第2章信号的采样与重建
数字信号处理第二版(实验二) 信号的采样与重建
实验二信号的采样与重建一，实验目的（1）通过观察采样信号的混叠现象，进一步理解奈奎斯特采样频率的意义。
（2）通过实验，了解数字信号采样转换过程中的频率特征。
（3）对实际的音频文件作内插和抽取操作，体会低通滤波器在内插和抽取中的作用。
二，实验内容（1）采样混叠，对一个模拟信号Va(t)进行等间采样，采样频率为200HZ，得到离散时间信号V(n).Va（t）由频率为30Hz,150Hz,170Hz,250Hz,330Hz的5个正弦信号的加权和构成。
Va(t)=6cos(60pi*t)+3sin(300pi*t)+2cos(340pi*t)+4cos(500pi*t )+10sin(660pi*t)观察采样后信号的混叠效应。
程序：clear,close all,t=0:0.1:20;Ts=1/2;n=0:Ts:20;V=8*cos(0.3*pi*t)+5*cos(0.5*pi*t+0.6435)-10*sin(0.7*pi*t);Vn=8*cos(0.3*pi*n)+5*cos(0.5*pi*n+0.6435)-10*sin(0.7*pi*n);subplot(221)plot(t,V),grid on,subplot(222)stem(n,Vn,'.'),gridon,05101520-40-200204005101520-40-2002040（2）输入信号X(n)为归一化频率f1=0.043，f2=0.31的两个正弦信号相加而成，N=100，按因子M=2作抽取：（1）不适用低通滤波器；（2）使用低通滤波器。
分别显示输入输出序列在时域和频域中的特性。
程序：clear;N=100; M=2;f1=0.043; f2=0.31; n=0:N-1;x=sin(2*pi*f1*n)+sin(2*pi*f2*n); y1=x(1:2:100);y2=decimate(x,M,'fir'); figure(1);stem(n,x(1:N));title('input sequence'); xlabel('n');ylabel('fudu'); figure(2); n=0:N/2-1; stem(n,y1);title('output sequence without LP'); xlabel('n');ylabel('fudu'); figure(3); m=0:N/M-1;stem(m,y2(1:N/M));title('output sequence with LP'); xlabel('n');ylabel('fudu'); figure(4);[h,w]=freqz(x);plot(w(1:512),abs(h(1:512)));title('frequency spectrum of the input sequence'); xlabel('w');ylabel('fudu'); figure(5);[h,w]=freqz(y1);plot(w(1:512),abs(h(1:512)));title('frequency spectrum of the output sequence without LP'); xlabel('w');ylabel('fudu'); figure(6);[h,w]=freqz(y2);plot(w(1:512),abs(h(1:512)));title('frequency spectrum of the output sequence without LP'); xlabel('w');ylabel('fudu');0102030405060708090100-2-1.5-1-0.500.511.52input sequencenf u d u05101520253035404550-2-1.5-1-0.500.511.52output sequence without LPnf u d u05101520253035404550-1.5-1-0.50.511.5output sequence with LPnf u d u0.511.522.533.505101520253035404550frequency spectrum of the input sequencewf u d u00.51 1.52 2.53 3.551015202530frequency spectrum of the output sequence without LPwf u d u00.51 1.52 2.53 3.5510152025frequency spectrum of the output sequence without LPwf u d u（3）输入信号X(n)为归一化频率f1=0.043，f2=0.31的两个正弦信号相加而成，长度N=50，内插因子为2.（1）不适用低通滤波器；（2）使用低通滤波器。
第2章信号的采样与重建
2.10）。
sin (t nT )
h(t nT )
T
(t nT )
T
内插公式表明：连续函数 xa (t) 可以由它的采样值xa (nT ) 来 表示，它等于 xa (nT )乘上对应的内插函数的总和，如图2.10
所示。
19
图2.10 采样内插恢复
在每一个采样点上，由于只有该采样值对应的内插函数 为1，其他采样点处的内插函数值为零，所以保证了各采样点 上信号值不变，而采样之间的信号则由各采样值内插函数的 波形延伸迭加而成。
Ts
2 Ts 2
n
(t
nT )e
jmst dt
1 Ts
Ts 2
Ts 2
(t )e
jmst dt
1 Ts
M (t)
a e jmst m
m
1 Ts
e jmst
m
Xˆ a ( j) xa (t)M (t)e jt dt
va (t) 6cos(60t) 3sin(300t) 2cos(340t) 4cos(500t) 10sin(660t)
n
n
这种采样可看作是对周期冲激函数的调幅过程，称之 为冲激采样或理想采样。
理想采样的时间波形图见图2.6(b)所示。 9
xa (t)
xa (t)
0
p(t)
0
xˆa (t)
0
t
0
M (t)
t
0
0
xˆa (t)
t
0
t t t
xˆa (t) xa (t) p(t)
第2章 信号的采样与重建
Y0 z
n
nL x n z
X zL
j 0
jL
Y e X e
y0(m)频谱中不仅包含基带频率，而且包含以采 样频率的谐波为中心的基带的镜像。
为恢复基带信号并去除不需要的镜像分量，有必 要用一数字低通滤波器对信号y0(m)进行滤波。
技术指标
通带波动 δ
H j max 1 20lg 20lg1 1 , c 20lg 1 1 H j min
最小阻带衰减 At
1 1 At 20lg 20lg 2 , r 20lg 2 H j max
xn , x' n 0, n 0, M ,2M 其他
xn xn
k
n kM
M 1 l 0
1 xn M
e
j 2 l n M
, n
ym xMm xMm
第2章 信号的采样与重建
2.1 数字信号处理系统的模拟接口
2.2 模拟信号的采样与重建
采样信号的频谱
采样的恢复
采样内插公式
2.3采样与重建中的模拟低通滤波器 指标特性
滤波器的幅频特性
低通滤波器在通带内逼近1，阻带内逼近0
性能要求：
1 1 H j 1, c H j 2 , r
d
G d 2
,
/L
/L
Xe
d
j , L
,
Gx(0) L
如要求y(0)=x(0)，则应有G=L，即对理想的内插器要 求能恢复抽取前的信号，增益Ｇ必须等于Ｌ。
数字信号的采样与重建理论
数字信号的采样与重建理论数字信号的采样与重建理论是数字信号处理的基础知识之一，无论在通信领域还是在音频视频处理中都有着重要的应用。
本文将详细介绍数字信号的采样与重建理论，并分点列出其步骤。
一、数字信号的采样理论：1. 什么是采样：采样是将连续时间下的模拟信号转换为离散时间下的数字信号的过程。
可以理解为在一段时间内，对模拟信号进行快照，记录下每个时刻的值。
2. 采样的基本原理：根据奈奎斯特采样定理，采样频率必须大于信号最高频率的两倍，才能完全还原原始信号。
这是为了避免采样信号中出现混叠现象。
3. 采样过程的步骤：a. 确定采样频率：根据信号的最高频率，确定合适的采样频率。
b. 选择采样方法：常见的采样方法有单值采样和多值采样两种。
c. 采样信号：按照确定的采样频率和方法，对模拟信号进行采样。
d. 采样定理检验：检验采样频率是否满足奈奎斯特采样定理。
4. 采样的影响：采样会引入一些错误，如抽取样本的时间不准确、量化误差等。
这些误差在采样频率足够高的情况下可以被忽略，但在低采样率下可能会导致信号失真。
二、数字信号的重建理论：1. 什么是重建：重建是将离散时间下的数字信号恢复为连续时间下的模拟信号的过程。
它是采样的逆过程。
2. 重建的基本原理：通过使用滤波器，将采样信号中的高频成分去除，从而恢复出原始信号。
这里使用的滤波器通常称为插值滤波器。
3. 重建过程的步骤：a. 插值滤波器的设计：根据采样的方式选择合适的插值滤波器。
b. 重建信号：将采样信号通过插值滤波器进行滤波，恢复出原始信号。
4. 重建的影响：重建过程中可能会引入一些误差，如滤波器的失真、重建过程中的噪声等。
这些误差可以通过合理的设计和调整来减小。
总结：数字信号的采样与重建理论是数字信号处理的基础知识，对于保留信号的重要信息和减小误差都起到了重要的作用。
在实际应用中，我们需要根据具体的需求和系统特性来选择合适的采样与重建方法，以保证信号的准确性和完整性。
带通型信号的抽样与重建课件
样条插值
通过分段低阶多项式构造 样条曲线，以更好地逼近 真实信号。
滤波方法
数字滤波器
对离散信号进行滤波处理 ，以提取有用的频率分量 。
匹配滤波器
通过匹配信号的幅度和相 位响应，以增强特定频率 分量的信号。
巴特沃斯滤波器
一种通用的数字滤波器， 能够平滑信号并减少噪声 。
逼近方法
傅里叶级数逼近
将信号表示为一系列傅里叶级数 的和，以逼近任意带通型信号。
VS
噪声影响
实际信号中往往存在噪声干扰，如环境噪 声、设备噪声等，这会使得信号的抽样与 重建结果产生误差。
非理想抽样条件下的重建方法研究
非均匀抽样
在实际应用中，由于设备限制或抽样策略等原因，可能实现的是非均匀抽样，这给信号的重建带来了更大的挑战 。
重建算法研究
针对非理想抽样条件，需要研究更为有效的重建算法，如基于插值、拟合、优化等算法。
THANKS
感谢观看
音频质量的保证
为了保证音频质量，带通型信号的抽样技术需要采用适当的算法和参数。例如， 在音频压缩编码中，需要选择合适的压缩比和抽样率，以保证音频的质量和可听 性。
图像处理
图像信号的抽样
在图像处理中，带通型信号的抽样技术可用于降低图像的分 辨率和数据量，以便于存储和传输。例如，可以使用抽样算 法对图像进行子采样，以获得更小的图像尺寸，同时保持图 像的重要特征。
带通型信号的抽样与重建技术的发展趋势
智能化处理
随着人工智能技术的发展，未来 带通型信号的抽样与重建技术将 更加智能化，如利用深度学习、 神经网络等方法进行信号处理。
高精度重建
目前许多应用领域对带通型信号的 抽样与重建精度要求较高，因此未 来的发展趋势将是以高精度重建为 目标。
信号采样与重建
1.软件介绍MATLAB是由美国mathworks公司发布的主要面对科学计算、可视化以及交互式程序设计的高科技计算环境。
它将数值分析、矩形计算、视化以线性动态线性系统的建模和仿真等诸多强大功能集成在一个易于使用的视窗环境中，为科学研究、工程设计以及必须进行有效数值计算的众多领域一面的解决方案，并在很大程度上摆脱了传统非交互式程序设计语言（如C、Fortran）的编辑模式，代表了当今国际科学计算软件的先进水平。
MATLAB是矩阵实验室（Matrix Laboratory）之意。
除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。
经过不断完善MATLAB已经发展成为适合多学科，多种工作平台的功能强大大大型软件。
成为线性代数,自动控制理论，数理统计，数字信号处理，时间序列分析，动态系统仿真等高级课程的基本教学工具。
MTLAB的语言特点：(1)语言简洁紧凑，使用方便灵活，库函数极其丰富。
(2)运算符丰富。
(3)MATLAB既具有结构化的控制语句（如for循环，while循环，break语句和if语句），又有面向对象编程的特性。
(4)程序限制不严格，程序设计自由度大。
(5)MATLAB的图形功能强大。
(6)MATLAB的缺点是，它和其他高级程序相比，程序的执行速度较慢。
由于MATLAB的程序不用编译等预处理，也不生成可执行文件，程序为解释执行，所以速度较慢。
2.课程设计的方案2.1课程设计的原理2.1.1连续信号的采样定理模拟信号经过 (A/D) 变换转换为数字信号的过程称为采样，信号采样后其频谱产生了周期延拓，每隔一个采样频率 fs ，重复出现一次。
为保证采样后信号的频谱形状不失真，采样频率必须大于信号中最高频率成分的两倍，这称之为采样定理。
时域采样定理从采样信号恢复原信号必需满足两个条件:(1)必须是带限信号，其频谱函数在＞各处为零；（对信号的要求，即只有带限信号才能适用采样定理。
第二章+信号的采样与重建
大连海事大学信息科学技术学院 电子信息科学与技术系
2014/3/14
13
4、采样信号的频谱
问题：理想采样信号的频谱有何特点，它与连续信号 频谱的关系？ 设
X Xaa((jj )) F xa (t ) xa (t )e jt dt
1
对应的反变换为
x a (t ) F
( t nT ) e jm t dt
jm s t
(t )e
1 dt T
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2014/3/14
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所以
1 M (t ) T
m
e jm s t
将M(t)的级数表示代入采样序列的傅立叶变换式：
jt ˆ ( j) F x x ( t ) M ( t ) e dt ˆ X ( t ) F x ( t ) M ( t ) a a a a
G(j)
T
s / 2
0 S/2
a (t ) x
T G ( j ) 0 s s
G(j) g(t)
y (t ) xa (t )
2 2
采样信号通过此滤波器后，就可滤出原信号的频谱： ˆ ( j)G ( j) X ( j) Y j X
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内插公式表明，连续函数 xa(t)可以由它的采样值 xa(nT )来表示，它等于 xa(nT )乘上对应的内插函数 的总和，如图所示。 S (t 2T )
1
(m-1)T (m-2)T mT
信号与系统连续时间信号的抽样及重建
在图像处理中的应用
图像压缩
在图像压缩中，连续时间信号的抽样可以用于减少图像的数 据量，从而实现高效的图像存储和传输。通过抽样和重建技 术，可以保持图像的质量和细节，同时减小文件大小。
图像分析
在图像处理中，连续时间信号的抽样可以用于图像特征提取 ，例如人脸识别或物体检测。通过抽样和重建技术，可以实 现对图像的深入分析和处理，推动计算机视觉技术的发展。
在实际应用中，信号的特性可能随时间或环境变化而变化，因此需要适
应性强的算法和系统来应对不同类型和特性的信号。
05
未来展望
抽样与重建技术的发展趋势
1 2
高效算法
随着计算能力的提升，未来将有更高效的算法用 于信号的抽样和重建，减少计算复杂度和时间。
深度学习在信号处理中的应用
深度学习在信号处理领域的应用将进一步拓展， 通过神经网络实现更高效的信号重建。
重建的数学描述
离散信号的数学表示
离散信号通常由一组样本点表示，每个样本点对应于连续时间中 的一个特定时刻。
傅里叶变换
傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的工具，它可以将离 散信号的频谱与连续信号的频谱进行关联。
逆傅里叶变换
逆傅里叶变换是将频域信号转换回时域信号的过程，用于从离散信 号的频谱重建原始的连续信号。
信息提取
通过抽样可以从连续时间 信号中提取出关键的时间 点信息，用于进一步处理 和分析。
02
信号的重建
重建的基ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方法
插值法
通过已知的离散样本点，利用插值函数或多项式逼近 未知的连续信号值。
滤波器法
利用滤波器对离散样本进行处理，以恢复原始的连续 信号。
傅里叶变换法
利用傅里叶变换的性质，将离散信号的频谱与连续信 号的频谱进行关联，从而重建原始信号。
chapter 2 信号的采样与重建
§ 2.2.2采样信号的频谱
问题：理想采样信号的频谱有何特点，它与连续信号频谱的关系？
xa (t ) xa (t )e jt dt X a ( j) F
1 xa (t ) F X a ( j) 2
1
X a ( j)e d
j t
理想采样信号
ˆ Y j X a ( j)G( j) X a ( j)
也就恢复了模拟信号：
y(t)=xa(t)
§ 2.2.4 采样内插公式
ˆ 问题：如何由采样信号表示连续信号，采样信号 x a (t ) 通过理 想低通滤波器G（j）的响应是什么？
首先来看内插公式的推导：理想低通G（j）的冲激响应为：
x a (t ) e jm s t e jt dt
m
1 T
ˆ ( j) 1 Xa T
m
X
M
x a (t )e j ( m s ) t dt
a
( j jm s )
结论：理想采样信号的频谱是连续信号频谱的周期延 拓,重复周期为s
(t nT )
§ 2.2.4 采样内插公式
在每一个采样点上，由于只有该采样值对应的内插函数不为 零，所以保证了各采样点上信号值不变，而采样之间的信号则由 各采样值内插函数的波形延伸迭加而成 内插公式表明只要满足采样频率高于两倍信号最高频谱，整 个连续信号就可以用它的采样值完全代表，而不损失任何信息， 这就是奈奎斯特定律
§ 2.2.1采样过程
采样器一般由电子开关组成，开关每隔Ｔ秒短暂 地闭合一次，将连续信号接通，实现一次采样
采样器
信号的采样与重建
信号的采样与重建一、 设计目的和意义通过用MATLAB 对f(t)= 5sin(2*pi*30*t)+2sin(2*pi*60*t)+0.5sin(2*pi*90*t)进行设计仿真，让我们通过试验论证理论的正确性，同时学会使用并掌握MATLAB 软件的使用，进一步熟悉掌握连续时间信号的傅立叶变换、采样定理等。
二、 设计原理通过使用软件MATLAB 对采样信号模拟仿真，进行采样、傅里叶变换通过数字图形对设计的F （T ）显示，观察其形状变化。
1、时间的傅立叶变换：X(jw)=()jwt x t e dt ∞--∞⎰; （2-1）X(t)=1/2()jwt X jw e dw π∞-∞⎰. （2-2）2、离散时间的傅立叶变换：X(jwe )=[]jw nn x n e∞-=-∞∑; （2-3）X[n]=21/2()jw jwn X e e dw ππ⎰. （2-4）3、采样定理：设x(t)是某一个带限信号，在|w|>Wm 时，X （jw ）=0。
如果Ws:>2Wm ，其中Ws=2π/T,那么x(t)就唯一地由其样本x(nT),n=0,1,2++--,···所决定。
已知这些样本值，我们能用如下 办法重建X(t)信号：产生一个周期冲激串，其冲激幅度就是这些依次而来的样本值，然后将 冲激串通过一个增益T ，截止频率大于Wm ，而小于（Ws-Wm ）的理想低通滤波器，该滤波器的 输出就是x(t)。
4、频谱的平移：0()((0))fejw t e x t X j w w −−→-。
（2-5） 三、 详细设计步骤1.建立源信号：f(t)= 5sin(2*pi*30*t)+2sin(2*pi*60*t)+0.5sin(2*pi*90*t)，对f （t ）进行采样，其结果显示如图1所示： t=-1:pi/100:1;x1=5*sin(2*pi*30*t);x2=2*sin(2*pi*60*t); x3=0.5*sin(2*pi*90*t);f=x1+x2+x3;subplot(221),plot(t,x1);subplot(222),plot(t,x2); subplot(223),plot(t,x3);subplot(224),plot(t,f);2、采样：用120Hz 的频率对f(t)进行采样，其采样图如图（2）所示；用240Hz 的频率对f(t)进行采样，其采样图如图（3）所示： fs1=120;t1=-1:1/fs1:1;f1=5*sin(2*pi*30*t1)+2*sin(2*pi*60*t1)+0.5*sin(2*pi*90*t1);figure(1);plot(t1,f1);axis([-0.1 0.1 -8 8]);hold off;fs2=240;t2=-1:1/fs2:1;f2=5*sin(2*pi*30*t2)+2*sin(2*pi*60*t2)+0.5*sin(2*pi*90*t2);figure(2);plot(t2,f2);axis([-0.1 0.1 -8 8]);hold off;3、将二个采样信号进行快速离散傅里叶变换(FFT),观察频谱图,指出是否产生频谱混迭现象. 用120Hz的频率对f(t)进行采样，其采样后快速傅立叶变换频谱图图（4）所示；用240Hz的频率对f(t)进行采样，其采样后快速傅立叶变换频谱图图（5）所示：f1=30;f2=60;f3=90;fs=120;N=120;W=2*pi*5;k=0:N-1;w=k*W/N;t=0:1/fs:0.1;x1=5*sin(2*pi*f1*t)+2*sin(2*pi*f2*t)+0.5*sin(2*pi*f3*t);xf1=fft(x1,N);xf1=abs(xf1);w1=120*k/Nfigure(1);plot(w1,xf1);f1=30;f2=60;f3=90;fs=240;N=240;W=2*pi*5;k=0:N-1;w=k*W/N;t=0:1/fs:0.1;x2=5*sin(2*pi*f1*t)+2*sin(2*pi*f2*t)+0.5*sin(2*pi*f3*t);xf2=fft(x2,N);xf2=abs(xf2);w2=240*k/Nfigure(2);plot(w2,xf2);4、因为用信号fs=120HZ进行采样时，fs<2f3,其采样频率太小，所以采样信号重建无法复原，其重建如图（6）所示。
《信号与系统》课程设计-信号采样与重建
《信号与系统》课程设计——信号的采样与重建【设计题目】信号的采样与重建 【设计要求】(1) 理解并掌握采样定理。
(2) 分别给定的带限信号进行临界采样、欠采样、过采样，观察采样前后信号的时域波形及频谱特点。
(3) 分别对临界采样、欠采样、过采样后的信号进行重构，设计合理的滤波器，完成信号的重建。
【设计工具】MATLAB 【设计原理】1 采样定理取样定理论述了在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔上的瞬时值（或称样本值）表示，这些样本值包含了连续时间信号的全部信息，利用这些样本值可以恢复原信号。
可以说取样定理在连续时间信号与离散时间信号中架起了一座桥梁。
其具体内容如下：取样定理：设为带限信号，带宽为0F ，则当取样频率02F F s ≥时，可从取样序列)()(s a nT x n x =中重构，否则将导致)(n x 的混叠现象。
带限信号的最低取样频率称为Nyquist （奈奎斯特）速率。
图1给出信号采样原理图图1 信号采样原理图由图1可见，)()()(t t f t f Ts s δ⋅=，其中，冲激采样信号)(t Ts δ的表达式为：∑∞-∞=-=n sT nT t t s)()(δδ （1）其傅立叶变换为∑∞-∞=-n s s n )(ωωδω，其中ss T πω2=。
设)(ωj F ，)(ωj F s 分别为)(t f ，)(t f s 的傅立叶变换，由傅立叶变换的频域卷积定理，可得：∑∑∞-∞=∞-∞=-=-=n ssn s s s n j F T n j F j F )]([1)(*)(21)(ωωωωδωωπω （2）若设)(t f 是带限信号，带宽为m ω如图（2），由式（2）可见，)(t f 经过采样后的频谱)(ωj F s 就是将)(ωj F 在频率轴上搬移至 ,,,,,02ns s s ωωω±±±处（幅度为原频谱的s 1倍）。
因此，当m s ωω2≥时如图（4），频谱不发生混叠；而当m s ωω2<时如图（5），频谱发生混叠。
数字信号处理第1章 第2章 信号的采样--02
T 2
2
T
jm s t M ( t ) e dt T
s 2
T
2f s
1 2 T (t nT )e jm s t dt T 2 n
1 1 jm s t (t )e dt T T
所以
T 2 T 2
1 jm s t M (t ) e T m
G ( j )
T
xa (t )
s / 2
g (t )
ya (t ) xa (t )
Ya ( j) X a ( j)
s / 2
X a ( j)
G ( j )
T G( j ) 0
s 2 s 2
该滤波器的输出 ya (t ) 就是所要恢复的原连续信号。
采样后
ˆ ( j) x ˆ a (t ) X a
ˆ ( j)与X ( j)关系? X a a
采样后会导致的现象？ 周期延拓、混叠效应
12
3、采样信号的频谱
M (t )
n
(t nT ) a
m
m
e
jm s t
傅里叶级数展开式
1 am T
采样的理论和技术是模拟信号处理的关键技术。 模拟信号若在数字传输系统中传输 • 首先需要对其采样，采样后的结果就是离散时 间信号； • 将得到的离散时间信号在进行量化，得到的就 是数字信号。 所以，数字信号是离散时间信号量化的结果。
3
2.2 模拟信号的采样与重建
xa(t) 预滤 A/DC 数字信号处理 D/AC 平滑滤波 ya(t)
17
3、采样信号的频谱
信号采样与重建课程设计
信号采样与重建课程设计一、课程目标知识目标：1. 让学生理解信号采样的基本概念，掌握采样定理及其在信号处理中的应用。
2. 使学生掌握信号重建的方法和原理，了解不同重建算法的特点和适用场景。
3. 引导学生了解信号采样与重建在实际工程中的应用，培养他们将理论知识与实际应用相结合的能力。
技能目标：1. 培养学生运用数学工具对信号进行采样和重建的能力，提高他们解决实际问题的操作技能。
2. 通过课程实验和案例分析，使学生掌握相关软件和硬件工具的使用，培养他们的实践操作能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对信号处理领域的兴趣，激发他们探索未知、勇于创新的科学精神。
2. 强化学生的团队合作意识，培养他们在学术研究中尊重事实、严谨治学的态度。
3. 通过课程学习，使学生认识到信号采样与重建在通信、电子等领域的广泛应用，增强他们的专业认同感。
课程性质分析：本课程属于电子信息类学科，以信号与系统为基础，重点研究信号采样与重建的理论和实践。
课程旨在使学生掌握信号处理的基本原理，提高他们解决实际问题的能力。
学生特点分析：学生处于本科阶段，已具备一定的数学基础和信号处理理论知识，但对实际工程应用尚缺乏深入了解。
因此，课程设计应注重理论与实践相结合，提高学生的实际操作能力。
教学要求：1. 注重启发式教学，引导学生主动探究信号采样与重建的原理和应用。
2. 结合实际案例，提高学生的实践操作能力，培养他们解决实际问题的能力。
3. 强化团队合作，培养学生的沟通能力和团队协作精神。
二、教学内容1. 信号采样基本概念：包括连续信号与离散信号的区别，采样与量化的基本原理，采样定理及其在信号处理中的应用。
教材章节：第一章第二节2. 采样方法与采样频率：介绍等间隔采样、随机采样等不同采样方法，探讨采样频率对信号重建质量的影响。
教材章节：第一章第三节3. 信号重建算法：讲解插值、滤波等信号重建方法，分析不同算法的优缺点和适用场景。
教材章节：第二章第一节4. 信号采样与重建的应用：分析实际工程中信号采样与重建的应用案例，如数字通信、音频信号处理等。
信号采样与重建
信号采样与重建信号采样与重建⼀、信号分类连续信号：X a(t)=Acos(Ωt+θ)=Acos(2πFt+θ)=A2e j(Ωt+θ)+A2e−j(Ωt+θ).可以将其看作在复平⾯内向正频率逆时针旋转和负频率顺时针旋转信号之和。
离散信号：X(n)=Acos(ωn+θ)=Acos(2πfn+θ).其中，ω表⽰采样间隔内转过的⾓度，f表⽰采样间隔内转过的圈数（见上图），只有当f为有理数（f=K/N,K and N is Int）时信号为周期信号（离散点周期出现）。
此外可以简单的得知，信号频率|ω|<π或|f|<1/2的信号是唯⼀确定的，更⾼频率的信号总是可以在此区间找得到等效信号，或者说，是|ω|<π内信号的混叠（可以思考下相机拍摄视频中，车轮倒转的现象）。
⼆、Nyquist采样1、从单⼀频率正弦信号离散化过程理解采样原理采样是对连续信号的离散化，假定，采样间隔为T，则采样频率F s=1/T：X a(nT)=X(n)=Acos(Ω⋅nT+θ)=Acos(2πf⋅nT+θ)=Acos(ωn+θ)=Acos(2πfn+θ).所以：ω=Ω⋅Tf=F⋅T=F/F s⽽前⾯我们⼜知道，离散信号的频率是存在范围限制的：−12<f=F/Fs<12.→|Fs|>2|F|即，采样频率应当满⾜⼤于模拟频率的两倍的关系，这样才能保证原始信号是唯⼀确定的，否则会出现线⾼频与低频信号采样结果的混叠，多对⼀。
2、从频域分析信号采样与重建我们也可以从频域分析采样的过程，如下图，对于⼀个输⼊待采样信号X c(t)，采样得到离散信号X(n)。
在频域中，假设输⼊信号为X c(jΩ)，采样得到离散信号频域特性如下图X s(jΩ)。
采样得到的数字信号重建原始信号的过程实际可以理解为⼀个低通滤波的过程，即通过滤波器H r(jΩ)实现信号的截取得到原始数据。
（也可以认为，采样离散化过程实际上是引⼊了⾼次谐波，重建过程就是去除这些⼲扰）。
第2章2采样过程的数学描述及特性分析
第2章2采样过程的数学描述及特性分析采样过程是指将连续信号转化为离散信号的过程，是数字信号处理中的重要环节之一、本文将从数学描述和特性分析两个方面对采样过程进行深入探讨。
一、数学描述在进行数学描述之前，首先需要明确采样过程的两个基本参数：采样频率（采样间隔的倒数）和采样时间。
假设原始的连续信号为x(t)，则离散信号x(n)可以表示为：x(n)=x(nT)，其中T为采样时间，n为整数，即离散时间。
在离散时间中，采样间隔T是非常重要的参数。
采样间隔是指连续信号在时间轴上两次采样的时间间隔，它决定了采样后信号的频率分辨率和重建的准确性。
频率分辨率是指能够明确区分不同频率信号的最小间隔，对于连续信号而言，频率是连续的，没有间隔。
但是对于离散信号而言，频率是离散的，它的间隔可以用采样间隔T来确定。
频率分辨率可以表示为：Δf=1/(N*T)，其中N为取样长度，即采样点个数。
重建准确性是指通过离散信号重建连续信号时的准确性。
根据采样定理（奈奎斯特定理），如果一个带限信号的采样频率大于等于该信号最高频率的两倍，则可以完全重构连续信号。
采样间隔T满足以下条件时可以保证完全重构：T≤1/(2B)，其中B为信号带宽。
这种情况下，通过重建滤波器可以恢复出与原始信号几乎完全相同的连续信号。
二、特性分析采样过程具有以下几个特性：1.采样定理的必要性：通过采样定理可以确保采样后的离散信号能够准确地重构连续信号。
如果采样频率小于信号最高频率的两倍，则会出现混叠现象，造成信号信息的丢失。
2.混叠现象：当采样频率小于信号最高频率的两倍时，会出现混叠现象，即高于采样频率一半的频率成分会在重构时留在低频区，产生与原信号不同的结果。
为避免混叠现象，需要选择合适的采样频率。
3.采样频率的选择：采样频率的选择需要根据信号的最高频率进行决定。
采样频率过高会浪费计算资源，而采样频率过低则无法保留原始信号的完整信息。
4.采样定理的充分性：通过采样定理的充分性可以确保采样频率大于信号最高频率的两倍时，可以完全重构原始连续信号，并保持信号的准确性。
ch1_2信号抽样与重建
ws
n
f (t nTs )
s
2tm ，其中 Ts
ws 2p
频域抽样与频域抽样定理
信号在时域抽样、周期化过程中频谱的变化规律： （1）信号在时域周期化，周期为 T ，则频谱离散化， 抽样间隔为 ω0＝2π/T。
（2）信号在时域抽样，抽样间隔为 TS ，则频谱周期化，
重复周期为 ωS＝2π/TS 。
抽样频率fsam满足 fsam 2fm （或wsam 2 wm）
或抽样间隔T 满足 T p/wm=1/(2fm)
fsam = 2fm 频谱不混叠最小抽样频率(Nyquist rate) T=1/(2fm) 频谱不混叠最大抽样间隔
抽样
例：已知实信号f(t)的最高频率为fm (Hz)，试计算
wm
0 wm
w
...
wsam wm
... 0
X s ( jw )
wm
wsam
w
...
wsam wm
1 T
... 0
wm wsam
抽样
不同抽样频率的语音信号效果比较
抽样频率fs=44 100Hz
抽样频率fs=5 512Hz
抽样频率fs=5 512Hz 抽样前对信号进行了抗混叠滤波
思考题
0
T
2
c
E
2
t
2 p
0
2p
d
w
f s t
E w0 Ts 2p Ts 抽样
2p
Fs w
T
0
2
T
2
e
t
0
2p
f
信号的采集和重建
答:使得信号的上限频率小于s/2,从而防止频
谱的混叠
10
院阜 阳
2.2 模拟信号的采样与重建
师
范 采样的恢复：如果理想采样满足奈奎斯特定理
学 院 物
（fs ≥ 2fm)，可以将采样信号通过一个理想低通滤 波器来恢复。
电
学
xˆa (t)
Xˆ a ( j)
0 Ts t
g (t )
T T
0
t
s m m s
选择合适的采样率Ωs来满足这个条件
s
2
22 M
采样率Ωs比奈奎斯特采样频率2 Ω2要低，称为欠 采样。欠采样信号的傅里叶变换的表达式：
Xˆ a ( j)
1 T
X a ( j
m
jms )
1 T
X a ( j( 2m
m
))
22
院阜 阳
2.4 连续时间带通信号的采样
师 范
确保平移后，所有频率分量不重叠，从而没有混叠。
M l0
电
学
28
院阜 阳
2.5 离散时间信号的采样与插值
师
范
学
院
物
Y e j 1 X e j M X e j2 M M
如果信号满足 X e jw 0,
电
M
学 Y e j 1 X e j M ,0
M
抽取后的信号无混叠，否则抽取后的信号将产生混叠，
频
n
域
s 0
s
周 期 重
相卷 1 Xˆ a ( j)
复
T
0
t
s 0
7
s
院阜 阳
2.2 模拟信号的采样与重建
师 范
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连续时 间信号
模拟 信号
D/ A变 换器
平滑 滤波 器
图2.1 数字信号处理系统的框图
模拟信号的采样与保持。所谓采样是从模拟信号中 “抽取”信号的离散样值，最常用的采样方法是等间隔采 样，即每隔一个固定的时间T采一个信号样值，T称为采 样周期。采样保持器按照设定的采样周期对信号进行采样， 并将采样得到的瞬时幅值保持至下一采样时刻。理想采样 保持器输出的是一阶梯状的波形，阶梯前沿的幅值与此刻 的模拟信号保持一致，阶梯的宽度就是采样周期T见图2.2。 采样保持器输出的是连续时间信号。但实际应用中采样保 持器总存在一定的偏差。
xa (t)
T1 2
xp (t)
开关每隔T秒短暂地闭合一次，若
闭合时间为 秒，则采样器的输
出是一串重复周期为T，宽度为
的脉冲，脉冲的幅度是这段时间
图2.5(a) 电子开关示意图
内信号的幅度，这种取样称为脉 冲取样或自然取样。
7
这一采样过程可看作是一个脉冲调幅过程，脉冲载波是一串 周期为T、宽度为τ的矩形脉冲，以p(t)表示,见图2.5(b);调制信 号是输入的连续信号xa(t),则采样输出为 ：
Xˆ a (
j)H (
j)
1 Ts
X a ( j) TS
Xa ( j)
0
c c
17
实际上，理想低通滤波器是不可能实现的，但在满足一定 精度的情况下，总可用一个可实现网络去逼近。
下面从时域讨论采样信号 xˆa (t) 通过理想低通滤波器
H(j)的响应过程。
jms )
Xˆ a (
j)
1 Ts
Xa(
j)
s 2
将采样信号通过一个理想低通滤波器（特性如图2.9(a)所 示滤波器的带宽等于c),则可恢复出原连续时间信号。
Xˆa( j) 理想低通滤波器 Y( j)
H ( j)
16
若低通滤波器的频率响应为:
H ( j) T0s
为了便于进一步讨论连续时间信号的采样与重建的基本条 件，对图2.1进行一定的简化，见图2.4.
xa(t)
理想采样器
x(n)
通用或专用 计算机
y(n)
理想内插器
ya(t)
图2.4 图2.1的简化表示
5
数字信号转换为模拟信号：D/A转换、平滑滤波
数码
量化电平
数字信号 D/A输出信号
模拟信号
图2.3
数字信号转化成模拟信号
e
jt d
2
sin s t
sin t
2 s t
T
t
2
T
采样信号经理想低通后的输出(如图2.9(b)所示）为:
18
xa (t) y(t) xˆa (t) * h(t)
即：xa (t)
xˆa ( )h(t )d
n
Xˆ a ( j) H(j) Y( j) Xˆ a ( j)H( j)
xˆa (t) h(t)
y(t) xˆa (t) * h(t)
图2.9(b) 信号恢复的原理图
理想低通H(j)的冲激响应为
h(t) 1
2
H ( j)e jtd Ts
2
s
2 s
xˆa (t) xa (t) p(t)
此过程可用图2.5(c)所示的数学模型表示。
xa (t)
xˆa (t)
p(t)
图2.5(c) 数学模型
p(t)
T
t
图2.5(b) 调制脉冲
一般τ很小, τ越小，采样输出脉冲的幅度越接近输入信号在 离散时间点上的瞬时值（采样信号图形如图2.6(a)所示）。
Ts
2 Ts 2
n
(t
nT )e
jmst dt
1 Ts
Ts 2
Ts 2
(t )e
jmst dt
1 Ts
M (t)
a e jmst m
m
1 Ts
e jmst
m
Xˆ a ( j) xa (t)M (t)e jt dt
其中：M(t)是周期为Ts的周期脉冲信号，因此，可将其展 开成傅里叶级数：
M (t)
(t nT )
a e jmst m
m
m
11
其中：s 2 Ts 2fs
am
1 Ts
Ts
2 Ts 2
M (t)e jmst dt
1 Ts
重复周期为s(采样频率)，即采样信号的频谱是以s为周期 的连续信号。
若xa(t)是实带限信 号，且：
m
1 2
s
则采样信号的频谱如
图2.7所示。
X a( j)
1
0 m s
Xˆ a( j) 1/Ts
… 0 m s
2s 3 s
…
2s 3 s
Xˆ a ( j)
1 Ts
X a ( j)
6
2.2 模拟信号的采样与重建
对于信号的采样与重建我们首先关心的是模拟信号经 采样后是否能保持原有的信息；其次，由数字信号恢复模 拟信号应该具备哪些条件？
要清楚这些问题我们先来讨论采样的过程。对于等间隔
采样，设其采样周期为T，则其采样频率为fs=1/T,对应的角
频率为 s
2
/T
2
f
。
s
采样可以用图2.5(a)所示的电子开关来实现。
数字信号处理：用数字序列表示信号，通过数字计算 机去处理这些序列。
要对自然方式产生的模拟信号进行数字处理，则可按 照以下方法进行。
模拟信号数 字化（A/D)
数字信号 处理
处理后的数字信号 模拟化（D/A）
具体过程如图2.1所示。 1
模拟 信号
抗混叠 滤波器
连续时 间信号
采样保 持器
A/D 变换器
数字 信号
第2章 信号的采样与重建
第1章中我们讨论了离散时间信号，然而工程和现实 生活中大部分信号为模拟信号。如何对模拟信号进行数字 处理？本章主要讨论模拟信号的采样与重建，并引出采样 定理、奈奎斯特采样频率的概念；对用到的模拟低通滤波 器的特性指标进行了分析；并介绍了欠采样和采样率转换 技术。
2.1 数字信号处理系统的模拟接口
xˆa (t) xa (t)M (t)
(b)理想采样
图2.6 采样信号图形
10
采样信号的频谱
xa(t) Xa( j) xˆa(t) Xˆ a( j)
对于理想采样采样信号与连续时间信号有如下关系，
xˆa (t) xa (t)M (t)
对上式两边同时进行傅里叶变换得：
Xˆ a ( j) xa (t)M (t)e jtdt
下面我们讨论从离散信号中恢复出连续时间信 号的相关问题。
15
如果理想采样满足奈奎斯特定理，即信号最高频率谱不超
过折叠频率:
X
a
(
j)
Ts
Xˆ
a
(
j)
0
s 2 s 2
则理想采样的频谱就不会产生混叠，因此有
Xˆ a (
j)
1 Ts
m
Xa ( j
8
若开关闭合时间τ→0时，p(t)则可认为是周期性的冲激函数 ，我们用M(t)表示这个周期冲激函数,见图2.5(d)。
M (t)
0
图2.5(d) M(t)
t
M (t) (t nT ) n
则采样后的输出信号
为 xˆa (t) xa (t)M (t)
ห้องสมุดไป่ตู้
xa (t) (t nT ) xa (nT ) (t nT )
1 Ts
xa (t) e jmste jtdt
m
1 Ts
M
xa
(t
)e
j
(ms
)t
dt
Xa [ j(ms )]
12
Xˆ a (
j)
1 Ts
X a[
m
j( ms )]
所以，理想采样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓,
信号；而当信号的最高频率大于折叠频率时，信号就被反折回
来，造成频谱的混叠，一般就不可能无失真地滤出基带频谱。
14
一般将能够恢复出原始信号的最低采样频率（ 2m） ，称为奈奎斯特(Nyquist)采样频率。
工程上为了防止频谱的混叠，在采样之前要加一 抗混叠滤波器使得信号的最高频率小于采样频率的一 半。教材p51表2.1列出了一些典型信号的上限频率和 采样频率。
xa (
)
(
nT )
h(t
)d
xa ( )h(t ) ( nT )d xa (nT )h(t nT )
n
n
这里，h(t nT )如下式所示，称为内插函数,其特点是：在
采样点nTs上，函数值为1，其余采样点上，值为零（见图
va (t) 6cos(60t) 3sin(300t) 2cos(340t) 4cos(500t) 10sin(660t)
c c
H(j) Ts
-c 0
c
图2.9(a) 低通滤波器的系统特性