(2019-2020)【知识点】全国高中数学联赛预赛(重庆赛区)试题(扫描版)【必备资料】

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历年全国高中数学联赛试题及答案76套题

历年全国高中数学联赛试题及答案76套题

历年全国高中数学联赛试题及答案76套题(一)2019年全国高中数学联赛试题及答案1. 小川野升平想在一个边长为6米的正方形的地块上建造一个有一堵墙的房子,墙要用沙发垫、玻璃门中的一种建造,沙发垫墙每平方米需要50元,玻璃门墙每平方米需要80元。

为了满足小川野升平的预算,需要选择合适的方案,可以使花费尽可能少。

请求出该房子沙发垫墙和玻璃门墙各多少平方米,以及花费的最小值。

解:由题意得,房子在四周建墙,所以共4个墙面。

墙面中有一个为门,另外3个可以被沙发垫或玻璃门所替代。

因为墙长宽相等,所以选择沙发垫或玻璃门所用的面积是相等的,即我们只需要考虑使用沙发垫或玻璃门的墙面数量即可。

用$x$表示使用沙发垫的墙面数量,则使用玻璃门的墙面数量为$3-x$,进而可列出花费的表达式:$$f(x)=50x+80(3-x)=80x+240$$为获得花费的最小值,我们需要求出$f(x)$的最小值,即求出$f(x)$的极小值。

因为$f(x)$是$x$的一次函数,所以可求出其导函数$f'(x)=80-30x$。

当$f'(x)=0$时,即$x=\frac83$,此时$f(x)$有极小值$f(\frac83)=400$。

当$x<\frac83$时,$f'(x)>0$,$f(x)$单调递增;当$x>\frac83$时,$f'(x)<0$,$f(x)$单调递减。

所以我们选择使用3个沙发垫的构建方案,所需面积为$3\times6=18m^2$,花费为$50\times18=900$元。

因此,该房子沙发垫墙面积为18平方米,玻璃门墙面积为0平方米,花费最小值为900元。

2. 对于正整数$n$,记$S_n$为$\sqrt{n^2+1}$的小数部分,$T_n$表示$S_1,S_2,\cdots,S_n$的平均值,则$s_n=10T_n-5$。

求$\sum_{k=1}^{2019}s_k$的个位数。

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析说明:1. 评阅试卷时,请依据本评分标准。

选择题只设6分和0分两档,填空题只设9分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其它中间档次。

2. 如果考生的解题方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,5分为一个档次,不要再增加其他中间档次。

一、选择题(本题满分36分,每小题6分)本题共有6小题,每小题均给出A ,B ,C ,D 四个结论,其中有且仅有一个是正确的。

请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。

每小题选对得6分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得0分。

1.使关于x 的不等式36x x k -+-≥有解的实数k 的最大值是( ) A .63- B .3 C .63+ D .62.空间四点A 、B 、C 、D 满足,9||,11||,7||,3||====DA CD BC AB 则BD AC ⋅的取值( )A .只有一个B .有二个C .有四个D .有无穷多个6.记集合},4,3,2,1,|7777{},6,5,4,3,2,1,0{4433221=∈+++==i T a a a a a M T i 将M 中的元素按从大到小的顺序排列,则第2020个数是( )A .43273767575+++ B .43272767575+++ C .43274707171+++ D .43273707171+++二、填空题(本题满分54分,每小题9分) 本题共有6小题,要求直接将答案写在横线上。

7.将关于x 的多项式2019321)(x xx x x x f +-+-+-= 表为关于y 的多项式=)(y g,202019192210y a y a y a y a a +++++ 其中.4-=x y 则=+++2010a a a .8.已知)(x f 是定义在),0(+∞上的减函数,若)143()12(22+-<++a a f a a f 成立,则a 的取值范围是 。

2019年重庆市学考选考浙江省高中数学竞赛预赛试题与解答

2019年重庆市学考选考浙江省高中数学竞赛预赛试题与解答

2019年“中南传媒湖南新教材杯”重庆市高中数学竞赛 暨全国高中数学联赛(重庆赛区)预赛试题参考答案一、填空题(每小题8分,共64分)1.设A 为三元集合(三个不同实数组成的集合),集合{|,,}B x y x y A x y =+∈≠,若222{log 6,log 10,log 15}B =,则集合A =________. 答案:22{1,log 3,log 5}提示:设222{log ,log ,log }A a b c =,其中0.a b c <<<则6,10,15.ab bc ad ===解得2,3,5a b c ===,从而22{1,log 3,log 5}A =。

2.函数 的最小值为 ,最大值为 ,则________.答案:提示:设 ,则 且 ,∴ .,令, . 令 得 , , , ∴ , ,∴.3. ________. 答案:提示:.4.已知向量 , , 满足 ,且 ,若 为 , 的夹角,则 ________. 答案:提示:∵ ∴ ∴ ∵ ∴又∵ ∴ ∴.5.已知复数 , , 使得为纯虚数, , ,则 的最小值是________.1提示:设 ,则 ,由已知∴∴ ∴ ∴ 。

当12321,,(1)2z z i z i ===+时,最小值能取到。

6.已知正四面体可容纳10个半径为1的小球,则正四面体棱长的最小值为________. 答案:提示:当正四面体棱长最小时,设棱长为 ,此时,一、二、三层分别有1、3、6个小球, 且相邻小球两两相切,注意到重心分四面体的高为 ,所以正四面体的高, 得7. 设()f x 是定义在(0,)+∞上的单调函数,对任意0x >有4()f x x >-,4(())3f f x x+=,则(8)f = . 答案:72提示:由题意存在00x >使0()3f x =。

又因()f x 是(0,)+∞上的单调函数,这样的00x >是唯一的,再由004(())3f f x x +=得00044()3x f x x x=+=+解得04x =或01x =-(舍)。

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析(1)

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析(1)

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析一、选择题(每小题6分,共36分)1.(2020年全国高中数学联赛)删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个数列的第2020项是(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 20492.设a ,b ∈R ,ab ≠0,那么直线ax -y +b=0和曲线bx 2+ay 2=ab 的图形是yxO Ox yO xyyx O A.B. C.D.3.过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线,若此直线与抛物线交于A 、B 两点,弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ,则线段PF 的长等于(A ) 163 (B) 83 (C) 1633 (D) 8 34.若x ∈[-5π12 ,-π3 ],则y=tan(x +2π3 )-tan(x +π6 )+cos(x +π6 )的最大值是(A) 125 2 (B) 116 2 (C) 116 3 (D) 1253二.填空题(每小题9分,共54分)7.不等式|x |3-2x 2-4|x |+3<0的解集是 .8.设F 1、F 2是椭圆x 29+y 24=1的两个焦点,P 是椭圆上一点,且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1,则△PF 1F 2的面积等于 .9.已知A={x |x 2-4x +3<0,x ∈R },B={x |21-x +a ≤0,x 2-2(a +7)x +5≤0,x ∈R}若A ⊆B ,则实数a 的取值范围是 .10.已知a ,b ,c ,d 均为正整数,且log a b=32,log c d=54,若a -c=9,则b -d= .11.将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内,并使得每个球都和其相邻的四个球相切,且与圆柱的一个底面及侧面都相切,则此圆柱的高等于 .12. 设M n ={(十进制)n 位纯小数0.-a 1a 2…a n |a i 只取0或1(i=1,2,…,n -1),a n =1},T n 是M n 中元素的个数,S n 是M n 中所有元素的和,则lim n →∞S nT n= .五、(本题满分20分)15.一张纸上画有一个半径为R 的圆O 和圆内一个定点A ,且OA=a ,折叠纸片,使圆周上某一点A '刚好与点A 重合.这样的每一种折法,都留下一条折痕.当A '取遍圆周上所有点时,求所有折痕所在直线上点的集合.加试题(10月12日上午10:00-12:00)一、(本题50分)过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线,切点为A 、B ,所作割线交圆于C 、D 两点,C 在P 、D 之间.在弦CD 上取一点Q ,使∠DAQ=∠PBC . 求证:∠DBQ=∠PAC .二、(本题50分)设三角形的三边长分别是正整数l ,m ,n .且l >m >n >0.已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n104,其中{x }=x -[x ],而[x ]表示不超过x 的最大整数.求这种三角形周长的最小值.三、(本题50分)由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间图形,其中n=q 2+q +1,l ≥12q (q +1)2+1,q ≥2,q ∈N .已知此图中任四点不共面,每点至少有一条连线段,存在一点至少有q +2条连线段.证明:图中必存在一个空间四边形(即由四点A 、B 、C 、D 和四条连线段AB 、BC 、CD 、DA 组成的图形).2020年全国高中数学联赛解答第一试一、选择题(每小题6分,共36分)1.删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个数列的第2020项是(A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 【答案】C【解析】452=2025,462=2116.在1至2025之间有完全平方数45个,而2026至2115之间没有完全平方数.故1至2025中共有新数列中的2025-45=1980项.还缺2020-1980=23项.由2025+23=2048.知选C .3.过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线,若此直线与抛物线交于A 、B 两点,弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ,则线段PF 的长等于(A) 163 (B) 83 (C) 1633 (D) 8 3【答案】A【解析】抛物线的焦点为原点(0,0),弦AB 所在直线方程为y=3x ,弦的中点在y=p k =43上,即AB 中点为(43,43),中垂线方程为y=-33(x -43)+43,令y=0,得点P 的坐标为163.∴ PF=163.选A .4.若x ∈[-5π12 ,-π3],则y=tan(x +2π3)-tan(x +π6)+cos(x +π6)的最大值是(A) 125 2 (B) 116 2 (C) 116 3 (D) 1253【答案】C【解析】令x +π6=u ,则x +2π3=u +π2,当x ∈[-5π12,-π3]时,u ∈[-π4,-π6],y=-(cot u +tan u )+cos u=-2sin2u +cos u .在u ∈[-π4,-π6]时,sin2u 与cos u 都单调递增,从而y 单调递增.于是u=-π6时,y 取得最大值1163,故选C .二.填空题(每小题9分,共54分)7.不等式|x |3-2x 2-4|x |+3<0的解集是 .【答案】(-3,-5-12)∪(5-12,3). 【解析】即|x |3-2|x |2-4|x |+3<0,⇒(|x |-3)(|x |-5-12)(|x |+5+12)<0.⇒|x |<-5+12,或5-12<|x |<3. ∴ 解为(-3,-5-12)∪(5-12,3).9.已知A={x |x 2-4x +3<0,x ∈R },B={x |21-x +a ≤0,x 2-2(a +7)x +5≤0,x ∈R}若A ⊆B ,则实数a 的取值范围是 .【答案】-4≤a ≤-1.【解析】A=(1,3);又,a ≤-21-x∈(-1,-14),当x ∈(1,3)时,a ≥x 2+52x-7∈(5-7,-4).∴ -4≤a ≤-1.10.已知a ,b ,c ,d 均为正整数,且log a b=32,log c d=54,若a -c=9,则b -d= .【答案】93【解析】a 3=b 2,c 5=d 4,设a=x 2,b=x 3;c=y 4,d=y 5,x 2-y 4=9.(x +y 2)(x -y 2)=9.∴ x +y 2=9,x -y 2=1,x=5,y 2=4.b -d=53-25=125-32=93.11.将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内,并使得每个球都和其相邻的四个球相切,且与圆柱的一个底面及侧面都相切,则此圆柱的高等于 .【答案】2+48【解析】如图,ABCD 是下层四个球的球心,EFGH 是上层的四个球心.每个球心与其相切的球的球心距离=2.EFGH 在平面ABCD 上的射影是一个正方形.是把正方形ABCD 绕其中心旋转45︒而得.设E 的射影为N ,则MN=2-1.EM=3,故EN 2=3-(2-1)2=22.∴ EN=48.所求圆柱的高=2+48.12. 设M n ={(十进制)n 位纯小数0.-a 1a 2…a n |a i 只取0或1(i=1,2,…,n -1),a n =1},N MHGFEDCBAT n 是M n 中元素的个数,S n 是M n 中所有元素的和,则lim n →∞S nT n= .【答案】118【解析】由于a 1,a 2,…,a n -1中的每一个都可以取0与1两个数,T n =2n -1.在每一位(从第一位到第n -1位)小数上,数字0与1各出现2n -2次.第n 位则1出现2n -1次.∴ S n =2n -2⨯0.11…1+2n -2⨯10-n.∴ lim n →∞S n T n =12⨯19=118.四、(本题满分20分)14.设A 、B 、C 分别是复数Z 0=a i ,Z 1=12+b i ,Z 2=1+c i(其中a ,b ,c 都是实数)对应的不共线的三点.证明:曲线Z=Z 0cos 4t +2Z 1cos 2t sin 2t +Z 2sin 4t (t ∈R)与△ABC 中平行于AC 的中位线只有一个公共点,并求出此点.【解析】曲线方程为:Z=a icos 4t +(1+2b i)cos 2t sin 2t +(1+c i)sin 4t=(cos 2t sin 2t +sin 4t )+i(a cos 4t +2b cos 2t sin 2t +c s in 4t )∴ x=cos 2t sin 2t +sin 4t=sin 2t (cos 2t +sin 2t )=sin 2t .(0≤x ≤1) y=a cos 4t +2b cos 2t sin 2t +c sin 4t=a (1-x )2+2b (1-x )x +cx 2即 y=(a -2b +c )x 2+2(b -a )x +a (0≤x ≤1). ①若a -2b +c=0,则Z 0、Z 1、Z 2三点共线,与已知矛盾,故a -2b +c ≠0.于是此曲线为轴与x 轴垂直的抛物线.AB 中点M :14+12(a +b )i ,BC 中点N :34+12(b +c )i .与AC 平行的中位线经过M (14,12(a +b ))及N (34,12(b +c ))两点,其方程为4(a -c )x +4y -3a -2b +c=0.(14≤x ≤34). ②令 4(a -2b +c )x 2+8(b -a )x +4a=4(c -a )x +3a +2b -c .即4(a -2b +c )x 2+4(2b -a -c )x +a -2b +c=0.由a -2b +c 0,得4x 2+4x +1=0, 此方程在[14,34]内有惟一解: x=12.以x=12代入②得, y=14(a +2b +c ).∴ 所求公共点坐标为(12,14(a +2b +c )).加试题(10月12日上午10:00-12:00)一、(本题50分)过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线,切点为A 、B ,所作割线交圆于C 、D 两点,C 在P 、D 之间.在弦CD 上取一点Q ,使∠DAQ=∠PBC . 求证:∠DBQ=∠PAC .分析:由∠PBC=∠CDB ,若∠DBQ=∠PAC=∠ADQ ,则∆BDQ ∽∆DAQ .反之,若∆BDQ ∽∆DAQ .则本题成立.而要证∆BDQ ∽∆DAQ ,只要证BD AD =DQAQ即可.二、(本题50分)设三角形的三边长分别是正整数l ,m ,n .且l >m >n >0.已知⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n104,其中{x }=x -[x ],而[x ]表示不超过x 的最大整数.求这种三角形周长的最小值.【解析】当3l、3m、3n的末四位数字相同时,⎩⎨⎧⎭⎬⎫3l104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3m104=⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n104.即求满足3l ≡3m ≡3n ( mod 104)的l 、m 、n .∴ 3n (3l -n -1)≡0 (mod 104).(l -n >0)但 (3n ,104)=1,故必有3l -n ≡1(mod 104);同理3m -n ≡1(mod 104).下面先求满足3x ≡1(mod 104)的最小正整数x .∵ ϕ(104)=104⨯12⨯45=4000.故x |4000.用4000的约数试验:∵ x=1,2,时3x ≡∕1(mod 10),而34≡1(mod 10),∴ x 必须是4的倍数;∵ x=4,8,12,16时3x ≡∕1(mod 102),而320≡1(mod 102),∴ x 必须是20的倍数;∵ x=20,40,60,80时3x ≡∕1(mod 103),而3100≡1(mod 103),∴ x 必须是100的倍数;∵ x=100,200,300,400时3x ≡∕1(mod 104),而3500≡1(mod 104).即,使3x ≡1(mod 104)成立的最小正整数x=500,从而l -n 、m -n 都是500的倍数, 设l -n=500k ,m -n=500h ,(k ,h ∈N*,k >h ).由m +n >l ,即n +500h +n >n +500k ,⇒n >500(k -h )≥500,故n ≥501.取n=501,m=1001,l=1501,即为满足题意的最小三个值. ∴ 所求周长的最小值=3003.三、(本题50分)由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间图形,其中n=q 2+q +1,l ≥12q (q +1)2+1,q ≥2,q ∈N .已知此图中任四点不共面,每点至少有一条连线段,存在一点至少有q +2条连线段.证明:图中必存在一个空间四边形(即由四点A 、B 、C 、D 和四条连线段AB 、BC 、CD 、DA 组成的图形).现设任一点连的线数≤n -2.且设b 0=q +2≤n -2.且设图中没有四边形.于是当i ≠j 时,B i 与B j 没有公共的点对,即|B i ∩B j |≤1(0≤i ,j ≤n -1).记B 0-=V \B 0,则由|B i ∩B 0|≤1,得|B i ∩B 0-|≥b i -1(i =1,2,…,n -1),且当1≤i ,j ≤n -1且i ≠j 时,B i ∩B 0-与B j ∩B 0-无公共点对.从而B 0-中点对个数≥i =1n -1∑(B i ∩B 0-中点对个数).即C 2 n -b 0≥i =1n -1∑C 2 |B i ∩B 0-|≥i =1n -1∑C 2 b i -1=12i =1n -1∑ (b 2i -3b i +2)≥12[1n -1(i =1n -1∑b i )2-3i =1n -1∑b i +2(n -1)](由平均不等式)=12[1n -1(2l -b 0)2-3(2l -b 0)+2(n -1)]=12(n -1)[(2l -b 0)2-3(n -1)(2l -b 0)+2(n -1)2]=12(n -1)(2l -b 0-n +1)(2l -b 0-2n +2)(2l ≥q (q +1)2+2=(n -1)(q +1)+2)≥12(n -1)[(n -1)(q +1)+2-b 0-n +1][(n -1)(q +1)+2-b 0-2n +2]=12(n -1)[(n -1)q +2-b 0][(n -1)(q -1)+2-b 0].(两边同乘以2(n -1)即 (n -1)(n -b 0)(n -b 0-1)≥(nq -q +2-b 0)(nq -q -n +3-b 0).(n -1≥q (q +1)代入) 得 q (q +1)(n -b 0)(n -b 0-1)≥(nq -q +2-b 0)(nq -q -n +3-b 0).(各取一部分因数比较) ①但(nq -q -n +3-b 0)-q (n -b 0-1)=(q -1)b 0-n +3(b 0≥q +2)≥(q -1)(q +2)-n +3=q 2+q +1-n =0.②(nq -q +2-b 0)-(q +1)(n -b 0)=qb 0-q -n +2≥q (q +1)-n +2=1>0. ③由假设,不存在处在不同行的2个红点对,使此四点两两同列,所以,有(由于去掉了q +2列,故还余q 2-1列,不同的列对数为C 2 q 2-1)i =1n -1∑C 2 m i ≤C 2 q 2-1. 所以q 2·q (q -1)+q (q -1)(q -2)≤(q 2-1)(q 2-2).⇒ q (q -1)(q 2+q -2)≤(q -1)(q +1)(q 2-2)⇒q 3+q 2-2q ≤q 3+q 2-2q -2.矛盾.故证.。

2020年全国高中数学联赛重庆赛区预赛试题及参考答案

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2020年全国高中数学联赛重庆赛区预赛试题一、填空题1.己知向量0 ”满足.一同=3,|〃 +2M = 6,〃、a・6-2丁 = -9,则|4=.2.设《。

=1,2,3,4)均为实数,若集合%,4}的所有非空真子集的元素之和为 28,则〃1+〃今=3.若二次实系数方程〃/+加・+。

= 0有2个虚根怎,K,且X;G R,则== _________________ .b-4.设圆。

:F + F = 5与抛物线c: r = 2px(p> 0)交于点A(X Q,2), AB为圆O的直径,过B的直线与€交于两不同点D、E ,则直线AD与AE的斜率之积为.5.若实数 xj 满足 2'+4工+12 = 10氏(、-1)’+3.1,+ 12 = 0,则 x + y =.6.若果),为实数,则|2x + y|,卜一用I十V这三个数中的最大数的最小值是.7.四面体ABCD中, AB ± BC,CD ±BC,BC = 2,且异面直线AB与CD所成的角为60s. 若四面体ABCD的外接球半径为在,则四面体力我2>的体积的最大值为.8.有长为2”(〃= 0,1,….1009)的线段各三条,则由这3030条线段能构成不全等的三角形的个数为.(用数字作答)二、解答题9.设实数,«0,可,若关于.v的方程COS(H +/)=1-COSI有解,求/的取值范围.10.已知椭圆+ 与直线工=一伤有且只有一个交点,点〃为椭圆C上任一点,匕(—LO).6(1.0),且所的最小值为三.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线/:y = h +〃,与椭圆C交于不同两点4B ,点。

为坐标原点,且。

八才=!(0,1 +丽),当A/108的面积S最大时,求721MAi的取值范围.11.己知数列满足 q = 1.牝=3.a〃q = 3〃“.] 一。

〃.(1)求证:l + a〃q心(〃仁N)是完全平方数;2020求证:n4,是整数.(其中卜〕表示不超过工的最大整数,k=2 M= A-[A].)2020年全国高中数学联赛重庆赛区预赛试题参考答案一、填空题1.己知向量〃"满足|"-。

2020年全国高中数学联赛试题及详细解析.docx

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2020 年全国高中数学联赛试题及详细解析说明:1. 评阅试卷时,请依据本评分标准。

选择题只设6 分和 0 分两档,填空题只设9 分和 0 分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其它中间档次。

2. 如果考生的解题方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分, 5 分为一个档次,不要再增加其他中间档次。

一、选择题(本题满分36 分,每小题 6 分)本题共有 6 小题,每小题均给出 A , B ,C ,D 四个结论,其中有且仅有一个是正确的。

请将正确答案的代表字母填在题后的括号内。

每小题选对得 6 分;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不论是否写在括号内),一律得 0 分。

1.使关于 x 的不等式 x 36 x k 有解的实数 k 的最大值是()A . 63B. 3C. 63D . 62.空间四点 A 、 B 、 C 、 D 满足 | AB | 3, | BC | 7 , | CD | 11 , | DA | 9 , 则 AC BD 的取值()A .只有一个B .有二个C .有四个D .有无穷多个a 1 a 2 a 3a 4| a iT , i 1,2,3,4}, 将 M 中的元素按从大到小的6. 记集合 T { 0,1,2,3,4,5,6}, M {7 27 3747序排列, 第2020 个数是()A . 5 5 6 3B . 55 6 2 7 7273 74 772 73 7 4 C .11 0 4 D .11 0 3 7 72737477273 7 4二、填空 (本 分54 分,每小 9 分) 本 共有 6 小 ,要求直接将答案写在横 上。

7. 将关于 x 的多 式 f ( x)1 x x2 x 3x 19x 20 表 关于 y 的多 式 g( y)a 0 a 1 y a 2 y 2 a 19 y 19 a 20 y 20, 其中 y x 4. a 0a 1a20.8. 已知 f (x) 是定 在 ( 0,) 上的减函数, 若 f (2a 2a1) f (3a 24a 1) 成立, a 的取 范是。

2024年全国高中数学联赛初赛试题+答案[北京、广西、吉林、内蒙、四川、浙江、重庆]

2024年全国高中数学联赛初赛试题+答案[北京、广西、吉林、内蒙、四川、浙江、重庆]

2024年重庆市高中数学联赛初赛试题 2 2024年浙江省高中数学联赛初赛试题 3 2024年四川省高中数学联赛初赛试题 4 2024年吉林省高中数学联赛初赛试题 5 2024年广西省高中数学联赛初赛试题 7 2024年内蒙古高中数学联赛初赛试题 9 2024年北京市高中数学联赛初赛一试 10 2024年北京市高中数学联赛初赛二试 11一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分.1.已知复数z 使得z -4z为纯虚数,则z -1-i 的最小值为.(其中i 为虚数单位)2.设函数f x =2x -2-x 的反函数为y =f -1x ,则不等式f -1x -1 <1的解集为.3.若点A -12,32关于直线y =kx 对称的点在圆x -2 2+y 2=1上,则k =.4.在△ABC 中,已知AB ⋅AC =2BC ⋅BA =3CA ⋅CB,则△ABC 最大角的正弦值为.5.数列a n 满足a 1=1,a n +1-a n a n =a n +2-a n +1a n +2n ∈N * ,若a 1a 2+a 2a 3+⋯+a 6a 7=3,则a 2024=.6.由1,2,⋯,9这九个正整数构成的所有圆排列中,任意相邻两数之积均不超过60的圆排列的个数为.7.已知四面体ABCD 满足AB ⊥BC ,BC ⊥CD ,AB =BC =CD =1,且异面直线AD 与BC 所成的角为60°,则四面体ABCD 的外接球的体积为.ABCD A 1D 1O 1O 8.一珍稀物种出现在地球,对每个珍稀生物,每天有如下事件发生:有p 0≤p ≤1 的概率消失,有1-p3的概率保持不变,有1-p 3的概率分裂成两个,有1-p3的概率分裂成三个.对所有新产生的生物每天也会发生上述事件.假设开始只有一个这样的珍稀生物,若希望最终这种生物灭绝的概率不超过12,则p 至多为.二、解答题:共3小题,满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.16分 已知函数f x =ln x -sin x ,若两不相等的实数x 1,x 2∈0,π 满足曲线y =f x 在点x 1,f x 1 和点x 2,f x 2 处的切线斜率相等,求证:f x 1 +f x 2 >-2.10.20分 已知抛物线Ω:y =x 2,动线段AB 在直线y =3x -3上(B 在A 右侧),且AB =2 3.过A 作Ω的切线,取左边的切点为M .过B 作Ω的切线,取右边的切点为N .当MN ⎳AB 时,求点A 的横坐标.11.20分 设x 1=3,x n +1=x n +14-x n +2n ∈N * ,求x 1+x 2+⋯+x n 的值.(其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数.)一、填空题(每小题8分,共计96分)1.设集合A =x x -12x -1≤0 ,集合B =x ∣x 2+2x +m ≤0 .若A ⊆B ,则实数m 的取值范围为.2.设函数f :{1,2,3}→{2,3,4}满足f f x -1 =f x ,则这样的函数有个.3.函数y =sin 2x +sin x +1sin 2x +1的最大值与最小值之积为.4.已知数列x n 满足:x 1=22,x n +1=x n n n +1x 2n+n n +1,n ≥1,则通项x n =.5.已知四面体A -BCD 的外接球半径为1,若BC =1,∠BDC =60°,球心到平面BDC 的距离为.6.已知复数z 满足z 24=z -1 510=1,则复数z =.7.已知平面上单位向量a ,b 垂直,c 为任意单位向量,且存在t ∈0,1 ,使得向量a +1-t b 与向量c -a 垂直,则a +b -c的最小值为.8.若对所有大于2024的正整数n ,成立n2024=2024i =0a i C in ,a i ∈N ∗,则a 1+a 2024=.9.设实数a ,b ,c ∈(0,2],且b ≥3a 或a +b ≤43,则max {b -a ,c -b ,4-2c }的最小值为.10.在平面直角坐标系xOy 上,椭圆E 的方程为x 212+y 24=1,F 1为E 的左焦点;圆C 的方程为x -a 2+y -b 2=r 2,A 为C 的圆心.直线l 与椭圆E 和圆C 相切于同一点P 3,1 .当∠OAF 1最大时,实数r =.11.设n 为正整数,且nk =0-1 kC knk 3+9k 2+26k +24=1312,则n =.12.设整数n ≥4,从编号1,2,⋯,n 的卡片中有放回地等概率抽取,并记录下每次的编号.若1,2均出现或3,4均出现就停止抽取,则抽取卡片数的数学期望为.二、解答题(13题满分14分,14、15题满分各20分,合计54)13.正实数k 1,k 2,k 3满足k 1<k 2<k 3;实数c 1,c 2满足c 1=k 2-k 1,c 2-c 1=2k 3-k 2 ,定义函数f x =k 1x ,0≤x ≤1k 2x -c 1,1<x ≤2,k 3x -c 2,x >2 g x =k 1x ,0≤x ≤1k 2x -c 112,1<x ≤2k 3x -c 212,x >2 试问,当k 1,k 2,k 3满足什么条件时,存在A >0使得定义在[0,A ]上的函数g x +f A -x 恰在两点处达到最小值?14.设集合S ={1,2,3,⋯,997,998},集合S 的k 个499元子集A 1,A 2,⋯,A k 满足:对S 中任一二元子集B ,均存在i ∈{1,2,⋯,k },使得B ∈A i .求k 的最小值.15.设f x ,g x 均为整系数多项式,且deg f x >deg g x .若对无穷多个素数p ,pf x +g x 存在有理根,证明:f x 必存在有理根.(考试时间:2024年5月19日9:00∼11:00)一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分.1.设函数f x =ln x +x -2的零点都在区间[a ,b ]a ,b ∈Z ,a <b 内,则b -a 的最小值为.2.已知a >b >1,若log a b +log b a =52,则ba +4的最大值为.3.设a ∈R ,若函数f x =ax -ax-2ln x 在其定义域内为单调递增函数,则实数a 的最小值为.4.用f X ,Γ 表示点X 与曲线Γ上任意一点距离的最小值.已知⊙O :x 2+y 2=1及⊙O 1:x -4 2+y 2=4,设P 为⊙O 上的动点,则f P ,⊙O 1 的最大值为.5.设△ABC 中,AC =2,∠ABC =2∠BAC ,则△ABC 面积的最大值为.6.将边长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的上底面A 1B 1C 1D 1绕着其中心旋转45°得到一个十面体ABCD -EFGH (如图),则该十面体的体积为.7.若T =100k =1299+k ⋅3101-k ,则T 的末尾数字0的个数为.8.记I ={1,4,5,6},U ={1,2,3,⋯,25},集合U 的子集A =a 1,a 2,a 3,a 4,a 5 ,满足a i -a j ∉I ∀1≤i <j ≤5 ,则符合条件的集合A 的个数为.(用具体数字作答)二、解答题:本大题共3小题,满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.(16分)已知t 为正实数,若曲线y =t ⋅e x 与椭圆C :x 22+y 2=1交于A 、B 两个不同的点,求证:直线AB 的斜率k <22.10.(20分)设复数x ,y ,z 满足:x +2y +3z =1.求x 2+y 2+z 2+x 2+y 2+z 2的最小值.11.(20分)给定正整数n ≥2,数组a 1,a 2,⋯,a n 称为“好数组”是指:a 1,a 2,⋯,a n 均不为0,a 1=1,且对任意的1≤k ≤n -1,均有a k +1+a k a k +1-a k -1 =0.求“好数组”a 1,a 2,⋯,a n 的组数.一、选择题:本大题共6小题,每小题x 分,满分x 分.1.记S =32+432-4+42+442-4+52+452-4+⋯+132+4132-4,则与S 最接近的整数为()A.14B.15C.16D.172.在四边形ABCD 中,AB ⎳CD ,AC =λAB +μAD λ,μ∈R .若λ+μ=32,则CDAB=()A.13B.12C.1D.23.函数f x =ax 3-6x a ∈R ,若f x ≤2对∀x ∈-1,12成立,则()A.f x ≤1对∀x ∈-12,12 成立B.f x ≤32对∀x ∈-12,12成立C.f x ≤18对∀x ∈-32,32成立D.f x ≤352对∀x ∈-32,32成立4.在正四面体ABCD 中,棱AD 的中点和面BCD 的中心的连线为MN ,棱CD 的中点和面ABC 的中心的连线为PQ ,则MN 与PQ 所成角的余弦值为()A.118B.117C.116D.1155.已知函数f x =2x 4-18x 2+12x +68+x 2-x +1,则()A.f x 的最小值为8 B.f x 的最小值为9C.f x =8有1个实根D.f x =9有1个实根6.已知A ,B ,C 是平面上三个不同点,且BC =a ,CA =b ,AB =c ,则c a +b +bc的最小值为()A.2-12B.22-12C.2-22D.1-22二、填空:本大题共6小题,每小题x 分,满分x 分.7.设集合S ={1,2,3,4,5}.若S 的子集A 满足:若x ∈A ,则6-x ∈A ,则称子集A 具有性质p ,现从S 的所有非空子集中,等可能地取出一个,则所取出的非空子集具有性质p 的概率为.8.函数f x =log a 4-ax (a >0,且a ≠1),若f x ≥1对∀x ∈[1,2]成立,则实数a 的取值范围.9.已知甲、乙、丙、丁四位同学对某10道判断题的解答情况如下表:题号12345678910甲×√××√×√√√×乙××√√×√√√××丙√√×√√√×√×√丁××√√××√√××若甲、乙、丙三人均答对7题,则丁答对的题数为.10.已知函数f x =ln x -1x2+2ax -ax .若∃m >0,使得f m ≥a 2,则实数a 的最大值为11.设函数f x =sin x⋅sin3x,若关于x的方程f x =a在(0,π]上有奇数个不同的实数解,则实数a的值为.12.在△ABC中,AP平分∠BAC,AP交BC于P,BQ平分∠ABC,BQ交CA于Q,∠BAC=30°,且AB+BP =AQ+QB,则∠ABC的度数为.三、解答:本大题共4小题,每小题x分,满分x分.13.已知椭圆C1的中心为坐标原点O,焦点在坐标轴上.圆C2的圆心为坐标原点O,过点A-2,0且倾斜角为30°的直线与圆C2相切.(1)求圆C2的方程;(2)过圆C2上任意一点P x0,y0x0⋅y0≠0作圆C2的切线,与椭圆C1交于A,B两点,均有∠AOB=90°成立.判断椭圆C1是否过定点?说明理由.14.已知数列a n满足:a1=1,a2=2,a n+1=1a n+an-1n≥2.求证:2024k=11a k>88.15.如图,⊙O1、⊙O2外切于点A,过点A的直线交⊙O1于另一点B,交⊙O2于另一点C,CD切⊙O1于点D,在BD的延长线上取一点F,使得BF2=BC2-CD2,连接CF交⊙O2于E,求证:DE与⊙O2相切.16.全体正有理数的集合Q+被分拆为三个集合A,B,C(即A∪B∪C=Q+,且A∩B=B∩C=C∩A=∅,满足B*A=B,B*B=C,B*C=A,这里H*K={h⋅k∣h∈H,k∈K}.(1)给出一个满足要求的例子(即给出A,B,C);(2)给出一个满足要求的例子,且1,2,⋯,35中的任意两个相邻正整数均不同时在A中.2024年广西省高中数学联赛初赛试题一、填空题(本大题共8小题,每小题10分,共80分).1.设函数f x =log2x.若a<b且f a =f b ,则a+2024b的取值范围是.2.已知椭圆x 2a2+y2b2=1a>b>0的焦点为F1,F2,M为椭圆上一点,∠F1MF2=π3,OM=153b.则椭圆的离心率为.3.若正实数x,y满足x-2y=2x-y,则x的最大值为.4.方程3x=x37的正整数解为.5.设x1,x2,x3,x4均是正整数,且x i x j x k∣1≤i<j<k≤4=18,36,54.则x1+x2+x3+x4=.6.正三棱雉P-ABC中,AP=3,AB=4.设D是直线BC上一点,面APD与直线BC的夹角为45°,则线段PD的长度是.7.已知四次多项式x4-25x3+ax2+61x-2024的四个根中有两个根的乘积是-253,则实数a=.8.设数列x n满足x1=2001,x n+1=x n+y n,其中y n等于x n的个位数,则x2024=.二、解答题(本大题共4小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)9.(15分)如图所示,AD=CD,DP=EP,BE=CE,DP<AD<BE,∠ADC=∠DPE=∠BEC=90°.证明:P为线段AB的中点.10.(15分)设A为数集{1,2,3,⋯,2024}的n元子集,且A中的任意两个数既不互素又不存在整除关系.求n 的最大值.11.(20分)用[x]表示不超过x的最大整数.设数列x n满足:x1=1,x n+1=4x n+11x n.求x2024的个位数.12.(20分)图G是指一个有序二元组V,E,其中V称为顶点集,E称为边集.一个图G中的两点x,y的距离是指从x到y的最短路径的边数,记作d x,y.一个图G的直径是指G中任意两点的距离的最大值,记作diam G.∣x,y∈G,即diam G=max d x,y记Z n={[0],[1],[2],⋯,[n-1]}是模n的剩余类,定义Z n上的加法和乘法,均是模n的加法和乘法,例如在Z12={[0],[1],[2],⋯,[11]}中:[3]+[4]=[7],[6]+[9]=[3];[3]⋅[4]=[0],[6]⋅[9]=[6].在Z n中,设[x]≠[0].若存在[y]≠[0]使得[x]⋅[y]=[0],则称[x]是Z n的一个零因子.记Z n的所有零因子的集合为D Z n,它是以={[2],[3],[4],[6],[8],[9],[10]}.Z n的零因子图,记为ΓZ n .例如D Z12D Z n为顶点集,两个不同的顶点[x],[y]之间有一条边相连当且仅当[x]⋅[y]=[0].下图是ΓZ12的例子.证明:对一切的整数n≥2,都有diamΓZ n≤3.2024年内蒙古高中数学联赛初赛试题(2024年5月19日,8:30-9:50)一、填空题(本题满分64分,每小题8分)1.集合M ={1,2,3,5,6}的全部非空子集的元素和等于.2.设a ,b ,c 是实数,满足a +b +c =1,a 2+b 2+c 2=1,a ≠0,bca 3的取值范围为.3.已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱长为4,底面边长为2,过点A 的一个平面截此棱柱,与侧棱BB 1,CC 1分别交于点M ,N ,若△MNA 为直角三角形,则△MNA 面积的最大值为.4.已知在△ABC 中BC =3,A =π3,BD =14BC,则线段AD 的最大值为.5.从1,2,⋯,11中任取三个不同的数,则这三个数可以构成等差数列的概率为.6.O 是原点,椭圆x 24+y 25=1,直线l 过1,0 且与椭圆交于A ,B 两点,则△ABO 面积的最大值为.7.数列a n 中,a 1=110,且对任意n ∈N *,a n +1=a 2n +a n ,求2024n =11a n+1 的整数部分是.8.已知关于x 的方程x 3-3x +4=0的三个复数根分别为z 1,z 2,z 3,则z 1-z 2 2z 2-z 3 2z 3-z 1 2的值为.二、解答题(本题满分56分)9.(16分)已知双曲线C :x 24-y 23=1,直线l :y =kx +1与双曲线C 的左右支分别相交于A ,B 两点,双曲线C 在A ,B 两点处的切线相交于点P ,求△ABP 面积的最小值.10.(20分)已知函数f x =e x -1-xax 2-2x +1.(1)当a =0时,讨论f x 在-4,12上的极值.(2)若x =0是f x 的极小值点,求a 的取值范围.11.(20分)设n 是一个给定的正整数,集合S n =i ,j ∣1≤i ,j ≤2n ,i ,j ∈N * ,求最大的正数c =c n ,使得对任意正整数d 1,d 2,都存在集合S n 的子集P ,满足集合P 至少有cn 2个元素,且集合P 的任两个元素i ,j ,k ,l 均有i -k2+j -l 2≠d 1,i -k 2+j -l 2≠d 2.2024年北京市高中数学联赛初赛一试考试时间:8:00-9:20一、填空题(1-8题每题8分,第9题16分,第10,11题每题20分,共120分)1.设整数集合A=a1,a2,a3,a4,a5,若A中所有三元子集的三个元素之积组成的集合为B={-30,-15, -10,-6,-5,-3,2,6,10,15},则集合A={-30,-15,-10,-6,-5,-3,20,10,15},则集合A=.2.已知函数f x =x+2,x<0;ln12x+1,x≥0.若关于x的方程f f x=m恰有三个不相等的实数根x1,x2,x3且满足x1<x2<x3,则2x1+9ln x2+4的取值范围是.3.从1,2,⋯,2024中任取两个数a,b a≤b,则3a+7b的值中,个位数字为8的数有个.4.设复数z满足3z-2i=6,令z1=z2-10z+74z-5+7i,则z1的最大值是.5.已知函数f x =x,若x为无理数;q+1p,若x=qp,其中p,q∈N*,且p,q互质,p>q.则函数f x 在区间89,910上的最大值为.6.对于c>0,若非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0,且使2a+b最大,则3a-4b+2c的最小值为.7.已知函数f x =cos4x+sin4x+a sin4x-b,且f x+π6为奇函数.若方程f x +m=0在[0,π]上有四个不同的实数解x1,x2,x3,x4,则fx1+x2+x3+x44的平方值为.8.已知A⊆{1,2,⋯,2625},且A中任意两个数的差的绝对值不等于4,也不等于9,则A 的最大值为.9.设多项式f x =x2024+2023i=0c ix i,其中c i∈{-1,0,1}.记N为f x 的正整数根的个数(含重根).若f x 无负整数根,N的最大值是.10.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱AA1上的一点,且A1E=1,F为截面A1BD上的动点,则AF+FE的最小值等于.11.数列a n定义如下:设2n!n!n+2024!写成既约分数后的分母为A n ,a n等于2A n 的最大质因数,则a n的最大值等于.2024年北京市高中数学联赛初赛二试考试时间:9:40-12:301.(40分)设a,b,c是三个正数,求证:2a2a2+b2+c2+2ba2+2b2+c2+2ca2+b2+2c2≤32a+b+c5a2+5b2+5c2+ab+bc+ca.2.(40分)如图所示,锐角△ABC的三条高线AD,BE,CF交于点H,过点F作FG⎳AC交直线BC于点G,设△CFG的外接圆为⊙O,⊙O与直线AC的另一个交点为P,过P作PQ⎳DE交直线AD于点Q,连接OD,OQ.求证:OD=OQ.3.(50分)有n个球队参加比赛,球队之间的比赛计划已经安排好了.但是每场比赛的主场客场还没有分配好.这时每个球队都上报了自己能够接受的客场比赛的最大次数.最终组委会发现这些次数加在一起恰好是比赛的总场次,并且组委会还发现任意挑出若干支球队,他们能够接受的客场次数之和都要大于等于他们之间的比赛总场次.请问组委会能否安排好主客场使得每支球队都满意,请证明你的结论.4.(50分)设a1,a2,⋯,a n为n个两两不同的正整数且a1a2⋯a n恰有4048个质因数.如果a1,a2,⋯,a n中任意多个数相乘均不是一个整数的4049次方,求n的最大值.2024年重庆市高中数学联赛初赛试题 2 2024年浙江省高中数学联赛初赛试题 3 2024年四川省高中数学联赛初赛试题 4 2024年吉林省高中数学联赛初赛试题 5 2024年广西省高中数学联赛初赛试题 7 2024年内蒙古高中数学联赛初赛试题 9 2024年北京市高中数学联赛初赛一试 10 2024年北京市高中数学联赛初赛二试 112024年重庆市高中数学联赛初赛试题一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,满分64分.1.已知复数z 使得z -4z为纯虚数,则z -1-i 的最小值为2-2.(其中i 为虚数单位)【答案】2-2【解析】z -4z 为纯虚数⇒z -4z =-z -4z⇔z +z =4z +zzz.当z +z=0时,,z -1-i min =1;当z +z≠0时,,则z =2,,此时z -1-i min =2-2<1,,当z =21+i 可取等号.2.设函数f x =2x -2-x 的反函数为y =f -1x ,则不等式f -1x -1 <1的解集为-12,52 .【答案】-12,52 【解析】因为f x 为R 上单调递增的奇函数,,且值域为R ,,所以f -1x 也为R 上单调递增的奇函数.注意f 1 =32,,故f -1x -1 <1⇔-32<x -1<32⇔-12<x <52.3.若点A -12,32 关于直线y =kx 对称的点在圆x -2 2+y 2=1上,则k =3.【答案】3【解析】注意点A 在圆x 2+y 2=1上,,且A 关于直线y =kx 对称的点必然在圆x 2+y 2=1上,,而圆x 2+y 2=1与圆x -2 2+y 2=1仅有唯一公共点B 1,0 ,,因此对称点只能是B .易知∠AOB =120°,,因此k =tan60°= 3.4.在△ABC 中,已知AB ⋅AC =2BC ⋅BA =3CA ⋅CB ,则△ABC 最大角的正弦值为31010.【答案】31010【解析】设△ABC 的内角A ,,B ,,C 所对的边分别为a ,,b ,,c ,,由条件知b 2+c 2-a 22=a 2+c 2-b 2=3a 2+b 2-c 2 2,,解得b 2=85a 2,,c 2=95a 2,,故最大角为角C ,,由余弦定理得cos C =a 2+b 2-c 22ab =1010⇒sin C =31010.5.数列a n 满足a 1=1,a n +1-a n a n =a n +2-an +1a n +2n ∈N * ,若a 1a 2+a 2a 3+⋯+a 6a 7=3,则a 2024=62029.【答案】62029【解析】由a n +1-a n a n =a n +2-a n +1a n +2可得1a n +1a n +2=2a n +1,,则数列1a n 为等差数列,,首项为1a 1=1,,设公差为d ,,则a 1a 2+a 2a 3+⋯+a 6a 7=11+d +11+d 1+2d +⋯+11+5d 1+6d=1d 1-11+d +11+d -11+2d +⋯11+5d -11+6d =61+6d =3⇒d =16,,故1a 2024=1+20236=20296⇒a 2024=62029.6.由1,2,⋯,9这九个正整数构成的所有圆排列中,任意相邻两数之积均不超过60的圆排列的个数为21600.【答案】21600【解析】一个圆排列满足要求当且仅当该排列中8,,9与7,,9这两对数均不能相邻.设满足8,,9相邻的圆排列有N1个,,满足7,,9相邻的圆排列有N2个,,满足8,,9相邻且7,,9相邻的圆排列有N3个,,则N1= N2=A22⋅7!,,N3=A22⋅6!,,从而由容斥原理,,满足要求的排列的个数为N=8!-N1+N2-N3=21600.7.已知四面体ABCD满足AB⊥BC,BC⊥CD,AB=BC=CD=1,且异面直线AD与BC所成的角为60°,则四面体ABCD的外接球的体积为55π6.ABC DA1D1 O1O【答案】55π6【解析】由题设条件,,可将四面体补成直三棱柱ABD1-A1CD,,如图所示.由题知∠A1AD=60°,,AA1=1,,于是A1D=AD1=3,,又AB=BD1=1,,则∠ABD1=120°.设四面体ABCD的外接球球心为O,,则O在平面ABD1的投影O1为△ABD1的外心,,且OO1=12.由正弦定理知,,O1A=1,,从而外接球半径R=OA=52,,于是V=43πR3=55π6.8.一珍稀物种出现在地球,对每个珍稀生物,每天有如下事件发生:有p0≤p≤1的概率消失,有1-p3的概率保持不变,有1-p3的概率分裂成两个,有1-p3的概率分裂成三个.对所有新产生的生物每天也会发生上述事件.假设开始只有一个这样的珍稀生物,若希望最终这种生物灭绝的概率不超过12,则p至多为5 17.【答案】517【解析】设开始有一个珍稀生物、最终灭绝的概率为f1 =q≤12,,那么若开始有n个珍稀生物、最终灭绝的概率则为f n =q n.由题知,,f1 =p+1-p3f1 +1-p3f2 +1-p3f3 ,,从而有q=p+1-p3q+1-p 3q2+1-p3q3即q-11-p3q2+2q+3-1∣=0,,由于q≤12,,则0=1-p3q2+2q+3-1≤1-p 3⋅174-1,,得p≤517.故p至多为517.注:该题也可以用母函数.其第n天的母函数为f n x ,,其中f x =p+1-p3x+1-p3x2+1-p3x3,,考虑limn→+∞f n 0 ≤12即可.二、解答题:共3小题,满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.9.16分已知函数f x =ln x-sin x,若两不相等的实数x1,x2∈0,π满足曲线y=f x 在点x1,f x1和点x2,f x2处的切线斜率相等,求证:f x1 +f x2 >-2.【解析】先证一个引理:对x>0,,有sin x<x.引理的证明:令φx =sin x-x,,φ x =cos x-1≤0,,故φx 为减函数,,所以当x>0时,,φx <φ0 =0,,引理得证!4分回到原题:f x =1x-cos x,,由题知f x1=f x2 .不妨x 1>x 2,,则x 1-x 22∈0,π2,,于是由f x 1 =f x 2 并结合引理可得x 1-x 2x 1x 2=cos x 2-cos x 1=2sin x 1+x 22sin x 1-x228分≤2sin x 1-x 22<2×x 1-x22=x 1-x 2,,因此x 1x 2>1.12分所以f x 1 +f x 2 =ln x 1x 2-sin x 1-sin x 2>-sin x 1-sin x 2≥-2.16分10.20分 已知抛物线Ω:y =x 2,动线段AB 在直线y =3x -3上(B 在A 右侧),且AB =2 3.过A 作Ω的切线,取左边的切点为M .过B 作Ω的切线,取右边的切点为N .当MN ⎳AB 时,求点A 的横坐标.【解析】设M x 1,x 21 ,,N x 2,x 22 ,,注意k MN =x 22-x 21x 2-x 1=x 1+x 2,,从而当MN ⎳AB 时,,k MN =k AB =3⇒x 1+x 2= 3.5分因为y =2x ,,所以k AM =2x 1,,可得切线AM 的方程为y -x 21=2x 1x -x 1 ,,即y =2x 1x -x 21.同理可得切线BN 的方程为y =2x 2x -x 22.由题设中A ,,B 的要求,,可设A t ,3t -3 ,,B t +3,3t ,,10分将A t ,3t -3 代入切线AM 的方程,,得3t -3=2tx 1-x 21,,即x 21-2tx 1+3t -3=0,,可求得x 1=t -t 2-3t +3,,这里取较小的根是因为M 为左边的切点.同理可求得x 2=t +3+t 2+3t +3.15分于是x 1+x 2=3⇒t -t 2-3t +3+t +3+t 2+3t +3=3,,整理得t 1+3t 2-3t +3+t 2+3t +3=0⇒t =0.故点A 的横坐标为0.20分11.20分 设x 1=3,x n +1=x n +14-x n +2n ∈N * ,求x 1+x 2+⋯+x n 的值.(其中[x ]表示不超过实数x 的最大整数.)【解析】设f x =x +14-x +2=12x +14+x +2.对于x >0,,f x 连续且单调递减.由于x 1>2,,则0<x 2=f x 1 <f 2 =2,,进而依次可以得到x 3>2,,0<x 4<2,,即0<x 2k <2,,x 2k +1>2.5分令g x =x +f x .由于g x =1+12x +14-12x +2>0恒成立,,故当x ≥0时,,g x 单调递增.又由于g 2 =4,,故当x >2时,,g x >4;当0<x <2时,,g x <4.10分当n 为偶数时,,设n =2k k ∈N * ,,有x 1+⋯+x 2k =x 1+x 2 +x 3+x 4 +⋯+x 2k -1+x 2k =g x 1 +g x 3 +⋯+g x 2k -1 >4k ,,且x 1+⋯+x 2k =x 1+x 2+x 3 +x 4+x 5 +⋯+x 2k -2+x 2k -1 +x 2k =x 1+g x 2 +g x 4 +⋯+g x 2k -2 +x 2k <4k +1,,故x 1+x 2+⋯+x 2k =4k =2n .当n 为大于1的奇数时,,设n =2k +1k ∈N * ,,有x 1+⋯+x 2k +1=x 1+x 2 +x 3+x 4 +⋯+x 2k -1+x 2k +x 2k +1=g x 1 +g x 3 +⋯+g x 2k -1 +x 2k +1>4k +2x 1+⋯+x 2k +1=x 1+x 2+x 3 +x 4+x 5 +⋯+x 2k +x 2k +1=x1+g x2+g x4 +⋯+g x2k<4k+3,,故x1+x2+⋯+x2k+1=4k+2=2n.当n=1时,,x1=3.综上,,当n=1时,,x1=3;当n≥2时,,x1+x2+⋯+x n=2n.20分2024年浙江省高中数学联赛初赛试题一、填空题(每小题8分,共计96分)1.设集合A=x x-12x-1≤0,集合B=x∣x2+2x+m≤0.若A⊆B,则实数m的取值范围为m≤-3.【答案】m≤-3【解析】集合A=x 12<x≤1,,要使A⊆B,,则12+2×1+m≤0,,解得m≤-3.2.设函数f:{1,2,3}→{2,3,4}满足f f x -1=f x ,则这样的函数有10个.【答案】10【解析】令y=f x -1∈{1,2,3},,则f y =y+1.对f1 =2以下三种情况都满足条件f2 =f3 =2;f2 =f3 =3;f2 =f3 =4,,共3种.同理对f2 =3,,f1 =f3 有3种情况;f3 =4,,f1 =f2 也有3种情况.又f1 =2,,f2 =3,,f3 =4显然满足条件.所以满足已知条件的函数共有3×3+1=10个.(可以看出这种映射的限制仅在值域上,,因此也可对值域大小分类讨论.)3.函数y=sin 2x+sin x+1sin2x+1的最大值与最小值之积为34.【答案】34【解析】令t=sin x,,-1≤t≤1,,原式变形y=1+1t+1t ,,当t≠0时,,12≤y≤32.当t=0时,,y=1.所以y的最大、最小值分别为32,,12,,其积为34.4.已知数列x n满足:x1=22,x n+1=xnn n+1x2n+n n+1,n≥1,则通项x n=n3n-1.【答案】n3n-1【解析】将已知条件变形得1x2n+1-1x2n=1n-1n+1,,将上式从1到n叠加得到1 x2n -1x21=1-1n,,即x n=n3n-1.5.已知四面体A-BCD的外接球半径为1,若BC=1,∠BDC=60°,球心到平面BDC的距离为6 3.【答案】63【解析】因为球心在平面BDC上的投影就是△BDC的外心,,由已知求得△BDC的外接圆半径为33,,所以球心到平面BDC的距离为1-332=63.6.已知复数z满足z24=z-1510=1,则复数z=12±32i.【答案】12±32i【解析】由已知得z =z-1=1,,解得z=12±3i2.显然这两个解满足题设条件.。

2019年全国高中数学联赛试题及解答

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全国高中数学联合竞赛试题(A 卷)一试一、填空题(本大题共8小题,每小题8分,共64分)1. 若正数,a b 满足()2362log 3log log a b a b +=+=+,则11a b+的值为________.答案:设连等式值为k ,则232,3,6k k ka b a b --==+=,可得答案108分析:对数式恒等变形问题,集训队讲义专门训练并重点强调过2. 设集合3|12b a b a ⎧⎫+≤≤≤⎨⎬⎩⎭中的最大元素与最小你别为,M m ,则M m -的值为______.答案:33251b a +≤+=,33b a a a+≥+≥,均能取到,故答案为5-分析:简单最值问题,与均值、对勾函数、放缩有关,集训队讲义上有类似题 3. 若函数()21f x x a x =+-在[0,)+∞上单调递增,则实数a 的取值范围是______.答案:零点分类讨论去绝对值,答案[]2,0-分析:含绝对值的函数单调性问题,集训队讲义专门训练并重点强调过4. 数列{}n a 满足12a =,()()*1221n n n a a n N n ++=∈+,则2014122013a a a a =+++______. 答案:()1221n n n aa n ++=+,迭乘得()121n n a n -=+,()212232421n n S n -=+⨯+⨯+++,乘以公比错位相减,得2n n S n =,故答案为20152013.分析:迭乘法求通项,等差等比乘积求前n 项和,集训队讲义专门训练并重点强调过5. 正四棱锥P ABCD -中,侧面是边长为1的正三角形,,M N 分别是边,AB BC 的中点,则异面直线MN与PC 之间的距离是________.答案:OB 为公垂线方向向量,故距离为12OB =分析:异面直线距离,也可以用向量法做,集训队讲义专门练并重点强调过6. 设椭圆Γ的两个焦点是12,F F ,过点1F 的直线与Γ交于点,P Q .若212PF F F =,且1134PF QF =,则椭圆Γ的短轴与长轴的比值为________.答案:不妨设焦点在x 轴(画图方便),设114,3PF QF ==,焦距为2c ,224a c =+,可得△2PQF 三边长为7,21,2c c +,过2F 作高,利用勾股可得5c =. 分析:椭圆中常规计算,与勾股定理、解三角形、斯特瓦尔特等有关,集训队讲义训练过相关7. 设等边三角形ABC 的内切圆半径为2,圆心为I .若点P 满足1PI =,则△APB 与△APC 的面积之比的最大值为________.答案:sin sin APB APC S PABS PAC ∠=∠,又两角和为60最大,即AP 与(),1I 切于对称轴右侧2分析:平面几何最值、面积、三角函数、轨迹8. 设,,,A B C D 是空间中四个不共面的点,以12的概率在每对点之间连一条边,任意两点之间是否连边是相互独立的,则,A B 之间可以用空间折线(一条边或者若干条边组成)连结的概率为_______. 答案:总连法64种,按由A 到B 最短路线的长度分类.长度为1,即AB 连其余随意,32种; 长度为2,即AB 不连,ACB 或ADB 连,其余随意,ACB 连8种,故共88214+-=种 (一定注意,ACB ADB 同时连被算了2次,根据CD 是否连有2种情形);长度为3,两种情形考虑ACDB ,ACDB 连、,,AB CB AD 均不连只有1种,故连法为2种;综上,答案483644=分析:组合计数,分类枚举,难度不大但容易算错,集训队讲义训练过类似题目二、解答题(本大题共3小题,共56分)9. (本题满分16分)平面直角坐标系xOy 中,P 是不在x 轴上的一个动点,满足条件:过P 可作抛物线24y x =的两条切线,两切点连线P l 与PO 垂直.设直线P l 与直线PO ,x 轴的交点分别为,Q R . (1)证明:R 是一个定点;(2)求PQQR的最小值.答案:(1)设(),P a b ,()()1122,,,A x y B x y ,0,0a b ≠≠,()11:2PA yy x x =+,()22:2PB yy x x =+ 故,A B 两点均适合方程()2by a x =+,利用垂直,可得2a =-,故交点为定点()2,0(2)∵2a =-,故,2PO PR b bk k =-=-,设OPR α∠=,则α为锐角,1tan PQ QR α=,利用两角差 的正切公式,可得282PQ b QR b+=≥. 分析:涉及圆锥曲线切点弦方程、两直线夹角公式、不等式求最值,集训队讲义专门训练并重点过10. (本题满分20分)数列{}n a 满足16a π=,()()*1arctan sec n n a a n N +=∈.求正整数m ,使得121sin sin sin 100m a a a ⋅⋅⋅=. 答案:由反函数值域,知,22n a ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,2222132tan sec tan 1tan 3n n n n a a a +-==+==,1212112122311tan tan tan tan tan tan tan sin sin sin sec sec sec tan tan tan tan m m m m m m a a a a a a a a a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅=⋅=⋅==故3333m =分析:涉及简单反三角函数、数列通项公式求法,集训队讲义对类似题目进行过训练11. (本题满分20分)确定所有的复数α,使得对任意复数()121212,,1,z z z z z z <≠,均有()()221122z z z z αααα++≠++.答案:转换命题为计算存在12,z z 使得相等时的充要条件存在12,z z 使得相等,记()()2f z z z αα=++,()()()()()1212121220f z f z z z z z z z αα-=++-+-=, 则()()()1212122z z z z z z αα-=-++-,故12122222z z z z a ααα=++≥-->-, 故2α<; 若2α<,令12,22z i z i ααββ=-+=--,其中012αβ<<-,则12z z ≠,122i ααββ-±≤-+<,计算121212,2,2z z z z i z z i αββ+=--=-=-并代入,知()()12f z f z =.综上,满足条件的α为,2Z αα∈≥二试一、(本题满分40分)设实数,,a b c满足1a b c++=,0abc>.求证:14ab bc ca++<.a b c≥≥>,则1a≥1c≤.)ab bc ca c++-+⎭12c-,故有()()111122c c cc cc c⎛---≤-+-⎭⎝⎭由于1110,3333c-≥+≥>310c->,故原不等式成立.方法2:不妨设0a b c≥≥>,则13a≥c,设()()1f b ab bc ca ab c c=++=+-,()f b递增f⇔,()())()1f b ab a b a b⎛'=--=-⎝,()010f b'≥⇔≥⇔≤≥故()f b a;题目转化为21ac+=,a c≥,记()()222212g a a ac a a a=+-=+--()()262621g a a a⎫'=-+=-⎪⎭,由于13a≥1=,得1532a=,115,332a⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时g'151,322⎫⎪⎝⎭时()g a在13或12max1124g g⎛⎫==⎪⎝⎭分析:一道偏函数化的不等式题,可以将其放缩为一元函数,也可以拿导数与调整法很快做出来,集训队讲义上两种方法都训练过.二、(本题满分40分)在锐角三角形ABC中,60BAC∠≠,过点,B C分别作三角形ABC的外接圆的切线,BD CE,且满足BD CE BC==.直线DE与,AB AC的延长线分别交于点,F G.设CF与BD交于点M,CE与BG交于点N.证明:AM AN=.答案:设△ABC三边为,,a b c,则BD CE a==,先计算AM,∵,BFD ABC BDF DBC BAC∠=∠∠=∠=∠,∴△BFD∽△CBA.由比例可知acDFb=,故BM BC bBDDF c==,故abBMb c=+,故由余弦定理知()2222cosab abAM c c A Bb c b c⎛⎫=+-⋅+⎪++⎝⎭222cosab abcc Cb c b c⎛⎫=++⎪++⎝⎭,整理可得此式关于,b c对称故可知22AM AN=分析:由于一旦,,a b c三边确定则图形固定,所以通过相似、比例、余弦定理计算的思路比较显然GF ED三、(本题满分50分)设{}1,2,3,,100S =.求最大的整数k ,使得S 有k 个互不相同的非空子集,具有性质:对这k 个子集中任意两个不同子集,若它们的交非空,则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同.答案:一方面,取包含1的、至少含2个元素的所有子集,共9921-个,显然满足题意; 另外归纳证对于{}1,2,3,,S n =,任取()123n n -≥个子集,均存在两个的交集中最小的等于某个中最大的当3n =时,将7个非空子集分为三类:{}{}{}31,32,3,{}{}21,2,{}{}11,2,3.任取四个必有两个同类. 假设n k =时命题成立,当1n k =+时,如果取出的2k 个子集中至少有12k -个不含1k +,利用归纳假设知成 立;如果不含1k +的不足12k -,则至少有121k -+个含有1k +,而S 含有1k +的子集共2k 个,可以配成12k - 对,使得每对中除了公共元素1k +外,其余恰为1到n 的互补子集,这样,如果选出121k -+个,则必有两 个除1k +外不交,故命题成立. 综上,k 的最大值为9921-.分析:集合中的组合最值问题,比较常规的一道题,类似感觉的题集训队讲义在组合中的归纳法中有过四、(本题满分50分)设整数122014,,,x x x 模2014互不同余,整数122014,,,y y y 模2014也互不同余.证明:可将122014,,,y y y 重新排列为122014,,,z z z ,使得112220142014,,,x z x z x z +++模4028互不同余.答案:不妨设()mod 2014i i x y i ≡≡,1,2,,2014i =.下面对i y 序列进行1007次调整从而构成i z 序列:若i i x y +与10071007i i x y +++模4028不同余,则1007,i i y y +不调整;否则,交换1007,i i y y +位置,1,2,,2014i =.下证,进行1007次调整后,得到的i z 序列一定满足条件. 任意挑选一列()1,2,,1007i i x z i +=,只需证其与10071007i i x z +++、()1,2,,1007,j j x z j j i +=≠、10071007j j x z +++模4028不同余即可由i z 构造方法,i i x z +与10071007i i x z +++不同余是显然的,因为不可能调整前后均同余,故只需看另两个; 首先,对于不同的,i j ,2i 与2j 模4028不同余,否则会导致()mod 2014i j ≡.若,i j y y 均未调整,则()2mod 2014i i x z i +≡,()100710072mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡,故成立;若,i j y y 均已调整,则()21007mod 2014i i x z i +≡+,()1007100721007mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡+,故成立; 若只有一个被调整过,不妨设i y 未调整、j y 已调整,则()2mod 2014i i x z i +≡, ()1007100721007mod 2014j j j j x z x z j +++≡+≡+,若()4028|21007i j --,则()1007|i j -,矛盾,故同样成立. 综上,构造的i z 序列满足条件.全国高中数学联赛试题及解答2014高中联赛试题分析从试题类型来看,今年代数、几何、数论、组合4部分所占的比例为:代数37.3%,几何26.7%,数论16.7%,组合19.3%.这方面和历年情况差不多,但具体的知识点差别极大.一试第7题填空题可谓出人意表,虽然解答是用三角函数的方法处理的,对比历年试题,这题毫无疑问也是顶替了三角函数的位置.但本题却是一道彻头彻尾的平面几何题.从图中不难看出,最值情况在相切时取到,剩下的只是利用三角函数处理了一下计算上的问题.其余填空题中,第1~6题和往年出题风格类似,第8题概率计算略显突兀,本题几乎不需要用到计数的技巧,而是用单纯枚举的方法即可解决.放在填空题最后一题的位置不免显得难度不够.一试三道解答题中,第9题和第10题均不太难,所考知识点也和往年类似,无需多说.第11题又再次爆了冷门,考了一道复数问题.联赛已经多年没有考复数的大题了,许多学生都没有准备.可以说,这次一下戳中了学生的罩门.相信本题最终的得分率不容乐观.而本次试题中最特殊的要数加试中的平面几何题了.一反从1997年开始保持到如今的惯例,没有将平面几何题放在加试的第一题.而且本题实则为《中等数学》2012年第12期中的数学奥利匹克高中训练题中的原题,这无疑又让此题失色不少.今年的加试第一题放了一道不等式问题,虽然近几年不等式考察得较少,但是不等式一直是数学竞赛中的热门,在历年联赛中多有出现.考虑到本题难度并不大,放在联赛加试第一题还是非常合适的.加试第三题组合最值问题的出题风格一如既往,可以从很极端的情况下猜出答案,再进行证明.值得全国高中数学联赛试题及解答一提的是本题题干描述有歧义,最后一句“则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同”中,记最小元素为a ,两个最大元素为b 和c .本句话中到底是指a 、b 、c 这3个数互不相同还是指a b ≠且a c ≠,无疑是容易让人误解的.希望今后联赛试题中能避免出现这种情况.加试第四题虽说考察的是数论中的同余知识,但更多考察的是构造法技巧,这也符合联赛加试中试题综合各方面知识的出题思想.从难度上来说本题难度不算太大,只要能从较小的数开始构造并寻找规律,找出2014的构造并不显得困难.但本题的出题背景无疑和以下题目相关:“n 为给定正整数,()122,,,n x x x 和()122,,,n y y y 均为1~2n 的一个排列,则112222,,,n n x y x y x y +++这2n 个数不可能模2n 互不同余.” 总的说来,本次联赛考察的知识点和往年比差别较大,但从试卷难度来说,和前两年是相当的.预计今年联赛的分数线可能比去年略低.。

2019年全国高中数学联赛重庆赛区预赛试题及参考答案

2019年全国高中数学联赛重庆赛区预赛试题及参考答案


1 3

|������������′′|
=
2√1

������������2 ,������������△������������′′′

√1 − ������������2 · (1 + ������������),易知当
������������
=1
3
8√2 时,������������△������������′′′有最大值为 9 ,∴������������△������������������������������������的最大值为
答案: 1
提示:tan 15o
+
2√2 sin
15o
=
sin 15o cos 15o
+
2√2 sin 15o
=
sin 15o+√2 sin 30o cos 15o
=
sin 15o+√2 sin(45o−15o) cos 15o
=
sin 15o+√2(sin 45o cos 15o−cos 45o cos 15o
∴������������
=
������������(������������)max
=
√2 −
3,������������
=
������������(������������)min
=
������������ −2,∴������������
=
3−√2.
2
3.tan 15o + 2√2 sin 15o =________.
∴�������⃗������2
=
1 9
������⃗������2
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