波动光学方法

贝塞尔方程的解：
– 第一类和第二类贝塞尔函数：Jν，Nν。 – 第一类和第二类汉克尔函数：Hν(1)，Hν (2)。 – 第一类和第二类变态汉克尔函数：Iν，Kν。
场解的选取
依据：
– 导模场分布特点：在空间各点均为有限值；在 导模场分布特点： 芯区为振荡形式，而在包层则为衰减形式；导 模场在无限远处趋于零。 – 贝塞尔函数形式：Jν呈振荡形式，Kν则为衰减 贝塞尔函数形式： 形式。
2 2 n12 k y (α 4 n5 + α 5 n4 ) 2 2 2 n4 n5 k y n14α 4α 5
k x (α 2 + α 3 ) tg (2k x a ) = 2 k x α 2α 3
模式场分布
Exmn模：Ex(x,y)=E1sin(xmπ/2a) sin(ynπ/2d) Ex11模：Ex(x,y)=E1sin(xπ/2a) sin(yπ/2d) Ex21模：Ex(x,y)=E1sin(xπ/a) sin(yπ/2d) Ex12模：Ex(x,y)=E1sin(xπ/2a) sin(yπ/d) Ex22模：Ex(x,y)=E1sin(xπ/a) sin(yπ/d) (0<x<2a; 0<y<2d)
代入波导场方程得到：
d 2 Φ(r ) 2 l 2 1/ 4 2 2 + n (r )k0 β Φ(r ) = 0 2 2 dr r d 2 Φ(r ) + G 2 ( r )Φ ( r ) = 0 2 dr l 2 1/ 4 β2 G 2 (r ) = n 2 (r )k02 r2
模式分类判据
' ' 2 ' 1 ν 2 2 '
归一化工作参数
归一化工作频率：
V=
2π
λ0
2 a n12 n2 = k0 an1 2
归一化横向传播常数： 归一化横向衰减常数： 有效折射率： 归一化工作参数：
U = a n12 k02 β 2
W = a β n k
2 2 2 2 0
neff = β /k0
横向分量由纵向分量确定。
本征值方程的导出
边界条件：在r = a, Ez, Hz, Eφ, Hφ 连续
– – – – EIz|a = EIIz|a : AJν(U)-CKν(W)=0 HIz|a = HIIz|a : BJν(U)-DKν(W)=0 EIφ|a = EIIφ|a : HIφ|a = HIIφ|a :
本征解选取：在纤芯中选取贝赛尔函数Jν， 在包层中选取变态汉克尔函数Kν。
本征解的确定
E zI A Ur jνφ 纤芯(0<r<a)： I = Jν ( ) e a H z B
包层(r>a)：
E zII C Wr jνφ II = Kν ( )e a H z D
禁区： β>n1k0 导模： n1k0> β> n3k0 χ21>0，传播场 χ22, χ23<0，消逝场 衬底辐射模：n3k0> β> n2k0 χ22<0，消逝场； χ23, χ21>0，传播场 辐射模： n2k0> β> 0 χ21，χ22 ，χ23 > 0，传播场
归一化工作参数
本征值方程
Exmn模式
2 2 n12 k x (α 2 n3 + α 3n2 ) tg (2k x a ) = 2 2 2 4 n2 n3 k y n1 α 2α 3
tg (2k y d ) =
k y (α 4 + α 5 )
2 k y α 4α 5
Eymn模式
tg (2k y d ) =
对称平板波导的本征值方程
对称平板波导：n2=n3。 边界条件：TE模式: Ey,Hz在上下界面连续； TM模式: Hy,Ez在上下界面连续。 TE模的本征值方程：
场分布偶对称： 场分布奇对称：
U tan U = W
π U tanU + = W 2
模式分析
平板波导的特征方程都是超越方程，一般只能用数值方法求 解。对称波导的特征方程可以用图解法求得近似解。
W b= 2 = 2 2 V n1 n2
2 2 2 neff n2
贝塞尔函数递推公式(I) 贝塞尔函数递推公式(I)
1 微分公式： J ( x ) = [J ( x ) J ( x )] ν ν 1 ν +1 2 ν 1 递推公式： Jν ( x) = [Jν 1 ( x) + Jν +1 ( x)] x 2 π νπ 2 cos( x ) 大宗量近似： lim Jν ( x ) = x →∞ πx 4 2 1 x ν ( ) 小宗量近似： lim Jν ( x ) = x →0 ν! 2
当G2(r)＞0时为正弦函数形式，对应于 “驻波场”或“传播场”； 当G2(r)＜0 时为衰减指数形式, 对应于“衰 减场”或“消逝场”。 在传播场与消逝场的交界处,有 G2(r)＝0。
导模
r
rg2 rg1
a
辐射模
r
a rr1
漏模
r
rι3 rι2 rι1
a
两种方法的比较
导模： 漏模： 辐射模： TE/TM模： HE/EH模： 约束光线 隧道光线 折射光线 子午光线 倾斜光线
阶跃折射率光纤中的场解
数学模型 圆柱坐标系中的波导场方程 边界条件 本征解与本征值方程 本征值与模式分析
数学模型
数学模型：阶跃折射率分布光纤是一种 理想的数学模型，即认为光纤是一种无 限大直圆柱系统，芯区半径a，折射率 为n1；包层沿径向无限延伸，折射率为 n2。光纤材料为线性、无损、各向同性 的电介质。
模式正交归一性
数学表达式：
0 ∫∞∫ Etν E dxdy = 1
* t +∞
ν ≠ ν =
物理意义：
– 光波导中所有模式（导模、漏摸、辐射摸） 相互正交，模式独立载运光能量，光波场总 功率等于各个模式携带功率的迭加； – 光波导实际场分布可以表示为各个模式本征 函数的迭加。
模式命名
根据场的纵向分量Ez和Hz的存在与否，可 将模式命名为： (1)横电磁模(TEM)： Ez＝0，Hz＝0； (2)横电模(TE)： Ez＝0，Hz≠0； (3)横磁模(TM)： Ez≠0，Hz＝0； (4)混杂模(HE或EH)：Ez≠0，Hz≠0。
E (r , φ , z , t ) Et (r , φ ) + E z (r , φ ) z j (ωt βz ) e = H (r , φ , z, t ) H t (r , φ ) + H z (r , φ ) z
贝塞尔方程及其解
纵向场分量满足：贝塞尔方程
d 2 F (r ) dF (r ) 2 ν2 + + ( k i β 2 ) 2 F ( r ) = 0 dr 2 rdr r ki2 = ω 2ε i 0 = ni2 k02 , i = 1,2
平面光波导中的场分布
波导场方程：
2ψ y
x 2 2 2 2 2 χ j = k0 n j β
n2 , n1 , n3
n1 > n3 ≥ n2
+ χ 2ψ y = 0 j
d
n2 n1 n3
折射率：覆盖层、芯区、衬底分别为：
场分量：TE模式: Ey,Hx,Hz TM模式: Hy,Ex,Ez
场分布特点
用纵向场表示横向场
波导场方程
E ( x, y ) 2 E ( x, y ) +χ =0 H ( x, y ) H ( x, y )
2 t
波导场方程： 波动光学方法的最基本方程。它是一 个典型的本征方程。当给定波导的边界条 件时，求解波导场方程可得本征解及相应 的本征值。通常将本征解定义为“模式”。
确定待定系数ABCD有非全零解：ABCD 系数行列式为零，即可导出本征值方程。
本征值方程
Jν Kν k J k Kν 1 1 2 2 2 ( + )( + ) =ν β ( 2 + 2 ) UJν WKν UJν WKν U W
–又称特征方程，或色散方程。其中U与W通过 其定义式与β相联系,因此它实际是关于β的 一个超越方程。当n1、n2、a和λ0给定时, 对 于不同的ν值,可求得相应的β值。由于贝塞 尔函数及其导数具有周期振荡性质, 所以本 征值方程可以有多个不同的解βν(ν=0,1,2,3... =1,2,3...),每一个βν都对应于一个导模。
'
贝塞尔函数递推公式(II) 贝塞尔函数递推公式(II)
1 Kν ( x) = [Kν 1 ( x) + Kν +1 ( x)] 2 ν 1 Kν ( x) = [Kν 1 ( x) Kν +1 ( x)] 递推公式： x 2 1 x lim Kν ( x) = e 大宗量近似： x→∞ x
E 2 1 1 2 2 z 2 + + 2 2 + χ = 0 r H r r r θ z n 2 (r )k02 β 2 2 χ (r ) = 2 2 n2 k0 β 2 0<r <a r>a
分离变量
E z A 1/ 2 H = B r Φ (r ) exp(ilφ ) z
U2 +W2 = V2 关系式：
U 2 +W 2 = V 2
条形光波导
IV
III
I
II
V
场求解思路
由波导场方程求取Ez 由纵横关系式求取横向场分量 由边界条件获得本征值方程 由本征值方程求取本征值
各区域本征值
χ =k +k =n k β >0
2 1 2 2 2 x 2 y 2 y 2 2 1 0 2
m代表 方向亮斑数目；n代表 方向亮斑数目 代表x方向亮斑数目 代表y方向亮斑数目 代表 方向亮斑数目； 代表
x
2a
Ex11
2d y
Ex21
Ex12
光纤中模式的初步分析
当采用波动理论来分析光波在光纤中的 传输时，须求解波导场方程。其方法是 首先求出纵向场分量Ez和Hz，然后利用 纵横关系式求出场的横向分量。 在园柱坐标系中，Ez和Hz满足的波导场 方程为：
波动光学方法
波动理论是一种比几何光学方法更为严格 的分析方法，其严格性在于： (1)从光波的本质特性─电磁波出发，通过 求解电磁波所遵从的麦克斯韦方程，导出 电磁场的场分布,具有理论上的严谨性； (2) 未作任何前提近似，因此适用于各种 折射率分布的单模和多模光波导。
分析思路
分离变量
电矢量与磁矢量分离: 可得到只与电场强 度E(x,y,z,t)有关的方程式及只与磁场强度 H(x,y,z,t)有关的方程式； 时、空坐标分离: 亥姆霍兹方程，是关于 E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式； 空间坐标纵、横分离：波导场方程，是关 于E(x,y)和H(x,y)的方程式； 边界条件：在两种介质交界面上电磁场矢 量的E(x,y)和H(x,y)切向分量要连续。
波导场方程与解的基本形式
六个场分量：Er，Eφ，Ez，Hr，Hφ，Hz。 但并不是相互独立的，横向分量由两个纵向分量唯一确定。 解的基本形式：
2 2 2 Ez ( 2+ + 2 + χ j ) = 0 r rr φ H z
波导场方程：
E z ( r , φ ) = F ( r )e
jνφ
χ = k α = n k β < 0
2 2 2 2 2 0 2
χ = k α = n k β < 0
2 3 2 4 2 y 2 3 2 4 2 2 3 0 2 2 4 0 2
χ = k α = n k β < 0
2 x 2
χ = k α = n k β < 0
2 5 2 x 2 5 2 2 5 0 2
芯区： 覆盖层： 衬底：
U =d n k β
W2 = d β n k
2
W3
( = d (β
(
2 2 1 0
2 1/ 2
)
2 2 1/ 2 2 0
2Hale Waihona Puke Baidu
n k
2 2 1/ 2 3 0
) )
2 归一化频率：V = k0 d n12 n3
导模(TE)本征解 导模(TE)本征解 (TE)
覆盖层：x>0 Ey=Aexp(-W2x/d) 芯区： -d<x<0 Ey=Acos(Ux/d)+Bsin(Ux/d) 衬底： x<-d Ey= (AcosU-BsinU)exp[(W3(x+d)/d] 纵向：Hz=(j/ω0)(dEy/dx)
模式的基本特征
每一个模式对应于沿光波导轴向传播的 一种电磁波； 每一个模式对应于某一本征值并满足全 部边界条件； 模式具有确定的相速群速和横场分布。 模式是波导结构的固有电磁共振属性的 表征。 表征。给定的波导中能够存在的模式及 其性质是已确定了的，外界激励源只能 激励起光波导中允许存在的模式而不会 改变模式的固有性质。