函数极限性质和存在性证明
1.2 函数极限的性质
等价代换得
= lim e x x0
x1 x2
洛必达法则 = lim e x 1
x0 2 x
等价代换得 = lim x 1
x0 2 x 2
例2、lim x cot x
x0
lim x cos x
x0 sin x
0 型
lim x cos x
x0 sin x
1
4、保不等式性 设 lim f x A, lim g x B
x x0
x x0
且存在 0,当0 x x0 时，有f x g( x), 则A B.
5、迫敛性 设 lim f x lim g x A,
x x0
x x0
且0
x x0
时，有f x h( x) g( x),
f
xgg
x
lim
x x0
f
x
lim
x x0
gx
AgB
3、商的极限等于极限的商（条件：分母的极限不为零）
lim f ( x)
lim f ( x) x x0
A
x x0 g( x)
lim g( x)
x x0
B
反例
型
例1、lim x0
1 x
1 e x 1
通分得
= lim e x 1 x x0 x e x 1
则 lim h x
x x0
A.
函数极限的运算法则
设 lim f x A, lim 和差
lim
x x0
f
x
g x
lim
x x0
f
x
lim
x x0
gx
A
B
注：和差极限的存在性不能保证每一项极限都存在
判断函数极限是否存在的方法
判断函数极限是否存在的方法判断函数极限是否存在是微积分中的重要概念之一。
在实际问题中，判断函数极限的存在性可以帮助我们更好地理解函数的行为，进行数学建模和预测。
在本文中，我们将介绍判断函数极限存在的方法，并详细讨论极限的定义、性质和计算方法。
我们将首先介绍极限的定义，然后讨论函数极限的性质和计算方法。
最后，我们将通过一些例题对判断函数极限存在性的方法进行详细说明。
1.极限的定义在微积分中，我们用极限来描述函数在某一点处的“接近性”。
当自变量x趋于某个值a时，函数f(x)的极限存在，表示当x足够接近a时，f(x)的取值也足够接近一个确定的数L。
这个数L即是函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim(x→a) f(x) = L。
根据这个定义，我们可以得到极限存在的三个要素：自变量x趋于某个值a、函数f(x)在a的邻域内有定义、函数f(x)的取值趋于一个确定的数L。
因此，要判断函数极限是否存在，我们需要根据这三个要素来进行分析和判断。
2.函数极限的性质函数极限存在的性质主要包括唯一性、局部有界性、局部保号性和局部保序性。
唯一性：如果函数f(x)在某一点a的邻域内有极限L，则它的极限值是唯一的。
局部有界性：如果函数f(x)在某一点a的邻域内有极限L，则它在该邻域内有界。
局部保号性：如果函数f(x)在某一点a的邻域内有极限L（L>0），则在该邻域内，函数的取值大于0。
局部保序性：如果函数f(x)在某一点a的邻域内有极限L，则在该邻域内，函数的取值的大小顺序与自变量的大小顺序一致。
这些性质为判断函数极限的存在性提供了重要依据。
在实际问题中，我们可以根据这些性质来判断函数极限是否存在，并进一步进行相关的分析和计算。
3.函数极限的计算方法判断函数极限的存在性和计算实际上是相辅相成的。
只有在判断函数极限存在的前提下，我们才能进行具体的计算。
函数极限的计算方法主要包括极限的四则运算法则、极限的夹逼定理、极限的连续性定理和极限的分部求极限法等。
函数极限存在的条件
0 A + ε > f ( x) ≥ f ( x1 ) > A − ε . 可见, 当 x ∈ U − ( x0 , δ ) 时, f ( x1 ) − A < ε ,
f ( x) 存在且 f ( x0 − 0) = sup 因此 lim −
x → x0
f ( x) f ( x)
0 x∈U − ( x0 )
n→∞ n→∞
下证 A = B . 考虑数列 {z n } : x1 , y1 , x 2 , y 2 , L x n , y n , L ,易见 {z n } ⊂ U ( x 0 ) ,且 lim z n = x0 , 则由题
0
n →∞
设 lim f ( z n ) 存在,于是作为 { f ( z n )} 的两个子列, { f ( x n )} 与 { f ( y n )} 必有相同的极限,因
x → −∞
ε ,总存在某一正数 M ,使得对任何 x ′ < − M , x ′′ < − M ,都有 f ( x ′) − f ( x ′′) < ε
1
(2)设 f ( x) 为定义在 (−∞, a ] 上的函数,若存在正数 ε 0 ,对任给正数 M ,总存在 x1 、 x 2 , 尽管 x1 < − M , x 2 < − M ，而 f ( x1 ) − f ( x 2 ) ≥ ε 0 ，则称 lim f ( x) 不存在.
0
(2)
f ( xn ) − A ≥ ε 0
,
n = 1,2,3,L ， 由 于
n →∞
0 x0 ∈ U + ( x0 , δ n )
,
故
有
0 < x n − x0 < δ n ≤
极限的性质和存在性的证明
极限的性质和存在性的证明极限是微积分中一个重要的概念，用于描述函数在某一点附近的变化趋势。
在数学中，极限可以精确地定义为当自变量趋于某个特定值时，函数取得的值趋于某个确定的值。
为了更深入理解极限的性质和存在性，我们将从两个方面展开讨论，分别是极限的性质和极限的存在性的证明。
一、极限的性质1. 有界性：如果函数在某个点附近具有极限，那么它在这个点附近必然是有界的。
具体而言，如果函数极限存在，则必然存在一个包含该点的区间，在这个区间内函数取值有上界和下界。
证明：设函数f(x)在点x=a处有极限L，即limₓ→a f(x) = L。
我们取一个正数ε，根据极限的定义，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε。
因此，当0<|x-a|<δ时，有 |f(x)| = |f(x)-L+L| ≤ |f(x)-L|+|L| < ε+|L|，所以函数在点x=a处有界。
2. 唯一性：如果函数在某个点附近具有极限，那么极限是唯一的。
换句话说，如果函数在点x=a处的两个极限存在并且不相等，那么这个函数在x=a处的极限不存在。
证明：假设函数f(x)在点x=a处有两个极限L₁和L₂，并且L₁≠L₂。
根据极限的定义，对于任意给定的正数ε₁和ε₂，存在正数δ₁和δ₂，使得当0<|x-a|<δ₁时，有|f(x)-L₁|<ε₁；当0<|x-a|<δ₂时，有|f(x)-L₂|<ε₂。
那么我们可以取一个正数δ=min(δ₁,δ₂)，则当0<|x-a|<δ时，上面两个不等式同时成立，即|f(x)-L₁|<ε₁且 |f(x)-L₂|<ε₂。
然而，这是不可能的，因为根据三角不等式，上述两个不等式的和不可能小于两个正数ε₁和ε₂之和。
因此，假设不成立，可得函数在x=a处的极限是唯一的。
二、极限的存在性的证明要证明一个函数在某个点处存在极限，有多种方法。
函数极限的性质
第十三讲、函数极限的性质定理13.1.（唯一性）若极限0lim ()x x f x →存在，则极限值唯一.证明：我们使用反证法加以证明。
假设0lim ()x x f x A →=及0lim ()x x f x B →=，A B <。
取()/2B A ε=−，则存在δ>10，使得当010||x x δ<−<时 3()22A B A B A f x A εε−+=−<<+= （13.1） 存在δ>20，使得当020||x x δ<−<时3()22A B B A B f x B εε+−=−<<+= （13.2） 现取正数12min{,}δδδ=，则当00||x x δ<−<时，由（13.1）与（13.2）可得()()2A B f x f x +<< 矛盾！证毕。
定理13.2 .（函数极限的局部有界性）若极限0lim ()x x f x →存在，则存在δ>0，使得()f x 在邻域0(;)o U x δ内有界.定理13.3. 若0lim ()x x f x A →=， 0lim ()x x g x B →=且A B <，则存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()()f x g x <.在上面的定理13.3中，取()0g x ≡，则有推论13.1 .( 局部保号性). 若0lim ()x x f x A →=且 A > 0 , ( A < 0 ) 则存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()0f x >（()0f x <）.推论13.2 .( 保不等式) 若存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()()f x g x ≤且0lim ()x x f x A →=， 0lim ()x x g x B →=，则A B ≤。
函数极限与存在性问题
函数极限与存在性问题函数极限的定义给定函数$f(x)$和实数$a$，我们说当$x$趋向于$a$时，函数$f(x)$的极限存在且等于$L$，记作：$$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$$如果对于任意给定的正数$\epsilon$，存在一个正数$\delta$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，$|f(x)-L|<\epsilon$。
函数极限的性质1. 如果$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$，则函数$f(x)$在点$a$处有定义。
2. 如果$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$且$\lim_{x\rightarrow a}g(x)=M$，则$\lim_{x\rightarrow a}(f(x)+g(x))=L+M$。
3. 如果$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$且$k$是常数，则$\lim_{x\rightarrow a}(kf(x))=kL$。
4. 如果$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$，则$\lim_{x\rightarrow a}f^n(x)=L^n$，其中$n$为正整数。
5. 如果$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$且$f(x)\leq g(x)$，则$\lim_{x\rightarrow a}g(x)\geq L$。
函数存在性问题辨别函数的存在性问题在数学分析中起着重要作用。
常用的方法包括：1. 利用函数的连续性进行分析和判断。
2. 利用函数的单调性进行分析和判断。
3. 利用夹逼准则（夹逼定理）进行分析和判断。
结论函数极限与存在性问题是数学分析中的重要概念。
函数极限的定义和性质有助于我们研究函数在特定点的行为。
函数存在性问题则能帮助我们确定函数是否在给定区间内存在特定的极限值。
在实际应用中，深入理解和应用这些概念，对于解决各类数学和科学问题都具有重要意义。
关于函数极限如何证明
关于函数极限如何证明函数极限的性质是怎么一回事呢?这类的性质该怎么证明呢?下面就是学习啦给大家的函数极限的性质证明内容，希望大家喜欢。
X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限求极限我会|Xn+1-A|以此类推，改变数列下标可得|Xn-A||Xn-1-A|……|X2-A|向上迭代，可以得到|Xn+1-A|只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。
用数学归纳法：①证明{x(n)}单调增加。
x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1);设x(k+1)>x(k)，则x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化) =[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。
②证明{x(n)}有上界。
x(1)=1<4，设x(k)<4，则x(k+1)=√[2+3x(k)]<√(2+3*4)<4。
当0构造函数f(x)=x*a^x(0令t=1/a，则：t>1、a=1/t且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)则：lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x=lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分别求导)=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)=1/(+∞)=0所以，对于数列n*a^n，其极限为03.根据数列极限的定义证明：(1)lim[1/(n的平方)]=0n→∞(2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2n→∞(3)lim[根号(n+1)-根号(n)]=0n→∞(4)lim0.999…9=1n→∞n个95几道数列极限的证明题，帮个忙。
Lim就省略不打了。
n/(n^2+1)=0√(n^2+4)/n=1sin(1/n)=0实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来就好了第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的) 第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1= 0lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1limsin(1/n)=lim[(1/n)*sin(1/n)/(1/n)]=lim(1/n)*lim[sin(1/n) ]/(1/n)=0*1=0猜你感兴趣：1.利用导数证明不等式2.构造函数证明不等式3.统计物理小结(精选3篇)4.xx成人高考数学备考复习攻略5.中心极限定理证明。
§1.3.4-5函数极限的性质.ppt4
1 当 x < 0 时，1− x > x ⋅ ≥1 ， x
∵ lim 1= lim (1− x) =1 ，
x→0 x→0
1 ∴由夹逼定理可知 lim x ⋅ =1 。 x→0 x
基本初等函数
解： y = 2
sin 2 x
= 2 y= 2 u , u= v , = 由
复合而成. v = sin x 复合而成 .
（2） y = ln x 2 − 2
解 ： y = ln x 2 − 2 由
y=lnu, =
u= v , v = x 2 − 2 复合而成. = 复合而成.
（ 3 ） y = tan 5 3 lg(arcsin x )
且 lim x n = xo ，有 lim f ( x n ) = A 。
n →∞ n →∞
①若存在 {xn }， xn ≠ xo ， lim x n = xo ，而
注意
n →∞
n →∞
lim f ( x n ) 不存在，则 lim f ( x) 不存在。
x → xo n →∞
′ ′′ ′ ′ ②若存在某两个数列 {x n }与 {x n }， x n ≠ xo ， lim xn = xo ，
∋ x ∈ N ( xo , δ) 时，恒有 f ( x) ≤ g ( x) ，则 A ≤ B 。
x → xo o
x → xo
海涅定理） 定理 3（海涅定理） 它给出了函数极限与数列极限的关系。 它给出了函数极限与数列极限的关系。
x → xo
lim f ( x) = A ⇔ 对任意数列 {xn } ， xn ≠ xo ，
实变函数的极限存在性及连续性证明
实变函数的极限存在性及连续性证明实变函数是数学分析中的重要概念，极限存在性和连续性是研究实变函数性质的基本要素。
在本文中，我们将详细讨论实变函数的极限存在性及连续性的证明。
首先，我们来探讨实变函数的极限存在性。
为了证明实变函数在某一点的极限存在，我们需要证明函数在该点的左极限和右极限存在且相等。
设实变函数f(x)在点a周围定义，我们定义函数的左极限为lim_(x→a-)f(x)，右极限为lim_(x→a+)f(x)。
要证明极限的存在性，我们需要满足以下条件：1. 函数在点a的左邻域内存在，即存在一个区间(a-h, a)，其中h>0，并且该区间内函数有定义。
2. 函数在点a的右邻域内存在，即存在一个区间(a, a+h')，其中h'>0，并且该区间内函数有定义。
3. 函数在点a的左邻域内的极限存在且等于函数在点a的右邻域内的极限。
对于实变函数f(x)，我们可以采用ε-δ定义来证明其极限存在性。
根据ε-δ定义，对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε，其中L为极限值。
换句话说，当距离x足够接近a时，函数值f(x)将足够接近极限值L。
接下来，让我们来证明实变函数的连续性。
一个实变函数在某点连续，意味着函数在该点的极限存在且等于函数在该点的函数值。
也就是说，lim_(x→a)f(x)=f(a)。
为了证明连续性，我们需要满足以下条件：1. 函数在点a处有定义。
2. 函数在点a的极限存在。
对于实变函数f(x)，我们可以通过将极限存在性和函数值相等的条件相结合来证明其连续性。
首先，我们证明lim_(x→a)f(x)=f(a)。
然后，我们证明lim_(x→a)f(x)存在。
最后，我们将两个条件相结合，得出函数f(x)在点a连续的结论。
在证明连续性时，我们还可以运用基本的极限性质，如极限的四则运算和复合函数的极限，来简化证明的过程。
2.3极限性质、法则
(2) lim e
x →∞
(3) lim e
x→0
解：（1） ：（ ）
Q lim 2 +
x→0
1 x
1 y = x
y→+∞ →+∞
lim 2 y
= +∞
x→0
lim− 2
1 x
1 y = x
1 x
y→−∞ →−∞
lim 2
y
1 t = − y lim =0 t t →+∞ 2
∴ lim 2 不存在
令δ = min{δ 1 , δ 2 }, 则当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时有
A+ B g( x ) < < f ( x) 2
【2-3-3】
3、推论1： 、推论 ：
若 lim f ( x ) = A > B(或 < B ), 则∃δ > 0, 使得
x → x0
当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时, 有f ( x ) > B(或 < B )
即A − 1 < f ( x ) < A + 1, 所以f ( x )局部有界
【2-3-1】
二、局部保序性 1、定理： lim 、定理： 若
x → x0
f ( x ) = A, lim g( x ) = B , 且A > B , 则∃δ > 0,
x → x0
使得当x ∈ Oδ ( x0 ) \ { x0 }时, 有f ( x ) > g( x )
【2-3-5】
2、※证明： 、 证明：
x → x0
对 ∀ε > 0
Q lim g ( x ) = A,∴ ∃δ 1 > 0, 使当x ∈ Oδ 1 ( x0 ) \ { x0 }时,
第2节函数极限的基本性质
0xnx0, 0 |xmx0|
|f(x n ) f(x m )| {f(xn)是 }Cau 列 .chy
ln i m f(xn)lx存.在 同理 ln i 存 m f(yn) 在 ly.
将 x 1 ,y 1 ,x 2 ,y 2 , ,x n ,y n , 组 { z n }成 .
xn
4n
1
1
,
ln i mxn 0,
且xn0;
2
而lim sin1lim sin 0,
x n
n n
而 lim si1 nlim si4n n1 lim1 1,
n xn n
2
n
得证
定理4.4 ( 柯西收敛定理) 函f(数 x)定义 U 0(x0在 ),
2 0 , 当 0 | x x 0 | 2 时 , A h ( x ) A ;
取 m 1 ,2 ) i 当 0 , n |x x ( 0 | 时
A g ( x ) f ( x ) h ( x ) A ;
性质4.2.（局部有界性）
x l x i0f m (x )存 ,则 f 在 (x )在 x 0 的U 邻 o (x 0 )内 域 .有
证明： 取 1 ,0 当 0 ,|x x 0 | 时
|f(x ) A | 1.
| f ( x ) | | f ( x ) A A | | f ( x ) A | | A | 1|A |M .
所f(以 x )在 x 0 的U 邻 o(x 0)内 域.有界
性质4.3. (保序性)
函数极限计算函数的极限和证明极限存在性
函数极限计算函数的极限和证明极限存在性函数的极限是数学中一个重要的概念，用于描述函数在某个点附近的行为趋势。
在本文中，我们将介绍如何计算函数的极限以及如何证明函数的极限存在性。
请注意，全文将以适合的格式进行书写，无需再重复提及标题。
一、函数极限的定义函数f(x)在点x=a的极限为L，表示为lim(x→a) f(x) = L，当且仅当对于任意给定的ε>0，存在着一个对应的δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，总有|f(x)-L|<ε成立。
二、函数极限的计算方法计算函数极限的方法有多种，下面我们将介绍一些常用的方法。
1. 代入法：当函数在某个点或在某个点的一个极限为给定的数值时，可以直接代入该值计算极限。
例如，计算lim(x→2) (x^2-4)/(x-2)时，可以将x=2代入函数中得到结果为4。
2. 四则运算法则：根据四则运算法则，可以将函数进行恰当的化简，然后逐项计算极限，最后求得函数的极限。
例如，计算lim(x→1) (x^3-1)/(1-x^2)时，可将函数化简为lim(x→1) (x-1)/(1+x)(1-x)，然后依次计算极限得到结果为1。
3. 复合函数法：若函数表达式为两个函数的复合形式，可以分别计算内层函数和外层函数的极限，然后求得复合函数的极限。
例如，计算lim(x→0) sin(2x)/x时，可首先计算lim(x→0)sin(2x)/2x得到结果为2，再计算lim(x→0) 2得到结果为2，最终得到lim(x→0) sin(2x)/x=2。
三、极限存在性的证明方法要证明函数的极限存在，我们可以使用数学分析中的一些常用方法。
下面我们将介绍两种常用的证明方法。
1. ε-δ定义证明法：根据函数极限的定义，我们可以使用ε和δ的取值关系，来证明函数的极限存在性。
例如，要证明函数lim(x→1) x^2 = 1，对于任意给定的ε>0，我们可以选择δ=√ε，这样当0<|x-1|<√ε时，有|x^2-1|=|x-1||x+1|<√ε(|x+1|+1)<2√ε<ε成立，因此函数的极限存在。
极限的性质和极限存在性的证明方法
极限的性质和极限存在性的证明方法文章内容极限是微积分中非常重要的概念之一，它用于描述函数在某一特定点的趋近情况。
通过研究函数的极限，我们可以揭示函数的特性和行为，从而在实际问题中应用这些性质。
本文将介绍极限的性质及其存在性的证明方法。
1. 极限的性质1.1 保序性：如果函数在某一点的极限存在，那么函数在该点的两侧也有定义，并且函数在该点的左侧小于等于右侧。
证明：假设函数 f(x) 在 x = a 处的极限存在且为 L，即lim┬(x→a)f(x) = L。
设ε > 0，存在δ₁ > 0，当 0 < |x - a| < δ₁时，有 |f(x) - L| < ε。
因此，当 a - δ₁ < x < a 时，有f(x) < L + ε，而当 a < x < a + δ₁时，有 f(x) > L - ε。
因此函数在 a 点的两侧也有定义，并且左侧小于等于右侧。
1.2 唯一性：如果函数在某一点的极限存在，那么这个极限是唯一的。
证明：假设极限lim┬(x→a)f(x) 同时存在且等于 L₁和 L₂。
设ε > 0，存在δ > 0，当 0 < |x - a| < δ 时，有 |f(x) - L₁| < ε 和 |f(x) - L₂| < ε。
由于极限存在性可知，我们可以找到某个 N₁，使得当n > N₁时，有 |x - a| < δ₁，从而 |f(x) - L₁| < ε。
同理，我们可以找到另一个 N₂，使得当 n > N₂时，有 |x - a| < δ₂，从而 |f(x) -L₂| < ε。
取 N = max(N₁, N₂)，即可得到当 n > N 时，有 |f(x) -L₁| < ε 和 |f(x) - L₂| < ε。
由此可知，L₁ = L₂，即极限是唯一的。
函数极限的证明
函数极限的证明函数极限是数学中非常重要的概念之一。
它在微积分和实分析等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍函数极限的定义以及证明函数极限的基本定理。
函数极限的定义：设函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，对于一切满足0<|x-x0|<δ的x，都有|f(x)-L|<ε成立，则称函数f(x)在点x0处极限为L，记作lim┬(x→x0) f(x)=L。
下面我们来证明函数极限的基本定理。
定理1：函数极限的唯一性如果函数f(x)在点x0处极限存在，那么它的极限是唯一确定的。
证明：假设函数f(x)在点x0处的极限存在，并且设存在两个极限L1和L2，且L1≠L2。
我们来证明这个假设不成立。
由于lim┬(x→x0) f(x)=L1，根据函数极限的定义，对于任意给定的ε>0，存在一个δ1>0，对于所有满足0<|x-x0|<δ1的x，都有|f(x)-L1|<ε。
同理，由于lim┬(x→x0) f(x)=L2，根据函数极限的定义，对于任意给定的ε>0，存在一个δ2>0，对于所有满足0<|x-x0|<δ2的x，都有|f(x)-L2|<ε。
我们取ε=|L1-L2|/2，那么存在δ1和δ2，使得对于满足0<|x-x0|<δ1的x，有|f(x)-L1|<ε，以及对于满足0<|x-x0|<δ2的x，有|f(x)-L2|<ε。
选择δ=min{δ1,δ2}，那么满足0<|x-x0|<δ的x，既满足0<|x-x0|<δ1，也满足0<|x-x0|<δ2。
根据上述不等式，我们有：|f(x)-L1|+|f(x)-L2|<2ε根据三角不等式，我们有：|L1-L2|=|f(x)-L1+L1-L2|≤|f(x)-L1|+|L1-L2|<2ε而我们之前选择了ε=|L1-L2|/2，所以上述不等式可以写为：|L1-L2|<2ε=|L1-L2|这与假设L1≠L2相矛盾，所以我们的假设不成立，函数极限的极限是唯一确定的。
函数极限的性质及运算法则
=
23 -1 22 -10+3
=
-
7 3
x2
二、函数极限的运算法则
例例33
求 lim x3
x-3 x2 -9
解
解 lim
x 3
x-3 = lim x2 -9 x3
x-3 = lim (x-3)(x+3) x3
1 x+3 =
lim 1
xx33
=1
lim (x+3) 6
xx33
例例44
求 lim 2x-3 x1 x2 -5x+4
x
3 sin = 3 lim x x 3
x
= 31
=3
三、两个重要极限
(2)
lim(1 + 1 )x = e
x
x
lim(1 + 1 )n = e
n
n
三、两个重要极限
证明：当 x 1时, 有 [ x] x [ x] + 1,
(1 + 1 )[ x] (1 + 1 ) x (1 + 1 )[ x]+1 ,
解 因解解为 limlimx2x-25-x5+x4+4==121-25-51+14+4==0 0 xx11 2x2-x3-3 221-13-3
根据无穷大与无穷小的关系得
lim
x1
2x-3 x2 -5x+4
=
二、函数极限的运算法则
•讨论
有理函数的极限 lim P(x) = ? xx0 Q(x)
•提示
§2.3 函数极限的性质及运算法则
一、函数极限的性质 二、函数极限的运算法则 三、两个重要极限
函数极限的证明方法
函数极限的证明方法
求函数极限的证明方法如下：
1. 用数列逼近法证明：
- 证明极限存在：首先构造一个收敛于极限点的数列，然后利用极限的性质推导出函数极限存在。
- 证明极限值：利用序列极限的唯一性，将函数极限值与数列极限连接起来。
2. 用ε-δ定义证明：
- 采用ε-δ定义，给定一个ε>0，通过构造一个δ>0的范围，使得当x在δ范围内时，函数f(x)与极限L的误差小于ε。
- 利用函数与极限的收敛性质和函数的某些性质，推导出δ的表达式。
3. 利用函数收敛的性质证明：
- 利用函数极限的性质进行推导，例如函数的有界性、单调性等，推导出函数极限的存在和值。
4. 利用洛必达法则证明：
- 当函数存在形如0/0、∞/∞、∞-∞等形式的不定式时，可以利用洛必达法则将该不定式化为0/0形式，然后对该不定式进行求导，最后再次应用洛必达法则来推导出极限存在。
5. 利用函数级数证明：
- 将函数展开成级数形式，然后利用级数的性质将函数极限与级数极限进行连接。
在具体的数学问题中，可以根据题目和函数性质选择合适的证明方法来求函数的极限。
函数极限的性质
⑤定理的条件： limf(x),limg(x) 存在
商的情形还须加上分母的极限不为0
⑥定理简言之即是：和、差、积、商的极限
等于极限的和、差、积、商 ⑦定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对 任何一个过程都成立
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二、利用函数极限的性质计算某些函数的极限
已证明过以下几个极限：
x l x 0 C i= m C ,x l x 0 x i= x m 0 ,x l x 0 s ix m = i s n x 0 i ,x l n x 0 c ix m = o c x 0 ; s o
lim 1=0,
lim arc=t g.x
x x
x
2
（ 注意前四个极限中极限就是函数值 ）
这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时,
有五组基本极限作为公式用,. 参阅 [4]P37—38. 我们将陆
续证明这些公式.
.
利用极限性质，特别是运算性质求极限的原是：通过 有关性质, 把所求极限化为基本极限, 代入基本极限的 值, 即计算得所求极限.
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利用“迫敛性”和“四则运算”，可以从一些 “简单函数极限”出发，计算较复杂函数的极限。
先约去不为因 零x子 - 的 1后 无 再 穷 求 .小 极
lx i1m x2x + 22 - x1 -3=lx i1(m (x x+ +1 3))x x ((- -1 1))
= limx +1 = 1 . x1 x + 3 2
(消去零因子法)
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例10 求lx i m 27xx33+ +34xx22+ -1 5. 解 x时,分子 ,分母的极限都是.( 无 型穷) 大