高等数学篇节自测题答案

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(完整版)高等数学自测题第13章自测题1答案

第13章自测题1答案一、选择题（每小题4分）1、答：(A).2、答：(B).3、设C为分段光滑的任意闭曲线，ϕ(x)及ψ(y)为连续函数，则的值(A)与C有关(B)等于0(C)与ϕ(x)、ψ(x)形式有关(D)2π答( ) 答：（B）4、曲线积分的值(A)与曲线L及起点、终点均有关(B)仅与曲线L的起点、终点有关(C)与起点、终点无关(D)等于零答( ) 答：（B）二、填空题（每小题4分）1、L是xoy平面上具有质量的光滑曲线，其线密度为ρ(x,y)，则L关于ox轴的转动惯量用曲线积分表示为___________. (ρ(x,y)为连续函数)。

答：2、设L是单连通域上任意简单闭曲线，a,b为常数，则 _______.答： 03、力构成力场，(y>0)若已知质点在此力场内运动时场力所做的功与路径无关，则m=________.答：14、设是某二元函数的全微分，则m=______.答：2三、解答题（每小题6分）1、求曲线ρ=a(1+cosθ)的长度(0≤θ≤2π, a>0).2、设曲线L 为摆线x =a (t －sin t ), y =a (1－cos t ) (0≤t ≤2π)的一拱，其线密度为1，求L 的形心坐标( ).3、求质点M (x ,y )受作用力沿路径L 所作的功W L 是从A (2，3)沿直线到B (1，1)的直线段. 解：L 的直线方程：12-=x y从2=x 到1=x⎰⋅=LsF w d ϖϖ⎰-++=AByx y x x y d )2(d )3(⎰-=12d )115(xx223-=4、质线L 为其上任意点(x ,y )处的密度为，求此质线对于原点处的单位质点的引力 .5、设质线L 的方程为L 上任意点(x ,y )处的线密度为求质线L 的质量M 及质心坐标(ξ,η).解：L 的极坐标方程为 )cos 1(θ-=a r 0≤θ≤2πθθθd 2sin2d 'd 22a r r s =+=θθθμπ⎰⎰⎰-=+==2022d 2sin)cos 1(2d 1d asy x as M LLa 332=⎰⎰⎰-=-⋅⋅==ππθθθθθθθμξ2022022d 2sin )2sin 21(43d 2sin cos )cos 1(21d a a M Msx La 78-=由于L 关于OX 轴对称，221y x a+=μ关于y 是偶函数，故0=η∴ 质心：)0 , 78(a -6、计算，其中D 是由y =0和摆线x =a (t －sin t ), y =a (1－cos t ) 0≤t ≤2π 所围成的区域。

《高等数学》测试题和答案自测题一答案 (4)

自测题二一、单项选择题（每题2分，共30分）．1．函数)(x f y =在0x 处连续是它在0x 处可导的（）．（A ）充分条件；（B ）充要条件；（C ）必要条件；（D ）既非充分条件也非必要条件． 2．函数)(x f y =在点0x 处的导数)(0x f '的几何意义就是曲线)(x f y =在（）．（A ）在0x 处的切线的斜率；（B ）在点))(,(00x f x 处切线的斜率；（C ）在点))(,(00x f x 处的切线与x 轴所夹锐角的正切；（D ）在点0x 处的切线的倾斜角．3. 设)(x f 是可导函数，当)(x f 为偶函数，则)(x f '是（），当)(x f 是奇函数，则)(x f '是（）．（A ）偶函数；（B ）奇函数；（C ）非奇非偶函数；（D ）以上结论都不对． 4．函数在某点处不可导，函数所表示的曲线在相应点处的切线（）．（A ）一定不存在；（B ）不一定不存在；（C ）一定存在；（D ）以上结论都不对． 5. 设)()()(x a x x f ϕ-=，其中)(x ϕ在a x =处连续，则=')(a f （）．（A ）)(a a ϕ；（B ）)(a a ϕ-；（C ）)(a ϕ-；（D ）)(a ϕ． 6. 函数|sin |x y =在0=x 处是（）．（A ）连续可导；（B ）不连续不可导；（C ）不连续可导；（D ）连续不可导．7. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sin)(2x x xx x f 在0=x 处是（）．（A ）连续可导；（B ）不连续不可导；（C ）不连续但可导；（D ）连续但不可导． 8. 设xe y 1=，则=dy （）．（A ）dx e x1；（B ）dx ex 21-；（C ）dx e x x 121；（D ）dx e xx 121-．9. 函数||x x y =在点0=x 处的导数是（）．（A ）x 2；（B ）x 2-；（C ）0；（D ）不存在． 10. 函数||x e y =在0=x 处的导数是（）．（A ）1；（B ）1-；（C ）0；（D ）不存在． 11. 已知y x y ln =，则='x y （）．（A ）y x ；（B ）y ln ；（C ）x y y y -ln ；（D ）yxy +ln ． 12. 函数)ln(xxb a y +=的导数是（）．（A ）)ln ln (1b b a a ba x x x xx ++；（B ）)10ln(-a ；（C ）)(10ln 1x x x x b a b a ++；（D ）)ln ln (10ln b b a a ba xx x xx ++． 13. 设)(sin x f y =，则=dy （）．（A ）xdx x f sin )(sin '；（B ）dx x f )(sin '；（C ）xdx x f cos )(sin '；（D ）xdx x f sin )(sin ． 14. 若)(x f 是奇函数且)0(f '存在，则0=x 点是函数xx f x F )()(=的（）．（A ）无穷间断点；（B ）可去间断点；（C ）连续点；（D ）振荡间断点． 15. 若⎩⎨⎧>+≤=11cos )(x b ax x x x f ，且)1(f '存在，则必有（）．（A ）1,1-==b a ；（B ）1sin ==b a （C ）1sin 1cos ,1sin +=-=b a ；（D ）0,1==b a ．二、填空题（每题3分，共30分）． 1．若)(x f 在a x =处可导，则=--+→hmh a f nh a f h )()(lim．2．若)]1[sin(sin )(2+='x x f ，4)0(=f ，则==4y dydx ．3．若⎩⎨⎧==mty t x ln ，则1=t nn x d yd ．4．若2sin x y =，则)(2x d dy． 5．若已知yx e xy +=，则dxdy． 6．=')(sin xx ．7．='+)1(xx ．8．设)1ln(ax y +=，a 为非零常数，则='y ，=''y ．9．已知t e x tsin =，t e y tcos =则==2πt dxdy ．10．已知)0()(≠='K Ke x f x，则)(x f y =的反函数的二阶导数=22dyxd ．三、计算下列各题（每题10分，共60分）．1．1ln 44+=xx e e y ，求0='x y ． 2．设0tan ln arcsin 2=+-y e y x x ，求40π==y x dxdy ．3．设⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2arcsin 22tancos t y t t x t ，求0=t dx dy ．4．设txx xt t f 2)11(lim )(+=∞→，求)(t f '．5．设⎩⎨⎧==-tt e y te x ，求dx dy ，22dx yd ． 6．设函数⎩⎨⎧>+≤=0,2sin 0,)(x b x x e x f ax ，且)0(f '存在，求b a 、．四、（５分）求由方程)ln()(2y x y x x y --=-所确定的函数)(x y y =的微分dy ．五、（５分）设⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1arctan )(2x x xx x f ，试讨论)(x f '在0=x 处的连续性．。

《高等数学》(指导书)附录1自我测试题参考答案

314 附自我测试题参考答案第一章A 级自测题一、选择题1．D ． 2．C ． 3．D ． 4．B ． 5．C ． 6．A ．二、填空题1．[1,)+∞． 2．()x ϕ(,0]x ∈-∞． 3．6e ． 4．2e -． 5．5n =． 6．1-．三、1．1-． 2．1023⎛⎫⎪⎝⎭． 3．1． 4．4． 5．ln2．四、0x =是()f x 的第一类间断点中的跳跃间断点，1x =是()f x 的第二类间断点中的无穷间断点．五、2a =，1b =．六、1．证明用单调有界准则证明．由于1111111n nn n k k x x n k n k ++==-=-+++∑∑=11121221n n n +-+++=102(21)(1)n n >++，其中1,2,n =．所以{}n x 单调增加．又11111nnn k k x n k n===≤=+∑∑，所以{}n x 有上界，根据单调有界准则知{}n x 收敛．证毕．2．证明设()1cos f x x x =++，显然（1）()f x 在闭区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上连续；（2）2f π⎛⎫- ⎪⎝⎭=12π-+=102π-<， 2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭=12π+0>，所以由零点定理知()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内至少有一个零点，即1c o s 0x x ++=在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内至少有一个根．证毕．B 级自测题一、选择题1．A ． 2．C ． 3．D ． 4．D ． 5．B ． 6．D ．二、填空题1．2,11, 1x x x +<-⎧⎨≥-⎩． 2．1． 3．2． 4． 1x =，1x =-． 5．2a =，b 任意．三、1．1． 2．． 3． 1． 4． 2e ． 5． 6． 6．14． 7． 1．四、当0a >时，()f x 在(,)-∞+∞内连续；当0a ≤时，()f x 在(,0)(0,)-∞+∞内连续，在点0x =处间断．五、1．证明:因为130,2x <<设30,2n x <<又1n x +(3)3,22nn x x +-=即 301.2n x <+<下证1n n x x +>.,n x 亦即01n x +<32<.成立所以1n n x x +>.由单调有界定理知数列{}n x 有极限.设lim .n n x A →∞=对1n x +A =解得123,02A A ==(舍掉).2．证明设221121()1n n n f x x a xa x --=+++-．则(0)10f =-<，则对于1n >，由于 lim ()x f x →+∞=+∞，则0,0M X ∀>∃>，当x X >时，有()0f x M >>，现任意取一点0x ，使0x X >，则0()0f x >．所以()f x 在0(0,)x 上连续且0(0)()0f f x ⋅<，根据零点定理可知，()0f x =在0(0,)x内至少有一315个实根，从而()0f x =在(0,)+∞内至少有一个实根；同理可证()0f x =在(,0)-∞内至少有一个实根．即方程 22112110n n n x a x a x --+++-=至少有两个不同实根．证毕．第二章A 级自测题一、选择题1．B ． 2．C ． 3．C ． 4．A ． 5．B ．二、填空题1．1． 2．高阶无穷小． 3．1!(1)(1)n n n x +-⋅+．4．1(1)42y x π-=-，2(1)4y x π-=--． 5．三、()f x 在区间[,ln3)2π-，(ln 3,3)上连续且可导，在ln3x =处不连续，不可导．四、1．2．d y x, y ''．3． 32(270)cos (30720)sin x x x x x ----． 4． ()()e (e )e (e )e ()f x x x x f x f f f x ''⋅⋅+⋅⋅． 5．4(1)(15)(1)x x x --+．6． 31e 2t --．7. sin()1sin()x y x y +-++，3[1sin()]yx y -++ ．五、1．证明由于()()()()()l i ml i m l i m ()x a x a xaf x f a x a x f a x x ax aϕϕ→→→--'===--，又()x ϕ为连续函数则有lim ()()x ax a ϕϕ→=．故()()f a a ϕ'=．证毕．2．证明d d d d d d y y tx t x=，22d d d d d d d d d d d d d d d d y y y t y x x x t x x t x ⎛⎫⎛⎫⎛=== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝（1）其中2d d d d d d d d d d y y t x t t t ⎛⎫== ⎪⎝⎭，（2）其中2d d (sec )sec tan d d 1xt t t t t x ===-，（3）将（3）代入（2）得22d d d d d d 1y y xt x t x ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭．（4）将（4）代入（1）得22222d d 1d d 1y y x t x =-将d d yx ，22d d y x 代入原方程得222d 0d y a y t+=．证毕． B 级自测题一、选择题1．D ． 2．B ． 3．D ． 4．B ．二、填空题1．!n ． 2．34π．3．sin n n θ．316 三、1．y '=231[(1(1]27x -⋅⋅．2．2(1tan )ln(sec )d x x x x x x+．3．21[(ln )(ln )]f x f x x '''-． 4．1011011100!100!3(4)(1)x x ⎡⎤-⎢⎥--⎣⎦．5． 1(ln )ln(ln )ln x x x x ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦．6．11e [cot ]22(1e )xxx x -++- 7．sin e cos 2t t t ， 3e (cose e sine cose )4t t t t t t t t --． 8．3(1)f f '''-．四、(3)25()()3[()][()]f x f x f x f x '''--'．五、1．证明用数学归纳法．当1n =时，11112d d 1e e e d d n n x xx n x x x x -⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立．假设当自然数n k ≤时，公式都成立，即1111d (1)e e d n n n x xn n x x x -+⎛⎫-= ⎪⎝⎭．那么，当1n k =+时 111d e d k k xk x x ++⎛⎫ ⎪⎝⎭=1d d e d d k k xkx xx ⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=1112d e e d k k k x x k kx x x --⎛⎫- ⎪⎝⎭ =111121d d d e e d d d kk k k x x kk k x x xx x ----⎡⎤⎛⎫⎛⎫-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=1111(1)d (1)e e d k k x x k kk x x x -+⎡⎤---⎢⎥⎣⎦ =1111112(1)(1)(1)e e e k k k x x xk k k k k x x x ++++----+=112(1)e k x k x++-．即当1n k =+时，等式也成立．2．证明由于对任何(,)x y ∈-∞+∞、有()()()f x y f x f y +=⋅．取0y =，则有()()(0)()[1(0)]0f x f x f f x f =⋅⇒-=．由x 的任意性及(0)1f '=，知(0)1f =．所以对任何(,)x ∈-∞+∞有()f x '=0()()lim x f x x f x x ∆→+∆-∆=0()()()lim x f x f x f x x∆→∆-∆=0()[()1]lim x f x f x x ∆→∆-∆=0()[()(0)]lim x f x f x f x∆→∆-∆=()(0)f x f '⋅=()f x ． 3. 证明:利用参数形式所表示的函数的求导公式.得d (cos cos sin )tan .d (sin sin cos )y a t t t t t x a t t t t -+==-++曲线在对应于参数t 点处的法线方程为(sin cost)cot ((cos sin )),y a t t t x a t t t --=--+简化后为cos sin 0t x t y a ⋅+⋅-=，法线到原点的距离为22d ||co sin aa r t t==+.第三章A 级自测题一、选择题1．B ． 2．C ． 3．D ． 4．D ． 5．D ．二、填空题1．12ξ=． 2．1-． 3．2e π． 4．16 ；0． 5．12．317三、1．12 2． 16． 3．在1(,1],52⎡⎤-∞-⎢⎥⎣⎦及上单调减；在11,[5,)2⎡⎤-+∞⎢⎥⎣⎦及上单调增．在15x x =-=及处取得极小值，分别为(1)0f -=及(5)0f =，在12x =处取得极大值12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 4．(,1)-∞-与(1,1]-是曲线的凸区间；[1,)+∞是曲线的凹区间．(1,0)是拐点．5．2356ln 11(1)(1)(1)23!x x x ξ+-+-+-四、用反证法, 假设()f x 在[0,1]上有两个零点12,x x , 不妨设12x x <,则()f x 在区间12[,]x x , 满足罗尔定理条件, 于是至少存在一点12(,)(0,1)x x ξ∈⊂,使得()0f ξ'=, 而当(0,1)x ∈时, 2()330f x x '=-<,这与()0f ξ'=矛盾, 故假设不成立, 命题得证.五、先证存在性.令()()1,F x f x x =+-则()F x 在[0,1]内连续,且(0)(0)10,(1)(1)0.F f F f =-<=>由闭区间上连续函数的零点定理知,存在(0,1)ξ∈,使()0,F ξ=即ξ为方程()1f x x =-的实根.唯一性(用反证法证)若()1f x x =-在(0,1)内有两个不等实根1212,(01)x x x x <<<,即1122()1,()1f x x f x x =-=-.对12(),]f x x x 在[上利用拉格朗日中值定理,至少存在一点12(,)(0,1)x x ξ∈⊂,使得21212121()()(1)(1)() 1.f x f x x x f x x x x ξ----'===---这与题设条件()1f x '≠-矛盾.唯一性得证.证华.六、提示:构造辅助函数()ln ()F x f x =, 对()F x 在[,]a b 用拉格朗日中值定理即可证.七、设224()ln e x x x ϕ=-，2e e x <<，则2ln 4()2e x x x ϕ'=-，21ln ()2xx x ϕ-''=，所以当e x >时，()0x ϕ''<，故()x ϕ''单调减小．从而当2e e x <<时，22244()(e )0e ex ϕϕ''>=-=，即当2e e x <<时，()x ϕ单调增加．因此当2e e a b <<<时，()()b a ϕϕ>，即222244ln ln e e b b a a ->-．故2224ln ln ()eb a b a ->-．八、设切点的坐标为(,)P x y ,切线方程为2(4)2()Y x x X x --=--,即221442X Yx x x+=++.故所求三角形面积为2232214116116()(4)8, ()=38,2244x S x x x x S x x x x x ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫'=+=+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 3132()64S x x x ⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭. 由22116()3804S x x x ⎛⎫'=+-= ⎪⎝⎭,得x0S ''>,,当x 时,83y =,故所求点P为83⎫⎪⎭. B 级自测题一、选择题1． C ． 2．D ． 3．D ． 4．C ． 5．C ．二、填空题1．1 680． 2．12-； 3．1． 4．11(1),en n +-+- ． 5．1[1,e ]e ．三、1．14 2．21()2[()]f a f a ''-' 3. 112- 4．单调增加区间(,1)-∞和(3,)+∞, 单调减少区间(1,3)，(,0)-∞是凸的, (0,1)和(1,)+∞是凹的，极小值318 3274x y ==, 拐点(0,0), 铅直渐近线:1x =, 斜渐近线: 2y x =+． 5．7a 四、()f x 在[,]a b (0)a b <<满足拉格朗日中值定理, 从而存在一点(,)a b ξ∈, 使()()()()f b f a f b a ξ'-=-, 故问题归结为2()()()f b f a f b a abηη-'=-,即2()()()()111f b f a f f b a ηηηη'-'==---上式只要()f x 和1()g x x=在[,]a b 上应用柯西中值定理即可得到所要证明的结果．五、证法1 设2e()e (1)2x f x x =-+,显然()f x 在[1,)+∞上连续且可导，()e e x f x x '=-，在[1,)+∞上连续且可导，在[1,)+∞上有()e e 0x f x ''=->，所以()f x '单调递增，当1x >时,()(1)0f x f ''>=，从而有()f x 单调递增，所以1x >时,()(1)0f x f >=，即2ee (1)2x x >+.证法2 设()e t f t =，2()g t t =，显然它们在[1,]x 上满足柯西中值定理条件，所以有 2e e ()(1)()e 1()(1)()2x f x f f x g x g g ξξξξ'--==='--, 1x ξ<<.再令e ()x x x ϕ=，显然()x ϕ在[1,)+∞上连续且可导,2(1)e ()0xx x x ϕ-'=≥．所以()x ϕ在[1,)+∞单调递增．当1x >时,()(1)e x ϕϕ>=．故在1ξ>时有e ()e ξϕξξ=>，即2e e (1)2x x >+.证法3 展开()e x f x =为1x =点处带拉格朗日余项的二阶泰勒公式23e e e e e(1)(1)(1)2!3!xx x x ξ=+-+-+-, 1x ξ<<，所以 22e ee e e(1)(1)(1)2!2x x x x >+-+-=+.六、证明 (1)令()()x f x x Φ=-,显然它在[0,1]上连续, 又(1)(1)110f Φ=-=-<, 11()022Φ=>,根据零点定理知存在1(,1)2η∈, 使()0ηΦ=, 即()f ηη=.(2)令()()[()]xx F x e x e f x x λλ--=Φ=-, 它在[0,]η上满足罗尔定理的条件, 故存(0,)ξη∈, 使()0F ξ'=, 即{()[())]1}0e f f λξξλξξ-'---=, 故()[())]1f f ξλξξ'--=．七、证明对()f x 在[0,](0)x x >上利用拉格朗日中值定理, 并注意到()0f x k '≥>, 有()(0)()(0)f x f f x kx x ξξ'-=≥<<，()(0)(0)f x f kx x ξ≥+<<，于是lim ()x f x →+∞=+∞. 故存在00x >,使得 0()0f x >，又(0)0f <, 由零点定理知, 存在0(0,)(0,)x ξ∈⊂+∞, 使得 ()0f ξ=；再由 ()0f x k '≥>知, ()f x 单调增加, 因此, ()f x 不可能有第二个零点, 故方程()0f x =在(0,)+∞内有唯一的实根.八、由[0,2](1)min ()x f f x ∈=，可知(1)f 是()f x 在[0,2]上的最小值．又()f x 在(0,2)内可导，从而有(1)0f '=．由于()f x 在(0,2)内有三阶导数，所以有231(1)()(0)(1)(1)(1)(1)(1)2!3!f f f f f ξ''''''=+-+-+-， 101ξ<<，231(1)()(2)(1)(1)(21)(21)(21)2!3!f f f f f ξ''''''=+-+-+-，212ξ<<．于是121(2)(0)[()()]13!f f f f ξξ''''''-=+=,即12()()6f f ξξ''''''+=．由()f x '''的连续性可知， ()f x '''在12[,]ξξ上有最大值M及最小值m，于是12()()2f fm Mξξ''''''+≤≤．再由连续函数的介值性定理知，至少存在一点12(,)(0,2)ξξξ∈⊂，使12()()()32f ffξξξ''''''+'''==．第四章A级自测题一、选择题1．B． 2．C． 3．B． 4．D． 5．B．二、填空题1．()f x C=．2．x C+． 3．31e3x C+．4．ln csc cotx x C-+．5．()e xf x C+．三、1．1722ln72x C+．2．cos secx x C-++．3．101(41)40x C-+．4．ln1xCx x--+．5．5222152x x x C+--．6．ln(1x C-+．7．csc cot22x xC-+．8．C．9．213ln2(22)2(1)2x ln x x arctg x C++++-++. 10．2111)]2C++．11．311ln tan3cos cos2xCx x+++． 12．222ln1ln2(1)41x xCx x-++++．四、111()d()d[()]f x x xf x x f x---=-⎰⎰，令1()t f x-=，然后积分111()d()d[()]f x x xf x x f x---=-⎰⎰1()()xf x f t dt-=-⎰1()()xf x F t C-=-+11()[()]xf x F f x C--=-+．B级自测题一、选择题1．A．2．C．3．C．二、填空题1．162e(7)12xx--+．2．22e(21)x x C---+．三、1．arcsin e ex C+．2．[sin(ln)cos(ln)]2xx x C++．3．21arctan(1)2x C++．4．1111sin2sin4sin6481624x x x x C++++．5C+．6．71ln17x C--++．7．ln1ee1xxxC---+++．8．e ln(e1)ln(e1)x x x C---+-++．9．2e C．10．12C-．319320 1111ln 21x C x-++． 12ln x C +．13．2C ．14．1tan 22C x -++．四、2112dcos cos cos (1)d sin sin sin n n n n x x xI n x x x x+++=-=--+⎰⎰12cos d d (1)(1)sin sin sin n n n x x x n n x x x ++-=-+++⎰⎰， 21cos (1)(1)sin n n n xn I n I x++=--+++，从而，21cos (1)sin 1n n n x nI I n x n ++-=+++，1n =，2，．五、先分别在(,1)-∞和(1,)+∞内求原函数21221,1()2,1x x x C F x x x C ⎧≤++⎪=⎨>⎪+⎩，由于()f x 在1x =处连续，因此，原函数()F x 在这点有定义且连续，从而得(1)(1)F F -+=，即12312C C +=+，211122C C C =+=+．故221,12()d 1,12x x C x f x x x x C⎧++⎪≤⎪=⎨>⎪++⎪⎩⎰．六、提示22tan (sec 1)d n n I x x x -=-⎰．第五章A 级自测题一、选择题1．D ． 2．A ． 3．B ． 4．D ． 5．C ．二、填空题1．13． 2．ln2 3．4π-π． 4．22(e 1)+． 5．32a π．三、1．1-． 2．0 3．1,0,2a b c ===-．或1,0,0a b c ≠==．4．sin , 02()1,22x x x c x x π⎧≤≤⎪⎪Φ=⎨ππ⎛⎫⎪+-<≤π ⎪⎪⎝⎭⎩，()x Φ在[0,]π上连续．5．1arctan 2． 6．e 12-． 7．2a． 8．π．四、1．94． 2．12a π，22a π，12ln 22a ⎛⎫-π ⎪⎝⎭． 3．0x=2(3a π，032y a =．五、证明根据积分中值定理得，存在1(0,)a ξ∈与2(,)a b ξ∈满足()d ()d a bab f x x a f x x -⎰⎰=12()()()b af a b a f ξξ⋅-⋅-=2122[()()]()ab f f a f ξξξ-+0>，（由()0f x >且递减）．即得 0()d a b f x x >⎰()d baa f x x ⎰．B 级自测题一、选择题3211．D ． 2．D ． 3．B ． 4．B ． 5．B ．二、填空题1．2x ． 2．3． 3．163． 4．444b a -． 5．22a π．三1．316π． 2．1(16． 3．22π+． 4．22ln2-． 5．5221e e 2-．6．2ln 2x．四、1．54a =，b =16-，0c =． 2．45πm/m in ．五、1．若令2x t =，则2221d aa x f x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰=221a a f t t ⎛+ ⎝⎰=22211d d []2a a a a ta t f t f t t t t t ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰．而若令2a u t=，22d a a a t f t t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰=22122a a u a f u du u a u ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰=21d a a xf u u u ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰．于是证得左边=右边．2．证法1 由于()()d b af x h f x x h +-⎰=11()d ()d b ba af x h x f x x h h +-⎰⎰．令x h u +=，则1()d b a f x h x h +⎰=1()d b ha hf u u h ++⎰于是()()d b af x h f x x h +-⎰=11()d ()d b h ba h af x x f x x h h ++-⎰⎰ =11()d ()d b h a hb af x x f x x h h ++-⎰⎰．由积分中值定理与()f x 的连续性可知01lim ()d ()b h b h f x x f b h +→=⎰，01lim ()d ()a hah f x x f a h +→=⎰．原题得证．证法2 0()()l i m d ba h f x h f x x h→+-⎰=0()d ()d lim b h ba h ah f x x f x x h ++→-⎰⎰ =[]0lim ()()h f b h f a h →+-+=0．即0()()lim d ()()ba h f x h f x x fb f a h→+-=-⎰．3．当1x ≥时，221'()0()f x x f x =>+．，故()f x 在区间[1,)+∞上单调增加．又(1)1f =，则当1x ≥时，()1f x ≥．于是()(1)f x f -=1'()d x f x x ⎰=2211d ()xx x f x +⎰211d 1xx x ≤+⎰=arctan 4x π-24ππ≤-=4π，得()14f x π≤+．由于()f x 在区间[1,)+∞上单调增加且()14f x π≤+，根据单调有界定理知lim ()x f x →+∞存在且有lim ()x f x →+∞14π≤+．第六章A 级自测题一、选择题1．C ． 2.C ． 3.D ． 4.A. 5. B.322 二、填空题 1．263-；23.2. 29100y z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩.3. 以原点为圆心，2为半径的圆周；以224x y +=为准线，母线平行于z 轴的圆柱面．4. 4370x y z --+=.5. 321421x y z -+-==-．三、8)-四、(,)3π=a b五、225400x y xy x z ⎧++-=⎪⎨=⎪⎩；2252400x z xz x y ⎧+--=⎪⎨=⎪⎩；22200y z y z x ⎧++-=⎪⎨=⎪⎩六、8550x y z -++=七、21051,,333P ⎛⎫- ⎪⎝⎭八、θ=，174710,,111111⎛⎫- ⎪⎝⎭.九、20451330x y z --+=或20451190x y z ---=．十、12212x y z -+==- B 级自测题一、选择题1．D ． 2.C ． 3.C ． 4.C ． 5.C ．二、填空题1．2. 2.15-. 3.22221x z a c +=，z ；22221y z a c+=，z ．4.23435x y z -+==-. 5.0.x y z -+=．三、13λ=±，23μ=±，148,,333⎛⎫=± ⎪⎝⎭d ．四、123121x y z -+-==-- 五、44133122y z x ++-==-；1d =. 六、952002590x y z x y z -++=⎧⎨--+=⎩七、过l 作平面1π垂直平面π，则1π过点(1,0,1)且法向量n 垂直于l 的方向向量(1,1,1)-及π的法向量(1,1,2).- 即111(1,3,2).112=-=---ij kn 1π的方程为(1)32(1)0x y z ----=，即3210.x y z --+=从而0l 的方程为210,3210.x y z x y z -+-=⎧⎨--+=⎩ 消去z 得2x y =，消去x 得210.y z +-=0l 的对称式方程为12.1212z x y -==- 设0l 绕y 轴旋转所成的旋转面上323的点(,,)X Y Z 是由0l 上的点(,,)x y z 绕y 轴旋转而得到的，故2222,.Y y X Z x z =+=+又0l 上的点(,,)x y z 满足2,1(1),2x y z y =⎧⎪⎨=--⎪⎩故222214(1).4x z y y +=+-即曲面方程为 222214(1)4X Z Y Y +=+-，即2224174210.X Y Z Y -++-=仍用(,,)x y z 表示旋转面上的点，得方程为2224174210.x y z y -++-=八、解:设点M 的坐标为000(,,)x y z ,则曲面在点M 处的法向量000(2,4,6)x y z =n ,故过点M 的切平面方程为0000002()4()6()0x x x y y y z z z -+-+-=,即0002321.x x y y z ++=由于切平面过直线6321212x y z ---==-,故直线的方向向量(2,1,1)=-s 与n 垂直,即0002230x y z +-=,①.且点16,3,2⎛⎫ ⎪⎝⎭在切平面上,故000366212x y z ++=,②.又点M 在曲面上,即222002321x y z ++=,③.由①②③可得220002,29z x y =+=,所以,0001,2, 2.x y z === 故所求的切平面方程为4621.x y z ++=第七章A 级自测题一、选择题1．B ． 2.D ． 3. A ． 4. B ． 5.B ．二、填空题1．{}(,)0,2(21),0,1,2,x y x n y n n ≥π≤≤+π=±±{}(,)0,(21)(22),0,1,2,x y x n y n n ≤+π≤≤+π=±±2.2(,)2x xy f x y -= 3．2{1,2,2}9- 4.22eπ 5.122211x y z -++==-三、1．11e z y z x -∂-=∂-，e 1e z y z yz y --∂-=∂- 2.34θπ=. 3．极大值,36z ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 4．2122222z f xg xyg g x y ∂'''''''=-+++∂∂.5．23250x y ++-=，2323x y --=. 四、因为u u x u y u z r x r y r z r ∂∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂∂∂sin cos sin sin cos u u ux y zθϕθϕθ∂∂∂=++∂∂∂10uu u x y z r x y z ⎛⎫∂∂∂=++= ⎪∂∂∂⎝⎭，因此，u 与r 无关.五、．六、1.3x y z ++=七、223()z xzx y y x z ∂=∂∂+ 八、221()yf x y - B 级自测题一、选择题1．B ． 2.C ． 3.D ． 4.B ． 5.B ．二、填空题1．d d .z x y = 22-324 3.arctan 122ln x y y z y y yx y x x y -⎛⎫∂=+ ⎪∂+⎝⎭，arctan 22ln 1ln arctan xy yz x y x x x y y x yy y ⎛⎫∂-=++ ⎪∂+⎝⎭. 4．⎧⎪⎨⎪⎩ 5．0. 三、1． 1.-2．214u v x uv ∂-=∂+，114v y uv∂=∂+. 3.(3,4)125z -=，(3,4)75z -=-4．d d y x y z x x y y zf g f g h uf xg gh ''''''=-+'''5．在点(2,0,1)-取极小值1z =;在点168,0,77⎛⎫- ⎪⎝⎭取极大值87z =-.四、2u y yx x x ϕψψ∂''=-+-∂， 2222223422334322u y y y y y y y y x x x x x x x x x ϕϕψψψϕϕψ∂''''''''''''=+-++=++∂，(1) 2232232u y y y yx y x x x x x x x xϕψψϕϕψϕψ''''∂''''''''=--+--=---∂∂，(2) 1u y x ϕψ∂''=+∂，22211u y x x ϕψ∂''''=+∂ (3) 将22(1)(2)2(3)x xy y ⨯+⨯+⨯即得所证的等式. 五、5, 2.a b =-=-，七、设曲面上任一点(,,)M x y z 的法向量12122()(),,()f f f x a f y b z c z c z c ''''⎧⎫-+-=-⎨⎬---⎩⎭n ，这样，过任意点(,,)M x y z 的切平面方程为 12122()()()()()0()f f f x a f y b X x Y y Z z z c z c z c ''''-+--+---=---，即 1212()()()()[()()]()0z c f X x z c f Y y f x a f y b Z z ''''--+----+--=，这样，对曲面上任意点(,,)M x y z ，取(,,)(,,)X Y Z a b c =均能使上式恒满足，故切平面都通过定点(,,)a b c .八、令u tx =，v ty =，w tz =，则u x t ∂=∂，v y t ∂=∂，w z t∂=∂，将关系式 (,,)(,,)k f tx ty tz t f x y z =两边对t 求偏导，得1(,,)k f u f v f wkt f x y z u t v t w t-∂∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂∂，即 1(,,)k f f f x y z kt f x y z u v w-∂∂∂++=∂∂∂ 将上式两边同乘以t ，得 (,,)k f f f tx ty tz kt f x y z x y z ∂∂∂++=∂∂∂ ，即(,,)f f fu v w kf u v w x y z ∂∂∂++=∂∂∂将,,u v w 分别换写成,,x y z ，得 (,,)f f fxy z kf x y z x y z∂∂∂++=∂∂∂．第八章A 级自测题一、选择题1．C ． 2.C ． 3. D ． 4. A ． 5. C ．二、填空题3251.202d (,)d d (,)d .a aa I x f x y y x x y y =+⎰⎰2. 132I I I <<．3.2sec 40d d (cos ,sin ,)d .f z z θρθρρρθρθπ⎰⎰⎰4. 8(,).25a a -5.()24222R I R R e π⎡⎤=-+-⎣⎦．三、1.1(1cos1)3- 2.11(1e )2--3.1)6π4.648a 5.4π四、412π．五、ln 22π．六、证明：先利用球面坐标计算(),F t 再求极限．222220()d d ()sin d 4()d ,t tF t f r r r f r r r θϕϕπππ==⎰⎰⎰⎰2222055400022004()()4()lim lim lim 54()4()44lim lim (0).5555tt t t t u f r r dr F t f t t t t t f t f u f t u +++++→→→→→ππ==ππππ'====⎰七、21()Gm R R μπ-八、以圆柱体与半球底面重合的平面为xOy 平面，底面圆心为原点建立空间直角坐标系（半球位于z 轴正向），则圆柱体可表示为：222,0x y R H z +≤-≤≤，半球体表示为：2222,0.x y z R z ++≤≥设此几何体的体密度为,ρ根据题意，其重心坐标中1d z z MρυΩ=⋅⎰⎰⎰02232023d d d d d sin cos d 023RRHz z r r r rR H R θϕθϕϕπππ-+==π+π⎰⎰⎰⎰⎰⎰整理可得224024R H R ππ-+=，即.H ．B 级自测题一、选择题1.C ．2.D ．3.C ．4.B ．5.A ．二、填空题1.1320d (,)d .y I y f x y x -=⎰2.1sin1-.3.23202cos d d .p p θθπ⎰⎰4.sin 222sin 06d sin d ()d r f r r θφθφφπππ⎰⎰⎰． 5.2222(,)sin()1f x y x y π=++-π．三、1.2.92.21)32π+．3.4.3 4.316a π.．四、3(2cos )3R π-．五、5123π．六、49()4e e -．七、12cm ．八、ln 2210()()d d d ()d xye x D I t x t x y x x t y =-=-⎰⎰⎰⎰ 223121(e 1)e ,299t t =-+++由326 21()2(e 1)0,2I t t '=-+=得2e 1,4t +=由()20I t ''=>可知，2e 14t +=时()I t 最小．第九章A 级自测题一、选择题1.D ．2.B ．3.C ．4.D ．5.A 二、填空题1.π2.4π3.18π4.3π5.246++i j k三、1.212n a +π 2.44R π 3.3R π 4.33221()3x y xy x y C --++ 5.3-π四、8π．21)t t -．．七、()e x f x =．八、证明由高斯公式可知 2222d d d d (1)d d x yz y z xy z z x xyz z x y ∑-++⎰⎰(12)d d d 2d d d xyz x y z V xyz x y z ΩΩ=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于Ω关于xOz 平面对称, xyz 是区域Ω上关于y 的奇函数, 故有d d d 0xyz x y z Ω=⎰⎰⎰．所以等式成立．B 级自测题一、选择题1.A ．2.D ．3.C ．4.A ．5.D 二、填空题1.12.a 2.32π．3.(,,)d Q x y z y S ∑⎰⎰4.3(2.R π5.23三、1.π 2.22a π 3.32222a a b ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭． 4.-π． 5.1:7:2．四、24-．五、2π．六、ξηζ. 七、32π．八、证明: (1) 由格林公式, 有sin sin sin sin d d ()d d y x y x LDxe y ye x e e x y ---=+⎰⎰⎰，sin sin sin sin d ed (e e )d d yxy x LD xey y x x y ---=+⎰⎰⎰，由轮换对称性, 有sin sin sin sin ed de d d ,e d d e d d yx y x DDDDx y x y x y x y --==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，因此sin sin sin sin ed ed e d e d yxy x LLx y y x x y y x ---=-⎰⎰．(2) 由(1)知sin sin sin sin e d e d (e e )d d y x y x LDx y y x x y ---=+⎰⎰⎰sin sin (e e )d d 2d d x x DDx y x y -=+≥⎰⎰⎰⎰．327第十章A 级自测题一、选择题1. A ．2.B ．3.C ．4.D ．二、填空题1.1a >2.R ， ()s x '．3.[2,2)-．4.22π 三、 1.收敛且其和为112． 2.当1p >时, 级数收敛; 当01p <≤时, 级数发散. 3.当2a >时, 级数收敛; 当02a <<时, 级数发散, 当2a =时, 级数可能收敛也可能发散. 4.绝对收敛．四、1.(2,0]-． 2.11ln(),(11)21xx x+-<<-.五、1.101(1)1(1),(02)32n n n n x x ∞+=⎡⎤--+-<<⎢⎥⎣⎦∑．2．11(1)!n n nx n ∞-=+∑，（x -∞<<+∞，0x ≠），11(1)!n nn ∞==+∑．3．20211(1)()cos 112cos 2n n n n a f x a nx nx nπ∞∞==-=+=++∑∑，x -∞<<+∞．六、证明因为级数1n n a ∞=∑，1n n b ∞=∑都收敛，故级数1()n n n b a ∞=-∑收敛，又因为n n na ub ≤≤⇒0n n n n u a b a ≤-≤-，由比较审敛法可知正项级数1()n n n u a ∞=-∑收敛，而()n n n n u a u a =+-，故级数1n n u ∞=∑也收敛．B 级自测题一、选择题1．B ． 2．C ． 3．C ． 4．B ． 5．C ．二、填空题1.32a >．2.4R =．3.244(1)(1) ()x x x +-+--∞<<+∞．4.23π三、收敛．四、条件收敛．五、231(3)11(1)x x x x ---++，（1x <）．六、53ln 284-．七、112S =，21ln 2S =-．八、1011(1),132n n n n x x ∞+=⎡⎤+-<⎢⎥⎣⎦∑．九、2218121cos ,[0,2](21)2n n x x n ∞=--π∈π-∑．十、1．证明记() 1.n n f x x nx =+-当0x >时，'1()0n n f x nx n -=+>，故()n f x 在[0,)+∞上单调增加．而(0)10,(1)0n n f f n =-<=>，由连续函数的介值定理知10n x nx +-=存在唯一正实根n x ．由10nnn x nx +-=与0n x >，知110n n n x x n n -<=<．故当1α>时，10.n x n αα⎛⎫<< ⎪⎝⎭而正项级数11n n α∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛，所以当1α>时，级328 数1n n x α∞=∑收敛．2. 证法1 由0()lim0x f x x→=得(0)0,(0)0,()f f f x '==在0x =的邻域内可展开为21()(0)(0)(),01,[,]2f x f f x f x x x θθδδ'''=++<<∈-，故21()(),(01)2f x f x x θθ''=<<．()f x ''在0x =的邻域(,)δδ-内连续，故在闭区间[,](,)ααδδ-⊂-上连续，因而()f x ''有界，即存在0M >，使(),[,]f x M x αα''≤∈-，即2(),[,].2M f x x x αα<∈- 因此对于0,0N α>∃>，当n N >时，有10n α<<，从而可得211()2M f n n <，故1n Nf n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛，即11n f n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑绝对收敛．证法2 由0()lim 0x f x x→=可得，(0)0,(0)0f f '==，由于()f x 在0x =的邻域内具有二阶连续导数，所以2000()()()1lim lim lim (0)222x x x f x f x f x f x x →→→'''''===，从而20()1lim (0)2x f x f x →''=，由此得21()1lim(0)2n f nf n→+∞''=，因211n n∞=∑收敛，所以11n f n ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑收敛，即11n f n ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑绝对收敛．第十一章A 级自测题一、选择题1.C ．2.B ．3.B ．4.D ．二、填空题1.1阶．2.()d ()d e (()e d )g x x g x xy f x x C -⎰⎰=+⎰，其中C 为任意常数． 3.2(12)e x y x =+．4.2121e 2x C C x x +--．三、1．1sin y x C=-+，此外还有解0.y =2.222(ln )y x x C =+．3.312x Cy y =+．此外，还有解0y =．4.12ln ||y C x C =+．5.12345()cos ()sin .y C C C x x C C x x =++++6.2121()e sin 28x y C C x x -=++．四、是全微分方程，方程通解为2(1e )C θρ+=．五、(03)y x <<．六、点(,())x f x 处的切线方程为()Y y y X x '-=-，令0X =，得截距Y y y x '=-，由题设得方程1()d x f t t y xy x '=-⎰，即20()d x f t t xy x y '=-⎰，两边对x 求导，得 2()2f x y xy xy x y ''''=+--，即0xy y '''+=，亦即()0xy ''=，1xy C '=，12()ln f x C x C =+即为所求的一般表达式．七、证明把1211223()(1)()()()y x C C y x C y x C y x =--++代入原方程的右端得：1211223(1)()()()C C y x C y x C y x ''''''--+++1121()[(1)()P x C C y x '--1223()()]C y x C y x ''+++[]21211223()(1)()()()P x C C y x C y x C y x --++329又由于123(),(),()y x y x y x 为原方程的特解，故上式整理后等于()Q x ，因此，1211223()(1)()()()y x C C y x C y x C y x =--++是原方程的解，下面来证明它是原方程的通解，1211223()(1)()()()y x C C y x C y x C y x =--++ 可以写成[][]1212311()()()()()()y x C y x y x C y xy x y x =-+-+，由12(),(),y x y x 3()y x 为原方程的特解，因此, 2131()(),()()y x y x y x y x --便是相应齐次线性方程12()()0y P x y Px y '''++=的两特解，又2131()()()()y x y x y x y x -≠-常数，所以21()()y x y x -与31()()y x y x -线性无关，依据解的结构原理，原非齐次线性方程的通解为[][]1212311()()()()()y C y x y x C y x y x y x =-+-+1211223(1)()()()C C y x C y x C y x =--++ 证毕．八、证明以21y f x x μ⎛⎫=⎪⎝⎭乘以方程的两边得21d d 0y y y f x f y x x xx ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，记2d y y P f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1d y Q f y x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则231P y y y Qf f y x x x x x ∂∂⎛⎫⎛⎫'=--=⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭，从而d d 0x y y x μμ-=为全微分方程，故μ为原方程的一个积分因子．证毕．B 级自测题一、选择题1．D ． 2．C ． 3．A ． 4．C ．二、填空题1．0y y x ''--=． 2．331y x x =++．3．11ln 39y x x x =-． 4．12e (cos sin )e x x y C x C x =++．三、1．()22x y x C -+=， 2．322xy x y C --=． 3．25123e e e .x x x y C C C -=++4．2121(1)e 2x y x C x C =-++．5．121cos sin e sin 22x xy C x C x x =+++．6．4411e 4x x C y -=-++．四、()sin cos x x x ϕ=+．五、1e sin 2x y x x -=+．六、曲线()y y x =上点(,)P x y 的切线方程为()()Y y y x X x '-=-，故它与x 轴的交点为,0y x y ⎛⎫- ⎪'⎝⎭，由于()0y x '>，又(0)1y =，所以()0y x >，于是有21122y y S y x x y y ⎛⎫=--= ⎪''⎝⎭ ，又20()d xS y t t =⎰．由关系式1221S S -=，得20()d 1x y y t t y -='⎰，对该方程两边关于x 求导并整理得2()yy y '''=，此方程是不显含x 的可降阶的高阶微分方程，令p y '=，则有d d y y x '''==d d d d d d p y pp y x y=，代入方程2(')yy y ''=得2d d p ypp y =，由于0p y '=>，所以有d d p y p y =，分离变量有d d ,p yp y=两边积分得1p C y =，即有1d ,d y C y x =于是12e ,C x C y +=并注意到(0)1,y =在方程2()d 1x y y t t y -='⎰中令0x =，得另一初值条件(0)1y '=，由此可得330 121,0,C C ==故所求的曲线方程为e x y =．七、6ln3．八、证明因()(1)f x f x '=-, 求导得：[]()(1)(1)(1)1(1)()f x f x f x f x f x ''''=--=--=---=-, 即()()0f x f x ''+=，解之得其通解为12()cos sin f x C x C x =+，又由于()(1)f x f x '=-，因此，1212sin cos cos(1)sin(1)C x C x C x C x -+=-+-，令0x =得212cos1sin1C C C =+，则112cos1(1sin1)1sin1cos1C C C +==-，从而方程()(1)f x f x '=-的解为 11sin1()cos sin cos1f x C x x +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．证毕．九、证（1）z f x ∂'=∂，z f y ∂'=∂,()222222zx f f x x y ⎫∂'''=+∂+⎝()2222x f f x y '''=++, 同理()222222zy f f y x y ∂'''=+∂+将22z x ∂∂与22z y ∂∂代入22220z zx y∂∂+=∂∂中可得0f ''，即 ()()0f u f u u'''+=．（2）令()f u p '=，则d d p p u u =-，d d p u c p u=-+⎰⎰，ln ln p u c =-+，()c f u p u '== 因为(1)1f '=，1c =，2()ln ||f u u c =+，由(1)0f =得20c =，故()ln f u u =．。

(完整版)高等数学测试题及解答(分章)

第一单元函数与极限一、填空题1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。

2、=-+→∞)1()34(lim22x x x x 。

3、0→x 时，x x sin tan -是x 的阶无穷小。

4、01sinlim 0=→xx kx 成立的k 为。

5、=-∞→x e xx arctan lim 。

6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。

7、=+→xx x 6)13ln(lim0 。

8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。

9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。

10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→xx ax a x 。

11、已知当0→x 时，1)1(312-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。

12、函数xxx f +=13arcsin )(的定义域是__________。

13、____________22lim22=--++∞→x x n 。

14、设8)2(lim =-+∞→xx ax a x ，则=a ________。

15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞→=____________。

二、选择题1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则中所给的函数必为奇函数。

（Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。

2、xxx +-=11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有。

（Ａ）α是比β高阶的无穷小；（Ｂ）α是比β低阶的无穷小；（C ）α与β是同阶无穷小；（D ）βα~。

自测题(1-7章附参考答案)-高等数学上册.

第一章函数与极限一、选择题：1．函数的定义域是（）(A； (B； (C；(D.2.函数的定义域是（）(A；(B;(C;(D.3、函数是（）(A偶函数； (B奇函数；(C非奇非偶函数；(D奇偶函数.4、函数的最小正周期是（）(A2； (B； (C 4 ； (D .5、函数在定义域为（）(A有上界无下界； (B有下界无上界；(C有界，且；(D有界，且.6、与等价的函数是（）(A ； (B ； (C ； (D .7、当时，下列函数哪一个是其它三个的高阶无穷小（）（A）；（B）；（C）；（D）.8、设则当（）时有.(A； (B；(C； (D任意取 .9、设,则((A-1 ； (B1 ； (C0 ； (D不存在 .10、（）(A1； (B-1；(C0； (D不存在.二、求下列函数的定义域：2、 .三、设（1）试确定的值使；（2）求的表达式 .四、求的反函数.五、求极限：1、；2、；3、；4、；5、当时，；6、 .六、设有函数试确定的值使在连续 .七、讨论函数的连续性，并判断其间断点的类型 .八、证明奇次多项式：至少存在一个实根 .第二章导数与微分一、选择题：1、函数在点的导数定义为（）（A）；（B）；（C）；（D）；2、若函数在点处的导数，则曲线在点(处的法线（）（A）与轴相平行；（B）与轴垂直；（C）与轴相垂直；（D）与轴即不平行也不垂直：3、若函数在点不连续，则在 (（A）必不可导；（B）必定可导；（C）不一定可导；（D）必无定义.4、如果=（），那么.(A ；(B ；(C ；(D .5、如果处处可导，那末（）（A）；（B）；（C）；（D）.6、已知函数具有任意阶导数，且,则当为大于2的正整数时，的n阶导数是（）（A）；（B）；（C）；（D）.7、若函数,对可导且,又的反函数存在且可导，则=（）（A）；（B）；（C）；（D）.8、若函数为可微函数，则（）（A）与无关；（B）为的线性函数；（C）当时为的高阶无穷小；（D）与为等价无穷小.9、设函数在点处可导，当自变量由增加到时，记为的增量，为的微分，等于（）（A）-1；（B）0；（C）1；（D）.10、设函数在点处可导，且，则等于（）.（A）0；（B）-1；（C）1；（D） .二、求下列函数的导数：1、；2、（）；3、；4、；5、设为的函数是由方程确定的；6、设，，求.三、证明，满足方程.四、已知其中有二阶连续导数，且，1、确定的值，使在点连续；2、求五、设求.六、计算的近似值 .七、一人走过一桥之速率为4公里/小时，同时一船在此人底下以8公里/小时之速率划过，此桥比船高200米，问3分钟后人与船相离之速率为多少？第三章微分中值定理一、选择题：1、一元函数微分学的三个中值定理的结论都有一个共同点，即（）（A）它们都给出了ξ点的求法 .（B）它们都肯定了ξ点一定存在，且给出了求ξ的方法。

高等数学测试题及答案1-9章全

高等数学测试题及答案1-9章全第1章自测题一、选择题1. 若函数()f x 在点0x 处的极限存在，则（）Ａ ()f x 在点0x 处的函数值必存在，并且等于极限值；Ｂ ()f x 在点0x 处的函数值必存在，但不一定等于极限值；Ｃ ()f x 在点0x 处的函数值可以不存在；Ｄ如果0()f x 存在的话，一定等于极限值 . 答案： C ．提示：根据极限的定义．2．下列函数中，在点2x =处连续的是（） .Ａ ln(2)x -；Ｂ 22x -；Ｃ 242x y x -=-；Ｄ答案： B ．提示：A 与C 在2x =处无意义，D 在2x =处左连续．3.函数53sin ln x y = 的复合过程是( )A x w w v v u u y sin ,,ln ,35====B x u u y sin ln ,53== ;C x u u y sin ,ln 53== ;D x v v u u y sin ,ln ,5=== . 答案：A ．4.设,0(),0x e x f x a x x ⎧<⎪=⎨+⎪⎩≥ ，要使()f x 在0x =处连续，则a ＝（）Ａ 2 ；Ｂ 1 ；Ｃ 0 ；Ｄ -1 .答案： B ．提示：0lim ()lim e e 1x x x f x --→→===，00lim ()lim()x x f x a x a ++→→=+=．二、填空题5．函数()34f x x =-的反函数是 . 答案：43x y +=．提示：反表示为43y x +=．6. 函数y 的复合过程是 .答案：2ln ,,cos y u v v t t x ====．7. 若2()f x x =， ()x g x e =，则[()]f g x = ，[()]g f x = .答案： 22[()](e )e x x f g x ==，2[()]x g f x e =． 8. 函数1()ln(2)f x x =-的连续区间为 .答案：(2,3)和(3,)+∞. 提示：20x ->且ln 20x -≠．三、解答题9．设函数ln ,01()1,122x x f x x x x ⎧<⎪=-<⎨⎪>⎩≤≤ ，(1) 求()f x 的定义域；(2) 作出函数图像；(3) 讨论()f x 在1x =及2x =处的连续性 .解 (1) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞． (2) 函数图像为第1题图(3) 观察图像知，函数()f x 在1x =处连续，在2x =处不连续性．10．指出函数2πsin (3)4y x =-是有哪些简单函数复合而成的．解 2π,sin ,34y u u v v x ===-．11．计算下列各极限：（1） 22125lim 1x x x x →-+++ ；（2）221241lim 232x x x x →-+-；（3） 32lim(2)x x x →- ；（4）224lim 2x x x →--+；（5） 221lim()x x x→∞- ；（6）2241lim 232x x x x →∞-+-.解（1） 22125125lim2111x x x x →-++-+==++；（2）2211122241(21)(21)214lim lim lim (21)(2)25232x x x x x x x x x x x x →→→--++===-+++-；（3） 33222lim(2)lim 2lim 484x x x x x x x →→→-=-=-=- ；（4）22224(2)(2)lim lim lim (2)422x x x x x x x x x →-→-→---+==-=-++；（5） 222121lim()lim lim 000x x x x x xx →∞→∞→∞-=-==-= ；（6）22221441limlim 2322322x x x x x x x x→∞→∞--==+-+-．12. 利用高级计算器计算下列各极限：（1）2lim sinx x x→∞ ；（2）3x → ；（3）lim x →+∞ （4）21lim()xx x x→∞+.解（1）2lim sin2x x x→∞= ；（2）314x →=；（3）x →∞=0；（4）221lim()e xx x x→∞+=.四、应用题1．若某厂每天生产某种产品60件的成本为300元，生产80件的成本为340元．求这种产品的线性成本函数，并求每天固定成本和生产一件产品的可变成本为多少？解 300602(),,()180234080180a b a C Q aQ b C Q Q a b b =+=⎧⎧=+⇒⇒∴=+⎨⎨=+=⎩⎩；固定成本为180元，一件产品的变动成本为2元.2．甲向乙购买一套价值300万元的房子，乙提出三种付款方式：（1）全部付现款，可以优惠10万元；（2）先首付100万元，余款每隔一年付40万元，但每次付款必须加还40万元产生的利息（按年利率5%计算），5年后还清；（3）先首付200万元，一年后付余款100万元，但必须加还100万元的利息（按年利率5%计算）；分别计算这三种付款方式实际付款金额．解（1）300—10=290（万元）；（2）234510040(15%)40(15%)40(15%)40(15%)40(15%)332.076513++++++++++=万元；（3）（3）200100(15%)305++=万元．第2章自测题一、选择题1.过曲线2y x x =-上M 点处切线斜率为1，M 点坐标为（）. A.()1,0；B.()1,1；C.()0,0；D.()0,1.答案： A ．提示：切线斜率为211,1k x x =-==，0y =．2.设在0x =处可导，则0(2)(0)lim h f h f h→-=（）.A.0；B.2(0)f '-；C.(0)f '；D.2(0)f '.答案： D ．提示：00(2)(0)(02)(0)lim lim 22(0)2h h f h f f h f f h h→→-+-'=⋅=3.函数()f x 在点0x x =取得极大值，则必有（）. A.()00f x '=；B.()00f x '<；C ()00f x '=且()00f x =；D.()0f x '等于零或不存在.答案： D ．提示：()0f x '等于零或不存在的点都是可能的极值点． 4.函数sin y x x =-在[]0,π上的最大值是（）.； B.0； C.π-； D.π. 答案： C. 提示：因为cos 10y x '=-≤，所以函数单调递减．最大值为()f ππ=-5.函数e arctan x y x =+在区间[]1,1-上（）. A.单调减少；B.单调增加；C.无最大值；D.无最小值．答案： B ．提示：因为2101x y e x'=+>+． 6.d d yx=（）.C.D.答案： C ．提示：0,y y ''==． 7. 设()211f x x =+ (0)x >，则()f x '=（）. A.21(1)x -+； B.21(1)x +；C.；. 答案： C ．提示：()f x，所以y '= 8.设32,2t x te y t t -==+，则1t dydx =-=（） A.2e -； B.2e -； C.2e; D.2e答案：C ．提示：因为262ttdy t tdx e te--+=-，所以12t dy dx e =-= 9.设(),()y f u u x ϕ==，则dy =（）A.()f u dx '；B.()()f x x dx ϕ''C.()()f u x dx ϕ''；D.()()f u x du ϕ'' 答案： C ．提示：根据复合函数求导法则．二、填空题10.已知某商品的收益为375)(Q Q Q R -=，则其边际收益=')(Q R 解 2375)(Q Q R -='11.函数1x y e -=在2x =-处的切线斜率为．解 13222xx x k y e e -=-=-'==-=．12.曲线()21f x x =-在区间上是单调增加函数. 解 ()2f x x '=-，所以在(,0)-∞上是单调增加函数． 13.如果2,0.01x x =∆=，则22()x d x == ．解 2220.01()20.04x x x d x x x==∆==⋅∆=．14.函数x y xe -=在[]1,2-上的最大值为 .解 (1)x y e x -'=-，得驻点1x =，12(1),(1),(2)f f e f e e=-=-=，所以最大值为2(2)f e=．15.如果2sin 2y x =，则y '= ．解 2sin 2cos222sin 4y x x x '=⋅⋅=．16. 某需求曲线为1003000Q P =-+，则20P =时的需求弹性E = 解 202020()(100)21003000P P P P P E Q P Q P ==='=-=--=-+ ． 17.已知ln 2y x =，则y ''= ．解 211,y y x x'''==-．三、计算题18. 求下列函数的导数（1）(1y =+ （2）cos πy =+解y =解231(1)3y x -'=⋅+。

完整)高等数学练习题附答案

完整)高等数学练习题附答案第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.lim (sinx-tanx)/(3xln(1+2x)) = 1/22.lim (2x^2+ax+b)/(x-1) =3.a = 5.b = 123.lim (sin2x+e^(2ax)-1)/(x+1) = 2a4.若f(x)在(-∞,+∞)上连续，则a=05.曲线f(x) = (x-1)/(2x-4x+3)的水平渐近线是y=1/2，铅直渐近线是x=3/26.曲线y=(2x-1)/(x+1)的斜渐近线方程为y=2x-3二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.“对任意给定的ε∈(0,1)，总存在整数N，当n≥N时，恒有|x_n-a|≤2ε”是数列{x_n}收敛于a的充分条件但非必要条件2.设g(x)={x+2,x<1.2-x^2,1≤x<2.-x,x≥2}，f(x)={2-x,x<1.x^2,x≥1}，则g(f(x))=2-x^2，x≥13.下列各式中正确的是 lim (1-cosx)/x = 04.设x→0时，e^(tanx-x-1)与x^n是等价无穷小，则正整数n=35.曲线y=(1+e^(-x))/(1-e^(-x^2))没有渐近线6.下列函数在给定区间上无界的是 sin(1/x)，x∈(0,1]三、求下列极限（每小题5分，共35分）1.lim (x^2-x-2)/(4x+1-3) = 3/42.lim x+e^(-x)/(2x-x^2) = 03.lim (1+2+3+。

+n)/(n^2 ln n) = 04.lim x^2sin(1/x) = 01.设函数$f(x)=ax(a>0,a\neq1)$，求$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\ln\left(\frac{f(1)f(2)\cdotsf(n)}{n^2}\right)}$。

2.求$\lim\limits_{4x\to1}\frac{x^2+e\sin x+6}{1+e^x-\cosx}$。

工科类本科《高等数学》第7-9章自测题参考答案

工科类本科《高等数学》第7,8,9章自测题参考答案一、填空题：1.极限00x y →→12- ；20tan()lim x y xy y →→= 2；0x y →→= -2 .解：利用等价无穷小量替换或根式有理化及重要极限求待定型的极限：00000111lim sin()2x x x y y y xy xy xy →→→→→→-+==-=-或 0000112lim 2x x y y xy xy →→→→-==-；222000tan()limlim lim 2x x x y y y xy xy x y y →→→→→→===；)()))00000111limlim lim 2121xyxyx x x x y y y y xyxyxye xye →→→→→→→→====-----或()000002limlim2112x x x x xy y y y y xy xyxy e →→→→→→→→====---.2.若22(,)22f x y x xy ax y =+++在点)1,1(-处取得极值，则a = -2 . 解：依题意，有(1,1)0,(1,1)0x y f f ''-=-=.而(,)42x f x y x xy a '=++，于是，有(1,1)420x f a '-=-+=，解得 2.a =-3.函数2sin()z x xy =的全微分dz = 22222sin()cos()2cos()xy xy xy dx x y xy dy ⎡⎤++⎣⎦. 解：z zdz dx dy x y∂∂=+∂∂，而222222sin()cos()sin()cos(),z xy x xy y xy xy xy x ∂=+⋅=+∂222cos()22cos()z x xy xy x y xy y∂=⋅=∂.故22222sin()cos()2cos()dz xy xy xy dx x y xy dy ⎡⎤=++⎣⎦. 4. 设函数44224z x y x y =+-，则此函数在点(1,1)处的全微分(1,1)dz = ()4dx dy -+ .解：(1,1)(1,1)(1,1)x y dz z dx z dy ''=+，而()3211(1,1)484x x y z x xy=='=-=-，()3211(1,1)484y x y z y x y =='=-=-，故()(1,1)4dz dx dy =-+.5.设22()z f x y =+，且()f u 可导，则z x ∂=∂()222xf x y '+，22z x∂=∂()()2222224f x y x f x y '''+++.解：()()222222zf x y x xf x y x∂''=+⋅=+∂， ()()()()2222222222222224zf x y xf x y x f x y x f x y x∂''''''=+++⋅=+++∂. 6. 设方程1xy xz yz ++=确定隐函数(,)z f x y =, 则z x ∂=∂ y z x y +-+ , z y ∂=∂ x zx y+-+ . 解：令(,,)1F x y z xy xz yz =++-，则(,,)(,,),(,,)(,,)y x z z F x y z F x y z z y z z x zx F x y z x y y F x y z x y''∂+∂+=-=-=-=-''∂+∂+. 二、单项选择题：1.设有直线⎩⎨⎧=+--=+++031020133:z y x z y x L 和平面0224:=-+-∏z y x ,则L 与∏（ D ）A. 垂直B. 平行C.L 在 ∏ 上D. 斜交解：直线L 有方向向量()()33210133271672110i j ks i j k i j k i j k =++⨯--==-+---，平面∏有法向量()4,2,1n =-，因为0,(s n n ks k ⋅≠≠为非零常数），所以s n 与既不垂直也不平行，故L 与∏斜交.2.已知k j i b k j i a+-=++=2,32，那么a 与b （ A ）A. 垂直B. 平行C. 夹角为030D. 夹角为060 解：因为()1122310a b ⋅=⨯+⨯-+⨯=，所以a b ⊥. 3. 已知函数22f x+y,x -y =x -y （），则(,)(,)f x y f x y x y∂∂+=∂∂（ C ）. （A ）22x y - (B) 22x y + (C) x y + (D) x y -解：因为()()22f x+y,x -y =x -y x+y x -y =（），所以(,)f x y xy =，故(,)(,).f x y f x y y x x y∂∂+=+∂∂ 4. 设yz x =, 则dz =( A ).(注意分清对幂函数还是指数函数求导) (A)1ln y y yxdx x xdy -+ (B)11y y yx dx yx dy --+(C)1ln y y x xdx yxdy -+ (D)ln ln y y x xdx x xdy +5.曲线 t a x cos =，t a y sin =，amt z =，在 4π=t 处的切向量是（ D ）.A ．)2,1,1( B.)2,1,1(- C.)2,1,1(m D.)2,1,1(m -解：曲线在4π=t 处有切向量()())44,,sin ,cos ,t t t t t s x y z a t a t am a a am ππ==⎛⎫'''==-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭. 6. 函数(,,)f x y z xy z =+在点(1,1,1)-处沿方向(2,1,2)l =-的方向导数为（ C ） A. 1； B.23； C. 13； D. 0. 解：所求的方向导数(1,1,1)(1,1,1)cos (1,1,1)cos (1,1,1)cos x y z l f f f f αβγ''''-=-+-+-. 而11(1,1,1)1,(1,1,1)1,(1,1,1) 1.x y z y x f y f x f =='''-==-==-= 又2213l =+=，从而212cos ,cos ,cos 333αβγ===-.故2121(1,1,1)1113333l f ⎛⎫'-=⨯+⨯+⨯-= ⎪⎝⎭.7.二元函数ln()z xy =的全微分为（ A ）.A.dx dy x y +； B. dx dy xy +； C. dx dy y x+； D. dxdyxy . 解：全微分z z dz dx dy x y ∂∂=+∂∂，而1111,z z y x x xy x y xy y ∂∂=⋅==⋅=∂∂.故dx dydz x y=+ 三、证明题：1.设()F u z xy x =+，y u x =，()F u 为可导函数. 求证：z zx y z xy x y∂∂+=+∂∂. 证因为2()()()()z y y y F u xF u y F u F u x x x ∂⎛⎫''=++⋅-=+- ⎪∂⎝⎭；1()()z x xF u x F u y x ∂''=+⋅=+∂. 所以 ()()()()()z z y xy x y F u F u y x F u xy xF u xy z xy x y x ∂∂⎛⎫''+=+-++=++=+ ⎪∂∂⎝⎭. 2. 设22()y f x y z -=， ()f u 为可导函数. 求证：211z z zx x y y y ∂∂+=∂∂. 证因为2222222222222222()()2()()()()x z y y xyf x y f x y xf x y x f x y f x y f x y '∂-''⎡⎤=-⋅-=-⋅-=-⎣⎦∂---， ()222222222222222()()2()2()()()f x y y f x y y z f x y y f x y y f x y f x y '--⋅-⋅-'∂-+-==∂--.故22222222222222221112()1()2()1()()()z z xyf x y f x y y f x y z x x y y x f x y y f x y yf x y y ''∂∂--+-+=-⋅+⋅==∂∂---. 四、计算题：1.设2(,)x z f x y y =，其中f 具有连续的二阶偏导数，求222,,,z z z z x y x x y∂∂∂∂∂∂∂∂∂. 解：22121211(,)(,)22,z x x f x y f x y xy f xyf x y y y y∂''''=⋅+⋅=+∂2222121222(,)(,),z x x x xf x y f x y x f x f y y y y y ⎛⎫∂''''=⋅-+⋅=-+ ⎪∂⎝⎭212122211222f f z z f xyf yf xy x x x x y y xx ''⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫'''==+=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 221112221221112222211112222442f xyf yf xy f xyf f xf x y f yf y y y y⎛⎫⎛⎫''''''''''''''''=++++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 21212122111222f f z z f xyf f xf xy x y y x y y y y y y ''⎛⎫∂∂∂∂∂∂⎛⎫''''==+=-+++ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭2211112221222221122x x f f x f xf xy f x f y y y y ⎛⎫⎛⎫''''''''''=-+-+++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭231211122223122x xf xf f f x yf y y y''''''''=-+--+.注：因为f 具有连续的二阶偏导数，所以1221f f ''''=.2.设22220x y z z ++-=，求22,z zx y∂∂∂∂.解：令222(,,)2F x y z x y z z =++-，则(,,)2(,,)221x z F x y z z x xx F x y z z z '∂=-=-='∂--，(,,)2(,,)221y z F x y z z y y yF x y z z z '∂=-=-='∂--， 2222223(1)(1)(1)11(1)(1)(1)z y z y z y y z z y z y z y y y y z z z z ⎛⎫∂--⋅- ⎪-+⋅∂⎛⎫∂∂∂∂-+⎛⎫⎝⎭-===== ⎪ ⎪∂∂∂∂----⎝⎭⎝⎭. 注意：z 是关于,x y 的二元函数.3.设方程组22222x y uv xy u v ⎧++=⎪⎨--=⎪⎩确定隐函数组(,),(,)u u x y v v x y ==，求 u x ∂∂，v x ∂∂.解法一：分别对两方程两边分别对x 求偏导，得20220u v x v u x x u v y u v x x ∂∂⎧++=⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪--=⎪∂∂⎩ 即 222uv v u x x x u v u v yxx ∂∂⎧+=-⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪+=⎪∂∂⎩当222()022v uJ u v u v==--≠时，有222114(4)22()x u u xv yuxv yu y v x J J u v -∂+==--=∂- ， 222114(4)22()v x v xu yvyv xu u y x J J u v -∂+==+=-∂- . 解法二：令2222(,,,)0(,,,)20F x y u v x y uvG x y u v xy u v ⎧=-+=⎪⎨=---=⎪⎩，则22(,)2()22(,)uv v u F G J u v u v u v ∂===---∂2(,)42(,)xv x u F G J xv yu y v x v ∂===---∂ ， 2(,)42(,)ux v x F G J yv xu u yu x ∂===+-∂ 故2242()xv uv J u xv yu x J u v ∂+=-=∂- ，2242()ux uv J v xu yvx J u v ∂+=-=-∂-. 4.求函数3322(,)339f x y x y x y y =+-+-的极值.解：解方程组223603690f x x xf y y y∂⎧=-=⎪∂⎪⎨∂⎪=+-=∂⎪⎩，得四个驻点1234(0,3),(0,1),(2,3),(2,1)P P P P --. 又66,0,66xx xy yy f x f f y ''''''=-==+.记(),(),()(1,2,3,4)xx i xy i yy i A f P B f PC f P i ''''''====对21(0,3),6(12)00,P AC B --=-⨯-->且60A =-<,则1(0,3)P-是函数的极大值点，极大值(0,3)27f -=；对22(0,1),61200P AC B -=-⨯-<,则2(0,1)P 不是极值点；对()23(2,3),61200P AC B --=⨯--<,则3(2,3)P -不是极值点；对24(2,1),61200P AC B -=⨯->,且60A =>,则4(2,1)P 是函数的极小值点，极小值(2,1)9f =-. 5.求曲面222327xy z +-=在点(3,1,1)P 处的切平面方程和法线方程.解：令 222(,,)327F x y z x y z =+--，则曲面在点(3,1,1)P 处的法向量为()(3,1,1)(3,1,1)(,,)(6,2,2)(18,2,2)29,1,1x y z n F F F x y z '''==-=-=-于是，所求的切平面方程为 9(3)(1)(1)0x y z -+---=，即 9180x y z +--=.法线方程为311911x y z ---==-. 6.求曲面z=在点(3,4,5)P 处的切平面方程和法线方程.解：曲面在点(3,4,5)P 处的法向量为()(3,4,5)(3,4,5)341(,,1)1),,13,4,5555x y n z z ⎛⎫''=-=-=-=- ⎪⎝⎭. 于是，所求的切平面方程为 3(3)4(4)5(5)0x y z -+---=，即 3450x y z +-=.法线方程为345345x y z ---==-. 7.求函数23(,,)f x y z xy yz =+在点0(1,1,2)P 处沿从0(1,1,2)P 到(3,1,3)P -方向的方向导数0P fl∂∂.解：记()02,2,1l P P ==-，(223l =+=，从而221cos ,cos ,cos 333αβγ==-=.又()23211(1,1,2)2(1,1,2)1,(1,1,2)210,(1,1,2)312.y x y z y z f yf xy z f yz ==='''===+===故所求的方向导数P f l∂∂(1,1,2)cos (1,1,2)cos (1,1,2)cos x y z f f f αβγ'''=++221110122333⎛⎫=⨯+⨯-+⨯=- ⎪⎝⎭.。

高等数学自测题第13章自测题2答案

第13章自测题2答案一、选择题（每小题4分） 1、设OM 是从O （0，0）到M （1，1）的直线段，则与曲线积分⎰+=OMyx s eI d 22不相等的积分是(A)⎰102d 2xex(B) ⎰12d 2yey(C )⎰2d re r(D )⎰1d 2rer2、设L 是圆周 x 2+y 2=a 2 (a >0)负向一周，则曲线积分答 ( ) 答： (A) 3、设C 为沿x 2+y 2=R 2逆时针方向一周，则用格林公式计算，答( )答：（D ） 4、曲线积分的值(A)与曲线L的形状有关(B)与曲线L的形状无关(C)等于零(D)等于2π答( )答：（A）二、填空题（每小题4分）1、设f(x)有连续导数，L是单连通域上任意简单闭曲线，且则f(x)=_______.答：x2+c2、设是由A(－2，3)沿y=x2－1到点M(1，0)，再沿y=2(x－1)到B(2，2)的路径，则 ________.答：103、设力的模 , 的方向与相同，则在力的作用下，质点沿曲线L：正向绕行一周，力所做的功可用曲线积分表示为________________.答：⎰+++-L yxyxxy22dd4、若是某二元函数的全微分，则m=______.答：1三、解答题（每小题6分）1、求自x=1到x=e之间的一段曲线的弧长。

2、设心脏线L的极坐标方程为r=a(1－cosθ) (0≤θ≤2π)，其线密度为常量μ，求L 的形心坐标( ).3、求质点M (x , y )受作用力沿路径L 所作的功W . L 是3、3 . 求质点M (x , y )受作用力沿路径L 所作的功W . L 是沿椭圆4x 2+y 2=4顺时针方程的一周。

4、求半径为R 的均匀半圆周L (线密度为δ=1)对于位于圆心的单位质量的质点的引力。

5、设质线L 的方程为，L 上的任意点(x ,y )处的线密度为求质线L 的质心坐标(ξ,η).解：L 参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==ty t x 44sincos 0≤t ≤2πtt t t t s d sincossin cos 4d 44+=对L 方程质线的线密度yx xy +=μ而言，变量x 与y 是对等的，故..ηξ=质线L 的质量⎰=Lsm d μ⎰⎰⎰=+⋅⋅+=+=2332444444d cos sin4d sincossin cos 4sincossincos d ππtt t tt t t t tt tt syx xy L31=⎰⎰===237d cos sin 12d 1πμηξtt t sy mL103=故质心坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛103 , 1036、利用曲线积分计算星形线⎪⎩⎪⎨⎧==θθ33sin cos a y a x 所围区域面积。

高数自测题答案1-4

第一章函数自测题一、填空题：1. 3x >2. 13x -≤≤3. 21x +二、解答题 1. 解因为63ππ<，所以1sin 662ππϕ⎛⎫== ⎪⎝⎭。

而23π-≥，故有 (2)0ϕ-=。

()x ηϕ=的图形略 2. 解（1） 1,uy e u x==。

（2） 3,,sin u y e u v v x === （3） arcsin ,ln ,1y u u v v x ===+3. 证 1212,(,0),x x L x x ∀∈-<，我们有1212,(0,),x x L x x --∈->-。

因为()f x 在(0,)L 内单调增加，所以有12()()f x f x ->-，又因为()f x 为定义在(,)L L -上的奇函数，上式可改写为12()(),f x f x ->-即12()()f x f x <所以，()f x 在(,0)L -内单调增加。

4. 解 (1) 1 1(1) 1 1x x f x x -≥⎧-=⎨<⎩； (2) 2 1 1()(1) 1 012 0x x f x f x x x x -≥⎧⎪+-=+≤<⎨⎪<⎩。

5. 解由题意可列出函数关系如下：04() 5ks s a m ka k s a a s <≤⎧⎪=⎨+-<⎪⎩6. 解设批量为x 件，每年需要进货800x次，由于均匀销售，库存量由x 件均匀地减少到0件，平均库存量为2x件。

一年的库存费为 0.2121.22xx ⨯⨯=(元)，订货费为 8004800060x x ⨯=(元)。

综上，我们有480001.2p x x=+。

7. 解设租金定为每天每套(200)x x >元，由题意，每天可以租出2006010x --套客房，此时，每天的收入为220060800.110x y x x x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭。

当400x =元时，收入最大，最大收入为16000元，此时空出20套客房。

高等数学》专升本自测试题1(含答案)

高等数学》专升本自测试题1(含答案)1、若 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上有 $F'(x)=f(x)$，则 $F(x)$ 为$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的原函数。

2、下列函数中，是 $f(x)=e^{-x}$ 的原函数的是 $B$，即$e^{-x}+1$。

3、$\int e^{-2x}dx=-\frac{1}{2}e^{-2x}+C$。

4、设 $f(x)=\int e^xdx$，则 $f'(0)=e^0=1$。

5、设 $f(x)=\int \sin^2xdx=\frac{1}{2}\int (1-\cos2x)dx=\frac{1}{2}(x-\frac{1}{2}\sin2x)+C$，所以$f'(\frac{\pi}{2})=0$。

6、若 $\int f(x)dx=2x^2+x+C$，则 $f(x)=4x+1$。

7、若 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，且 $a\neq 0$，$b$ 是常数，则 $\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C$。

8、$\int \frac{2x-3}{x^2-3x-10}dx=\int \frac{2x-3}{(x-5)(x+2)}dx=\int (\frac{3}{x-5}-\frac{1}{x+2})dx=\ln|x-5|-\ln|x+2|+C$。

9、$\int \frac{\sin x}{2-\cos x}dx=-\int \frac{d(2-\cos x)}{2-\cos x}=-\ln|2-\cos x|+C$。

10、$\int \frac{x-3}{x-2}dx=\int (1-\frac{1}{x-2})dx=x-\ln|x-2|+C$。

11、若 $f(x)$ 的原函数为 $F(x)$，则 $\intf[\phi(x)]\phi'(x)dx=F[\phi(x)]+C$。

高等数学第二章自测题带解析答案

第二章自测题一、填空题（每小题3分，共15分）1.设()f x 在0x 可导，且00()0,()1f x f x '==，则01lim h hf x h →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭-1.2.设21cos f x x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则()f x '=3221sin x x .3.设sin (e )xy f =，其中()f x 可导，则d y =sin sin e cos (e )d x x xf x '.4.设y =，则12y ⎛⎫'=⎪⎝⎭-1.5.曲线1sin xy x y =+在点1,ππ⎛⎫⎪⎝⎭的切线方程为2π1π2πy x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭2π3π22y x =-+或.二、单项选择题（每小题3分，共15分）1.下列函数中，在0x =处可导的是D.A.||y x = B.|sin |y x = C.ln y x= D.|cos |y x =2.设()y f x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则000(2)()lim x f x x f x x x ∆→+∆--∆=∆A .A.6B.6- C.16D.16-3.设函数()f x 在区间(,)δδ-内有定义，若当(,)x δδ∈-时恒有2|()|f x x ≤，则0x =是()f x 的C .A.间断点B.连续而不可导的点C.可导的点，且(0)0f '=D.可导的点，且(0)0f '≠4.设2sin ,0(),x x f x x x <⎧=⎨≥⎩，则在0x =处()f x 的导数D .A.0B.1C.2D.不存在5.设函数()f u 可导，2()y f x =当自变量x 在1x =-处取得增量0.1x ∆=-时，相应的函数增量y ∆的线性主部为0.1，则(1)f '=D .A.1- B.0.1C.1D.0.5三、解答题（共70分）1.求下列函数的导数或微分（每小题5分，共20分）(1)(ln e xy =+，求y '.解：(ln e xy '⎡⎤'=+⎢⎥⎣⎦2e x x ⎛⎫=+x=(2)aa xa x a y xa a =++，求y '.解：11ln ln ln a a xaa x a a x y a x a a ax a a a a --'=+⋅+⋅1112ln (ln )aaxa ax a a x a x a x a a a a -+-=++.(3)cos (sin )xy x =，求y '.解：两边取对数得ln cos ln sin y x x =，两边求导数，得1sin ln sin cot cos y x x x x y'=-+，cos (sin )(sin ln sin cot cos )x y x x x x x '=-+.(4)y x=，求d y .解：两边取对数得()()11ln 2ln ln 1ln 122y x x x =+--+；两边求微分得121111d d 2121y x y x x x ⎛⎫=+⋅-⋅ ⎪-+⎝⎭，即2d 2d y x ⎛⎫ = ⎝.2.求下列函数的二阶导数（每小题6分，共12分）(1)2cos ln y x x=解：2cos (sin )ln y x x x '=-2cos x x +2cos sin 2ln xx x x=-+，22sin 22cos (sin )cos cos 22ln x x x x xy x x x x ⋅--''=-⋅-+222sin 2cos 2ln cos 2x xx x x x =---.(2)11xy x-=+解：22(1)(1)2(1)(1)x x y x x ----'==-++，44(1)(1)x y x -+''=-+34(1)x =+.3.设e ,1(),1x x f x ax b x ⎧≤=⎨+>⎩在1x =可导，试求a 与b .（本题8分）解：首先()11lim ()e x f f x --→==，()11lim ()x f f x a b ++→==+，因为()f x 在1x =处连续，故e a b +=，其次，()1+00(1)(1)e e 1lim lim x x x f x f f x x --∆-∆→∆→+∆--'==∆∆0e 1lim e e x x x-∆∆→-==∆，()00(1)(1)(1)()1lim lim x x f x f a x b a b f a x x+++∆→∆→+∆-+∆+-+'===∆∆，由于()f x 在1x =处可导，故e a =，联立两个方程得e a =，0b =.4.设sin ,0()ln(1),0x x f x x x <⎧=⎨+≥⎩，求'()f x .（本题7分）解：()00()(0)sin 0lim lim 10x x f x f x f x x ---→→-'===-()00()(0)ln(1)0lim lim 10x x f x f x f x x+++→→-+'===-，故(0)1f '=，由于()f x 在0x >，0x <时均可导，故cos ,0()1,01x x f x x x <⎧⎪'=⎨≥⎪+⎩.5.设函数()y y x =由方程22ln 1x xy y-=所确定，求d y .（本题7分）解：方程可变形为22ln ln 1x y xy --=，两边求微分，得221d d d 2d 0x y y x xy y x y ---=，故3222d d 2y xy y x x x y -=+.6.设()y y x =由参数方程ln tan cos 2sin t x a t y a t⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩确定，求22d d ,d d y y x x .（本题8分）解：22d ()cos cos cos sin tan 1d ()1sin sin sec sin 2sin 2tan 2y y t a t t t t t t x x t t t t a t t'====='-⎛⎫- ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭，2242d (tan )sec sec sin 1d ()sin sin y t t t tx x t a a t t '==='⎛⎫- ⎪⎝⎭.7.求曲线3213122t x t y t t +⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩在1t =处的切线方程和法线方程.（本题8分）解：232411133()2232()32t t y t t t y t x t t t--+''===+'+-，故1710t y ='=.当1t =时，2,2x y ==.故曲线在1t =处的切线方程为72(2)10y x -=-，即71060x y -+=，法线方程为102(2)7y x -=--，即107340x y +-=.。

(完整版)高等数学测试题及解答(分章)2

第七单元空间解析几何与向量代数一、填空题1、已知→a 与→b 垂直，且12|||,5||==→→b a ，则=+→→||b a _________,=-→→||b a _________。

2、一向量与ox 轴和oy 轴成等角，而与oz 轴组成的角是它们的两倍，那么这个向量的方向角为___________。

3、→→→→→→→→→→→⨯-+⨯+++⨯++a c b b c b a c c b a )()()(__________=。

4、若两平面0=-++k z y kx 与z y kx 2-+0=互相垂直，则__________=k 。

5、通过两点(1,1,1)和(2,2,2)且与平面0=-=z y x 垂直的平面方程是____________。

6、已知从原点到某平面所作的垂线的垂足为点(1,2,2--)，则该平面方程为_________。

7、设平面092:=--+z ky x π，若π过点)6,4,5(--，则_______;=k 又若π与平面032=+-z y x 成︒45角，则__________=k 。

8、一平面过点(1,10,6-),它在ox 轴上的截距为3-，在oz 轴上的截距为2，则该平面的方程是___________。

9、若直线531123-=++=-z k y k x 与22531-+=+=-k z y x 垂直，则_________=k 。

10、设,2)(=⋅⨯→→→c b a 则___________)()]()[(=+⋅+⨯+→→→→→→a c cb b a 。

11、过点)1,2,1(-M 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+-=1,43,2t z t y t x 垂直的平面方程是___________。

12、已知两条直线的方程是,11122:,130211:21zy x L z y x L =-=+--=-=-则过1L 且平行于2L 的平面方程是______________。

高等数学作业册自测题（西工大）参考附标准答案

高等数学作业册自测题（西工大）参考附标准答案高等数学（Ⅱ）期末自测题参考答案（选自西北工业大学2005级高数考题）一、填空题（每小题3分，共36分）1.=???? ??+∞→∞→x y x xy 11lim ==+=+∞→∞→∞→∞→?∞→∞→01lim111lim 11lim e xy xy yxyy x yxy y x y x 1 .2.函数),(y x z z =由方程0sin =+x y e xz 确定，则=-=-=??xz z y xe x y x F F y z cos 1xz ex x y 2cos - . 3.设函数222lnz y x u ++=，则它在点)1,1,1(0-M 处的方向导数的最大值为33. 4.设函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值，则常数=a 5-.5.空间曲线x z x y -==1,222在点)22,1,21(处的切线方程为212211121--=-=-z y x .6.改变积分次序：==-dy y x f dx I x x 2202),(dx y x f dy y y ?-+--2211111),( .7.设平面曲线L 为下半圆周21x y --=，则=?= =+??π2221211)(LLds ds y x π . 8.设∑为曲面22y x z +=在10≤≤z 的部分，则??∑=xdS 0 .9.设,0,10,)(?<≤<≤-=-ππx x e x f x 则其以π2为周期的傅里叶级数在π=x 处收敛于)1(21πe + . 10.设321,,y y y 是微分方程)()()(x f y x q y x p y =+'+''的三个不同的解，且≠--3221y y y y 常数，则微分方程的通解为 1322211)()(y y y C y y C +-+- .11.函数x x f -=21)(展开为x 的幂级数的形式为)2,2(2101-∈∑∞=+x xn n n .12.微分方程x xe y xy =-'1的通解为 x xe Cx + . 二、计算下列各题（每小题6分，共18分）1.设),(xye xy f z =，)(x y ?=，其中?,f 均为一阶可微函数，求dxdz . 解：)(221y x y e f x y x y f dx dz xy'+?'+-'?'= ))()(()()(221x x x e f xx x x f xy'+?'+-'?'= 2.求曲面)(21422y x z +-=与平面2=z 所围立体的体积.解：所围立体在xoy 面的投影域4:22≤+y x D ，所围立体的体积dxdy y x dxdy dxdy y x V D DD +-=???-+-=)(2122)](214[2222πππθππ4482122202202=-=-?=??rdr r d3.在曲面6632222=++z y x 上第一卦限部分求一点，使该点的切平面与已知平面1=++z y x 平行.解：设曲面在第一卦限的切点的坐标为),,(z y x M ，令=),,(z y x F 6632222-++z y x ，则切平面的法向量)6,4,2(),,(z y x F F F n M z y x ==,已知平面1=++z y x 的法向量)1,1,1(1=n依题意1//n n，即令t z y x ===161412 代入曲面方程中解的2,3,6===z y x ，即切点坐标为)2,3,6(M . 三、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.设Ω是由锥面22y x z +=与半球面221y x z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，求曲面积分∑++zdxdy ydzdx xdydz .解：已知x z y x P =),,(，y z y x Q =),,(，z z y x R =),,(，由高斯公式有dv zR y Q x P zdxdy ydzdx xdydz Ω∑+??+??=++)(dr r d d dv ??θππsin 33122040==Ωππ)22(31)221(23-=?-= 2.写出级数++++43227252321的通项，判别该级数的敛散性.若级数收敛时，试求其和. 解：该数项级数的通项为nn n u 212-=；级数为正项级数，由于 21121221lim lim1=-+?=∞→+∞→n n u u n nn n ，由比值审敛法知该级数收敛.令)1,1()()(22)12()(211111-∈-=-=-=∑∑∑∞=∞=-∞=x x s x xs x xn x x n x s n n n n nn ，则xxx dt ntdt t s n xn n n x-===∑?∑?∞=∞=-1)(1111，于是2011)1(1)()(x dt t s dx d x s x -= =?，又xxx x s n n -==∑∞=1)(12，所以)1,1()1(1)1(2)(222-∈-+=---=x x x x x x x x x s ，于是3)1(21)12()21(21221=-+=-==∞=∑x n n x x x n s .3.求微分方程xe y y y 223=+'-''的通解.解：微分方程对应的齐次线性微分方程的特征方程0232=+-r r 的特征根为2,121==r r ，x e x f 2)(=的1=λ为特征方程的单根，则原方程的特解为x Axe y =*，代入原方程中得2-=A ,齐次线性微分方程的通解为xxe C e C Y 221+=,所以原方程的通解为=+=*y Y y x x x xe e C e C 2221-+.四、计算下列各题（每小题6分，共18分） 1.求函数22)(4),(y x y x y x f ---=的极值.解：由于x y x f x 24),(-=，y y x f y 24),(--=，令,0),(0),(??==y x f y x f yx 得驻点,22-==y x又 2),(-==y x f A xx ，0),(==y x f B xy ，2),(-==y x f C yy ，及4)()2,2(2-=--AC B ，则点)2,2(-位极大值点，极大值为8)2(2)]2(2[4)2,2(22=-----=-f .2.求幂级数∑∞=-12)1(n nnn x 的收敛半径及收敛域. 解：令 1-=x t ，则 nn nn n n t n n x ∑∑∞=∞==-11212)1(，由于212)1(2lim lim 11=+=+∞→+∞→n n n nn n n n a a ，则收敛半径2=R .又当2-=t 时，级数∑∞=-1)1(n n n 收敛，当2=t 时，级数∑∞=11n n发散，所以)2,2[-∈t ，即级数的收敛域为)3,1[-.3.设),()sin(yxx xy z ?+=，其中),(v u ?具有二阶偏导数，求y x z 2. 解：),(1),()cos(21yxx y y x x xy y x z ??'+'+=??，)(),(1),(1)(),()sin()cos(222222122yxy x x y y x x y y x y x x xy xy xy y x z -?''+'--?''+-=五、（本题5分）求函数2),(22+-=y x y x f 在椭圆域}14|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.解：由于x y x f x 2),(=，y y x f y 2),(-=，令,0),(0),(==y x f y x f yx 在D 内求得驻点)0,0(.在D 的边界上，设)14(2),,(2222-+++-=y x y x y x F λλ，得=-+==+-==+=)3(014),,()2(0212),,()1(022),,(22y x y x F y y y x F x x y x F yx λλλλλλ 当0≠x ，由（1）得1-=λ，代入（2）得0=y ，在代入（3）得??=±=01y x ；同理当0≠y 得?±==20y x ；由于2)0,0(=f ，3)0,1(=±f ， 2)2,0(-=±f ，所以最大值为3，最小值为2-.六、（本题5分）设在上半平面}0|),{(>=y y x D 内，函数),(y x f 具有连续偏导数，且对任意的0>t 都有),(),(2y x f tty tx f -=，证明对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，都有0),(),(=-?dy y x xf dx y x yf L.解：由格林公式，对D 内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L ，----±=-1)],(),(),(),([),(),(D y xLdxdyy x yfy x f y x xf y x f dyy x xf dx y x yf .dxdy y x yf y x xf y x f y D x )],(),(),(2[1---±=?? （*）由于函数),(y x f 具有连续偏导数，且对任意的0>t 都有),(),(2y x f tty tx f -=，则该式两端对t 求导有),(2),(),(321y x f t ty tx f y ty tx f x --='+'特取1=t 得0),(2),(),(=++y x f y x yf y x xf y x由（*）式既有0),(),(=-?dy y x xf dx y x yf L。