条件数学期望平滑性质的某些推广及应用
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［］ １ 中引理 ５ １ ． 一个 简单 的平 推 ， ［ ］ 但 １ 中并未 给 出完 整 的证 明 ， 我们不 仅 给 出了详 细 的证 明 ， 而且 引 出了一些新 的探讨 。
１ 条件 数 学 期 望 平 滑 性质 的 某些 推 广 与应 用
设 隗 韵 子 一域 ， 是 随机 变量 ， 存 在 ， 由于涉及 条件 期望 ［ Ｉ
基本 一域 一个子 一 ， 们有 ： 域 我 Ｉ ）若 Ｅ （ 意指 随机变 量 为 可测 ） Ｅ［ ｌ ＝ｒ Ｉ 则 轫 ／ Ｅ［ Ｉ）若 叼与 独立 （ Ｉ 意指 （ 叩）与 嘲 立 ） Ｅ［ ： ｒ 则 叼Ｉ Ｅ／ （） １ （） ２
这是 我们所 熟 悉 的条件数 学期 望最 基础 的平滑 性质 。本 文 中 我们 从 这最 基 本 的平 滑 性质 出发 ， 给 出它们 的一些 推广 及应 用 ， 在第 １ 部分 的命题 是 已有 的 ， 散见 在 各 种 文献 中 ， 节按 照 我们 的逻 但 本 辑顺 序 （ 由（ ） ２ 出发 ） 行重 新归 纳 ， 因此 有些命 题更 改 了原有 证 明） 即 １（ ） 进 （ 。 在第 ２部分 中我 们给 出 了进 一步 的推广 ， 命题 １命 题 ２是 我们 新 给 出 的 ， 当指 出 ， 题 ２只是 、 应 命
ＰＡ （）＝ｌ （ ：ＹｇＹｄ Ａ Ｐ ）（）ｙ
（） ８
（） ９
在 （ ） （ ）中取 ＝ （ ７ ，８ ∞）（Ａ是 任 一 随机事 件 ）则有 如 下全 概公 式 ：
或
ＰＡ （ ）：∑ ＰＡＩ１ ｉ （ ＝ｋ （ ７：ｋ 尸 ｉ ） ）
又由 Ｉ ， 是随机变量 一即 可测函数时 ， ［ ）当 Ｅ ｌ 取值为 在 所在的 的原子上的平均值 ， 因此 Ｅ Ｉ ［
滑）
（） １ ０
是 一 可测的 ， 故随机变量 Ｅ Ｉ （ ［ ） 可视为对 的平滑算子（ 在 的原子上平
（０ １ ）是 初等概 率 论 中我们 所 熟悉 的形 式 ，７ （ ）一（ ）无论 在 理论 上 实用 中也 都 是十 分有 用 的工具 。 ９
熟知 Ｅ［ ｌ
有 如下 简单 的平 滑性 质 ： ＝刀 ｌ ［ （．． ａｅ ） （１ １） （２ １） ：Ｅ ａｅ ） 叼（ ．．
Ｅ Ｅ［ ｌ ［
Ｅ［ （ Ｊ Ｅ
］ ：Ｅ［＾ ］ ，亭
］ ＝Ｅ
（） ５
（） ６
（ ） （ ） 便 于应 用 的形 式 ， 如在 （ ）中取 ＝ （ ３ ，５ 是 例 ５ ） Ａ ＝ ｛ ７ ｃ）∈ Ｒ｛ 则 有 ∞： （ｃ ７ ， ， 公式 （ ）通 常称 为一 般形 式 的全 期望 公 式 ， ．是 连续 型 随机 变量 密 度为 ｇ ｙ 或 叼是离 散 型 随机 ６ 若 ， ７ （ ），
中 图分 类 号 ： ２ １６ ０ １．７ 文 献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０９２ １ （００ ０ — ０ ６ ０ １０ －７ ４ ２ １ ） １ ０ ５ — ６
０ 引 言
条件数 学期 望是 建立在 测 度论基 础上 的现代 概率论 中最重 要 的概念 与 工具 之一 。随机过 程理论 中最基本 、 应用最 为广 泛 的三大过 程 （ ， ｒｏ 过 程 ， 鞅 Ｍａｋｖ 平稳 过程 ） ， ， ａｋｖ 程都 是用 条件数学 中 鞅 Ｍ ｒｏ 过 期 望来定义 的 。本文不 打算 讨论 条件 数 学期 望 的一般 平滑 性 质 ， 我们 仅 打 算 考 虑 以下 二 点 ： 设 是
严 慧 ， 立 峰 徐
（ 北师 范 学院 数 学与 统计 学院 ，湖北 黄石 湖 ４ ５０ ） ３０２
摘要 ： 从条件数学期望二个最基本的平滑性质入手 ， 讨论 了平滑性质 的一些推 广与 应用 ， 用测度 论 中的 利
基本 方法给 出了二 个新 的命题及其证 明， 并作 了进 一步的讨论。 关键词 ：随机过程 ； 条件数 学期望 ； 率； 概 测度
第３ Ｏ卷
湖北师范学 院学报 （ 自然 科学 版）
Ｊｕ ａ ｏ ｕ ｅ Ｎ ｒ ａ Ｕ ｉ ｒｉ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎｅ ｏｒ ｌ ｆ ｂ ｉ ｏｍ ｌ ｎｖ ｓｙ（ ａ ａ Ｓｉ ｃ ） ｎ Ｈ ｅ ｔ ｕ ｅ
Ｖ０ ０ Ｌ３
Ｎｏ ．１． ０ ２０１
第１ 期
条 件 数 学 期 望 平 滑 性 质 的 某 些 推 广 及 应 用
以下讨论 相关条 件期 望 时 ， 约定 总假 设对 应 的期 望存 在 。
时 总要求 存在 ，
条件 期望 Ｅ Ｉ ［
达式 ：
是 用 Ｒ ｄｎ—Ｎｋｄｍ导数 定义 的 ， 基本 内涵 是 ： ａｏ ｉｏｙ 其
Ｉ ）它是 一个 一可测 的随机 变量 ， 特别 地 ， 常用场合 ＝ （ 在 ）时 由 Ｄ ｏ 函表示定 理有表 ｏｂ泛 ［ ］ ＝ｈ ７ Ｉ （７ ） 其 中 叩是一个 随机 变量 ， ［ Ｉ 表 示 叼］ Ｅ． ＝Ｙ （， ［ ｌ ］＝ ） ）
是更确 切 的表 达 。
收稿 日期 ：ｏ ９ ＿３ １ ２ ｏ —０ — ８
（） ３ Ｊ （７］ ＾是 一可测 函数 ， ７ ， ） 于是 可 以认 为 （） ４
作者简介 ： 严 慧 （９ ３ １８ 一
・
）女 ， ， 湖北黄梅人 ， 硕士， 研究方向为随机过程
５ ・ ６
Ｉ）பைடு நூலகம்Ａ ∈ 有 Ｉ
变量 分布 列 为 Ｐ（ ＝ｋ） ｉ＝ １２ … ， 叼 ， ，， 则分 别有 具体 的全期望 公 式 ：
Ｅ （Ｉ） Ｅ 叼 ＝ｅｙ（ｄ＝ Ｅ ＝］ｙｙ （ ｆ 叼］ ） ｆ（ｇ ） Ｅ （ ｈ ）ｙｙ ｙ （ｄ ｇ ） ７ ）
或
＝
Ｅ（）＝∑ｈｋｐ－： ）＝∑层 ．＝ ｉ （ ＝ ｉ ｈ７ ７ （ ）（ ｑ ［ ， ｋｐｖ ｋ ７ ］ ／ ）
１ 条件 数 学 期 望 平 滑 性质 的 某些 推 广 与应 用
设 隗 韵 子 一域 ， 是 随机 变量 ， 存 在 ， 由于涉及 条件 期望 ［ Ｉ
基本 一域 一个子 一 ， 们有 ： 域 我 Ｉ ）若 Ｅ （ 意指 随机变 量 为 可测 ） Ｅ［ ｌ ＝ｒ Ｉ 则 轫 ／ Ｅ［ Ｉ）若 叼与 独立 （ Ｉ 意指 （ 叩）与 嘲 立 ） Ｅ［ ： ｒ 则 叼Ｉ Ｅ／ （） １ （） ２
这是 我们所 熟 悉 的条件数 学期 望最 基础 的平滑 性质 。本 文 中 我们 从 这最 基 本 的平 滑 性质 出发 ， 给 出它们 的一些 推广 及应 用 ， 在第 １ 部分 的命题 是 已有 的 ， 散见 在 各 种 文献 中 ， 节按 照 我们 的逻 但 本 辑顺 序 （ 由（ ） ２ 出发 ） 行重 新归 纳 ， 因此 有些命 题更 改 了原有 证 明） 即 １（ ） 进 （ 。 在第 ２部分 中我 们给 出 了进 一步 的推广 ， 命题 １命 题 ２是 我们 新 给 出 的 ， 当指 出 ， 题 ２只是 、 应 命
ＰＡ （）＝ｌ （ ：ＹｇＹｄ Ａ Ｐ ）（）ｙ
（） ８
（） ９
在 （ ） （ ）中取 ＝ （ ７ ，８ ∞）（Ａ是 任 一 随机事 件 ）则有 如 下全 概公 式 ：
或
ＰＡ （ ）：∑ ＰＡＩ１ ｉ （ ＝ｋ （ ７：ｋ 尸 ｉ ） ）
又由 Ｉ ， 是随机变量 一即 可测函数时 ， ［ ）当 Ｅ ｌ 取值为 在 所在的 的原子上的平均值 ， 因此 Ｅ Ｉ ［
滑）
（） １ ０
是 一 可测的 ， 故随机变量 Ｅ Ｉ （ ［ ） 可视为对 的平滑算子（ 在 的原子上平
（０ １ ）是 初等概 率 论 中我们 所 熟悉 的形 式 ，７ （ ）一（ ）无论 在 理论 上 实用 中也 都 是十 分有 用 的工具 。 ９
熟知 Ｅ［ ｌ
有 如下 简单 的平 滑性 质 ： ＝刀 ｌ ［ （．． ａｅ ） （１ １） （２ １） ：Ｅ ａｅ ） 叼（ ．．
Ｅ Ｅ［ ｌ ［
Ｅ［ （ Ｊ Ｅ
］ ：Ｅ［＾ ］ ，亭
］ ＝Ｅ
（） ５
（） ６
（ ） （ ） 便 于应 用 的形 式 ， 如在 （ ）中取 ＝ （ ３ ，５ 是 例 ５ ） Ａ ＝ ｛ ７ ｃ）∈ Ｒ｛ 则 有 ∞： （ｃ ７ ， ， 公式 （ ）通 常称 为一 般形 式 的全 期望 公 式 ， ．是 连续 型 随机 变量 密 度为 ｇ ｙ 或 叼是离 散 型 随机 ６ 若 ， ７ （ ），
中 图分 类 号 ： ２ １６ ０ １．７ 文 献 标 识 码 ： Ａ 文 章 编 号 ：０９２ １ （００ ０ — ０ ６ ０ １０ －７ ４ ２ １ ） １ ０ ５ — ６
０ 引 言
条件数 学期 望是 建立在 测 度论基 础上 的现代 概率论 中最重 要 的概念 与 工具 之一 。随机过 程理论 中最基本 、 应用最 为广 泛 的三大过 程 （ ， ｒｏ 过 程 ， 鞅 Ｍａｋｖ 平稳 过程 ） ， ， ａｋｖ 程都 是用 条件数学 中 鞅 Ｍ ｒｏ 过 期 望来定义 的 。本文不 打算 讨论 条件 数 学期 望 的一般 平滑 性 质 ， 我们 仅 打 算 考 虑 以下 二 点 ： 设 是
严 慧 ， 立 峰 徐
（ 北师 范 学院 数 学与 统计 学院 ，湖北 黄石 湖 ４ ５０ ） ３０２
摘要 ： 从条件数学期望二个最基本的平滑性质入手 ， 讨论 了平滑性质 的一些推 广与 应用 ， 用测度 论 中的 利
基本 方法给 出了二 个新 的命题及其证 明， 并作 了进 一步的讨论。 关键词 ：随机过程 ； 条件数 学期望 ； 率； 概 测度
第３ Ｏ卷
湖北师范学 院学报 （ 自然 科学 版）
Ｊｕ ａ ｏ ｕ ｅ Ｎ ｒ ａ Ｕ ｉ ｒｉ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎｅ ｏｒ ｌ ｆ ｂ ｉ ｏｍ ｌ ｎｖ ｓｙ（ ａ ａ Ｓｉ ｃ ） ｎ Ｈ ｅ ｔ ｕ ｅ
Ｖ０ ０ Ｌ３
Ｎｏ ．１． ０ ２０１
第１ 期
条 件 数 学 期 望 平 滑 性 质 的 某 些 推 广 及 应 用
以下讨论 相关条 件期 望 时 ， 约定 总假 设对 应 的期 望存 在 。
时 总要求 存在 ，
条件 期望 Ｅ Ｉ ［
达式 ：
是 用 Ｒ ｄｎ—Ｎｋｄｍ导数 定义 的 ， 基本 内涵 是 ： ａｏ ｉｏｙ 其
Ｉ ）它是 一个 一可测 的随机 变量 ， 特别 地 ， 常用场合 ＝ （ 在 ）时 由 Ｄ ｏ 函表示定 理有表 ｏｂ泛 ［ ］ ＝ｈ ７ Ｉ （７ ） 其 中 叩是一个 随机 变量 ， ［ Ｉ 表 示 叼］ Ｅ． ＝Ｙ （， ［ ｌ ］＝ ） ）
是更确 切 的表 达 。
收稿 日期 ：ｏ ９ ＿３ １ ２ ｏ —０ — ８
（） ３ Ｊ （７］ ＾是 一可测 函数 ， ７ ， ） 于是 可 以认 为 （） ４
作者简介 ： 严 慧 （９ ３ １８ 一
・
）女 ， ， 湖北黄梅人 ， 硕士， 研究方向为随机过程
５ ・ ６
Ｉ）பைடு நூலகம்Ａ ∈ 有 Ｉ
变量 分布 列 为 Ｐ（ ＝ｋ） ｉ＝ １２ … ， 叼 ， ，， 则分 别有 具体 的全期望 公 式 ：
Ｅ （Ｉ） Ｅ 叼 ＝ｅｙ（ｄ＝ Ｅ ＝］ｙｙ （ ｆ 叼］ ） ｆ（ｇ ） Ｅ （ ｈ ）ｙｙ ｙ （ｄ ｇ ） ７ ）
或
＝
Ｅ（）＝∑ｈｋｐ－： ）＝∑层 ．＝ ｉ （ ＝ ｉ ｈ７ ７ （ ）（ ｑ ［ ， ｋｐｖ ｋ ７ ］ ／ ）