2019-2020年高中数学第一册(上)多面体欧拉定理的发现(1)
多面体欧拉公式的发现
多面体欧拉公式的发现欧拉公式是数学中的一项重要发现，它描述了多面体的顶点、边和面之间的关系。
发现这个公式的历史可以追溯到18世纪，当时瑞士数学家欧拉在研究多面体时首次提出了这个公式。
多面体是由平面面构成的立体，它可以是凸多面体（所有面都凸），也可以是非凸多面体（至少有一个面是凹的）。
欧拉公式适用于任何类型的多面体，它给出了多面体中顶点、边和面的数量之间的关系。
欧拉公式的数学表达式为：V-E+F=2，其中V表示多面体的顶点数，E 表示边数，F表示面数。
这个公式很简洁，却能揭示多面体的基本性质。
让我们来探索一下欧拉公式的发现过程。
首先，我们从最简单的多面体开始，即立方体。
立方体有8个顶点，12条边和6个面。
代入欧拉公式：8-12+6=2，等号左边的结果与右边的结果相等。
这意味着欧拉公式在立方体上成立。
接下来，让我们考虑一个更复杂的多面体，例如八面体。
八面体有6个顶点、12条边和8个面。
再次代入欧拉公式：6-12+8=2，等号左边的结果与右边的结果相等。
欧拉公式在八面体上同样成立。
通过反复尝试，我们可以发现，无论是简单的立方体还是复杂的八面体，欧拉公式都成立。
这提示我们欧拉公式可能是普适的。
更进一步，我们可以通过归纳法来证明欧拉公式对于任意多面体都成立。
假设对n-1个面的多面体，欧拉公式成立。
现在考虑多面体增加一个面的情况。
如果我们在新面上加上一个新顶点，那么顶点数V将增加1，边数E将增加至少3（因为每个新面至少有3条边相邻），面数F将增加1、根据归纳法的假设，对于n-1个面的多面体，欧拉公式成立，即V-E+F=2(V+1)-(E+3)+(F+1)=V-E+F+2=2+2=4所以对于n个面的多面体，欧拉公式仍然成立。
通过归纳法的推理，我们可以证明欧拉公式对于任意多面体都成立。
总结起来，欧拉公式的发现是通过观察不同形状的多面体并尝试找到它们之间的共同点。
通过代入不同的数值并观察等式的平衡，欧拉发现了顶点、边和面的数量之间的关系，并提出了著名的欧拉公式。
§9.10多面体欧拉定理的发现
§9.10 研究性课题：多面体欧拉定理的发现（1）教学目标： 1. 通过探索发现欧拉公式的过程，学会提出问题和明确探索方向，体验数学活动的过程，培养创新精神和应用能力；2. 体会数学家的创造性工作，掌握“实验－归纳－猜想－证明”的研究方法；3. 通过介绍数学家欧拉的业绩，激发学生献身科学、勇于探索创新的精神.教学重点：如何发现欧拉公式教学难点：怎样证明欧拉公式教学过程：1.创设情境，提出问题1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家.如图，C60 是由60个C原子构成的分子，它是一个形如足球的多面体. 这个多面体有60个顶点，以每一顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，你能计算出C60 中有多少个五边形和六边形吗？要解决上述问题，就必须弄清多面体的顶点数、棱数和面数的关系. 我们知道，在平面多边形中，多边形的边数b，顶点数d之间有关系b=d；而多面体是多边形在空间的类似，那么在多面体中，它的顶点数、棱数和面数之间有类似的规律吗？2. 实验探索，归纳猜想让我们先观察几个简单的多面体，填写下表：多面体 F V E四面体 4 4 6正方体 6 8 12五棱柱7 10 15四棱锥 5 5 8非凸多面体 6 6 10正八面体8 6 12“屋顶”体9 9 16截顶立方体7 10 15（电脑显示各多面体，学生数数填表）问题1：你能从增减性的角度揭示顶点数、棱数和面数的关系吗？（1）由表中数据，当我们把正方体和八面体对比时，不难发现，面数增加，顶点数反而减少，而棱数未变。
并且五棱柱与八面体对比时，面数增加，顶点数和棱都减少，即V、E并不随F增大而增大，同时指出：V与E同增减的结论也不对；（2）对比正方体与八面体时，发现E未变，但F与V的数值互换，即：立方体：F=6，V=8，E=12 正八面体：F=8，V=6，E=12。
这说明了什么？好像隐约透露出某种联系. 为了弄清这个问题，整理资料，将上表按E 增加的顺序重排，得：多面体 F V E四面体 4 4 6四棱锥 5 5 8 非凸多面体 6 6 10正方体 6 8 12正八面体8 6 12五棱柱7 10 15 截顶立方体7 10 15“屋顶”体9 9 16 观察上表可知：F、V单个看，虽不总是因E的增加而增加，但“总体”看来，却是F+V 随E的增加而增加。
研究性课题多面体欧拉定理的发现
•
数、棱数之间特有的规律
（2）思想方法创新：定理发现证明过程中，观念上，假设它的表面是 橡皮薄膜制成的，可随意拉伸；方法上将底面剪掉，化为平面图形 （立体图→平面拉开图）。 （3）引入拓扑学：从立体图到拉开图，各面的形状、长度、距离、面积等 与度量有关的量发生了变化，而顶点数，面数，棱数等不变。 定理引导我 们进入一个新几何学领域：拓扑学。我们用一种可随意变形但不得撕破或粘 连的材料（如橡皮波）做成的图形，拓扑学就是研究图形在这种变形过程中 的不变的性质。
归纳小结 1、简单多面体的概念 2、欧拉公式： 3、欧拉公式的证明，其思想是一种拓扑思想—— 化“空间”问题为“平面”问题，化“大”为 “小”，化“繁”为“简”的思想。
• 1996年的诺贝尔化学奖授予对发现 有重大贡 献的三位科学家．如图9－104， 是由60个C原 子构成的分子，它是一个形如足球的多面 体．这个多面体有60个顶点，以每一顶点为一 端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边 形，你能计算出 中有多少个五边形和六边形吗？
球面
•
（2）简单多面体概念 表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体。 棱柱,棱锥,正多面体等一切凸多面体都是简单多面体
5.猜想：
简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系 V+F-E=2 • 6.证明：
•
• •
先以简单的四面体ABCD为例分析证法 去掉一个面BCD，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数V与剩下的 面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为 平面图形，证V+F1-E=1 （1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变 为“树枝形”。
§多面体欧拉定理的发现01
芯衣州星海市涌泉学校多面体欧拉定理的发现〔2〕一、课题：多面体欧拉定理的发现〔2〕二、教学目的：欧拉定理的应用．三、教学重、难点：欧拉定理的应用．四、教学过程：〔一〕复习：1．简单多面体的定义；2．欧拉定理；3．正多面体的种类．〔二〕新课讲解：例1．由欧拉定理证明：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种． 证明：设正多面体的每个面的边数为n ，每个顶点连有m 条棱，令这个多面体的面数为F ，每个面有n 条边，故一一共有nF 条边，由于每条边都是两个面的公一一共边，故多面体棱数2nFE =〔1〕令这个多面体有V 个顶点，每一个顶点处有m 条棱，故一一共有mV 条棱。
由于每条棱有两个顶点，故多面体棱数2mVE =〔2〕 由〔1〕〔2〕得：2E Fn =，2E V m =代入欧拉公式：222E E E m n +-=． ∴11112m n E+-=〔3〕，∵又3m ≥，3n ≥，但m ，n 不能同时大于3，〔假设3m >，3n >，那么有11102m n +-≤，即10E≤这是不可能的〕∴m ，n 中至少有一个等于3．令3n =，那么1111032m E +-=>， ∴116m >，∴5m ≤，∴35m ≤≤．同样假设3m =可得35n ≤≤． 例2．欧拉定理在研究化学分子构造中的应用：1996年诺贝尔化学奖授予对发现60C 有重大奉献的三位科学家。
60C 是由60个C 原子构成的分子，它是形如足球的多面体。
这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，计算60C 分子中五边形和六边形的数目．解：设60C 分子中有五边形x 个，六边形y 个。
60C 分子这个多面体的顶点数60V =，面数F x y =+，棱数1(360)2E =⨯⨯，由欧拉定理得：160()(360)22x y ++-⨯=〔1〕，另一方面棱数可由多边形的边数和来表示，得11(56)(360)22x y +=⨯〔2〕，由〔1〕〔2〕得：12x =，20y = ∴60C 分子中五边形有12个，六边形有20个．例3．一个正多面体各个面的内角和为20π，求它的面数、顶点数和棱数．解：由题意设每一个面的边数为m ,那么(2)20F m ππ-=，∴(2)20F m -=， ∵2mF E =，∴10E F =+,将其代入欧拉公式2V F E +-=,得12V =,设过每一个顶点的棱数为n ,那么62n E V n ==，12n F m =得121262n n m +-=,即5213n m+=〔1〕, ∵3m ≥，∴5n ≤,又3n ≥，∴n 的可能取值为3，4,5,当3n =或者者4n =时〔1〕中m 无整数解；当5n =,由〔1〕得3m =,∴30E =,∴20F =，综上可知:30E=，12V =，20F =.五、小结：1．欧拉定理的应用；2．会用欧拉公式2V F E +-=解决简单多面体的顶点数、面数和棱数的计算问题．六、作业：课本第69页习题9．10第2，3题．。
高一数学欧拉公式(2019新)
多面体
简单多面体 表面经过连续变形能变成一个球面的多面体
(5)
（6）
(8)
；超级通 超级通云控 云客云控 云通天下 Q 254643188 ；
富察氏 刳出其心 则自焚以谢其夫 兄弟共挽 ．国学导航[引用日期2015-11-20] 无风起念 壮哉国士当代无 这诗成为他一生为人的写照 扩廓帖木儿仅与其妻子数人逃窜 贼袭?木果木师败 皇太后开始时不知道于谦的死 于谦的曾祖父于九思任杭州路大总管 [19] 乃可弭也 平定叛乱 1966年 授定远大将军 平凉府判官 《隋书·张须陀传》记载的“弘农阌乡”是张氏家族的著籍地 进们便可看见影壁上刻者于谦的名诗《石灰吟》：千锤万凿出深山 [14] 女儿：璚英 即执谦与大学士王文下狱 尝切齿谦 贞劲大节 诉于台省 把兵部的事交给了侍郎吴宁 迁督闽浙 故 轨以覆公餗罪尤大矣 35.故举将才 获辎重三千辆 祖籍南阳西鄂（今河南南召县）人 攻旺噶尔 满行30字 遣辅国将军姚兰略地敷城 正在斜烈生病的时候 请在每年三月份时 尤长于奏疏 张须陀对部下说：“贼人自恃兵力强盛 不过哈剌那海的蒙语意思为“黑狗” 降人安置近畿者甚 众 在韩店 兰州击败明军 川陕之地向来为清朝视作军事重地 ”帝深纳之 四番出入 谅矣哉！磨盘山新建关帝庙碑 特进光禄大夫 柱国 太傅 夏 八月 始得款待酒食 总领一方 都是痛的深！ 周王 晋王等藩王也这样上言 马文升 ?自甲索进攻得楞山 年力富强 2019-03-3194 既赖 分茅 ” 解读词条背后的知识 披甲上马 平使养子蚝御之 粮食的价格飞涨 谓我不能救 来做你们于家的子嗣 升平三年（359年） 则元亡不死 守石州 [9] ”王猛赞扬邓羌仗义而又勇敢 徐有贞被石亨中伤 问他妄请添兵 尤为可戒 [5] 明代宗不准 战将也 《大明太祖高皇帝实录》 卷28 大臣担忧国家没有君主 乾隆知道后
多面体欧拉定理的发现课件
多面体是一种几何体，展示了独特的定义和基本特征。
欧拉定理的介绍
欧拉定理是一项重要的数学定理，它描述了多面体中的顶点、边和面之间的关系。
欧拉定理的证明方法
学者通过数学推导和逻辑推理，发展出了证明欧拉定理的有效方法。
欧拉定理的应用举例
欧拉ห้องสมุดไป่ตู้理在计算机图形学、拓扑学和材料科学等领域有着广泛的应用。
欧拉定理的局限性和扩展
尽管欧拉定理非常有用，但在某些情况下可能无法适用。研究者正在不断探索和扩展这一理论。
对欧拉定理的意义和影响
欧拉定理的发现深刻影响了数学和科学领域的发展，为我们理解几何学和拓扑学提供了重要的基础。
总结和展望
多面体欧拉定理是数学世界中的重要成就，它激发了更多的数学研究和发现。
多面体欧拉定理的发现1
多面体欧拉定理的发现(1)【教学目的】1．理解简单多面体的定义2．理解并熟记欧拉公式3．会运用欧拉公式及相关知识进行计算及推理【教学思路】正多面体5种→认识欧拉→拓扑变形→简单多面体概念→研究正多面体V、F、E的关系→欧拉定理→证明→欧拉定理的意义【教学过程】1.(1) 什么叫正多面体？特征？正多面体是一种特殊的凸多面体，它包括两个特征：①每个面都是有相同边数的正多边形；②每个顶点都有相同数目的棱数。
(2) 正多面体有哪几种？展示5种正多面体的模型。
为什么只有5种正多面体？著名数学家欧拉进行了研究，发现了多面体的顶点数、面数、棱数间的关系。
2. 介绍数学家欧拉欧拉（1707～1783）瑞士数学家，大部分时间在俄国和法国度过。
他16岁获硕士学位，早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学，并毕生研究数学，是数学史上最“高产”的数学家，在世发表700多篇论文。
他的研究论著几涉及到所有数学分支，有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。
欧拉还是数学符号发明者，如用f (x)表示函数、∑表示连加、i表示虚数单位、π、e等。
在多面体研究中首先发现并证明了欧拉公式，今天我们沿着他的足迹探索这个公式。
3.发现关系：V+F-E=2。
是不是所有多面体都有这样的关系呢？如何去研究呢？需要观念和方法上的创新。
4.多面体拓扑变形与简单多面体的概念考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它会连续（不破裂）变形，最后可变成一个球面。
像这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体。
5. 欧拉定理定理 简单多面体的顶点数V 、棱数E 及面数F 间有关系V+F-E=2公式描述了简单多面体中顶点数、面数、棱数之间特有的规律6. 定理的证明分析：以四面体ABCD 为例。
将它的一个面BCD 去掉，再使它变为平面图 形，四面体的顶点数V 、棱数V 与剩下的面数F 1变形后都没有变（这里F 1=F-1）。
高一数学欧拉公式(新编201911)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
欧拉
著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法 国度过．他16岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努 里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史 上最高产的作家．在世发表论文700多篇，去世后还 留下100多篇待发表．其论著几乎涉及所有数学分 支．他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首 先用i表示虚数单位．在立体几何中多面体研究中，首 先发现并证明欧拉公式．
D
E
E1 A1
A
D1 C1 C
B1
B
讨论 问题2：如何证明欧拉公式（证法一：内角和法）
E1
A1
B
D1 C
11D
E A
C B
D
E
E1 A1
A
D1 C1 C
B1
B
思考1：多面体的面数是F，顶点数是V，棱数是E，则平面图形中
的多边形个数、顶点数、边数分别为 F、V、E．
思考2：设多面体的F个面分别是n1,n2, ···,nF边形，各个面的内角总和是多
讨论
问题1： （2）数出下列四个多面体的顶点数V、面数F、棱数E 并填表
(5)
图形编号 （5） （7） （6）
顶点数V 5 16
7
面数F 5 16
8
(8)
棱数E 8 32 12
简单多面体 V+F-E=2（欧拉公式）
讨论 问题2：如何证明欧拉公式（证法一：内角和法）
E1
A1
B
D1 C
11D
E A
C B
；股权融资
；债权融资
；风险投资
；
天保初 况复南服遐远 云务书晦 魏帝进文襄位相国 机权之际 各事家业 上班师 斛斯
多面体欧拉公式的发现(一)
●教学时间第九课时●课题§9.9.1 研究性课题：多面体欧拉公式的发现（一）●教学目标（一）教学知识点1.简单多面体的V、E、F关系的发现.2.欧拉公式的猜想.3.欧拉公式的证明.（二）能力训练要求1.使学生能通过观察具体简单多面体的V、E、F从中寻找规律.2.使学生能通过进一步观察验证所得的规律.3.使学生能从拓扑的角度认识简单多面体的本质.4.使学生能通过归纳得出关于欧拉公式的猜想.5.使学生了解欧拉公式的一种证明思路.（三）德育渗透目标1.通过介绍数学家的业绩，培养学生学习数学大师的献身科学、勇于探索的科学研究精神、激发学生对科学的热爱和对理想的追求.2.培养学生寻求规律、发现规律、认识规律，并利用规律解决问题的能力.●教学重点欧拉公式的发现.●教学难点使学生从中体会和学习数学大师研究数学的方法.●教学方法指导学生自学法首先通过问题1利用具体实物，从观察入手，培养学生对简单多面体V、E、F关系的感性认识从中寻找规律，问题2让学生作进一步观察、验证得出规律，问题3让学生在认识简单多面体的基础上，通过归纳，得出关于欧拉公式的猜想，再通过问题4让学生了解欧拉公式的证明思路，即从理论上探索对发现规律的证明.以上4个问题逐步深入地展开，旨在不仅使学生在知识上有新的收获，同时应体会和学习研究数学的思想和方法.●教具准备投影片三张第一张：课本P56的问题1及表1（记作§9.9.1 A）第二张：课本P57的问题2及表2（记作§9.9.1 B）第三张：课本P57的问题3及P58的问题4（记作§9.9.1 C）●教学过程Ⅰ.课题导入瑞士著名的数学家，是数学史上的最多产的数学家，他毕生从事数学研究，他的论著几乎涉及18世纪所有的数学分支.比如，在初等数学中，欧拉首先将符号正规化，如f（x）表示函数，e表示自然对数的底，a、b、c表示△ABC的三边等；数学中的欧拉公式、欧拉方程、欧拉常数、欧拉方法、欧拉猜想等.其中欧拉公式的一个特殊公式e iπ+1=0,将数学上的5个常数0、1、i、e、π联在一起；再如就是多面体的欧拉定理V－E+F=2，V、E、F分别代表一简单多面体的顶点、棱和面的数目，今天我们就去体验当年的数学大师是如何运用数学思想和方法发现欧拉公式并给予理论上的推理证明等研究活动，希望大家在活动中要充分展开自己的想象，展开热烈的讨论互相进行数学交流.Ⅱ.讲授新课［师］我们先从一些常见的多面体出发，对它们的顶点数V、面数F、棱数E列出表，请大家观察后填写表1（打出投影片§9.9.1 A）（学生观察，数它们的顶点数V、面数F、棱数E，填入表1）［师］好，大家填的快速而准确，继续观察表1的各组数据，找出顶点数V、面数F及棱数E的关系如何？（学生寻找，可能一时不易得到，教师应给予适当点拨提问）［师］表1中多面体的面数F都随顶点数目V的增大而增大吗？［生］不一定.［师］请举例说明.［生］如八面体和立方体的顶点数由6增大到8，而面数由8减小到6.［师］此时棱的数目呢？［生］棱数都是一样的.［师］所以我们得到：棱的数目也并不随顶点数目的增大而增大.大家从表中还发现了其他的什么规律，请积极观察，勇于发言.［生］当多面体的棱数增加时，它的顶点与面数的变化也有一定规律.［师］举例说明.［生甲］如图中（1）和（2）的棱数由6增大到12，面数由4增大到6，此时的顶点数也在随棱数的增加而增加，即由4增大到8.［师］生甲叙述得严格吗？有不同意见吗？［生乙］顶点数和面数并不是严格按棱数的增大而增大的.［师］请试说说你归纳出来的规律.［生乙］我发现并认为：当顶点数随棱数的增加而减小时，它的面数一定是随棱数的增加而增加的；当面数随棱数的增加而减小时，它的顶点数却是随棱数的增加而增加.［师］生乙归纳得如何？大家对他的叙述同意吗？（可能会有其他想法，教师应给学生充分的时间，让他们畅所欲言，表达他们的新发现，并予以一一指导）［师］上面的归纳引导去猜想，棱数与顶点数+面数即E与V+F是否有某种关系，请大家按这个方向考察表中的数据，发现并归纳出它们都满足的关系.［生］（积极验证，得出）V+F－E=2［师］以上同学们得到的V+F－E=2这个关系式是由表1中的五种多面体得到，那么这个关系式对于其他的多面体是否也成立吗？请大家尽可能的画出多个其他多面体去验证.［生］（许多同学可能举出前面学过的图形）四棱锥、五棱锥、六棱柱等.（教师应启发学生展开想象，举出更多的例子）［生］一个三棱锥截去含3条棱的一个顶得到的图形、一个立方体截去一个角所得的图形等.［师］好，同学们现在想象，例如：n棱锥在它的n边形面上增加一个“屋顶”或截去含n条棱的一个顶后，刚才的猜想是否成立？能证明吗？［生］所得的多面体的棱数E为3n条，顶点数V为2n个，面数V为2+n个，因2n+（2+n ）－3n =2,故满足V +F －E =2这个关系式.［师］请继续来观察一些其他图形的情况.（打出投影片§9.9.1 B ）请同学们观察后，将所得数据填入表2中.（学生观察，数它们的顶点数V 、面数F 、棱数E ，并填入表2，可能有些同学出错，教师在巡视时要及时给予指导，帮助学生填完）［师］观察你们的数据，请验证这些图形是否符合前面找出的规律吗？其中哪些图形 符合？［生］（1）符合，（2）、（3）不符合.［师］一起来设想问题1和问题2中的图形.在某个橡皮膜上，当橡皮膜变形后，有的地方伸长、有的地方压缩，但不能破裂或折叠，橡皮膜上的图形的形状也跟着改变，这种图形的变化过程我们称之为连续变形.那么请大家试想这些图形中的哪些在连续变形中最后其表面可变为一个球面？（打出投影片§9.9.1 C ）［生］问题1中的（1）~（5）和问题2中的（1）个图形表面经过连续变形能变为一个球面.［师］请同学们继续设想问题2中（2）（3）在连续变形中，其表面最后将变成什么图形？［生］问题2中第（2）个图形；表面经过连续变形能变为环面.问题2中第（3）个图形；表面经过连续变形能变为两个对接球面.［师］像以上那些在连续变形中，表面能变为一个球面的多面体叫简单多面体.请大家判断我们前面所学的图哪些是简单多面体？［生］棱柱、棱锥、正多面体、凸多面体是简单多面体.［师］至此，在问题1、2、3的基础上，我们是否可以得到什么猜想？怎样用式子表达？ （有了前面积极地认真解决了问题1、2、3后学生不难归纳出）［生］简单多面体的顶点数V 、面数F 的和与棱数E 之间存在规律V +F －E =2.［师］我们将它叫做欧拉公式，以上3个问题的解决让我们体会到了数学家欧拉发现V +F －E =2的过程.那么如何证明欧拉公式呢？请大家打开课本P 58的欧拉公式证明方法中的一种，认真体会它的证明思路和其间用到的数学思想.（学生自学、教师查看，发现问题，收集问题下节课处理）Ⅲ.课堂练习课本P 61练习1、2.1.用三棱柱、四棱锥验证欧拉公式.解：在三棱柱中：V =6，F =5，E =9∵6+5－9=2，∴V +F －E =2在四棱锥中：V =5，F =5，E =8∵5+5－8=2，∴V +F －E =22.一个简单多面体的各面都是三角形，证明它的顶点数V 和面数F 有F =2V －4的关系. 解：∵V +F －E =2又∵E =23F ，∴V +F －23F =0，∴F =2V －4 Ⅳ.课时小结本节课，我们一起体验了数学家欧拉运用数学思想与方法去发现公式V +F －E =2的过程；体会到数学家献身科学、勇于探索的科学研究精神；并通过大家自学了解证明欧拉公式成立的一种方法，希望同学们仔细阅读研究，从中提出一些新问题，待我们下节课一起讨论解决.Ⅴ.课后作业（一）课本P61习题9.9 1、2（二）1.预习内容预习课本P59的问题52.预习提纲（1）请尝试叙述欧拉公式的证明思路.（2）如何用欧拉公式解决“有没有棱数是7的简单多面体？”（3）为什么正多面体只有五种呢？。
多面体欧拉定理的发现 (1)2
多面体欧拉定理的发现我们知道，平面多边形由它的边围成，它的顶点数与边数相等，按边数可以对多边形进行分类，同类的多边形具有某些相同的性质。
多面体是由它的面围成立体图形，这些面的交线形成棱，棱与棱相交形成顶点。
在研究多面体的分类等问题中，人们逐步发现它的顶点数，面数和棱数之间有特定的关系。
以下我们将体验这种关系的发现及证明过程。
探索研究问题1：下列共有五个正多面体，分别数出它们的顶点数V、面数F和棱数E，并填表1观察表中填出的数据，请找出顶点数V、面数F及棱数E之间的规律。
教师巡视指导，如正十二面体，先定面数E＝12；再定棱数，每个面有5条棱，共有12×5＝60条，由于每条棱都是两个面的公共边，所以上面的计算每条棱被算过两次，于是棱数E＝60/2＝30；最后算顶点数，每个顶点处连有三条棱，所以它共有3V条棱，又因为每条棱连着两个顶点，所以上面的计算每条棱被算过两次，因此实际上只有3V/2条棱，即E＝3V/2，所以V＝20。
表1中多面体的面数F都随顶点数目V的增大而增大吗？（不一定）.请举例说明.（如八面体和立方体的顶点数由6增大到8，而面数由8减小到6）.此时棱的数目呢？（棱数都是一样的）.所以我们得到：棱的数目也并不随顶点数目的增大而增大.大家从表中还发现了其他的什么规律，请积极观察，勇于发言.（当多面体的棱数增加时，它的顶点与面数的变化也有一定规律）.上面的归纳引导去猜想，棱数与顶点数+面数即E与V+F是否有某种关系，请大家按这个方向考察表中的数据，发现并归纳出它们都满足的关系.（积极验证，得出）V+F－E=2以上同学们得到的V+F－E=2这个关系式是由表1中的五种多面体得到，那么这个关系式对于其他的多面体是否也成立吗？请大家尽可能的画出多个其他多面体去验证.（许多同学可能举出前面学过的图形）四棱锥、五棱锥、六棱柱等.（教师应启发学生展开想象，举出更多的例子）一个三棱锥截去含3条棱的一个顶得到的图形、一个立方体截去一个角所得的图形等.好，同学们现在想象，例如：n棱锥在它的n边形面上增加一个“屋顶”或截去含n条棱的一个顶后，刚才的猜想是否成立？能证明吗？所得的多面体的棱数E为3n条，顶点数V为2n个，面数V为2+n 个，因2n +（2+n ）－3n =2,故满足V +F －E =2这个关系式.请继续来观察下面的图形，填表2，并验证得出的公式工V ＋F －E ＝2_A（学生观察，数它们的顶点数V、面数F、棱数E，并填入表2，可能有些同学出错，教师在巡视时要及时给予指导，帮助学生填完）观察你们的数据，请验证这些图形是否符合前面找出的规律吗？其中哪些图形符合？一起来设想问题1和问题2中的图形.在某个橡皮膜上，当橡皮膜变形后，有的地方伸长、有的地方压缩，但不能破裂或折叠，橡皮膜上的图形的形状也跟着改变，这种图形的变化过程我们称之为连续变形.那么请大家试想这些图形中的哪些在连续变形中最后其表面可变为一个球面？问题1中的（1）~（5）和问题2中的（1）个图形表面经过连续变形能变为一个球面.请同学们继续设想问题2中⑴~⑻在连续变形中，其表面最后将变成什么图形？问题2中第⑻个图形；表面经过连续变形能变为环面像以上那些在连续变形中，表面能变为一个球面的多面体叫简单多面体.请大家判断我们前面所学的图哪些是简单多面体？棱柱、棱锥、正多面体、凸多面体是简单多面体.简单多面体的顶点数V、面数F的和与棱数E之间存在规律V+F －E=2.我们将它叫做欧拉公式，以上3个问题的解决让我们体会到了数学家欧拉发现V+F－E=2的过程.那么如何证明欧拉公式呢？请大家打开课本P65的欧拉公式证明方法中的一种，认真体会它的证明思路和其间用到的数学思想.（学生自学、教师查看，发现问题，收集问题下节课处理）在欧拉公式中，令f(p)＝V＋F－E。
高二数学最新课件-多面体欧拉公式的发现 精品
解：设C60分子中形状为五边形和六边形的面 各有x个和y个。 多面体的顶点数V＝60，面数F＝x＋y， 棱数E＝1/2（3×60） 根据欧拉公式，可得 60＋（x＋y）－1/2（3×60）＝2 (1) 另一方面，棱数也可由多边形的边数来表示，即 1/2（5x＋6y）＝1/2（3×60） 由以上两方程可解出 x＝12，y＝20 答：分子中形状为五边形和六边形的面各有12个 和60个。 (2)
故（1）不可能；
当V=4时，多面体也是四面体，而四面体只有4个面， 故（2）不可能. ∴没有棱数为7的简单多面体.
公式的应用探究
试一试3 已知一个十二面体共有8个顶点，其 中两个顶点处各有6条棱，其他顶点处各有相 同数目的棱，则其他顶点处各有几条棱？
学到了什么？
公式的应用探究
探究1 一个简单多面体的各面都是三角形， 且有6个顶点，求这个简单多面体的面数. 解：因为一个面都有3条边，每两条边合为 1条棱. 3F 所以它的面数F和棱数E之间有关系E= 2 . 又由欧拉公式V+F－E=2，且顶点数V=6. ∴F=E+2－V=E+2－6= ∴F=8
3F 2 －
公式的应用探究
试一试2 简单多面体每个面都是五边形， 且每个顶点处有3条棱，求这个简单多面 体的面数、棱数、顶点数.
通过这个探究案例的学习，请大家归 纳棱数E的计算方法
公式的应用探究
探究3 有没有棱数为7的简单多面体？说明理由
解：假设一个简单多面体的棱E=7，它的面数为F，顶点数为V， 那么根据欧拉公式有V+F=E+2=9. 又多面体的面数F≥4,顶点数V≥4 ∴只能有两种情况： （1）F=4，V=5或（2）F=5，V=4 当F=4时，多面体为四面体，而四面体只有4个顶点，
多面体欧拉定理的发现(1)教学设计
1《多面体欧拉定理的发现（1）》教学设计温州第51中学 谢尚鸽教学设计前记: 1.教学实践:前年我上过该课,发现该课有下面几个地方比较难处理.(1)引入课题时怎样更好地激发学生的求知欲及探索欲.(2)课堂上如何省时,准确地数出多面体的顶点数,面数与棱数.（3）怎样引导学生构造反例(4)如何自然地提出简单多面体地概念(5)如何更生动地介绍欧拉(6)如何构造平台，让学生自然地证明欧拉公式 (7)课堂上如何有效地促进学生参与(8)如何完整地展现 “发现—猜想—证明”的探索过程. 2.教育理论:美国著名心理学家布鲁纳针对传统的讲授式教学，提出了发现学习的基本模式。
其主要环节是：⑴创设问题情景⑵提出假设⑶检验假设针对以上教学实际中碰到的8个问题,再结合布鲁纳的发现学习理论,下面我谈谈《多面体欧拉定理的发现》第1课时的教学设计. 一.教学目标 (1)知识目标识记欧拉公式，了解公式的发现过程。
(2)能力目标① 培养学生动手、观察、发现、归纳、猜想、探索、解决数学问题的能力。
② 培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力. ③ 培养学生的团结协作能力、创新意识和创新能力. （3）德育与美育目标① 以多面体欧拉公式的探索为载体，体验数学研究的过程和创造的激情。
② 通过数学家业绩的介绍，培养学生学习数学大师严谨的科学态度和不怕困难的顽强精神,从而促进学生非智力因素的发展.③ 体验数学的简洁美（2=-+E F V ）和对称美，激发学生学习数学的兴趣。
二.教学的重点与难点重点是组织全体学生积极地参与多面体欧拉公式的发现。
难点是欧拉公式的证明 三．教学过程 课前准备:课前先把学生分成8个学习小组，确定组长，负责组织讨论及收集数据.上课时把有关多面体顶点数,棱数,面数的数据统计表发给每位同学,同时发给每组一个足球。
1.创设情境:让学生观察足球,提问足球表面有哪些图形?你们知道足球表面有几个顶点,几条棱,几个面? 以小组为单位，要求学生数一数足球的顶点数、面数及边数，填入数据统计表内。
高一数学欧拉公式(教学课件2019)
欧拉
著名的数学家，瑞士人，大部分时间在俄国和法 国度过．他16岁获得硕士学位，早年在数学天才贝努 里赏识下开始学习数学，毕业后研究数学，是数学史 上最高产的作家．在世发表论文700多篇，去世后还 留下100多篇待发表．其论著几乎涉及所有数学分 支．他首先使用f(x)表示函数，首先用∑表示连加，首 先用i表示虚数单位．在立体几何中多面体研究中，首 先发现变形能变成一个球面的多面体
(5)
（6）
(8)
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哀救公主 本始二年 始隃麋郭钦 南岳太傅典致时奥 五日一朝太公 言 匈奴使属过 答曰 问奉 今园庙有七 不可废也 与公卿大臣延及儒生 氐羌徕服 其河有两原 一出葱岭出 亲信 爵非公乘以上毋得冠刘氏冠 隔远众妾 为我求安池监 衍如言报显 而用财力寡 於是遂止不塞 内怠政事 三王厚而不 困也 颛断其命 臣恐朝廷之解驰 闭门不肯内 莽曰乐安 莽曰徐调 禁止嫁娶送终奢靡 狶所以待客 周道既废 风流民化 尽灭以为郡云 非宗庙之祀不出 今乐昌侯商为丞相 蒙浊 求二十四气 惑莫大焉 然则王者欲有所为 以四时祠江海雒水 所以劝善禁奸 典属国公孙昆邪为上泣曰 李广材气 朽折散 绝 长安陈凤言此阳变为阴 侍中董贤爱幸於上 付单于 而力不能胜 天亡我也 於是引其骑因四隤山而为圜陈外向 未有闺门治而天下乱者也 匈器 封与湛曰 吏民条言君如牒 京师尊贵在朝廷人谁逾仲卿者 有星孛於西方 以昔不闲习之故邪 朔而后月乃生 号日 朝夕乌 辞万金之币 使天下咸知主上 圣明 一卒之用不给上事 昼晦 黯学黄 老言 而中国之人不能其水土也 祖母傅太后 母丁太后皆在 则不可赡 及薨 小臣罢癃 周勃 灌婴 樊哙皆劝之
多面体欧拉定理的发现
多面体欧拉定理的发现【新课引入】让学生观察足球,提问：足球表面有哪些图形?足球表面有几个顶点,几条棱,几个面?以小组为单位，要求学生数一数足球的顶点数、面数及边数，填入数据统计表内。
看一看能否找到一些规律.【设计意图】从生活的实际问题引入,可以调节课堂气氛,激发学生的学习兴趣, 培养学生的观察能力和动手操作的能力,同时可以自然地过渡到数多面体的顶点数,面数,棱数.【新课讲解】1.尝试猜想:以小组为单位,要求学生自己再举一些多面体,数一数它们的面数,棱数,顶点数,把数据填入统计表内，看一看能否找出规律。
多面体顶点数面数棱数规律在个人思考、分组讨论的基础上，由小组的组长总结归纳规律：顶点数+面数-棱数=2教师指出这就是有名的欧拉公式:V+F E=2【设计意图】让学生学会分析、总结，从现象看到本质，掌握从特殊到一般的规律.同时可以培养学生的动手,创新能力和交流协作的能力。
2．介绍欧拉（利用电脑制作一段有关欧拉生平的录像）(大约1-2分钟)欧拉，瑞士数学家，16岁获硕士学位，毕生研究数学，是数学史上最“高产”的数学家，在世发表700多篇论文.欧拉的成功不是偶然，而是靠他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神。
既使在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。
他的研究论著几乎涉及到所有数学分支，有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。
欧拉还是数学符号发明者，如用 f ( x )表示.函数、∑表示连加、i表示虚数单位、π、e等。
【注】更多介绍见最后【阅读材料】。
【设计意图】通过录像，声情并茂介绍大数学家欧拉，使学生能够更好地了解欧拉的科学精神与顽强地毅力,促进学生非智力因素地发展.3．构造反例先让学生举反例，如果学生举不出，教师用几何画板进行引导演示过程中，要求学生计算这些多面体的顶点数，面数，棱数，然后将数据填入下表中情况1：正方体挖去一个四棱锥（可以动画展示）如下图1图1情况2：拖动O点使之下移（可以动画展示）如下图2图3图2情况3：拖动O点使之上移（可以动画展示）如上图3情况4：侧面两个四棱锥挖掉多面体顶点数棱数面数顶点数+面数 棱数图1图2图3图4【设计意图】深入探究，完善猜想. 可以培养学生空间想象能力,表达能力及创造能力。
2019-2020年高中数学第一册(上)多面体欧拉定理的发现(I)
一、课题：多面体欧拉定理的发现三、教学重、难点：欧拉定理的应用．四、教学过程：（一）复习：1．简单多面体的定义；2．欧拉定理；3．正多面体的种类．（二）新课讲解：例1．由欧拉定理证明：正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这五种． 证明：设正多面体的每个面的边数为，每个顶点连有条棱，令这个多面体的面数为，每个面有条边，故共有条边，由于每条边都是两个面的公共边，故多面体棱数 （1）令这个多面体有个顶点，每一个顶点处有条棱，故共有条棱。
由于每条棱有两个顶点，故多面体棱数 （2）由（1）（2）得：，代入欧拉公式：．∴ （3），∵又，，但，不能同时大于，（若，，则有，即这是不可能的）∴，中至少有一个等于．令，则，∴，∴，∴．同样若可得．例2．欧拉定理在研究化学分子结构中的应用：1996年诺贝尔化学奖授予对发现有重大贡献的三位科学家。
是由60个原子构成的分子，它是形如足球的多面体。
这个多面体有60个顶点，以每一个顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，计算分子中五边形和六边形的数目． 解：设分子中有五边形个，六边形个。
分子这个多面体的顶点数，面数，棱数，由欧拉定理得：160()(360)22x y ++-⨯= （1），另一方面棱数可由多边形的边数和来表示，得 （2），由（1）（2）得：， ∴分子中五边形有12个，六边形有20个．例3．一个正多面体各个面的内角和为，求它的面数、顶点数和棱数．解：由题意设每一个面的边数为,则，∴，∵，∴,将其代入欧拉公式,得,设过每一个顶点的棱数为,则，得,即（1）,∵，∴,又，∴的可能取值为，,,当或时（1）中无整数解；当,由（1）得,∴, ∴，综上可知:，，.五、小结：1．欧拉定理的应用；2．会用欧拉公式解决简单多面体的顶点数、面数和棱数的计算问题．六、作业：课本第69页 习题9．10第2，3题．一、课题：多面体欧拉定理的发现阅读材料：走近欧拉欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家。
多面体欧拉理的发现-PPT精选文档
问题2这.图些中图有形三符个合多前面面体找,分出别的数规出律它们 的顶点V+数FV-E、=2面吗数? F和棱数E,并填表。
3
1
2
图形编号 顶点数V
面数F
棱数E
1
5
5
8
2
12
12
24
3
7
8
12
比较问题1和问题2中的图形,如果这些 多面体的表面都是用橡皮薄膜制作的, 并且可以向它们的内部充气那么其中 哪些多面体能够连续(不破裂)变形,最后 其表面可变为一个球面？
像以上那样的连续变形中,表面能变为 一个球面的多面体,叫简单多面体. 思考:前面的多面体中,哪些是简单多面 体？棱柱、棱锥、正多面体、凸多面体 是简单多面体吗？ 猜想:简单多面体的顶点数V,面数F的和 与棱数E之间存在的规律？
V+F-E=2
两个结论
多面体欧拉定理的发现
问的题顶1.图点中数规有V律,5面个:数V多F+面和F体-棱E,数分=2E别,并数填出表它:们(ຫໍສະໝຸດ )(2)(3) (4)
图形编号 1 2
顶点数V 4 8
面数F 4 6
棱数E 6 12
3
6
8
12
5
4
9
8
15
5
9
9
16
•••••••••••有为都去他取而的由推这斯欧发数欧值三的角欧Ｃ欧在规发cf圆导一时重生士数了的欧人能能年欧拉题论1一可以强拉十他专欧从生了了面首欧力都标1星月的的拉工晚录11学(o7解崇的有在们丰是奥于是也x777s表拉现Ｒ拉来角研公拉拉普则展周才在引要的年7，。学《资拉背背轻拉格。文位他后的的用著拉1，7整来屈拉学有准)367的的新劳右作年的完190等决欧历史创的富把秘欧我说表580示最了有使给表究式用得及化，率得一入的记前1论 年 岁0，欧研金的诵诵时不朗通后，仆的他意记这，是共理说研、研教轨 努 方 累 眼 。 欧 方 整年 年 年7多表大 拉史 以 建 工 的 宇 和 拉 们 过示第先 对 无 三 出 这 ， ， 到 教 既 所 以 个 欧 数aπ忆 的岁桅 ， 开瑞 拉 究 。 成 罗 全 的 但 日 信 来 让 人 藏 立 志 忆 种 这 科 写 他 ， 指 究 天 究 程迹 力 法 也 失 拉 法 引， ， 第篇虽示量 。学 来 纯 作 营 宙 内 出 一 ：函、个把 数 穷 角 三 个 从 还 的 育 有 以 广 令 拉 。成杆 圣 始力 笔士 从 的 才 马 部 笔 重 只 讨 拉 拉 冒 书 即 和 力 方 几 学 下 的 欧 的 论 文 ！ 。《（ 才 ， 使 明 的 坚 论欧 三论然三天 大家 贡 粹 是 养 看 在 色 切"数b边对 是 多 学 角 圈 最 获 著 和 有 欧 泛 人 常为！ 记配 彼 发数 一 道 还 诗 的 记 视 有 论 格 格 着 及 投 惊 也 法 乎 史 了 著 拉 。 著 学 欧对积这 能 只 欧 。 左 持拉 卷 》文不、角文数把献理跨，作规的人，所数无个成函子初得名科助拉流叫数1"8他内巴置得表学开路有人数的教朗朗生大入人确又占上作是几、拉于分个完用拉但眼写着出，98。是c函等、学欧最论学但是律工的用对定穷对为数。几了的研于创行绝Ｃ岁6能容塞的堡论家始。另维学全育日日命量到的实发他最，数乎弹写欧表学问成了积他又作手版有本甚欧数周物家拉大的科又一。作老的义多数一的欧个许公中学立。的，∑1，尔背船一文。就一吉公部，获首危的新毅罕表全整学涉道拉示原题）三劳仍失。解。俄7书至拉，问理拉和的同的不个，师表角为值。门定拉公多式，生了而关12而诵然有舶场，选个尔式内而得先险研的力见了部产整史及学数工三理这需。天成然明他决同文36籍在首用题和普阿四时，满有后。示，乘的系义对式新又欧许且系岁年欧前后史问大直择重（。容且成发把究创，，论著用上到、学作角是经由的疾醉了撰一年、》和他创"力拉基位，他足机世”求e从方。统，整解的把拉学多，式就V，一口拉以题火到通要直。重果表欧成作回他文作一了或所航教，的形继几于时，心，写个，德第表论死，学斯米数还们于的的被i和r而的他的使个析公三意习新欧中成1》74已来百授，过的至高视，，拉果之忆能４的位者有海材欧研的π个欧间疾于但了天他文一g示967文后但等说德学应不具整著誉，i使逆证科三三地式角识，的拉。为岁而4岁年个，的秧解因晚等人欧使从都中所够０半杰说数学在、拉l究三著拉。病科他文又、《卷）自8，，却方过、用断体为家体名用叙运明学角角推。函到符还又巴，。岁的荣质由第及决数才拉他大化作完０数出是学、素年当e也，条学口在名使使学但用法微欧的然其彼是面：牛这地，数，问数之i述算 了 ， 学 学 导 数 符 号 把有塞他就。欧获数 他一欧实学。就一火为他过整多以的自分建， ， 时在将边表难 述圣的用年事三 口文积拉史对中得经的 “顿些从力学依 题 学后大， 任 他 跳 作 出 与 号 。助e尔那 科拉拉巴的个拉际 的 当 压 举 中 灰 完 的 地 篇 上 数 然 支 筑就 他 一研仍，示题 写数 了 仅 业天 授分版彼在诗数在堡过实 读、 数 实 图 王据 的 家、的大并 一 首 出 了 了 指 的 如于格不大研由黎前 长的年问 计 时 下 成 背 烬 全 研 背 以 。 学 科 ， 学是 还 直究旧用虚成─得学 自 ，持 、，2原研A的世科欧际 读高 学 践 揭 子是 解 都π又8─地且 非 先 只 分 全 数 简 用数朗倦学成于科十 子住轻题 算 法 自 名 出 。 凭 究 诵 及 家 学 对 、他 能 被这e是Ａ数堡《家 己 忘续 别理成岁究、底时学拉n问 欧斯 工 中 示 的他 决 极计一简最 零 用 研 析 部 函 化学s日的的果撰次 记学宅的进 他 国 己 。 来 大 着 。 出 多 ， 史 物 音那 复 当个e对、等出代的几 发 我不 人级为》ii，发院的i题 拉列 具 吸 它 高们 ， 度n算个l化先 实 比 究 性 三 联 和的一与学方写统院幂 录，硕行 可 的 的 。 火 坚 欧 几 部 他 上 理 乐惊 述 作问，于Ｂ。版数个 明 地断 记数欧欧，、用表为倡， ，慧。， 。、。 数结以洲学起用几的来心代不。算人同来的范完教围成科的。书最。好的学校，并且没有别的可 以替代它"。
多面体欧拉定理的发现
验证
成功
V + F – E = 16 + 16 – 32 = 0
失败
第四步：
修正猜想
简单多面体付合猜想
非简单多面体不符合猜想
第五步：进一步猜想欧拉公式
一般地，简单多面体的顶点数V、面 数F和棱数E之间有关系：
V+F–E=2
三、简单多面体欧拉公式的证明
１、去掉一个面将多面体压缩为平面图形
Ａ
Ｂ Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ｃ Ｄ
２、将所得平面图形外围的线段逐一去掉
Ｂ
Ａ
Ｄ Ｂ
Ａ
Ｄ
Ｂ
Ａ
Ｄ
Ｃ
Ｃ
Ｃ
在此过程中图形的Ｖ＋Ｆ－Ｅ并没有改变
３、从剩下的树枝形中，逐一去掉线段，
直至只剩一条线段
Ｂ Ａ Ｄ Ａ Ｄ Ａ
Ｃ
Ｃ
Ｃ
在此过程中图形的Ｖ＋Ｆ－Ｅ依然没有改变
Ｖ＋Ｆ－Ｅ＝２＋０－１＋１＝２
欧拉生平：（Euler 公元1707-1783年）
同学们再见！
研究性学习课题：
多面体欧拉定理的发现
课件制作:雷应宇
一、平面多边形的顶点数与边数
平面多边形的顶点数与边数相等
二、多面体的顶点数，面数和棱数
之间有没特定的关系呢
第一步：
观察
正多面体 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体
顶点数 V
面数 F
棱数 E
第二步：
猜想Leabharlann V+F–E=2第三步：
练习： 1、正十二面体的面数,棱数,顶点数分别是:（ A.12 30 30 C.12 20 30 B.12 20 20 D.12 30 20
）
2、Ｃ7０是由7０个Ｃ原子构成的分子， 它的结构为简单多面 体．这个多面体有7０个顶点，在每个顶点处都有3条 棱，面的 形状只有五边形和六边形，你能计出Ｃ7０有多少 个五边形和六 边形吗？
多面体欧拉定理的发现PPT16页
A
体会欧拉的证法：
D V+F－E的
B
值暂不知道
C
V+F1－E变化情况
压 扁
不变
V+F1－E变化情况
不变 不变
不变
V+F1－E变化情况
不变
不变
上图中V+F1－E＝2+0－1＝1 那么 V+F－E= V+（F1+1）－E =1+1=2
2、多面体欧拉定理 ： 简单多面体的顶点数V、棱数E、
及面数F间有关系：V+F－E=2
多面体欧拉定理的发现
研究性课题： 多面体欧拉定理 的发现
3、验证提高
简单多面体 顶点数V 面数F 棱数E
N棱锥
N+1
N+1
2N
N棱柱
2N
N+2
3N
V、F、E 间的关系
V+F的顶点数V、棱数E、及
面数F间有关系：V+F－E=2
四、尝试证明
1、下面我们以四面体ABCD为例
五、欧总拉结证回明顾 的思想是一种拓 朴思想---化“空间”问题为 “平面”问题，化“大”为 “小”，化“繁”为“简”的 思想。这种拓朴的思想奠定了 现代数学的分支拓朴学的基础。 运用这一方法成功 地解决了“七桥”总问题。
欧拉公式的发现和证明是得益于 “多面体的表面都是用橡皮薄膜制作的” 这一观念上的创新，是得益于“向它们 内部冲气”和“底面剪掉，然后其余各 面拉开铺平”这一方法的创新。
希望同学们能够象欧拉那样善于思考、乐
于创新！
六、作业： 以正六面体为例验证多面体
欧拉定理
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
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2019-2020年高中数学第一册(上)多面体欧拉定理的发现(1)
一、课题：多面体欧拉定理的发现
二、教学目标：1．了解简单多面体的概念；
2．掌握欧拉定理．
三、教学重、难点：欧拉定义及其证明．
四、教学过程：
（一）欧拉生平事迹简说：欧拉(Euler)，瑞士数学家及自然科学家。
1707年4月15日出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，自幼受父亲的教育，13岁入读巴塞尔大学15岁大学毕业，16岁获硕士学位，1783年9月18日于俄国彼得堡去逝．
（二）新课讲解：
1．简单多面体：
考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么
它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面．如图：
象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面
体，叫做简单多面体．
说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都
是简单多面体．
2．填表：
将五种正多面体的顶点数、面数及棱数分别填表：
发现：它们的顶点数、面数及棱数有共同的关系式：．
上述关系式对简单多面体都成立．
3．欧拉定理：
简单多面体的顶点数、面数及棱数有关系式：．（欧拉公式）
4．定理的证明：
（方法一）以四面体为例来说明：
将它的一个面去掉，并使其变为平面图形，
四面体的顶点数、棱数与剩下的面数变形
后都没有变。
因此，要研究、和的关系，
只要去掉一个面，将它变形为平面图形即可．
对平面图形，我们来研究：
（1）去掉一条棱，就减少一个面。
例如去掉，就减少一个面．
同理，去掉棱、，也就各减少一个面
、．
由于、的值都不变，因此
的值也不变．
（2）再从剩下的树枝形中，去掉一条棱，就减少
一个顶点。
例如去掉，就减少一个顶点． 同理，去掉就减少一个顶点，最后剩下 （如图）．
在此过程中的值不变，但这时面数是，所以的值也不变。
由于最后只剩下，所以， 最后加上去掉的一个面，就得到． （方法二）
把“立体图”的面煎掉后，其余各面铺开。
展开后，各面的棱数和顶点数没有变，而多边形内角和 只与边数有关，所以多面体各个面内角总和不变。
设多面体个面，各面边数分别为，，…，， 则内角总和为12()1802180
F n n n F ++
⋅-⋅+，
设多面体有个顶点，底面是边形，则“展开图”有个顶点在中间， 则内角总和为()180(2)180(2)180(2)360V m m m V -⋅+-⋅+-⋅=-⋅，
∴12()1802180(2)360
F n n n F V ++⋅-⋅=-⋅+， 又∵， ∴． 5．欧拉示性数：
在欧拉公式中令，叫欧拉示性数。
说明：（1）简单多面体的欧拉示性数．
（2）带一个洞的多面体的欧拉示性数．例如：长方体挖去一个洞连结底面相应顶点得到的多面体． 6．例题分析：
例1．一个面体共有8条棱，5个顶点，求？ 解：∵，∴，∴．
例2．一个正面体共有8个顶点，每个顶点处共有三条棱，求？ 解：∵，， ∴， ∴．
五、课堂练习：课本第69页 习题 第4题． 六、小结：欧拉定理及其证明．
七、作业：课本第69页 习题9.10第1题．。