高二数学必修4 弧度制 课件
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高中数学 第一章 三角函数 1.1.2 弧度制课件 新人教A
(2)用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不 同，量数也不同。
角度与弧度间的换算
360 = 2rad 180 = rad
把角度换成弧度
1 = rad 0.01745rad
180
把弧度换成角度
1rad
=
180
57.30
=
5718'
例1 按照下列要求，把67°30′化成弧度。
解：∵
67o30
弧 度
0
64
3
2
2 3 5 346
பைடு நூலகம்
3 2
2
角 度
0 -30o -45o -60o -90o-120-o135-o150-o180o-270o-360o
弧 度
0
-
6
-
4
-
3
-
2
- 2
3
- 3
4
- 5
6
-
- 3
2
-2
终边相同的角的表示
（1）用角度表示 与终边相同的角可以表示为： k 360，k Z
=
135 2
o
∴ 67o30 = rad 135 = 3 rad
180 2 8
例2 把 4 rad化成度． 5
解： 4 rad = 4 180 = 144
5
5
角度制与弧度制互化时要抓住 180 =
弧度这个关键．
特殊角的弧度数
角 度
0 30 45 60 90 120135150180270 360
2k，k Z
它们构成一个集合：
S = | = k 360 , k Z
（2）用弧度表示
与终边相同的角可以表示为：
角度与弧度间的换算
360 = 2rad 180 = rad
把角度换成弧度
1 = rad 0.01745rad
180
把弧度换成角度
1rad
=
180
57.30
=
5718'
例1 按照下列要求，把67°30′化成弧度。
解：∵
67o30
弧 度
0
64
3
2
2 3 5 346
பைடு நூலகம்
3 2
2
角 度
0 -30o -45o -60o -90o-120-o135-o150-o180o-270o-360o
弧 度
0
-
6
-
4
-
3
-
2
- 2
3
- 3
4
- 5
6
-
- 3
2
-2
终边相同的角的表示
（1）用角度表示 与终边相同的角可以表示为： k 360，k Z
=
135 2
o
∴ 67o30 = rad 135 = 3 rad
180 2 8
例2 把 4 rad化成度． 5
解： 4 rad = 4 180 = 144
5
5
角度制与弧度制互化时要抓住 180 =
弧度这个关键．
特殊角的弧度数
角 度
0 30 45 60 90 120135150180270 360
2k，k Z
它们构成一个集合：
S = | = k 360 , k Z
（2）用弧度表示
与终边相同的角可以表示为：
人教A版高中数学必修四课件1.1.2《弧度制》
1.1.2 弧度制
复习引入
1.角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 ⑵“正角”与“负角”“0角” 2.把用度做单位来度量角的制度叫做角度制 .
讲解新课：
1． 定义：长度等于半径长的弧所对的圆 心角称为1弧度的角它的单位是rad读作弧 度，这种用“弧度”做单位来度量角的制 度叫做弧度制．
探究：
⑴平角、周角的弧度数，（平角=rad、周角=2rad）
例2 把3.14 rad化成角度（用度表示 ，精确到0.001）
例3利用弧度制证明下列关于扇形的公式 (1)
(2)
(3)
例4．利用计算器比较sin1.5和sin 大小
的
例5. 将下列各角化成0到 上的形式 ⑴ ⑵
的角加
例6 已知扇形周长为10cm，面积 为6 ，求扇形中心角的弧度数 ．
课堂练习：P9练习 课后作业：作业: P9习题1.1 4,6，7，8，9，10 B组1,2，3 A组
⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是0
⑶角的弧度数的绝对值
（l为弧长，r为半径）源自⑷用角度制和弧度制来度量零角，单位不同， 但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度 量任一非零角，单位不同，量数也不同
2.角度制与弧度制的换算： 360=2rad
,
180= rad
例1 按照下列要求，把 化成弧度 （1）精确值；（2）精确到0.001的近似 值。
复习引入
1.角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角 ⑵“正角”与“负角”“0角” 2.把用度做单位来度量角的制度叫做角度制 .
讲解新课：
1． 定义：长度等于半径长的弧所对的圆 心角称为1弧度的角它的单位是rad读作弧 度，这种用“弧度”做单位来度量角的制 度叫做弧度制．
探究：
⑴平角、周角的弧度数，（平角=rad、周角=2rad）
例2 把3.14 rad化成角度（用度表示 ，精确到0.001）
例3利用弧度制证明下列关于扇形的公式 (1)
(2)
(3)
例4．利用计算器比较sin1.5和sin 大小
的
例5. 将下列各角化成0到 上的形式 ⑴ ⑵
的角加
例6 已知扇形周长为10cm，面积 为6 ，求扇形中心角的弧度数 ．
课堂练习：P9练习 课后作业：作业: P9习题1.1 4,6，7，8，9，10 B组1,2，3 A组
⑵正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是0
⑶角的弧度数的绝对值
（l为弧长，r为半径）源自⑷用角度制和弧度制来度量零角，单位不同， 但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度 量任一非零角，单位不同，量数也不同
2.角度制与弧度制的换算： 360=2rad
,
180= rad
例1 按照下列要求，把 化成弧度 （1）精确值；（2）精确到0.001的近似 值。
《精品课件推荐》高中数学必修4三角函数优质课件弧度制
解：设扇形的圆心角为 α(0<α<2π)，半径为 r，面积为 S， 弧长为 l，则 l＋2r＝30，故 l＝30－2r，
从而
S
＝
1 2
lr
＝
1 2
(30
－
2r)r
＝
－
r2
＋
15r
＝
－
r－125
2
＋
225 4
π1＋51<r<15，所以，当 r＝125 cm 时，α＝2，扇形面积最大，
最大面积为2245 cm2.
[例 3] 用弧度表示终边落在下列各图所示阴影部分内 (不包括边界)的角的集合．
[解] (1)如图①，330°角的终边与－30°角的终边相同， 将－30°化为弧度，即－π6，
而 75°＝75×1π80＝51π2， ∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为 θ2kπ－π6<θ<2kπ＋51π2，k∈Z . (2)如图②，∵30°＝π6，210°＝76π，这两个角的终边所在 的直线相同，因此终边在直线 AB 上的角为 α＝kπ＋π6，k∈Z，
(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算， 关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长 公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提 是 α 为弧度．
[对点训练]
已知扇形的周长是 30 cm，当它的半径和圆心角各取什么值 时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
扇形的弧长 παR l＝ 180
扇形的面积
παR2
S＝ 360
l＝ αR
1 S＝ 2lR
＝ 12αR2
【常考题型】
[例 1] 把下列角度化成弧度或弧度化成角度： (1)72°；(2)－300°；(3)2；(4)－29π. [解] (1)72°＝72×1π80＝25π； (2)－300°＝－300×1π80＝－53π； (3)2＝2×1π80°＝3π60°； (4)－29π＝－29π×1π80°＝－40°.
数学：1.1.2《弧度制》课件(苏教版必修4)
§1.1.2 弧度制
学习目标:
1、理解弧度制的含义 2、弧度数的绝对值公式 3、会弧度与角度的换算
1 角度制 1度的角等于周角的360
角的度量
弧度制
1弧度：长度等于半径的 弧所对的圆心角
弧度制
l | | R
r r
其中 : 1、l是以角作为圆心角时所对弧的长，r是半径； 2、正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是 一个负数，零角的弧度数是0； 2r 3、圆心角为周角时，l 2r，则 2 r r 4、圆心角为半角时，l r，则 r
ห้องสมุดไป่ตู้业：
P 8-9 11习题
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十七章 相聚 玉盈告别了年夫人，拿着“冰凝”的信回到房间，心情却是久久不能平静。她不想再跟王府、再跟王爷有什么瓜葛和联系了，可 是，这是凝儿的邀请，她能不去吗？不但她自己想去看看凝儿，就是娘亲也急切地等着她带回来的好消息呢！自从上次归宁壹别，又过去二十 多天了，不知道凝儿过得怎么样？不过，明天怎么这么早？凝儿早上不需要向福晋请安吗？还是说请安的时间更早？凝儿真是太辛苦了！还没 有见过凝儿的院子呢，不太清楚王府的环境，不知道凝儿住的地方离王爷的书院有多远，希望不会遇见他吧。她忍不住再次拿出凝儿的信看了 起来，真是看多少遍都看不够。刚刚笑话了壹番含烟，其实娘亲和她何尝不是对凝儿的信爱不释手？看着她的信，就好像眼睁睁地看着她在王 府里的幸福生活，她们都是欣慰万分。第二日，玉盈和翠珠按照约定的时间到了王府门口。下了马车，立即从院门里迎出来两个太监，玉盈已 经认出来，其中壹个就是上次迎她去王爷书院的那个人，这壹回，还是这个太监上前迎来：“年丫鬟，您这边请。”“好。我的丫 环……”“您放心，奴才会安排好的。”然后就是壹眨眼，翠珠就被另外壹个太监迎了上去：“翠珠姑娘，侧福晋请您先在这里歇息壹下。” 说着，就领着翠珠朝府门里走去，面对王府的高门大院，翠珠不敢造次，只是拿眼望着丫鬟，嘴上壹句话不敢说。玉盈也不知道这是什么情况， 暗暗地，她觉得事情已经脱离了她的掌控，但她现在搞不情状况，唯有见机行事。因此她只好向翠珠点了点头，翠珠见状，只得随着那个小太 监走了。那个负责迎接她的太监见翠珠走后，冲玉盈做了壹个请的姿势，玉盈这才发现，身边的马车已经不是年府的了，换成了另外壹辆更高 大、更豪华、更气派的壹辆。她诧异地望向这个太监，太监仍是壹副恭请她上车的手势，王府门口人来人往，她不便再说什么，只好转身上了 车。待她进了马车，车里的光线暗了许多，半天她才适应，终于发现，车里还有壹个人，王爷！她刚刚就有这个预感，因此在她见到王爷的时 候，并没有吃惊，而是定定地望着他，思索着这是怎么壹回事情。他终于盼来了日思夜想的人儿，见她这么定定地望着他，知道她是恼怒了他。 确实，这事情是他做得不对，他欺骗了她，通过她最信任的妹妹，将她骗来了王府。可是，他实在是没有办法，但非能想得出来更好的办法， 他都不会如此。他是光明磊落的人，从来不会偷偷摸摸。可是面对心爱的玉盈，他违背了自己的做人原则。他为她所思，为她所虑，这番体贴 的安排，玉盈根本体会不到！他担忧人多嘴杂，他怕事出变故，因为她是壹个未出阁的丫鬟，万壹走露了什么风声，他不能让她的名节毁在他 的手上。他要为他
数学：1.1.2《弧度制》课件(苏教版必修4)
2、求弧长：
l R
例1（1）把67°30′化成弧度。
3 （ 2） 把 rad化成角度. 5
1 例2：利用弧度制来推导扇形面积公式S= R, 2
其中 是扇形的弧长，R是圆的半径．
R O S
练习：
1、利用弧度制证明下列公式
(1)l R
2 (2)S 1 R 2
0 (0 ) 写成 2k (k z)的形式 2、把 1440
弧度制和角度制之间的换算：
1 rad 0.01745rad 180 180 1rad 57 . 30 57 18
360°=2 rad 180°= rad
1、弧度制下角的集合与实数集的 一一对应：
正角 正实数
零角
负角
零
负实数
§1.1.2 弧度制
学习目标:
1、理解弧度制的含义 2、弧度数的绝对值公式 3、会弧度与角度的换算
1 角度制 1度的角等于周角的360
角的度量
弧度制
1弧度：长度等于半径的 弧所对的圆心角
弧度制
l | | R
r r
其中 : 1、l是以角作为圆心角时所对弧的长，r是半径； 2、正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是 一个负数，零角的弧度数是0； 2r 3、圆心角为周角时，l 2r，则 2 r r 4、圆心角为半角时，l r，则 r
小结：
弧度制 角度制 角度
度量单位 弧度
单位规定 等于半径的长的 圆弧所对应的圆 心角叫1 rad 的 角
周角的
1 为1度的角 360
换算关系
π =180° 180 1rad= 57.30 57°18′， rad=0.01745 rad 1°= 180
高二年级数学必修四课件：《弧度制的定义》
高二年级数学必修四课件：《弧度制的定义》教学准备教学目标一、知识与技能（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集之间建立的一一对应关系.（6）使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.二、过程与方法创设情境，引入弧度制度量角的大小，通过探究理解并掌握弧度制的定义，领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化，能正确使用计算器.三、情态与价值通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备.教学重难点重点:理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用.难点:理解弧度制定义，弧度制的运用.教学工具投影仪等教学过程一、创设情境，引入新课师：有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的?（已知1英里=1.6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢?那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生，另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.二、讲解新课1.角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.弧度制是什么呢?1弧度是什么意思?一周是多少弧度?半周呢?直角等于多少弧度?弧度制与角度制之间如何换算?请看课本，自行解决上述问题.2.弧度制的定义长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1（单位可以省略不写）.（师生共同活动）探究:如图，半径为的圆的圆心与原点重合，角的终边与轴的正半轴重合，交圆于点，终边与圆交于点.请完成表格.我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-，-2等等，一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，角的正负主要由角的旋转方向来决定.角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立了一一对应关系:即每一个角都有的一个实数（即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.四、课堂小结度数与弧度数的换算也可借助"计算器'《中学数学用表》进行；在具体运算时，"弧度'二字和单位符号"rad'可以省略如：3表示3radsinp表示prad角的正弦应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
课件1：1.1.2 弧度制
把长度等于半 周角的1/360叫做1
单位规 径长的弧所对 度的角。
定
的圆心角叫做1
弧度的角。
换算关
系
360 2rad
180 rad
基本关系
1
rad 0.01745rad
180
180
1rad
57.30 5718
导出关系
弧度制与角度制的互化技巧
=
180 8
.
把
8
5
化成度。
解：1rad=
180
(
)
8 8 180
(
)
5
5
288Βιβλιοθήκη 度与角度的互化过程中，要掌握其中的原理和方法，必要时可以借助一些特殊角
来判断，会转换到别的地方。
题型三
将3.14 rad 换算成角度(用度数表示，
精确到0.001).
解:∵1=(180/π)0
弧度的角，用符号rad表示，读作弧度。这种
用弧度作为单位度量角的单位制叫做弧度制。
要点阐释
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的
弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，如果
半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为l，那么，
角a的弧度数的绝对值是 | a | = l / r
典例剖析
题型一
1．下列说法中，错误的说法是 (
180π°进行转化．
题型二
（1) 把112º30′化成弧度(精确到0.001)；
（2）把112º30′化成弧度（用π表示）。
解： （1）112º30′=112.5º，
1
0.0175
人教版高二数学必修四课件：弧度制(共13张PPT)
其中n表示角度数
弧度制的弧长公式：
l
nr
180
l r
其中α是弧度数
弧长等于弧所对的圆心角弧度数的绝 对值与半径的积。
【巩固深化】
例4 如下图，利用弧度制证明扇形面积公式：
（1）
sቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2
r
2
（2）
s
1 2
lr
A
其中r为半径,l为弧长， α （0 ＜α ＜ 2 ）
r
为圆心角，s为扇形的面积。
o s l 解： 由于半径为r，圆心角为n的扇形
§3 弧度制
【创设情境】
同学们都听过乌鸦喝水的故事吧。你 从中有什么收获呢？
换个角度思考问题。
用度作单位来度量角的单位 制叫做角度制．
450
下面介绍一种用长度来度 量角的方法。
【探求新知】
1．弧度的角的定义．
通过度量和计算得出下表：
l
n r
180
l
r
我们称这个常数为该角的弧 度数。
【探求新知】
的弧长公式和面积公式分别是：
B
l
n r
180
将n转换为弧度，得
n 180
于是
s
1 2
r2
s n r 2 360
（2）将
l r
代入上式，即得
s
1 2
lr
【练习】
1.把下列各角从度化为弧度。
（1）200 9
（2）-3600 2
2.把下列各角从弧度化为度。
1
2 3
=-1200
2
4 3
=2400
当弧长由0.86增到1时，常数变为1，即 弧度数为1.
定义：以单位长为半
弧度制的弧长公式：
l
nr
180
l r
其中α是弧度数
弧长等于弧所对的圆心角弧度数的绝 对值与半径的积。
【巩固深化】
例4 如下图，利用弧度制证明扇形面积公式：
（1）
sቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 2
r
2
（2）
s
1 2
lr
A
其中r为半径,l为弧长， α （0 ＜α ＜ 2 ）
r
为圆心角，s为扇形的面积。
o s l 解： 由于半径为r，圆心角为n的扇形
§3 弧度制
【创设情境】
同学们都听过乌鸦喝水的故事吧。你 从中有什么收获呢？
换个角度思考问题。
用度作单位来度量角的单位 制叫做角度制．
450
下面介绍一种用长度来度 量角的方法。
【探求新知】
1．弧度的角的定义．
通过度量和计算得出下表：
l
n r
180
l
r
我们称这个常数为该角的弧 度数。
【探求新知】
的弧长公式和面积公式分别是：
B
l
n r
180
将n转换为弧度，得
n 180
于是
s
1 2
r2
s n r 2 360
（2）将
l r
代入上式，即得
s
1 2
lr
【练习】
1.把下列各角从度化为弧度。
（1）200 9
（2）-3600 2
2.把下列各角从弧度化为度。
1
2 3
=-1200
2
4 3
=2400
当弧长由0.86增到1时，常数变为1，即 弧度数为1.
定义：以单位长为半
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.1.2 弧度制
高中数学 必修四
第一章 三角函数
1.1.2 弧度制
【教学目标】 1．了解角的另外一种度量方法——弧度制． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式． 【重难点】 1．对弧度制概念的理解．(难点) 2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)
新知导学
1．度量角的单位制 (1)角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等 1 于周角的 360 . (2)弧度制 ①弧度制的定义
[思路探索] 本题主要考查角度与弧度的换算，直接套用角度与 弧度的换算公式，即度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度 数．
解 (1)20°＝2108π0＝π9. (2)－15°＝－11850π＝－1π2. (3)71π2＝172×180°＝105°. (4)－115π＝－151×180°＝－396°.
Ⅱ
α2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z
Ⅲ
α2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈2π<α<2kπ＋2π，k∈Z
类型一 角度制与弧度制的换算 【例 1】 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π.
解 (1)－1 500°＝－1 500×1π80＝－253π＝－10π＋53π. ∵53π是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角． (2)∵25π＝25×180°＝72°，∴终边与角25π相同的角为 θ＝72°＋ k·360°(k∈Z)，当 k＝0 时，θ＝72°；当 k＝1 时，θ＝432°， ∴在 0°～720°范围内，与25π角终边相同的角为 72°，432°. [规律方法] 用弧度制表示终边相同的角 2kπ＋α(k∈Z)时，其 中 2kπ 是 π 的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度 制不能混用．
第一章 三角函数
1.1.2 弧度制
【教学目标】 1．了解角的另外一种度量方法——弧度制． 2．能进行弧度与角度的互化． 3．掌握弧度制中扇形的弧长公式和面积公式． 【重难点】 1．对弧度制概念的理解．(难点) 2．弧度制与角度制的互化．(重点、易错点)
新知导学
1．度量角的单位制 (1)角度制 用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，规定 1 度的角等 1 于周角的 360 . (2)弧度制 ①弧度制的定义
[思路探索] 本题主要考查角度与弧度的换算，直接套用角度与 弧度的换算公式，即度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度 数．
解 (1)20°＝2108π0＝π9. (2)－15°＝－11850π＝－1π2. (3)71π2＝172×180°＝105°. (4)－115π＝－151×180°＝－396°.
Ⅱ
α2kπ＋π2<α<2kπ＋π，k∈Z
Ⅲ
α2kπ＋π<α<2kπ＋32π，k∈2π<α<2kπ＋2π，k∈Z
类型一 角度制与弧度制的换算 【例 1】 将下列角度与弧度进行互化．
(1)20°；(2)－15°；(3)71π2；(4)－115π.
解 (1)－1 500°＝－1 500×1π80＝－253π＝－10π＋53π. ∵53π是第四象限角，∴－1 500°是第四角限角． (2)∵25π＝25×180°＝72°，∴终边与角25π相同的角为 θ＝72°＋ k·360°(k∈Z)，当 k＝0 时，θ＝72°；当 k＝1 时，θ＝432°， ∴在 0°～720°范围内，与25π角终边相同的角为 72°，432°. [规律方法] 用弧度制表示终边相同的角 2kπ＋α(k∈Z)时，其 中 2kπ 是 π 的偶数倍，而不是整数倍，还要注意角度制与弧度 制不能混用．
高中数学必修4弧度制_ PPT 课件
（1）用角度表示
与终边相同的角可以表示为： k3 6 ， k0 Z
它们构成一个集合：
S =| = k 3 ,k 6 Z 0
（2）用弧度表示
与终边相同的角可以表示为： 2k， k Z
它们构成一个集合：
S = |= 2 k ,k Z
180 把弧度换成角度
1ra=d18 05.73 0=5 71'8
正角 零角 负角
任意角的集合
正实数
0
负实数 实数集R
注意几点：
1．今后在具体运算时，“弧度”二字和 单位符号“rad”可以省略 如：3表示 3rad , sin表示rad角的正弦
2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应 该记住（见课本P8表）
—弧度制，它是如何定义呢？
弧度制 ：
定义： 我们把长度等于半径长的弧所对的 圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时， 这样的圆心角等于1rad。
单位符号 ：rad
B
l =r
1rad
Oo r
A
读作弧度
C
l = 2r
2rad
A
r
Oo
AOB=1rad
AOC=2rad
(1)正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是0
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制 是以“度”为单位度量角的制度；
②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）
的大小，而 1
是圆的
1 360
所对的圆心角（或该弧）
的大小；
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是 一 个与半径大小无关的定值．
终边相同的角
与终边相同的角可以表示为： k3 6 ， k0 Z
它们构成一个集合：
S =| = k 3 ,k 6 Z 0
（2）用弧度表示
与终边相同的角可以表示为： 2k， k Z
它们构成一个集合：
S = |= 2 k ,k Z
180 把弧度换成角度
1ra=d18 05.73 0=5 71'8
正角 零角 负角
任意角的集合
正实数
0
负实数 实数集R
注意几点：
1．今后在具体运算时，“弧度”二字和 单位符号“rad”可以省略 如：3表示 3rad , sin表示rad角的正弦
2．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应 该记住（见课本P8表）
—弧度制，它是如何定义呢？
弧度制 ：
定义： 我们把长度等于半径长的弧所对的 圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时， 这样的圆心角等于1rad。
单位符号 ：rad
B
l =r
1rad
Oo r
A
读作弧度
C
l = 2r
2rad
A
r
Oo
AOB=1rad
AOC=2rad
(1)正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数， 零角的弧度数是0
角度制与弧度制的比较
①弧度制是以“弧度”为单位度量角的制度，角度制 是以“度”为单位度量角的制度；
②1弧度是等于半径长的圆弧所对的圆心角（或该弧）
的大小，而 1
是圆的
1 360
所对的圆心角（或该弧）
的大小；
③不论是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是 一 个与半径大小无关的定值．
终边相同的角
人教A版必修四1.1.2弧度制课件 (共17张PPT)
C
l=2r
2rad
A O
4.角的弧度数的绝对值： l
r
5.
正角 零角 负角 角的弧度数
对应角的
正实数 弧度数 零
负实数 实数集R
二、角度制与弧度制换算:
(1)将角度化为弧度：
360 2 rad 180 rad
1 rad
180
n
n0 _1_8_0__ rad
二、角度制与弧度制换算:
(2)将弧度化为角度：
2 360
180
1rad (180) 57.30 5718'
180n
n _____ 0
特殊角的弧度:
角 度
0o
30o
45o
60o
90o 120o
弧 度
0
6
4
2
323
角 度
135o
150o
180o270o源自360o弧 3 度4
5
6
3 2
2
常规写法:
① 用弧度数表示角时，常常把弧度数
(1)理解弧度制的概念; (2)熟练进行角度制与弧度制的 换算; (3)能应用弧长公式与扇形面积 公式解决有关问题.
角度制:
1.定义：是用“度”作单位来度量角 的单位制叫做角度制.
2.角度制的单位：度、分 规定:周角的 1 为10 ,即周角为3600
360
一、弧度制:
1.定义：是用“弧度”作单位来度量角的 单位制叫做弧度制.
例2:在半径为R的圆中，240º的圆心角
所对的弧长为
，面积为2R2的
扇形的圆心角等于
弧度。
解:(1)240º= 4 ，根据l=αR，得 l 4 R
3
人教高中数学必修四第一章1.1弧度制课件(共19张PPT)
设
E { 小于 90 的角｝
M 小于 90 但不小于
o
F { 锐角｝，
0 的角
0
G ＝ { 第一象限的角｝
0
，那么有（ ）． D
A .F G E B .F E G C .M E G D . G M
F
2、 若 角 、 满 足 下 列 条 件 ， 求它们的关系式？
16 3
；（2） 315 ；（3）
B
11 7
．
２．下列角的终边相同的是（
A． k
4
）．
与 2 k 与
2
4
，k Ζ
B． 2 k C．
k 2
2 3
3
，k Ζ
与 k
，k Ζ
D． 2 k 1 与 3 k ， k Ζ
2k , k, k ZZ 2 k
3 2 2k k ,, k k Z Z 22
1．把下列各角化成 2 k 0 2 ， k Ζ 的形式： （ 1）
4
B B
2
单位符号是 rad,读作弧度
-10 -5
1弧度
O A A
拖 动A改 拖
-2
弧度把角度单位与长度单位统一起来.
-4
OA 3.10 厘米
长度 AB 3.10 厘米
m Ð AO B 1.00 000 弧度
-6
OA 4.23 厘米
-8
长度 AB 4.23 厘米
m Ð AO B 1.00 000 弧度
弧度制
高中人教版数学必修4课件：1.1.2弧度制
(1)
－
7 8
π
rad
(2) － 396°
[(1)
－
157°30′
＝
－
157.5°＝
－
315 2
×1π80 rad＝－78π rad.
(2)－115π＝－115π×18π0°＝－396°.]
2．在[2π，4π]中，与72°角终边相同的角是________．(用弧度 表示)
12 5π
[因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．
第一章 三角函数
§1 数列 1.1.2 弧度制
学习目标 1.体会引入弧度制的必要性，了解弧度制下，角的集合与实数集之间 的一一对应关系． 2．能进行弧度与角度的换算、掌握弧长公式和扇形面积公式，熟悉 特殊角的弧度数．(重点、难点) 3．了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点)
核心素养 1.通过本节课的学习，了解引入弧度制的必要性，提升学生数学抽 象素养． 2．在类比和数学运用过程中，培养学生数学建模和数学运算素养.
C [对于A,60°＝60×1π80＝π3；对于B，－130π＝－130×180°＝－ 600°；对于C，－150°＝－150×1π80＝－56π；对于D，1π2＝112×180° ＝15°.故选C.]
3．若把－570°写成2kπ＋α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式，则α＝ ________.
5π 6
2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于利用“180°＝π rad” 这一关系式．
3．弧度制下涉及扇形问题的解题策略 (1)明确弧度制下扇形的面积公式是 S＝21lr＝12|α|r2(其中 l 是扇形 的弧长，r 是扇形的半径，α(0＜α＜2π)是扇形的圆心角)．
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此角为周角 即为360° 即为 °
2π弧度 弧度
L 弧度 =2π弧度 r
L=2 π r O r （ A B)
360°= 2π 弧度 ° 180°= π 弧度 °
由180°= ° 1°= °
π 弧度 还可得
π 弧度 ≈ 0．01745弧度 —— ． 弧度
180
180 ）°≈ 57．30°= 57°18′ 1弧度 =（——） 弧度 （ ． ° °
四、例题讲解
弧长公式和扇形面积公式
l 弧长公式： 1、弧长公式： α = 得： = α ⋅ r 由 l r
1 1 2 扇形面积公式： 2、扇形面积公式： = lr = r α S 2 2
练习： 练习：求图中公路弯道处弧 A 的长 。 Bl （精确 到1 ，图中长度单位： m m 图中长度单位： ） 解：60 =
，则有
2r + l = 8, r = 2 解得 l = 2r , l = 4 1 2 故扇形的面积为S = rl = 4(cm ). 2
o
π
3
l = α R= ×45 ≈ 3.14×15 ≈ 47m 3
的长约47m 47m。 答：弯道处 A 的长约47m。 B
π
例4：已知扇形的周长为8cm，圆心角 已知扇形的周长为8cm， 8cm 为2弧度，求该扇形的面积. 弧度，求该扇形的面积.
解：设扇形的半径为r，弧长为 设扇形的半径为 ，
l
1、1弧度角的定义 弧度角的定义
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 弧度的角。 弧度的角。 B L=r 设弧AB的长为 的长为L， 设弧 的长为 ， 1弧度 弧度 A O r L = 1 弧度 若L=r，则∠AOB= ，
r
L = 2 弧度 若L=2r，则∠AOB= ， r L =2π弧度 若L=2 π r，则∠AOB= ， 弧度 r
r
O B
A
-3弧度 弧度
L=3r
2.一般地，我们规定： 一Fra bibliotek地，我们规定：
正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数， 正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数， 零角的弧度数为零，任一已知角α的弧度数的绝 零角的弧度数为零，任一已知角 的弧度数的绝 对值： 对值：
︱α︱= ︱
L r
其中L为以角α作为圆心角时所对圆弧的长， 其中L为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。这种用“弧度” 为圆的半径。这种用“弧度” 做单位来度量角的 制度叫做弧度制。 制度叫做弧度制。
0
π
6
π
4
π
3
π
2
π
3 π 2
2 π
2、用弧度为单位表示角的大小时， 、用弧度为单位表示角的大小时， 弧度”二字通常省略不写， “弧度”二字通常省略不写，但用 为单位时不能省。 “度”（°）为单位时不能省。
3、用弧度为单位表示角时，通常写 、用弧度为单位表示角时，
成“多少π”的形式。 多少 的形式。 的形式
B
2弧度 弧度
L=2r
2π弧度 弧度
L=2 π r O r A（B) （
O r
A
若圆心角∠ 表示一个负角， 若圆心角∠AOB表示一个负角，且它 表示一个负角 所对的弧的长为3r， 所对的弧的长为 ，则∠AOB的弧度 的弧度 数的绝对值是 L = 3， ，
r
L = －3弧度 即∠AOB=－ － 弧度 r
4、用弧度来度量角，实际上角的集合 、用弧度来度量角， 实数集R之间建立一一对应的关系： 与实数集 之间建立一一对应的关系：
正角 零角 负角 正实数 零 负实数
对应角的 弧度数
角的集合
实数集R 实数集R
小结： 小结：
1.圆心角 所对弧长与半径的比是一个 圆心角α所对弧长与半径的比是一个 圆心角 仅与角α大小有关的常数 大小有关的常数,所以作为度 仅与角 大小有关的常数 所以作为度 量角的标准. 量角的标准 2.量角的制度，除了角度制与弧度制以外， 量角的制度，除了角度制与弧度制以外， 量角的制度 还有其它的制度， 还有其它的制度，弧度制除了使角与实 数有一一对应关系外， 数有一一对应关系外，为以后学习三角 函数打下基础。 函数打下基础。 3.能熟练地进行角度与弧度之间的换算。 能熟练地进行角度与弧度之间的换算。 能熟练地进行角度与弧度之间的换算
π
4、例1
）、把 ° 化成弧度 化成弧度。 （1）、把67°30′化成弧度。 ）、
3 ）、把 弧度化成度。 （2）、把 —π 弧度化成度。 ）、 5
把下列各角化成弧度 例2. 把下列各角化成弧度 (1) 67 °30' , (2)120 ° , (3)75 ° , (4)135 °
(5) 300 ° , (6) - 210 ° , (7)22 °30' , (8)225 °
例3. 把下列各弧度化成度 把下列各弧度化成度. (1)3π/5 , (2) π/12 ,(3) 3π/10 , (4) – π/5 (5) - 12 π , (6) 5π/6 , (7) 7π/12
注：
1、对于一些特殊角的度数与弧度数之间的换算 、 要熟记。 要熟记。
度 弧 度
0° 30 ° ° 45 ° 60 ° 90 ° 180 ° 270° 360° ° °
弧度制
角度制
1、用“度”作单位来度量角的单位 角度制” 规定： 制称作 “角度制”，规定：圆周 1/360的圆心角称作 的圆心角称作1 1/360的圆心角称作1°角。
2、角度制的单位有：度、分、秒。 角度制的单位有：
在角度制下，当把两个带着度、 3、在角度制下，当把两个带着度、分、秒为 单位的角相加、相减时，由于运算进率不是十进 单位的角相加、相减时，由于运算进率不是十进 总给我们带来不少困难． 制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重新 选择角单位，使在该单位制下两角的加、 选择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算 与常规的十进制加减法一样去做呢？ 与常规的十进制加减法一样去做呢？
由弧度的定义可知： 由弧度的定义可知：
定 义 的 合 理 性
圆心角AOB的弧度数等于它所对的弧的长与半径 的弧度数等于它所对的弧的长与半径 圆心角 的弧度数等于 长的比的绝对值。 长的比的绝对值。
B B L=r
1弧度 弧度
L=r 1弧度 弧度 O r r A O
A
3、弧度与角度的换算
若L=2 π r，则∠AOB= ，
2π弧度 弧度
L 弧度 =2π弧度 r
L=2 π r O r （ A B)
360°= 2π 弧度 ° 180°= π 弧度 °
由180°= ° 1°= °
π 弧度 还可得
π 弧度 ≈ 0．01745弧度 —— ． 弧度
180
180 ）°≈ 57．30°= 57°18′ 1弧度 =（——） 弧度 （ ． ° °
四、例题讲解
弧长公式和扇形面积公式
l 弧长公式： 1、弧长公式： α = 得： = α ⋅ r 由 l r
1 1 2 扇形面积公式： 2、扇形面积公式： = lr = r α S 2 2
练习： 练习：求图中公路弯道处弧 A 的长 。 Bl （精确 到1 ，图中长度单位： m m 图中长度单位： ） 解：60 =
，则有
2r + l = 8, r = 2 解得 l = 2r , l = 4 1 2 故扇形的面积为S = rl = 4(cm ). 2
o
π
3
l = α R= ×45 ≈ 3.14×15 ≈ 47m 3
的长约47m 47m。 答：弯道处 A 的长约47m。 B
π
例4：已知扇形的周长为8cm，圆心角 已知扇形的周长为8cm， 8cm 为2弧度，求该扇形的面积. 弧度，求该扇形的面积.
解：设扇形的半径为r，弧长为 设扇形的半径为 ，
l
1、1弧度角的定义 弧度角的定义
我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 我们把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 弧度的角。 弧度的角。 B L=r 设弧AB的长为 的长为L， 设弧 的长为 ， 1弧度 弧度 A O r L = 1 弧度 若L=r，则∠AOB= ，
r
L = 2 弧度 若L=2r，则∠AOB= ， r L =2π弧度 若L=2 π r，则∠AOB= ， 弧度 r
r
O B
A
-3弧度 弧度
L=3r
2.一般地，我们规定： 一Fra bibliotek地，我们规定：
正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数， 正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数， 零角的弧度数为零，任一已知角α的弧度数的绝 零角的弧度数为零，任一已知角 的弧度数的绝 对值： 对值：
︱α︱= ︱
L r
其中L为以角α作为圆心角时所对圆弧的长， 其中L为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆的半径。这种用“弧度” 为圆的半径。这种用“弧度” 做单位来度量角的 制度叫做弧度制。 制度叫做弧度制。
0
π
6
π
4
π
3
π
2
π
3 π 2
2 π
2、用弧度为单位表示角的大小时， 、用弧度为单位表示角的大小时， 弧度”二字通常省略不写， “弧度”二字通常省略不写，但用 为单位时不能省。 “度”（°）为单位时不能省。
3、用弧度为单位表示角时，通常写 、用弧度为单位表示角时，
成“多少π”的形式。 多少 的形式。 的形式
B
2弧度 弧度
L=2r
2π弧度 弧度
L=2 π r O r A（B) （
O r
A
若圆心角∠ 表示一个负角， 若圆心角∠AOB表示一个负角，且它 表示一个负角 所对的弧的长为3r， 所对的弧的长为 ，则∠AOB的弧度 的弧度 数的绝对值是 L = 3， ，
r
L = －3弧度 即∠AOB=－ － 弧度 r
4、用弧度来度量角，实际上角的集合 、用弧度来度量角， 实数集R之间建立一一对应的关系： 与实数集 之间建立一一对应的关系：
正角 零角 负角 正实数 零 负实数
对应角的 弧度数
角的集合
实数集R 实数集R
小结： 小结：
1.圆心角 所对弧长与半径的比是一个 圆心角α所对弧长与半径的比是一个 圆心角 仅与角α大小有关的常数 大小有关的常数,所以作为度 仅与角 大小有关的常数 所以作为度 量角的标准. 量角的标准 2.量角的制度，除了角度制与弧度制以外， 量角的制度，除了角度制与弧度制以外， 量角的制度 还有其它的制度， 还有其它的制度，弧度制除了使角与实 数有一一对应关系外， 数有一一对应关系外，为以后学习三角 函数打下基础。 函数打下基础。 3.能熟练地进行角度与弧度之间的换算。 能熟练地进行角度与弧度之间的换算。 能熟练地进行角度与弧度之间的换算
π
4、例1
）、把 ° 化成弧度 化成弧度。 （1）、把67°30′化成弧度。 ）、
3 ）、把 弧度化成度。 （2）、把 —π 弧度化成度。 ）、 5
把下列各角化成弧度 例2. 把下列各角化成弧度 (1) 67 °30' , (2)120 ° , (3)75 ° , (4)135 °
(5) 300 ° , (6) - 210 ° , (7)22 °30' , (8)225 °
例3. 把下列各弧度化成度 把下列各弧度化成度. (1)3π/5 , (2) π/12 ,(3) 3π/10 , (4) – π/5 (5) - 12 π , (6) 5π/6 , (7) 7π/12
注：
1、对于一些特殊角的度数与弧度数之间的换算 、 要熟记。 要熟记。
度 弧 度
0° 30 ° ° 45 ° 60 ° 90 ° 180 ° 270° 360° ° °
弧度制
角度制
1、用“度”作单位来度量角的单位 角度制” 规定： 制称作 “角度制”，规定：圆周 1/360的圆心角称作 的圆心角称作1 1/360的圆心角称作1°角。
2、角度制的单位有：度、分、秒。 角度制的单位有：
在角度制下，当把两个带着度、 3、在角度制下，当把两个带着度、分、秒为 单位的角相加、相减时，由于运算进率不是十进 单位的角相加、相减时，由于运算进率不是十进 总给我们带来不少困难． 制，总给我们带来不少困难．那么我们能否重新 选择角单位，使在该单位制下两角的加、 选择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算 与常规的十进制加减法一样去做呢？ 与常规的十进制加减法一样去做呢？
由弧度的定义可知： 由弧度的定义可知：
定 义 的 合 理 性
圆心角AOB的弧度数等于它所对的弧的长与半径 的弧度数等于它所对的弧的长与半径 圆心角 的弧度数等于 长的比的绝对值。 长的比的绝对值。
B B L=r
1弧度 弧度
L=r 1弧度 弧度 O r r A O
A
3、弧度与角度的换算
若L=2 π r，则∠AOB= ，