奥数-初中数学竞赛辅导资料及参考答案(初三上部分,共)-53

初中数学竞赛辅导资料（53）

条件等式的证明

甲内容提要

1. 恒等式：如果等式中所含的字母在允许值范围内，用任何实数值代替它，等式都能成立,那么这个等式叫做恒等式.

例如： ①a+b=b+a ， ②(a+b)2=a 2+2ab+b 2 ， ③ x －x

4

=x x 42-(x ≠0)，

④ (a )2=a (在实数范围内a ≥0)， ⑤n n

a =a(在实数范围内n 为正奇数).

都是恒等式.

只含常数的等式是恒等式的特例. 如：3－2=1，

323

21-=+.

2. 条件等式：满足一定条件下的等式，称为条件等式. 方程是条件等式，解方程就是求出能满足等式的条件(未知数的值).

3. 证明条件等式就是在题设的条件下，判断恒等式.

4. 证明条件等式的方法，除和证明恒等式的一般方法(见第20讲)以外，要特别注意如何把已知的条件用上. 一般有以下几种：

① 用已知的条件直接代入(即等量代换).

② 变形后代入(包括把已知变形，或把结论变形). ③ 引入参数后代入(包括换元).

5. 分式，根式在恒等变形时，要注意字母保持允许值的范围不变. 乙例题 例1. 已知：

a z y x =+,

b x z y

=+,

c y x z =+且x+y+z ≠0. 求证：

1111=+++++c

c

b b a a . 分析：①设法化为同分母， ②轮换式可先代入一式，其余的可用同型式

③用已知直接代入.

证明 ：∵z y x x z

y x z

y x

a a ++=++

+=+11.

根据 轮换式的性质，得

∴

c c

b b a a ++

+++111=1=++++++++z

y x z z y x y z y x x .

例2. 已知：

c b a c b a ++=

++1

111. 求证：

1

21

21

21

2)(1

111

++++++=

+

+

n n n n c b a c b a (n 是整数).

分析：先把已知变形，找出a, b, c 之间的关系. 证明：由已知，去分母，得

bc(a+b+c)+ac(a+b+c)+ab(a+b+c)=abc.

(a+b+c)(bc+ac)+ab(a+b)=0 .

(a+b)(b+c)(c+a)=0.

∴a=－b ， 或b=－c ， 或c=－a. ∵n 是整数， ∴2n+1是奇数.

当a=－b 时 ，左边=

1

21212121

11)(1++++=++-n n n n c

c b b ； 右边=

12)(1+++-n c b b =1

21

+n c .

即a=－b 时，等式成立.

同理可证：当b=－c 和c=－a 时，等式也成立 .

∴

1

21

21

21

2)

(1

111++++++=

+

+

n n n n c b a c b a (n 为整数 ). 例3. 已知：ax 3=by 3=cz 3,

11

11=++z

y x . 求证：=++3222cz by ax 333

c b a ++.

证明：设ax 3=by 3=cz 3= k . ( 引入参数)

那么

ax 2=

x k ,

by 2=y k , cz 2=z

k . 代入左边，

得 ： 左边=333

)1

11(k z

y x k z k y k x k =++=++； 而且 a=

3x k , b=3y k , c=3

z k . 代入右边，

得： 右边==++33

333

3z

k y k x k (z y x 111++)3k =3k . ∴=

++3222cz by ax 333

c b a ++.

例4. 已知： abc ≠0，方程(ac －bc)x 2+(bc －ab)x+(ab －ac)=0有两个相等实根.

求证：

b

c a b 1111-=- 分析：要等式b

c a b 1

111-=-成立，必须且只须ac －bc=ab －ac.

证明：∵方程有两个相等的实数根，

∴△=0.

即 (bc －ab)2－4(ac －bc) (ab －ac)=0.

(bc －ab+ac －ac)2+4(bc －ac)(ab －ac)=0， (添项ac －ac) ［(bc －ac)－(ab －ac)］2+4(bc －ac)(ab －ac)=0.

∴［(bc －ac)+(ab －ac)］2=0 . ∴bc －ac+ab －ac =0. ∴ ac －bc=ab －ac. ∵abc ≠0，两边都除以abc,

得，

b c a b 1111-=-. 例5. 已知：a+a

c c b b 1

11+=+=， a ≠b ≠c.

求证：a 2b 2c 2=1. 证明：由已知a －b=

b c 11-=

bc

c

b -, ∵ a ≠b ，即a －b ≠0， ∴bc=

b

a c

b --. 根据轮换式性质，得同型式： ca=

c b a c --, ab=a

c b

a --. ∴ a

b ×b

c ×ca=a c b a --×b a c b --× c

b a

c --.

∴a 2b 2c 2=1.

丙练习53

1. 已知： abc=1. 求证：

11

11=++++++++c ca c

b b

c b a ab a

2. 已知： x=b a b a +-, y=c

b c

b +-, z=a

c a c +-.

求证： (1+x)(1+y)(1+z)=(1－x)(1－y)(1－z). 3. 已知：(ay －bx)2+(bz －cy)2+(cx －az)2=0 . 求证： c

z

b y a x ==. 4. 已知：

c

b

b a =. 求证： (a+b+c)2+a 2+b 2+

c 2=2(a+b+c)(a+c). 5. 已知：

z

x y c

y z x b x y z a +-=+-=+-222.

求证：a+b+c=0 .