李凡长版 组合数学课后习题答案习题4
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第四章 生成函数
1. 求下列数列的生成函数： （1）{0,1,16,81,…,n 4,…} 解：G{k 4
}=
235
(11111)
1x x x x x +++-（）
（2）343,,,333n +⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎩⎭ 解：3n G n +⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭=4
1
(1)
x - （3）{1,0,2,0,3,0,4,0,……} 解：A(x)=1+2x 2+3x 4+4x 6+…=（2
1
1x
-）2. （4）{1,k ,k 2,k 3,…}
解：A(x)=1+kx+k 2x 2+k 3x 3+…=
1
1kx -. 2. 求下列和式： （1）14+24+…+n 4
解：由上面第一题可知，{n 4}生成函数为
A(x)=235
(11111)1x x x x x +++-（）=0
k
k k a x ∞=∑， 此处a k =k 4.令b n =14+24+…+n 4，则b n =0n
k k a =∑，由性质3即得数列{b n }的生
成函数为 B(x)= 0n
n n b x ∞
=∑=()
1A x x -=34
125(1111)i
i i x x x x x i ∞
=++++⎛⎫ ⎪⎝⎭
∑. 比较等式两边x n 的系数，便得
14+24+…+n 4
=b n =1525354511111234n n n n n n n n -+-+-+-++++----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
321
(1)(691)30
n n n n n =+++-
（2）1·2+2·3+…+n (n +1)
解：{ n (n +1)}的生成函数为A(x)=
3
2(1)x x -=0
k
k k a x ∞
=∑，此处a k = n (n +1).
令b n =1·2+2·3+…+n (n +1)，则b n =0
n
k k a =∑.由性质3即得数列{b n }的生成
函数为B(x)=
n
n n b x ∞
=∑=
()1A x x
-=
4
2(1)x
x -=032n
k k
k x x k =+⎛⎫
⎪⎝
⎭∑. 比较等式两边x n 的系数，便得
1·2+2·3+…+n (n +1)= b n =2(1)(2)
213n n n n n +++=-⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 3. 利用生成函数求解下列递推关系： （1）()7(1)12(2)(0)2,(1)7f n f n f n f f =---==⎧⎨⎩;
解：令A(x)=0()n n f n x ∞
=∑
则有A(x)-f(0)-f(1)x=
2()n
n f n x ∞
=∑=2
(7(1)12(2))n n
f n f n x
∞
=---∑
=2
1
7()12()n
n
n n x f n x x
f n x
∞
∞
==-∑∑
=7x(A(x)-f(0))-12x 2
A(x).
将f(0)=2，f(1)=7代入上式并整理，得
2
2711()(34)17121314n n
n x A x x x x x ∞
=-==+=+-+--∑. （2）()3(1)53(0)0
n
f n f n f =-+⋅=⎧⎨⎩;
解：令A(x)=0()n
n f n x ∞
=∑，则有
A(x)-f(0)= 1
(3(1)53)n n
n
f n x ∞
=-+⋅∑=00
3()153n
n
n n n x f n x x x ∞∞
==+∑∑
=3xA(x)+15x ·
113x
-.
A(x)= 2
15(13)
x
x -
（3）()2(1)(2)
(0)0,(1)1
f n f n f n f f =-+-==⎧⎨
⎩;
解：令A(x)=0
()n
n f n x ∞=∑，则有
A(x)-f(0)-f(1)x=2
(2(1)(2))n n
f n f n x ∞
=-+-∑=2
1
2()()n
n
n n x f n x x
f n x
∞
∞
==+∑∑
=2x(A(x)-f(0))+x 2A(x).
将f(0)=0，f(1)=1代入上式并整理，得2
()12x A x x x
=--.
4. 设序列{n a }的生成函数为：
3
43(1)(1)
x
x x x --+-,但00b a =,110b a a =-, ……,1n n n b a a -=-,……,求序列{n b }的生成函数.
解：由00b a =,110b a a =-,……,1n n n b a a -=-,得0
n
k n k b a ==∑，所以A(x)=
()1B x x
-.