．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，且AB BC CD ==，M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为（）A B 3 C D 6．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）如图，已知长方体1111ABCD A B C D -，以D 为坐标原点，DA ，DC ，1DD 的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则1(2,3,4)DB =，又,E F 分别是棱AB ，1CC 的中点，那么三棱锥11B A EF -的体积为（）A ．4B ．6C ．8D ．127．（2022·安徽淮北·一模（理））在空间直角坐标系中，已知()1,1,1A -，()3,1,1B ，则点()1,0,2P 到直线AB 的距离为（）A ．2 B C D 8．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，E 是棱1DD 的动点，则下列说法正确的（）个．。

专转本高等数学向量代数和空间解析几何随堂练习题含答案

D 、两个点。
⎧ 2 y2 z2
⎪ 19、⎨
x
4
9
1在空间直角坐标系里表示（
）；
⎪⎩ x 1
A、一个点；
B 、平面 x 1 ； C 、椭圆 y2 z2 1 49
D 、椭圆面。
⎧ F (x, y, z) 0
20、空间曲线 ⎨ ⎩
其方程表示式（
G(x, y, z)
）；
A、是惟一的； B 、不是惟一的； C 、很难判断双方惟一； D 、应该有两种。
为
；半径 R 为
；
25、 yoz 平面上曲线 y z2 绕 z 轴旋转一周的旋转曲面方程为
；绕 y 轴
旋转一周的旋转曲面方程为
；
26、 x2 0, x2 y2 0, x2 y2 z2 0 和 xyz 0 在空间直角坐标系里分别表示
为
；
；
；
；
5
三、计算题
1、设向量 a 3i k b 2i 4 j k
17、求过原点且垂直于平面1 : x y z 7 0 及 2 : x 2 y 12z 5 0
的平面方程。
18、求过点(1, 3, 4)且垂直于平面1 : z 0 及 2 : 2x 3y z 1的平面方
程。
19、在通过直线 L :
x 1 y 1 z 3 的所有平面中找出一个平面，使它与
2
C 、 ax 1bx, ay 2by , az 3bz (1 2 3 );
D 、 1axbx 2ayby 3azbz 0;
15、单位向量的坐标在数值上就是（
）；
A、向量的方向角；
B 、向量的方向余弦；
C 、下向量所在直线的方向数；
D 、向量的模。

第一章空间向量与立体几何(公式、定理、结论图表)--2023年高考数学必背知识手册(新教材)

第一章空间向量与立体几何（公式、定理、结论图表）1.空间向量基本概念空间向量：在空间,我们把具有大小和方向的量叫作空间向量.长度（模）：空间向量的大小叫作空间向量的长度或模,记为a 或AB.零向量：长度为0的向量叫作零向量,记为0 .单位向量：模为1的向量叫作单位向量.相反向量：与向量a 长度相等而方向相反的向量,叫作a 的相反向量,记为a.共线向量（平行向量）：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫作共线向量或平行向量.规定:零向量与任意向量平行.相等向量：方向相同且模相等的向量叫作相等向量.2.空间向量的线性运算空间向量的线性运算包括加法、减法和数乘,其定义、画法、运算律等均与平面向量相同.3.共线、共面向量基本定理（1）直线l 的方向向量：在直线l 上取非零向量a ,与向量a平行的非零向量称为直线l 的方向向量.（2）共线向量基本定理：对任意两个空间向量=a b λ （0b ≠ ），//a b 的充要条件是存在实数λ，使=a b λ.（3）共面向量：如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线l 平行或重合,那么称向量a平行于直线l .如果直线OA 平行于平面α或在平面α内,那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量,叫作共面向量.（4）共面向量基本定理:如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p与向量a ,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(),x y ,使p xa yb =+ .4.空间向量的数量积（1）向量的夹角：已知两个非零向量a ,b ,在空间任取一点O ,作,OA a OB b ==,则AOB ∠叫作向量a ,b 的夹角,记作,a b <> .如果,2a b π<>= ,那么向量,a b 互相垂直,记作a b ⊥ .（2）数量积定义：已知两个非零向量,a b ,则cos ,a b a b <> 叫作,a b的数量积,记作a b ⋅ .即a b ⋅= cos ,a b a b <> .（3）数量积的性质：0a b a b ⊥⇔⋅= 2cos ,a a a a a a a ⋅=⋅<>= .（4）空间向量的数量积满足如下的运算律：()()a b a bλλ⋅=⋅ a b b a⋅=⋅ (交换律):()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅（分配律).推论：()2222a ba ab b +=+⋅+，()()22a b a b a b+⋅-=- .（5）向量的投影向量：向量a 在向量b 上的投影向量c ：cos ,b c a a b b=<>向量a 在平面α内的投影向量与向量a 的夹角就是向量a所在直线与平面α所成的角.5.空间向量基本定理如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任意一个空间向量p.存在唯一的有序实数组(),,x y z .使得p xa yb zc =++ .6.基底与正交分解(1)基底:如果三个向量,,a b c 不共面,那么我们把{},,a b c 叫作空间的一个基底,,,a b c都叫作基向量.(2)正交分解:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直.且长度都为1.那么这个基底叫作单位正交基底，常用{},,i j k表示.把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫作把空间向量进行正交分解.7.空间直角坐标系在空间选定点O 和一个单位正交基底{},,i j k.以点O 为原点，分别以,,i j k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x 轴.y 轴、z 轴,它们都叫作坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz ,O 叫作原点，,,i j k都叫作坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面.空间直角坐标系通常使用的都是右手直角坐标系.8.空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz 中,,i j k为坐标向量.给定任一向量OA ,存在唯一的有序实数组(),,x y z ,使OA xa yb zc =++.有序实数组(),,x y z 叫作向量OA 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标.记作(),,OA x y z =.(),,x y z 也叫点A 在空间直角坐标系中的坐标.记作(),,A x y z .9.空间向量运算的坐标表示设()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则：（1）()121212,,a b x x y y z z +=+++，（2）()121212,,a b x x y y z z -=---，（3）()111,,a x y z λλλλ=.10.空间向量平行、垂直、模长、夹角的坐标表示（1）121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===，（2）121212=0++0a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅⇔=，（3）a == ，（4）cos ,a ba b a b ⋅== .11.空间两点间的距离公式设()()11112222,,,,,P x y z P xy z ，则12PP =.12.平面的法向量：直线l α⊥，取直线l 的方向向量a ，称a为平面的法向量.13.空间中直线、平面的平行（1）线线平行:若12,u u 分别为直线12,l l 的方向向量,则1212////,l l u u R λ⇔⇔∃∈ 使得12u u λ=.（2）线面平行:设u 直线l 的方向向量,n 是平面α的法向量,l α⊄，则//0l u n u n α⇔⊥⇔⋅=.法2:在平面α内取一个非零向量a ,若存在实数x ,使得u xa =,且l α⊄，则//l α.法3:在平面α内取两个不共线向量,a b ,若存在实数,x y ，使得u xa yb =+,且l α⊄,则//l α（3）面面平行:设12,n n 分别是平面,αβ的法向量，则12////n n R αβλ⇔⇔∃∈ ，使得12n n λ=.14.空间中直线、平面的垂直（1）线线垂直:若12,u u 分别为直线12,l l 的方向向量,则1212120l l u u u u ⊥⇔⊥⇔⋅=.（2）线面垂直:设u 直线l 的方向向量,n 是平面α的法向量,则//l u n R αλ⊥⇔⇔∃∈ ，使得u n λ=.法2:在平面α内取两个不共线向量,a b,若0a u b u ⋅=⋅= .则l α⊥.（3）面面垂直:设12,n n 分别是平面,αβ的法向量，则12120n n n n αβ⊥⇔⊥⇔⋅=.15.用空间向量研究距离、夹角问题（1）点到直线的距离：已知,A B 是直线l 上任意两点,P 是l 外一点，PQ l ⊥，则点P 到直线l 的距离为PQ =(2)求点到平面的距离已知平面α的法向量为n,A 是平面α内的任一点，P 是平面α外一点,过点P 作则平面α的垂线l ，交平面α于点Q ,则点P 到平面α的距离为AP nPQ n⋅= .（3）直线与直线的夹角若12,n n 分别为直线12,l l 的方向向量，θ为直线12,l l 的夹角，则121212cos cos ,n n n n n n θ⋅=<>=.(4)直线与平面的夹角设1n 是直线l 的方向向量,2n是平面α的法向量,直线与平面的夹角为θ.则121212sin cos ,n n n n n n θ⋅=<>=.（5）平面与平面的夹角平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90 的二面角称为这两个平面的夹角.若12,n n 分别为平面,αβ的法向量，θ为平面,αβ的夹角，则121212cos cos ,n n n n n n θ⋅=<>=.<解题方法与技巧>1．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．2．利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．3.在几何体中求空间向量的数量积的步骤1首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.2利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.3根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.4代入公式a·b ＝|a ||b |cos〈a ，b 〉求解.4.利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要选择基底或建立空间直角坐标系转化为其坐标运算，再借助于向量的有关性质求解(证).5.求点到平面的距离的四步骤6.用坐标法求异面直线所成角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；7.利用向量法求两平面夹角的步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；(3)求两个法向量的夹角；(4)法向量夹角或其补角就是两平面的夹角(不大于90°的角)典例1：多选题（2023·全国·高三专题练习）在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（）A ．当1λ=时，1AB P △的周长为定值B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C．当12λ=时，有且仅有一个点P，使得1A P BP⊥D．当12μ=时，有且仅有一个点P，使得1A B⊥平面1AB P【详解】P在矩形11BCC B内部（含边界）典例2：如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC 的面积为．(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．由（1）得2AE =，所以12AA AB ==，1A B =则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ,所以AC 则()1,1,1BD = ，()()0,2,0,2,0,0BA BC ==,设平面ABD 的一个法向量(),,m x y z = ，则m BD m BA ⎧⋅⎨⋅⎩可取()1,0,1m =-，设平面BDC 的一个法向量(),,n a b c = ，则n BD n BC ⎧⋅⎨⋅⎩可取()0,1,1n =-r，则11cos ,222m n m n m n⋅===⨯⋅，所以二面角A BD C --的正弦值为213122⎛⎫-= ⎪⎝⎭.典例3：已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ⊥（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小?【答案】（1）证明见解析；（2）112B D =【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案；【详解】（1）[方法一]：几何法因为1111,//BF AB AB AB ⊥，所以BF AB ⊥．又因为1AB BB ⊥，1BF BB B ⋂=，所以AB ⊥平面11BCC B ．又因为2AB BC ==，构造正方体1111ABCG A B C G -，如图所示，()()(0,0,0,2,0,0,0,2,0B A C ∴由题设(),0,2D a （02a ≤≤因为()(0,2,1,1BF DE ==- 所以()012BF DE a ⋅=⨯-+ [方法三]：因为1BF A B ⊥(1BF ED BF EB BB B ⋅=⋅++ 1122BF BA BC BF ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭1cos 2BF BC FBC =-⋅∠+作1BH F T ⊥，垂足为H ，因为面角的平面角．设1,B D t =[0,2],t ∈1B T =典例4：如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．。

高考数学总复习考点知识讲解与提升练习51 空间向量的概念与运算

高考数学总复习考点知识讲解与提升练习专题51 空间向量的概念与运算考点知识1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．知识梳理1．空间向量的有关概念2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b.(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝x a＋y b＋z c，{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．4.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量．(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a为平面α的法向量．(3)空间位置关系的向量表示常用结论1．三点共线：在平面中A，B，C三点共线⇔OA→＝xOB→＋yOC→(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．2．四点共面：在空间中P，A，B，C四点共面⇔OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两个非零向量a ，b 共面．(√) (2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反．(×)(3)若A ，B ，C ，D 是空间中任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0.(√) (4)若直线a 的方向向量和平面α的法向量平行，则a ∥α.(×) 教材改编题1.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为点M ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，则下列向量中与C 1M —→相等的向量是()A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋cC ．－12a －12b －cD ．－12a －12b ＋c答案C解析C 1M —→＝C 1C —→＋CM →＝C 1C —→＋12(CB →＋CD →)＝A 1A —→＋12DA →＋12BA →＝－12a －12b －c . 2.如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是()A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定答案B解析分别以C 1B 1，C 1D 1，C 1C 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．因为A 1M ＝AN ＝2a 3，所以M ⎝⎛⎭⎪⎫a ，23a ，a 3，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，23a ，a ，所以MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，0，23a ，又C 1(0,0,0)，D 1(0，a ,0)，所以C 1D 1—→＝(0，a ,0)，所以MN →·C 1D 1—→＝0，所以MN →⊥C 1D 1—→. 因为C 1D 1—→是平面BB 1C 1C 的一个法向量，且MN ⊄平面BB 1C 1C ，所以MN ∥平面BB 1C 1C . 3．设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(－2,2,1)，b ＝(3，－2，m )，若l 1⊥l 2，则m ＝________. 答案10解析∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b ，∴a ·b ＝－6－4＋m ＝0，∴m ＝10.题型一空间向量的线性运算例1(1)在空间四边形ABCD 中，AB →＝(－3,5,2)，CD →＝(－7，－1，－4)，点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，则EF →的坐标为() A ．(2,3,3) B ．(－2，－3，－3) C ．(5，－2,1) D ．(－5,2，－1) 答案B解析因为点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，设O 为坐标原点，所以EF →＝OF →－OE →，OF →＝12(OA →＋OD →)，OE →＝12(OB →＋OC →)．所以EF →＝12(OA →＋OD →)－12(OB →＋OC →)＝12(BA →＋CD →)＝12×[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)]＝12×(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3)． (2)(2023·北京日坛中学模拟)在三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，D 是四边形BB 1C 1C 的中心，且AA 1—→＝a ，AB →＝b ，AC →＝c ，则A 1D —→等于()A.12a ＋12b ＋12cB.12a －12b ＋12cC.12a ＋12b －12c D ．－12a ＋12b ＋12c答案D解析A 1D —→＝A 1A —→＋AB →＋BD → ＝－AA 1—→＋AB →＋12(BB 1—→＋BC →) ＝－AA 1—→＋AB →＋12AA 1—→＋12(AC →－AB →)＝－12AA 1—→＋12AB →＋12AC →＝－12a ＋12b ＋12c .思维升华用已知向量表示某一向量的三个关键点 (1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键． (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义． (3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立．跟踪训练1(1)已知a ＝(2,3，－4)，b ＝(－4，－3，－2)，b ＝12x －2a ，则x 等于()A ．(0,3，－6)B ．(0,6，－20)C ．(0,6，－6)D ．(6,6，－6) 答案B解析由b ＝12x －2a ，得x ＝4a ＋2b ＝(8,12，－16)＋(－8，－6，－4)＝(0,6，－20)．(2)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．①化简A 1O —→－12AB →－12AD →＝________；②用AB →，AD →，AA 1—→表示OC 1—→，则OC 1—→＝________. 答案①A 1A —→②12AB →＋12AD →＋AA 1—→解析①A 1O —→－12AB →－12AD →＝A 1O —→－12(AB →＋AD →)＝A 1O —→－AO →＝A 1O —→＋OA →＝A 1A —→.②因为OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →)．所以OC 1—→＝OC →＋CC 1—→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1—→＝12AB →＋12AD →＋AA 1—→.题型二空间向量基本定理及其应用例2(1)下列命题正确的是()A ．若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线B ．向量a ，b ，c 共面，即它们所在的直线共面C ．若空间向量a ，b ，c 不共面，则a ，b ，c 都不为0D ．若a ，b ，c 共面，则存在唯一的实数对(x ，y )，使得a ＝x b ＋y c 答案C解析若b ＝0，则满足a 与b 共线，b 与c 共线，但是a 与c 不一定共线，故A 错误；因为向量是可以移动的量，所以向量a ，b ，c 共面，但它们所在的直线不一定共面，故B 错误；假设a ，b ，c 至少有一个为0，则空间向量a ，b ，c 共面，故假设不成立，故C 正确；假设b ＝0，若a ,c 共线，则存在无数个实数对(x ，y )，使得a ＝x b ＋y c ，若a ,c 不共线，则不存在实数对(x ，y )，使得a ＝x b ＋y c ，故D 错误． (2)(多选)下列说法中正确的是()A ．|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件B ．若AB →，CD →共线，则AB ∥CDC ．A ，B ，C 三点不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面D．若P，A，B，C为空间四点，且有PA→＝λPB→＋μPC→(PB→，PC→不共线)，则λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件答案CD解析由|a|－|b|＝|a＋b|，可知向量a，b的方向相反，此时向量a，b共线，反之，当向量a，b同向时，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正确；若AB→，CD→共线，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，所以B不正确；由A，B，C三点不共线，对空间任意一点O，若OP→＝34OA→＋18OB→＋18OC→，因为34＋18＋18＝1，可得P，A，B，C四点共面，所以C正确；若P，A，B，C为空间四点，且有PA→＝λPB→＋μPC→(PB→，PC→不共线)，当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ，可得PA→－PC→＝λ(PB→－PC→)，即CA→＝λCB→，所以A，B，C三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A，B，C三点共线的充要条件，所以D正确．思维升华应用共线(面)向量定理、证明点共线(面)的方法比较跟踪训练2(1)已知空间中A ，B ，C ，D 四点共面，且其中任意三点均不共线，设P 为空间中任意一点，若BD →＝6PA →－4PB →＋λPC →，则λ等于() A ．2B ．－2C ．1D ．－1 答案B解析BD →＝6PA →－4PB →＋λPC →，即PD →－PB →＝6PA →－4PB →＋λPC →，整理得PD →＝6PA →－3PB →＋λPC →，由A ，B ，C ，D 四点共面，且其中任意三点均不共线，可得6－3＋λ＝1，解得λ＝－2.(2)(2023·金华模拟)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，且满足DE →＝xDA →＋yDC →＋(1－x －y )DD 1—→，则|DE →|的最小值是() A.13B.23C.33D.23 答案C解析因为DE →＝xDA →＋yDC →＋(1－x －y )DD 1—→，由空间向量的共面定理可知，点E ，A ，C ，D 1四点共面，即点E 在平面ACD 1上，所以|DE →|的最小值即为点D 到平面ACD 1的距离d ，由正方体的棱长为1，可得△ACD 1是边长为2的等边三角形，则1ACD S △＝12×(2)2×sin π3＝32，S △ACD ＝12×1×1＝12，由等体积法得11D ACD D ACD V V --=，所以13×32×d ＝13×12×1，解得d ＝33，所以|DE →|的最小值为33.题型三空间向量数量积及其应用例3(1)已知点O 为空间直角坐标系的原点，向量OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，且点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，OQ →的坐标是______．答案⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83解析∵OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，设OQ →＝λOP →＝(λ，λ，2λ)，又∵OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，∴QA →＝OA →－OQ →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， QB →＝OB →－OQ →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，则QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10，当λ＝43时，QA →·QB →取得最小值，此时OQ →的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.(2)如图，已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为1的正方形，AA 1＝2，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°.①求线段AC 1的长；②求异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值； ③求证：AA 1⊥BD .①解设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，则|a |＝|b |＝1，|c |＝2，a ·b ＝0，c ·a ＝c ·b ＝2×1×cos120°＝－1. 因为AC 1—→＝AB →＋AD →＋AA 1—→＝a ＋b ＋c ，所以|AC 1—→|＝|a ＋b ＋c |＝(a ＋b ＋c )2 ＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝1＋1＋4＋0－2－2＝2，所以线段AC 1的长为 2.②解因为AC 1—→＝a ＋b ＋c ，A 1D —→＝b －c ，所以AC 1—→·A 1D —→＝(a ＋b ＋c )·(b －c ) ＝a ·b －a ·c ＋b 2－c 2 ＝0＋1＋1－4＝－2， |A 1D —→|＝|b －c |＝(b －c )2 ＝|b |2＋|c |2－2b ·c ＝1＋4＋2＝7，设异面直线AC 1与A 1D 所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈AC 1—→，A 1D —→〉|＝|AC 1—→·A 1D —→||AC 1—→||A 1D —→|＝|－2|2×7＝147，即异面直线AC 1与A 1D 所成角的余弦值为147.③证明由①知AA 1—→＝c ，BD →＝b －a ，所以AA 1—→·BD →＝c ·(b －a )＝c ·b －c ·a ＝－1＋1＝0，即AA 1—→·BD →＝0，所以AA 1⊥BD .思维升华空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．跟踪训练3(1)(2023·益阳模拟)在正三棱锥P －ABC 中，O 是△ABC 的中心，PA ＝AB ＝2，则PO →·PA →等于() A.59B.63C.423 D.83 答案D解析∵P －ABC 为正三棱锥，O 为△ABC 的中心，∴PO ⊥平面ABC ， ∴PO ⊥AO ，∴PO →·OA →＝0， |AO →|＝23·|AB →|·sin60°＝233，故PO →·PA →＝PO →·(PO →＋OA →)＝|PO →|2＝|AP →|2－|AO →|2＝4－43＝83.(2)(2022·营口模拟)已知A (－1,2,1)，B (－1,5,4)，C (1,3,4)．①求〈AB→，BC→〉；②求AC→在AB→上的投影向量．解①因为A(－1,2,1)，B(－1,5,4)，C(1,3,4)，所以AB→＝(0,3,3)，BC→＝(2，－2,0)．因为AB→·BC→＝0×2＋3×(－2)＋3×0＝－6，|AB→|＝32，|BC→|＝22，所以cos〈AB→，BC→〉＝AB→·BC→|AB→||BC→|＝－632×22＝－12，故〈AB→，BC→〉＝2π3.②因为AC→＝(2,1,3)，AB→＝(0,3,3)，所以AC→·AB→＝0＋1×3＋3×3＝12. 因为|AB→|＝32，|AC→|＝14，所以cos〈AC→，AB→〉＝AC→·AB→|AC→||AB→|＝1214×32＝277，所以AC→在AB→上的投影向量为|AC→|cos〈AC→，AB→〉AB→|AB→|＝14×277×AB→32＝23AB→＝(0,2,2)．题型四向量法证明平行、垂直例4如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．(1)求证：B 1E ⊥AD 1；(2)在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由．(1)证明以A 为原点，AB →，AD →，AA 1—→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，0，B 1(a ,0,1)．故AD 1—→＝(0,1,1)，B 1E —→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，1，－1. 因为B 1E —→·AD 1—→＝－a 2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，所以B 1E —→⊥AD 1—→，即B 1E ⊥AD 1. (2)解存在满足要求的点P ，假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)，使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP →＝(0，－1，z 0)，设平面B 1AE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． AB 1→＝(a ,0,1)，AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，0.因为n ⊥平面B 1AE ，所以n ⊥AB 1—→，n ⊥AE →，得⎩⎨⎧ax ＋z ＝0，ax2＋y ＝0，取x ＝1，则y ＝－a2，z ＝－a ，故n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－a 2，－a .要使DP ∥平面B 1AE ，只需n ⊥DP →，则a2－az 0＝0，解得z 0＝12. 所以存在点P ，满足DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12.思维升华(1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素)． (2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理．跟踪训练4如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，BC ＝2，CC 1＝4，点E 在线段BB 1上，且EB 1＝1，D ，F ，G 分别为CC 1，C 1B 1，C 1A 1的中点．(1)求证：平面A 1B 1D ⊥平面ABD ； (2)求证：平面EGF ∥平面AB D.证明以B 为坐标原点，BA ，BC ，BB 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0,0,0)，D (0,2,2)，B 1(0,0,4)，E (0,0,3)，F (0,1,4)．设BA ＝a ，则A (a ,0,0)，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，4.(1)因为BA →＝(a ,0,0)，BD →＝(0,2,2)，B 1D —→＝(0,2，－2)，所以B 1D —→·BA →＝0，B 1D —→·BD →＝0. 所以B 1D —→⊥BA →，B 1D —→⊥BD →，即B 1D ⊥BA ，B 1D ⊥BD .又BA ∩BD ＝B ，BA ，BD ⊂平面ABD ，所以B 1D ⊥平面ABD . 因为B 1D ⊂平面A 1B 1D ，所以平面A 1B 1D ⊥平面AB D.(2)方法一因为EG →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，1，1，EF →＝(0,1,1)，B 1D —→＝(0,2，－2)，所以B 1D —→·EG →＝0，B 1D —→·EF →＝0. 所以B 1D ⊥EG ，B 1D ⊥EF .因为EG ∩EF ＝E ，EG ，EF ⊂平面EGF ，所以B 1D ⊥平面EGF . 又由(1)知B 1D ⊥平面ABD ，所以平面EGF ∥平面AB D. 方法二因为GF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，0，0，所以GF→＝－12BA→，∴GF∥BA，又GF⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以GF∥平面ABD，同理EF∥平面ABD，又GF∩EF＝F，GF，EF⊂平面EGF，所以平面EGF∥平面ABD.课时精练1．已知直线l的一个方向向量为m＝(x,2，－5)，平面α的一个法向量为n＝(3，－1,2)，若l∥α，则x等于()A．－6B．6C．－4D．4答案D解析若l∥α，则m⊥n，从而m·n＝0，即3x－2－10＝0，解得x＝4.2．(多选)下列关于空间向量的命题中，正确的有()A．若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a∥bB．若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则有a∥cC．若OA→，OB→，OC→是空间的一组基底，且OD→＝13OA→＋13OB→＋13OC→，则A，B，C，D四点共面D．若向量a＋b，b＋c，c＋a是空间的一组基底，则a，b，c也是空间的一组基底答案ACD解析对于A，若向量a，b与空间任意向量都不能构成基底，则a，b为共线向量，即a∥b，故A 正确；对于B ，若非零向量a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ⊥c ，则a 与c 不一定共线，故B 错误；对于C ，若OA →，OB →，OC →是空间的一组基底，且OD →＝13OA →＋13OB →＋13OC →，则OD →－OA →＝13(OB →－OA →)＋13(OC →－OA →)，即AD →＝13AB →＋13AC →，可得A ，B ，C ，D 四点共面，故C 正确；对于D ，若向量a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 是空间的一组基底，则空间任意一个向量d 存在唯一实数组(x ，y ，z ),使d ＝x (a ＋b )＋y (b ＋c )＋z (c ＋a )＝(x ＋z )a ＋(x ＋y )b ＋(y ＋z )c ，则a ，b ，c 也是空间的一组基底．3.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AD ＝1，则BD 1—→·AD →等于()A ．1B ．2C ．3D.63答案A解析由长方体的性质可知AD ⊥AB ，AD ⊥BB 1，AD ∥BC ，AD ＝BC ＝1，BD 1—→＝BA →＋BC →＋BB 1—→，所以BD 1—→·AD →＝(BA →＋BC →＋BB 1—→)·AD →＝BA →·AD →＋BC →·AD →＋BB 1—→·AD→＝0＋BC →2＋0＝1.4．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是() A ．(1，－1,1) B.⎝⎛⎭⎪⎫1，3，32 C.⎝⎛⎭⎪⎫1，－3，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，3，－32 答案B解析对于选项A ，PA →＝(1,0,1)，PA →·n ＝5，所以PA →与n 不垂直，排除A ；同理可排除C ，D ；对于选项B ，有PA →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－4，12，所以PA →·n ＝0，因此B 项正确．5.如图在一个120°的二面角的棱上有两点A ，B ，线段AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB 垂直，若AB ＝2，AC ＝1，BD ＝2，则CD 的长为()A ．2B ．3C ．23D ．4 答案B解析∵CD →＝CA →＋AB →＋BD →，∴CD →2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2CA →·AB →＋2CA →·BD →＋2AB →·BD →， ∵CA →⊥AB →，BD →⊥AB →，∴CA →·AB →＝0，BD →·AB →＝0， CA →·BD →＝|CA →||BD →|cos(180°－120°)＝12×1×2＝1. ∴CD →2＝1＋2＋4＋2×1＝9，∴|CD →|＝3.6．(多选)(2023·浙江省文成中学模拟)已知空间向量a ＝(2，－2,1)，b ＝(3,0,4)，则下列说法正确的是()A ．向量c ＝(－8,5,6)与a ，b 垂直B ．向量d ＝(1，－4，－2)与a ，b 共面C ．若a 与b 分别是异面直线l 1与l 2的方向向量，则其所成角的余弦值为23D ．向量a 在向量b 上的投影向量为(6,0,8) 答案BC解析对于A ，a ·c ＝－16－10＋6≠0，b ·c ＝－24＋24＝0，故a ，c 不垂直，故A 错；对于B ，设d ＝m a ＋n b ，则m (2，－2,1)＋n (3,0,4)＝(1，－4，－2)，所以⎩⎨⎧2m ＋3n ＝1，－2m ＝－4，m ＋4n ＝－2，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝－1，即2a －b ＝d ，故B 对；对于C ，因为cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝103×5＝23，所以异面直线l 1与l 2所成角的余弦值为23，故C 对；对于D ，向量a 在向量b 上的投影向量为|a |cos 〈a ，b 〉·b |b |＝3×23×15×(3,0,4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫65，0，85，故D 错．7．已知直线l 的方向向量是m ＝(1，a ＋2b ，a －1)(a ，b ∈R )，平面α的一个法向量是n ＝(2,3,3)．若l ⊥α，则a ＋b ＝________. 答案2解析∵m ＝(1，a ＋2b ，a －1)(a ，b ∈R )是直线l 的方向向量，n ＝(2,3,3)是平面α的一个法向量，l ⊥α，∴m ∥n ， ∴12＝a ＋2b 3＝a －13，解得a ＝52，b ＝－12， ∴a ＋b ＝2.8．已知V 为矩形ABCD 所在平面外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝VD ，VP →＝13VC →，VM →＝23VB →，VN →＝23VD →.则VA 与平面PMN 的位置关系是________．答案VA ∥平面PMN解析如图，设VA →＝a ，VB →＝b ，VC →＝c ，则VD →＝a ＋c －b ，由题意知PM →＝23b －13c ，PN →＝23VD →－13VC →＝23a －23b ＋13c .因此VA →＝32PM →＋32PN →，∴VA →，PM →，PN →共面．又∵VA ⊄平面PMN ，∴VA ∥平面PMN .9．已知a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)． (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上是否存在一点E ，使得OE →⊥b ？(O 为原点) 解(1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a ＋b |＝02＋(－5)2＋52＝5 2.(2)令AE →＝tAB → (t ∈R )，AB →＝(1，－1，－2)，所以OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t ,4－2t )，若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95.因此存在点E ，使得OE →⊥b ，此时点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，－145，25.10.如图，四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝2，E ，F ，H 分别是线段PA ，PD ，AB 的中点．求证：(1)PB ∥平面EFH ； (2)PD ⊥平面AHF .证明(1)∵E ，H 分别是线段AP ，AB 的中点，∴PB ∥EH . ∵PB ⊄平面EFH ，且EH ⊂平面EFH ，∴PB ∥平面EFH . (2)建立如图所示的空间直角坐标系．则A (0,0,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，F (0,1,1)，H (1,0,0)． PD →＝(0,2，－2)，AH →＝(1,0,0)，AF →＝(0,1,1)， ∴PD →·AF →＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，PD →·AH →＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0. ∴PD →⊥AF →，PD →⊥AH →， ∴PD ⊥AF ，PD ⊥AH .∵AH ∩AF ＝A ，且AH ，AF ⊂平面AHF ，∴PD ⊥平面AHF .11.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝3AD ＝3AA 1＝3，点P 为线段A 1C 上的动点，则下列结论不正确的是()A ．当A 1C —→＝2A 1P —→时，B 1，P ，D 三点共线 B ．当AP →⊥A 1C —→时，AP →⊥D 1P —→ C ．当A 1C —→＝3A 1P —→时，D 1P ∥平面BDC 1 D ．当A 1C —→＝5A 1P —→时，A 1C ⊥平面D 1AP 答案B解析如图，建立空间直角坐标系，则A 1(1,0,1)，C (0，3，0)，D 1(0,0,1)，A (1,0,0)，B 1(1，3，1)，D (0,0,0)，B (1，3，0)，C 1(0，3，1)，当A 1C —→＝2A 1P —→时，A 1P —→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，－12，DP →＝DA 1—→＋A 1P —→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，12，而DB 1—→＝(1，3，1)， ∴DP →＝12DB 1—→，∴B 1，P ，D 三点共线，A 正确；设A 1P —→＝λA 1C —→，A 1C —→＝(－1，3，－1)，则AP →＝AA 1—→＋A 1P —→＝AA 1—→＋λA 1C —→＝(－λ，3λ，1－λ)．当AP →⊥A 1C —→时，有AP →·A 1C —→＝5λ－1＝0， ∴λ＝15，∴AP →·D 1P —→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，35，45·⎝ ⎛⎭⎪⎫45，35，－15＝－15≠0，∴AP →与D 1P —→不垂直，B 不正确；当A 1C —→＝3A 1P —→时，A 1P —→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，33，－13， D 1P —→＝A 1P —→－A 1D 1—→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23，33，－13，又DB →＝(1，3，0)，DC 1—→＝(0，3，1)，∴D 1P —→＝23DB →－13DC 1—→，∴D 1P —→，DB →，DC 1→共面，又D 1P ⊄平面BDC 1，∴D 1P ∥平面BDC 1，C 正确；当A 1C —→＝5A 1P —→时，A 1P —→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，35，－15，从而AP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－15，35，45，又AD 1—→·A 1C —→＝(－1,0,1)·(－1，3，－1)＝0， ∴A 1C ⊥AD 1，AP →·A 1C —→＝⎝⎛⎭⎪⎫－15，35，45·(－1，3，－1)＝0， ∴A 1C ⊥AP ，∵AD 1∩AP ＝A ，AD 1，AP ⊂平面D 1AP ，∴A 1C ⊥平面D 1AP ，D 正确．12．(多选)(2023·梅州模拟)如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝3，点M ，N 分别在棱AB 和BB 1上运动(不含端点)．若D 1M ⊥MN ，则下列命题正确的是()A ．MN ⊥A 1MB ．MN ⊥平面D 1MCC ．线段BN 长度的最大值为34D ．三棱锥C 1－A 1D 1M 体积不变答案ACD解析在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，以点D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，则A 1(3,0,3)，D 1(0,0,3)，C (0,3,0)，B (3,3,0)，设M (3，y ,0)，N (3,3，z )，y ，z ∈(0,3)，D 1M —→＝(3，y ，－3)，MN →＝(0,3－y ，z )，而D 1M ⊥MN ，则D 1M —→·MN →＝y (3－y )－3z ＝0，即z ＝13y (3－y )．对于A 选项，连接A 1M ，A 1M —→＝(0，y ，－3)，则A 1M —→·MN →＝y (3－y )－3z ＝0，则A 1M —→⊥MN →，MN ⊥A 1M ，A 正确；对于B 选项，CM →＝(3，y －3,0)，CM →·MN →＝(y －3)(3－y )＝－(3－y )2<0，即CM 与MN 不垂直，从而MN 与平面D 1MC 不垂直，B 不正确；对于C 选项，BN →＝(0,0，z )，则线段BN 长度|BN →|＝z ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322＋94≤34，当且仅当y＝32时等号成立，C 正确；对于D 选项，连接D 1M ，A 1C 1，MC 1，不论点M 如何移动，点M 到平面A 1D 1C 1的距离均为3，而111111111133C AD M M A D C A D C V V S --==⋅⋅△＝92，所以三棱锥C 1－A 1D 1M 体积为定值，即D 正确．13．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面边长为1，M 为BC 的中点，C 1N →＝λNC →，且AB 1⊥MN ，则λ的值为________．答案15解析如图所示，取B 1C 1的中点P ，连接MP ，以MC →，MA →，MP →的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系，因为底面边长为1，侧棱长为2，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，0，B 1⎝⎛⎭⎪⎫－12，0，2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，0，C 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，2，M (0,0,0)，设N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，t ，因为C 1N —→＝λNC →，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，21＋λ，所以AB 1—→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32，2，MN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，21＋λ. 又因为AB 1⊥MN ，所以AB 1—→·MN →＝0，所以－14＋41＋λ＝0，解得λ＝15.14．(2022·杭州模拟)在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为A 1D 1，BB 1的中点，则cos∠EAF ＝________，EF ＝________. 答案2562解析如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，∵正方体的棱长为1，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，F ⎝⎛⎭⎪⎫1，0，12，∴AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，1，AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，0，12，EF →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，－12，－12，cos 〈AE →，AF →〉＝AE →·AF →|AE →||AF →|＝1252×52＝25，∴cos∠EAF ＝25，EF ＝|EF →|＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝62.15．已知梯形CEPD 如图(1)所示，其中PD ＝8，CE ＝6，A 为线段PD 的中点，四边形ABCD 为正方形，现沿AB 进行折叠，使得平面PABE ⊥平面ABCD ，得到如图(2)所示的几何体．已知当点F 满足AF →＝λAB →(0＜λ＜1)时，平面DEF ⊥平面PCE ，则λ的值为()A.12B.23C.35D.45 答案C解析由题意，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则D (0,4,0)，E (4,0,2)，C (4,4,0)，P (0,0,4)，A (0,0,0)，B (4,0,0)，设F (t ,0,0)，0<t <4，AF →＝λAB →(0＜λ＜1)，则(t ,0,0)＝(4λ，0,0)，∴t ＝4λ，∴F (4λ，0,0)，DE →＝(4，－4,2)，DF →＝(4λ，－4,0)，PC →＝(4,4，－4)，PE →＝(4,0，－2)，设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DE →＝4x －4y ＋2z ＝0，n ·DF →＝4λx －4y ＝0，取x ＝1，得n ＝(1，λ，2λ－2)，设平面PCE 的法向量为m ＝(a ，b ，c )，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·PC →＝4a ＋4b －4c ＝0，m ·PE →＝4a －2c ＝0，取a ＝1，得m ＝(1,1,2)，∵平面DEF ⊥平面PCE ，∴m ·n ＝1＋λ＋2(2λ－2)＝0，解得λ＝35.。

2023版高考数学一轮总复习：空间向量及其应用课件理

(5)a⊥b⇔a·b=0⇔ a1b1+a2b2+a3b3=0 ;
(6)|a|= · =
(7)cos<a,b>=
12 + 22 + 23 ;
·
||||
=
+ +
+ + · + +
.
考点1
空间向量及其运算
4. 空间两点间的距离及中点坐标
l∥α
n·m=0
n⊥m⇔_______
平面α的法向量为m.
l⊥α
n∥m⇔n=λm(λ∈R)
平面α,β的法向量分
α∥β
n∥m⇔n=λm(λ∈R)
别为n,m.
α⊥β
n⊥m⇔_________
n·m=0
考点2
空间向量的应用
3. 直线与平面所成的角
(1)
直角
射影
(2)线面角θ的取值范围:
π
[0, ]
2
.
(3)最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和
( C )
A.直线的方向向量是唯一确定的
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B.若直线a的方向向量和平面α的法向量平行,则a∥α
C.若两平面的法向量平行,则两平面平行
考点1
空间向量及其运算
3. 空间向量的坐标运算
设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
(1)a±b=(a1±b1,a2±b2,a3±b3);
(2)λa=(λa1,λa2,λa3)(λ∈R);
(3)a·b= a1b1+a2b2+a3b3 ;
(4)a∥b⇔a=λb(b≠0)⇔ a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R) ;

空间向量知识点总结ppt

空间向量知识点总结ppt一、空间向量的概念空间向量是指具有大小和方向的有序数组，通常用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。

空间向量可以用分量表示，在直角坐标系下，一个向量可以表示为(x, y, z)，分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。

二、空间向量的运算1. 向量的加法：向量的加法满足三角形法则，即两个向量相加的结果是以这两个向量为两条边的三角形的第三条边。

2. 向量的减法：向量的减法等于向量的加法的负数，即a - b = a + (-b)。

3. 向量的数量积：向量的数量积等于向量的模的乘积再乘以这两个向量之间的夹角的余弦值。

表示为a·b = |a| |b| cosθ。

4. 向量的叉积：向量的叉积等于一个新的向量，其大小等于两个向量的模的乘积再乘以这两个向量之间的夹角的正弦值，方向垂直于这两个向量的平面。

表示为a×b = |a| |b| sinθ n。

三、空间向量的线性相关与线性无关1. 线性相关：如果存在一组不全为零的实数k1、k2、k3，使得k1a + k2b + k3c = 0，那么称向量a、b、c线性相关。

2. 线性无关：如果向量a、b、c不是线性相关的，那么这组向量就是线性无关的。

四、空间向量的基1. 空间向量的线性组合：给定一组向量a1、a2、a3，任意向量可以表示为这组向量的线性组合，即x = k1a1 + k2a2 + k3a3。

2. 基向量：如果一组向量能够表示空间中的任意向量，并且这组向量是线性无关的，那么这组向量就是空间的一组基向量。

3. 维数：空间中的一组基向量的个数就是该空间的维数，通常用n表示。

五、空间向量的坐标表示1. 坐标表示：在n维空间中，任意向量都可以表示为n个数的有序组合(x1, x2, ..., xn)，这n个数就是向量在基向量上的投影。

2. 坐标变换：不同的基向量可以表示同一个向量，这时需要进行坐标变换，通过坐标变换矩阵可以将一个向量在一个基下的坐标表示转换为另一个基下的坐标表示。

2023-2024学年高二数学单元速记——空间向量与立体几何(知识归纳+题型突破)(解析版)

第一章空间向量与立体几何（知识归纳+题型突破）1.能够理解空间向量的概念,运算、背景和作用;2.能够依托空间向量建立空间图形及图形关系的想象力;3.能够掌握空间向量基本定理,体会其作用,并能简单应用;4.能够运用空间向量解决一些简单的实际问题，体会用向量解决一类问题的思路.一、空间向量的有关概念1、概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等．2、几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a 长度相等而方向相反的向量，称为a 的相反向量，记为a- 共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量共面向量平行于同一个平面的向量二、空间向量的有关定理1、共线向量定理：对空间任意两个向量,(0)a b b ≠ ，a b 的充要条件是存在实数λ，使a b λ=．（1）共线向量定理推论：如果l 为经过点A 平行于已知非零向量a的直线,那么对于空间任一点O ,点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使OP OA ta =+ ①，若在l 上取AB a = ，则①可以化作：OP OA t AB=+（2）拓展(高频考点）：对于直线外任意点O ，空间中三点,,P A B 共线的充要条件是OP OA AB λμ=+，其中1λμ+=2、共面向量定理如果两个向量,a b 不共线，那么向量p 与向量,a b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(,)x y ，使p xa yb=+ （1）空间共面向量的表示如图空间一点P 位于平面ABC 内的充要条件是存在有序实数对(,)x y ，使AP xAB yAC =+．或者等价于：对空间任意一点O ，空间一点P 位于平面ABC 内（,,,P A B C 四点共面）的充要条件是存在有序实数对(,)x y ，使OP OA xAB y AC =++，该式称为空间平面ABC 的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．（2）拓展对于空间任意一点O ，四点,,,P C A B 共面（其中,,C A B 不共线）的充要条件是OP xOC yOA zOB =++（其中1x y z ++=）．3、空间向量基本定理如果向量三个向量,,,a b c 不共面，那么对空间任意向量,p 存在有序实数组{},,,x y z 使得.p xa yb zc =++三、空间向量的数量积1、空间两个向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作 OA a = ，OB b =，则么AOB ∠叫做向量,a b的夹角，记,a b <>.（2）范围：[],0,a b π<>∈r r．特别地，（1）如果,2a b π<>= ，那么向量,a b 互相垂直，记作a b ⊥ ．(2)由概念知两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时，夹角为0；反向时，夹角为π，故a,b 0<>=(或a,b π<>= )//a b ⇔ (,a b为非零向量)．(3)零向量与其他向量之间不定义夹角，并约定0 与任何向量a都是共线的，即0a ．两非零向量的夹角是唯一确定的．（3）拓展（异面直线所成角与向量夹角联系与区别）若两个向量,a b所在直线为异面直线，两异面直线所成的角为θ，(1)向量夹角的范围是0<<,a b ><π，异面直线的夹角θ的范围是0<θ<2π，(2)当两向量的夹角为锐角时，,a b θ=<>；当两向量的夹角为2π时，两异面直线垂直；当两向量的夹角为钝角时，,a b θπ=-<>.2、空间向量的数量积定义：已知两个非零向量a ，b ，则||||cos ,a b a b <> 叫做a ，b 的数量积，记作a b ⋅；即||||cos ,a b a b a b ⋅=<>．规定：零向量与任何向量的数量积都为0.3、向量a的投影3.1．如图(1)，在空间，向量a 向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b 共线的向量c ，||cos ,||bc a a b b =<>向量c 称为向量a 在向量b 上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l 投影(如图(2))．3.2．如图(3)，向量a 向平面β投影，就是分别由向量a的起点A 和终点B 作平面β的垂线，垂足分别为A '，B '，得到A B '' ，向量A B '' 称为向量a 在平面β上的投影向量．这时，向量a ，A B ''的夹角就是向量a 所在直线与平面β所成的角．4、空间向量数量积的几何意义：向量a ，b 的数量积等于a 的长度||a 与b 在a方向上的投影||cos ,b a b <> 的乘积或等于b的长度||b 与a 在b方向上的投影||cos ,a a b <> 的乘积.5、数量积的运算：（1）()()a b a b λλ⋅=⋅，R λ∈.（2）a b b a ⋅=⋅(交换律)．（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅(分配律).四、空间向量的坐标表示及其应用设123(,,)a a a a = ，123(,,)b b b b =，空间向量的坐标运算法则如下表所示：数量积a b a b a b a b ⋅=112233＋＋共线（平行）(0)a b b ≠ ()112233a b a b a b R a bλλλλλ=⎧⎪⇔=⇔=∈⎨⎪=⎩ 垂直a b ⊥⇔11223300a b a b a b a b ⋅=⇔++= （,a b 均为非零向量）模22222||||a a a a a a ===++123，即222||a a a a =++123 夹角cos ,a b <>=112233222222123123a b |a ||b |a b a b a b a a a b b b ++⋅=++++五、直线的方向向量和平面的法向量1、直线的方向向量如图①,a 是直线l 的方向向量,在直线l 上取AB a =,设P 是直线l 上的任意一点,则点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ,使得AP ta = ，即AP t AB=2、平面法向量的概念如图，若直线l α⊥，取直线l 的方向向量a ，我们称a 为平面α的法向量；过点A 且以a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{|0}P a AP ⋅=．3、平面的法向量的求法求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:设向量：设平面α的法向量为(,,)n x y z =选向量：选取两不共线向量,AB AC列方程组：由00n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩列出方程组解方程组：解方程组0n AB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩赋非零值：取其中一个为非零值（常取±1)得结论：得到平面的一个法向量.六、空间位置关系的向量表示七、向量法求空间角1、异面直线所成角设异面直线1l 和2l 所成角为θ，其方向向量分别为u ，v；则异面直线所成角向量求法：①cos ,||||u vu v u v ⋅<>=；②cos |cos ,|u v θ=<> 2、直线和平面所成角设直线l 的方向向量为a ，平面α的一个法向量为n，直线l 与平面α所成的角为θ，则①cos ,||||a na n a n ⋅<>=；②sin |cos ,|a n θ=<> .3、平面与平面所成角（二面角）（1）如图①，AB ，CD 是二面角l αβ--的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小,AB CD θ=<>．（2）如图②③，1n ，2n分别是二面角l αβ--的两个半平面,αβ的法向量，则二面角的大小θ满足：①121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>=；②12cos cos ,n n θ=±<>若二面角为锐二面角（取正），则12cos |cos ,|n n θ=<>；若二面角为顿二面角（取负），则12cos |cos ,|n n θ=-<>；（特别说明，有些题目会提醒求锐二面角；有些题目没有明显提示，需考生自己看图判定为锐二面角还是钝二面角.）八、向量法求距离（2）两条平行直线之间的距离求两条平行直线l ，m 之间的距离，直线m 的距离.（3）求点面距，（4）线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解直线a与平面α之间的距离：两平行平面,αβ之间的距离：d题型一空间关系的证明BM平面ADEF；(1)求证：//(2)求证：BC⊥平面BDE．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）通过中位线得到线线平行，利用判定定理可证或利用法向量证明线面平行；（2）利用面面垂直的性质得到线面垂直，结合线面垂直的判定可证或利用直线的方向向量与平面的法向量平行可证.【详解】（1）解法一：证明：取DE 中点N ，连结AN ，MN ，由三角形中位线性质可得//MN CD 且12MN CD =，又因为//AB CD 且12AB CD =，所以//MN AB 且MN AB =，所以ABMN 是平行四边形，所以//BM AN ，又AN ⊂平面ADEF ，BM ⊄平面ADEF ，所以//BM 平面ADEF ．解法二：证明：因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD =，DE AD ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ，又DC ⊂平面ABCD ，所以DE DC ⊥．如图，以D 为原点，以DA，DC ，DE 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则()()()()()2,2,00,4,00,0,00,0,20,2,1B C D E M ，，，，．因为(2,0,1)BM =-，易知(0,1,0)n =' 为平面ADEF 的一个法向量．因此0BM n '⋅=，所以BM n '⊥ ．又BM ⊄平面ADEF ，所以//BM 平面ADEF ．（2）解法一：证明：因为BD =，BC =4CD =，所以222BD BC CD +=，所以BD BC ⊥．因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD =，DE AD ⊥，所以DE ⊥平面ABCD ，又BC ⊂平面ABCD ，所以DE BC ⊥．又BD DE D ⋂=，,BD DE ⊂平面BDE ，所以BC ⊥平面BDE ．解法二：由（1）可得(2,2,0)DB = ，(0,0,2)DE = ，(2,2,0)BC =-．设平面BDE 的一个法向量(,,)n x y z = ，则22020n DB x y n DE z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1x =，得10y z =-=，，所以(1,1,0)=-n 是平面BDE 的一个法向量．因此2BC n =-，所以BC ⊥平面BDE ．反思总结证明平行、垂直关系的方法可以运用传统方法也可以运用空间向量。

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解：«Skip Record If...»。

例7.2．如果«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»，求«Skip Record If...»。

解：«Skip Record If...» 得：«Skip Record If...» 得：«Skip Record If...»。

它在后面研究平面与直线中起相当重要的作用。

如果«Skip Record If...»那么«Skip Record If...»，利用第一行代数余子式展开计算。

若«Skip Record If...»非零，«Skip Record If...»«Skip Record If...»例7.3．«Skip Record If...»，求«Skip Record If...»解：«Skip Record If...»例7.4．如果«Skip Record If...»«Skip Record If...»，«Skip Record If...»求«Skip Record If...»解：«Skip Record If...»，解得：«Skip Record If...»。

3．单位向量«Skip Record If...»为矢量«Skip Record If...»的方向上的单位矢量。

4．矢量«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上的投影«Skip Record If...»«Skip Record If...»二、平面方程1．平面方程的基本形式（点法式）平面«Skip Record If...»过点«Skip Record If...»，法矢量为«Skip Record If...»那么平面方程为«Skip Record If...»（1）点法式有两个基本要素：点«Skip Record If...»和法向量«Skip Record If...»。

（2）如果一平面方程写为«Skip Record If...»，那么«Skip Record If...»。

（3）两平面之间的位置矢量由各自的法向量«Skip Record If...»来决定。

（4）点«Skip Record If...»到平面«Skip Record If...»的距离«Skip Record If...»«Skip Record If...»例7.5．已知平面过三点«Skip Record If...»,求平面方程。

解： «Skip Record If...»平面方程为 «Skip Record If...»例7.6．已知平面过点«Skip Record If...»且平行与矢量«Skip Record If...»，求平面方程。

解：«Skip Record If...»«Skip Record If...»平面方程为«Skip Record If...»«Skip Record If...»。

例7.7．已知平面过点«Skip Record If...»且与平面«Skip Record If...»平行，求平面的方程解：«Skip Record If...»，平面方程为«Skip Record If...»。

三、直线方程直线过«Skip Record If...»且方向矢量为«Skip Record If...»，则直线方程（点斜式）的基本形式为： «Skip Record If...»直线点斜式两基本要素为«Skip Record If...»及方向矢量«Skip Record If...»。

另外一种常见的直线方程可由两平面相交形式给出。

例7.8．如果直线方程为«Skip Record If...»，求直线的方向矢量«Skip Record If...»的点斜式方程解：令«Skip Record If...»，得«Skip Record If...»，所以 «Skip Record If...»故«Skip Record If...»，两平面的方向为«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»直线的点斜式为«Skip Record If...»例7.9．求直线«Skip Record If...»在平面«Skip Record If...»的投影直线的方程。

解：取«Skip Record If...»直线«Skip Record If...»，交线构成平面«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，«Skip Record If...»的法线«Skip Record If...»«Skip Record If...»故平面方程为«Skip Record If...»，即，«Skip Record If...»。

故直线的方程为«Skip Record If...»。

例7.10．当«Skip Record If...»为何值时，直线«Skip Record If...»与直线«Skip Record If...»平行？解：平面«Skip Record If...»法矢量分别为：««S kip«S «图示7.2直线方向矢«Skip Record If...»，直线«Skip Record If...»方向矢«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»，由«Skip Record If...»得：«Skip Record If...»则«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，得：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，于是得到«Skip Record If...»或 «Skip Record If...»。

例7.11．平面«Skip Record If...»通过直线«Skip Record If...»，且与平面«Skip Record If...»：«Skip Record If...»垂直，求平面«Skip Record If...»的方程。