人教版初一数学下册平行线中的拐点问题
人教版数学七年级下册：第五章 相交线与平行线——专题练习(附答案)
小专题（一）平行线中的“拐点”问题模型1 M型【例1】如图，已知AB∥CD，则∠B，∠BED，∠D之间有何数量关系？请说明理由．【思路点拨】由已知条件知，AB∥CD，但图形中没有截这两条平行线的第三条直线，因而不能直接用平行线的性质解决．为此可构造第三条直线，即过点E 作EF∥AB，于是BE，DE就可以作为第三条直线了．变式当点E运动到平行线的外侧1．已知AB∥CD，点E为AB，CD之外任意一点．(1)如图1，探究∠BED与∠B，∠D的数量关系，并说明理由；(2)如图2，探究∠CDE与∠B，∠BED的数量关系，并说明理由．2．(1)如图1中，AB∥CD，则∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D有何关系？(2)在图2中，若AB∥CD，又能得到什么结论？如果出现多个拐点时，可以作多条平行线，从而将多拐点问题转化为一个拐点问题来处理．M型最终的结论为：朝左的角之和等于朝右的角之和．模型2 铅笔型【例2】如图，直线AB∥CD，∠B，∠BED，∠D之间有什么关系呢？为什么？3．(1)①如图1，MA1∥NA2，则∠A1＋∠A2＝度；②如图2，MA1∥NA3，则∠A1＋∠A2＋∠A3＝度；③如图3，MA1∥NA4，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝度；④图4，MA1∥NA5，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＝度；从上述结论中你发现了什么规律？(2)如图5，MA1∥NAn，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋…＋∠An＝度．小专题(二) 利用平行线的性质求角的度数类型1 直接利用平行线的性质与判定求角度1．如图，OC是∠AOB的平分线，l∥OB.若∠1＝52°，则∠2的度数为( ) A．52° B．54° C．64° D．69°2．如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF 的度数是( )A．20° B．25° C．30° D．35°3．如图，AB∥CD，CB∥DE，∠B＝50°，则∠D＝．4．如图，已知EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝80°，求∠AGD的度数．类型2 借助学具的特征求角度5．如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起．若∠1＝40°，则∠2的大小是( )A．40° B．60° C．70° D．80°6．如图，一块直角三角板的两锐角的顶点刚好落在平行线l1，l2上，已知∠C是直角，则∠1＋∠2的度数等于( )A．75° B．90° C．105° D．120°类型3 折叠问题中求角度7．将一个长方形纸片折叠成如图所示的图形．若∠ABC＝26°，则∠ACD＝．8．如图，一个四边形纸片ABCD，∠B＝∠D＝90°，∠C＝130°.把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕，则∠AEB的度数是．类型4 抽象出平行线模型求角度(建模思想)9．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝38°，一束光线(与水平线OB平行)从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在OB上的点E处，已知∠ADC＝∠ODE.则∠DEB的度数是度．10．如图1是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个梯形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是．小专题(三) 平行线的性质与判定的综合运用——教材P37T13的变式与应用教材母题(教材P37T13)：完成下面的证明．(1)如图1，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DE∥BA，DF ∥CA.求证：∠FDE＝∠A.证明：∵DE∥BA，∴∠FDE＝．∵DF∥CA，∴∠A＝．∴∠FDE＝∠A.(2)如图2，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD.求证AC∥BD.证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD，又∠COA＝∠BOD( )，∴∠C＝．∴AC∥BD(内错角相等，两直线平行)．(1)判定两直线平行的方法有五种：①平行线的定义；②平行公理的推论；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行；⑤同旁内角互补，两直线平行．(2)判定两直线平行时，定义一般不常用，其他四种方法要灵活运用，推理时要注意书写格式．(3)由两条直线平行得到同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，解题时应结合图形先确认所成的角是不是两平行线被第三条直线所截得的同位角或内错角或同旁内角，同时要学会简单的几何说理，做到每一步有理有据．1．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D，F，∠2＋∠3＝180°.试说明：∠GDC＝∠B.下面是不完整的说理过程，请你将横线上的过程和括号里的理由补充完整．解：因为AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，①所以∠ADB＝∠EFB＝ (垂直的定义)．②所以 (同位角相等，两直线平行)．③所以∠1＋∠2＝ (两直线平行，同旁内角互补)．④又因为∠2＋∠3＝180°( )，⑤所以∠1＝∠3( )．⑥所以AB∥DG( )．⑦所以∠GDC＝∠B( )．2．如图，点G在射线BC上，射线DE与AB，AG分别交于点H，M.若DF∥AB，∠B＝75°，∠D＝105°，求证：∠AME＝∠AGC.3．如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠E.求证：AD ∥BC.4．如图，∠E＝∠1，∠3＋∠ABC＝180°，BE是∠ABC的平分线．你能判断DF 与AB的位置关系吗？请说明理由．5．如图，AB⊥BD于点B，点E是BD上的点，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且∠1＋∠2＝90°.求证：CD⊥BD.6．如图，把一张长方形ABCD的纸片沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，点D，C分别落在D′，C′的位置上．若∠EFG＝55°，求∠1，∠2的度数．7．如图，已知BC∥GE，∠AFG＝∠1＝50°.(1)求证：AF∥DE；(2)若AQ平分∠FAC，交BC于点Q，且∠Q＝15°，求∠ACQ的度数．参考答案：小专题（一）平行线中的“拐点”问题模型1 M型【例1】如图，已知AB∥CD，则∠B，∠BED，∠D之间有何数量关系？请说明理由．【思路点拨】由已知条件知，AB∥CD，但图形中没有截这两条平行线的第三条直线，因而不能直接用平行线的性质解决．为此可构造第三条直线，即过点E 作EF∥AB，于是BE，DE就可以作为第三条直线了．【解答】∠BED＝∠B＋∠D.理由：过点E作EF∥AB，则EF∥CD.∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF.∴∠BED＝∠BEF＋∠DEF＝∠B＋∠D.变式当点E运动到平行线的外侧1．已知AB∥CD，点E为AB，CD之外任意一点．(1)如图1，探究∠BED与∠B，∠D的数量关系，并说明理由；(2)如图2，探究∠CDE与∠B，∠BED的数量关系，并说明理由．解：(1)∠B＝∠BED＋∠D.理由如下：过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF.∴∠BEF＝∠B，∠D＝∠DEF.∵∠BEF＝∠BED＋∠DEF，∴∠B＝∠BED＋∠D.(2)∠CDE＝∠B＋∠BED.理由如下：过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF.∴∠B＋∠BEF＝180°，∠CDE＋∠DEF＝180°.又∵∠DEF＝∠BEF－∠BED，∴∠CDE＋∠BEF－∠BED＝∠B＋∠BEF，即∠CDE＝∠B＋∠BED.拓展平行线间有多个拐点2．(1)如图1中，AB∥CD，则∠E＋∠G与∠B＋∠F＋∠D有何关系？(2)在图2中，若AB∥CD，又能得到什么结论？解：(1)∠BEF＋∠FGD＝∠B＋∠EFG＋∠D.理由：过点E，F，G分别作EM∥AB，FN∥AB，GH∥AB，由AB∥CD，得AB∥EM∥FN∥GH∥CD.∴∠BEM＝∠B，∠MEF＝∠EFN，∠NFG＝∠FGH，∠HGD＝∠D.∴∠BEF＋∠FGD＝∠BEM＋∠MEF＋∠FGH＋∠HGD＝∠B＋∠EFN＋∠NFG＋∠D＝∠B＋∠EFG＋∠D.(2)在图2中，有∠E1＋∠E2＋∠E3＋…＋∠En＝∠B＋∠F1＋∠F2＋…＋∠Fn－1＋∠D.如果出现多个拐点时，可以作多条平行线，从而将多拐点问题转化为一个拐点问题来处理．M型最终的结论为：朝左的角之和等于朝右的角之和．模型2 铅笔型【例2】如图，直线AB∥CD，∠B，∠BED，∠D之间有什么关系呢？为什么？【解答】∠B＋∠BED＋∠D＝360°.理由：过点E作EF∥AB.∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF.∴∠B＋∠BEF＝180°，∠D＋∠DEF＝180°. ∴∠B＋∠BEF＋∠D＋∠DEF＝360°，即∠B＋∠BED＋∠D＝360°.拓展平行线间有多个拐点3．(1)①如图1，MA1∥NA2，则∠A1＋∠A2＝180度；②如图2，MA1∥NA3，则∠A1＋∠A2＋∠A3＝360度；③如图3，MA1∥NA4，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝540度；④图4，MA1∥NA5，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＋∠A5＝720度；从上述结论中你发现了什么规律？(2)如图5，MA1∥NAn，则∠A1＋∠A2＋∠A3＋…＋∠An＝180(n－1)度．解：每增加一个角，度数增加180°.小专题(二) 利用平行线的性质求角的度数类型1 直接利用平行线的性质与判定求角度1．如图，OC是∠AOB的平分线，l∥OB.若∠1＝52°，则∠2的度数为( C ) A．52° B．54° C．64° D．69°2．如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF 的度数是( D )A．20° B．25° C．30°D．35°3．如图，AB∥CD，CB∥DE，∠B＝50°，则∠D＝130°．4．如图，已知EF∥AD，∠1＝∠2，∠BAC＝80°，求∠AGD的度数．解：∵EF∥AD，∴∠2＝∠3(两直线平行，同位角相等)．∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3(等量代换)．∴AB∥DG(内错角相等，两直线平行)．∴∠BAC＋∠AGD＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∵∠BAC＝80°，∴∠AGD＝100°.类型2 借助学具的特征求角度5．如图，将直尺与30°角的三角尺叠放在一起．若∠1＝40°，则∠2的大小是( D )A．40° B．60° C．70° D．80°6．如图，一块直角三角板的两锐角的顶点刚好落在平行线l1，l2上，已知∠C是直角，则∠1＋∠2的度数等于( B )A．75° B．90° C．105° D．120°类型3 折叠问题中求角度7．将一个长方形纸片折叠成如图所示的图形．若∠ABC＝26°，则∠ACD＝128°．8．如图，一个四边形纸片ABCD，∠B＝∠D＝90°，∠C＝130°.把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕，则∠AEB的度数是65°．类型4 抽象出平行线模型求角度(建模思想)9．如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB＝38°，一束光线(与水平线OB平行)从点C射入经平面镜反射后，反射光线落在OB上的点E处，已知∠ADC＝∠ODE.则∠DEB的度数是76度．10．如图1是我们常用的折叠式小刀，图2中刀柄外形是一个梯形挖去一个小半圆，其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段，转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是90°．小专题(三) 平行线的性质与判定的综合运用——教材P37T13的变式与应用教材母题(教材P37T13)：完成下面的证明．(1)如图1，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DE∥BA，DF ∥CA.求证：∠FDE＝∠A.证明：∵DE∥BA，∴∠FDE＝∠BFD(两直线平行，内错角相等)．∵DF∥CA，∴∠A＝∠BFD(两直线平行，同位角相等)．∴∠FDE＝∠A.(2)如图2，AB和CD相交于点O，∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD.求证AC∥BD.证明：∵∠C＝∠COA，∠D＝∠BOD，又∠COA＝∠BOD(对顶角相等)，∴∠C＝∠D．∴AC∥BD(内错角相等，两直线平行)．(1)判定两直线平行的方法有五种：①平行线的定义；②平行公理的推论；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行；⑤同旁内角互补，两直线平行．(2)判定两直线平行时，定义一般不常用，其他四种方法要灵活运用，推理时要注意书写格式．(3)由两条直线平行得到同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，解题时应结合图形先确认所成的角是不是两平行线被第三条直线所截得的同位角或内错角或同旁内角，同时要学会简单的几何说理，做到每一步有理有据．1．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D，F，∠2＋∠3＝180°.试说明：∠GDC＝∠B.下面是不完整的说理过程，请你将横线上的过程和括号里的理由补充完整．解：因为AD⊥BC，EF⊥BC(已知)，①所以∠ADB＝∠EFB＝90°(垂直的定义)．②所以AD∥EF(同位角相等，两直线平行)．③所以∠1＋∠2＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．④又因为∠2＋∠3＝180°(已知)，⑤所以∠1＝∠3(同角的补角相等)．⑥所以AB∥DG(内错角相等，两直线平行)．⑦所以∠GDC＝∠B(两直线平行，同位角相等)．2．如图，点G在射线BC上，射线DE与AB，AG分别交于点H，M.若DF∥AB，∠B＝75°，∠D＝105°，求证：∠AME＝∠AGC.证明：∵DF∥AB(已知)，∴∠D＝∠BHM(两直线平行，同位角相等)．又∵∠B＝75°，∠D＝105°(已知)，∴∠B＋∠BHM＝75°＋105°＝180°.∴DE∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．∴∠AME＝∠AGC(两直线平行，同位角相等)．3．如图，AB∥CD，AE平分∠BAD，CD与AE相交于点F，∠CFE＝∠E.求证：AD ∥BC.证明：∵AE平分∠BAD(已知)，∴∠1＝∠2(角平分线的定义)．∵AB∥CD(已知)，∴∠1＝∠CFE(两直线平行，同位角相等)．又∵∠1＝∠2(已证)，∠CFE＝∠E(已知)，∴∠2＝∠E(等量代换)．∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．4．如图，∠E＝∠1，∠3＋∠ABC＝180°，BE是∠ABC的平分线．你能判断DF 与AB的位置关系吗？请说明理由．解：DF∥AB.理由：∵BE是∠ABC的平分线，∴∠1＝∠2(角平分线的定义)．∵∠E＝∠1(已知)，∴∠E＝∠2(等量代换)．∴AE∥BC(内错角相等，两直线平行)．∴∠A＋∠ABC＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∵∠3＋∠ABC＝180°(已知)，∴∠A＝∠3(等量代换)．∴DF∥AB(同位角相等，两直线平行)．5．如图，AB⊥BD于点B，点E是BD上的点，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且∠1＋∠2＝90°.求证：CD⊥BD.证明：∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD(已知)，∴∠BAC＝2∠1，∠ACD＝2∠2(角平分线的性质)．∴∠BAC＋∠ACD＝2∠1＋2∠2＝2(∠1＋∠2)．∵∠1＋∠2＝90°(已知)，∴∠BAC＋∠ACD＝180°.∴AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)．∴∠B＋∠D＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．∴∠D＝180°－∠B(等式的性质)．∵AB⊥BD(已知)，∴∠B＝90°(垂直的定义)．∴∠D＝90°，即CD⊥BD.6．如图，把一张长方形ABCD的纸片沿EF折叠后，ED与BC的交点为G，点D，C分别落在D′，C′的位置上．若∠EFG＝55°，求∠1，∠2的度数．解：∵AD∥BC，∠EFG＝55°，∴∠2＝∠GED，∠DEF＝∠EFG＝55°(两直线平行，内错角相等)．由折叠，知∠GEF＝∠DEF＝55°.∴∠GED＝110°.∴∠2＝110°.∴∠1＝180°－∠2＝70°(两直线平行，同旁内角互补)．7．如图，已知BC∥GE，∠AFG＝∠1＝50°.(1)求证：AF∥DE；(2)若AQ平分∠FAC，交BC于点Q，且∠Q＝15°，求∠ACQ的度数．解：(1)证明：∵BC∥GE，∴∠E＝∠1＝50°.∵∠AFG＝∠1＝50°，∴∠E＝∠AFG＝50°.∴AF∥DE.(2)过点A作AP∥GE，∵BC∥GE，∴AP∥GE∥BC.∴∠FAP＝∠AFG＝50°，∠PAQ＝∠Q＝15°.∴∠FAQ＝∠FAP＋∠PAQ＝65°.∵AQ平分∠FAC，∴∠CAQ＝∠FAQ＝65°.∴∠CAP＝80°.∴∠ACQ＝180°－∠CAP＝100°.。
平行线拐点模型1(铅笔型)课件(共16张PPT) 人教版七年级数学下册第五章相交线与平行线
解：如图，过点C作CM//AB，过点D作DN//AB，
∵ AB//EF，
∴ AB//EF//CM//DN.
∵ CM//AB，
∴ ∠ABC + ∠BCM = 180∘ （两直线平行，同旁内角互补）.
∵ CM//DN，
∴ ∠MCD + ∠NDC = 180∘ （两直线平行，同旁内角互补）.
【例3】 如图，将有一个角为60∘ 的直角三角尺放置在两条平行线AB和CD
A. 180∘
B. 270∘
C. 360∘
D. 540∘
2.如图，直线AB∥CD，∠A＝140°，∠E＝120°，则∠C的度数是（
C ）
A．80°
B．120° C．100°
D．140°
3.如图，直线AB∥EF，那么∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF＝（ C ）
A．270°
B．360° C．540°
∘
2.如图，//，则∠ + ∠ + ∠ + ∠ =_______.
典例讲解
【例1】如图，这是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平
行∠1＝32°，∠2＝62°则∠3的度数是（ C ）
A．118°
B．148°
C．150°
D．162°
【例2】如图，已知AB//EF，求∠ABC + ∠BCD + ∠CDE + ∠DEF的度数.
上，若∠1 = 36∘ ，求∠2的度数.
解：如图18，过点F作EF//AB.
由平行线的性质，得∠EFG = ∠1 = 36∘ .
则∠EFH = 60∘ − ∠EFG = 24∘ .
由AB//CD，EF//AB，得EF//CD.
2022年人教版七年级下册数学同步培优小专题(一)平行线中的拐点问题
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2.如图,AB∥CD,BE 平分∠ABF,DE 平分∠CDF,∠BFD＝120°.
求∠BED 的度数.
小专题(一) 平行线中的拐点问题
解:过点 F 作 FG∥AB(点 G 在点 F 的右侧),
∴∠BFG＝∠ABF.
∵AB∥CD,∴FG∥CD,∴∠CDF＝∠DFG,
∴∠ABF+∠CDF＝∠BFG+∠DFG＝∠BFD＝120°.
∴∠BED＝∠BEH+∠DEH＝∠ABE+∠CDE＝60°.
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小专题(一) 平行线中的拐点问题
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类型2 多拐点问题
3.如图,直线 l1∥l2,∠CAB＝125°,∠ABD＝85°,则∠1+∠2 等于
(
A
A.30°
)
B.36°
C.40°
D.85°
小专题(一) 平行线中的拐点问题
4.如图,直线 a∥b,∠1+∠分∠ABF,DE 平分∠CDF,
1
1
2
2
∴∠ABE＝ ∠, ∠＝ ∠CDF,
1
∴∠ABE+∠CDE＝ (∠ABF+∠CDF)＝60°.
2
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小专题(一) 平行线中的拐点问题
过点 E 作 EH∥AB(点 H 在点 E 的右侧),
∴∠BEH＝∠ABE.
∵AB∥CD,∴EH∥CD,∴∠DEH＝∠CDE,
小专题(一) 平行线中的拐点问题
值得注意的是,多拐点问题均可拆分为单拐点问题,然后再利
用上述模型解决.
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小专题(一) 平行线中的拐点问题
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类型1 单拐点问题
1.如图,AB∥CD,∠BAP＝120°,∠APC＝40°,则∠PCD＝( D )
人教版七下数学第04讲 平行线中的“拐点”问题突破技巧(学生版)
第04讲 平行线中的“拐点”问题突破技巧（原卷版）第一部分 专题典例剖析+针对训练类型一 过拐点作平行线——“M”型图形研究（1）基本型“M”型及变式运用典例1 如图，已知：AB∥CD ，试说明：∥B ＋∥D ＋∥BED ＝360°．典例2（2019•菏泽）如图，AD ∥CE ，∥ABC ＝100°，则∥2﹣∥1的度数是 ．针对练习11．（2019•荆州）已知直线m ∥n ，将一块含30°角的直角三角板ABC 按如图方式放置（∥ABC ＝30°），其中A ，B 两点分别落在直线m ，n 上，若∥1＝40°，则∥2的度数为（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°2．(2021•徐州期中)如图，AB ∥DE ，∥1＝26°，∥2＝116°，则∥BCD ＝ °．BA EDC（2）“M”型套“M”型典例2 如图，已知AB ∥CD ，∥AFC ＝120°，∥EAF =15∥EAB ，∥ECF =15∥ECD ，则∥AEC 的度数为 ．针对练习23．如图，AB ∥CD ，BN ，DN 分别平分∥ABM ，∥MDC ，试问∥M 与∥N 之间的数量关系如何？请说明理由．（3）“M”型叠“M”型典例3 （2019春•老河口市期中）如图，AB ∥CD ，∥E ＝35°，∥F ＝∥G ＝30°，则∥A +∥C 的度数为 35° ．针对训练34．如图，AB ∥CD ，∥E +∥G ＝∥H ，则∥A +∥B +∥C +∥D +∥F 的度数为 ．类型二过拐点作平行线——“钩”型图形研究典例4（2020春•硚口区期末）已知AB∥CD（1）如图1，求证：∥ABE+∥DCE﹣∥BEC＝180°（2）如图2，∥DCE的平分线CG的反向延长线交∥ABE的平分线BF于F∥若BF∥CE，∥BEC＝26°，求∥BFC．∥若∥BFC﹣∥BEC＝74°，则∥BEC＝°．针对练习45．如图，AB∥CD，点E在AB与CD的上方，请你探索∥1，∥2，∥E三者之间的数量关系，并说明理由．6．（2021春•揭阳期末）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB∥BC于B．（温馨提示：本题可能用到知识点：三角形三角和为180°）（1）如图1，若∥A＝40°，求∥C的度数；（2）如图2，过点B作BD∥AM于点D，说明：∥ABD＝∥C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在射线DM上，连结BE、BF、CF，BF平分∥DBC，BE平分∥ABD，若∥FCB+∥NCF＝180°，∥BFC＝3∥DBE，求∥EBC的度数．。
课件七年级数学人教版下册平行线中的拐点(拐角)问题专题
∴A．∠A1E2C0°=∠C-∠BA．130° C．140° D．150°
83．如图，所直示线，a若∥AbB，∥则CD∠，AB则D∠的A度，数∠D是，（∠E之）间的度数关系是（ ）
3（．3）如图利所用示上，述若结论AB解∥决CD问，题则：∠如A，图∠④D，，A∠BE∥之C间D，的∠度A数BE关和系∠是CD（E的平）分线相交于点F，∠E＝140°，求∠BFD的度数．
10．如图，桌面上有木条b、c固定，木条a在桌面上绕点O旋转n°（0＜n＜90）后与b平行，则n=（ ）
过点E作EF,使得EF∥AB
如图②，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝
，请你说明理由；
3．如图所示，若AB∥CD，则∠A，∠D，∠E之间的度数关系是（ ）
A．72° B．68° C．63° D．18°
（A．2）340如°．图③如，BM．图A315∥°，NA4A，CD则．∠∥4A01°C+∠BA2+，D∠．A34∠+5∠°DA4=＝43°； ，∠B=25°，则∠DEB的度数为（
）
7．如图，已知AB∥CD，∠C=70°，∠F=30°，则∠A的度数为（ ）
如图AB∥CD，∠1=140°，∠2=90°，则∠3的度数是（ ）
模型3:平行线间的“枝丫”模型（锄头型和犀牛角型）
小结
问题1：关于平行线中“拐角”问题，如何添加辅助线？ 问题2：如何寻找动角之间的数量关系？
课后检测
1．如图，已知AB∥DE，∠B=20°，∠D=130°，那么∠BCD等于（ ） A．60° B．70° C．80° D．90° 2.如图AB∥CD，∠1=140°，∠2=90°，则∠3的度数是（ ）
模型2:平行线间的“铅笔”模型（子弹头）
专题：巧解平行线中的拐点问题(解析版)
七年级下册数学《第五章 相交线与平行线》专题 巧解平行线中的拐点问题【例题1】（2022春•内乡县期末）如图，AB ∥CD ，∠1＝45°，∠2＝30°，则∠3的度数为（ ）A ．55°B ．75°C ．80°D ．105°【分析】过点E作EM∥AB，利用平行线的性质得出∠3＝∠1+∠2＝75°．【解答】解：过点E作EM∥AB，如图所示，∵AB∥EM．∴∠HEM＝∠1＝45°．∵AB∥CD．∴EM∥CD．∴∠GEM＝∠2＝30°．∴∠3＝∠HEM+∠GEM＝75°．故选：B．【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练运用平行线的性质是解题的关键．【变式1-1】（2022春•香洲区校级期中）如图，已知AB∥DE，∠B＝150°，∠D＝145°，则∠C＝ 度．【分析】过点C作CF平行于AB，再根据平行线的性质解答即可．【解答】解：过点C作CF平行于AB，如图：∵AB∥DE，∴AB∥CF∥ED．AB∥CF⇒∠1＝180°﹣∠B＝30°，CF∥ED⇒∠2＝180°﹣∠D＝35°，∴∠BCD＝∠1+∠2＝65°．故填65°．【点评】结合题意和图形作出正确的辅助线是解决本题的关键．【变式1-2】（2022•博山区一模）如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（ ）A．360°B．300°C．270°D．180°【分析】先过点P作PA∥a，构造三条平行线，然后利用两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论．【解答】解：如图，过点P作PA∥a，则a∥b∥PA，∴∠3+∠NPA＝180°，∠1+∠MPA＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝180°+180°＝360°．故选：A．【点评】此题主要考查了平行线的性质，作出PA∥a，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是解决问题的关键．【变式1-3】（2022春•信都区期末）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°．求∠AEC的度数．小明在解决过程中，过E点作EF∥CD，则可以得到EF∥AB，其理由是 ，根据这个思路可得∠AEC＝ ．【分析】根据平行公理推论得到EF∥AB，再根据平行线的x性质求解即可．【解答】解：过E点作EF∥CD，∵AB∥CD，∴EF∥AB（平行于同一直线的两直线平行），∴∠EAB+∠AEF＝180°，∵EF∥CD，∴∠CEF+∠ECD＝180°，∵∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，∴∠AEF＝100°，∠CEF＝70°，∴∠AEC＝∠AEF﹣∠CEF＝30°．故答案为：平行于同一直线的两直线平行；30°．【点评】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．【变式1-4】如图，已知AB∥DE，∠1＝120°，∠2＝110°，求∠3的度数．【分析】过C作CF∥AB，得到AB∥DE∥CF，根据平行线的性质推出∠1+∠ACF＝180°，∠2+∠DCF＝180°，求出∠ACF、∠DCF的度数，根据∠3＝180°﹣∠ACF﹣∠DCF，即可求出答案．【解答】解：过C作CF∥AB，∴AB∥DE∥CF，∴∠1+∠ACF＝180°，∠2+∠DCF＝180°，∵∠1＝120°，∠2＝110°，∴∠ACF＝60°，∠DCF＝70°，∴∠3＝180°﹣∠ACF﹣∠DCF，＝180°﹣60°﹣70°＝50°，答：∠3的度数是50°．【点评】本题主要考查对平行线的性质平行公理及推论，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键．【变式1-5】如图，AB∥DE，∠1＝25°，∠2＝110°，求∠BCD的度数．【分析】过点C作CF∥AB，由平行公理的推论得出CF∥DE，再由平行线的性质求得∠4的度数为70°，再根据CF∥AB得∠3=∠1=25°，最后由角的和差求出∠BCD的度数即可．【解答】解：如图：过点C作CF∥AB，∵CF∥AB∴∠3＝∠1＝25°∴DF∥CE，∵∠4+∠2=180°，又∵∠2＝110°，∴∠4＝180°﹣∠2＝180°﹣110°＝70°，∴∠BCD＝∠3+∠4＝25°+70°＝95°．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．【变式1-6】（2021秋•南召县期末）课堂上老师呈现一个问题：下面提供三种思路：思路一：过点F作MN∥CD（如图（1））；思路二：过点P作PN∥EF，交AB于点N；思路三：过点O作ON∥FG，交CD于点N．解答下列问题：（1）根据思路一（图（1）），可求得∠EFG的度数为 ；（2）根据思路二、思路三分别在图（2）和图（3）中作出符合要求的辅助线；（3）请你从思路二、思路三中任选其中一种，试写出求∠EFG的度数的解答过程．【分析】（1）过F作MN∥CD，根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到∠EFG的度数；（2）由图可得，思路二辅助线的做法为过P作PN∥EF；思路三辅助线的做法为过O作ON∥FG；（3）若选择思路二，过P作PN∥EF，根据平行线的性质，可得∠NPD的度数，再根据∠1的度数以及平行线的性质，即可得到∠EFG的度数；若选择思路三，过O作ON∥FG，先根据平行线的性质，得到∠BON的度数，再根据平行线的性质以及垂线的定义，即可得到∠EFG的度数．【解答】解：（1）如图（1），过F作MN∥CD，∵MN∥CD，∠1＝30°，∴∠2＝∠1＝30°，∵AB∥CD，∴AB∥MN，∵AB⊥EF，∴∠3＝∠4＝90°，∴∠EFG＝∠3+∠2＝90°+30°＝120°．故答案为：120°；（2）由图可得，思路二辅助线的做法为过P作PN∥EF；思路三辅助线的做法为过O作ON∥FG；（3）若选择思路二，理由如下：如图（2），过P作PN∥EF，∵PN∥EF，EF⊥AB，∴∠ONP＝∠EOB＝90°，∵AB∥CD，∴∠NPD＝∠ONP＝90°，又∵∠1＝30°，∴∠NPG＝90°+30°＝120°，∵PN∥EF，∴∠EFG＝∠NPG＝120°；若选择思路三，理由如下：如图（3），过O 作ON ∥FG ，∵ON ∥FG ，∠1＝30°，∴∠PNO ＝∠1＝30°，∵AB ∥CD ，∴∠BON ＝∠PNO ＝30°，又∵EF ⊥AB ，∴∠EON ＝∠EOB +∠BON ＝90°+30°＝120°，∵ON ∥FG ，∴∠EFG ＝∠EON ＝120°．【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质并正确作出辅助线是解题关键．【例题2】如图，直线l 1∥l 2，∠A ＝125°，∠B ＝85°，则∠1+∠2等于（ ）A ．40°B ．35°C ．36°D ．30°【分析】过点A 作l 1的平行线，过点B 作l 2的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1，∠4＝∠2，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CAB +∠ABD ＝180°，然后计算即可得解．【解答】解：如图，过点A 作l 1的平行线AC ，过点B 作l 2的平行线BD ，则∠3＝∠1，∠4＝∠2，∵l 1∥l 2，∴AC ∥BD ，∴∠CAB +∠ABD ＝180°，∴∠3+∠4＝125°+85°﹣180°＝30°，∴∠1+∠2＝30°．故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．熟记性质并作辅助线是解题的关键．【变式2-1】（2022春•新洲区期末）如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（ ）A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360°B．∠A+∠D＝∠C+∠EC．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180°D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°【分析】过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，根据两直线平行，内错角相等可得∠A＝∠ACG，∠CDH＝∠DCG，两直线平行，同旁内角互补可得∠EDH＝180°﹣∠E，然后表示出∠C整理即可得解．【解答】解：如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，则∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，∵AB∥EF，∴CG∥DH，∴∠CDH＝∠DCG，∴∠C＝∠ACG+∠CDH＝∠A+∠D﹣（180°﹣∠E），∴∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180°．故选：C．【点评】本题考查了平行线的性质，此类题目难点在于过拐点作平行线．【变式2-2】如图所示，若AB∥CD，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是 ．【分析】过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，根据平行线的判定得出EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，根据平行线的性质得出即可．【解答】解：如图1，过E作EQ∥CD，过F作FW∥CD，过G作GR∥CD，过H作HY∥CD，∵CD∥AB，∴EQ∥FW∥GR∥HY∥AB∥CD，∴∠1+∠MEQ＝180°，∠QEF+∠EFW＝180°，∠WFG+∠FGR＝180°，∠RGH+∠GHY＝180°，∠YHN+∠6＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝5×180°＝900°．故答案为：900°.【点评】本题考查了平行线的性质，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．【变式2-3】（2022春•金湖县期末）如图，AB∥CD，E、F分别是AB、CD上的点，EH、FH分别是∠AEG 和∠CFG的角平分线．若∠G＝110°，则∠H＝ °．【分析】过点G作GM∥AB，根据平行线的性质可得∠AEG+∠EGM＝180°，再结合已知可得CD∥GM，然后利用平行线的性质可得∠CFG+∠MGF＝180°，从而可得∠AEG+∠CFG＝250°，再利用角平分线的定义可得∠HEG+∠GFH＝125°，最后利用四边形的内角和定理进行计算即可解答．【解答】解：过点G作GM∥AB，∴∠AEG+∠EGM＝180°，∵AB∥CD，∴CD∥GM，∴∠CFG+∠MGF＝180°，∴∠AEG+∠EGM+∠CFG+∠MGF＝360°，∵∠EGF＝∠EGM+∠MGF＝110°，∴∠AEG+∠CFG＝360°﹣∠EGF＝250°，∵EH、FH分别是∠AEG和∠CFG的角平分线，∴∠HEG=12∠AEG，∠GFH=12∠CFG，∴∠HEG+∠GFH=12∠AEG+12∠CFG＝125°，∴∠H＝360°﹣∠HEG﹣∠HFG﹣∠EGF＝125°，故答案为：125．【点评】本题考查了平行线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式2-4】（2022春•潜山市月考）如图，AB∥CD，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧．（1）若∠M＝90°，则∠AEM+∠CFM＝ ；（2）若∠M＝n°，∠BEM与∠DFM的角平分线交于点N，则∠N的度数为 ．（用含n的式子表示）【分析】（1）过点M作MP∥AB，则AB∥CD∥MP，根据两直线平行，内错角相等可得答案；（2）过点N作NQ∥AB，则AB∥CD∥NQ，根据两直线平行内错角相等和角平分线的定义可得答案．【解答】解：（1）过点M作MP∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥MP，∴∠1＝∠MEB，∠2＝∠MFD，∵∠M＝∠1+∠2＝90°，∴∠MEB+∠MFD＝90°，∵∠AEM+∠MEB+∠CFM+∠MFD＝180°+180°＝360°，∴∠AEM+∠CFM＝360°﹣90°＝270°．故答案为：270°；（2）过点N作NQ∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥NQ，∴∠3＝∠NEB，∠4＝∠NFD，∴∠NEB+∠NFD＝∠3+∠4＝∠ENF，∵∠BEM与∠DFM的角平分找交于点N，∵∠NEB=12∠MEB，∠DFN=12∠MFD，∴∠3+∠4＝∠BEN+∠DFN=12（∠MEB+∠MFD），由（1）得，∠MEB+∠MFD＝∠EMF，∴∠ENF=12∠EMF=12n°．故答案为：12 n°．【点评】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质定理和角平分线的定义是解题关键．【变式2-5】（1）填空：如图1，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2＝ °．如图2，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝ °．如图3，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝ °．如图4，MA1∥NA5，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝ °．（2）归纳：如图5，MA1∥NA n，则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n＝ °．（3）应用：如图6，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∠E＝80°，求∠BFD的度数．【分析】（1）①根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，可得结论；②根据平行于同一条直线的两条直线平行，把此问题转化为上题形式，可得结论；③在上题的基础上，多加一个180°，思路不变，可得结论；④在③的基础上，多加一个180°，思路不变，可得结论；（2）通过观察图形，寻找规律：两个A点时，结论是1×180°，三个A点时，结论是2×180°，四个A点时，结论是3×180°，所以n个A点时，即可得结论．（3）运用上述结论和角平分线定义可得结论．【解答】解：（1）如图1，∵MA1∥NA2，∴∠A1+∠A2＝180°．如图2，过点A2作A2C1∥A1M，∵MA1∥NA3，∴A2C1∥A1M∥NA3，∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A3＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3＝360°．如图3，过点A2作A2C1∥A1M，过点A3作A3C2∥A1M，∵MA1∥NA4，∴A2C1∥A3C2∥A1M∥NA4，∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A2A3C2＝180°，∠C2A3A4+∠A4＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°．如图4，过点A2作A2C1∥A1M，过点A3作A3C2∥A1M，过点A4作A4C3∥A1M，∵MA1∥NA5，∴A2C1∥A3C2∥A4C3∥NA5，∴∠A1+∠A1A2C1＝180°，∠C1A2A3+∠A2A3C2＝180°，∠C2A3A4+∠A3A4C3＝180°∠C3A4A5+∠A5＝180°，∴∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝720°．故答案为：180；360；540；720；（2）∵∠A1+∠A2＝180°＝1×180°∠A1+∠A2+∠A3＝360°＝2×180°∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝540°＝3×180°∴∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n＝180（n﹣1）°．故答案为：180（n﹣1）；（3）根据上述结论得：∠BFD＝∠ABF+∠CDF，∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，又∵∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∴2∠ABF+∠E+2∠CDF＝360°，即2（∠ABF+∠CDF）+∠E＝360°，∴2（∠ABF+∠CDF）＝360°﹣∠E＝360°﹣80°＝280°，∴∠ABF+∠CDF=12×280°＝140°，即∠BFD＝140°．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，解题时注意：平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系；还要注意规律性问题的探究过程．【例题3】小华在学习“平行线的性质”后，对图中∠B，∠D和∠BOD的关系进行了探究：（1）如图1，AB∥CD，点O在AB，CD之间，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？并说明理由；小华添加了过点O的辅助线OM，并且OM∥CD请帮助他写出解答过程；（2）如图2，若点O在CD的上侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？并说明理由；（3）如图3，若点O在AB的下侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系？请直接写出它们的关系式．【分析】（1）求出AB∥CD∥OM，根据平行线的性质得出∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，再得出答案即可；（2）求出AB∥CD∥OM，根据平行线的性质得出∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，再得出答案即可；（3）求出AB∥CD∥OM，根据平行线的性质得出∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，再得出答案即可．【解答】解：（1）∠BOD＝∠D+∠B，理由是：∵AB∥CD，OM∥CD，∴AB∥CD∥OM，∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，∴∠DOB＝∠DOM+∠BOM＝∠B+∠D；（2）∠B＝∠BOD+∠D，理由是：如图：过O作OM∥CD，∵AB∥CD，OM∥CD，∴AB∥CD∥OM，∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，∴∠B＝∠BOM＝∠DOM+∠DOB＝∠D+∠DOB；（3）∠D＝∠DOB+∠B，理由是：如图：过O作OM∥CD，∵AB∥CD，OM∥CD，∴AB∥CD∥OM，∴∠D＝∠DOM，∠B＝∠BOM，∴∠D＝∠DOM＝∠BOM+∠DOB＝∠B+∠DOB．【点评】本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，证明过程类似．【变式3-1】如图,已知∠1=70°，∠2=30°, EF平分∠BEC,∠BEF=50°，求证：AB∥CD.【分析】先过点E在∠BEC的内部作EM∥AB，求出∠BME的度数，根据角平分线求出∠BEC的度数，从而求出∠CEM的度数，然后根据∠CEM=∠2，利用内错角相等，两直线平行得出EM∥AB.【解答】证明：如图，过点E在∠BEC的内部作EM∥AB，∵EF平分∠BEC,∠BEF=50°,∴∠BEC=2∠BEF=2×50°=100°，∵EM//AB,∴∠BEM=∠1=70°，∴∠CEM=∠BEC﹣∠BEM=100°﹣70°=30°，∵∠2=30°，∴∠CEM=∠2，.∴EM∥CD,又∵EM∥AB∴AB∥CD.【点评】本题考查平行线的性质，角平分线等知识，解题的关键是过点E在∠BEC的内部作EM//AB．【变式3-2】如图，点E在线段AC上，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠D．求证：BE⊥DE.【分析】过点E在∠BED的内部作EM∥AB，先根据平行线的性质得出∠1=∠BEM，∠DEM=∠2然后根据∠AEC=180°得出∠1+∠BEM+∠DEM+∠2=180°，从而得到∠BEM+∠DEM=90°,即可证明BE⊥DE.【解答】证明：过点E在∠BED的内部作EM∥AB，则∠B=∠BEM，∵∠1=∠B，∴∠1=∠BEM，又∵AB∥CD，EM∥CD，∴∠D=∠DEM，∵∠2=∠D，∠DEM=∠2，∴∠1+∠BEM+∠DEM+∠2=180°，∴∠BEM+∠DEM=90°,即∠BED=90，∴BE⊥DE.【点评】本题考查平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式3-3】（2022春•阳江期末）如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．（1）试证明：∠O＝∠BEO+∠DFO．（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．【分析】（1）作OM∥AB，根据平行线的性质得∠1＝∠BEO，由于AB∥CD，根据平行线的传递性得OM∥CD，根据平行线的性质得∠2＝∠DFO，所以∠1+∠2＝∠BEO+∠DFO；（2）作OM∥AB，PN∥CD，由AB∥CD得到OM∥PN∥AB∥CD，根据平行线的性质得∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，所以∠1+∠2+∠PFC＝∠BEO+∠3+∠4，即∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．【解答】（1）证明：作OM∥AB，如图1，∴∠1＝∠BEO，∵AB∥CD，∴OM∥CD，∴∠2＝∠DFO，∴∠1+∠2＝∠BEO+∠DFO，即：∠O＝∠BEO+∠DFO．（2）解：∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．理由如下：作OM∥AB，PN∥CD，如图2，∵AB∥CD，∴OM∥PN∥AB∥CD，∴∠1＝∠BEO，∠2＝∠3，∠4＝∠PFC，∴∠1+∠2+∠PFC＝∠BEO+∠3+∠4，∴∠O+∠PFC＝∠BEO+∠P．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．【变式3-4】（2022秋•驿城区校级期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC 度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．请写出具体求解过程．问题迁移：（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．【分析】过P作PE∥AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC＝45°+55°＝100°．（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（2）分两种情况：①点P在A、M两点之间，②点P在B、O两点之间，分别画出图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出结论．【解答】解：过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝180°﹣∠A＝45°，∠CPE＝180°﹣∠C＝55°，∴∠APC＝45°+55°＝100°；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）当点P在A、M两点之间时，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如图4，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；当点P在B、O两点之间时，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．【点评】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．【变式3-5】阅读下面内容，并解答问题在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，C于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．（1）直线EG，FG有何关系？请补充结论：求证：“ ”，并写出证明过程；（2）请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择 题，并写出解答过程．A．在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，求∠EMF的度数．B．如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，请猜想∠EOF与∠EPF满足的数量关系，并证明它．【分析】（1）利用平行线的性质以及三角形的内角和定理解决问题即可．（2）A、利用基本结论，∠M＝∠BEM+∠DFM求解即可．B、利用基本结论∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP求解即可．【解答】解：（1）结论：EG⊥FG；理由：如图1中，∵AB∥CD，∴∠BEF+∠DFE＝180°，∵EG平分∠BEF，FG平分∠DFE，∴∠GEF=12∠BEF，∠GFE=12∠DFE，∴∠GEF+∠GFE=12∠BEF+12∠DFE=12(∠BEF+∠DFE)=12×180°=90°，在△EFG中，∠GEF+∠GFE+∠G＝180°，∴∠G＝180°﹣（∠GEF+∠GFE）＝180°﹣90°＝90°，∴EG⊥FG．故答案为：EG⊥GF；（2）A．如图2中，由题意，∠BEG+∠DFG＝90°，∵EM平分∠BEG，MF平分∠DFG，∴∠BEM+∠MFD=12（∠BEG+∠DFG）＝45°，∴∠EMF＝∠BEM+∠MFD＝45°，B．结论：∠EOF＝2∠EPF．理由：如图3中，由题意，∠EOF＝∠BEO+∠DFO，∠EPF＝∠BEP+∠DFP，∵PE平分∠BEO，PF平分∠DFO，∴∠BEO＝2∠BEP，∠DFO＝2∠DFP，∴∠EOF＝2∠EPF，故答案为：A或B．【点评】本题考查平行线的性质，命题与定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【例题4】（2022秋•小店区校级期末）（1）问题背景：如图1，已知AB ∥CD ，点P 的位置如图所示，连结PA ，PC ，试探究∠APC 与∠A 、∠C 之间的数量关系，以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：解：过点P 作PE ∥AB∵AB ∥CD （已知），∴PE ∥CD （ ），∴∠A ＝∠APE ，∠C ＝∠CPE （ ），∴∠A +∠C ＝ + （等式的性质）．即∠APC ，∠A ，∠C 之间的数量关系是 ．（2）类比探究：如图2，已知AB ∥CD ，线段AD 与BC 相交于点E ，点B 在点A 右侧．若∠ABC ＝41°，∠ADC ＝78°，则∠AEC ＝ ．（3）拓展延伸：如图3，若∠ABC 与∠ADC 的角平分线相交于点F ，请直接写出∠BFD 与∠AEC 之间的数量关系 ．【分析】（1）利用题干中的思路，依据两条直线平行的判定，平行线的性质和等式的性质解答即可；（2）利用类比的方法，依据（1）的思路与方法解答即可；（3）利用类比的方法，依据（1）的思路与方法分别计算∠BFD 与∠AEC ，观察结论即可得出结论．【解答】解：（1）过点P 作PE ∥AB ，∵AB ∥CD （已知），∴PE ∥CD（平行于同一直线的两直线平行），∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE（两直线平行，内错角相等），∴∠A+∠C＝∠APE+∠CPE（等式的性质）．即∠APC，∠A，∠C之间的数量关系是：∠APC＝∠A+∠C．故答案为：平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠APE；∠CPE；∠APC＝∠A+∠C；（2）过点E作EP∥AB，如图，∵AB∥CD（已知），∴∠ADC＝∠BAD＝78°，∴PE∥CD，∴∠BAD＝∠AEP＝78°，∠ABC＝∠PEC＝41°，∴∠AEC＝∠AEP+∠PEC＝78°+41°＝119°，故答案为：119°；（3）由（2）知：∠AEC＝∠ABC+∠ADC，∵DF，BF分别是∠ABC，∠ADC的平分线，∴∠ABC＝2∠ABF，∠ADC＝2∠FDC，∴∠AEC＝2（∠ABF+∠FDC）．过点F作FP∥AB，如图，则∠ABF＝∠BFP，∵AB∥CD，∴FP∥CD，∴∠PFD＝∠FDC，∴∠BFD＝∠BFP+∠PFD＝∠ABF+∠FDC，∴2∠BFD＝∠AEC，故答案为：2∠BFD＝∠AEC．【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，利用类比的方法解答是解题的关键．【变式4-1】（2021秋•长春期末）小明同学遇到这样一个问题：如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．小亮帮助小明给出了该问的证明．证明：过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，猜想：如图②，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度数．拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接PA、PB（BD＜AC），直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．【分析】猜想：过点P作PH∥AC，然后得到BD∥PH，从而得到∠PAC＝∠APH，∠PBD＝∠BPH，然后得到∠APB的度数；拓展：分情况讨论，当点P在线段CD上时，当点P在射线DF上时，当点P在射线CE上时，然后过点P 作PH∥AC，再利用平行线的性质进行探究角之间的数量关系．【解答】解：猜想：如图1，过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠APH+∠BPH＝∠PAC+∠PBD，∵∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，∴∠APB＝15°+40°＝55°．拓展：①如图1，当点P在线段CD上时，由猜想可知，∠APB＝∠PAC+∠PBD；②如图2，当点P在射线DP上时，过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠APH﹣∠BPH＝∠PAC﹣∠PBD；③如图3，当点P在射线CE上时，过点P作PH∥AC，则∠PAC＝∠APH，∵l1∥l2，∴BD∥PH，∴∠PBD＝∠BPH，∴∠APB＝∠BPH﹣∠APH＝∠PBD﹣∠PAC；综上所述，∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系为∠APB＝∠PAC+∠PBD或∠APB＝∠PAC﹣∠PBD或∠APB ＝∠PBD﹣∠PAC．【点评】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练作出辅助线构造平行线，然后通过平行线的性质得到内错角相等．【变式4-2】（2022春•龙亭区校级期末）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD 之间，连接GE、GF．（1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：①如图1，若EG⊥FG，则∠P的度数为 ；②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度数；（2）如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当∠EOF+∠EGF ＝100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．【分析】（1）①②根据平行线的性质，以及角平分线的定义即可求解；（2）过点O作OT∥AB，则OT∥CD，设∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，根据平行线的性质求得α+β＝80°，进而根据3∠OEA﹣∠OFC＝3β﹣（β﹣2a）＝2β+2α﹣160°即可求解．【解答】解：（1）①如图，分别过点G，P作GN∥AB，PM∥AB，∴∠BEG＝∠EGN，∵AB∥CD，∴∠NGF＝∠GFD，∴∠EGF＝∠BEG+∠GFD，同理可得∠EPF＝∠BEP+∠PFD，∵EG⊥FG，∴∠EGF＝90°，∵EP平分∠BEG，FP平分∠DFG；∴∠BEP=12∠BEG，∠PFD=12∠GFD，∴∠EPF=12（∠BEG+∠GFD）=12∠EGF＝45°，故答案为：45°；②如图，过点Q作QR∥CD，∵∠BEG＝40°，∵EG恰好平分∠BEQ，FD恰好平分∠GFQ，∠GEQ＝∠BEG＝40°，∠GFD＝∠QFD，设∠GFD＝∠QFD＝α，∵QR∥CD，AB∥CD，∴∠EQR＝180°﹣∠QEB＝180°﹣2∠QEG＝100°，∵CD∥QR，∴∠DFQ+∠FQR＝180°，∴α+∠FQR＝180°，∴α+∠FQE＝80°，∴∠FQE＝80°﹣α，由①可知∠G＝2∠P＝∠BEG+∠GFD＝40°+α，∴∠FQE+2∠P＝80°﹣α+40°+α＝120°；（2）结论：∠OEA+2∠PFC＝160°．理由：∵在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC，线段GE的延长线平分∠OEA，设H为线段GE的延长线上一点，∴∠OFC＝∠OFG，∠OEH＝∠HEA，设∠OFC＝∠OFG＝β，∠OEH＝∠HEA＝α，如图，过点O作OT∥AB，则OT∥CD，∴∠TOF＝∠OFC＝β，∠TOE＝∠OEA＝2α，∴∠EOF＝β﹣2α，∵∠HEA＝∠BEG＝a，∠GFD＝180°﹣2β，由（1）可知∠G＝∠BEG+∠GFD＝α+180°﹣2β，∵∠EOF+∠EGF＝100°，∴β﹣2α+α+180°﹣2β＝100°，∴α+β＝80°，∴12∠OEA+∠OFC＝80°，∴∠OEA+2∠PFC＝160°．【点评】本题考查了平行线的性质，以及角平分线的定义，掌握平行线的性质是解题的关键．【变式4-3】（2021春•安徽月考）（1）如图1，直线AB∥CD．点P在直线AB，CD之间，试说明：∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°．小明说明的过程是这样的：“过点P作PE∥AB，…”请按照小明的思路写出完整的解答说明过程．（2）①直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的同侧，如图2，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由；②直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的两侧．如图3，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由．请在①②任选一个问题进行解答．（3）如图4，若a∥b，直接写出图中x的度数（不用说理）．【分析】（1）过点P作PE∥AB，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，可得∠BAP+∠APE＝180°，∠DCP+CPE＝180°，根据等式的性质可得∠BAP+∠APE+∠DCP+CPE＝360°，即可得出答案；（2）①过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥CD，如图5，根据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，∠BAP+∠APE＝180°，∠EPQ+∠PQF＝180°，∠FQC+∠QCD＝180°，根据等式的性质可得∠BAP+∠APE+∠EPQ+∠PQF+∠FQC+∠QCD＝180°+180°+180°，即可得出答案；（3）如图4，根据平行线模型﹣锯齿模型定理，朝向左边的角的和＝朝向右边的角的和，根据邻补角的定义，120°角的邻补角为60°，所以可列x+48°＝60°+30°+30°，求出x即可得出答案．【解答】解：（1）过点P作PE∥AB，∵AB∥PE，∴∠BAP+∠APE＝180°，∵CD∥PE，∴∠DCP+CPE＝180°，∴∠BAP+∠APE+∠DCP+CPE＝360°，∴∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°；（2）①过点P作PE∥AB，过点Q作QF∥CD，如图5，∵PE∥AB，∴∠BAP+∠APE＝180°，∵AB∥CD，∴PE∥QF，∴∠EPQ+∠PQF＝180°，∵QF∥CD，∴∠FQC+∠QCD＝180°，∵∠BAP+∠APE+∠EPQ+∠PQF+∠FQC+∠QCD＝180°+180°+180°，∴∠BAP+∠APQ+∠PQC+∠QCD＝540°；（3）x＝72°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质进行求解是解决本题的关键．【变式4-4】（2022春•兴国县期末）【感知】（1）如图①，AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF 的度数．小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程．解：如图①，过点P作PM∥AB，【探究】（2）如图②，AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数；【应用】（3）如图③，在以上【探究】条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数．（4）已知直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上（点C在点D的左侧），连接AD，BC，∠ABC的平分线与∠ADC的平分线所在的直线交于点E，设∠ABC＝α，∠ADC＝β（α≠β），请画出图形并求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．【分析】（1）根据平行线的性质与判定可求解；（2）过点P作PM∥AB，根据AB∥CD，PM∥CD，进而根据平行线的性质即可求∠EPF的度数；（3）如图③所示，在[探究]的条件下，根据∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，可得∠G的度数；（4）画出图形，分点A在点B左侧和点A在点B右侧，两种情况，分别求解．【解答】解：（1）如图①，过点P作PM∥AB，∴∠1＝∠AEP＝40°（两直线平行，内错角相等），∵AB∥CD，∴PM∥CD（平行于同一直线的两条直线平行），∴∠2+∠PFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠PFD＝130°，∴∠2＝180°﹣130°＝50°，∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°，即∠EPF＝90°；（2）如图②，过点P作PM∥AB，∴∠MPE＝∠AEP＝50°（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD（已知），∴PM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），∴∠PFC＝∠MPF＝120°（两直线平行，内错角相等）．∴∠EPF＝∠MPF﹣∠MPE＝120°﹣50°＝70°（等式的性质）．（3）如图③所示，∵EG是∠PEA的平分线，FG是∠PFC的平分线，∴∠AEG=12∠AEP＝25°，∠GFC=12∠PFC＝60°，过点G作GM∥AB，∴∠MGE＝∠AEG＝25°（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD（已知），∴GM∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），∴∠GFC＝∠MGF＝60°（两直线平行，内错角相等），∠G＝∠MGF﹣∠MGE＝60°﹣25°＝35°；（4）当点A在B左侧时，如图，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，∴∠ABE＝∠BEF，∠CDE＝∠DEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β，∴∠ABE＝∠BEF=12α，∠CDE＝∠DEF=12β，∴∠BED＝∠BEF+∠DEF=αβ2，当点A在B右侧时，点E在AB和CD外时，点E在AB上方时，如图，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，∴∠DEF＝∠CDE，∠ABG＝∠BEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β，∴∠DEF＝∠CDE=12β，∠ABG＝∠BEF=12α，∴∠BED＝∠BEF﹣∠DEF=α−β2，当点A在B右侧时，点E在AB和CD外时，点E在AB下方时，同理可求∠BED=β−α2，当点A在B右侧时，点E在AB和CD内时，过点E作EF∥AB，则EF∥CD，∴∠DEF+∠CDE＝180°，∠ABE＝∠BEF，∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β，∴∠CDE=12β，∠ABE＝∠BEF=12α，∴∠DEF＝180°−12β，∴∠BED＝∠DEF+∠BEF＝180°−12β+12α，或∠BED＝360°﹣（∠DEF+∠BEF）＝180°+12β−12α，综上，∠BED的度数为αβ2或α−β2或180°−12β+12α或180°+12β−12α．【点评】本题考查了平行线的判定与性质、平行公理及推论，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．。
人教版七年级下册数学作业课件 第五章 解题技巧专题：平行线中的拐点问题
设∠ABF＝∠EBF＝x， ∠ECN＝∠DCN＝y. 由(1)知∠ABE＋∠ECD－∠E＝180°， 即∠E＝2(x＋y)－180°. 如图③，过 M 作 PQ∥AB. ∵AB∥CD，∴PQ∥CD. 则∠PMF＝∠ABF＝x， ∠QMN＝∠DCN＝y.
∴∠FMN＝180°－∠PMF－ ∠QMN＝180°－(x＋y)． ∴∠E＋∠FMN＝x＋y. ∵∠E＋∠FMN＝125°， ∴x＋y＝125°. ∴∠FMN＝180°－(x＋y)＝180°－125°＝55°.
8．(2020·黄冈中考)如图，AB∥EF，∠ABC＝75°， ∠CDF＝135°，则∠BCD＝ 30 °.
9．如图，若 a∥b，则图中 x 的度数是 72 °.
10．(2020·蚌埠期末)如图，AB∥CD，E 为直线 CD 下方一点，BF 平分∠ABE. (1)试说明：∠ABE＋∠C－∠E＝180°； 解：过点 E 向右作 EK∥AB， 如图①所示，则∠ABE＝∠BEK. ∵AB∥CD，∴EK∥CD. ∴∠CEK＋∠C＝180°. ∴∠ABE＋∠C－∠BEC＝∠BEK＋ ∠C－∠BEC＝∠CEK＋∠C＝180°.
(C) A．120° B．135° C．150° D．165°
◆类型二 多拐点问题 6．如图，AB∥EF，∠D＝90°，则α，β，γ的数量关 系是( D ) A．β＝α＋γ B．β＝α＋γ－90° C．β＝γ＋90°－α D．β＝α＋90°－γ
7．如图，一环湖公路的 AB 段为东西方向，经过四 次拐弯后，又变成了东西方向的 EF 段，则∠B＋ ∠C＋∠D＋∠E 的度数是 540° .
模型1：内凹型
模型2：外凸型
如图，AB∥DE.
如图，a∥b.
方法：
方法：过拐点
过拐点向左
第4讲 平行线拐点问题 讲义 2023-2024学年人教版七年级数学下册
第4讲平行线拐点问题【教学目标】：掌握平行线拐点的几种模型，能够根据相关模型的结论解题。
【教学重难点】：拐点模型的运用。
【考点解析】情景引入：已知如图，AB∥CD，若线段BC是拉直的橡皮筋，在BC上任取一点E，向不同的方向拉动点E，那么∠B、∠C、∠BEC之间有何关系呢？一个动点与两条平行线的位置关系①点在两平行线之间②点在两平行线之外【典例讲解】例1.铅笔型如图，已知：AB∥CD，点E是平面内一点，那么∠BED与∠B、∠D之间的数量关系是什么呢？例2.猪蹄型如图2，已知：AB∥CD，点E是平面内一点，那么∠BED与∠B、∠D之间的数量关系是什么呢？总结：辅助线添法：过拐点作已知直线的平行线或延长线（利用邻补角互补，三角形内角和），逢“拐点”,作平行。
一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线。
针对练习11..如下图所示，直线AB∥CD，∠B=23°，∠D=42°，则∠E=______。
2.如果AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=( )A.180°B. 270°C.360°D.540°135°145°A DE BC第2题图第3题图3.如图，AD∥BC，∠B=135°，∠A=145°，则∠E=___________.4.已知：如图，AB//CD，试解决下列问题：（1）∠1＋∠2＝______；（2）∠1＋∠2＋∠3＝_____；（3）∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝____；（4）试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n ＝_______；例3. 锄头型将点E 向线段AB 的右上方拉动，如图. 已知AB ∥CD ，∠A 、∠C 、∠AEC 之间的关系. D C BA E例4. 犀牛角型或靴子型若将点E 向线段AB 的左上方拉动（如图）. 已知AB ∥CD ，问∠B 、∠D 、∠ABE 的关系.针对练习21. 如图，AB ∥CD ，∠C=75°，∠A=25°，则∠E 的度数的为___________.75°25°CD FB AE2.如图，已知：AB∥CD，CE分别交AB、CD于点F、C，若∠E=20°，∠C=45°，则∠A 的度数为（）A. 5°B. 15°C. 25°D. 35°总结：模型结论【综合练习】1.如图：已知AB∥CD∥EF，EH⊥CD于H，则∠BAC+∠ACE+∠CEH等于（）A．180°B．270° C．360° D．450°2.如图，若AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间关系是（）A．∠α+∠β+∠γ=180°B．∠α+∠β﹣∠γ=360°C．∠α﹣∠β+∠γ=180°D．∠α+∠β﹣∠γ=180°3.学习平行线的性质后，老师给小明出了一道题：如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是多少度？请你帮小明求出（）A．120°B．130°C．140°D．150°4.已知:如图所示∠ABC=80°,∠BCD=40°,∠CDE=140°.求证：AB//DE.5.如图所示，已知：AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且AB∥CD．求证：∠1+∠2=90°．【课后作业】1.如图，直线l1∥l2，∠1=50°，∠2=22°，则∠3的度数为（）A．28°B．38°C．68°D．82°2.如图，AB∥MP∥CD，MN平分∠AMD，∠A=40°，∠D=60°，那么∠NMP的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．10°3.如图，nm//，那么∠1、∠2、∠3的关系是（）A ∠1+∠2+∠3=360°B ∠1+∠2-∠3=180°C ∠1-∠2+∠3=180°D ∠1+∠2+∠3=180°4.如图，已知a∥b，∠1=130°，∠2=90°，则∠3=（）A．70°B．100°C．140°D．170°5.如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝度．6.如图，将一张长方形纸片ABCD折叠成如图所示的形状，∠EGC＝26°，求∠DFG的度数．。
专题03 平行线中的拐点问题期末真题汇编(原卷版)-23-2024学年七年级数学下学期期末(人教版)
专题03平行线中的拐点问题期末真题汇编之五大模型平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角.本专题就平行线中的拐点模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握.拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角.通用解法：见拐点作平行线；基本思路：和差拆分与等角转化.模型一：猪蹄模型或锯齿模型【模型解读】图1图2图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.【模型证明】（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM，∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1模型二：铅笔头模型图1图2图3如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ，∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D，∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN，∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．模型三：牛角模型图1图2如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180°【模型证明】在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°图1图2∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3.在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°.注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F 等.模型四：羊角模型图1图2如图1，已知：AB ∥DE ，结论：αγβ=-.如图2，已知：AB ∥DE ，结论：180αβγ++=︒.【模型证明】在图1中，过C 作AB 的平行线CF ，∴∠β＝∠FCB图1图2∵AB ∥DE ，∴CF ∥DE ，∴∠γ=∠FCD ，∵∠α=∠FCD-∠FCB ，∴∠α=∠γ-∠β.在图2中，过C 作AB 的平行线CF ，∴∠β＝∠FCB∵AB ∥DE ，∴CF ∥DE ，∴∠γ+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠α+∠FCB ，∴∠α+∠β+∠γ-∠=180°.模型五：蛇形模型基本模型：如图，AB ∥CD ，结论：∠1+∠3－∠2=180°.图1图2如图1，已知：AB ∥DE ，结论：180αγβ+=+︒.如图2，已知：AB ∥DE ，结论：180αβγ+=+︒.【模型证明】在图1中，过C 作AB 的平行线CF ，∴∠β＝∠FCB.∵AB ∥DE ，∴CF ∥DE ，∴∠γ+∠FCD=180°，∵∠α=∠FCD +∠FCB ，∴∠α+∠γ=∠β+180°在图2中，过C 作AB 的平行线CF ，∴∠β+∠FCB=180°，∵AB ∥DE ，∴CF ∥DE ，∴∠γ=∠FCD ，∵∠α=∠FCD+∠FCB ，∴∠α+∠β=∠γ+180°平行线中的拐点问题之猪蹄模型或锯齿模型例题：（22-23七年级下·广西崇左·期末）如图：AB CD ，28B ∠=︒，60E ∠=︒，则D ∠=．【变式训练】1．（22-23七年级下·重庆彭水·期末）如图，已知直线AB CD ∥，点E 在AB 和CD 之间，连接AE CE ，，若255∠=︒，335∠=︒，则1∠=︒．2．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）如图，AB CD ∥，射线FE ，FG 分别与AB ，CD 交于点M ，N ，若3F FND EMB ∠=∠=∠，则F ∠的度数是．平行线中的拐点问题之铅笔头模型例题：（22-23七年级下·湖南永州·期末）如图所示，已知AB CD ∥，135A ∠=︒，140C ∠=︒，则P ∠的度数是．【变式训练】1．（22-23七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，已知AE DF ∥，则A B C D ∠+∠+∠+∠=．2．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，已知直线AB CD ∥，点M ，N 分别在直线AB ，CD 上，点E 为AB ，CD 之间一点，且点E 在线段MN 的右侧，128MEN ∠=︒．若BME ∠与DNE ∠的平分线相交于点1E ，1BME ∠与1DNE ∠的平分线相交于点2E ，2BME ∠与2DNE ∠的平分线相交于点3E ，……以此类推，若4n ME N ∠=︒，则n 的值是．3．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）下列各图中的1MA 与n NA 平行．图1中的12180A A ∠+∠=︒，图2中的123360A A A ∠+∠+∠=︒，图3中的1234540A A A A ∠+∠+∠+∠=︒，图4中的12345A A A A A ∠+∠+∠+∠+∠=︒，⋯据此推测，图10中的1231011A A A A A ∠+∠+∠+⋯+∠+∠=.︒平行线中的拐点问题之牛角模型例题：（23-24八年级上·辽宁阜新·期末）如图，已知AB CD ∥，100ABE ∠=︒，40BEC ∠=︒，则ECD∠的度数为．【变式训练】1．（22-23七年级下·湖北武汉·期末）如图，80AEC ∠=︒，在AEC ∠的两边上分别过点A 和点C 向同方向作射线AB 和CD ，且AB CD ，若EAB ∠和ECD ∠的角平分线所在的直线交于点P （P 与C 不重合），则APC ∠的大小为．平行线中的拐点问题之羊角模型例题：（21-22七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线AD ，BC ，然后在平行线间画了一点E ，连接CE ，DE 后（如图①），他用鼠标左键点住点E ，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，C ∠，D ∠与DEC ∠之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系．(1)请直接写出图①到图④各图中的C ∠，D ∠与DEC ∠之间的关系吗？(2)请从图③④中，选一个说明它成立的理由．【变式训练】1．（23-24七年级上·河南南阳·期末）【课题学习】平行线的“等角转化”．如图1，已知点A 是BC 外一点，连接AB ，AC ．求BAC B C ∠+∠+∠的度数．解：过点A 作ED BC ∥，B ∴∠=，C ∠=，又180EAB BAC DAC ∠+∠+∠=︒ ．B BAC C ∴∠+∠+∠=．【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程．【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将BAC ∠，B ∠，C ∠“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．【方法运用】（2）如图2所示，已知AB CD ∥，BE 、CE 交于点E ，80BEC ∠=︒，在图2的情况下求B C ∠-∠的度数．（3）如图3，若AB CD ∥，点P 在AB ，CD 外部，请直接写出B ∠，D ∠，BPD ∠之间的关系．2．（23-24七年级上·福建莆田·期末）如图，已知AB CD ∥，分别探索下列四个图形中APC ∠与A ∠，C ∠的关系．(1)如图①，A APC C ∠+∠+∠=_______；如图②，APC ∠=_______；如图③，APC ∠=______；如图④，APC ∠=______．(2)得到图②结论的过程如下：（补足理由）过P 点作PQ AB ∥，又∵AB CD ∥，∴PQ CD ∥（同平行于第三条直线的两直线平行）∵PQ AB ∥，PQ CD∥∴APQ ∠=_______，CPQ ∠=________（）∵APC APQ CPQ =+∠∠∠（图形性质）∴APC ∠=_______（等量代换）(3)仿照（2），在图③、④中，选一个写出得到结论的过程（给出理由）．平行线中的拐点问题之蛇形模型例题：（2021-23七年级下·河南周口·期末）如图，若AB CD ，则1∠=．【变式训练】1．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，AB CD ∥，点,E F 为AB 与CD 之间两点，AE EF ⊥，若36A ∠=︒，70F ∠=︒，则D ∠的度数为．2．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图a b ，则图中A ∠，B ∠，1∠，2∠的数量关系是．一、单选题1．（23-24九年级上·重庆渝北·期末）如图，已知AB CD ∥，33BAP ∠=︒，21DCP ∠=︒，则P ∠的度数为（）A ．52︒B ．53︒C ．54︒D ．55︒2．（23-24七年级上·山西长治·期末）如图，AB CD ，130PAB ∠=︒，120PCD ∠=︒，则APC ∠的度数为（）A ．140︒B ．130︒C ．120︒D ．110︒二、填空题3．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知AB CD ∥，22,33EAF BAF ECF DCF ∠=∠∠=∠，记AEC m AFC ∠=∠，则m 的值为．4．（23-24七年级上·四川乐山·期末）如图是一盏可调节台灯，如图为示意图．固定支撑杆AO ⊥底座MN 于点O ，AB 与BC 是分别可绕点A 和B 旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C 旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线CD 、CE 组成的DCE ∠始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线∥CD MN ，CE BA ∥，若158BAO ∠=︒，则DCE ∠=．三、解答题5．（23-24七年级上·吉林长春·期末）【感知探究】如图①，已知，AB CD ∥，点M 在AB 上，点N 在CD 上．求证：MEN BME DNE ∠=∠．【类比迁移】如图②，F ∠、BMF ∠、DNF ∠的数量关系为．（不需要证明）【结论应用】如图③，已知AB DE ∥，120BAC ∠=︒，80D ∠=︒，则ACD ∠=°．6．（23-24七年级上·云南昆明·期末）（1）如图①，12MA NA ∥，则12A A ∠+∠=_______；如图②，13MA NA ∥，则123A A A ∠+∠+∠=_______；（2）如图③，14MA NA ∥，则1234A A A A ∠+∠+∠+∠=_______；（3）利用上述结论解决问题：如图④，AB CD ∥，ABE ∠和CDE ∠的平分线相交于点F ，80E ∠=︒，求BFD ∠的度数．7．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知AB CD ，点E ，F 分别为AB ，CD 之间的点．(1)如图1，若100E ∠=︒，求B D ∠∠+的度数；(2)若36,108B D ∠=︒∠=︒．①如图2，请探索F E ∠-∠的度数是否为定值，请说明理由；②如图3，已知EP 平分BEF ∠，FG 平分EFD ∠，反向延长FG 交EP 于点P ，求P ∠的度数．8．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）综合与探究某学习小组发现一个结论：已知直线a b ，若直线a c P ，则b c P ．他们发现这个结论运用很广、请你利用这个结论解决以下问题．已知直线AB CD ，点E 在AB ，CD 之间，点P ，Q 分别在直线AB ，CD 上，连接PE ，EQ ．(1)如图1，作EH AB ∥，运用上述结论，探究PEQ ∠与APE CQE ∠+∠的数量关系，并说明理由．(2)如图2，3EPF BPF ∠=∠，3EQF DQF ∠=∠，求出F ∠与E ∠之间的数量关系．(3)如图3，直接写出1∠，2∠，E ∠，F ∠，G ∠之间的数量关系：__________．9．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）（1）问题情境：图①中，AB CD ∥，120BAP ∠=︒，130DCP ∠=︒，求APC ∠的度数.小明的思路是：过P 作PE AB ∥，通过平行线性质来求APC ∠.按小明的思路，易求得APC ∠的度数为_________；（直接写出答案）（2）问题探究：图②中，AB CD ∥，P 为AB CD ，之间一点，连接PA PC ，，试探究APC ∠与BAP ∠，PCD ∠之间的数量关系；（3）图③中，AB CD ∥，52AEP ∠=︒，122PFC ︒∠=，求EPF ∠的度数.10．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）问题情境1：如图1，AB CD ∥，P 是ABCD 内部一点，P 在BD 的右侧，探究B ∠，P ∠，D ∠之间的关系？（1）如图2，过P 作PE AB ，可得B ∠，P ∠，D ∠之间满足______关系．（直接写出结论）问题情境2如图3，AB CD ∥，P 是AB ，CD 内部一点，P 在BD 的左侧，（2）得B ∠，P ∠，D ∠之间满足______关系．（直接写出结论）问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：已知AB CD ∥，ABE ∠与CDE ∠两个角的角平分线相交于点F ．（3）如图4，若80E ∠=︒，求BFD ∠的度数；（写证明过程）（4）如图5中，13ABM ABF ∠=∠，13CDM CDF ∠=，写出M ∠与E ∠之间数量关系并证明结论．11．（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，AB CD ∥，定点E ，F 分别在直线AB CD ，上，平行线AB CD ，之间有动点P ，Q ．(1)如图1，当点P 在EF 的左侧时，AEP EPF PFC ∠∠∠，，满足数量关系为______；如图2，当点P 在EF 的右侧时，AEP EPF PFC ∠∠∠，，满足数量关系为______；(2)如图3，若点P ，Q 都在EF 的左侧，且EP FP ，分别平分AEQ CFQ ∠∠，，则EPF ∠和EQF ∠的数量关系为______．(3)如图4，若点P 在EF 的左侧，点Q 在EF 的右侧且EP FP ，分别平分AEQ CFQ ∠∠，，则EPF ∠和EQF ∠有怎样的数量关系？请说明理由．12．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，AB CD ∥，点E 、F 分别在直线AB ，CD 上，P 为直线AB 和CD 之间的一个动点，且满足0180EPF ︒<∠<︒．(1)如图1，EPF ∠、AEP ∠、PFC ∠之间的数量关系为．(2)如图2，EPF ∠、AEP ∠、PFC ∠之间的数量关系为．(3)如图3，QE ，QF 分别平分PEB ∠和PFD ∠，点P 在EF 左侧，点Q 在EF 右侧．①若60EPF ∠=︒，求EQF ∠的度数．②猜想规律：EPF ∠与EQF ∠的数量关系可表示为．③如图4，若BEQ ∠与DFQ ∠的角平分线交于点1Q ，1BEQ ∠与1DFQ ∠的角平分线交于点2Q ，2BEQ ∠与2DFQ ∠的角平分线交于点3Q ，……依此类推，则EPF ∠与2023EQ F ∠的数量关系是．。
人教版七年级数学下册 平行线证明问题中的拐点问题解法探究
平行线证明问题中的拐点问题解法探究平行线证明中的拐点问题，解决问题的方法，通常是过拐点作已知直线的平行线，利用平行公理的推论证平行，再利用平行线的性质问题就能得到解决，结论具有一般性，应该记住，解题时能达到事半功倍的效果。
已知：如图AB∥CD.探究：∠ABP、∠BPC、∠PCD三者关系。
解析：(1)过点P作PH∥AB,因为AB∥CD.∴PH∥AB∥CD∴∠ABP=∠BPH,∠DCP=∠CPH,∴∠ABP+∠DCP=∠BPH+∠CPH,又∠BPH+∠CPH=∠BPC∴∠ABP+∠DCP=∠BPC。
（2）过点P作PH∥AB,因为AB∥CD.∴PH∥AB∥CD∴∠ABP=∠BPH,∠DCP=∠CPH,∴∠DCP-∠ABP=∠CPH-∠BPH,又∠CPH-∠BPH=∠BPC∴∠DCP-∠ABP=∠BPC。
（3）(4)(5)与（2）证法相同结论两条直线平行，拐点无论是在两直线之间还是在两直线同侧，都有较大的角等于较较小两个角之和。
（6）过点P作PH∥AB,因为AB∥CD.∴PH∥AB∥CD∴∠ABP+∠BPH=1800,∠DCP+∠CPH=1800,∴∠ABP+∠DCP+∠BPH+∠CPH=3600,又∠BPH+∠CPH=∠BPC∴∠ABP+∠DCP+∠BPC=3600。
结论：拐点在两平行线之间且外凸，则有三个角之和等于3600.证明方法：过拐点作平行线，然后利用平行公理推论及平行线的性质来解决问题。
结论应用举例1.如图所示，AB∥CD,BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，相交于点E。
试探究BE与DE的位置关系，并说明理由。
解析：因为AB∥CD,BE平分∠ABD，DE平分∠BDC,所以2∠1+2∠2=1800，所以∠1+∠2=900.由上面的结论可知：∠BED=∠1+∠2=900，∴BE⊥DE。
2.如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个长方形，其中刀片的两条边缘线，看成两条平行线的线段，转动刀片时会形成如图所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是_____。
5-3平行线中的拐点问题课件人教版七年级数学下册
作业 :
1.导学案 2.名校课堂P19
结 束 语:Байду номын сангаас
摒弃侥幸之念 · 必取百炼成钢
厚积分秒之功 · 始得一鸣惊人
•
平行线中的
---拐点问题
学习目标
1、正确解决常见的拐点问题。 2、灵活运用平行公理的推论与平行线 的性质来解决相关问题。 3、培养自己一题多解，拓展提升的思 维能力。
向左 向上 右上
向右 向下 右下
AB//CD 求∠APC ,∠A ,∠C的数量关系
方法指导：
当两条平行线不是被第三条直线所截。
而是被一条折线所截时，平行线的性质则
不能直接应用。因此需过折线的“转折点”
作一条平行线，利用
得出
三条直线互相平行，从而多次利用
解决问题。
AB//CD 求∠APC ,∠A ,∠C的数量关系
AB//CD 求∠APC ,∠A ,∠C的数量关系
AB//CD 求∠APC ,∠A ,∠C的数量关系
AB//CD 求∠APC ,∠A ,∠C的数量关系
AB//CD 求∠APC ,∠A ,∠C的数量关系
铅笔型
M型 （燕尾型）
225°
B
15°
25°
已知a//b,请问图中∠1， ∠2 ， ∠3有何数量关系？
已知a//b,请问图中∠1， ∠2 ， ∠3有何数量关系？
多个拐点如何解决？仔细观察你能得到什么结论？
拐 过拐点来作平行， 点 铅笔和为3 6 0 。 问 燕尾犀牛锄头型， 题 大角等于小角和。 顺 锯齿左和等右和。 口 模型出头需注意， 溜 两大减小差180。
人教版七年级数学下册 平行线证明问题中的拐点问题解法探究
平行线证明问题中的拐点问题解法探究平行线证明中的拐点问题，解决问题的方法，通常是过拐点作已知直线的平行线，利用平行公理的推论证平行，再利用平行线的性质问题就能得到解决，结论具有一般性，应该记住，解题时能达到事半功倍的效果。
已知：如图AB∥CD.探究：∠ABP、∠BPC、∠PCD三者关系。
解析：(1)过点P作PH∥AB,因为AB∥CD.∴PH∥AB∥CD∴∠ABP=∠BPH,∠DCP=∠CPH,∴∠ABP+∠DCP=∠BPH+∠CPH,又∠BPH+∠CPH=∠BPC∴∠ABP+∠DCP=∠BPC。
（2）过点P作PH∥AB,因为AB∥CD.∴PH∥AB∥CD∴∠ABP=∠BPH,∠DCP=∠CPH,∴∠DCP-∠ABP=∠CPH-∠BPH,又∠CPH-∠BPH=∠BPC∴∠DCP-∠ABP=∠BPC。
（3）(4)(5)与（2）证法相同结论两条直线平行，拐点无论是在两直线之间还是在两直线同侧，都有较大的角等于较较小两个角之和。
（6）过点P作PH∥AB,因为AB∥CD.∴PH∥AB∥CD∴∠ABP+∠BPH=1800,∠DCP+∠CPH=1800,∴∠ABP+∠DCP+∠BPH+∠CPH=3600,又∠BPH+∠CPH=∠BPC∴∠ABP+∠DCP+∠BPC=3600。
结论：拐点在两平行线之间且外凸，则有三个角之和等于3600.证明方法：过拐点作平行线，然后利用平行公理推论及平行线的性质来解决问题。
结论应用举例1.如图所示，AB∥CD,BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，相交于点E。
试探究BE与DE的位置关系，并说明理由。
解析：因为AB∥CD,BE平分∠ABD，DE平分∠BDC,所以2∠1+2∠2=1800，所以∠1+∠2=900.由上面的结论可知：∠BED=∠1+∠2=900，∴BE⊥DE。
2.如图是我们常用的折叠式小刀，刀柄外形是一个长方形，其中刀片的两条边缘线，看成两条平行线的线段，转动刀片时会形成如图所示的∠1与∠2，则∠1与∠2的度数和是_____。
人教版初一数学下册《平行线中的“拐点“问题》教案
即ZE=ZB+ZD
小结：拐点问题常常需要过拐点图中点E）添加平行线，几何题也常会出现一题多解，一题多变（如今天的作业就是它的变
式）等。同学们要多动手、多动脑，积极思考，不断积累、 总结、归纳。数学会让你更加聪明，同学们，加油吧！
教学重点：
猜想的方法，辅助线的添加，学生思维能力培养。
教学难点：
猜想的方法，辅助线的添加。
教学方法：
注重引导自学，注重启发思维，鼓励参与、鼓励质疑、合 作学习。倡导教学灵活性、多样性和实效性的统一。
教学过程：
已知：如图，已知ABIICD。
探究：/B、/D、/E的数量关系，并说明理由。
活动一：
什么?
结论：/E=/B+ZD
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璧山正则中学李俊英
教学目标：
1、正确解决常见的拐点问题
2、培养学生一题多解能力。
3、经历动手操作、猜想、论证等环节，培养学生学习的 动手能力和表达能力，提高学生学习数学的兴趣。
N3+上2=11^0。C邻木卜角的性质〉
「.NANB+上D
即ZE =N B+ND
方法二：（连接BD）
（2）构造被截线
二ZD=Z2 C两宜线平行*
二傀r〃ud（:已知）
/.ABZZEFC平行于同一宜线的两条直线互相平行）二t两直线平行*内错角相等〉
二Z詩+Z1>=Z1 +Z2
即NF： =NB+ZD
…MTJf-r-J~T*T—1 OU
人教版七年级下册数学《平行线—平行线中的拐点问题》课件
【拓展延伸】
已知：如图，AB//CD，试解决下列问题：（1）∠1＋∠2
＝
＋∠3＋∠4＝
；（4）
试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n ＝
；
总结归纳： ①辅助线：过拐点作平行线，且有多少个拐点就作多少条平行线 ② A1 A2 An1 An 180 (n 1【) n-2个拐点】
【巩固练习】
4．如图，a∥b，∠1＝55°，∠2＝130°，则∠3＝（ ）
A．100° B．105° C．110° D．115°5.某小区
地下停车场入口了栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地
面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝150°，则∠ABC
＝
°．
6．如图，直线m∥n，AB⊥BC，∠1＝35°，∠2＝62°，则
7题图
8题图
9题图
类型四、综合型
例4：①如图1，若AB∥CD，∠B，∠C，∠D之间有什么关系？请 证②明如. 图2，若AB∥CD，∠B，∠C，∠D之间有什么关系？请证 明.
【巩固练习】
10．如图，如果AB∥CD，那么角α，β，γ之间的关系式为（ ）
A．α+β+γ＝360°
B．α﹣β+γ＝180°
【巩固练习】
7．如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，∠B＝30°，∠A＝75°， 则∠E的度数为（ ） A．135° B．125° C．115° D．105° 8．如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若 ∠BCD＝100°，∠CDE＝15°，则∠DEF的度数是（ ） A．110° B．115° C．120° D．125° 9．如图，已知直线a∥b，则∠1、∠2、∠3的关系是（ ） A．∠1+∠2+∠3＝360° B．∠1+∠2﹣∠3＝180° C．∠1﹣∠2+∠3＝180° D．∠1+∠2+∠3＝180°
平行线的性质 —平行线间的“拐点”问题说课课件 2023-2024学年人教版七年级数学下册
例1：已知：如图，AB//EF,请你猜想 ∠BAC、∠ACE、∠CEF它们之间的数量 关系，并说明理由。
A
B
C
1 2
D
E
F
学生易错点：1.添加辅助线叙 述错误，如：过点C作AB、EF 的平行线CD。 2、推理过程不严谨：如过点C 作CD//AB， 所以∠A+∠1=180° 又因为CD//EF, 所以∠2+∠E=180°。
M
1
a
P 23 N
b
(第1题图)
D
E
(第2题图)
笃行
3. 如图，有一块含有45°角的三角尺放在直尺上，如果∠2=20°， 那么∠1= ( ) A .15°B.20° C.25° D .30°
C
1 2
建模思想
笃行
4.如图，直线AB、EF,点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一 点，若∠BCD=95°，∠CDE=25°，则∠DEF=（ C ）
时间 安排
0 3
从时间分配上来看，由于前面一题 多解上用时有点多，导致后面两种 模型的研究有些匆忙。
设计思路
A
B
C
E
F
7.教学反思
Fresh and simple teacher's lecture
通过一个基本图形，延伸到三种基本图形，启发 学生如何从题目中提炼出基本模型。渗透特殊到 一般、类比、转化等数学思想。引导学生善于观 察分析题目的内在联系，做到做一题、懂一类、 会一片的目的。
设计意图：分层布置作业，A组题让全体学生对今天的学习有练习，有巩固； B组题让学有余力的学生有探究，有提高。同时把数学的研究深入到课后，体
现深度学习的理念。
6.板书设计
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必做题：P25：14,15
选做题：如图所示，AB∥CD,∠ABE=120°，∠DCE=35°，求∠BEC的大小.
六：教学反思
（3）如果点P在A、B两点外侧运动时，试探究∠1，∠CPD，∠2之间的关系（点P和A、B不重合）.
问题：请同学们自己在图中探索当点P在AB的外侧时有哪几种情况？
学生活动：探究点P在AB的上方和下放是这三个角的关系。四、小结:
1、辅助线的添法。
2、点P在平行线间的四中关系。
3、本节课用到的数学思想方法。
学生活动：请同学们在平行线AB、CD之间任取一点P，链接AP、CP，自己探究∠A、∠P、∠C的关系。
变式训练（2016十堰中考）AB∥EF, CD⊥EF于D，若∠B= 40°，求∠BCD。
探究3：犀牛角型
如图,已知AB∥CD,点P是平面上一点，试判断∠P、∠A、∠C的关系。
强调:这是拐点P在AC的左上方，拐点P在AC的左下方时下去探究。
学生活动：分小组讨论。
结论：∠A+∠G+∠H+…∠C=(n-1)180°
探究2：燕尾型
（1）如图，AB∥CD,P为AB、CD之间一点，已知∠A=32°，∠C=25°，求∠P度数.
（2）判断∠A、∠P、∠C的关系.
师生活动：请一位学生来叙述自己的做法，老师板书，得到∠P=∠A+∠C
（3）当点P在平行线AB、CD之间运动时∠A、∠P、∠C的关系是否会发生变化？
（3）、在图3中求∠A+∠E+∠F+∠C的度数。
学生活动:请同桌之间相互讨论怎么做。
师生活动:让学生说老师板书，强调书写。
问题：在这个图中，两个拐点做了两条平行线，图2中一个拐点做了一条平行线，由此你能想到什么？
辅助线的添法：有几个拐点就需要作几条平行线。简单说成逢“拐点”作平行线。
（4）、在图4中按以上规律，求∠A+∠G+∠H+…∠C（共有n个角相加）的度数。
2、提高合作学习的意识，增强数学学习的兴趣
重点难点
重点：正确解决常见的拐点问题。
难点:掌握探究拐点问题的基本思路和方法。
教学
辅助
手段
利用多媒体（几何画板、实物投影）、学案进行辅助教学
教
学
过
程
一、复习回顾
1、你知道判定两条直线平行有哪些方法？
2、两条直线平行的性质是什么？
二：情境导入
利用几何画板探究拐点在平行线中的四中位置。
二、讲授新课
探究1：铅笔型
图（1）（2）（3）（4）中，都满足AB∥CD.
（1）、在图1中求∠A+∠C的度数。
（2）、如图2,已知AB∥CD,∠A=150°，∠C=140°，求∠P的度数.（播放视频）
问题：通过观看视频你学会了什？
小结：通过这个例题的学习，当平行线中没有三线八角时，需要通过添加辅助线将图转化成基本图来解决问题，添加辅助线的方法有多种，但常见的是过拐点做已知直线的平行线。
课题
平行线的性质----------平行线中的拐点问题
教学
目标
【知识与技能】：
1、灵活利用平行线的性质与判定解决问题。
2、学会添加辅助线的方法。
3、正确解决常见的拐点问题。
【过程与方法】：
1、灵活运用平行线的性质与判定解决相关问题。
2、培养自己一题多解，拓展提升的思维能力。
【情感态度与价值观】：
1、感受几何图形的优美和几何变换的巧妙
探究4：锄头型
如图，已知AB∥CD,点P是平面上一点，试判断∠A、∠C、∠P的关系.
拓展应用：
如图，已知a∥b ,且c和a、b分别交于A、B两点，点P在AB上.（1）找出∠1，∠CPD，∠2之间的关系.
问题：这三个角是前面学习的哪种型中的？
请一位同学上来给大家找三个角度关系。
（2）如果点P在A、B之间运动，∠1，∠CPD，∠2之间的关系是否发生变化？