第9讲等效应力与等效应变

在变形过程中由于加工硬化的结果，随着变形程度的增大，变形抗力增大。一般 可采用下述关系式来确定（幂指数硬化曲线）。
e Ben
B——强化系数，与材料有关的常数 n——硬化指数，
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25
e

B
n e
e
e
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(2)对于有初始屈服应力 s 的冷变形金属材料，可较好地表达为
2
d y d z
2
d x d z
2

6(d
2 xy

d
2 xz

d
2 yz
)
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比例加载时，即 采用全量理论
e
2 9
1
2 2
2
3 2
3
1 2

2 3

2 1


2 2


2 3
e
全量理论
全量理论建立了全应变与应力的关系。其中 比较有影响的是Hencky小变形理论。
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1
加载条件
简单加载
在加载过程中，应力张量各分量按同样的
比例增加，也称为比例加载。即
ij

c
0 ij
。例：
5

已知
0 ij

0
0
0 10 0
0 0 15
，c 2 ，则
其中s，为单向应力状态下获得的屈服极限
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de
2 9
d1
d 2 2
d 2
d3 2
d3
d1 2
此式表示的应变增量 d e
就是主轴时的等效应变增量，非主轴等效应变
增量如下：
de
2 9
d x d y
这里略去了弹性变形阶段，因为对大变形来说，略去弹性交 形，不影响其准确性。式中的B 、n两参数根据实验曲线求 出。
e s Ben
e s e
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已知一点的应力分量为:
求:（1）等效应力σ e值； （2）若该点处于塑性状态，利用
全量理论 1 ，求解 e
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单向拉伸
1 0、 2 3 0； 2 3 1 2
e 1 s
e

1

ln
l1 l0
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单向压缩
3 0、1 2 0；1 2 3 2
e 3 s
e
3
2 2
2
3 2
3
1 2
则金属屈服时有
e s
e 则为等效应力，把变形体所受的6个应力分量
等效于一个单向拉伸时应力。
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对于单向拉伸 1 s 时，金属处于弹性状态 1 s 时，金属进入塑性状态
同样，复杂应力状态时，
此式即为等效应变增量与等效应力的关系
则Levy—Mises流动法则可以写成
d ij

3 2
d e e

ij
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同理在塑性大变形时，等效应变与等效应力关系：
e

2 3
e
或 3 e 2 e
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这样，由于引入等效应变 e 与等效应力 e ， 则本构方程中的比例系数 便可以确定， 从而也就可以求出应变增量的具体数值。
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9 等效应力、等效应变
C
把s看成经过某一变形程度
下的单向应力状态的屈服极
c s B
限,则可称s为变形抗力。
AD

如图所示，拉伸变形到C点，然后卸载到D点，如 果再在同方向上拉伸，便近似认为在原来开始卸载 时所对应的应力附近（即点C处）发生屈服。这一 屈服应力比退火状态的初始屈服应力提高，是由于
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变形抗力曲线
不论是一般应力状态还是简单应力状态作出
的 e e 曲线，此曲线也叫变形抗力曲线或 加工硬化曲线，或真应力曲线。目前常用以
下四种简单应力状态的试验来做金属变形抗
力曲线。
等效应变与等效应力的意义在于，等效应力将6个应力分量的对变形体的作用， 等效于一个单向拉伸力的作用。而等效应变将6个应变分量，等效于一个单向拉 伸力所产生的应变。利用实验，就可以直接建立等效应变与等效应力的数值关 系。
10
由Mises屈服条件
1 2 2 2 3 2 3 1 2

2
2 s

6k 2
可以改写为
1
2
1
2 2
2
3 2
3
1 2
s
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若令
e
1 2
1
金属加工硬化的结果。所以在单向拉伸的情况下，
不论对初始屈服应力还是变形过程中的继续屈服极 限，统称为金属变形抗力（抵抗金属变形的力）。
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等效应力
s是单向拉伸的
情况下得到的，
3
等于1 。那么对
于复杂应力状态，
s与1 2 3 又有
何种关系？
2
1
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3 3
1

2 3
(1


2
3
2
)

2 3
(1

3
m 1
2
)
或
1 1 2 2
1 2 1 2 1 2
2
2
2
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7
因此 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1
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小变形理论用于大变形
对于大塑性变形，材料为刚塑性材料，采用简单加载条件，此时应 力与应变主轴在加载过程中不变，并用对数变形计算主应变。
相应的应力应变关系广义全量表达式为
0.5,各向同性材料泊松比
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6
取主轴时：
1 1
2 2
e s 时，金属处于弹性状态 e s 时，金属进入塑性状态
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在一般应力状态下，等效应力为
e 3I2
1 2
x
y
2
y
z
2
z
x
2

6

2 xy

2 yz

2 zx
当材料屈服时有
e s 3k
d3
d1 2
de
2 9
d2
1
2
2


2
3
2

3
1 2

2 9
d2
1

2
2


2wk.baidu.com

3
2


3
1 2
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得到
d e

2 3
d
e
或 d 3 de 2 e
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数学表达式

p x


p y


p z


p xy


p yz


p zx

x y z xy yz zx
或
p ij

ij
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总的变形
ij


e ij


p ij

(
1 2G

ij
1 2
E
mij ) ij
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x y 2 y z 2 x z
2

6(
2 xy


2 xz


2 yz
)
e 为等效应变
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由Levy—Mises流动法则（增量理论），
代入
dij d ij
de
2 9
d1
d 2 2
d 2
d3 2
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ij
10 0
0
0 20 0
0 0 30
简单加载的特点：加载过程中，应力主轴不动。
复杂加载：加载过程中各应力分量之间无规律可循。
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Hencky小变形理论
基本观点 应力与应变的位向关系
塑性应变主轴与应力主轴一致。
应力与应变的分配关系
在任意加载瞬间，塑性应变各分量与该 瞬时相应的各偏差应力分量成比例，小变形 考虑弹性变形。

ln
h1 h0
可见单向应力状态等效应力等于金属变形抗力； 等效应变等于绝对值最大主应变。
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薄壁管扭转
3 1、 2 0；1 3、 2 0
e 31 s 3k
e
2 3

1
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单向拉伸实验所得应力应变关系常有如下几种： 试验所得的真实应力—应变曲线一般都不是简单的函数关系。为了 实际应用，常希望将此曲线描绘成一函数。根据对真实应力—应变 的曲线的研究，可将它归纳成2种类型：