高中物理转动参照系

高中物理转动参照系

物体有相对运动，参考系之间也有相对运动。参考系S ′相对参考系S 的相对运动可分解为以O ′为代表的平动和S ′系绕O ′的转动。在时刻t ，参考系S ′绕O ′的转动角速度ω

设有一任意矢量A ，在S 系中的分量表示式为k A j A i A A z y x ++=，在S ′系中的分量表示式为k

A j A i A A z y x ''+''+''='。在S 系中A 对时间的变化率为k dt

dA j dt

dA i dt

dA dt

A d z y x S ++=)(，在S ′系中A '对时间的变化率为k dt

A d j dt

A d i dt

A d dt

A d z y x S ''+''

+''='')(。如何建立起S 系中A 对时间的变

化率与S ′系中A '对时间的变化率的关系呢？答案是从S 系中求A '对时间的变化率。此处要注意对S 系来说A '不但坐标变其方向基矢也同样变。所以有

dt

k d A dt j d A dt i d A k dt A d j dt A d i dt A d dt A d z

y X z y

x S ''+''+''+''+''+''='）（

，又有i dt i d '⨯='ω，j dt j d '⨯='ω，k dt

k d '⨯='

ω。 所以有A dt

A d dt

A d dt

A d S S S '⨯+'='='ω)(

)(）（ ① ①式的含义是：有S 、S ′两个参考系，且S ′相对于S 转动的角速度为ω，则在S 系中描绘

出的矢量A 在S 系中对时间的变化率等于在S ′系中描绘出的矢量A ′在S 系中对时间的变化率等于在S ′系中描绘出的矢量A ′在S ′系中对时间的变化率加上A '⨯ω。 两个参考系S 、S ′中观测同一质点P 的运动，质点P 的位置矢量分别为r 和r '。且有

r r r O '+=' ②

在S 系中对②式两边时间求导。注意在②中r 和O r '是在S 系中描绘出的矢量，r '是在S ′系中描绘出的矢量，在S 系中对在S ′系中描绘出的矢量求导要用到①的结论。所以有：

r dt

r d dt r d dt r d dt r d dt r d S S O S S O S '⨯+'+='+='''ω)()()(

）（）（ ③ 即r v v v O '⨯+'+='ω ④

④的物理意义是：v 是P 相对于S 的速度，O v '是S ′系相对于S 系平动的牵连速度，r '⨯ω是S ′系相对于S 系转动的牵连速度，v '是P 相对于S ′的速度。

在S 系中对④式两边时间求导。注意在④中v 和O v '是在S 系中描绘出的矢量。v '和r '⨯ω是在S ′系中描绘出的矢量，在S 系中对在S ′系中描绘出的矢量求导要用到①的结论。 所以有：

()()

()

r dt

r d v dt v d dt v d dt r d dt v d dt v d dt v d S S S O S S S O S '⨯⨯+'

⨯+'⨯+'+='⨯+'+=''

''ωωωωω)()()()()()(

即()r v r a a a O '⨯⨯

+'⨯+'⨯+'+='ωωωβ2 ⑤

⑤的物理意义是：a 是P 在S 系中运动的加速度，O a '是S ′系相对于S 系平动的牵连加速度，()r v r '⨯⨯

+'⨯+'⨯ωωωβ2是S ′系相对于S 系转动的牵连加速度（其中()r '⨯⨯ωω是

向心加速度，r '⨯β是ω变化引起的切向加速度，v '⨯ω2是P 相对于S ′运动速度v '引起的科里奥利加速度），a '是P 相对于S ′的加速度。

第35届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题第五题 五、（40分）塞曼发现了钠光D 线在磁场中分裂成三条，洛仑兹根据经典电磁理论对此做出了解释，他们因此荣获1902年诺贝尔物理学奖。假定原子中的价电子（质量为m ，电荷量为-e ，e >0）受到一指向原子中心的等效线性回复力–mω02r （r 为价电子相对于原子中心的位矢）作用，做固有圆频率为ω0的简谐振动，发出圆频率为ω0的光。现将该原子置于沿z 轴正方向的匀强磁场中，磁感应强度大小为B （为方便起见，将B 参数化为L e

m

B ω2=

）

。 （1）选一绕磁场方向匀角速转动的参考系，使价电子在该参考系中做简谐振动，导出该电子运动的动力学方程在直角坐标系中的分量形式并求出其解；

（2）将（1）问中解在直角坐标系中的分量形式变换至实验室参考系的直角坐标系； （3）证明在实验室参考系中原子发出的圆频率为ω0的谱线在磁场中一分为三；并对弱磁场（即ωL <<ω0）情形，求出三条谱线的频率间隔。

已知：在转动角速度为ω的转动参考系中，运动电子受到的惯性力除惯性离心力外还受到科里奥利力作用，当电子相对于转动参考系运动速度为 v ′ 时，作用于电子的科里奥利力为 f e = -2mω×v ′。 解：（1）如图所示，建立以正离子中心为原点O 的实验室参考系Oxyz 与以角速度ω绕z 轴旋转的参考系Ox ′y ′z ′。z 轴和z 轴重合且沿磁场方向。在旋转系中有

()

v m r m e F '⨯-'⨯⨯-⨯-='ω2-m 2

0 ①

①中表示电子在Oxyz 坐标系中的位置矢量，表示电子在Oxyz 坐标系中速度矢量在Oxy 面上的投影，r '表示电子在Ox ′y ′z ′坐标系中的位置矢量在Ox ′y ′面上的投影，v '表示电子在Ox ′y ′z ′坐标系中的速度矢量在Ox ′y ′面上的投影。由于题目要求导出该电子在Ox ′y ′z ′坐标系中运动的动力学方程，所以需要将、从Oxyz 坐标系转换到Ox ′y ′z ′坐标系。即

r '= ②

r v '⨯+'=ω ③

将L e

m

B ω2=

和②③带入①并化简得()()()

v m r m r F L L ⨯-+⨯⨯-+=ωωω22-m 2

0 ④

由于题目要求该电子在Ox ′y ′z ′坐标系中作简谐运动，所以在④中必有

ωω=L ⑤

所以有()()[]

k z j y i x r m r F L L L '+'+'+-

=⨯⨯+=2022

020-m ωωω

ωωω ⑥

在转动系中，由牛顿第二定律有a m F = ⑦ 结合⑥，⑦的分量形式为

()

02

202

2='++'x dt

x d L ωω ()

02

202

2='++'y dt

y d L ωω 02

02

2='+'z dt

z d ω ⑧ 解⑧得

()12

201cos ϕωω++='t A x L

()2

22

2cos ϕωω

++='t A y L

()303cos ϕω+='t A z ⑨

（2）由图可知，两参考系间的坐标变换关系为

t y t x x ωωsin cos '-'=