山东省滨州市博兴县2020-2021学年高二上学期期中数学试题
2020~2021学年度第一学期高二期中测试数学试题
2020~2021学年度第一学期高二级期中测试数学试题注意事项：1.本试题共4页，四大题，22小题，满分120分，考试时间120分钟，答案必须填写在答题卡上，在试题上作答无效，考试结束后，只交答题卡。
2.作答前，认真浏览试卷，请务必规范、完整填写答题卡的卷头。
3.考生作答时，请使用0.5mm黑色签字笔在答题卡对应题号的答题区域内作答。
第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.在△ABC中，B=135°，C=15°，a=4，则此三角形的最大边长为()A. 5√2B. 5√3C. 4√2D. 4√32.在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2−b2−c2=−√2bc，则角A的数为()A. 30°B. 45°C. 120°D. 135°3.在△ABC中，c=√3，b=1，B=30∘，则△ABC的面积为()A. √32或√3 B. √34或√32C. √34或√3 D. √34.已知正数组成的等比数列{a n}，若a3⋅a18=100，那么a7+a14的最小值为()A. 20B. 25C. 50D. 不存在5.已知1、a1、a2、3成等差数列，1、b、4成等比数列，则a1+a2b=()A. 54B. −2C. 2D. ±26.在递增的等比数列{a n}中，a4，a6是方程x2−10x+16=0的两个根，则数列{a n}的公比q=()A. 2B. ±2C. 12D. 12或27.已知a>0，那么a−2+4a的最小值是()A. 1B. 2C. 4D. 58.设a>b，c>d则下列不等式中一定成立的是()A. a+c>b+dB. ac>bdC. a−c>b−dD. a+d>b+c9. 设p ：2x 2−3x +1≤0，q ：x 2−(2a +1)x +a(a +1)≤0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A. [0,12]B. (0,12)C. (−∞,0]∪[12,+∞)D. (−∞,0)∪(12,+∞)10. 命题“∃x 0>0，x 02−4x 0+3<0”的否定是( )A. ∀x ≤0，x 2−4x +3<0B. ∃x 0≤0，x 02−4x 0+3<0 C. ∀x >0，x 2−4x +3≥0D. ∃x 0>0，x 02−4x 0+3≥011. 若平面α的一个法向量为(1,2，0)，平面β的一个法向量为(2,−1,0)，则平面α和平面β的位置关系是( )A. 平行B. 相交但不垂直C. 垂直D. 重合12. 在空间直角坐标系中，点P(3,4，5)关于yOz 平面对称的点的坐标为( )A. (−3,4，5)B. (−3,−4,5)C. (3,−4,−5)D. (−3,4,−5)第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 已知空间向量m ⃗⃗⃗ =(1,−2x +1,2),n ⃗ =(y,3,x +z )，且m ⃗⃗⃗ =n ⃗ ，则x +2y +3z =__． 14. 在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)与点B(1,−3,1)，则|AB |=________，若在z轴上有一点M 满足|MA |=|MB |，则点M 的坐标为_________． 15. 记S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，a n =2a n−1+1，则S 6= 16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若sinAsinB =ba+c ，a =2c ，则cos A =________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17. 已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m⃗⃗⃗ =(cosA,a −2b)，n ⃗ =(2c,1)且m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ． (1)求角C ；(2)若c =2，△ABC 的面积为√3，求△ABC 的周长．18.设向量a⃗=(sinx,cosx)，b⃗ =(cosx,√3cosx)，x∈R，函数f(x)=a⃗•(a⃗+b⃗ ).(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)ΔABC中边a，b，c所对的角为A，B，C，若acosB+bcosA=2ccosC，c=√3，)取最大值时，求△ABC的面积．当f(B219.已知数列{a n}满足：21⋅a1+22⋅a2+23⋅a3+⋯+2n⋅a n=(n−1)⋅2n+1+2对一切n∈N∗成立．(1)求数列{a n}的通项公式；}的前n项和S n．(2)求数列{1a n⋅a n+2(3n+S n)对一切正整数n都成立，20.已知数列{a n}的前n项和为S n，且a n=12(1)证明：数列{a n+3}是等比数列，并求出数列{a n}的通项公式；(a n+3)，求数列{b n}的前n项和B n．(2)设b n=n321.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，点E为棱AB的中点．(1)证明：A1B//平面D1CE；(2)求平面A1BC1与平面CED1所成二面角的正弦值．22.已知四棱锥P−ABCD中PA⊥平面ABCD，且PA=4PQ=4，底面为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=2,CD=1,AD=√2，M，N分别是PD，PB的中点．(1)求证：MQ//平面PCB；(2)求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小；(3)求点A到平面MCN的距离．答案和解析1. 解：∵B =135°，∴b 为最大边，A =180°−135°−15°=30°， 由正弦定理得b =asinB sinA=4×√2212=4√2．故选：C ．2.解：因为a 2−b 2−c 2=−√2bc ，由余弦定理可得，cosA =b2+c 2−a 22bc=√22， 因为A 为三角形的内角，故A =45°．故选：B ．3.解：中，B =30∘，b =1，c =√3，，∴sinC =√32，∴C =60∘或120∘，∴A =90∘或30∘，∴△ABC 的面积为12bcsinA =√32或√34．故选B ．4.解：∵正数组成的等比数列{a n }，a 3⋅a 18=100，∴a 14⋅a 7=a 3⋅a 18=100，a 7>0，a 14>0，∴a 7+a 14≥2√a 14⋅a 7=2√100=20， 当且仅当a 7=a 14时取等号，∴a 7+a 14的最小值为20．故选：A ．5.解：由1、a 1、a 2、3成等差数列，可得a 1+a 2=1+3=4，又1、b 、4成等比数列，可得b 2=4，解得b =±2，则a 1+a 2b=42=2或a 1+a 2b=4−2=−2，故选：D ．6.解：根据题意，a 4，a 6是方程x 2−10x +16=0的两个根，则有{a 4+a 6=10a 4a 6=16，解可得：{a 4=8a 6=2或{a 4=2a 6=8，又由等比数列{a n }是递增的，必有{a 4=2a 6=8，则有q 2=a6a 4=4，即q =2；故选：A ．7.解：根据题意，a −2+4a =a +4a −2，又由a >0，则a −2+4a =a +4a −2≥2√a ×4a −2=2，当且仅当a =2时等号成立，即a −2+4a 的最小值是2；故选：B ．8.解：∵b <a ，d <c ，∴设b =−1，a =−2，d =2，c =3选项B ，(−2)×3>(−1)×2，不成立选项C ，−2−3>−1−2，不成立 选项D ，−2+2>−1+3，不成立故选：A ．9.解：p ：2x 2−3x +1≤0，解得：12≤x ≤1，q ：x 2−(2a +1)x +a(a +1)≤0，解得：a ≤x ≤a +1．若q 是p 的必要不充分条件，则{a ≤121≤a +1，解得：0≤a ≤12．故选：A ．10.解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“∃x 0>0，x 02−4x 0+3<0”的否定是∀x >0，x 2−4x +3≥0．故选：C ．11.解：由题意可得(1,2，0)⋅(2，−1，0)=1×2−2×1+0×0=0，故两个平面的法向量垂直，故平面α和平面β的位置关系为垂直，故选C ．12.解：在空间直角坐标系中，关于yOz 平面对称，y ，z 不变．点P(3,4，5)关于yOz 平面对称的点的坐标为(−3,4，5)， 故选A ． 13.解：因为空间向量m⃗⃗⃗ =(1,−2x +1,2),n ⃗ =(y,3,x +z )，且m ⃗⃗⃗ =n ⃗ ， 所以{1=y−2x +1=32=x +z ，所以x =−1，y =1，z =3，所以x +2y +3z =−1+2+9=10;故答案为10．14.解：∵点A(1,0，2)与点B(1,−3,1)，∴|AB|=√(1−1)2+(−3−0)2+(1−2)2=√10， ∵在z 轴上有一点M 满足|MA|=|MB|，∴设M(0,0，c)，则√(1−0)2+(0−0)2+(2−c)2=√(1−0)2+(−3−0)2+(1−c)2， 解得c =−3，∴点M 坐标为(0,0，−3)．故答案为：(0,0，−3)．15.解：∵a n =2a n−1+1， ∴a n +1=2(a n−1+1)，故数列{a n +1}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n +1=2n ， 则a n =2n −1，∴S n =2×(1−2n )1−2−n =2n+1−n −2，则S 6=27−8=120．16.解：由题意，sin Asin B =ba+c ，由正弦定理可得ab =ba+c ，因为a =2c ，所以a b =ba+a 2，即b 2=3a 22，所以b =√32a ，所以在△ABC 中由余弦定理得cosA =b 2+c 2−a 22bc=32a 2+14a 2−a 22×√2a×2=√64．故答案为√64．17.解：(1)由m⃗⃗⃗ =(cosA,a −2b)，n ⃗ =(2c,1)且m ⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ． 所以2ccosA =2b −a ．由正弦定理得：2sinCcosA =2sinB −sinA ． 2sinCcosA =2sin(A +C)−sinA =2sinAcosC +2cosAsinC −sinA ，整理得2sinAcosC =sinA ，由sinA >0，可得cosC =12，由于0<C <π，所以C =π3． (2)由于，△ABC 的面积为√3，所以12absinC =√3，整理得ab =4，由余弦定理，c 2=a 2+b 2−2abcosC =4，整理得(a +b)2−4=3ab ，解得a +b =4． 所以三角形的周长为a +b +c =4+2=6．18.解：(1)由已知f(x)=a →⋅(a →+b →)=sinx(sinx +cosx)+cosx(cosx +√3cosx)=12sin2x +√32cos2x +1+√32=sin(2x +π3)+1+√32，所以的最小正周期是T =2π2=π;(2)由正弦定理得sinAcosB +sinBbcosA =2sinCcosC ， 即sin(A +B)=sinC =2sinCcosC ， 因为sinC ≠0，所以cosC =12，又0<C <π，所以C =π3，又f(B 2)=sin(B +π3)+1+√32，因为B ∈(0,2π3)，所以 B =π6时f(B2)取到最大值， 此时A =π2，又c =√3,所以b =1，得S ΔABC =12bcsinA =√32．19.解：(1)由题意，当n =1时，21⋅a 1=2，解得a 1=1，当n ≥2时，由21⋅a 1+22⋅a 2+23⋅a 3+⋯+2n ⋅a n =(n −1)⋅2n+1+2，可得 21⋅a 1+22⋅a 2+23⋅a 3+⋯+2n−1⋅a n−1=(n −2)⋅2n +2， 两式相减，可得2n ⋅a n =(n −1)⋅2n+1+2−(n −2)⋅2n −2=[2(n −1)−(n −2)]⋅2n =n ⋅2n ， ∴a n =n ，当n =1时，a 1=1也符合上式，∴a n =n ，n ∈N ∗． (2)由(1)知，1a n ⋅a n+2=1n(n+2)=12(1n−1n+2)，∴S n =1a 1⋅a 2+1a 2⋅a 3+1a 3⋅a 4+1a 4⋅a 5+⋯+1a n−1⋅a n+1+1a n ⋅a n+2=12(1−13)+12(12−14)+12(13−15)+12(14−16)+⋯+12(1n −1−1n +1)+12(1n −1n +2) =12(1−13+12−14+13−15+14−16+⋯+1n −1−1n +1+1n −1n +2) =12(1+12−1n+1−1n+2)=n(3n+5)4(n+1)(n+2)．20.解：(1)数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n =12(3n +S n )，由已知得S n =2a n −3n ①，所以S n+1=2a n+1−3(n +1)② 由②−①得：a n+1=2a n +3，即a n+1+3=2(a n +3)，所以a n+1+3a n +3=2(常数)，又a 1=2a 1−3，解得 a 1=3．所以数列{a n +3}是以6为首项，2为公比的等比数列． 故a n +3=6⋅2n−1，即a n =3(2n −1)．(2)由于b n =n3(a n +3)，所以b n =n3⋅(3×2n −3+3)=n ⋅2n ．设B n =1⋅2+2⋅22+⋯+n ⋅2n ③2B n =1⋅22+2⋅23+⋯+n ⋅2n+1 ④ ④−③得：B n =−(2+22+23+⋯+2n )+n ⋅2n+1=−2n+1−22−1+n ⋅2n+1．整理得B n =2+(n −1)⋅2n+1．21.(1)证明：在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1= //BC ，∴四边形ABCD 为平行四边边形，∴A 1B//CD 1，∵CD 1⊂平面D 1CE ，A 1B ⊄平面D 1CE ，∴A 1B 平行平面D 1CE ， (2)解：如图：以点D 为坐标原点，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D −xyz ：设AB =2，则D(0,0，0)，A(2,0，0)，B(2,2，0)，E(2,1，0)，C 1(0,2，2)，A 1(2,0，2)，D 1(0,0，2)，C(0,2，0)，设平面A 1BC 1的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)， 由A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2)，A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)，则{A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ =2y −2z =0,A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ⃗ =−2x +2y =0,取x =1，y =1，z =1，则n ⃗ =(1,1，1) 设平面CED 1的法向量为m ⃗⃗⃗ =(a,b ，c)，由D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−2)，EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1，0)， 则{D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m ⃗⃗⃗ =2b −2c =0,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m ⃗⃗⃗ =−2a +b =0,取a =1，b =2，z =2，则m⃗⃗⃗ =(1,2，2)， 可得m ⃗⃗⃗ ·n ⃗ =3，|m ⃗⃗⃗ |=3，|n ⃗ |=√3，cos <m⃗⃗⃗ ·n ⃗ >=53√3=5√39， ∴平面A 1BC 1与平面CED 1所成二面角的正弦值为√1−(5√39)2=√69．22.解：以A 为原点，以AD ，AB ，AP 分别为x ，y ，z 建立空间直角坐标系O −xyz ，由AB =2,CD =1,AD =√2，PA =4PQ =4，M ，N 分别是PD ，PB 的中点， 可得：A(0,0,0),B(0,2,0),C(√2,1,0),D(√2,0,0),P(0,0,4),Q(0,0,3),M(√22,0,2),N(0,1,2)，∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,−1,0),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−4)，MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,0,1) 设平面的PBC 的法向量为n 0⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z)， 则有：{n 0⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒(x,y,z)⋅(√2,−1,0)=0⇒√2x −y =0n 0⃗⃗⃗⃗ ⊥PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒(x,y,z)⋅(0,2,−4)=0⇒2y −4z =0令z =1，则x =√2,y =2⇒n 0⃗⃗⃗⃗ =(√2,2,1)，(3分) ∴MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 0⃗⃗⃗⃗ =(−√22,0,1)⋅(√2,2,1)=0，又MQ ⊄平面PCB ，∴MQ//平面PCB ；(2)设平面的MCN 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，又CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√22,−1,2),CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,0,2) 则有：{n ⃗ ⊥CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒(x,y,z)⋅(−√22,−1,2)=0⇒−√22x −y +2z =0n ⃗ ⊥CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⇒(x,y,z)⋅(−√2,0,2)=0⇒−√2x +2z =0令z =1，则x =√2,y =1⇒n ⃗ =(√2,1,1)， 又AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,4)为平面ABCD 的法向量， ∴cos〈n ⃗ ,AP⃗⃗⃗⃗⃗ >=n⃗⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |⋅|AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=42×4=12，又截面MCN 与底面ABCD 所成二面角为锐二面角，∴截面MCN 与底面ABCD 所成二面角的大小为π3，(3)∵CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√2,−1,0)，∴所求的距离d =|n ⃗⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗||n ⃗⃗ |=|−√2×√2−1×1+1×0|2=32；。
2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题及答案详解
第 1 页 共 21 页 2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．“10x ->”是“210x ->”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件2．已知命题:p x ∀∈R ，2210x +>，则p ⌝是（ ）．A ．x ∀∈R ，2210x +≤B ．x ∃∈R ，2210x +>C ．x ∃∈R ，2210x +<D ．x ∃∈R ，2210x +≤3．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据(,)(1,2,,)i i x y i n =L ，用最小二乘法建立的回归方程为$0.8585.71y x =-，则下列结论中不正确的是（ ）．A ．y 与x 有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(,)x yC ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg4．设α，β是两个不同的平面，l 是一条直线，下列命题中：①若l α⊥，αβ⊥，则l β∥；②若l α∥，αβ∥，则l β∥；③若l α⊥，αβ∥，则l β⊥；④若l α∥，αβ⊥，则l β⊥．其中正确命题的个数是（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．45．已知两条直线2y ax =-和3(2)10x a y -++=互相平行，则a 等于（ ）．A ．1或3-B ．1-或3C ．1或3D ．1-或3- 6．已知θ为第一象限角，设(3,sin )a θ=-r ，(cos ,3)b θ=r ，且a b r r ⊥，则θ一定为（ ）． A ．ππ()3k k +∈Z B ．π2π()6k k +∈Z C ．π2π()3k k +∈Z D ．ππ()6k k +∈Z 7．已知数列}{n a 为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2312a a a ⋅=，且4a 与72a 的等差中项为54，则5S =（ ）．A ．35B ．33C ．31D ．29 8．若正三棱锥的正视图与俯视图如右图所示，底面是正三角形，则它的侧视图的面积为（ ）．。
2020-2021学年高二数学上学期期中测试试题
2020-2021学年高二数学上学期期中测试试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1、 本试卷共4页，包含填空题(第1题～第14题)、解答题(第15题～第20题)两部分。
本试卷满分160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将答题纸上交。
2、 答题前，请务必将自己的姓名、考试证号、座位号用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷及答题纸上。
3、 作答时必须用0.5毫米黑色签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
4、 如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
1. 命题“∀0x ∈R ，02x>0”的否定是 ▲ .2. 经过点()2,1P 且与直线0943=++y x 垂直的直线方程是 ▲ .3. 已知正四棱柱的底面边长为2cm ，高为1cm ，则正四棱柱的侧面积是 ▲ 2cm .4. 圆心是（-1，0）且过原点的圆的方程是 ▲ .5. 已知m 为实数，直线1:30l mx y ++=，2:(32)20l m x my -++=， 则“1m =”是“12//l l ”的 ▲ 条件.（请在“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要” 中选择一个）6. 设直线x y =与圆C ：0222=-+ay y x 相交于A ，B 两点，若32=AB ，则圆C 的半径为 ▲ .7. 已知圆柱M 的底面半径为3，高为2，圆锥N 的底面直径和高相等，若圆柱M 和圆锥N 的体积相同，则圆锥N 的高为 ▲ . 8. 已知平面α，β，直线n m ,，给出下列命题：①若βα⊥， ,m n αβ⊥⊥，则m n ⊥.②若//m α，//,n m n β⊥，则βα⊥， ③若//αβ，//,//m n αβ，则||m n ，④若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥， 其中是真命题的是 ▲ .（填写所有真命题的序号）9. 圆221:4450C x y x y ++--=与圆222:8470C x y x y +-++=的公切线有 ▲ 条. 10. 如图，长方体1111ABCD A B C D -中，O 为1BD 的中点，三棱锥O ABD -的体积为1V ，四棱锥11O ADD A -的体积为2V ，则12V V 的值为 ▲ .11. 已知命题12:≤-x p ，命题0)4)((:≤+--a x a x q ，若q p 是成立的充分非必要 条件，则实数a 的取值范围是 ▲ .12. 关于x 的方程222+=-kx x x 有两个不同的实数根，则k 的范围为 ▲ . 13. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2240x y x +-=．若直线)2(+=x k y 上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围为 ▲ .14. 已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a －4)2＝1．若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则实数a 的取值范围为 ▲ . 二、解答题：(本大题共90分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)设命题p ：032,2>--∈a a R a ；命题q ：不等式x 2＋ax ＋1>0∀x ∈R 恒成立，若p 且q为假，p 或q 为真，求a 的取值范围．16．(本小题满分14分)如图，在三棱锥ABC P -中，D ，E ，F 分别为棱AB AC PC ,, 的中点.已知 AC PA ⊥,,6=PA .5,8==DF BC 求证: (1)直线//PA 平面DEF ；(2) 平面⊥BDE 平面ABC .17.(本小题满分14分)矩形ABCD 的两条对角线相交于点M(2，0),AB 边所在直线的方程为,063=--y x 点()1,1-T 在AD 边所在直线上.(1)求AD 边所在的直线方程及A 的坐标. （2）求矩形ABCD 外接圆方程.18.(本小题满分16分)在三棱锥P - ABC 中，已知平面PBC ⊥平面ABC ． (1)若AB ⊥BC ，CP ⊥PB ，求证：CP ⊥PA ：(2)若过点A 作直线⊥l 平面ABC ，求证：l //平面PBC ．19. (本小题满分16分)已知圆O :122=+y x 和A (4，2)(1)过点A 向圆O 引切线l ,求切线l 的方程.(2)设P 为圆A ：9)2-()4-(22=+y x 上的任意一点，过点P 向圆O 引切线，切点为B.试探究：平面内是否存在一定点C,使得PCPB为定值，若存在，求出此定值，若不存在，说明理由.20. (本小题满分16分)已知圆M 的方程为062222=---+y x y x ，以坐标原点为圆心的圆N 与圆M 相切.(1)求圆N 的方程；(2)圆N 与x 轴交于E ，F 两点，圆N 内的动点D 使得DE ，DO ，DF 成等比数列，求DEDF •的取值范围；(3)过点M 作两条直线分别与圆N 相交于A ，B 两点，且直线MA 和直线MB 的倾斜角互补，试判断直线MN 和AB 是否平行?并说明理由.xx 第一学期期中测试高二数学试题参考答案一、填空 1、02,00≤∈∃x R x 2、0234=+-y x 3、8 4、()1122=++y x5、充分不必要6、67、 68、①④9、3 10、21 11、[]5,312、⎪⎭⎫⎢⎣⎡--43,1 13、[]1,1-14、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---222,222 二、解答 15.解：由题知 q p ,一真一假。
山东省滨州市2020版高二上学期期中数学试卷D卷
山东省滨州市2020版高二上学期期中数学试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，其上一点P(m，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为（）A .B .C .D .2. （2分）如图，直二面角α﹣l﹣β中，AB⊂α，CD⊂β，AB⊥l，CD⊥l，垂足分别为B、C，且AB=BC=CD=1，则AD的长等于（）A .B .C . 2D .3. （2分）在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是（）A .B .C .D .4. （2分）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是（）A . 6<k<9B . k>3C . k>9D . k<35. （2分） P是二面角α﹣AB﹣β棱上的一点，分别在α，β平面上引射线PM，PN，如果∠BPM=∠BPN=45°，∠MPN=60°，那么二面角α﹣AB﹣β的大小为（）A . 60°B . 70°C . 80°D . 90°6. （2分）已知F是抛物线x2=4y的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点轨迹方程是（）A . x2=y﹣B . x2=2y﹣C . x2=2y﹣2D . x2=2y﹣17. （2分） (2018高二上·寿光月考) 焦点为，且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为（）A .B .C .D .8. （2分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的，底面边长是侧棱长2倍，D、E是A1C1、AC的中点，则下面判断不正确的为（）A . 直线A1E∥平面B1DCB . 直线AD⊥平面B1DCC . 平面B1DC⊥平面ACC1A1D . 直线AC与平面B1DC所成的角为60°二、填空题 (共7题；共7分)9. （1分）若双曲线的实轴长是离心率的2倍，则m=________10. （1分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________11. （1分） (2017高二上·南宁月考) 已知椭圆方程为，M是椭圆上一动点，和是左、右两焦点，由向的外角平分线作垂线，垂足为N，则N点的轨迹方程为________.12. （1分） (2018高二下·南宁月考) 已知椭圆的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点，连接，若则的离心率 ________.13. （1分）(2017·山东模拟) 已知F1 ， F2是椭圆 + =1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于P、Q两点，则△PQF2的周长等于________．14. （1分）如图，为测量坡高MN，选择A和另一个山坡的坡顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN=60°，C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°；从C点测得∠MCA=60°．已知坡高BC=50米，则坡高MN=________ 米．15. （1分）(2017·焦作模拟) 双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐进线与直线x﹣y+3=0平行，则此双曲线的离心率为________．三、解答题 (共5题；共35分)16. （5分）(2017·昆明模拟) 如图，在底面是菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=PC=1，，E为线段PD上一点，且PE=2ED．（Ⅰ）若F为PE的中点，证明：BF∥平面ACE；（Ⅱ）求二面角P﹣AC﹣E的余弦值．17. （5分） (2017高三上·长沙开学考) 已知P是抛物线E：y2=2px（p＞0）上一点，P到直线x﹣y+4=0的距离为d1 ， P到E的准线的距离为d2 ，且d1+d2的最小值为3 ．（Ⅰ）求抛物线E的方程；（Ⅱ）直线l1：y=k1（x﹣1）交E于点A，B，直线l2：y=k2（x﹣1）交E于点C，D，线段AB，CD的中点分别为M，N，若k1k2=﹣2，直线MN的斜率为k，求证：直线l：kx﹣y﹣kk1﹣kk2=0恒过定点．18. （10分） (2016高三上·遵义期中) （在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x2+y2=1，以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l：ρ（2cosθ﹣sinθ）=6．（1）将曲线C1上的所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的、2倍后得到曲线C2，试写出直线l的直角坐标方程和曲线C2的参数方程；（2）在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离最大，并求出此最大值．19. （10分）(2020·日照模拟) 如图，扇形的半径为，圆心角，点为弧上一点，平面且，点且，∥平面．（1）求证：平面平面；（2）求平面和平面所成二面角的正弦值的大小.20. （5分）(2017·齐河模拟) 已知椭圆C：经过点，左右焦点分别为F1、F2 ，圆x2+y2=2与直线x+y+b=0相交所得弦长为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设Q是椭圆C上不在x轴上的一个动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交椭圆C于M、N两个不同的点⑴试探究的值是否为一个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．⑵记△QF2M的面积为S1 ，△OF2N的面积为S2 ，令S=S1+S2 ，求S的最大值．参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共7题；共7分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共5题；共35分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、。
2020年山东省滨州市博兴县高二上学期期中数学试卷和解析(理科)
2018学年山东省滨州市博兴县高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）命题“∀x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．不存在x0∈R，使得B．∀x∈R，都有x2＜0C．∃x0∈R，使得D．∃x0∈R，使得2．（5分）平面内有两定点A，B及动点P，设命题甲：“|PA|与|PB|之差的绝对值是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线”，那么命题甲是命题乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）从一堆产品（其中正品与次品数均多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数，则下列每对事件中，是对立事件的是（）A．恰好有1件次品和恰好有两件次品B．至少有1件次品和全是次品C．至少有1件次品和全是正品D．至少有1件正品和至少有1件次品4．（5分）如图是总体密度曲线，下列说法正确的是（）A．组距越大，频率分布折线图越接近于它B．样本容量越小，频率分布折线图越接近于它C．阴影部分的面积代表总体在（a，b）内取值的百分比D．阴影部分的平均高度代表总体在（a，b）内取值的百分比5．（5分）双曲线﹣=1的渐近线方程是（）A． B． C． D．6．（5分）甲、乙两位同学在5次考试中的数学成绩用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示数学成绩的十位数字，两边的数字表示数学成绩的个位数字．若甲、乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（）A．＜，甲比乙成绩稳定 B．＜，乙比甲成绩稳定C．＞，甲比乙成绩稳定D．＞，乙比甲成绩稳定7．（5分）某数据由大到小为10，5，x，2，2，1，其中x不是5，该组数据的众数是中位数的，该组数据的标准差为（）A．3 B．4 C．5 D．68．（5分）已知F是抛物线y2=2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=11，则线段AB 的中点到y轴的距离为（）A．3 B．4 C．5 D．79．（5分）执行如图所示程序框图，若输入a，b，i的值分别为6，4，1，则输出a和i的值分别为（）A．2，4 B．3，4 C．2，5 D．2，610．（5分）若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，2） C．（1，+∞）D．（0，1）11．（5分）若某公司从5位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用3人，这5人被录用的机会均等，则甲、乙同时被录用的概率为（）A．B．C．D．12．（5分）已知点F1、F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A、B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（）A．2 B．4 C． D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1﹣50号，并分组，第一组1﹣5号，第二组6﹣10号，…，第十组45﹣50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为的学生．14．（5分）已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米．当水面升高1米后，水面宽度是米．15．（5分）如图，给出的是计算的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是．16．（5分）已知圆M：x2+y2+6x+5=0，x2+y2﹣6x﹣91=0，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，则动圆圆心P的轨迹方程为．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知正方形ABCD的边长为1，弧BD是以点A为圆心的圆弧．（1）在正方形内任取一点M，求事件“|AM|≤1”的概率；（2）用大豆将正方形均匀铺满，经清点，发现大豆一共28粒，其中有22粒落在圆中阴影部分内，请据此估计圆周率π的近似值（精确到0.01）．18．（12分）某地最近十年对某商品的需求量逐年上升，下表是部分统计数据：需要量（万件）236246257276286（1）利用所给数据求年需求量y与年份x之间的回归直线方程=；（2）预测该地2018年的商品需求量．19．（12分）已知命题p：∀x∈R，4mx2+x+m≤0．（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若有命题q：∃x∈[2，8]，mlog2x+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数m 的取值范围．20．（12分）从某小区随机抽取40个家庭，收集了这40个家庭去年的月均用水量（单位：吨）的数据，整理得到频数分布表和频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a，b的值；（2）从该小区随机选取一个家庭，试估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率；（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2个家庭，求其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率．21．（12分）已知抛物线的焦点F也是椭圆的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为．（1）求椭圆C2的方程；（2）经过点（﹣1，0）作斜率为k的直线l与曲线C2交于A，B两点，O是坐标原点，是否存在实数k，使O在以AB为直径的圆外？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由．22．（12分）设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C 在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．2018学年山东省滨州市博兴县高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）命题“∀x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．不存在x0∈R，使得B．∀x∈R，都有x2＜0C．∃x0∈R，使得D．∃x0∈R，使得【解答】解：命题“∀x∈R，都有x2≥0”为全程命题，其否定为特称命题“∃x0∈R，使得”．故选：D．2．（5分）平面内有两定点A，B及动点P，设命题甲：“|PA|与|PB|之差的绝对值是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线”，那么命题甲是命题乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：设“|PA|与|PB|之差的绝对值是定值|k|，若动点P的轨迹为双曲线，则|k|要小于A、B为两个定点间的距离．当|k|大于A、B为两个定点间的距离时动点P的轨迹不是双曲线．故命题甲是命题乙的必要不充分条件，故选：B．3．（5分）从一堆产品（其中正品与次品数均多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数，则下列每对事件中，是对立事件的是（）A．恰好有1件次品和恰好有两件次品B．至少有1件次品和全是次品C．至少有1件次品和全是正品D．至少有1件正品和至少有1件次品【解答】解：∵从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，观察正品件数和次品件数，∴在A中，恰好有1件次品和恰好有2件次品不能同时发生，但能同时不发生，∴恰好有1件次品和恰好有2件次品是互斥事件但不是对立事件；在B中，至少有1件次品和全是次品，能同时发生，∴至少有1件次品和全是次品不是互斥事件，故不是对立事件；在C中，至少有1件次品和全是正品不能同时发生，也不能同时不发生，∴至少有1件次品和全是正品是对立事件，故C成立；在D中，至少有1件正品和至少有1件次品能同时发生，∴至少有1件正品和至少有1件次品不是互斥事件，故不是对立事件；故选：C．4．（5分）如图是总体密度曲线，下列说法正确的是（）A．组距越大，频率分布折线图越接近于它B．样本容量越小，频率分布折线图越接近于它C．阴影部分的面积代表总体在（a，b）内取值的百分比D．阴影部分的平均高度代表总体在（a，b）内取值的百分比【解答】解：总体密度曲线与频率分布折线图关系如下：当样本容量越大，组距越小时，频率分布折线图越接近总体密度曲线，但它永远达不到总体密度曲线．在总体密度曲线中，阴影部分的面积代表总体在（a，b）内取值的百分比，故选：C．5．（5分）双曲线﹣=1的渐近线方程是（）A． B． C． D．【解答】解：∵双曲线标准方程为，其渐近线方程是=0，整理得y=±x．故选：B．6．（5分）甲、乙两位同学在5次考试中的数学成绩用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示数学成绩的十位数字，两边的数字表示数学成绩的个位数字．若甲、乙两人的平均成绩分别是、，则下列说法正确的是（）A．＜，甲比乙成绩稳定 B．＜，乙比甲成绩稳定C．＞，甲比乙成绩稳定D．＞，乙比甲成绩稳定【解答】解：由题意可知甲的成绩为：72，77，78，86，92，乙的成绩为：78，88，88，90，91，∴=（72+77+78+86+92）=81，=（78+88+88+90+91）=87，=[（72﹣81）2+（77﹣81）2+（78﹣81）2+（86﹣81）2+（92﹣81）2]≈7.94，=[（78﹣87）2+（88﹣87）2+（88﹣87）2+（90﹣87）2+（91﹣87）2]≈5.20，∴＜，且＜，乙比甲成绩稳定．故选：B．7．（5分）某数据由大到小为10，5，x，2，2，1，其中x不是5，该组数据的众数是中位数的，该组数据的标准差为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：∵某数据由大到小为10，5，x，2，2，1，其中x不是5，该组数据的众数是中位数的，∴=2，解得x=4，∴这组数据的平均数=（10+5+4+2+2+1）=4，方差为S2=[（10﹣4）2+（5﹣4）2+（4﹣4）2+（2﹣4）2+（2﹣4）2+（1﹣4）2]=9，∴该组数据的标准差为S=3．故选：A．8．（5分）已知F是抛物线y2=2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=11，则线段AB 的中点到y轴的距离为（）A．3 B．4 C．5 D．7【解答】解：∵F是抛物线y2=2x的焦点F（，0），准线方程x=﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|=x1++x2+=11∴x1+x2=10，∴线段AB的中点横坐标为=5，∴线段AB的中点到y轴的距离为5，故选：C．9．（5分）执行如图所示程序框图，若输入a，b，i的值分别为6，4，1，则输出a和i的值分别为（）A．2，4 B．3，4 C．2，5 D．2，6【解答】解：模拟程序的运行，可得a=6，b=4，i=1执行循环体，i=2，满足条件a＞b，a=6﹣4=2执行循环体，i=3，不满足条件a＞b，不满足条件a=b，b=4﹣2=2执行循环体，i=4，不满足条件a＞b，满足条件a=b，输出a，i的值为2，4．故选：A．10．（5分）若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，2） C．（1，+∞）D．（0，1）【解答】解：∵方程x2+ky2=2，即表示焦点在y轴上的椭圆∴故0＜k＜1故选：D．11．（5分）若某公司从5位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用3人，这5人被录用的机会均等，则甲、乙同时被录用的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从甲、乙、丙、丁、戊中录用3人，共有C53=10种方法，其中甲、乙同时被录用，则剩余的一人从丙、丁、戊选，共有3种方法，故甲、乙同时被录用的概率为，故选：A．12．（5分）已知点F1、F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A、B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（）A．2 B．4 C． D．【解答】解：∵|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，不妨令|AB|=3，|BF2|=4，|AF2|=5，∵|AB|2+|BF2|2=|AF2|2，∴∠ABF2=90°，又由双曲线的定义得：|BF1|﹣|BF2|=2a，|AF2|﹣|AF1|=2a，∴|AF1|+3﹣4=5﹣|AF1|，∴|AF1|=3．∴|BF1|﹣|BF2|=3+3﹣4=2a，∴a=1．在Rt△BF1F2中，|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2=62+42=52，又|F1F2|2=4c2，∴4c2=52，∴c=，∴双曲线的离心率e==．故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）某班级有50名学生，现要采取系统抽样的方法在这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号1﹣50号，并分组，第一组1﹣5号，第二组6﹣10号，…，第十组45﹣50号，若在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为37的学生．【解答】解：这50名学生随机编号1～50号，并分组，第一组1～5号，第二组6～10号，…，第十组46～50号，在第三组中抽得号码为12的学生，则在第八组中抽得号码为12+（8﹣3）×5=37．故答案为：37．14．（5分）已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽8米．当水面升高1米后，水面宽度是米．【解答】解：由题意，建立如图所示的坐标系，抛物线的开口向下，设抛物线的标准方程为x2=﹣2py（p＞0）∵顶点距水面2米时，量得水面宽8米∴点（4，﹣2）在抛物线上，代入方程得，p=4∴x2=﹣8y当水面升高1米后，y=﹣1代入方程得：x=±2∴水面宽度是米故答案为：15．（5分）如图，给出的是计算的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i＞11？．【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：S=0，n=2，i=1不满足条件，第一圈：S=0+，n=4，i=2，不满足条件，第二圈：S=+，n=6，i=3，不满足条件，第三圈：S=++，n=8，i=4，…依此类推，不满足条件，第10圈：S=+++…+，n=22，i=11，不满足条件，第11圈：S=+++…+，n=24，i=12，此时，应该满足条件，退出循环其中判断框内应填入的条件是：i＞11？．故答案为：i＞11？．16．（5分）已知圆M：x2+y2+6x+5=0，x2+y2﹣6x﹣91=0，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，则动圆圆心P的轨迹方程为．【解答】解：（1）由圆M：（x+3）2+y2=4，可知圆心M（﹣3，0），半径为2；圆N：（x﹣3）2+y2=100，圆心N（3，0），半径为10．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+2+（10﹣R）=12，而|NM|=6，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，12为长轴长的椭圆，∴a=6，c=3，b2=a2﹣c2=27．∴曲线C的方程为=1，故答案为：．三、解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）已知正方形ABCD的边长为1，弧BD是以点A为圆心的圆弧．（1）在正方形内任取一点M，求事件“|AM|≤1”的概率；（2）用大豆将正方形均匀铺满，经清点，发现大豆一共28粒，其中有22粒落在圆中阴影部分内，请据此估计圆周率π的近似值（精确到0.01）．【解答】解：（1）如图，在边长为1的正方形ABCD内任取一点M，满足条件的点M落在扇形BAD内（图中阴影部分），由几何概型概率计算公式，有：，故事件“|AM|≤1”发生的概率为．（2）正方形内的28粒大豆有22粒落在扇形BAD内，频率为，用频率估计概率，由（1）知，∴，即π的近似值为3.14．18．（12分）某地最近十年对某商品的需求量逐年上升，下表是部分统计数据：（1）利用所给数据求年需求量y与年份x之间的回归直线方程=；（2）预测该地2018年的商品需求量．【解答】解：（1）由所给数据，计算=×（2008+2010+2012+2014+2016）=2012，=×（236+246+257+276+286）=260.2，（x i﹣）（y i﹣）=（﹣4）×（﹣24.2）+（﹣2）×（﹣14.2）+0+2×15.8+4×25.8=260，=（﹣4）2+（﹣2）2+02+22+42=40回归系数===6.5，=﹣=260.2﹣6.5×2012=﹣12817.8，所以所求回归直线方程为：=6.5x﹣12817.8；（2）由（1）中回归方程，把x=2018代入方程，计算=6.5×2018﹣12817.8=299.2≈300（万件），故可预测2018年的商品需求量为300万件．19．（12分）已知命题p：∀x∈R，4mx2+x+m≤0．（1）若p为真命题，求实数m的取值范围；（2）若有命题q：∃x∈[2，8]，mlog2x+1≥0，当p∨q为真命题且p∧q为假命题时，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）∵∀x∈R，4mx2+x+m≤0，m=0时不成立．∴4m＜0且△=1﹣16m2≤0，解得m≤﹣．∴p为真命题时，m≤﹣．（2）对于命题q：∃x∈[2，8]，mlog2x+1≥0⇒∃x∈[2，8]，m≥﹣，又x∈[2，8]时，﹣∈[﹣1，﹣]，∴m≥﹣1．∵p∨q为真命题且p∧q为假命题时，∴p真q假或p假q真，当p假q真，有，解得m＞﹣；当p真q假，有，解得m＜﹣1；∴p∨q为真命题且p∧q为假命题时，m＜﹣1或m＞﹣．20．（12分）从某小区随机抽取40个家庭，收集了这40个家庭去年的月均用水量（单位：吨）的数据，整理得到频数分布表和频率分布直方图．（1）求频率分布直方图中a，b的值；（2）从该小区随机选取一个家庭，试估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率；（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2个家庭，求其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率．【解答】解：（1）因为样本中家庭月均用水量在[4，6）上的频率为，在[6，8）上的频率为，所以，．（2）根据频数分布表，40个家庭中月均用水量不低于6吨的家庭共有28个，所以样本中家庭月均用水量不低于6吨的概率是，利用样本估计总体，从该小区随机选取一个家庭，可估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率约为0.7．（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本，则在[6，8）上应抽取人，记为A，B，C，D，在[8，10）上应抽取人，记为E，F，在[10，12）上应抽取人，记为G．从中任意选取2个家庭的所有基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（A，G），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（B，G），（C，D），（C，E），（C，F），（C，G），（D，E），（D，F），（D，G），（E，F），（E，G），（F，G），共21种．其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的事件有：（A，E），（A，F），（A，G），（B，E），（B，F），（B，G），（C，E），（C，F），（C，G），（D，E），（D，F），（D，G），共12种．所以其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率为．21．（12分）已知抛物线的焦点F也是椭圆的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为．（1）求椭圆C2的方程；（2）经过点（﹣1，0）作斜率为k的直线l与曲线C2交于A，B两点，O是坐标原点，是否存在实数k，使O在以AB为直径的圆外？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由C1：x2=4y知其焦点F的坐标为（0，1）．因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2﹣b2=1．①又C1与C2的公共弦的长为，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2=4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为（±，），所以．②联立①，②得a2=9，b2=8．故C2的方程为．（2）由题意直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x+1），联立方程，整理得（9+8k2）x2+16k2x+8k2﹣72=0．设A（x1，kx1+k），B（x2，kx2+k），于是有x1+x2=，x1x2=．因为，•=x1x2+（kx1+k）（kx2+k）==．所以．可知O恒在为AB直径的圆内．∴不存在实数k，使O在以AB为直径的圆外．22．（12分）设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C 在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．【解答】证明：如图因为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），所以经过点F的直线的方程可设为；代入抛物线方程得y2﹣2pmy﹣p2=0，若记A（x1，y1），B（x2，y2），则y1，y2是该方程的两个根，所以y1y2=﹣p2．因为BC∥x轴，且点c在准线x=﹣上，所以点c的坐标为（﹣，y2），故直线CO的斜率为．即k也是直线OA的斜率，当直线AB的斜率不存在时，结论亦成立．所以直线AC经过原点O．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。
2020-2021学年山东省滨州市博兴县高二(上)期中数学试卷(附答案详解)
2020-2021学年山东省滨州市博兴县高二（上）期中数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 直线y =√3x +2的倾斜角是( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 120°2. 圆(x +2)2+y 2=1与圆(x −2)2+(y −1)2=16的位置关系为( )A. 相交B. 相离C. 外切D. 内切3. 若双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =2x ，则C 的离心率为( )A. √6B. √5C. √62 D. √524. 如图，平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 交于点M ，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，则B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −12a ⃗ −12b ⃗ −c ⃗ B. 12a⃗ +12b ⃗ −c ⃗ C. 12a⃗ −12b ⃗ −c ⃗ D. −12a ⃗ +12b ⃗ −c ⃗5. 已知a ⃗ =(−2,−3,1)，b ⃗ =(2,0,4)，c⃗ =(−4,−6,2)，则下列结论正确的是( ) A. a ⃗ //c ⃗ ,b ⃗ //c ⃗ B. a ⃗ //c ⃗ ,a ⃗ ⊥b ⃗ C. a ⃗ //b ⃗ ,a ⃗ ⊥c ⃗ D. a ⃗ //b ⃗ ,b ⃗ ⊥c ⃗6. 已知平面α的法向量为n⃗ =(−2,−2,1)，点A(x,3,0)在平面α内，则点P(−2,1,4)到平面α的距离为103，则x =( )A. −1B. −11C. −1或−11D. −217. 过抛物线y 2=4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则以线段AB 为直径的圆一定( )A. 经过原点B. 经过点(−1,0)C. 与直线x =−1相切D. 与直线y =−1相切8. 如图，四棱锥S −ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的正方形，SA ⊥平面ABCD ，P 为底面ABCD 内的一动点，若PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PS⃗⃗⃗⃗⃗ =1，则动点P 的轨迹在( )A. 圆上B. 双曲线上C. 抛物线上D. 椭圆上二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.已知直线l过点P(2,4)，在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的方程可能为()A. x−y+2=0B. x+y−6=0C. x=2D. 2x−y=010.椭圆x216+y2m=1的焦距为2√7，则m的值为()A. 9B. 23C. 16−√7D. 16+√711.已知v⃗为直线l的方向向量，n1⃗⃗⃗⃗ ，n2⃗⃗⃗⃗ 分别为平面α，β的法向量(α,β不重合)，那么下列选项中，正确的是()A. n1⃗⃗⃗⃗ //n2⃗⃗⃗⃗ ⇔α//βB. n1⃗⃗⃗⃗ ⊥n2⃗⃗⃗⃗ ⇔α⊥βC. v⃗//n1⃗⃗⃗⃗ ⇔l//αD. v⃗⊥n1⃗⃗⃗⃗ ⇔l//α12.已知曲线C：mx2+ny2=1.()A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为√nC. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为y=±√−mnxD. 若m=0，n>0，则C是两条直线三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.两条平行直线l1：√3x−y+1=0与l2：ax+2y−3=0之间的距离为．14.已知点A(1,2,3)，B(0,1,2)，C(−1,0,λ)，若A，B，C三点共线，则λ=．15.已知圆C的圆心在第一象限，且在直线y=2x上，圆C与抛物线y2=4x的准线和x轴都相切，则圆C的方程为．16.设P为方程√(x+4)2+y2+√(x−4)2+y2=12表示的曲线上的点，M、N分别为圆(x+4)2+y2=4和圆(x−4)2+y2=1上的点，则|PM|+|PN|的最小值为．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.一个抛物线型的拱桥，当水面离拱顶2m时，水面宽4m.若水面下降1m，求水面的宽度．18.一动点到两定点距离的比值为非零常数λ，当λ≠1时，动点的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆已知两定点A、B的坐标分别为：A(4,0)、B(1,0)，动点M满足AM= 2BM．(1)求动点M的阿波罗尼斯圆的方程；(2)过P(2,3)作该圆的切线l，求l的方程．19.在正方体A1B1C1D1−ABCD中，棱长为1．(1)求直线BC与直线B1D所成角的余弦值；(2)求点A到平面B1CD的距离．20. 在①离心率e =12，②椭圆C 过点(1,32)，③△PF 1F 2面积的最大值为√3，这三个条件中任选一个，补充在下面(横线处)问题中，解决下面两个问题．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1且斜率为k 的直线l 交椭圆于P 、Q 两点，已知椭圆C 的短轴长为2√3，______． (1)求椭圆C 的方程；(2)若线段PQ 的中垂线与x 轴交于点N ，求证：|PQ||NF 1|为定值．21. 如图，四边形ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD =60°，FD ⊥平面ABCD ，BE//FD ，且DF =2BE =2．(1)求直线AD 和平面AEF 所成角的大小； (2)求平面AEF 与平面ADF 的夹角的大小．22.如图，在直角坐标系xOy中，DP⊥y轴，点D为垂足，点M在线段DP的延长线上，|DM|.当点P在圆x2+y2=3上运动时．且满足|DP|=√32(1)求点M的轨迹C的方程；(2)直线l：x=my+1(m≠0)交曲线C于A，B两点，求△AOB面积的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】直接利用直线倾斜角的正切值求斜率．本题考查了直线的倾斜角和斜率的关系，是基础题．【解答】解：设直线y=√3x+2的倾斜角是α，则tanα=√3，又0°≤α<180°，∴α=60°．故选：C．2.【答案】A【解析】【分析】先求出两个圆的圆心和半径，再根据圆心距大于半径之差而小于半径之和，可得两个圆相交．本题主要考查圆的标准方程，两个圆的位置关系的判定方法，属于基础题．【解答】解：圆(x+2)2+y2=1与圆(x−2)2+(y−1)2=16的圆心分别为(−2,0)、(2,1)；半径分别为1、4．圆心距为√(2+2)2+(1−0)2=√17，大于半径之差而小于半径之和，可得两个圆相交，故选：A．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．利用双曲线的渐近线推出b，a关系，然后求解离心率即可．【解答】解：由已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =2x ，可得ba =2， ∴e =c a =√1+(ba)2=√5，故选B ．4.【答案】D【解析】 【分析】本题考查了空间向量的线性运算，考查了计算能力，属于基础题．由于B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可得出结果． 【解答】解：B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∴B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =−c ⃗ −12a ⃗ +12b ⃗ ．故选D ．5.【答案】B【解析】 【分析】根据向量数量积运算公式和向量平行、垂直的充要条件，对各项逐个加以判别，即可得到本题答案．本题考查了空间向量数量积运算公式和向量平行、垂直的充要条件等知识，属于基础题． 【解答】解：∵a⃗ =(−2,−3,1),c ⃗ =(−4,−6,2)， ∴c ⃗ =2a ⃗ ，∴a ⃗ //c ⃗ ．又a ⃗ =(−2,−3,1),b ⃗ =(2,0,4)，则a ⃗ ⋅b ⃗ =(−2,−3,1)⋅(2,0,4)=−2×2+(−3)×0+1×4=0， ∴a ⃗ ⊥b ⃗ ． 故选：B ．6.【答案】C【解析】 【分析】求出AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 与n ⃗ 的夹角和|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |，根据P 到平面α的距离列方程求出x ． 本题考查空间向量在求空间距离中的应用，属于中档题． 【解答】解：AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2−x,−2,4)， |AP⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(−2−x)2+(−2)2+42=√x 2+4x +24， |n ⃗ |=√4+4+1=3，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−2(−2−x)+4+4=2x +12，∴cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=AP ⃗⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√x 2+4x+24×3，设AP 与平面α所成角为θ，则sinθ=3√x 2+4x+24，∴P 到平面α的距离为|AP|⋅sinθ=|2x+12|3=103，解得x =−1或x =−11． 故选：C ．7.【答案】C【解析】 【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设A ，B ，M 在准线上的射影为A′，B′，M′，由抛物线的定义和中位线定理、直线和圆的位置关系判断选项即可．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，直线和圆的位置关系的判断，考查运算能力，属于中档题． 【解答】解：y2=4x的焦点F(1,0)，准线方程为x=−1，设A，B，M在准线上的射影为A′，B′，M′，由|AF|=|AA′|，|BF|=|BB′|，|MM′|=12(|AA′|+|BB′|)=12(|AF|+|FB|)=12|AB|，可得线段AB为直径的圆与准线相切，与直线y轴相交，故选：C．8.【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设坐标，由数量积可得P的轨迹为圆．本题考查轨迹方程的求法，属于中档题．【解答】解：由题意建立空间直角坐标系，以AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，A为坐标原点，则B(2,0,0)，S(0,0,c)，设P(x,y,0)，因为PB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PS⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x,−y,0)(−x,−y,c)=x2−2x+y2+0=(x−1)2+y2，由题意可得：(x−1)2+y2=1，可得动点P的轨迹为：以(1,0)为圆心，以1为半径的圆．故选：A．9.【答案】BD【解析】【分析】分直线l过原点与不过原点两类讨论，当直线过原点时，直接写出直线方程，当直线不过原点时，设出直线的截距式方程x+y=m，代入P点坐标求得m值，则直线方程可求．本题考查直线方程的求法，考查分类讨论的数学思想方法，是基础题．【解答】解：当直线l过原点时，直线方程为y=2x，即2x−y=0；当直线l不过原点时，设直线方程为x+y=m，则m=2+4=6，∴直线方程为x+y−6=0．∴直线l的方程可能为2x−y=0或x+y−6=0．故选：BD．10.【答案】AB【解析】【分析】可得c=√7，然后求解m，即可得到结果．本题考查椭圆的焦距，是基本知识的考查．【解答】解：椭圆x216+y2m=1的焦距为2√7，即2c=2√7，可得c=√7，依题意得16−m=7或m−16=7，解得m=9或m=23，所以m的值为9或23．故选：AB．11.【答案】AB【解析】【分析】利用平面的法向量、直线的方向向量的性质即可判断出正误．本题考查了平面的法向量、直线的方向向量的性质、线面面面位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解答】解：v⃗为直线l的方向向量，n1⃗⃗⃗⃗ ，n2⃗⃗⃗⃗ 分别为平面α，β的法向量(α,β不重合)，则n1⃗⃗⃗⃗ //n2⃗⃗⃗⃗ ⇔α//β，n1⃗⃗⃗⃗ ⊥n2⃗⃗⃗⃗ ⇔α⊥β，v⃗//n1⃗⃗⃗⃗ ⇔l⊥α，v⃗⊥n1⃗⃗⃗⃗ ⇔l//α或l⊂α．因此AB正确．故选：AB．12.【答案】ACD【解析】【分析】根据所给条件，逐一分析对应的方程形式，结合椭圆、圆、双曲线方程的定义进行判断即可．本题考查圆锥曲线方程的定义，属于中档题．【解答】解：A.若m>n>0，则1m <1n，则根据椭圆定义，知x21m+y21n=1表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确；B.若m=n>0，则方程为x2+y2=1n ，表示半径为√n的圆，故B错误；C.若m<0，n>0，则方程为x21m+y21n=1，表示焦点在y轴的双曲线，故此时渐近线方程为y=±√−mnx，若m>0，n<0，则方程为x21m+y21n=1，表示焦点在x轴的双曲线，故此时渐近线方程为y=±√−mnx，故C正确；D.当m=0，n>0时，则方程为y=√n表示两条直线，故D正确；故选：ACD．13.【答案】14【解析】 【分析】利用平行线，求解a ，然后利用平行线之间的距离公式求解即可．本题考查平行线之间的距离公式的应用，平行线的性质，是基本知识的考查． 【解答】解：两条平行直线l 1：√3x −y +1=0与l 2：ax +2y −3=0， 可得a =−2√3，所以l 2：√3x −y +32=0，所以两条平行直线l 1：√3x −y +1=0与l 2：ax +2y −3=0之间的距离为：|32−1|√3+1=14． 故答案为：14．14.【答案】1【解析】 【分析】利用坐标表示向量，由向量共线列方程求出λ的值． 本题考查了空间向量的共线定理应用问题，是基础题． 【解答】解：点A(1,2,3)，B(0,1,2)，C(−1,0,λ)， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,−1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,λ−2)； 若A ，B ，C 三点共线，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ //BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ； 即−1−1=−1−1=λ−2−1，解得λ=1．故答案为：1．15.【答案】(x −1)2+(y −2)2=4【解析】 【分析】由题意利用直线和圆的位置关系求出圆心和半径，可得圆的标准方程．本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆的位置关系的应用，属于基础题．【解答】解：∵圆C的圆心在第一象限，且在直线y=2x上，故可设圆心为C(a,2a)，a>0，∵圆C与抛物线y2=4x的准线x=−1和x轴都相切，故有|a+1|=|2a|，解得a=1，或a=−13(舍去)，故半径为2，则圆C的方程为(x−1)2+(y−2)2=4，故答案为：(x−1)2+(y−2)2=4．16.【答案】9【解析】【分析】由题意得P是椭圆方程为x236+y220=1上任意一点，求得其焦点坐标F1(−4,0)，F2(4,0)，而两圆：(x+4)2+y2=4和(x−4)2+y2=1的圆心分别为两焦点，由于点P为椭圆方程为x236+y220=1上任意一点，|PF1|+|PF2|=12，由图可知，|PM|+|PN|的最小值．本题考查圆与圆锥曲线的综合，关键在于灵活运用椭圆的定义，着重考查数形结合的思想与分析转化的数学思想，考查学生综合分析与解决问题的能力，属于较难题．【解答】解：∵P为方程√(x+4)2+y2+√(x−4)2+y2=12表示的曲线上的点，∴P是椭圆方程为x236+y220=1上任意一点，∴其焦点坐标为F1(−4,0)，F2(4,0)，∴两圆：(x+4)2+y2=4和(x−4)2+y2=1的圆心分别为F1(−4,0)，F2(4,0)，又点P为椭圆为x236+y220=1上任意一点，∴|PF1|+|PF2|=12，由图可知，|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|−3=9；故答案为：9．17.【答案】解：如图建立直角坐标系，设抛物线的方程为x2=−2py，∵水面离拱顶2m时，水面宽4m∴点(2,−2)在抛物线上，所以p=1，x2=−2y，∵水面下降1m，即y=−3而y=−3时x=±√6，所以水面宽为2√6m．∴若水面下降1m，水面的宽度为2√6m【解析】本题考查了用解析法解决几何问题，抛物线的标准方程及应用，熟练的将实际问题转化为数学问题是解决本题的关键．先以拱顶为原点，建立直角坐标系，再用待定系数法求抛物线的标准方程，最后将水面下降1m，求水面的宽度问题转化为y=−3时，求2|x|的值，利用抛物线标准方程易得此值．18.【答案】解：(1)设动点M坐标为(x,y)，则AM=√(x−4)2+y2，BM=√(x−1)2+y2，又知AM=2BM，则√(x−4)2+y2=2√(x−1)2+y2，得x2+y2=4．故动点M的阿波罗尼斯圆的方程为x2+y2=4．(2)当直线l的斜率存在为k时，则直线l的方程为：y=kx−2k+3，l与圆相切，则d=√k2+1=2，得：k=125，此时l的方程为：12x−5y+9=0；当直线l 的斜率不存在时，此时直线l 的方程为：x =2，与圆相切． 综上：直线l 的方程为x =2与12x −5y +9=0．【解析】(1)设M(x,y)，根据动点M 满足AM =2BM ，列出方程，化简即可． (2)当切线的斜率不存在时，直线方程为x =2，满足题意；当切线的斜率存在时，则设切线方程为y =kx −2k +3，利用点到直线的距离等于半径求出斜率，得到直线方程．本题考查了圆的标准方程及其性质，两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)依题意，AB ，AD ，AA 1是两两互相垂直的，以A 为坐标原点，以AB 、AD 、AA 1的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 则A(0,0,0)，B(1,0,0)，A 1(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，B 1(1,0,1)∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−1)设直线BC 与直线B 1D 所成的角为α，∴cosα=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1√3=√33即直线BC 与直线B 1D 所成角的余弦值为√33(2)由(1)知B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−1)，B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−1)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1) 设平面B 1CD 的一个法向量n ⃗ =(x,y,z)，则{n ⃗ ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n⃗ ⋅B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴{y −z =0−x +y −z =0 令z =1，则x =0，y =1， 此时n ⃗ =(0,1,1)， ∴d =|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√2=√22， ∴点A 到平面B 1CD 的距离为√22．法二：(等体积法)设A 到B 1CD 的距离为d ，V A−B 1CD =13×d ×S △B 1CD =13×d ×(12×1×√2)，V B 1−ACD =13×1×12， ∵V A−B 1CD =V B 1−ACD ，∴d =√22．【解析】(1)依题意，AB ，AD ，AA 1是两两互相垂直的，以A 为坐标原点，以AB 、AD 、AA 1的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设直线BC 与直线B 1D 所成的角为α，利用cosα=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |即可得出． (2)由(1)知B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−1)，B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,−1)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,1)，设平面B 1CD 的一个法向量n ⃗ =(x,y,z)，利用{n ⃗ ⋅B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，可得n ⃗ .利用d =|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |，可得A 到平面B 1CD 的距离． 法二：(等体积法)设A 到B 1CD 的距离为d ，利用V A−B 1CD =V B 1−ACD 即可得出．本题考查了空间距离、空间角、数量积运算性质、三棱锥的体积计算公式、等体积法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)选择①离心率e =12，可得e =ca =12，2b =2√3，即b =√a 2−c 2=√3， 解得a =2，c =1，即有椭圆的方程为x 24+y 23=1；选②椭圆C 过点(1,32)，即有1a 2+94b 2=1，又2b =2√3，即b =√3，解得a =2， 即有椭圆的方程为x 24+y 23=1；选③△PF 1F 2面积的最大值为√3，可得P 位于短轴的端点时，△PF 1F 2面积取得最大值， 且为12⋅2c ⋅b =√3，即为bc =√3，又2b =2√3，即b =√3，c =1，a =√b 2+c 2=2， 即有椭圆的方程为x 24+y 23=1；(2)证明：当直线l 的斜率为0时，易得|PQ |=4,|NF 1|=1，即|PQ||NF 1|=4； 当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为y =k(x +1)， 联立椭圆方程可得(3+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2−12=0， 显然Δ>0，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，可得x 1+x 2=−8k 23+4k 2，x 1x 2=4k 2−123+4k 2，可得|PQ|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2⋅√64k 4(3+4k 2)2−16k 2−483+4k 2=12(1+k 2)3+4k 2，设PQ 的中点为H(t,s)，可得t =x 1+x 22=−4k 23+4k 2，s =3k3+4k 2，由题意可得k HN =3k3+4k 2−4k 23+4k 2−x N =−1k ，解得x N =−k 23+4k 2，可得|NF 1|=|−1+k 23+4k 2|=3(1+k 2)3+4k 2，可得|PQ||NF 1|=4，即为定值．综上，|PQ||NF 1|=4，即为定值．【解析】(1)可选①，由题意可得b ，运用椭圆的离心率公式和a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，c ，即可得到椭圆方程；若选②，由题意可得b ，将已知点代入椭圆方程求得a ，即可得到椭圆方程； 选③，可得P 位于短轴的端点时，取得最大值，结合条件可得b ，c 的值，由a ，b ，c 的关系可得a 的值，进而得到所求方程．(2)分类讨论，当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为y =k(x +1)，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，可得|PQ|；由中点坐标公式可得PQ 的中点H ，运用两直线垂直的条件：斜率之积为−1，可得N 的坐标，求得|NF 1|，即可得到定值．本题考查椭圆的方程和性质，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查线段的垂直平分线的定义，以及直线的斜率公式、中点坐标公式的运用，考查化简运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)取BC 的中点M ，连接DM ，∵菱形ABCD ，∠BAD =60°，∴∠ADM =90°，即AD ⊥DM ，又FD ⊥平面ABCD ，AD ，DM ⊂平面ABCD ，∴FD ⊥AD ，FD ⊥DM ， 则FD ，AD ，DM 两两垂直，以D 为原点，DA 、DM 、DF 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(1,√3,1)，F(0,0,2)， ∴DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3,1)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,2)， 设平面AEF 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{−x +√3y +z =0−2x +2z =0， 令x =1，则y =0，z =1，∴m ⃗⃗⃗ =(1,0,1)， 设直线AD 和平面AEF 所成角为α，则sinα=|cos <DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ >|=|DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗ |DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×|m ⃗⃗⃗ ||=|22×√2|=√22， ∵α∈[0,π2]，∴α=π4，故直线AD 和平面AEF 所成角的大小为π4．(2)由(1)知，AD ⊥DM ，FD ⊥DM ， 又AD ∩DF =D ，AD 、DF ⊂平面ADF ， ∴DM ⊥平面ADF ，∴平面ADF 的一个法向量为n ⃗ =(0,1,0)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |×|n ⃗⃗ |=0， 故平面AEF 与平面ADF 的夹角的大小为π2．【解析】(1)取BC 的中点M ，连接DM ，可证FD ，AD ，DM 两两垂直，于是以D 为原点，DA 、DM 、DF 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求得平面AEF 的法向量m ⃗⃗⃗ ，设直线AD 和平面AEF 所成角为α，由sinα=|cos <DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，m⃗⃗⃗ >|，得解； (2)可推出DM ⊥平面ADF ，故平面ADF 的一个法向量为n ⃗ =(0,1,0)，再由cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >，得解．本题考查空间中线面角、二面角的求法，熟练掌握利用空间向量处理线面角、二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)设M(x,y)，P(x 0,y 0)，则D(0,y)，y 0=y ，|DP|=|x 0|，|DM|=|x|，∵|DP|=√32|DM|，∴x 0=√32x ， ∵P 在圆x 2+y 2=3上运动，∴x 02+y 02=3，把x 0=√32x ，y 0=y ，代入可得：3x 24+y 2=3，即x 24+y 23=1，∵|DP|=√32|DM|，∴|DM|≠0，∴x ≠0，∴点M 的轨迹C 的方程为x 24+y 23=1(x ≠0)．(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 则直线l 与椭圆C 方程联立，消去x ，化简整理得(3m 2+4)y 2+6my −9=0， ∴y 1+y 2=−6m3m 2+4，y 1y 2=−93m 2+4， 因为直线l ：x =my +1(m ≠0)恒过定点(1,0)， 所以△AOB 的面积S =12|y 1−y 2|=12√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=12√36m 2(3m 2+4)2+363m 2+4=6√m 2+1(3m 2+4)2 =2√3√3m 2+3(3m 2+3)2+2(3m 2+3)+1=2√3√13m 2+3+13m 2+3+2，∵m ≠0，所以3m 2+3>3，∴由对勾函数的性质可得3m 2+3+13m 2+3>103，∴△AOB 的面积S ∈(0,32). 又∵椭圆方程x 24+y 23=1中x ≠0，∴直线l 不能过点(0,±√3)，即m ≠±√33，即△AOB 面积S ≠4√35， ∴△AOB 面积的取值范围为(0,4√35)∪(4√35,32).【解析】(1)设M(x,y)，P(x 0,y 0)，则D(0,y)，y 0=y ，|DP|=|x 0|，|DM|=|x|，根据已知可得x 0=√32x ，又P 在圆x 2+y 2=3上，即可求点M 的轨迹C 的方程；(2)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，直线l 与椭圆C 方程联立，可得(3m 2+4)y 2+6my −9=0，由根与系数的关系，以及△AOB的面积S=12|y1−y2|，化简可得S=2√3√13m2+3+13m2+3+2，由对勾函数的性质即可求得△AOB面积的取值范围．本题考查了轨迹问题、直线与椭圆的综合问题、一元二次方程的根与系数的关系、对勾函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
山东省滨州市2021-2022学年高二上学期期中数学试题+答案解析(附后)
山东省滨州市2021-2022学年高二上学期期中数学试题一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )A. B. C. D.2.已知离散型随机变量X的分布列如下：X135P m则其数学期望等于( )A. 1B.C.D.3.已知命题p：，，则为( )A. ，B. ，C. ，D. ，4.下列命题中的假命题是( )A. B.C. D.5.五人站成一排，其中甲、乙之间有且仅有1人，不同排法的总数是( )A. 48B. 36C. 18D. 126.设a，G，，则“”是“G为a，b的等比中项”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.盒子里共有7个除了颜色外完全相同的球，其中有4个红球3个白球，从盒子中任取3个球，则恰好取到2个红球1个白球的概率为( )A. B. C. D.8.设X的分布列为，则( )A. 10B. 30C. 15D. 59.设随机变量服从正态分布，若，则a的值为A. B. C. 5 D. 3二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
10.以下四个命题，其中不正确的是( )A. 由独立性检验可知，有的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有的可能物理优秀B. 两个随机变量相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0C. 在线性回归方程中，当变量x 每增加一个单位时，变量平均增加个单位D. 线性回归方程对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点11.设，则下列选项正确的是( )A. B.C.D.12.下列对各事件发生的概率判断正确的是( )A. 某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为B. 三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为，，，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为C. 甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为D. 设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率是13.以下几种说法正确的是( )A. 回归分析中，决定系数的值越大，说明残差平方和越大B. 对于相关系数r ，越接近1，相关程度越大，越接近0，相关程度越小C. 由一组样本数据得到的回归直线方程为，那么直线必经过点 D.是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，只对于两个分类变量适合三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
山东省滨州市高二上学期期中数学试卷
山东省滨州市高二上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2020高一下·吉林期中) “斐波那契”数列是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的．数列中的一系列数字常被人们称为神奇数．具体数列为：1，1，2，3，5，8，13，…，即从该数列的第三项开始，每个数字都等于前两个相邻数字之和．已知数列为“斐波那契”数列，为数列的前N项和，若，则（）A .B .C .D .2. （2分）在等差数列中，，则的值是（）A . 24B . 48C . 96D . 无法确定3. （2分）在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋ BC的最大值为（）A .B . 3C . 4D . 24. （2分）已知的重心为G，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A为（）A .B .C .D .5. （2分）若1，a ， b成等差数列，3，a+2，b+5，成等比数列，则等差数列的公差为（）A . 3B . 3或－1C . －3D . 3或－36. （2分） (2016高二上·济南期中) 在△ABC中，AB=5，BC=6，AC=8，则△ABC的形状是（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 非钝角三角形7. （2分）在中，，，则周长的最大值为（）A . 8B . 7C . 6D . 58. （2分）在△ABC中，角A，B，C的对边为a,b,c,若，则角A= （）A . 30°B . 30°或105°C . 60°D . 60°或120°9. （2分）等差数列和的前n项和分别为和，且，则（）A .B .C .D .10. （2分）已知，且是成等比数列的整数，n为大于1的整数，则下列关于，，的说法正确的是（）A . 成等差数列B . 成等比数列C . 各项的倒数成等差数列D . 以上都不对11. （2分）已知是等差数列，，记数列的第项到第项的和为，则取得最小值时的的值为（）A . 6B . 8C . 6或7D . 7或812. （2分）(2019高一下·哈尔滨月考) 已知数列满足，，若，则数列的通项（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2016·中山模拟) 如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC=15°，沿山坡前进50m到达B处，又测得∠DBC=45°，根据以上数据可得cosθ=________．14. （1分） (2017高一下·广东期末) 公差不为零的等差数列的第1项、第6项、第21项恰好构成等比数列，则它的公比为________．15. （1分） (2019高一下·西湖期中) 若一个三角形的三边为连续自然数，且最大角是最小角的两倍，则此三角形的面积为________．16. （1分）等差数列{an}中，a4+a5+a6+a7+a8=150，则S11=________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （5分）已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a2 ， a4 ， a8成等比数列．求数列{an}的通项公式；18. （10分）(2020·南京模拟) 如图，某大型厂区有三个值班室，值班室A在值班室B的正北方向3千米处，值班室C在值班室B的正东方向4千米处．（1）保安甲沿从值班室出发行至点P处，此时，求的距离；（2）保安甲沿从值班室C出发前往值班室A，保安乙沿从值班室A出发前往值班室B，甲乙同时出发，甲的速度为5千米/小时，乙的速度为3千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为千米（含千米），试问有多长时间两人不能通话？19. （10分）已知数列{an}满足a1=1，an+1= ，（n∈N*）（1）证明数列是等差数列，并求出通项an ．（2）若＜a1•a2+a2•a3+a3•a4+…+an﹣1•an＜，求n的值．20. （10分）(2016·北京理) 在 ABC中，（1）求的大小（2）求的最大值21. （15分）(2017·松江模拟) 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“H型数列”．（1）若数列{an}为“H型数列”，且a1= ﹣3，a2= ，a3=4，求实数m的取值范围；（2）是否存在首项为1的等差数列{an}为“H型数列”，且其前n项和Sn满足Sn＜n2+n（n∈N*）？若存在，请求出{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．（3）已知等比数列{an}的每一项均为正整数，且{an}为“H型数列”，bn= an ， cn= ，当数列{bn}不是“H型数列”时，试判断数列{cn}是否为“H型数列”，并说明理由．22. （10分）(2019高一上·利辛月考) 在中，角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、第11 页共11 页。
山东省滨州市2020版数学高二上学期文数期中考试试卷B卷
山东省滨州市2020版数学高二上学期文数期中考试试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知直线l的方程为，则直线l的倾斜角为（）A .B .C .D . 与b有关2. （2分） (2018高二上·太原期中) 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（）A .B .C .D .3. （2分） (2017高二下·临沭开学考) 命题：“∀x∈[0，+∞），x3+2x≥0”的否定是（）A . ∀x∈（﹣∞，0），x3+2x＜0B . ∃x∈[0，+∞），x3+2x＜0C . ∀x∈（﹣∞，0），x3+2x≥0D . ∃x∈[0，+∞），x3+2x≥04. （2分） (2020高二上·青铜峡期末) 椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，则（）A . 3B . 4C . 5D . 65. （2分） (2017高二上·汕头月考) 过 ,圆心在轴上的圆的方程为（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高一下·老河口期中) 如果圆x2+y2+Dx+Ey+F=0与x轴切于原点, 那么（）A . D=0，E≠0,，F≠0B . E=F=0，D≠0C . D=F=0，E≠0D . D=E=0，F≠07. （2分） (2020高一下·滕州月考) 已知，，为坐标原点， .点在轴上，则的值为（）A . 0B . 1C .D .8. （2分）已知双曲线与椭圆共顶点，且焦距是6，此双曲线的渐近线是（）A .B .C .D .9. （2分）已知函数y=f（x）对任意x∈R，恒有（f（x）﹣sinx）（f（x）﹣cosx）=0成立，则下列关于函数 y=f（x）的说法正确的是（）A . 最小正周期是2πB . 值域是[﹣1，1]C . 是奇函数或是偶函数D . 以上都不对10. （2分）已知椭圆的面积为．现有一个椭圆，其中心在坐标原点，一个焦点坐标为（4，0），且长轴长与短轴长的差为2，则该椭圆的面积为（）A .B .C .D .11. （2分）设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（）A . 必在圆内B . 必在圆上C . 必在圆外D . 以上三种情形都有可能12. （2分）若存在x∈[﹣2，3]，使不等式4x﹣x2≥a成立，则实数a的取值范围是（）A . [﹣8，+∞）B . [3，+∞）C . （﹣∞，﹣12]D . （﹣∞，4]二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·山西月考) 椭圆C：的焦距是________．14. （1分） (2018高一下·重庆期末) 圆与圆相外切，则半径的值为________．15. （1分）(2020·南京模拟) 命题“ ”的否定是________命题.（填“真”或“假”）16. （1分）(2019高三上·城关期中) 已知向量满足，则的最大值为________.三、解答题 (共6题；共55分)17. （5分） (2018高二上·东至期末) 已知方程表示双曲线；方程表示焦点在轴上的椭圆，若为真命题，为假命题，求实数的取值范围.18. （10分）直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2且l1与l2的距离为5，求l1 ， l2的方程．19. （10分） (2016高一下·普宁期中) 如图，在平面直角坐标系xOy中，A（a，0）（a＞0），B（0，a），C （﹣4，0），D（0，4）设△AOB的外接圆圆心为E．（1）若⊙E与直线CD相切，求实数a的值；（2）设点P在圆E上，使△PCD的面积等于12的点P有且只有三个，试问这样的⊙E是否存在，若存在，求出⊙E的标准方程；若不存在，说明理由．20. （10分） (2016高一上·浦东期末) 在区间D上，如果函数f（x）为减函数，而xf（x）为增函数，则称f（x）为D上的弱减函数．若f（x）=（1）判断f（x）在区间[0，+∞）上是否为弱减函数；（2）当x∈[1，3]时，不等式恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数g（x）=f（x）+k|x|﹣1在[0，3]上有两个不同的零点，求实数k的取值范围．21. （10分）已知圆F：x2+（y﹣1）2=1，动圆P与定圆F在x轴的同侧且与x轴相切，与定圆F相外切．（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）过点M（0，2）的直线交曲线C于A，B，若 = ，求直线AB的方程．22. （10分） (2017高三下·深圳月考) 已成椭圆的离心率为．其右顶点与上顶点的距离为，过点的直线与椭圆相交于两点．（1）求椭圆的方程；（2）设是中点，且点的坐标为，当时，求直线的方程．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、22-1、22-2、。
山东省滨州市2020年高二上学期期中数学试卷(理科)(I)卷
山东省滨州市2020年高二上学期期中数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二下·汕尾期末) 已知双曲线的标准方程为 1（a＞0，b＞0），若渐近线方程为y＝± x，则双曲线的离心率为（）A .B . 2C .D . 42. （2分） (2018高三上·汕头月考) 已知函数，若曲线上存在点使得，则实数a的取值范围是A .B .C .D .3. （2分） (2017·长春模拟) 已知椭圆的左右焦点分别为，，过且垂直于长轴的直线交椭圆于A，B两点，则的周长为A . 4B . 6C . 8D . 164. （2分） (2019高二上·四川期中) 已知双曲线：（，）的左右顶点分别为，，点，若三角形为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（）A .B .C . 2D . 35. （2分）有下列四种说法：①命题“,使得”的否定是“都有” ；②“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件；③“若则a<b”的逆命题为真；④若实数,则满足: 的概率为.其中错误的个数是A .B . 1C . 2D . 36. （2分）给出下列结论：①（cos x）′=sin x；②（sin ）′=cos ；③若y= ，则y′=﹣；其中正确的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 37. （2分）(2017·江门模拟) 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（）A . 直线B . 椭圆C . 抛物线D . 双曲线8. （2分） (2017高一下·长春期末) 对于任意实数a、b、c、d，命题：①若a＞b，c＜0，则ac＞bc；②若a＞b，则ac2＞bc2；③若ac2＜bc2 ，则a＜b；④ ；⑤若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd．其中真命题的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 49. （2分）(2017·东北三省模拟) 已知实数a，b满足﹣2≤a≤2，﹣2≤b≤2，则函数y= x3﹣ ax2+bx ﹣1有三个单调区间的概率为（）A .B .C .D .10. （2分）条件p：a≤2，条件q：a（a﹣2）≤0，则￢p是￢q的（）A . 充分但不必要条件B . 必要但不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件11. （2分） (2015高一上·扶余期末) 实数x，y满足y=2x2﹣4x+1，（0≤x≤1），则的最大值为（）A . 4B . 3C . 2D . 112. （2分）在y=2x ， y=log2x，y=x 这三个函数中，当0＜x1＜x2＜1时，使f（）＜恒成立的函数的个数是（）A . 0B . 1C . 2D . 3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·长春模拟) 《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠（chuí），长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖（粗细均匀变化）长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是________．14. （1分）《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题：“今有垣厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半．问何日相逢，各穿几何？题意是：有两只老鼠从墙的两边打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半”，如果墙厚，________天后两只老鼠打穿城墙．15. （1分） (2019高三上·广东月考) 已知、都是等差数列，若，，则________．16. （1分） (2015高一下·太平期中) 在数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+2﹣an=1+（﹣1）n（n∈N*），则S100=________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2019高二下·长沙期末) 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知,（1）求的值，（2）若a=3, ，求的面积.18. （10分）已知为公差不为零的等差数列，其中成等比数列， .（1）求数列通项公式；（2）记，设的前项和为，求最小的正整数，使得 .19. （10分）(2019·唐山模拟) 在中，角，，的对边分别为，，，.（1）求角；（2）若，，求 .20. （10分）在△ABC中，内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，且 .（1）求角B的大小；（2）若b= ，求△ABC的面积的最大值.21. （10分） (2016高二下·湖南期中) 已知在等差数列{an}中，a1=﹣1，a3=3．（1）求an；（2）令bn=2an ，判断数列{bn}是等差数列还是等比数列，并说明理由．22. （5分） (2017高二下·长春期末) 已知命题p：x2+2x﹣3＞0；命题q：＞1，若“（￢q）∧p”为真，求x的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、。
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17．设命题 ：对任意实数 ，不等式 恒成立；命题 :方程 表示焦点在 轴上的双曲线.
（1）若命题 为真命题，求实数 的取值范围；
（2）若 是 的充分条件，求实数 的取值范围.
18．中央电视台为了解一档诗歌节目的收视情况，抽查东西两部各 个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如茎叶图所示：其中一个数字被污损.
4．D
【解析】
分析：先根据平均数的公式变化前后的平均数，再根据方差公式进行计算变化前后的方差，从而可得结果.
详解：由平均数公式得，变化前的平均数为 ，
变化后的平均数为 ；
变化前方差 ，
变化后方差
可得平均数变，方差保持不变，故选D.
点睛：本题考查了平均数和方差的公式，平均数是所有数据的和除以数据的个数， ，方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数 .
22．已知椭圆 的右焦点为 ，点 在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）点 在圆 上，且 在第一象限，过 作 的切线交椭圆于 两点，问： 的周长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．
参考答案
1．D
【分析】
通过命题的否定的形式进行判断．
【详解】
因为全称命题的否定是特称命题，故“ ， ”的否定是“ ， ”.
10．设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且 ，若AB＝6，BC＝2，则椭圆的焦距为( )
A． B． C． D．
11．如图，过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于点 ，交其准线 于点 ，若点 是 的中点，且 ，则线段 的长为（ ）
A． B． C． D．
12．已知双曲线 ： （ ， ）的左右焦点分别为 ， ，若该双曲线与抛物线 ： 有公共焦点，点A是曲线 ， 在第一象限的交点，且 ，则双曲线 的离心率为（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要
4．对于一组数据 ，如果将它们改变为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．平均数不变，方差变B．平均数与方差均发生变化
C．平均数与方差均不变D．平均数变，方差保持不变
5．下列命题：
①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个随机事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A与B是对立事件．
A． B．
C． 或 D． 或
8．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是
A． B． C． D．
9．在区间[﹣3，5]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m（m＞0）的概率为 ，则m的值等于
A． B．3C．4D．﹣2
5．A
【分析】
根据互பைடு நூலகம்之间和对立事件的概念，及互斥事件和对立事件的关系和概率的计算，即可作出判断，得到答案．
【详解】
山东省滨州市博兴县2020-2021学年高二上学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．“ ， ”的否定是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．抛物线 的焦点坐标是（）
A． B． C． D．
3．设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
周均学习成语知识时间 （小时）
（参考数据： ，回归直线方程参考公式： ）
19．已知椭圆 的中心在原点,一个焦点 ,且长轴长与短轴长的比是 ．
(1)求椭圆 的方程;
(2)设点 ,点是椭圆上任意一点，求 的最小值．
20．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，大量的统计数据表明，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与调查的人群中随机选出 人，并将这 人按年龄分组：第1组 ，第2组 ，第3组 ，第4组 ，第5组 ，得到的频率分布直方图如图所示:
（1）求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率；
（2）现从观看该节目的观众中随机统计了 位观众的周均学习诗歌知识的时间 （单位：小时）与年龄 （单位：岁），并制作了对照表（如表所示）：由表中数据，求线性回归方程 ，并预测年龄在 岁的观众周均学习诗歌知识的时间.
年龄 （岁）
A． B． C． D．
二、填空题
13．已知样本数据3，2，1， 的平均数为2，则样本的标准差是__________．
14．直线l： 过椭圆左焦点 和一个顶点B，则该椭圆的离心率为_____.
15．抛物线 上一点P到直线 的距离与到点 的距离之差的最大值为______.
16．已知双曲线C： ，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若 为直角三角形，则 ______.
（1）求 的值；
（2）求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（3）现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取 人，再从这 人中随机抽取 人进行问卷调查，求第2组中抽到 人的概率．
21．已知抛物线 上横坐标为 的点到焦点的距离为 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）若过点 的直线与抛物线交于不同的两点 ，且以 为直径的圆过坐标原点 ，求 的面积．
其中正确命题的个数是( )
A．1B．2C．3D．4
6．已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练，每人练习10组，每组罚球40个， 每组命中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．甲命中个数的极差是29B．乙命中个数的众数是21
C．甲的命中率比乙高D．甲命中个数的中位数是25
7．已知双曲线 （ ），若a是方程 的根，则双曲线的渐近线方程是（）
故选D.
【点睛】
本题考查全称命题的否定，属基础题.
2．B
【分析】
将抛物线方程写成标准形式，即可得到焦点坐标.
【详解】
抛物线 ， ，则抛物线开口向上，
抛物线的焦点坐标是 .
故选：B.
【点睛】
本题考查抛物线的焦点坐标，考查抛物线方程的理解，属于基础题.
3．B
【解析】
由题意，解不等式 ，得 ，根据充分条件、必要条件、充要条件的定义，又 ，即满足由条件 不能推出结论 ，且结论 推出条件 ，故选B.